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ESTATSTICA
Mendona Jnior, A. F.
Mossor RN
17 de outubro de 2013
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Variveis Aleatrias e Distribuio de Probabilidades
Varivel aleatria Varivel aleatria discreta e contnua Distribuies de probabilidade Funes de distribuio Esperana de funo de uma varivel Varincia de uma varivel aleatria
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VOCABULRIO BSICO DA ESTATSTICA
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VARIVEL
Uma varivel corresponde a uma caracterstica de um item ou de um indivduo
POPULAO
Uma populao consiste em todos os itens ou indivduos em relao aos quais voc deseja tirar uma concluso
AMOSTRA
Uma amostra corresponde parcela da populao selecionada para anlise
PARMETRO
Um parmetro uma medida numrica que descreve uma caracterstica de uma populao
Vocabulrio bsico da estatstica
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VARIVEIS ALEATRIAS
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Variveis Aleatrias
DEFINIES
uma funo que associa cada elemento de um espao amostral a um nmero real
uma funo com valores numricos, cujo valor determinado por fatores de chance
uma varivel quantitativa, cujo resultado (valor) depende de fatores aleatrios
uma funo que atribui um valor numrico a cada resultado individual de uma experincia aleatria
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Regra que atribui um valor numrico a cada possvel resultado de um experimento
Figura 1. Mapeamento de eventos em nmeros reais
Variveis Aleatrias
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Variveis Aleatrias
A FUNO VARIVEL ALEATRIA (V.A.) Seja X um valor numrico, cujo valor depende do resultado do experimento. Se X associa um resultado a um nmero, ento X uma funo cujo domnio o conjunto de resultados e cuja imagem o conjunto dos nmeros reais. Essa funo X conhecida pelo nome de Varivel Aleatria.
Desta forma, pode-se escrever os resultados de um experimento aleatrio atravs de nmeros, ao invs de palavras ou smbolos, possibilitando um tratamento matemtico facilitado. Em outras palavras, a varivel aleatria traduz o resultado do experimento em nmeros reais.
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S
atributo qualitativa
quantitativa
discreta
contnua
Definio: varivel aleatria a funo que associa cada elemento de S a um nmero real.
v.a.
Variveis Aleatrias
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Variveis Aleatrias
s
S
X (s) X
Rx
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Variveis Aleatrias
s1 s2 s3 s4 s5 s6
x1 x2 x3 x4
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S
KK
KC
CK
CC
X: nmero de caras em 2 lances de moeda
0 1 2
X(CC) = 0
X(KC) = X(CK) = 1
X(KK) = 2
P(X = 0) = P(CC)
P(X = 1) = P(KC CK)
P(X = 2) = P(KK)
X(S) (imagem)
Experimento: jogar 2 moedas e observar o resultado (K = cara e C = coroa)
Variveis Aleatrias
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TIPOS DE VARIVEIS ALEATRIAS
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Tipos de Variveis Aleatrias
So classificadas conforme a natureza do conjunto de valores reais que elas podem assumir
VARIVEL ALEATRIA DISCRETA
Assume um nmero finito ou infinito numervel de valores numricos. Quando os valores podem ser listados.
VARIVEL ALEATRIA CONTNUA
Assume um valor dado por uma medida em uma escala contnua, isto , todos os valores possveis em um intervalo real. Quando os valores no podem ser listados.
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x Discreta Contnua A distino entre variveis aleatrias discretas e contnuas importante porque a utilizao de diferentes modelos (DISTRIBUIES) de probabilidade depende do tipo de varivel aleatria considerado
Tipos de Variveis Aleatrias
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Definio: uma v.a. discreta quando o conjunto de valores possveis (imagem) for finito ou infinito numervel.
P(X = xi) 0 para todo i
( ) 1ii
P X x
Funo de Probabilidade
( ) ( )f x P X x
Tipos de Variveis Aleatrias
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Exemplos: a) jogar um dado X: ponto obtido no dado X = {1, 2, 3, 4, 5, 6} X: = 1 se ponto for igual a 6 X: = 0 caso contrrio X = {0, 1} b) jogar 5 moedas (ou uma moeda 5 vezes) X: nmero de caras em 5 lances X = {0, 1, 2, 3, 4, 5} c) jogar uma moeda at tirar uma cara X: nmero de jogadas at tirar uma cara (incluindo-se a cara) X = {1, 2, 3, ...} X: nmero de coroas at tirar uma cara X = {0, 1, 2, ...} d) sortear 5 pontos em um mapa pedolgico X: nmero de pontos correspondentes classe Argissolo X = {0, 1, 2, 3, 4, 5}
Tipos de Variveis Aleatrias
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Definio: uma v.a. contnua quando o conjunto de valores possveis (imagem) for inumervel.
