eclipses et distance terre lune terre lune soleil phm - version 2007/03/10

Eclipses et distanceTerre Lune

Terre Lune Soleil

phm - version 2007/03/10

Ec lipt ique

Soleil

Terre

Lune

orbite de la Lune

ombre de la Terreà la hauteur de la Lune

ax e du cône d’ombrede la Terre

DS

DL

Rombre

ombre

11/03/2007 Evolution distance Terre-Lune 2

Types d’éclipses

Eclipses totales et éclipse annulaires de Soleil

Lors d'une éclipse de Soleil, les orbites respectives de la Terre autour du Soleil et de la Lune autour de la Terre, qui ne sont pas circulaires, font que les diamètres apparents des deux astres sont presque identiques.

périhélie aphélie

T

La configuration Terre Lune Soleil est telle que vu de la Terre:

Soleil ~ Lune

étant le rayon angulaire

Soleil

Lune


Types d’éclipses

Eclipses totales et éclipse annulaires de Soleil

Lors d'une éclipse de Soleil, les orbites respectives de la Terre autour du Soleil et de la Lune autour de la Terre, qui ne sont pas circulaires, font que les diamètres apparents des deux astres sont presque identiques.

éclipse totale : le diamètre de la Lune est un peu plus grand, éclipse annulaire : le Soleil n’est pas entièrement caché


Les marées et la rotation diurne rendent la Terre dissymétrique en créant un bourrelet équatorial. La force de rappel engendre un ralentissement de la rotation de la Terre. et provoquent un frottement des masses d’eau déplacée sur la croûte terrestre.

Il y a transfert de moment angulaire, ce qui modifie l’orbite de la Lune : La Lune nous fuit !

Cette évasion a une vitesse qui est estimée à 4,4 ± 0,6 cm par an.

Il arrivera un moment où le diamètre angulaire de la Lune sera toujours inférieur à celui du Soleil. Il n'y aura plus alors d'éclipses totales, mais seulement annulaires.

Connaissant la vitesse d'éloignement de la Lune par rapport à la Terre, dans combien de temps, nous n'aurons plus le plaisir de voir des éclipses totales ?

L’effet des marées

Recherche


Plan de travail

• Etat actuelOrbites, distances, périgée, apogée, périhélie, aphélie, rayons angulaires

• Conditions de disparition des éclipses totales

• Calculs du temps de disparition

• Elargissement du problème1) Dans le passé, quand toutes les éclipses étaient totales ?2) A la formation, la Lune était elle dans la limite de Roche ?


Etat actuel

Mettre dans une feuille d’excel, toutes les données utiles au problème :

• Vitesse d’éloignement de la Lune

• Rayons ou diamètres des trois corps : Soleil, Terre, Lune

• Orbite de la Terre : demi-grand axe, excentricité

• Orbite de la Lune : demi-grand axe, excentricité (valeurs extrêmes)

ra e

e

( )

co s

1

1

2

r

a

er

a

epériastre apoastre

( ) ( )1 1

• Calculer distances et diamètres (ou rayons) angulaires Terre-Soleil au périhélie et aphélie

Terre-Lune au périgée et apogée

Où trouver des données fiables ? http://www.imcce.fr


Calcul des rayons angulaires de la Lune et du Soleil

Si l’on ne veux pas utiliser les fonctions trigonométriques, les angles sous lesquels on voit la Lune et le Soleil sont petits, on peut assimiler angles en radians avec leurs sinus ou leurs tangentes.On écrit alors la proportionnalité de R ou de l’arc par rapport à la circonférence :

360

2

0R

d

R

d

1 8

sin R

d

Mathématiquement, l’angle sous lequel on voit de la distance d une sphère de rayon R est :

en degrés


Feuille de données à remplir

Exemple de feuille de calcul

Cellule de calcul avec formule

Cellule de données

Fichier : dist_eclipses_vide.xls

(sans obligation)


La feuille de calcul

Conclusions :

Lune au périgée : toujours plus grande que le Soleil

Lune à l’apogée : toujours plus petite que le Soleil

Quelle condition sur les diamètres angulaires L et S pour ne plus avoir d’éclipses totales ?


