认真、执着 图老师 寒假习题集 -...
TRANSCRIPT
认真、执着
图老师-寒假习题集 四年级-奥数课堂
姓名：____________________
学校：____________________
学而思网校
1 / 41
什么是学而思网校？
我们每一个长期班奥数课程包含了以下三大课堂，这三部分相辅相成，为孩子们带来了一个
有意思的学习过程。同时，这三大课堂也让学习变得更加有效。
如何开始网校的奥数学习呢?
1、 下课表、做规划。
2、 上直播，保进度。
3、 安装家长会，及时沟通（现更名为“学而思网校”）
录播课程
有效期内反复学习
每讲45分钟左右
课程每一小节都有互动
直播课程
隔周上课，时间固定
互动性更强，培养兴趣
巩固所学，拓展提升
学而思网校APP
购课后，自动进入班级
答疑、解惑、晒笔记
记录学习轨迹
尊重认知的梯度
探索逻辑的深度
挑战思维的高度
认真，你就赢了！
扫一扫，下载“学而思网校”
2 / 41
目录
什么是学而思网校？ ....................................................................................................................... 1
如何开始网校的奥数学习呢? ................................................................................................. 1
第 1 讲 多位数计算 ......................................................................................................................... 3
第 2 讲 容斥原理初步（一） ......................................................................................................... 6
第 3 讲 容斥原理初步（二） ....................................................................................................... 10
第 4 讲 应用题综合 ....................................................................................................................... 14
第 5 讲 数列与数表（一） ........................................................................................................... 18
四年级-寒假-奥数-期中测试 ......................................................................................................... 21
第 6 讲 排列（一） ....................................................................................................................... 23
第 7 讲 排列（二） ....................................................................................................................... 26
第 8 讲 组合（一） ....................................................................................................................... 29
第 9 讲 组合（二） ....................................................................................................................... 32
第 10 讲 统筹与最优化 ................................................................................................................. 35
四年级-寒假-奥数-期末测试 ......................................................................................................... 39
3 / 41
第 1 讲 多位数计算
课前回顾
随堂练习
1. 计算：72 × 88 ÷ 55 × 25＝ ______。
A、2880 B、1440 C、288 D、144
2. 2521 × 9999的乘积中有____个数字是奇数。
A、2 B、3 C、4 D、5
3. 计算：723 × 99＋99 × 273－99 × 72＝ ______。
A、99000 B、71577 C、722277 D、91476
4. 计算：2345＋3452＋4523＋5234＝ _____。
A、1554 B、15554 C、1444 D、14444
5. 计算：33333 × 66666 =
A、2222177778 B、22217778 C、22222177778 D、2222188888
4 / 41
拓展练习
1. 111111111 与 999999999 的乘积中有几个数字是奇数？
A、10 B、9 C、8 D、7
2. 12345＋23451＋34512＋45123 + 51234 =_______
A、144445 B、166665 C、122225 D、133335
3. (12345＋23451＋34512＋45123 + 51234) ÷ (1 + 2 + 3 + 4 + 5) =_______
A、11110 B、11111 C、10000 D、10001
5 / 41
课后作业
1. 算式“66⋯6⏟
2007个 6
× 16⋯65⏟
2006个 6
÷ 99⋯9⏟
2007个 9
” 计算结果的各位数字之和是_____
2. 算式：66⋯6⏟
2009个 6
× 133⋯32⏟
2008个 3
的计算结果的各位数字之和是 .
3. 算式“44⋯4⏟
40个 4
− 66⋯6⏟
20个 6
+ 88⋯8⏟
20个 8
00⋯0⏟
10个 0
”的计算结果？
4. 计算：99⋯9⏟
2010个 9
× 99⋯9⏟
2010个 9
=______.
5. 算式 910091009100
9991999999
个个个
计算结果末尾有多少个零？
6. 计算：33⋯3⏟
2010个 3
× 55⋯5⏟
2010个 5
× 44⋯4⏟
2010个 4
× 22⋯2⏟
2010个 2
6 / 41
第 2 讲 容斥原理初步（一）
课前回顾
1. 基本文氏图（土星上称为“大饼图”）
两张饼，大饼 = A + B − AB
三张饼，大饼 = A + B + C − AB − AC − BC + ABC
2. 考点：排除法、求锅内饼外、三叶草
随堂测试
1. 芳草地小学四年级有 58 人学钢琴，43 人学画画，37 人既学钢琴又学画画，问只学钢琴
和只学画画的分别有_____人。
A、21、6 B、21、8 C、21、5 D、7、20
2. 夏天到了，天气炎热，为了解暑，四年级三班有 27 个同学去买饮料，其中买可乐的人
有 20 人，买雪糕的有 12 人，问 2 种都买的有_____人。
A、8 B、6 C、5 D、4
3. 48 名学生，在一节自习课上，写完语文作业的有 30 人，写完数学作业的有 20 人，语
文数学都没写完的有 6 人．两科都写完有_____人。
A、12 B、10 C、9 D、8
4. 四年级参加学校艺术团，其中有 32 人弹钢琴，48 人拉小提琴，26 人拉手风琴．同时弹
钢琴和拉小提琴有 8 人，同时拉小提琴和手风琴的有 6 人，同时弹钢琴和拉手风琴的有
9 人，三种都参加的有 3 人．四年级参加合唱团一共有____人.