Se o conjunto imagem inumervel, no h sentido em falar de valores especficos e portanto: P(X = x) = 0
Funo Densidade de Probabilidade (fdp)
( ) 0f x
( ) ( )b
a
P a X b f x dx ( ) 1f x dx
Qual a probabilidade de se escolher uma pessoa qualquer com 1,7567234309... metros de altura?
P(a < X < b) 0
x
f(x)
a b
( )P a X b
Tipos de Variveis Aleatrias
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Problema: Define-se uma varivel X como o nmero de caras em 6 lances de moeda. Qual a probabilidade de se obter mais que 4 caras nesses 6 lances?
X = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} P(X > 4) = P(X = 5) + P(X = 6) P(X = 5) = P(KKKKKC KKKKCK KKKCKK KKCKKK KCKKKK CKKKKK) = 6/64 P(X = 6) = P(KKKKKK) = 1/64 P(X > 4) = 7/64
Tipos de Variveis Aleatrias
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RESUMO - Varivel Aleatria
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RESUMO - Exemplo
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DISTRIBUIES DE PROBABILIDADE
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DEFINIES
uma funo que relaciona os valores possveis de uma V.A. com as respectivas probabilidades de ocorrncia
uma correspondncia que associa probabilidades aos valores de uma V.A.
Mostra a proporo das vezes em que a V.A. tende a assumir cada um dos diversos valores
Distribuies de Probabilidade
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Distribuies de Probabilidade
TROCANDO EM MIDOS A distribuio de probabilidade, ou modelo probabilstico, indica, para uma varivel aleatria, quais so os resultados que podem ocorrer e qual a probabilidade de cada resultado acontecer.
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Distribuies de Probabilidade
EXEMPLOS
Lana-se uma moeda e anota-se a face obtida. Construir a distribuio de probabilidades para a V.A. nmero de caras.
Resultados Possveis Probabilidades
0 0,5
1 0,5 Total 1
QUAIS RESULTADOS
QUAL PROBABILIDADE
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Distribuies de Probabilidade
EXEMPLOS
Lana-se uma moeda e anota-se a face obtida. Construir a distribuio de probabilidades para a V.A. nmero de caras.
0,50 0,50
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Distribuies de Probabilidade
EXEMPLOS
Considerando-se que 2 moedas tenham sido lanadas, construir a distribuio de probabilidades para a V.A. nmero de caras.
REGRA DA MULTIPLICAO
A probabilidade de que dois eventos independentes ocorram igual multiplicao das probabilidades individuais.
P(A e B) = P(A B) = P(A) x P(B)
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Distribuies de Probabilidade
EXEMPLOS
Considerando-se que 2 moedas tenham sido lanadas, construir a distribuio de probabilidades para a V.A. nmero de caras.
Resultados
Possveis Resultados Numricos
Probabilidades
CC 0 0,5 x 0,5 = 0,25
CK 1 0,5 x 0,5 = 0,25
KC 1 0,5 x 0,5 = 0,25
KK 2 0,5 x 0,5 = 0,25
Total 1
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Distribuies de Probabilidade
EXEMPLOS
1o Lanamento
K
2o Lanamento
0,5
0,5
0,5
0,5
P(x) = 0,25
C
0,5
0,5
K
C
K
C
P(x) = 0,25
P(x) = 0,25
P(x) = 0,25
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Resultados Possveis Probabilidades
0 0,25
1 0,5
2 0,25 Total 1
Distribuies de Probabilidade
EXEMPLOS
Considerando-se que 2 moedas tenham sido lanadas, construir a distribuio de probabilidades para a V.A. nmero de caras.
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Distribuies de Probabilidade
EXEMPLOS
Um lote de peas possui 60% dos itens com algum tipo de defeito. Construir a distribuio de probabilidades para a V.A. nmero de itens com defeito dentre 2 sorteados aleatoriamente.
