2006/11/20 機械力学Ⅰ 1

講義内容(11/20)5.3 (２自由度)不減衰系の強制振動

5.3.1 物理座標系での解法

5.3.2 モード座標系での解法

5.4 粘性減衰系の強制振動

コラム9 マクスウェルの相反定理

10 うなり

11 ２自由度減衰振動系のモード座標による応答計算

演習 7.1トピックス 「制振装置の例」

「五重の塔はなぜ倒れないか」

2006/11/20 機械力学Ⅰ 2

前回までの復習

配布資料

「２自由度系の振動まとめ」

2006/11/20 機械力学Ⅰ 3

5.3 不減衰系の強制振動

２自由度不減衰系の強制振動

tF ωcos

k3

k2

m1

m2

x1

x2

k1 ( )( )

=++−=−++

0cos

2321222

2212111

xkkxkxmtFxkxkkxm

&&

&& ω

=

+−−+

+

0

cos0

0

2

1

322

221

2

1

2

1 tFxx

kkkkkk

xx

mm ω

&&

&&

運動方程式

行列表示

特解

{ } tXtXX

xx

ωω coscos2

1

2

1 =

=

2006/11/20 機械力学Ⅰ 4

[ ]{ } [ ]{ } { } { }

[ ] [ ]( ){ } { }{ } [ ] [ ]( ) { }FKMX

FXKM

FFFXKXM

′+−=

′=+−

=′′=+−

−12

2

2

0,

ω

ω

ω

運動方程式に代入し、特解を求める

( )

( )( )( )( ) ( ) ( ) 0

10

2122

221

221

22

2232

2121

2

2232

1

22322

22

121

2

1

=∆=∆−−=

−−+−+=∆

−+

∆=

−+−−−+

=

−

ωωωωωω

ωω

ωω

ω

Qmmkmkkmkk

FkmkkFF

mkkkkmkk

XX

成分表示

( )( )( )

−

−−=

2

2222

22

221

2212

1

km

mmF

XX n ωω

ωωωω 2

322 m

kkn

+=ω

m1を固定したときのm2の固有角振動数

( )221

22 0

ωωωω

<<⇒<−=∆

n

n k

2006/11/20 機械力学Ⅰ 5

一般解(＝基本解＋特解)

( )( )( )

)cos(1

)cos(1

cos

222

12111

11

2

2222

22

221

2212

1

φωλ

φωλ

ωωωωωωω

+

++

+

−

−−=

tXtX

tk

mmm

Fxx n

2006/11/20 機械力学Ⅰ 6

ω0ω2ω1

ωn2

A1

(a)　m1の応答

ω0ω2ω1

A2

(b)　m2の応答

図4.8　２自由度不減衰系の応答曲線

( )133221

32

kkkkkkkkF++

+133221

2

kkkkkkFk

++

振幅応答曲線(特解部分)

( )

( )( )( )( ) ( ) ( ) 0

10

2122

221

221

22

2232

2121

2

2232

1

22322

22

121

2

1

=∆=∆−−=

−−+−+=∆

−+

∆=

−+−−−+

=

−

ωωωωωω

ωω

ωω

ω

Qmmkmkkmkk

FkmkkFF

mkkkkmkk

XX

特解の応答曲線

m1は静止(反共振点)

-F/k2

2

322 m

kkn

+=ω

2006/11/20 機械力学Ⅰ 7

図4.9　反共振の発生条件

（固定）

自由振動0)0(2 =x&0)0(2 >x

0)0(1 =x0)0(1 =x&

01 =x

221 xkf −=

初期状態 振動状態

k3

k2

m1

m2

k1

k3

k2

m1

m2

k1

2

322 m

kkn

+=ω

角振動数ωn2の外力が作用する系に固有角振動数ωn2なる別の１自由度を付加することで防振効果． ⇒ 動吸振器

2006/11/20 機械力学Ⅰ 8

実演

Interactive PhysicsMSC. Software Corp.

http://www.interactivephysics.com

2006/11/20 機械力学Ⅰ 9

例題

mmmkkkk ===== 21321 ,

mk

mk

mk

mk

mmk

mkk

mkk

mkk

mkk

3,2421

421,

21

22

2

2

32

1

21

2

32

1

2122

21

=

=

+

+−

+

++

+=

m

mωω

mk

mk 3,, 21 =ωω

1

1

22223

2

2

22121

12

222

21223

2

2

21121

11

211

−=−+

=−+

==

=−+

=−+

==

ωωλ

ωωλ

mkkk

kmkk

XX

mkkk

kmkk

XX

固有角振動数

固有モード

1次 2次

1

1

1

-1

2006/11/20 機械力学Ⅰ 10

5.4 粘性減衰系の強制振動

k3

k2

m1

m2

c3

c2

x1

x2

k1 c1

tF ωcos

図4.10　粘性減衰の強制振動

運動方程式

( ) ( )( ) ( )

