1. 각도의 측정 (각도법, 호도법)

2. 삼각함수의 정의

3. 삼각함수의 그래프

4. 삼각함수의 성질 (여러가지 항등식)

삼각함수 (trigonometric functions)

(“Unit circle pizza” from mathcomics)

•각도법 (60분법)원주를 360등분하여 각을 나타내는 방식 (한조각이 1°)

각도의 측정

“각도법은 원주를 임의의 갯수로 나눈 방법이다”

60 조각

60° (도)

•호도법호의 길이를 이용하여 각도를 재는 방법

각도의 측정

“원은 (반)지름과 둘레가 항상 일정한 비율을 가지고 있다” 는 기하학적 특성을 이용한 방법(출처: wikidocs 공돌이의 수학정리노트https://wikidocs.net/4094 )

r

s

θ = s/r [단위는 무차원이나

라디안 (radian, rad) 으로 표시]

•호도법호의 길이를 이용하여 각도를 재는 방법

각도의 측정

“원은 (반)지름과 둘레가 항상 일정한 비율을 가지고 있다” 는 기하학적 특성을 이용한 방법(출처: wikidocs 공돌이의 수학정리노트https://wikidocs.net/4094 )

r

s = r

θ = s/r [단위는 무차원이나

라디안 (radian, rad) 으로 표시]

•호도법호의 길이를 이용하여 각도를 재는 방법

각도의 측정

r = 1

s

θ

•호도법호의 길이를 이용하여 각도를 재는 방법

•360° = 2π

각도의 측정

r = 1

s = 3.14159… = π

θ = π

삼각함수

c

A

B Ca

b

θ

sin θ = b/c

cos θ = a/c

tan θ = b/a

•직각삼각형을 이용한 정의 (삼각형 변들의 비율 - 삼각비)

삼각함수

c

A

B Ca

b

θ

sin θ = b/c

cos θ = a/c

tan θ = b/a

c t

s•직각삼각형을 이용한 정의 (삼각형 변들의 비율 - 삼각비)

삼각함수

•직각삼각형을 이용한 정의 (삼각형 변들의 비율 - 삼각비)

c

A

B Ca

b

θ

sin θ = b/c

cos θ = a/c

tan θ = b/a

c t

s

cosec θ = 1/sin θ

sec θ = 1/cos θ

cotan θ = 1/tan θ

삼각함수

sin θ = y/r

cos θ = x/r

tan θ = y/x

•일반각 (혹은 2차원 그래프)을 이용한 정의 - 개념의 확장

θx

yx축

y축

rP (x,y)

삼각함수

•일반각 (혹은 2차원 그래프)을 이용한 정의 - 개념의 확장

θx

y

x축

y축

r

P (x,y)

•x 가 음수 (x<0)임을 유의하자! sin θ > 0cos θ < 0 tan θ < 0

sin θ = y/r

cos θ = x/r

tan θ = y/x

삼각함수의 값

•외우기 쉬운 특정값

21

30° (π/6)

sin (π/6) = 1/2

cos (π/6) = /2

tan (π/6) = 1/

3

3

360°

(π/3)sin (π/3) = /2

cos (π/3) = 1/2

tan (π/3) =

3

3

삼각함수의 값

•외우기 쉬운 특정값

1

1

45° (π/4)

sin (π/4) = 1/

cos (π/4) = 1/

tan (π/4) = 1

2

2

2

삼각함수의 그래프

• y = sin(x) x sin(x)0 0

π / 6 1 / 2π / 4 2 / 2π / 3 3 / 2π / 2 12π / 3 3 / 23π / 4 2 / 25π / 6 1 / 2π 0

-2 p -p p 2 px

-1.0

-0.5

0.5

1.0

y

Hx from -6.6 to 6.6L

Computed by Wolfram»Alpha! !

삼각함수의 그래프

• y = cos(x) x cos(x)0

π / 6π / 4π / 3π / 22π / 33π / 45π / 6π

Exercise!

-2 p -p p 2 px

-1.0

-0.5

0.5

1.0

y

Hx from -6.6 to 6.6L

Computed by Wolfram»Alpha

삼각함수의 그래프

• y = tan(x) x tan(x)−π / 2−2π / 3−π / 4−π / 30

π / 3π / 42π / 3π / 2

Exercise!

