C. R. Acad. Sci. Paris, t. 331, Série I, p. 223–228, 2000Analyse fonctionnelle/Functional Analysis

E-théorie équivariante et groupoïdesRadu POPESCU

Institut Girard-Desargues, Upres A no 5028, Université Claude-Bernard–Lyon-1, bâtiment 101, 43,boulevard du 11-Novembre-1918, 69622 Villeurbanne cedex, FranceCourriel : popescu@desargues.univ-lyon1.fr

(Reçu le 20 mars 2000, accepté le 17 avril 2000)

Résumé. Nous définissons uneE-théorie équivariante par rapport aux actions des groupoïdes sur desC∗-algèbres et nous montrons l’existence d’une transformation naturelle de laKK-théorieéquivariante vers cetteE-théorie. On identifie alors les applications de Baum–Connesen KK et E-théorie. 2000 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicalesElsevier SAS

EquivariantE-theory and groupoids

Abstract. We define an equivariantE-theory forC∗-algebras acted upon by groupoids and we showthe existence of a natural transformation from equivariant KK-theory toE-theory. Thenwe identify the Baum–Connes assembly maps in KK andE-theory. 2000 Académie dessciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS

Abridged English version

LetA be aC(X)-algebra, then the asymptotic algebraAA= Cb(T,A)/C0(T,A) ofA, with T = [1,∞[ ,is not generally aC(X)-algebra. We defineAkXA as theC(X)-algebraC(X)AkA, for anyk > 0. LetA,Bbe twoC(X)-algebras; we callC(X)-asymptotic morphism aC(X)-morphismϕ : A→ AkXB, for somek. A homotopy relation is defined for anyk, and the constant inclusionB ↪→ AXB allows us to define theinductive limit of homotopy classes:

[[A,B]]X = lim−→

[[A,B]]Xk .

PROPOSITION 1. –For any pair ϕ : A → AjXB and ψ : B → AkXC of C(X)-morphisms, the

composition

Aϕ

AjXB

Aj(ψ)

Aj+kX C,

induces an associative composition[[A,B]]X × [[B,C]]X → [[A,C]]X .

Note présentée par Alain CONNES.

S0764-4442(00)01621-9/FLA 2000 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS. Tous droits réservés. 223

R. Popescu

The proof from [4] adapts to this case. We callC(X)-asym the category thus obtained. We checkthat for any continuous and exact functorF from C(X)-algebras toC(Y )-algebras there exists a mapiF : F (AkX ·)→AkY F (·) such thatF (·) = iF ◦ F (·) defines a functorF : C(X)-asym→C(Y )-asym.

LEMMA 1. –For any continuous mapp : Y → X , the functorp∗ : C(X)-alg→ C(Y )-alg defined byp∗A=A⊗C(X) C(Y ) is continuous and exact. Moreover, for anyC(X)-algebraB, theC(Y )-morphisminp : p∗AnXB→AnY p

∗B is injective.

Let G be a groupoid with unit spaceX ; we callG-algebra aC(X)-algebra equipped with a continuousaction ofG. If B is aG-algebra, this is seldom the case forAkXB even whenG is a group.

Definition 1. – AG-asymptotic morphism fromA toB is aC(X)-asymptotic morphismϕ :A→ AkXBsuch that the following diagram commutes:

s∗As∗ϕ

α

s∗(AkXB)is

AkG(s∗B)

AkGβ

r∗Ar∗ϕ

r∗(AkXB)ir

AkG(r∗B).

LEMMA 2. –An asymptotic morphism associated to an equivariant short exact sequence(see [2])ofG-algebras isG-equivariant.

Definition 2. – LetA andB be twoG-algebras. AC(X)-asymptotic morphismϕ : AkXA→ A`XB is G-equivariant if for anyG-algebraC and anyG-asymptotic morphismψ :C→ AkXA, the compositionϕ ◦ ψis aG-asymptotic morphism.

PROPOSITION 2. –For eachG-asymptotic morphismϕ : A→ AkXB, AXϕ : AXA→ Ak+1X B is a G-

asymptotic morphism also.

The composition of twoG-asymptotic morphisms defined by the same formula is now aG-asymptoticmorphism and the same construction from [4] works; we denote byG-asym the resulting category ofhomotopy classes ofG-asymptotic morphisms. We check that for each continuous and exact functorF : G-alg→H-alg there is an associated functorF : G-asym→H-asym.

