【解答】固定効果分散分析１－クロスオーバー試験の解析１－

H22年度 BioS継続勉強会：第３回

土居正明

【データセットの作成】

ではまず、データセットを作成します。最初に「問題１」の対応のある t検定用（(i) のプロットは除く）のデータセット

です。なお、treat1：プラセボの検査値、treat2：実薬の検査値、とします。

data d1;

　 input patno treat1 treat2;

　 cards;

　 1 10 11

　 2 12 20

　 3 18 17

　 4 18 18

　 5 10 15

　 6 13 20

　;

run;

です。次に、「問題 1」の (i) のプロットと、「問題２」「問題３」を全て扱うデータセットです。なお、treat = 1：プラセボ、

treat = 2：実薬です。

1

data d2;

　 input group patno period treat y;

　 label group = ’群’ patno = ’被験者番号’ period = ’時期’ ;

　 cards;

　 1 1 1 1 10

　 1 1 2 2 11

　 1 2 1 1 12

　 1 2 2 2 20

　 1 3 1 1 18

　 1 3 2 2 17

　 2 4 1 2 18

　 2 4 2 1 18

　 2 5 1 2 15

　 2 5 2 1 10

　 2 6 1 2 20

　 2 6 2 1 13

run;

です。

問題１：対応のある t検定

(i) プロットのプログラムは、

proc gplot data = d2;

　 plot y * period = patno;

　 by group;

run;

です（軸や symbolの設定等は略）。このとき、プロットは以下のようになります。

プラセボと実薬では、大体全員実薬の方が yが大きいようです。

2

(ii) 対応のある t検定の解析プログラムは以下の通りです。

proc ttest data = d1;

　 paired treat2 * treat1;

run;

これを実行すると、以下の出力が得られます。

3

paire

d-t:p

roc

ttest

TT

ES

Tプロシジャ

統計量

平均の

平均の

標準偏差の

標準偏差の

差N

信頼限界の下限

平均

信頼限界の上限

信頼限界の下限

標準偏差

信頼限界の上限

標準誤差

最小値

最大値

trea

t2-

trea

t16

-0.6

863.

3333

7.35

242.

3905

3.82

979.

3928

1.56

35-1

8

t検定

差自由度

t値

Pr

>|t|

trea

t2-

trea

t15

2.13

0.08

62

4

(iii) まずデータは

群 被験者番号 実薬投与後の値 プラセボ投与後の値 （実薬）−（プラセボ）: difi

1 1 11 10 1

1 2 20 12 8

1 3 17 18 −1

2 4 18 18 0

2 5 15 10 5

2 6 20 13 7

となります。被験者番号 iの（実薬）−（プラセボ）のデータを difi とおき、

difi ∼ N(µ, σ2)

と仮定します（データは全て独立）。薬剤の効果をみる仮説は、両側で考えると

H0 : µ = 0H1 : µ 6= 0

となります。対応のある t検定とは、この差のデータに対して行う 1群の t検定のことです。

では、手計算を行いながら (ii) の結果と比較していきます。平均・分散の推定値はそれぞれ

µ =16(1 + 8 − 1 + 0 + 5 + 7) = 3.333

σ2 =15

{(1 − 3.333)2 + (8 − 3.333)2 + (−1 − 3.333)2 + (0 − 3.333)2 + (5 − 3.333)2 + (7 − 3.333)2

}= 14.667

となります。平均の推定値は、(ii) の平均の値に一致しています。次に、標準偏差の推定値は

σ =√

σ2 =√

14.667 = 3.8298

となり、(ii) の標準偏差の値にほぼ一致しています。では次に、平均の 95％信頼区間です。これは第１回「t検定・分散分

析とデザイン行列」の回でも見ました通り、[µ + t(5, 0.025) ·

√σ2

6, µ + t(5, 0.975) ·

√σ2

6

]=

[3.333 − 2.571 ·

√14.667

6, 3.333 + 2.571 ·

√14.667

6

]

= [−0.686, 7.353]

となりますので、表と大体一致しています。次に、平均の標準誤差ですが、

√V[µ] =

√σ2

6=

√14.667

6= 1.563

となり、これも表とほぼ一致しています。

では、以下検定に移ります。帰無仮説は H0 : µ = 0より、検定統計量 (t値)は

t =µ − 0√

bσ2

6

=3.333√14.667

6

= 2.132

5

となり、p値は SASのデータステップで

data pvalue;

　 p =2* (1 - cdf(’t’, 2.132, 5));

run;

としますと p = 0.0862となり、表と一致します。

問題２：薬剤と人を固定効果とした固定効果分散分析

(i) proc glmを用いた解析プログラムは以下の通りとなります。

proc glm data = d2;

　 class treat patano;

　model y = treat patno/ ss3 solution p;

run;

解析結果は以下の通りです。

paierd-t : proc glm

GLM プロシジャ

従属変数: y

変動因 自由度 平方和 平均平方 F 値 Pr > F

Model 6 123.0000000 20.5000000 2.80 0.1396

Error 5 36.6666667 7.3333333

Corrected Total 11 159.6666667

変動因 自由度 Type III 平方和 平均平方 F 値 Pr > F

treat 1 33.33333333 33.33333333 4.55 0.0862

patno 5 89.66666667 17.93333333 2.45 0.1744

6

パラメータ 推定値 標準誤差 t 値 Pr > |t|

Intercept 18.16666667 B 2.06827894 8.78 0.0003

treat 1 -3.33333333 B 1.56347192 -2.13 0.0862

treat 2 0.00000000 B . . .

patno 1 -6.00000000 B 2.70801280 -2.22 0.0776

patno 2 -0.50000000 B 2.70801280 -0.18 0.8608

patno 3 1.00000000 B 2.70801280 0.37 0.7270

patno 4 1.50000000 B 2.70801280 0.55 0.6035

patno 5 -4.00000000 B 2.70801280 -1.48 0.1997

patno 6 0.00000000 B . . .

Note：X’X は特異行列です。正規方程式には、一般化逆行列が使用されています。文字 ’B’ が付けれられた推定値は、一

意的な推定値ではありません。

paierd-t : proc glm

GLM プロシジャ

オブザベーション 観測値 予測値 残差

1 10.00000000 8.83333333 1.16666667

2 11.00000000 12.16666667 -1.16666667

3 12.00000000 14.33333333 -2.33333333

4 20.00000000 17.66666667 2.33333333

5 18.00000000 15.83333333 2.16666667

6 17.00000000 19.16666667 -2.16666667

7 18.00000000 19.66666667 -1.66666667

8 18.00000000 16.33333333 1.66666667

9 15.00000000 14.16666667 0.83333333

10 10.00000000 10.83333333 -0.83333333

11 20.00000000 18.16666667 1.83333333

12 13.00000000 14.83333333 -1.83333333

(ii) 次に、統計モデルを考えます。薬剤の影響を di (i = 1 : プラセボ、i = 2 : 実薬)、個人の影響を pj (j = 1, 2, 3, 4, 5, 6)と

すると、

yij = µ + di + pj + εij (εij ∼ N(0, σ2)) (1)