-p - p2

p2

px

-6

-4

-2

2

4

6

y

Hx from -3.3 to 3.3L

Computed by Wolfram»Alpha

π2

−π2

•정의에 의해tan θ = sin θ / cos θ

•피타고라스의 정리를 활용하면sin2 θ + cos2 θ = 1

•2π 는 원주 한 바퀴의 각도이므로, 2π 를 주기로 반복sin ( θ+2π ) = sin θcos ( θ+2π ) = cos θ tan ( θ+2π ) = tan θ [ tan (θ+π) = tan θ ]

삼각함수의 성질 (항등식)

•일반각을 생각해보면,sin ( -θ ) = -sin θ cos ( -θ ) = cos θtan ( -θ ) = -tan θ

•역시 일반각으로,sin ( θ+π ) = -sin θ cos ( θ+π ) = -cos θ tan ( θ+π ) = tan θ

삼각함수의 성질 (항등식)

θy

x축

y축

r=1P (x,y)

-θx

-y

1

•일반각을 생각해보면,sin ( -θ ) = -sin θ cos ( -θ ) = cos θtan ( -θ ) = -tan θ

•역시 일반각으로,sin ( θ+π ) = -sin θ cos ( θ+π ) = -cos θ tan ( θ+π ) = tan θ

삼각함수의 성질 (항등식)

θy

x축

y축

P (x,y)

x-x-y

θ+π

1

•또 일반각으로,sin ( θ+π/2 ) = cos θ cos ( θ+π/2 ) = -sin θ tan ( θ+π/2 ) = -1/tan θ = -cot θ

삼각함수의 성질 (항등식)

θy

x축

y축

P (x,y)

x

θ+π/2

1

x

-y

•두 각의 합 (덧셈 정리) sin ( α+β ) = sin (α) cos (β) + cos (α) sin (β) cos ( α+β ) = cos (α) cos (β) - sin (α) sin (β)

삼각함수의 성질 (항등식)

•두 각의 합 (덧셈 정리) sin ( α+β ) = sin (α) cos (β) + cos (α) sin (β) cos ( α+β ) = cos (α) cos (β) - sin (α) sin (β)

삼각함수의 성질 (항등식)

α x축

y축

1

β

α

B AO

P

D C

•두 각의 합 (덧셈 정리) sin ( α+β ) = sin (α) cos (β) + cos (α) sin (β) cos ( α+β ) = cos (α) cos (β) - sin (α) sin (β)

•증명 sin ( α+β ) = AC + DP = OC sin (α) + CP cos (α) = cos (β) sin (α) + sin (β) cos (α) cos ( α+β ) = OA - CD = OC cos (α) - CP sin (α) = cos (β) cos (α) - sin (β) sin (α)

삼각함수의 성질 (항등식)

α x축

y축

1

β

α

B AO

P

D C

덧셈 정리 (참고자료 1)

x축

y축

1

β

O

P2 (x,y)

α

P1 (x,y)M

cos(α +β )sin(α +β )

!

"##

$

%&&=

cosβ −sinβsinβ cosβ

!

"##

$

%&&cosαsinα

!

"#

$

%&

•회전 행렬을 활용cos ( α+β ) = cos (α) cos (β) - sin (α) sin (β) sin ( α+β ) = sin (α) cos (β) + cos (α) sin (β)

회전행렬 M 좌표벡터 P1

•Euler (오일러) 공식을 활용

ei(α+β) = cos (α+β) + i sin (α+β) ei(α+β) = (cos α + i sin α) × (cos β + i sin β) = cos (α) cos (β) - sin (α) sin (β) + i [ sin (α) cos (β) + cos (α) sin (β) ]

실수부와 허수부를 각각 비교,cos ( α+β ) = cos (α) cos (β) - sin (α) sin (β) sin ( α+β ) = sin (α) cos (β) + cos (α) sin (β)

덧셈 정리 (참고자료 2)

eiθ = cosθ + isinθ i ≡ −1

cos (α+β) sin (α+β)

이후의 것들은 모두 덧셈정리에서 파생된다 (첨부자료 참조)

•배각 공식

•반각 공식

•곱을 합과 차로 나타내는 공식

•합과 차를 곱으로 나타내는 공식

삼각함수의 성질 (항등식)

•f(x) = f(x+p) 인 경우, f(x) 의 값은, x 값 p 마다 반복되며이를 “함수의 주기”라고 한다.

•sin (x), cos (x) 의 주기는 2π; tan (x) 의 주기는 π

•sin (ax+b) 의 주기는?

삼각함수의 주기

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-3

-2

-1

1

2

3

sin x

sin (2x) + 2

sin (πx) - 2

1. 다음 삼각함수의 값을 구하시오 a) sin (-π/6)b) sin ( π/6)c) cos ( 4π/6)c) sin (23π/6)

2. 다음 함수의 그래프를 그리시오 (충분한 점을 찍어 유추할 것)a) cos (x)b) sin (x + π/2)

3. 다음의 값을 삼각함수의 덧셈정리를 이용하여 구하시오a) sin (π/6+π/4)b) cos (π/6-π/4)c) sin (x+Δx) - sin(x)

4. cos ( α+β ) = cos (α) cos (β) - sin (α) sin (β) 임을 증명하시오.

연습문제