A、86 B、90 C、92 D、96
5. 三年级共 96 人，其中 37 人参加了体育小组，36 人参加了数学小组，40 人参加了舞蹈
7 / 41
小组，有20人既参加体育又参加了数学小组，有18人既参加了数学又参加了舞蹈小组，
有 12 人既参加了体育又参加了舞蹈小组，而三个小组都未参加的有 24 人，问三个小组
都参加的人数有_____人。
A、10 B、9 C、8 D、7
拓展练习
1. 在 46 人参加的采摘活动中，采了草莓的有 22 人，采了樱桃的有 25 人，既没采草莓又
没采樱桃的有 6 人，只采了其中一种水果的有( )人。
A.7 B.15 C.24 D.33
2. 1～100 中是 4 或 5 的倍数的数有( )个
A.20 B.30 C.40 D.50
几何中的容斥原理是一个非常热的考点，同学们要注意重点掌握。另外，
同学们在做题的时候，要看着问题找图形，不能乱套公式.
8 / 41
课后作业
1. 实验小学四年级二班，参加语文兴趣小组的有 28 人，参加数学兴趣小组的有 29 人，有
12 人两个小组都参加．这个班有多少人参加了语文或数学兴趣小组？
2. 有 100 位旅客，其中有 10 人既不懂英语，又不懂俄语，有 75 人懂英语，又 83 人懂俄
语.那么这 100 位旅客中既懂英语又懂俄语的有多少人.
3. 在 1~100 的全部自然数中，不是 3 的倍数也不是 5 的倍数的数有多少个？
4. 操场上有 50 名同学在跑步或跳绳，其中女生 18 名，跳绳的有 31 名，跑步的男生有 14
名，那么跳绳的女生有多少名？
5. 如图，阴影部分四边形的外接图形是边长为 10cm 的正方形，则阴影部分四边形的面积
是________cm2．
9 / 41
【智力趣题】
大小像猫，长相像老虎，这是什么动物呢？ 为什么一条凶猛的眼镜蛇在森林里却
没有伤人呢?
为什么有家医院从来不给人看病? 小花不是哑巴，但却不会说话，为
什么?
10 / 41
第 3 讲 容斥原理初步（二）
课前回顾
1. 容斥原理的本质：
不考虑重叠，先计算出结果，之后再减去重叠部分。
2. 三叶草，三个圆再叠加的时候，三叶草计算了 2 次，中心花蕊计算
3 次。
随堂测试
1. 实验小学四年级二班，参加语文兴趣小组的有 28 人，参加数学兴趣小组的有 29 人，
有 12 人两个小组都参加．这个班有_____人参加了语文或数学兴趣小组。
A、40 B、41 C、57 D、45
2. 某班有 48 人，完成作业的情况有三种：一种是只完成语文作业的；一种是只完成数学
作业的；一种是语文、数学作业都完成了．已知做完语文作业的有 37 人；做完数学作
业的有 42 人．这些人中语文、数学作业都完成的有_____人。
A、31 B、37 C、42 D、50
3. 在一个旅行团中，每人至少懂英语、汉语、日语中的一种。其中懂英语的有 66 人，懂
汉语的有 54 人，懂日语的有 55 人，既懂英语又懂汉语的有 25 人，既懂汉语又懂日语
的有 21 人，既懂英语又懂日语的有 29 人，三门语言都懂的有 12 人。问：这个旅行团
有____人。
A、100 B、112 C、66 D、57
4. 有 100 位旅客，其中有 10 人既不懂英语，又不懂俄语，有 75 人懂英语，又 83 人懂俄
语。那么这 100 位旅客中既懂英语又懂俄语的有____人。
A、25 B、50 C、63 D、68
11 / 41
5. 某班共有学生 48 人，其中 27 人会游泳，33 人会骑自行车，40 人会打乒乓球．那么，
这个班至少有_____名学生这三项运动都会。
A、4 B、5 C、6 D、7
拓展练习
1. 在 1 至 100 的自然数中，既不能被 3 整除，又不能被 4 整除，还不能被 7 整除的数有( )
个。
A、42 B、43 C、44 D、58
容斥问题作为计数专题的一个重要组成部分，基本公式要熟悉，也要能
结合具体题目，具体分析。简单说来就是如何消重的问题，多算的地方
一定减去，做到“不漏不重”.