7

となります。なお、データは全て独立とします。全員のデータを縦に並べると

y11 = µ + d1 + p1 + ε11

y21 = µ + d2 + p1 + ε21

y12 = µ + d1 + p2 + ε12

y22 = µ + d2 + p2 + ε22

y13 = µ + d1 + p3 + ε13

y23 = µ + d2 + p3 + ε23

y24 = µ + d2 + p4 + ε24

y14 = µ + d1 + p4 + ε14

y25 = µ + d2 + p5 + ε25

y15 = µ + d1 + p5 + ε15

y26 = µ + d2 + p6 + ε26

y16 = µ + d1 + p6 + ε16

(2)

となります。これをベクトル・行列を用いて表記します。まず、

y =

y11

y21

y12

y22

y13

y23

y24

y14

y25

y15

y26

y16

=

10

11

12

20

18

17

18

18

15

10

20

13

, X1 =

1 1 0 1 0 0 0 0 0

1 0 1 1 0 0 0 0 0

1 1 0 0 1 0 0 0 0

1 0 1 0 1 0 0 0 0

1 1 0 0 0 1 0 0 0

1 0 1 0 0 1 0 0 0

1 0 1 0 0 0 1 0 0

1 1 0 0 0 0 1 0 0

1 0 1 0 0 0 0 1 0

1 1 0 0 0 0 0 1 0

1 0 1 0 0 0 0 0 1

1 1 0 0 0 0 0 0 1

, β1 =

µ

d1

d2

p1

p2

p3

p4

p5

p6

, ε =

ε11

ε21

ε12

ε22

ε13

ε23

ε24

ε14

ε25

ε15

ε26

ε16

とおくと、

y = X1β1 + ε (ε ∼ N(0, σ2I12)) (3)

となります。ここで、SASは制約条件d2 = 0, p6 = 0を入れて考えます。このとき、(2)は

y11 = µ + d1 +p1 +ε11

y21 = µ +p1 +ε21

y12 = µ + d1 +p2 +ε12

y22 = µ +p2 +ε22

y13 = µ + d1 +p3 +ε13

y23 = µ +p3 +ε23

y24 = µ +p4 +ε24

y14 = µ + d1 +p4 +ε14

y25 = µ +p5 +ε25

y15 = µ + d1 +p5 +ε15

y26 = µ +ε26

y16 = µ + d1 +ε16

(4)

8

となり、

X11 =

1 1 1 0 0 0 0

1 0 1 0 0 0 0

1 1 0 1 0 0 0

1 0 0 1 0 0 0

1 1 0 0 1 0 0

1 0 0 0 1 0 0

1 0 0 0 0 1 0

1 1 0 0 0 1 0

1 0 0 0 0 0 1

1 1 0 0 0 0 1

1 0 0 0 0 0 0

1 1 0 0 0 0 0

, β11 =

µ

d1

p1

p2

p3

p4

p5

とおくと、(3)は

y + X11β11 + ε (ε ∼ N(0, σI12)) (5)

と書き直せます。

(iii) さて、これで準備が整いましたので、SASの出力を手計算で求めることとします。ただし、計算を自然に行う順番で見

ていきます。ですので、以後の解説は、SASのアウトプットの順番とは異なりますのでご注意ください。まずは、推定値か

らです。

パラメータ β11 の最小二乗推定値は

β11 = (X′11X11)−1X′

11y (6)