REGRA DA ADIO
A probabilidade de que um entre dois eventos mutuamente excludentes ocorra igual soma das probabilidades individuais.
P(A ou B) = P(A U B) = P(A) + P(B)
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AXIOMAS
Como os valores das distribuies de probabilidades so probabilidades, e como as V.A. devem tomar um de seus valores, temos as duas regras a seguir que se aplicam a qualquer distribuio de probabilidades:
1. A soma de todos os valores de uma distribuio de probabilidades deve ser igual a 1
P(x) = 1 Onde x toma todos os valores possveis
2. A probabilidade de ocorrncia de um evento deve ser
0 P(x) 1 Para todo x
Distribuies de Probabilidade
x A
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VARIVEIS ALEATRIAS DISCRETAS
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Varivel Aleatria Discreta
VALOR ESPERADO
O valor esperado, ou esperana, ou mdia, de uma distribuio de probabilidades corresponde mdia dos resultados da varivel aleatria quando o nmero de observaes for muito grande.
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Varivel Aleatria Discreta
VALOR ESPERADO
X P(x)
x1 p1
x2 p2
. . . . . .
xn pn Total 1
E(x) = x = (xi . pi)
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Varivel Aleatria Discreta
VARINCIA
X P(x)
x1 p1
x2 p2
. . . . . .
xn pn Total 1
Var(x) = x = pi(xi - x)2
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EXEMPLOS
Um grande lote de peas possui 60% dos itens com algum tipo de defeito. Construir a distribuio de probabilidades para a V.A. nmero esperado de itens com defeito dentre 3 sorteados aleatoriamente e o desvio padro.
Varivel Aleatria Discreta
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Res. Possveis Res. Numricos Probabilidades
BBB 0 0,064
BBD 1 0,096
BDB 1 0,096
DBB 1 0,096
BDD 2 0,144
DBD 2 0,144
DDB 2 0,144
DDD 3 0,216
Total 1
EXEMPLOS
Varivel Aleatria Discreta
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Itens com defeito (X = xi) Probabilidades (P (X = xi) )
O 0,064
1 0,288
2 0,432
3 0,216 Total 1
EXEMPLOS
Varivel Aleatria Discreta
E(x) = x = (xi . pi) = 1,8 itens
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Itens com defeito (X = xi) Probabilidades (P (X = xi) )
O 0,064
1 0,288
2 0,432
3 0,216 Total 1
EXEMPLOS
Varivel Aleatria Discreta
Var(x) = x = pi(xi - x)2 = 0,8485 item
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Varivel Aleatria Discreta
REGRA DA MULTIPLICAO
A probabilidade de que dois eventos no independentes ocorram igual multiplicao das probabilidades individuais.
P(A e B) = P(A B) = P(A) x P(B / A)
Probabilidade do evento B ocorrer dado que o evento A tenha ocorrido
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EXEMPLOS
Um lote com 20 peas contm 4 defeituosas. Se forem retiradas duas peas do lote, qual a probabilidade de serem retiradas:
a) Duas peas boas?
b) Duas peas defeituosas?
Varivel Aleatria Discreta
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EXEMPLOS
Varivel Aleatria Discreta
P(B) = 16 / 20
B: Pea Boa
D: Pea Defeituosa
P(D) = 4 / 20
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EXEMPLOS
Varivel Aleatria Discreta
Se a primeira pea for:
Boa Defeituosa
P(B/B) = 15 / 19 P(B/D) = 4 / 19
P(D/B) = 16 / 19 P(D/D) = 3 / 19
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EXEMPLOS
Varivel Aleatria Discreta
Se ambas as peas forem:
Boa Defeituosa
P(B/B) = 16/20 x 15/19 = 0,6316 P(D/D) = 4/20 x 3/19 = 0,0316
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Varivel Aleatria Discreta
REGRA DA ADIO
A probabilidade de que pelo menos um entre dois eventos no excludentes ocorra igual a:
P(A ou B) = P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A B)
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EXEMPLOS
A 3M Construes constri 01 (um) condomnio quando acha que h probabilidade de pelo menos 40% de vender todos os apartamentos no 1 ano. Constri 02 (dois), aos quais atribui as probabilidades de 40% e 50%. Qual a probabilidade de que pelo menos 01 (um) condomnio seja vendido em sua totalidade?