For eachG-Hilbert moduleE we denote byL2(G,E) theG-Hilbert moduleL2(G) ⊗C(X) E with thediagonal action ofG. This construction has the property that for any two (non-equivariantly) isomorphicG-Hilbert modulesE1 andE2 there is aG-isomorphism betweenL2(G,E1) and L2(G,E2). Notation:H = L2(G)∞.

Definition 3. – For any twoG-algebrasA andB the equivariantE-theory is defined by

EG(A,B) =[[SA⊗C(X) K(H), SB ⊗C(X) K(H)

]]G.

EG(A,B) is an abelian group and the composition ofG-asymptotic morphisms gives an associativecompositionEG(A,B)×EG(B,C)→EG(A,C). For anyG-algebraD the functorsEG(·,D) andEG(D, ·)are half-exact and satisfy the Bott periodicity so there are six-exact sequences inE-theory associated to anyshort exact sequence ofG-algebras. The functoriality properties are summarized in the following:

THEOREM 1. – (i) There is a tensor product bifunctor

EG(A,B)⊗EG(C,D)→EG(A⊗C(X) C,B ⊗C(X) D).

(ii) Each generalized morphism of groupoidsϕ : G → H induces a natural transformationϕ∗ :EH→ EG .

224

E-théorie équivariante

(iii) There is a descent functorjG :EG(A,B)→E(Ao G,B o G).

PROPOSITION 3 (Universal property ofKKG ). – Let F be a covariant functor from theG-algebras toabelian groups which is homotopy invariant, stable(see [8])and split exact. Then for eachG-algebraA andeachd ∈ F (A) there is a unique natural transformationTA : KK G(A, ·)→ F (·) such thatTA(1A) = d.

THEOREM 2. –There is a unique natural transformationT : KK G → EG . This transformation iscompatible with compositions, with the tensor product bifunctors, with the natural transformations inducedfrom generalized morphisms of groupoids and with the applicationsjG .

One can define an assembly map inEG similar to that defined inKK G (see[9]).

COROLLARY 1. –The natural transformationT : KK G → EG identifies the assembly maps inKK GandEG theory. So, the formulations of the Baum–Connes conjectures inKK andE-theory are equivalent.

1. Morphismes asymptotiques équivariants

On noteraA le foncteur défini sur la catégorie desC∗-algèbres parAA= Cb(T,A)/C0(T,A), oùT =[1,∞[ . Un morphisme asymptotique deA versB est un∗-morphisme deA dans l’algèbre asymptotiqueAB. On désignera parC(X)-alg la catégorie desC(X)-algèbres (cf. [6]). SiA est uneC(X)-algèbre, alorsAA est uneC(X)-algèbre si et seulement siX est compact. En général, on noteraAkXA la C(X)-algèbreC(X)AkA, oùAk est la composition du foncteurA, k-fois avec lui-même.

Définition 1. – SoientA, B deux C(X)-algèbres. On appelleC(X)-morphisme asymptotique toutC(X)-morphismeϕ :A→AkXB, oùk est un entier> 0.

On définit l’homotopie de deuxC(X)-morphismesϕ0, ϕ1 : A→ AkXB par l’existence d’unC(X)-morphismeϕ : A→ AkXC([0,1],B) dont les évaluations en0 et 1 sont respectivementϕ0 et ϕ1. Onnote [[A,B]]Xk l’ensemble des classes d’homotopie deC(X)-morphismes deA dansAkXB. L’inclusionconstanteB ↪→ AXB induit des morphismes[[A,B]]Xk → [[A,B]]Xk+1 ; on note [[A,B]]X la limiteinductivelim

−→[[A,B]]Xk .

Comme dans [4] on a :

PROPOSITION 1. –La composition

Aϕ

AjXB

Aj(ψ)

Aj+kX C,

où ϕ : A→ AjXB et ψ : B → AkXC sont deuxC(X)-morphismes, induit une composition associative

[[A,B]]X× [[B,C]]X −→ [[A,C]]X . De plus, siA est uneC(X)-algèbre séparable, l’application naturelle

[[A,B]]X1 −→ lim−→

[[A,B]]Xk

est une bijection.