で得られます。これを少しずつ計算すると

X′11X11 =

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1

1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0

1 1 1 0 0 0 0

1 0 1 0 0 0 0

1 1 0 1 0 0 0

1 0 0 1 0 0 0

1 1 0 0 1 0 0

1 0 0 0 1 0 0

1 0 0 0 0 1 0

1 1 0 0 0 1 0

1 0 0 0 0 0 1

1 1 0 0 0 0 1

1 0 0 0 0 0 0

1 1 0 0 0 0 0

=

12 6 2 2 2 2 2

6 6 1 1 1 1 1

2 1 2 0 0 0 0

2 1 0 2 0 0 0

2 1 0 0 2 0 0

2 1 0 0 0 2 0

2 1 0 0 0 0 2

9

となります。この逆行列を求めると、

(X′11X11)−1 =

12 6 2 2 2 2 2

6 6 1 1 1 1 1

2 1 2 0 0 0 0

2 1 0 2 0 0 0

2 1 0 0 2 0 0

2 1 0 0 0 2 0

2 1 0 0 0 0 2

−1

=

712 − 1

6 −12 −1

2 − 12 −1

2 −12

−16

13 0 0 0 0 0

−12 0 1 1

212

12

12

−12 0 1

2 1 12

12

12

−12 0 1

212 1 1

212

−12 0 1

212

12 1 1

2

−12 0 1

212

12

12 1

です。また、

X′11y =

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1

1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0

10

11

12

20

18

17

18

18

15

10

20

13

=

10 + 11 + 12 + 20 + 18 + 17 + 18 + 18 + 15 + 10 + 20 + 13

10 + 12 + 18 + 18 + 10 + 13

10 + 11

12 + 20

18 + 17

18 + 18

15 + 10

=

182

81

21

32

35

36

25

10

となります。以上より (6)は、

β11 = (X′11X11)−1X′

11y

=

712 − 1

6 −12 −1

2 − 12 −1

2 − 12

−16

13 0 0 0 0 0

−12 0 1 1

212

12

12

−12 0 1

2 1 12

12

12

−12 0 1

212 1 1

212

−12 0 1

212

12 1 1

2

−12 0 1

212

12

12 1

182

81

21

32

35

36

25

=

712 · 182 − 1

6 · 81 − 12 · 21 − 1

2 · 32 − 12 · 35 − 1

2 · 36 − 12 · 25

− 16 · 182 + 1

3 · 81

−12 · 182 + 1 · 21 + 1

2 · 32 + 12 · 35 + 1

2 · 36 + 12 · 25

−12 · 182 + 1

2 · 21 + 1 · 32 + 12 · 35 + 1

2 · 36 + 12 · 25

−12 · 182 + 1

2 · 21 + 12 · 32 + 1 · 35 + 1

2 · 36 + 12 · 25

−12 · 182 + 1

2 · 21 + 12 · 32 + 1

2 · 35 + 1 · 36 + 12 · 25

−12 · 182 + 1

2 · 21 + 12 · 32 + 1

2 · 35 + 12 · 36 + 1 · 25

=

18.1667

−3.3333

−6

−0.5

1

1.5

−4

となります。これより、β11 の各成分と見比べると、

µ = 18.1667

d1 = −3.3333p1 = −6, p2 = −0.5, p3 = 1, p4 = 1.5, p5 = −4

となります。制約条件より、d2 = 0, p5 = 0より、全パラメータの最小二乗推定値は

µ = 18.1667 ← Intercept

d1 = −3.3333 ← treat1

d2 = 0 ← treat2

p1 = −6 ← patno1

p2 = −0.5 ← patno2

p3 = 1 ← patno3

p4 = 1.5 ← patno4

p5 = −4 ← patno5

p6 = 0 ← patno6

となり、それぞれ SASの出力と一致しています。また、これは β1 の各成分となります。

　では次に、この推定値から予測値・残差を計算していきます。このモデルにおける予測値を y1 とおくと、

y1 = X1β1

11

=

1 1 0 1 0 0 0 0 0

1 0 1 1 0 0 0 0 0

1 1 0 0 1 0 0 0 0

1 0 1 0 1 0 0 0 0

1 1 0 0 0 1 0 0 0

1 0 1 0 0 1 0 0 0

1 0 1 0 0 0 1 0 0

1 1 0 0 0 0 1 0 0

1 0 1 0 0 0 0 1 0

1 1 0 0 0 0 0 1 0

1 0 1 0 0 0 0 0 1

1 1 0 0 0 0 0 0 1

µ

d1

d2

p1

p2

p3

p4

p5

p6

=

1 1 0 1 0 0 0 0 0

1 0 1 1 0 0 0 0 0

1 1 0 0 1 0 0 0 0

1 0 1 0 1 0 0 0 0

1 1 0 0 0 1 0 0 0

1 0 1 0 0 1 0 0 0

1 0 1 0 0 0 1 0 0

1 1 0 0 0 0 1 0 0

1 0 1 0 0 0 0 1 0

1 1 0 0 0 0 0 1 0

1 0 1 0 0 0 0 0 1

1 1 0 0 0 0 0 0 1

18.1667

−3.3333

0

−6

−0.5

1

1.5

−4

0

=

18.1667 − 3.3333 − 6

18.1667 + 0 − 6

18.1667 − 3.3333 − 0.5

18.1667 + 0 − 0.5

18.1667 − 3.3333 + 1

18.1667 + 0 + 1

18.1667 + 0 + 1.5

18.1667 − 3.3333 + 1.5

18.1667 + 0 − 4

18.1667 − 3.3333 − 4

18.1667 + 0 + 0

18.1667 − 3.3333 + 0

12

=

8.8334

12.1667

14.3334

17.6667

15.8334

19.1667

19.6667

16.3334

14.1667

10.8334

18.1667

14.8334

となります。これは表の値とほぼ一致しています。次に、このモデルにおける残差を e1 とおきますと、

e1 = y − y1 =

10

11

12

20

18

17

18

18

15

10

20

13

−

8.8334

12.1667

14.3334

17.6667

15.8334

19.1667

19.6667

16.3334

14.1667

10.8334

18.1667

14.8334

=

1, 16666

−1.1667

−2.3334

2.3333

2.1666

−2.1667

−1.6667

1.6666

0.8333

−0.8334

1.8333

−1.8334

となります。これも、表とほぼ一致しています。

(iv) では次に、分散分析表を求めます。そのためには、帰無仮説のもとでのモデルが必要となります。分散分析表における

帰無仮説・対立仮説は

H0 : d1 = d2 かつ p1 = p2 = p3 = p4 = p5 = p6（薬剤の影響も個人の影響も全くない）

H1 :　　　　　　　それ以外

です。これより、帰無仮説のもとでのモデルを考えます。このモデルは、(1)から di と pj を除いたものであり、

yij = µ + εij

13

となります。全データを並べると、

y11 = µ + ε11

y21 = µ + ε21

y12 = µ + ε12

y22 = µ + ε22

y13 = µ + ε13

y23 = µ + ε33

y24 = µ + ε24

y14 = µ + ε14

y25 = µ + ε25

y15 = µ + ε15

y26 = µ + ε26

y16 = µ + ε16

となります。ベクトル・行列表記しますと、

y = µ112 + ε (ε ∼ N(0, σ2I12))

となります。これより、このモデルでの µの最小二乗推定値 µ0 は、

µ0 = (1′12112)−11′

12y (7)

となります。ここで、

1′12112 =

(1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

)

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

= 12

より、(1′12112)−1 = 1

12 であり、

1′12y =

(1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

)

10

11

12

20

18

17

18

18

15

10

20

13

14

= 10 + 11 + 12 + 20 + 18 + 17 + 18 + 18 + 15 + 10 + 20 + 13 = 182

となりますので、(7)は

µ0 = (1′12112)−11′

12y =112

· 182 = 15.1667

となります。これより、このモデルにおける予測値・残差 y10, e10 は

y10 = µ0112 =

15.1667

15.1667

15.1667

15.1667

15.1667

15.1667

15.1667

15.1667

15.1667

15.1667

15.1667

15.1667

(8)

e10 = y − y10 =

10

11

12

20

18

17

18

18

15

10

20

13

−

15.1667

15.1667

15.1667

15.1667

15.1667

15.1667

15.1667

15.1667

15.1667

15.1667

15.1667

15.1667

=

−5.1667

−4.1667

−3.1667

4.8333

2.8333

1.8333

2.8333

1.8333

−0.1667

−5.1667

4.8333

−2.1333

(9)

となります。以上より、線形モデルの一般論から

‖y − y10‖2︸ ︷︷ ︸Corrected Total

= ‖y − y1‖2︸ ︷︷ ︸Error

+ ‖y1 − y10‖2︸ ︷︷ ︸Model

となります*1。

そして、データの数・制約条件を入れたあとのパラメータ数は

y : データ 12個　 →　 12y10 : パラメータµのみ 　→　 1y1 : 制約条件を入れた後のパラメータµ, d1, p1, · · · , p5　→　 7

*1 意味は、「Corrected Total：H0 のモデルで説明できない部分」「Error：H1 のモデルで説明できない部分」「Model：H0 のモデルとH1 のモデルの説明能力の差」です。また、残差で書き直すと、

‖e10‖2 = ‖e1‖2 + ‖by1 − by0‖2

となります。

15

より、自由度は

(CorrectedTotal) ‖y − y10‖2 : 12 − 1 = 11(Error) ‖y − y1‖2 : 12 − 7 = 5(Model) ‖y1 − y10‖2 : 7 − 1 = 6

となります。数値を求めていきますと、各平方和は

(CorrectedTotal) ‖y − y10‖2 = ‖e10‖2

= (−5.1667)2 + (−4.1667)2 + (−3.1667) + 4.83332 + 2.83332 + 1.83332

+2.83332 + 2.83332 + (−0.1667)2 + (−5.1667)2 + 4.83332 + (−2.1333)2

= 159.5230

(Error) ‖y − y1‖2 = ‖e1‖2

= 1.16662 + (−1.1667)2 + (−2.3334) + 2.33332 + 2.16662 + (−2.1667)2

+(−1.6667)2 + 1.66662 + 0.83332 + (−0.8334)2 + 1.83332 + (−1.8334)2

= 36.6667

(Model) ‖y1 − y10‖2 =

∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥

8.8334

12.1667

14.3334

17.6667

15.8334

19.1667

19.6667

16.3334

14.1667

10.8334

18.1667

14.8334

−

15.1667

15.1667

15.1667

15.1667

15.1667

15.1667

15.1667

15.1667

15.1667

15.1667

15.1667

15.1667

∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥

2

=

∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥

−6.3333

−3

−0.8333

2.5

0.6667

4

4.5

1.1333

−1

−4.333

3

−0.3333

∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥

2

= (−6.3333)2 + (−3)2 + (−0.8333)2 + 2.52 + 0.66672 + 42

+4.52 + 1.13332 + (−1)2 + (−4.333)2 + 32 + (−0.3333)2

= 122.9199

となり、表とほぼ一致します。

次に、平均平方です。自由度で平方和を割ってやればよいですので、

(Error)15‖y − y1‖2 =

15· 36.6667 = 7.3334

(Model)16‖y1 − y10‖2 =

16· 122.9199 = 20.4867

となり、表の値とほぼ一致しています。では次に F 値です。平均平方の比をとってやれば

F =Modelの平均平方Errorの平均平方

=20.48677.3334

= 2.7936

となります。なお、分母の Error の平均平方には分散 σ2 の不偏推定値という意味もあります。つまり、

σ21 =

1Errorの自由度

‖e‖2 =15· 36.6667 = 7.3334 (10)