=++−++−=−++−++

0cos

232122321222

221212212111

xkkxkxccxcxmtFxkxkkxcxccxm

&&&&

&&&& ω

行列表示

[ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } { }FxKxCxM

tF

xx

kkkkkk

xx

cccccc

xx

mm

=++

=

+−−+

+

+−−+

+

&&&

&

&

&&

&&

ωcos0

00

2

1

322

221

2

1

322

221

2

1

2

1

2006/11/20 機械力学Ⅰ 11

複素数を用いた特解の求め方

{ } { } [ ]( )iitj zxeZz Re== ω

[ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } { }FZKZCjZM =++−⇒ ωω2

{ } [ ] [ ] [ ]( ) { }FKCjMZ 12 −++−=⇒ ωω

2006/11/20 機械力学Ⅰ 12

例題(動吸振器；dynamic dumper)

図4.11　動的吸振器

tF ωcos

k3

k2

m1

m2

c2

x1

x2

運動方程式

=

+−−

+

−

−+

tFxx

kkkkk

xx

cccc

xx

mm

ωcos0

00

2

1

322

22

2

1

22

22

2

1

2

1

&

&

&&

&&

本体

吸振器

2006/11/20 機械力学Ⅰ 13

{ } [ ] [ ] [ ]( ) { }

{ }

1

21

1

211

2

12

2312

11111

1111

210001

10

mk

Fj

FKCjMZ

kkmm

n

nn

=

′

−

−+

−

−⋅+

−=

′++−=⇒

==

−

−

ω

ωζωωω

ωω

{ } { }Fjjjj

Z

n

′

++−−−++−

=⇒

=−1

2

2

1

1122212

1

ζωωζωζωζωω

ω

吸振器の固有角振動数(=本体単独の固有角振動数)

ωによる変化を調べる

本体の1/10の質量、剛性を持つ振動系を付加

2006/11/20 機械力学Ⅰ 14

図4.12　2自由度減衰系の応答曲線

0.6 1 1.40

5

10ζ=

1nωω

stXX 2

•ζを適当に設定(この場合0.2程度)することにより共振を抑えるこ

とができる。⇒ 動吸振器(dynamic dumper)

•高層ビルの制振装置などにも利用

m1,m2が別々に動く場合

の共振点

反共振点

m1,m2が一体で動く場合

の共振点

2006/11/20 機械力学Ⅰ 15

建物諸元：

高さ 296m地上重量 260,610ton１次固有周期 5.4sec.１次減衰定数 1%

制振装置基本諸元：

設置基数 2基寸法 D9×W9×H4.9m振動体重量 170ton最大振幅 170cm制御力 15ton

制振装置の例

効果：

建物加速度36%(風速30/mの時)

３重振子TADTuned Active

Dumper

2006/11/20 機械力学Ⅰ 16

五重塔はなぜ倒れないか?

参考資料 上田 篤編「五重塔はなぜ倒れないか」（新潮社）

「積み上げ構造」と呼ばれる「柔構造｣超高層建築にも利用されている。

2006/11/20 機械力学Ⅰ 17

2006/11/20 機械力学Ⅰ 18

振動台実験@防災科学技術研究所

•縮尺5分の1．

•阪神大震災･新潟県中越地震の波形データを利用．

•5％以上の高減衰性能．

•塔の最上部の相輪がパッシブ制震効果．

2006/11/20 機械力学Ⅰ 19

この真偽を科学的に解明するために、独立行政法人防災科学技術研究所とNPO法人「木の建築フォラム」は、五重塔の模型（縮尺5分の1）を使った振動台実験を2004年11月22日から12月24日に

かけて実施した。その模様を動画でお伝えする（映像提供：防災科学技術研究所）。五重塔の振動台実験としては国内最大だ。

試験体は、宮大工の宮崎忠仍氏が法隆寺の五重塔を基に作成したもので、同研究所が宮崎氏から借りて使用した。高さは約6.7m、重さは約2t。米ヒバ製だ。実験費用は約800万円。