Condition de disparition des éclipses totales

Actuellement

Il faudrait

Lper > Sper > Saph > Lapo

Sper > Saph > Lper > Lapo

Qui se réduit en : Saph ≥ Lper



Saph > Lper

Saph

S

Saph

R

d

1 8 0

L perL

L per

R

d

1 8 0≥

Le diamètre angulaire de la Lune au plus près doit être

plus petit que le diamètre du Soleil au plus loin.

Hypothèse : les éléments de l’orbite terrestre ne changent pas.Seul le grand axe de la Lune grandit, son excentricité reste en moyenne la même.

R

d

R

dS

Saph

L

L per



Saph

S

Saph

R

d

1 8 0

L perL

L per

R

d

1 8 0≥

Le diamètre angulaire de la Lune au plus près doit être plus petit que le diamètre du Soleil au plus loin.

Hypothèse : les éléments de l’orbite terrestre ne changent pas.Seul le grand axe de la Lune grandit, son excentricité reste en moyenne la même.

R

d

R

dS

Saph

L

L per

dR

RdL per

L

SSaph

d a eL per L une ( )1

aR

R

d

eL uneL

S

Saph1

= 402000 km

Temps pour arriver à la disparition des éclipses totales ?

Formule dansle tableur


Temps pour arriver à la disparition des éclipses totales

Ta a

Vd ispL une

elo ignem en t

2 0 0 0

Tdisp= 535 Millions d’années

Formule dansle tableur

Actuellement a = 383 400 km La Lune doit s’éloigner à 402 000 km.


Calcul identique pour l’époque où toutes les éclipses étaient totales.

Lapo > Sper

Le diamètre angulaire de la Lune au plus loin doit être plus grand que le diamètre du Soleil au plus près.

L apo

L

L apo

R

d

1 8 0

SperS

Sper

R

d

1 8 0>

R

d

R

dL

L apo

S

Sper

dR

Rd a eL apo

L

SSper L une ( )1

aR

R

d

eL uneL

S

Sper1

Ta a

VE to tL une

élo ignem en t

2 0 0 0

Tapp= 892 Millions d’années


Période sidérale – période synodique (lunaison)

Le demi-grand axe changeant, on va rechercher pour les deux nouvelles orbites :

a = 406941 kma = 344139 km

Quelles sont les nouvelles périodes sidérales et synodiques de la Lune ?

Périodes actuelle de la Lune :sidérale : 27,32166 jourssynodique : 29,53063 jours ou lunaison

Période sidérale. Il suffit d’appliquer la 3ème loi de Kepler

a

P

a

P

3

2

3

2

'

'

Et de se servir des données du tableur

Plus d’éclipses totales 406941 km 29,87653 jours actuels semaine à 8 jours ?Que des éclipses totales 344139 km 23,23447 jours actuels semaine à 6 jours ?


Période sidérale – période synodique (lunaison)

Période synodique.

demi-grand axe P sidérale P synodiquePlus d’éclipses totales 406941 km 29,87653 j. actuels 32,538 j. actuelsQue des éclipses totales 344139 km 23,23447 j. actuels 24,813 j. actuels

On applique la relation période sidérale période synodique

Car durant une période synodique

La Lune a tourné de , la Terre de et la différence est d’un tour 3 6 0

PS

3 6 0

TS

3 6 0 3 6 03 6 0

PS

TS

T période sidérale de la terreP période sidérale de la LuneS période synodique de la Lune


Conclusion

Sur les 10 milliards d’années de sursis que l’on accorde à la Terre avant que le Soleil n’arrête sa destinée, seulement pendant 1,4 milliards les terriens auront bénéficié de la féerique vision d’éclipses totales et annulaires.

Profitons-en avant leur disparition.

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