16

となります*2。これは、薬剤の影響の有無をみる検定をする際にも用います*3。

　最後に p値です。分子の自由度が 6、分母の自由度が 5ですので、データステップで

data pvalue;

　 p = 1 - cdf(’F’, 2.7936, 6, 5);

run;

としてやりますと、p = 0.1397が得られ、表の値と大体一致しています。

(v)次に薬剤の影響を見る検定です。仮説は

H0d : d1 = d2

H1d : d1 6= d2

となります。以下、帰無仮説 H0d のもとでの統計モデルを考えていきましょう。モデルは (1)から di を除いた

yij = µ + pj + εij (εij ∼ N(0, σ2))

となります。データを全て並べますと、

y11 = µ + p1 + ε11

y21 = µ + p1 + ε21

y12 = µ + p2 + ε12

y22 = µ + p2 + ε22

y13 = µ + p3 + ε13

y23 = µ + p3 + ε23

y14 = µ + p4 + ε14

y24 = µ + p4 + ε24

y15 = µ + p5 + ε15

y25 = µ + p5 + ε25

y16 = µ + p6 + ε16

y26 = µ + p6 + ε26

*2bσ21 の下の添え字 1は、「問題２」（1つ目）のものという意味です。「問題３」でも別のモデルで同様に分散 σ2 の推定値を考え、それは bσ2

2 と書きます。

*3

F =15‖by1 − by10‖2

bσ21

という表現で理解しておくと、薬剤の影響を検討する際に便利です。

17

となります。ベクトル・行列表記を考えます。まず

X1d =

1 1 0 0 0 0 0

1 1 0 0 0 0 0

1 0 1 0 0 0 0

1 0 1 0 0 0 0

1 0 0 1 0 0 0

1 0 0 1 0 0 0

1 0 0 0 1 0 0

1 0 0 0 1 0 0

1 0 0 0 0 1 0

1 0 0 0 0 1 0

1 0 0 0 0 0 1

1 0 0 0 0 0 1

, β1d =

µ

p1

p2

p3

p4

p5

p6

とおきますと、

y = X1dβ1d + ε (ε ∼ N(0, σ2I12)) (11)

と書けます。ここで、SASは制約条件p6 = 0を入れます。このとき、

X1d1 =

1 1 0 0 0 0

1 1 0 0 0 0

1 0 1 0 0 0

1 0 1 0 0 0

1 0 0 1 0 0

1 0 0 1 0 0

1 0 0 0 1 0

1 0 0 0 1 0

1 0 0 0 0 1

1 0 0 0 0 1

1 0 0 0 0 0

1 0 0 0 0 0

, β1d1 =

µ

p1

p2

p3

p4

p5

とおきますと、(11)は

y = X1d1β1d1 + ε (ε ∼ N(0, σ2I12))

と書けます。これを用いて、β1d1 の最小二乗推定値を計算していきます。

β1d1 = (X′1d1X1d1)−1X′

1d1y (12)

18

となりますので、少しずつ計算していきます。まず、

X′1d1X1d1 =

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0

1 1 0 0 0 0

1 1 0 0 0 0

1 0 1 0 0 0

1 0 1 0 0 0

1 0 0 1 0 0

1 0 0 1 0 0

1 0 0 0 1 0

1 0 0 0 1 0

1 0 0 0 0 1

1 0 0 0 0 1

1 0 0 0 0 0

1 0 0 0 0 0

=

12 2 2 2 2 2

2 2 0 0 0 0

2 0 2 0 0 0

2 0 0 2 0 0

2 0 0 0 2 0

2 0 0 0 0 2

です。これより、

(X′1d1X1d1)−1 =

12 2 2 2 2 2

2 2 0 0 0 0

2 0 2 0 0 0

2 0 0 2 0 0

2 0 0 0 2 0

2 0 0 0 0 2

−1

=

12 −1

2 −12 − 1

2 −12 −1

2

− 12 1 1

212

12

12

− 12

12 1 1

212

12

− 12

12

12 1 1

212

− 12

12

12

12 1 1

2

− 12

12

12

12

12 1

19

となります。次に、

X′1d1y =

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0

10

11

12

20

18

17

18

18

15

10

20

13

=

10 + 11 + 12 + 20 + 18 + 17 + 18 + 18 + 15 + 10 + 20 + 13

10 + 11

12 + 20

18 + 17

18 + 18

15 + 10

=

182

21

32

35

36

25

です。これより、(12)は

β1d1 = (X′1d1X1d1)−1X′

1d1y

=

12 −1

2 −12 − 1

2 −12 − 1

2

− 12 1 1

212

12

12

− 12

12 1 1

212

12

− 12

12

12 1 1

212

− 12

12

12

12 1 1

2

− 12

12

12

12

12 1

182

21

32

35

36

25

=

12 · 182 − 1

2 · 21 − 12 · 32 − 1

2 · 35 − 12 · 36 − 1

2 · 25

− 12 · 182 + 1 · 21 + 1

2 · 32 + 12 · 35 + 1

2 · 36 + 12 · 25

− 12 · 182 + 1

2 · 21 + 1 · 32 + 12 · 35 + 1

2 · 36 + 12 · 25

− 12 · 182 + 1

2 · 21 + 12 · 32 + 1 · 35 + 1

2 · 36 + 12 · 25

− 12 · 182 + 1

2 · 21 + 12 · 32 + 1

2 · 35 + 1 · 36 + 12 · 25

− 12 · 182 + 1

2 · 21 + 12 · 32 + 1

2 · 35 + 12 · 36 + 1 · 25

20

=

16.5

−6

−0.5

1

1.5

−4

となります。ここで、

β1d1 =

µ

p1

p2

p3

p4

p5

であり、制約条件から p6 = 0となりますので、

µ = 16.5

p1 = −6

p2 = −0.5

p3 = 1

p4 = 1.5

p5 = −4

p6 = 0

となります。これが β1d の各成分となります。

これより、このモデルに基づく予測値 y1d は

y1d = X1dβ1d

=

1 1 0 0 0 0 0

1 1 0 0 0 0 0

1 0 1 0 0 0 0

1 0 1 0 0 0 0

1 0 0 1 0 0 0

1 0 0 1 0 0 0

1 0 0 0 1 0 0

1 0 0 0 1 0 0

1 0 0 0 0 1 0

1 0 0 0 0 1 0

1 0 0 0 0 0 1

1 0 0 0 0 0 1

16.5

−6

−0.5

1

1.5

−4

0

21

=

16.5 − 6

16.5 − 6

16.5 − 0.5

16.5 − 0.5

16.5 + 1

16.5 + 1

16.5 + 1.5

16.5 + 1.5

16.5 − 4

16.5 − 4

16.5 + 0

16.5 + 0

=

10.5

10.5

16

16

17.5

17.5

18

18

12.5

12.5

16.5

16.5

となります*4。TypeIIIの平方和の treatの部分は、要は「薬剤を入れないモデルH0d」と「入れるモデルH1d（H1 と一致）」

で、説明能力がどのくらい違うか、を見ています。そこで、この 2つのモデルの予測値 y1 と y1d の差を考えてやります。

*4 なお、このモデルでのパラメータの最小二乗推定値や予測値を SASで出力したい場合、プログラムは

proc glm data = d2;　 class patno;　model y = patno / solution ss3 p;run;