Varivel Aleatria Discreta
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EXEMPLOS
P(A) = 0,4
P(B) = 0,5
P(A e B) = 0,4 . 0,5 = 0,2
P(A ou B) = 0,4 + 0,5 - 0,2 = 0,7
Varivel Aleatria Discreta
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Resultados Possveis (A/B) Probabilidades
Vende / No Vende 0,2
Vende / Vende 0,2
No Vende / Vende 0,3
No Vende / No Vende 0,3 Total 1
EXEMPLOS
Varivel Aleatria Discreta
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Varivel Aleatria Discreta
EXEMPLOS Um comerciante espera vender um automvel at sexta-feira. A expectativa de que venda na segunda-feira de 50%. Na tera-feira de 30%, na quarta-feira de 10%, na quinta-feira e na sexta-feira de 5%. Seu lucro de 3.000 u.m. se vender na segunda-feira diminui 40% a cada dia. Calcule o valor esperado de lucro deste negociante nesta venda.
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Varivel Aleatria Discreta
EXEMPLOS
A tabela a seguir apresenta dados relativos distribuio de sexo e alfabetizao em habitantes do RN com idade entre 20 e 24 anos.
Sexo Alfabetizado
Total Sim No
Masc. 39.577 8.672 48.249
Fem. 46.304 7.297 56.601
Total 85.881 15.969 101.850
Um jovem entre 20 e 24 anos escolhido ao acaso
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: 101.850 jovens com idade entre 20 e 24 anos
Definimos os eventos: M: jovem sorteado do sexo masculino
F: jovem sorteado do sexo feminino
S: jovem sorteado alfabetizado
N: jovem sorteado no alfabetizado
Varivel Aleatria Discreta
EXEMPLOS
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Temos:
0,157 101.850
15.969 = P(N) = 0,843
101.850
85.881 = P(S) =
0,526 101.850
56.601 = P(F) = 0,474
101.850
48.249 = P(M) =
Varivel Aleatria Discreta
EXEMPLOS
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Varivel Aleatria Discreta
EXEMPLOS
Qual a probabilidade do jovem escolhido ser alfabetizado e ser do sexo masculino?
Qual a probabilidade do jovem escolhido
ser alfabetizado ou ser do sexo masculino?
Qual a probabilidade do jovem escolhido ser alfabetizado sabendo-se que do sexo masculino?
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Varivel Aleatria Discreta
RESUMO
A funo que associa probabilidades aos possveis valores de uma V.A.D. X, chamada de funo de probabilidade discreta e representada por:
p(x) = P(X = x), x A
PROPRIEDADES
0 p(x) 1
p(x) = 1 x A
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VARIVEIS ALEATRIAS CONTNUAS
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Varivel Aleatria Contnua
DEFINIO
Uma varivel aleatria considerada contnua quando pode tomar qualquer valor de determinado intervalo
Variveis aleatrias contnuas tm um nmero infinito de valores possveis (Medio) Tempo gasto no deslocamento de uma pessoa desde a
sua residncia at seu local de trabalho Perda de peso experimentada por uma pessoa submetida
a uma dieta alimentar.
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Varivel Aleatria Contnua
PROPRIEDADES
Para V.A. contnua no faz sentido estabelecer um par entre xi e p(xi)
A probabilidade de ocorrer um xi especfico 0 (zero)
A distribuio de probabilidades denominada funo densidade de probabilidade (f.d.p.) que uma funo no negativa
A probabilidade de ocorrer valores entre a e b definida pela rea sob a curva entre os valores a e b.
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a b
f(X)
A probabilidade de qualquer valor individual zero
P(a X b)
Varivel Aleatria Contnua
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EXEMPLOS
Verifique que f(x) = x/8 pode ser a densidade de probabilidade de uma varivel aleatria definida sobre o intervalo de x = 0 x = 4
Varivel Aleatria Contnua
0,5
0,25
0 0 1 2 3 4
f(x)
x
A primeira regra atendida pois x/8 no-negativo (positivo ou nulo) para qualquer valor no intervalo de 0 a 4
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EXEMPLOS
Verifique que f(x) = x/8 pode ser a densidade de probabilidade de uma varivel aleatria definida sobre o intervalo de x = 0 x = 4
Varivel Aleatria Contnua
0,5
0,25
0 0 1 2 3 4
f(x)
x
A segunda regra tambm verificada pois a rea do tringulo pode ser calculada como (b x h) / 2 = (4 x ) / 2 = 1
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EXEMPLOS
Qual a probabilidade de uma varivel aleatria com essa densidade de probabilidade tomar um valor menor do que 2?