地震波は、1995年の阪神大震災の波形（神戸海洋気象台での観測波）、2004年の新潟県中越地

震の波形（気象庁小千谷での観測波）などを振幅と時間を縮めて使った。

で、実験結果はどうだったのか。同研究所の箕輪親宏総括主任研究員は「五重塔は、5％以上の

高減衰性能を持つ建物であることがわかった。塔の最上部に取り付く金属製の相輪が大きく揺れることでパッシブ制震の効果を生み出していると考えられる。地震の波形によっては五重塔が蛇のように動くこともわかった」と説明している。

2006/11/20 機械力学Ⅰ 20

{ } [ ]{ } { } [ ]{ } { }{ } [ ] { } { } [ ] { } { }

=+−

=+−⇒

0

0)1()2()1()2(2

2

)1()2()1()2(21

XKXXMX

XKXXMXtttt

tt

ω

ω

5.3.1 モード座標系での解法固有モードベクトルの直交性

[ ]{ } [ ]{ } { }[ ]{ } [ ]{ } { }

=+−

=+−

0

0)2()2(2

2

)1()1(21

XKXMXKXM

ω

ω { }{ }t

t

X

X)1(

)2(

×

×

{ } [ ]{ } { } [ ]{ } { }{ } [ ]{ } { } [ ]{ } { }

=+−

=+−⇒

0

0)2()1()2()1(2

2

)1()2()1()2(21

XKXXMX

XKXXMXtt

tt

ω

ω

転置

2006/11/20 機械力学Ⅰ 21

( ){ } [ ]{ } ( ){ } [ ]{ }{ } [ ]{ } 0

0

0

)1()2(

)1()2(

22

21

)1()2(22

21

=⇒

=⇒

≠=−

XKX

XMX

XMX

t

t

tωωωω

２式を差し引き

固有モードベクトルは(質量行列／剛性行列を介して)直交.

( )( ) ( ){ } ( ){ })2(

2)1(

12

1 XtXttxtx

ξξ +=

⇒

任意の応答が固有モードベクトルの線形和で表現できる.

2006/11/20 機械力学Ⅰ 22

運動方程式に代入

[ ] { } { }( ) [ ] { } { }( ) { } tFXXKXXM ωξξξξ cos)2(2

)1(1

)2(2

)1(1 ′=+++ &&&&

{ }tX )1(×

{ } [ ]{ } { } [ ]{ } { }{ } tFXXKXXMX ttt ωξξ cos)1()1()1(1

)1()1(1 ′=+&&

1m 1k 1f

( )( )

==+

==+

tftfkmtftfkm

222222

111111

cos

cos

ωξξ

ωξξ&&

&&モード(正規)座標系表示

⇒ １自由度系運動方程式をｎ回解けばｎ自由度系の応答が計算できる！

[ ] [ ]

=

⇔

=

−

2

11)2()1(

2

1

2

1)2()1(

2

1

xx

XXXXxx

ξξ

ξξ

直交座標系とモード座標系の座標変換

スカラー

2006/11/20 機械力学Ⅰ 23

コラム11 粘性減衰系の場合

[ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } { }fxKxCxM =++ &&&

運動方程式

３項あるため固有モードベクトルの直交性が成り立たない．

[ ]{ } [ ]{ } { }0=− xMxM &&

[ ] [ ][ ] [ ]

[ ] [ ][ ] [ ]

=

−

+

00

00

fxx

MK

xx

MMC

&&&

&

[ ]{ } [ ]{ } { }fyByA ′=+&

[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] { } { }

=′

=

−

=

=

0,,

00

,0

ff

xx

yM

KB

MMC

A&

を追加．

2006/11/20 機械力学Ⅰ 24

{ } [ ]Xex tλ=

{ } { }{ } { }YeX

Xey tt λλ

λ=

=⇒

基本解

[ ]{ } [ ]{ } { } [ ]{ } [ ]{ } { }00 =+⇒=+ YBYAyByA λ& 一般化固有値問題

固有モードベクトルは直交

{ } [ ]{ } { } [ ]{ } 0,0 )()()()( == jtijti YBYYAY

( ){ } ( ){ } 04

1

)( ==∑=r

rr Ytty ξ

任意の応答は固有モードベクトルの線形和で表される．

{ } [ ]{ } { } [ ]{ } { }{ }rtr

rrtr

rrtr

rrrrrr fYfYBYbYAYafba ′=′==′=+ )()()()()( ,,,ξξ&運動方程式に代入

モード座標系での運動方程式

2006/11/20 機械力学Ⅰ 25

コラム9 Maxwellの相反定理(1)