となります。

22

具体的には、

‖y1 − y1d‖2 =

∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥

8.8334

12.1667

14.3334

17.6667

15.8334

19.1667

19.6667

16.3334

14.1667

10.8334

18.1667

14.8334

−

10.5

10.5

16

16

17.5

17.5

18

18

12.5

12.5

16.5

16.5

∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥

=

∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥

−1.6666

1.6667

−1.6666

1.6667

−1.6666

1.6667

−1.6666

1.6667

−1.6666

1.6667

−1.6666

1.6667

∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥

2

= (−1.6666)2 + (1.6667)2 + (−1.6666)2 + (1.6667)2 + (−1.6666)2 + (1.6667)2

+(−1.6666)2 + (1.6667)2 + (−1.6666)2 + (1.6667)2 + (−1.6666)2 + (1.6667)2

= 33.3327

となり、表の数値と大体一致しています。なお、パラメータ数は

y1 :制約条件を入れた後のパラメータ µ, d1, p1, · · · , p5　→　 7y1d :制約条件を入れた後のパラメータ µ, p1, ·, p5　　　　→　 6

より、自由度は

‖y1 − y1d‖2 : 7 − 6 = 1

です。これより、平均平方は

11· ‖y1 − y1d‖2 = 33.3327

となります。F 統計量は、この平均平方を、上で求めました分散の推定値 σ21（全体の分散分析表の Error の平均平方）で

割ってやって

F =11 · ‖y1 − y1d‖2

σ21

=33.33277.3334

= 4.55

となります。p値は、分母の σ21 の自由度が 5であることを考慮して、

data pvalue;

　 p = 1 - cdf(’F’, 4.55, 1, 5);

run;

とおきますと、p = 0.8601が得られます。これは TypeIIIの表の Treatの部分の p値と大体一致しています。

(vi) では、(v)の結果と「問題１」の結果を比較していきます。まず最初に p値ですが、直前に求めました薬剤の影響を見

る検定の p値は 0.8601（表では 0.8602）でした。これは、「問題１」の対応のある t検定の p値と一致しています。

また、この際の対応のある t検定の t値と、TypeIIIの treatの部分の F 値の関係ですが、

(t値)2 = 2.1322 = 4.55 = (F 値)

23

という関係が成り立っています。

　次に、分散の推定値について見ていきます。対応のある t検定では、標準偏差（の推定値）は 1.5635でしたので、

(対応のある t検定のモデルの分散の推定値) = 1.53652 = 14.6666

となります。一方、分散分析のモデルでの分散の推定値は (10)より、

σ21 =

1Errorの自由度

‖e‖ =15· 36.6667 = 7.3334

となりました。これより、対応のある t検定の分散は、分散分析モデルの分散の 2倍になっていることが分かります。詳し

い説明は補助資料２「対応のある t検定について」に回しますが、要は被験者番号 j の人の実薬・プラセボのデータ y1j , y2j

が独立で、分散がそれぞれ σ2 になりますので、difj = y1j − y2j の分散は

V [difj ] = V [y1j ] + V [y2j ] = σ2 + σ2 = 2σ2

となるのです。

　最後に、薬剤の影響です。対応のある t検定の表での群間差の平均 3.3333は、「Treat2−Treat1」でした。一方、分散分

析の計算結果より、投与群の推定値は

・treat1: −3.3333

・treat2: 0

となっています。これより、「treat2− treat1=3.3333」となり、一致しています。

問題３

(i) 解析プログラムは

proc glm data = d2;

　 class treat patno period;

　model y = treat patno period / solution p ss3;

run;

となり、出力は以下の通りです。

patno(fixed) + period

GLM プロシジャ

従属変数: y

変動因 自由度 平方和 平均平方 F 値 Pr > F

Model 7 124.3333333 17.7619048 2.01 0.2606

Error 4 35.3333333 8.8333333

Corrected Total 11 159.6666667

24

変動因 自由度 Type III 平方和 平均平方 F 値 Pr > F

treat 1 33.33333333 33.33333333 3.77 0.1240

patno 5 89.66666667 17.93333333 2.03 0.2562

period 1 1.33333333 1.33333333 0.15 0.7174

パラメータ 推定値 標準誤差 t 値 Pr > |t|

Intercept 17.83333333 B 2.42670330 7.35 0.0018

treat 1 -3.33333333 B 1.71593836 -1.94 0.1240

treat 2 0.00000000 B . . .

patno 1 -6.00000000 B 2.97209242 -2.02 0.1137

patno 2 -0.50000000 B 2.97209242 -0.17 0.8746

patno 3 1.00000000 B 2.97209242 0.34 0.7534

patno 4 1.50000000 B 2.97209242 0.50 0.6403

patno 5 -4.00000000 B 2.97209242 -1.35 0.2496

patno 6 0.00000000 B . . .

period 1 0.66666667 B 1.71593836 0.39 0.7174

period 2 0.00000000 B . . .

Note:X’X は特異行列です。正規方程式には、一般化逆行列が使用されています。文字 ’B’ が付けれられた推定値は、一意

的な推定値ではありません。

25

patno(fixed) + period

GLM プロシジャ

オブザベーション 観測値 予測値 残差

1 10.00000000 9.16666667 0.83333333

2 11.00000000 11.83333333 -0.83333333

3 12.00000000 14.66666667 -2.66666667

4 20.00000000 17.33333333 2.66666667

5 18.00000000 16.16666667 1.83333333

6 17.00000000 18.83333333 -1.83333333

7 18.00000000 20.00000000 -2.00000000

8 18.00000000 16.00000000 2.00000000

9 15.00000000 14.50000000 0.50000000

10 10.00000000 10.50000000 -0.50000000

11 20.00000000 18.50000000 1.50000000

12 13.00000000 14.50000000 -1.50000000

(ii) では次に、統計モデルを考えます。薬剤 di (i = 1 : プラセボ群、i = 2 : 実薬群)、個人の効果 pj (j = 1, 2, 3, 4, 5, 6)、時

期の効果を tk (k = 1, 2)とすると、

yijk = µ + di + pj + tk + εijk (εij ∼ N(0, σ2)) (13)

となります。なお、データは全て独立とします。全員のデータを縦に並べると

y111 = µ + d1 + p1 + t1 + ε111

y212 = µ + d2 + p1 + t2 + ε212

y121 = µ + d1 + p2 + t1 + ε121

y222 = µ + d2 + p2 + t2 + ε222

y131 = µ + d1 + p3 + t1 + ε131

y232 = µ + d2 + p3 + t2 + ε232

y241 = µ + d2 + p4 + t1 + ε241

y142 = µ + d1 + p4 + t2 + ε142

y251 = µ + d2 + p5 + t1 + ε251

y152 = µ + d1 + p5 + t2 + ε152

y261 = µ + d2 + p6 + t1 + ε261

y162 = µ + d1 + p6 + t2 + ε162

(14)

26

です。ここで、

y =

y111

y212

y121

y222

y131

y232

y241

y142

y251

y152

y261

y162

=

10

11

12

20

18

17

18

18

15

10

20

13

, X2 =

1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0

1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1

1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0

1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1

1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0

1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1

1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0

1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1

1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0

1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1

1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0

1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1

, β2 =

µ

d1

d2

p1

p2

p3

p4

p5

p6

t1

t2

, ε =

ε111

ε212

ε121

ε222

ε131

ε232

ε241

ε142

ε251

ε152

ε261

ε162

とおくと、

y = X2β2 + ε (ε ∼ N(0, σ2I12)) (15)