On noteraC(X)-asym la catégorie dont les objets sont desC(X)-algèbres et les flèches les ensembles[[A,B]]X . On dira qu’un foncteurF deC∗-algèbres est continu si pour touth ∈ F (C([0,1],B)) la fonctionh(t) = F (evaluation ent)(h) est continue. On a :

LEMME 1. –Soit F : C(X)-alg→ C(Y )-alg un foncteur continu et exact. Alors il existe unC(Y )-morphismeiF : F (AkX ·) → AkY F (·) tel que F (·) = iF ◦ F (·) soit un foncteurF : C(X)-asym→C(Y )-asymqui étendF aux catégories asymptotiques.

225

R. Popescu

SoientG un groupoïde localement compact etB uneC(X)-algèbre, oùX est l’espace des unités deG.On dira queB est uneG-algèbre s’il existe une action continue deG surB (cf. [3]). On prendra garde aufait que siB est uneG-algèbre alorsAkXB n’en est pas une en général, même lorsqueG est un groupe.

LEMME 2. –Pour toute application continuep : Y →X , le foncteurp∗ : C(X)-alg→C(Y )-alg définipar p∗A=A⊗C(X) C(Y ) est un foncteur continu et exact. De plus, pour touteC(X)-algèbreB, le C(Y )-morphismeinp : p∗AnXB −→ AnY p

∗B est injectif.

Définition 2. – On appelle morphisme asymptotique équivariant deA vers B (ou G-morphismeasymptotique) unC(X)-morphisme asymptotiqueϕ : A → AkXB tel que le diagramme suivant soitcommutatif :

s∗As∗ϕ

α

s∗(AkXB)is

AkG(s∗B)

AkGβ

r∗Ar∗ϕ

r∗(AkXB)ir

AkG(r∗B).

La proposition suivante fournit des exemples importants deG-morphismes asymptotiques.

PROPOSITION 2. –Soit 0 → I → B → A → 0 une suite exacte courteG-équivariante. Alors lemorphisme asymptotique associé∂ : SA→ AJ (cf. [2]) estG-équivariant.

Pour pouvoir définir la composition de classes d’homotopie desG-morphismes asymptotiques nousaurons besoin de la notion suivante :

Définition 3. – SoientA, B deux G-algèbres. On dira qu’unC(X)-morphisme asymptotiqueϕ :AkXA → A`XB est G-équivariant si pour touteG-algèbreC et tout G-morphismeψ : C → AkXA, lacompositionϕ ◦ ψ est unG-morphisme.

Avec cette définition on a :

PROPOSITION 3. –Soit ϕ : A → AkXB un G-morphisme. AlorsAXϕ : AXA → Ak+1X B est unG-

morphisme.

La composition des morphismes asymptotiques (cf. proposition 1) définit alors une composition desG-morphismes asymptotiques et les arguments de [4] montrent que les classes d’homotopie desG-morphismesasymptotiques définissent une catégorie que nous noteronsG-asym.

LEMME 3. –Tout foncteur continu et exactF : G-alg→H-alg s’étend en un foncteurF : G-asym→H-asym.

2. E-théorie équivariante

Soit G un groupoïde localement compact avec système de Haar. Pour toutG-module hilbertienE, onnoteraL2(G,E) le G-module hilbertienL2(G)⊗C(X) E muni de l’action diagonale deG.

LEMME 4 (cf. [7]). –SoientE1 et E2 deuxG-modules hilbertiens. Si les deuxC(X)-modulesE1 etE2 sont isomorphes(pas forcément de façon équivariante), alors il existe un isomorphisme équivariant deL2(G,E1) sur L2(G,E2).

On poseraH = L2(G)∞. Pour toutG-module dénombrablement engendréE il existe un isomorphismeéquivariant entreE ⊗C(X) H etH.

Définition 4. – SoientA etB deuxG-algèbres. On pose :

EG(A,B) =[[SA⊗C(X) K(H), SB ⊗C(X) K(H)

]]G.

226

E-théorie équivariante

L’ensembleEG(A,B) est un groupe abélien et la composition desG-morphismes asymptotiquesfournit un produit associatifEG(A,B)×EG(B,C)→EG(A,C). LaE-théorie équivariante est donc unecatégorie. En outre, les foncteursEG(·,D) et EG(D, ·) sont demi-exacts pour touteG-algèbreD ce quipermet d’associer à toute suite exacte courte deG-algèbre des suites cycliques enEG -théorie.