Varivel Aleatria Contnua
0,5
0,25
0 0 1 2 3 4
f(x)
x
A probabilidade dada pela rea do tringulo sombreado na figura abaixo que abrange os valores da v.a. menores do que 2 A rea ser (2 x )/2 = 1/4
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EXEMPLOS
Um jogo de azar realizado da seguinte forma: toma-se um crculo e divide-o em duas partes iguais, 1 e 2. Sobre o centro do crculo, fixado um ponteiro, o qual girado e anota-se o nmero do setor onde a ponta do ponteiro parou.
Varivel Aleatria Contnua
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EXEMPLOS
Varivel Aleatria Contnua
Construir a distribuio de probabilidades para o nmero obtido neste experimento
1 2
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EXEMPLOS
Varivel Aleatria Contnua
X = xi P (X = xi)
1 0,5
2 0,5 Total 1
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EXEMPLOS
Varivel Aleatria Contnua
0,50 0,50
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EXEMPLOS
Considerar a mesma situao, s que o crculo dividido em quatro partes iguais. Construir a distribuio de probabilidades para o nmero obtido neste experimento.
Varivel Aleatria Contnua
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EXEMPLOS
Varivel Aleatria Contnua
Construir a distribuio de probabilidades para o nmero obtido neste experimento
1 2
4 3
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EXEMPLOS
Varivel Aleatria Contnua
X = xi P (X = xi)
1 0,25
2 0,25
3 0,25
4 0,25 Total 1
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EXEMPLOS
Varivel Aleatria Contnua
0,25 0,25 0,25 0,25
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DVIDA Qual o nmero mximo de setores que se consegue
em um crculo
INFINITOS
Varivel Aleatria Contnua
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? DVIDA Como ficaria o histograma
Varivel Aleatria Contnua
1
1
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FUNO DENSIDADE DE PROBABILIDADE A funo densidade de probabilidade est
relacionada com a probabilidade da varivel aleatria contnua assumir algum resultado possvel.
Varivel Aleatria Contnua
VARIVEL ALEATRIA CONTNUA
f(x)
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Varivel Aleatria Contnua
CARACTERSTICAS O estudo de uma varivel aleatria contnua
anlogo ao das variveis discretas.
A distribuio de probabilidades indica, para uma varivel aleatria, quais so os resultados que podem ocorrer e qual a probabilidade de cada resultado acontecer.
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Varivel Aleatria Contnua
CARACTERSTICAS A rea sob a funo densidade 1.
VARIVEL ALEATRIA CONTNUA
f(x)
1 ou 100%
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Varivel Aleatria Contnua
CARACTERSTICAS A probabilidade da varivel aleatria assumir um
valor determinado zero, pois existem infinitos resultados possveis.
As probabilidades sempre se referem a intervalos de valores.
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Varivel Aleatria Contnua
CARACTERSTICAS
xi
f(x)
X
P (X = xi) = 0
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CARACTERSTICAS
A probabilidade da varivel aleatria assumir um valor em um intervalo igual rea sob a funo densidade naquele intervalo.
Varivel Aleatria Contnua
f(x)
X
P (a x b)
f (x) dx = F(b) F(a) a
b
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EXEMPLOS
Sobre o centro de um crculo, fixado um ponteiro, o qual girado e anota-se o ngulo formado pelo ponteiro com o eixo horizontal, como na figura a seguir.
Varivel Aleatria Contnua
Definir a f.d.p. para o ngulo () obtido neste experimento.
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EXEMPLOS
0o
f(x)
Varivel Aleatria Contnua
1
360o
1/360
X
Qual a probabilidade de se obter um ngulo entre 30o e 60o?
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EXEMPLOS
Varivel Aleatria Contnua
0o
f(x)
P(30o < X < 60o)
360o
1/360
X 30o 60
o
rea = 60 - 30 / 360 - 0 rea = 1 / 12 = 0,08333
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Obrigado