となります。

ここで、SASは制約条件d2 = 0, p6 = 0, t2 = 0を入れますので、

y111 = µ +d1 +p1 +t1 +ε111

y212 = µ +p1 +ε212

y121 = µ +d1 +p2 +t1 +ε121

y222 = µ +p2 +ε222

y131 = µ +d1 +p3 +t1 +ε131

y232 = µ +p3 +ε232

y241 = µ +p4 +t1 +ε241

y142 = µ +d1 +p4 +ε142

y251 = µ +p5 +t1 +ε251

y152 = µ +d1 +p5 +ε152

y261 = µ +t1 +ε261

y162 = µ +d1 +ε162

(16)

となります。このとき、

X21 =

1 1 1 0 0 0 0 1

1 0 1 0 0 0 0 0

1 1 0 1 0 0 0 1

1 0 0 1 0 0 0 0

1 1 0 0 1 0 0 1

1 0 0 0 1 0 0 0

1 0 0 0 0 1 0 1

1 1 0 0 0 1 0 0

1 0 0 0 0 0 1 1

1 1 0 0 0 0 1 0

1 0 0 0 0 0 0 1

1 1 0 0 0 0 0 0

, β21 =

µ

d1

p1

p2

p3

p4

p5

t1

27

とおくと、(15)は

y = X21β21 + ε (ε ∼ N(0, σ2I12))

となります。

(iii) ここで、β21 の最小二乗推定値は

β21 = (X′21X21)−1X′

21y (17)