THÉORÈME 1. – (i) Il existe un bifoncteur produit tensoriel

EG(A,B)⊗EG(C,D)→EG(A⊗C(X) C,B ⊗C(X) D)

compatible avec le produit tensoriel desG-morphismes;(ii) Tout morphisme(généralisé) de groupoïdesϕ : G → H induit une transformation naturelleϕ∗ :

EH→EG ;(iii) Il existe un morphisme naturel de descentejG : EG(A,B)→ E(Ao G,B o G) ouoG désigne le

produit croisé(max) par l’action deG.

La démonstration de ces propriétés suit un schéma fonctoriel : on les démontre d’abord pour la catégorieC(X)-asym, ensuite pour la catégorieG-asym et enfin pourEG . À chaque fois, il faut vérifier l’exactitudedes foncteurs concernés.

3. La transformation naturelle KKG →EG

SoitK l’algèbre des opérateurs compacts. On dit qu’un foncteurF défini sur la catégorie desG-algèbresest stable si, pour touteG-algèbreA, unG-morphismeϕ :A→A⊗K, ϕ(a) = a⊗e, oùe est une projectionminimale deK, induit un isomorphismeF (A)' F (A⊗K). SoitAb la catégorie des groupes abéliens.

PROPOSITION 4 (Universalité deKKG ). – Soit F : G-alg→ Ab un foncteur covariant invariant parhomotopie, stable et scindé-exact. Alors pour touteG-algèbreA et tout élémentd ∈ F (A) il existe uneunique transformation naturelleTA : KKG(A, ·)→ F (·) telle queTA(1A) = d.

La démonstration s’appuie, comme dans le cas non équivariant (cf. [5]) ou dans celui de l’actiond’un groupe (cf. [8]), sur une description de laKK -théorie en termes de quasi-homomorphismes. Uneconséquence de la propriété d’universalité deKK G est :

THÉORÈME 2. – Il existe une unique transformation naturelleT : KK G →EG . Cette transformation estcompatible avec les compositions des catégoriesKK G et EG , avec les produits tensoriels(max), avecles transformations naturelles induites par les morphismes des groupoïdes et avec les morphismes dedescentejG .

On peut alors définir comme enKK -théorie, une application d’assemblageµE : EG(EG,A) −→E(C,Ao G), d’où une formulation de la conjecture de Baum–Connes enE-théorie.

Une conséquence du théorème précédent, d’une propriété d’universalité similaire pour laEG -théorie, etde l’exactitude de laKK G-théorie dans ce cas (cf. [9]) est :

COROLLAIRE 1. –La transformation naturelleT : KK G →EG identifie les applications d’assemblageen KKG et EG-théorie. Les formulations de la conjecture de Baum–Connes enKK et E-théorie sontéquivalentes.

Références bibliographiques

[1] Blanchard E., Déformations deC∗-algèbres de Hopf, Bull. Soc. Math. France 124 (1996) 141–215.[2] Connes A., Higson N., Déformations, morphismes asymptotiques etK-théorie bivariante, C. R. Acad. Sci. Paris,

Série I 311 (1990) 101–106.[3] Le Gall P.-Y., Théorie de Kasparov équivariante et groupoïdes. I,K-Theory 16 (1999) 361–390.

227

R. Popescu

[4] Guentner E., Higson N., Trout J, EquivariantE-theory forC∗-algebras, Mem. Amer. Math. Soc., to appear.[5] Higson N., A characterization ofKK -theory, Pacific J. Math. 126 (1987) 253–276.[6] Kasparov G., EquivariantKK -theory and the Novikov conjecture, Invent. Math. 91 (1988) 147–201.[7] Mingo J., Phillips W., Equivariant triviality theorems for HilbertC∗-modules, Proc. Amer. Math. Soc. 91 (1984)

225–230.[8] Thomsen K., The universal property of equivariantKK -theory, J. Reine Angew. Math. 504 (1998) 55–71.[9] Tu J.-T., La conjecture de Baum–Connes pour les feuilletages moyennables,K-Theory 17 (1999) 215–264.

228