=

2

1

2221

1211

2

1

ff

aaaa

xx

F1x1

x2

21110 11110 1111 2

1111 FadfafdxfWFX

=== ∫∫

X21

X11

F1

W11

X21

X11

F1

F2

X22

X12

W11 +W12

22222112

0 22220 2121

221112

21

22

22

21

12

11

FaFFa

dfafdfaF

dxfdxfWFF

X

X

X

X

+=

+=

+=

∫∫

∫∫

歪みエネルギー

影響係数行列(=[K]-1)

2006/11/20 機械力学Ⅰ 26

Maxwellの相反定理(2)

=

2

1

2221

1211

2

1

ff

aaaa

xx

F2

x1

x2

22220 22220 2221 2

1221 FadfafdxfWFX

=== ∫∫

X21

X11

F2

W21

X21

X11

F1

F2

X22

X12

W21 +W22

12212

111

0 12120 1111

221122

21

11

22

21

12

11

FFaFa

dfaFdfaf

dxfdxfWFF

X

X

X

X

+=

+=

+=

∫∫

∫∫

歪みエネルギー

影響係数行列(=[K]-1)

2006/11/20 機械力学Ⅰ 27

Maxwellの相反定理(3)

2112

22221221

2111

22222112

2111

22211211

21

21

21

21

aa

FaFFaFa

FaFFaFa

WWWW

=→

++=

++→

+=+

X21

X11

F1

F2

X22

X12

X21

X11

F1

F2

X22

X12

W21 +W22W11 +W12 ＝

影響係数行列は対称

=

=

=

=

22

12

2221

1211

2

1

21

11

2221

1211

2

1

10

01

aa

aaaa

xx

aa

aaaa

xx

等しい

弾性体のi点に単位荷重を作用した場合のj点の変位とj点に単位荷重を作用した場合のi点の変位は等しい

2006/11/20 機械力学Ⅰ 28

コラム10 うなり振動数が近い２つの振動を合成すると発生．

)cos()cos( 2211 tAtAx ωω +=

[ ])sin()cos(2

)sin()sin()cos()cos()cos()cos(

12

2212

1

12121

1211

αωω

ωωωωωωω

−+∆+=

∆−∆+=∆++=

tAtAAA

ttAttAAttAtAx

)sin()cos(tan

2

21

tAtAA

ωωα

∆∆+

=

ωωω ∆+= 12

1

2ωπ

ωπ

∆2

x

t

A1+A2 A1-A2

o

図C10.1　うなりの波形

[ ]2121

2221

21

,)cos(2

AAAAAtAAA

+−⇒

+∆+ ω

2006/11/20 機械力学Ⅰ 29

実演

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H18年度機械力学Ⅰ 2006.11.20配布

1

２自由度系の振動まとめ

自由振動

非減衰振動 粘性減衰振動 運動方程式 [ ]{ } [ ]{ } { }0=+ xKxM &&

[M]は対角行列、[K]は対称行列 [ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } { }0=++ xKxCxM &&& [C]は対称行列

基本解 { } { } ( )φω += tXx cos { } { } teXx λ= 特性方程式

(固有(振動数)方程式) [ ]{ } [ ]{ } { }

[ ] [ ]( ){ } { }[ ] [ ]

21

2

2

2

,

0

00

ωω

ω

ω

ω

→

=+−=∆→

=+−→

=+−

KM

XKMXKXM

[ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } { }[ ] [ ] [ ]( ){ } { }

[ ] [ ] [ ]iii j

KCM

XKCMXKXCXM

ωσλ

λλ

λλ

λλ

m=→

=++=∆→

=++→

=++

0

00

2

2

2

固有モードベクトル 特性方程式に固有角振動数を代入し振幅比(X2/X1)を求める． 同左、ただし振幅比も複素数となり位相差をもつ． 一般解 { } { } ( ) { } ( )

{ } vectoreigenorderthiXtXtXx

i −+++=

;coscos 222111 φωφω

{ } { } tjt

iii eeXx ωσ m∑=

強制振動

非減衰振動 粘性減衰振動 運動方程式 [ ]{ } [ ]{ } { } tFxKxM ωcos'=+&& [ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } { } tFxKxCxM ωcos'=++ &&& 特解 { } { } tXx ωcos=

[ ]{ } [ ]{ } { }[ ] [ ]( ){ } { }

{ } [ ] [ ]( ) { }''

'

12

2

2

FKMX

FXKMFXKXM

−+−=→

=+−→

=+−

ω

ω

ω

[ ] [ ]{ } { }

[ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } { }{ } [ ] [ ] [ ]( ) { }'

'

Recos,Re

12

2

FKCjMZ

FZKZCjZMeZz

FetFzxtj

tjii

−++−=→

=++−

=

==

ωω

ωω

ωω

ω