となります。これを少しずつ計算していきます。

X′21X21 =

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1

1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0

1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0

1 1 1 0 0 0 0 1

1 0 1 0 0 0 0 0

1 1 0 1 0 0 0 1

1 0 0 1 0 0 0 0

1 1 0 0 1 0 0 1

1 0 0 0 1 0 0 0

1 0 0 0 0 1 0 1

1 1 0 0 0 1 0 0

1 0 0 0 0 0 1 1

1 1 0 0 0 0 1 0

1 0 0 0 0 0 0 1

1 1 0 0 0 0 0 0

=

12 6 2 2 2 2 2 6

6 6 1 1 1 1 1 3

2 1 2 0 0 0 0 1

2 1 0 2 0 0 0 1

2 1 0 0 2 0 0 1

2 1 0 0 0 2 0 1

2 1 0 0 0 0 2 1

6 3 1 1 1 1 1 6

より、

(X′21X21)−1 =

12 6 2 2 2 2 2 6

6 6 1 1 1 1 1 3

2 1 2 0 0 0 0 1

2 1 0 2 0 0 0 1

2 1 0 0 2 0 0 1

2 1 0 0 0 2 0 1

2 1 0 0 0 0 2 1

6 3 1 1 1 1 1 6

−1

28

=

23 − 1

6 −12 − 1

2 −12 −1

2 − 12 −1

6

− 16

13 0 0 0 0 0 0

− 12 0 1 1

212

12

12 0

− 12 0 1

2 1 12

12

12 0

− 12 0 1

212 1 1

212 0

− 12 0 1

212

12 1 1

2 0

− 12 0 1

212

12

12 1 0

− 16 0 0 0 0 0 0 1

3

です。また、

X′21y =

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1

1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0

1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0

10

11

12

20

18

17

18

18

15

10

20

13

=

10 + 11 + 12 + 20 + 18 + 17 + 18 + 18 + 15 + 10 + 20 + 13

10 + 12 + 18 + 18 + 10 + 13

10 + 11

12 + 20

18 + 17

18 + 18

15 + 10

10 + 12 + 18 + 18 + 15 + 20

=

182

81

21

32

35

36

25

93

となります。これより、β21 の最小二乗推定値 (17)は

β21 = (X′21X21)−1X′

21y

29

=

23 −1

6 − 12 −1

2 − 12 − 1

2 −12 − 1

6

−16

13 0 0 0 0 0 0

−12 0 1 1

212

12

12 0

−12 0 1

2 1 12

12

12 0

−12 0 1

212 1 1

212 0

−12 0 1

212

12 1 1

2 0

−12 0 1

212

12

12 1 0

−16 0 0 0 0 0 0 1

3

182

81

21

32

35

36

25

93

=

23 · 182 − 1

6 · 81 − 12 · 21 − 1

2 · 32 − 12 · 35 − 1

2 · 36 − 12 · 25 − 1

6 · 93

− 16 · 182 + 1

3 · 81

−12 · 182 + 1 · 21 + 1

2 · 32 + 12 · 35 + 1

2 · 36 + 12 · 25

−12 · 182 + 1

2 · 21 + 1 · 32 + 12 · 35 + 1

2 · 36 + 12 · 25

−12 · 182 + 1

2 · 21 + 12 · 32 + 1 · 35 + 1

2 · 36 + 12 · 25

−12 · 182 + 1

2 · 21 + 12 · 32 + 1

2 · 35 + 1 · 36 + 12 · 25

−12 · 182 + 1

2 · 21 + 12 · 32 + 1

2 · 35 + 12 · 36 + 1 · 25

− 16 · 182 + 1

3 · 93

=

17.8333

−3.3333

−6

−0.5

1

1.5

−4

0.6667

となります。これより、

β21 =

µ

d1

p1

p2

p3

p4

p5

t1

から、

µ = 17.8333, d1 = −3.3333,

p1 = −6, p2 = −0.5, p3 = 1, p4 = 1.5, p5 = −4,

t1 = 0.6667

30

となります。次に、制約条件より d2 = 0, p6 = 0, t2 = 0であることから、

β2 =

µ

d1

d2

p1

p2

p3

p4

p5

p6

t1

t2

の各成分は

µ = 17.8333 ← Intercept

d1 = −3.3333 ← treat1

d2 = 0 ← treat2

p1 = −6 ← patno1

p2 = −0.5 ← patno2

p3 = 1 ← patno3

p4 = 1.5 ← patno4

p5 = −4 ← patno5

p6 = 0 ← patno6

t1 = 0.6667 ← period1

t2 = 0 ← period2

で与えられます。これは、表の値とほぼ一致しています。

　では次に、これを用いて予測値・残差を求めます。このモデルにおける予測値を y2 とおきますと、

y2 = X2β2

=

1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0

1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1

1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0

1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1

1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0

1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1

1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0

1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1

1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0

1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1

1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0

1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1

17.8333

−3.3333

0

−6

−0.5

1

1.5

−4

0

0.6667

0

31

=

17.8333 − 3.3333 − 6 + 0.6667

17.8333 − 6

17.8333 − 3.3333 − 0.5 + 0.6667

17.8333 − 0.5

17.8333 − 3.3333 + 1 + 0.6667

17.8333 + 1

17.8333 + 1.5 + 0.6667

17.8333 − 3.3333 + 1.5

17.8333 − 4 + 0.6667

17.8333 − 3.3333 − 4

17.8333 + 0.6667

17.8333 − 3.3333

=

9.1667

11.8333

14.6667

17.3333

16.1667

18.8333

20

16.0

14.5

10.5

18.5

14.5

となり、表の出力とほぼ一致します。次に残差e2 は、

e2 = y − y2

=

10

11

12

20

18

17

18

18

15

10

20

13

−

9.1667

11.8333

14.6667

17.3333

16.1667

18.8333

20

16.0

14.5

10.5

18.5

14.5

=

0.8333

−0.8333

−2.6667

2.6667

1.8333

−1.8333

−2

2

0.5

−0.5

1.5

−1.5

となり、これも表とほぼ一致します。

(iv) では次に分散分析表を求めます。そのためには、帰無仮説のもとでのモデルが必要となります。今回は、固定効果に

「薬剤」「個人」「時期」の３つがありますので、分散分析表の帰無仮説・対立仮説は、

H0 : d1 = d2 かつ p1 = p2 = p3 = p4 = p5 = p6 かつ t1 = t2

　　　 （薬剤の影響も個人の影響も時期の影響も全くない）

H1 : それ以外

となります。これより、帰無仮説のもとでのモデルは、(13)から di, pj , tk を除いた

yijk = µ + εijk

32

となります。データを全て縦に並べると、

y111 = µ + ε111

y212 = µ + ε212

y121 = µ + ε121

y222 = µ + ε222

y131 = µ + ε131

y232 = µ + ε332

y241 = µ + ε241

y142 = µ + ε142

y251 = µ + ε251

y152 = µ + ε152

y261 = µ + ε261

y162 = µ + ε162

となります。要は、どの要因もモデルに含めない、ということですので、「問題２」の分散分析表の帰無仮説のモデルと全く

同じです。すると、予測値・残差も全く同じになります。(8)、(9)からそれぞれ y10、e10 とおいていまして、

y10 =

15.1667

15.1667

15.1667

15.1667

15.1667

15.1667

15.1667

15.1667

15.1667

15.1667

15.1667

15.1667

, e10 =

−5.1667

−4.1667

−3.1667

4.8333

2.8333

1.8333

2.8333

1.8333

−0.1667

−5.1667

4.8333

−2.1333

と書けました。以上より、線形モデルの一般論から、

‖y − y10‖2 = ‖y − y2‖2 + ‖y2 − y10‖2

が成り立ちます。データ数・制約条件を入れたあとのパラメータ数は

y :データ 12個　　 →　 12y10 :パラメータµのみ　 　→　 1y2 :制約条件を入れた後のパラメータµ, d1, p1, · · · , p5, t1　→　 8

より、自由度は

(CorrectedTotal) ‖y − y10‖2 : 12 − 1 = 11(Error) ‖y − y2‖2 : 12 − 8 = 4(Model) ‖y2 − y10‖2 : 8 − 1 = 7

となります。数値を求めていきますと、各平方和は

(CorrectedTotal) ‖y − y10‖2 = ‖e10‖2

= (−5.1667)2 + (−4.1667)2 + (−3.1667) + 4.83332 + 2.83332 + 1.83332

+2.83332 + 2.83332 + (−0.1667)2 + (−5.1667)2 + 4.83332 + (−2.1333)2

33

= 159.5230

(Error) ‖y − y2‖2 = ‖e2‖2

= 0.83332 + (−0.8333)2 + (−2.6667)2 + 2.66672 + 1.83332 + (−1.8333)2

+(−2)2 + 22 + 0.52 + (−0.5)2 + 1.52 + (−1.5)2

= 35.3333

(Model) ‖y2 − y10‖2 =

∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥

9.1667

11.8333

14.6667

17.3333

16.1667

18.8333

20

16.0

14.5

10.5

18.5

14.5

−

15.1667

15.1667

15.1667

15.1667

15.1667

15.1667

15.1667

15.1667

15.1667

15.1667

15.1667

15.1667

∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥

2

=

∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥

−6

−3.3334

−0.5

2.1666

1

3.6666

4.8333

0.8333

−0.6667

−4.6667

3.3333

−0.6667

∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥

2

= (−6)2 + (−3.3334)2 + (−0.5)2 + 2.16662 + 12 + 3.66662

4.83332 + 0.83332 + (−0.6667)2 + (−4.6667)2 + 3.33332 + (−0.6667)2

= 124.331

となり、表の出力と大体一致します。

　次に、平均平方です。自由度で平方和を割ってやればよいですので、

(Error)14‖y − y2‖2 =

14· 35.3333 = 8.8333

(Model)17‖y2 − y10‖2 =

17· 124.331 = 17.7616

となり、表とほぼ一致します。では、次に F 値です。平均平方の比をとってやれば

F =Modelの平均平方Errorの平均平方

=17.76168.8333

= 2.0108

となります。なお、問題 2と同様、分母の Errorの平均平方には分散 σ2 の不偏推定値という意味もあります。つまり、

σ22 =

1Errorの自由度

‖e2‖2 =14· 35.3333 = 8.8333 (18)

となります。ここでも、F 統計量を F =17‖by2−by10‖2

bσ22

と捉えておくと、薬剤の検討の際に役立ちます。

　最後に p値です。分子の自由度が 7、分母の自由度が 4ですので、データステップで、

data pvalue;

　 p = 1 - cdf(’F’, 2.0108, 7, 4);

run;

としますと、p = 0.2606が得られ、表の値とほぼ一致します。

34

(v)次に、薬剤の影響をみる検定です。仮説は、「問題２」と同じく

H0d : d1 = d2

H1d : d1 6= d2

となります。以下、帰無仮説H0d のもとでの統計モデルを考えていきます。なお、最初のモデル自体が「問題２」と「問題

３」で異なりますので、H0d のもとでのモデルは、「問題２」とは異なっています。

まず、モデルは (13)から di を除いた

yijk = µ + pj + tk + εijk

となります。データを全て並べますと、

y111 = µ + p1 + t1 + ε11

y212 = µ + p1 + t2 + ε21

y121 = µ + p2 + t1 + ε12

y222 = µ + p2 + t2 + ε22

y131 = µ + p3 + t1 + ε13

y232 = µ + p3 + t2 + ε23

y141 = µ + p4 + t1 + ε14

y242 = µ + p4 + t2 + ε24

y151 = µ + p5 + t1 + ε15

y252 = µ + p5 + t2 + ε25

y161 = µ + p6 + t1 + ε16

y262 = µ + p6 + t2 + ε26

です。ベクトル・行列表記を考えますと、まず

X2d =

1 1 0 0 0 0 0 1 0

1 1 0 0 0 0 0 0 1

1 0 1 0 0 0 0 1 0

1 0 1 0 0 0 0 0 1

1 0 0 1 0 0 0 1 0

1 0 0 1 0 0 0 0 1

1 0 0 0 1 0 0 1 0

1 0 0 0 1 0 0 0 1

1 0 0 0 0 1 0 1 0

1 0 0 0 0 1 0 0 1

1 0 0 0 0 0 1 1 0

1 0 0 0 0 0 1 0 1

, β2d =

µ

p1

p2

p3

p4

p5

p6

t1

t2

とおきますと、

y = X2dβ2d + ε (ε ∼ N(0, σ2I12)) (19)

35

と書けます。ここで、SASは制約条件p6 = 0, t2 = 0を入れます。そして、

X2d1 =

1 1 0 0 0 0 1

1 1 0 0 0 0 0

1 0 1 0 0 0 1

1 0 1 0 0 0 0

1 0 0 1 0 0 1

1 0 0 1 0 0 0

1 0 0 0 1 0 1

1 0 0 0 1 0 0

1 0 0 0 0 1 1

1 0 0 0 0 1 0

1 0 0 0 0 0 1

1 0 0 0 0 0 0

, β2d1 =

µ

p1

p2

p3

p4

p5

t1

とおきますと、(19)は

y = X2d1β2d1 + ε (ε ∼ N(0, σ2I12))

