ec dif orden 1 parte 4

Arte y Diseño: César Saal R. 1

Parte 4


Experimentalmente se ha probado que cuando se desa-

loja liquido de un tanque, a través de un orificio de se-

cción recta (área) de a unidades cuadradas, que esta h uni-

dades debajo del nivel del liquido, la perdida de volumen

por unidad de tiempo (volumen desalojado), viene dada por:

dV Ca 2gh dt , donde C es una constante que depende

del tamaño y forma del recipiente y orificio.


Por lo general se elige C = 0,6 lo cual es valido para

pequeñas corrientes continuas de un liquido.

Área A

t = 0: recipiente lleno

En un t En un dt la altura cambia dh

h

Al cabo de un tiempo t la altura del liquido es h, en un dt

el nivel disminuye dh, luego el volumen disminuido en elrecipiente es dV = - Adh

Volumen desalojado dV Ca 2gh dt

Ahora veamos el volumen que disminuye el recipiente


volumen disminuido en el recipiente, es decir:

Volumen disminuido en el recipiente en un dt de tiempo

= -Volumen desalojadoen un dt de tiempo

Pero el volumen desalojado o descendido es igual

Se calcula con

dt2gh0,6adV =

Se calcula con

dV = - A dhÁrea de la base

Área del orificio


Aplicaciones

Calcular el tiempo en el cual un tanque de 2metros1.

de diámetro y 3 metros de altura , desagua su conte-

nido a través de un agujero de 8cm. de diámetro, estan-

do el agujero situado en el fondo.


Solución

dh

En un dth

3

Instante t

El recipienteesta lleno

2

Aplicamos



Adh 0,6a 2gh dt

Área A

Arte y Diseño: César Saal R.9

Luego 2 2 1/2(2 / 2) dh 0,6[ (0,04) ] 2gh dt

Adh 0,6a 2gh dt

Resolviendo 32t 2g3125

3h 2

Para h = 0, se tiene: 2g3

36250t 13,58min.814,65seg


Un embudo en cuya salida se tiene un ángulo de 60º

y un área de la sección recta de 0,5 cm2, contiene agua.

En el instante t = 0 se abre la salida y el agua fluye

2.

hacia fuera. Determinar el tiempo en que se vaciará

el embudo, suponiendo que la altura inicial del nivel de

agua es h(0) = 10 cm.


60º h

dhInstante t

En un dt

El embudoesta lleno

Área A


Sabemos que:

Solución



Cálculo del área A : A = r2

r

300

Se tiene:h

r = h.tan 300= 3h

A = h2 / 3

Reemplazando en: Adh 0,6a 2gh dt

3/2h dh 0,9 2g dt 5/22 h 0,9 2g t c

5

Rp.: t 10s

A


Un tanque hemisférico se encuentra lleno de agua,3.

teniendo un radio máximo de 4 pies. En ese momento

se abre un agujero circular de 1 pulgada de diámetro

en el fondo del tanque, ¿ cuanto tiempo tarda en

vaciarse por completo?

Nota. Téngase presente que 1 pie = 12 pulgadas


Sabemos que:

Solución



Rp.: t 21450sr

R

Área Ah

R - h


Una esfera con radio R esta llena de agua. Se hacen4.

agujeros de área “a” en sus puntos mas alto y mas bajo

para que entre aire y salga agua. Determinar los valores

correspondientes al tiempo (en segundos) para que sal-

ga la mitad y la totalidad del agua.


Sabemos que:

Solución



Área A

h

Calculo del área A: De la figura:

AH.HB = DH.HE, luego:

r.r = (2R-h), con lo cual:

A(h) = r2 = (2Rh-h2)

D

B

A

EH


Un tanque rectangular con área de base B2 y altura5.

H tiene dos agujeros de área A, uno ubicado en el fondo

y el otro en una cara lateral a mitad de la altura H si el

tanque esta inicialmente lleno de agua, ¿durante cuanto

tiempo saldrá agua por el agujero lateral?


Sabemos que:

Solución



Área A

Al cabo de un tiempo t se tiene:

H h

h-H/2

H/2

2B dh 0,6A[ 2gh + 2g(h - H / 2) ]dt

22 2 2 B HRp : t .3 cA g


Dada una familia uniparametrica de curvas F(x, y, c) = 0,

nuestro problema consiste en encontrar otra familia

uniparametrica de curvas G(x, y, k) = 0 de modo que

Corten a las anteriores bajo un ángulo constante dado .

A tal familia buscada G(x, y, k) = 0, se les llama trayectorias

isogonales


Si en particular = /2, entonces las trayectorias toman

el nombre de trayectorias ortogonales.

Familia dada F(x, y, c) = 0

Familia buscada G(x, y, k) = 0


Problema general. Determinar las trayectorias G(x, y, k) = 0

que cortan a la familia de curvas F(x, y, c) = 0, bajo

un ángulo dadoSolución

b) Se demuestra que la ecuación diferencial correspondiente

a la familia buscada viene dada por:

Proceso a seguir:

a) Encontrar la ecuación diferencial correspondiente a la

familia de curvas F(x, y, c) = 0.

Supongamos que y = f(x, y) sea tal ecuación.


P(x, y)

F(x, y, c) = 0

G(x, y, k) = 0

Tenemos que = + tan tantan tan( ) ...(1)

1 tan tan

tan f(x,y)y1 (tan ) f(x,y)

Pero y(buscada) = mT = tan

Además tan = y(dada) = f(x, y),

luego reemplazando en (1):

Resolviendo tal ecuación encontramos la familia de curvas

buscada G(x, y, k) = 0 (Trayectorias isogonales)


Caso particular. Cuando el ángulo entre las curvas es = /2,

decimos que las trayectorias son ortogonales

La ecuación diferencial de la familia buscada queda:tan f(x,y)

tan f(x,y) 1tany1 (tan )f(x,y)1 (tan )f(x,y) f(x,y)

tan

1yf(x,y)

Resolviendo tal ecuación encontramos las trayectorias ortogonales

Observación. Esta ecuación de manera practica, se obtiene

a partir de y = f(x, y), reemplazando y por -1/y


Importancia

Este proceso de las trayectorias ortogonales se presenta

en muchas aplicaciones de ingeniería:Los meridianos en la superficie terrestre son las trayecto-

rias ortogonales de los paralelos; las curvas equipoten-

ciales son ortogonales a las curvas de fuerza eléctrica, etc.


Aplicaciones

6. Determinar las trayectorias isogonales a la familia

de curvas , sabiendo que el ángulo formado

con ellas es 60º.

2x 2p(y x 3)

Rpta: 2 23xy (x y ) c2


7. Determinar las trayectorias isogonales de la familia

de parábolas y2 = 4px, sabiendo que el ángulo formado

con ellas es 45º.

Rpta: 2 2 6 x 2yln(2x xy y ) arctan c7 x 7


8. Encontrar la ecuación de familia de curvas, que

intercepta perpendicularmente a la familia de curvas

dadas por la ecuación x2+ y2 + 2cy –1 = 0


9. Encontrar las curvas equipotenciales a las curvas

de fuerza eléctrica provenientes de dos fuentes con

cargas opuestas, que están ubicadas en (-1, 0) y

(1, 0) respectivamente, sabiendo que estas ultimas

curvas son circunferencias con centro en (0, c)

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