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Eletricidade Aplicada
Aulas Teóricas
Professor: Jorge Andrés Cormane Angarita
Circuitos em CA
Números Complexos
Introdução
Um número complexo z é definido como a soma de um número real e um número imaginário, da forma z=x+jy, onde x e y são número reais e j=-1.
Os números complexos podem ser escritos de quatro formas diferentes
Retangular z = x + jy
Polar z = r
Exponencial z = rej
Trigonométrica z = r(cos + jsin)
3
Introdução
Os números complexos podem ser representados graficamente como
Pontos em um sistema de coordenadas retangulares, conhecido como plano complexo, que possui um eixo real e outro imaginário.
Segmentos de reta, que ligam a origem do plano complexo ao o ponto que representa o número complexo. O ângulo do segmento de reta, é medido no sentido anti-horário a partir do semieixo real positivo.
4
22 yxr
0,0tan2
0,0tan
0,0tan
0,0tan
1
1
1
1
yx
yx
yx
yx
x
y
x
y
x
y
x
y
zx Re
zy Im
Operações
Soma e subtração, é feita na representação retangular.
Multiplicação e Divisão, pode ser feita na representação retangular.
5
2121221121 yyjxxjyxjyxzz
222111 jyxzjyxz
21212121221121 yyxxjyyxxjyxjyxzz
2
2
2
2
21212121
22
22
22
11
22
11
2
1
yx
yxxyjyyxx
jyx
jyx
jyx
jyx
jyx
jyx
z
z
222111 jyxzjyxz
Operações
Multiplicação e Divisão, pode ser feita na representação polar.
Conjugado
6
222111 rzrz
2121221121 rrrrzz
21
2
1
22
11
2
1
r
r
r
r
z
z
rjyxz*
Operações
Relações úteis
7
j
ee
ee
zzzz
zzzz
zjzz
zzz
rzz
jj
jj
2sin
2cos
Im2
Re2
*
2
*
1
*
21
*
2
*
1
*
21
*
*
2*
901
901
18011
011
j
j
nn jj
jjjj
jjj
jjjj
j
jj
4
45
224
23
2
1
1
1
8
Exercício A11_01 – Considere o numero complexo Z representado pelas formas retangular, polar e exponencial, conforme abaixo. Mostre que Exercício A11_02 – Apresente as condições necessárias e suficientes para que o número z C, com (x2+jy2)0, seja (a) real puro e (b) imaginário puro.
jzezjyx z
sincos
tan 122
zyezxb
eyxax
y
z
22
11
jyx
jyxz
9
Exercício A11_03 – Considerando os números complexos interprete geometricamente as operações: (a) Z1 + Z2 e (b) Z1 – Z2. Exercício A11_04 – Mostre que para toda matriz 2x2 não singular, tem-se: Exercício A11_05 – Determine os valores de x e y na equação Exercício A11_06 – Determine os valores de r e θ na equação
222111 zez zz
ac
bd
bcaddc
ba 11
42015 j
ejyx
2553 jjr
10
Exercício A11_07 – Resolva as operações Exercício A11_08 – Resolva os sistemas lineares
6
3
1043
403510
5342
435040
205040
*
j
j
ejj
jc
jj
jb
ea
1
1
15
32610
453016
1043020
32208467
80603016075240
j
jjf
e
j
jd
jx
x
x
jj
j
jj
b
e
x
x
j
jja
j
1
0
902
11
015
3201
015
32610
3
2
1
2
12