と書けます。これを用いて、β2d1 の最小二乗推定値を計算していきます。

β2d1 = (X′2d1X2d1)

−1 X′2d1y (20)

となりますので、少しずつ計算していきます。まず、

X′2d1X2d1 =

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0

1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0

1 1 0 0 0 0 1

1 1 0 0 0 0 0

1 0 1 0 0 0 1

1 0 1 0 0 0 0

1 0 0 1 0 0 1

1 0 0 1 0 0 0

1 0 0 0 1 0 1

1 0 0 0 1 0 0

1 0 0 0 0 1 1

1 0 0 0 0 1 0

1 0 0 0 0 0 1

1 0 0 0 0 0 0

=

12 2 2 2 2 2 6

2 2 0 0 0 0 1

2 0 2 0 0 0 1

2 0 0 2 0 0 1

2 0 0 0 2 0 1

2 0 0 0 0 2 1

6 1 1 1 1 1 6

36

です。これより、

(X′2d1X2d1)−1 =

12 2 2 2 2 2 6

2 2 0 0 0 0 1

2 0 2 0 0 0 1

2 0 0 2 0 0 1

2 0 0 0 2 0 1

2 0 0 0 0 2 1

6 1 1 1 1 1 6

−1

=

712 −1

2 − 12 −1

2 −12 − 1

2 −16

−12 1 1

212

12

12 0

−12

12 1 1

212

12 0

−12

12

12 1 1

212 0

−12

12

12

12 1 1

2 0

−12

12

12

12

12 1 0

−16 0 0 0 0 0 1

3

となります。次に、

X′2d1y =

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0

1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0

10

11

12

20

18

17

18

18

15

10

20

13

=

10 + 11 + 12 + 20 + 18 + 17 + 18 + 18 + 15 + 10 + 20 + 13

10 + 11

12 + 20

18 + 17

18 + 18

15 + 10

10 + 12 + 18 + 18 + 15 + 20

=

182

21

32

35

36

25

93

37

です。これより、(20)は

β2d1 =

712 −1

2 −12 − 1

2 −12 − 1

2 − 16

− 12 1 1

212

12

12 0

− 12

12 1 1

212

12 0

− 12

12

12 1 1

212 0

− 12

12

12

12 1 1

2 0

− 12

12

12

12

12 1 0

− 16 0 0 0 0 0 1

3

182

21

32

35

36

25

93

=

712 · 182 − 1

2 · 21 − 12 · 32 − 1

2 · 35 − 12 · 36 − 1

2 · 25 − 16 · 93

− 12 · 182 + 1 · 21 + 1

2 · 32 + 12 · 35 + 1

2 · 36 + 12 · 25

− 12 · 182 + 1

2 · 21 + 1 · 32 + 12 · 35 + 1

2 · 36 + 12 · 25

− 12 · 182 + 1

2 · 21 + 12 · 32 + 1 · 35 + 1

2 · 36 + 12 · 25

− 12 · 182 + 1

2 · 21 + 12 · 32 + 1

2 · 35 + 1 · 36 + 12 · 25

− 12 · 182 + 1

2 · 21 + 1 · 32 + 12 · 35 + 1

2 · 36 + 1 · 25

−16 · 182 + 1

3 · 93

=

16.1667

−6

−0.5

1

1.5

−4

−22

0.6667

となります。ここで、

β2d1 =

µ

p1

p2

p3

p4

p5

t1

であり、制約条件から p6 = 0, t2 = 0となりますので、

µ = 16.1667

p1 = −6

p2 = −0.5

p3 = 1

p4 = 1.5

p5 = −4

p6 = 0

t1 = 0.6667

t2 = 0

となります。これが β2d の各成分です。

38

これより、このモデルに基づく予測値y2d は

y2d = X2dβ2d

=

1 1 0 0 0 0 0 1 0

1 1 0 0 0 0 0 0 1

1 0 1 0 0 0 0 1 0

1 0 1 0 0 0 0 0 1

1 0 0 1 0 0 0 1 0

1 0 0 1 0 0 0 0 1

1 0 0 0 1 0 0 1 0

1 0 0 0 1 0 0 0 1

1 0 0 0 0 1 0 1 0

1 0 0 0 0 1 0 0 1

1 0 0 0 0 0 1 1 0

1 0 0 0 0 0 1 0 1

16.1667

−6

−0.5

1

1.5

−4

0

0.6667

0

=

16.1667 − 6 + 0.6667

16.1667 − 6

16.1667 − 0.5 + 0.6667

16.1667 − 0.5

16.1667 + 1 + 0.6667

16.1667 + 1

16.1667 + 1.5 + 0.6667

16.1667 + 1.5

16.1667 − 4 + 0.6667

16.1667 − 4

16.1667 + 0.6667

16.1667

=

10.8334

10.1667

16.3334

15.6667

17.8333

17.1667

18.3334

17.6667

12.8334

12.1667

16.8334

16.1667

39

となります。これより、このモデルの残差e2d は、

e2d = y − y2d =

10

11

12

20

18

17

18

18

15

10

20

13

−

10.8334

10.1667

16.3334

15.6667

17.8333

17.1667

18.3334

17.6667

12.8334

12.1667

16.8334

16.1667

=

−0.8334

0.8333

−4.3334

4.3333

0.1667

−0.1667

−0.3334

0.3333

2.1666

−2.1667

3.1666

−3.1667

となります。以上より、薬剤群を入れるモデル H1d と入れないモデル H0d の予測性能の違いは

‖y2 − y2d‖2 =

∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥

9.1667

11.8333

14.6667

17.3333

16.1667

18.8333

20

16.0

14.5

10.5

18.5

14.5

−

10.8334

10.1667

16.3334

15.6667

17.8333

17.1667

18.3334

17.6667

12.8334

12.1667

16.8334

16.1667

∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥

2

=

∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥

−1.6667

1.6666

−1.6667

1.6666

−1.6666

1.6666

1.6666

−1.6667

1.6666

−1.6667

1.6666

−1.6667

∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥

2

= (−1.6667)2 + 1.66662 + (−1.6667)2 + 1.66662 + (−1.6666)2 + 1.66662

+1.66662 + (−1.6667)2 + 1.66662 + (−1.6667)2 + 1.66662 + (−1.6667)2

= 33.3323

となり、これが TypeIIIの表の平方和の部分にほぼ一致します。また、制約条件を入れた後のパラメータ数は

y2 : 制約条件を入れた後のパラメータµ, d1, p1, · · · , p5, t1　→　 8y2d : 制約条件を入れた後のパラメータµ, p1, · · · , p5, t1　　 →　 7

より、自由度は

‖y2 − y2d‖2 : 8 − 7 = 1

となります。これより、平均平方は

11· ‖y2 − y2d‖2 = 33.3323

です。ここで (18)より、分散の不偏推定値は σ22 = 8.8333で与えられますので、F 値は、

F =11 · ‖y2 − y2d‖2

σ22

=33.33238.8333

= 3.7735

40

となります。分母の自由度が 4、分子の自由度が 1であることから p値は

data pvalue;

　 p = 1 - cdf(’F’, 3.7735, 1, 4);

run;

とすれば、p = 0.1240となります。これは表の出力と一致します。

41