12 / 41
课后作业
1. 班里总共有 100 人，其中有 65 会游泳，有 73 人会骑自行车，有 10 人既不会骑自行车，
又不会游泳，那么，班里既会骑自行车又会游泳的有多少人？
2. （第四届走美试真题）2006 盏亮着的电灯，各有一个拉线开关控制，按顺序编号为 l，
2，…，2006．将编号为 2 的倍数的灯的拉线各拉一下；再将编号为 3 的倍数的灯的拉
线各拉一下，最后将编号为 5 的倍数的灯的拉线各拉一下．拉完后亮着的灯数为
________盏．
3. 如图所示，A、B、C 分别是面积为 12、28、16 的三张不同形状的纸片，它们重叠在一
起，露在外面的总面积为 38．若 A 与 B、B 与 C 的公共部分的面积分别为 8、7，A、B、
C 这三张纸片的公共部分为 3．求 A 与 C 公共部分的面积是多少？
4. 在 1 至 100 的自然数中，不能被 2 整除，又不能被 3 整除，还不能被 5 整除的数，占这
100 个自然数的百分之几？
5. 下面的图形中一共包含了多少个正方形？
6. （2008 年西城实验考题）在 1 至 2008 这 2008 个自然数中，恰好是 3、5、7 中两个数
的倍数的数共有_______个．
AB
C
13 / 41
奇怪的酒会
王丽是广告公司职员．有一回，她参加了一个奇怪的酒会，共有 98 人．她
发现，任意两个人中，至少有一个是女的，那么这个酒会上共有多少男性多
少女性呢？
14 / 41
第 4 讲 应用题综合
课前回顾
1. 和差倍问题中，注意求差值，及对应倍数.
2. 年龄问题：“多胞胎法”解决变倍问题.
3. 应用题的法宝——方程.
随堂测试
1. 兄弟二人共养鸭 550 只，当哥哥卖掉自己养鸭总数的一半，弟弟卖出 70 只时，两人余
下的鸭只数相等，弟弟原来养了____只鸭。
A、230 B、320 C、180 D、250
2. 有两支香，第一支长 34 厘米，第二支长 18 厘米，同时点燃后，都是平均每分钟燃烧 2
厘米，多少分钟后第一支香是第二支香长度的 3 倍？
A、8 B、7 C、6 D、5
3. 实验室中培养了一种奇特的植物，它生长得非常迅速，每天都会生长到昨天质量的 2
倍还多 3 公斤．培养了 3 天后，植物的质量达到 45 公斤，求这株植物原来有多少公斤？
A、3 B、4 C、5 D、6
4. （第 12 届“迎春杯”试题）甲、乙、丙共有 100 本课外书．甲的本数除以乙的本数，丙
的本数除以甲的本数，商都是 5，而且余数也都是 1．乙有书 本．
A、2 B、3 C、4 D、5
5. （“华罗庚金杯”试题）松鼠妈妈采松子，晴天每天可采 20 个，雨天每天可采 12 个，它
一连几天采了 112 个松子，平均每天采 14 个，问，这几天当中有几天有雨？
A、8 B、7 C、6 D、5
15 / 41
拓展练习
1. 张、王、李、赵四个小朋友共有课外读物 200 本，为了广泛阅读，张给王 13 本，王给
李 18 本，李给赵 16 本，赵给张 2 本，这时 4 个人的本数相等。王原来有（ ）本？
A、55 B、50 C、36 D、30
2. 一批石油，如果用甲种油罐车装运，需要 20辆，如果用乙种油罐车装运，需要 25辆．已
知甲种油罐车比乙种油罐车每辆多装 2吨．求这批石油共多少吨？
A、300 B、250 C、220 D、200
3. 据说在外国有两个兄弟打架后，被暴怒的妈妈罚写一百遍自己的名字，弟弟很快写完就
出去玩了，哥哥写好长时间还没写完，妈妈生气地批评他写的太慢，这个哥哥憋了一会
儿，终于大着胆子对妈妈说：“妈妈，这不公平，弟弟的名字叫泰勒，而我的名字叫卡
尔·德里希·高斯。”看完这个笑话后，考虑一下下面这道题：当哥哥和弟弟一共写了 228
个字时，弟弟写的遍数是哥哥写的遍数的 4 倍还少 6 遍，那么弟弟写了（ ）遍。
A、16 B、30 C、54 D、58
高年级我们对方程应该有个正确认识，这是我们解决应用题问题和行程
问题的重要法宝，要逐渐学习设未知数，找等量关系列方程.
16 / 41
课后作业
1. 有两根同样长的绳子，第一根截去 12 米，第二根接上 14 米，这时第二根长度是第一
根长的 3 倍，这两根绳子原来长多少米？
2. 盒子里有红球和白球若干，若每次从里面拿出 1 个红球和 1 个白球，那么当拿到没有
红球时，还剩下白球 50 个，若每次拿出 1 个红球和 3 个白球，则拿到没有白球时，
还剩下 50 个红球，那么盒子里有红球和白球各多少个？
3. 今年小宁 9 岁，妈妈 33 岁，那么再过多少年小宁的岁数是妈妈岁数的一半？
4. （第五届“迎春杯”刊赛试题）有甲、乙、丙三个人，当甲的年龄是乙的 2 倍时，丙是
22 岁；当乙的年龄是丙的 2 倍时，甲是 31 岁；当甲 60 岁时，丙是多少岁？
5. 11 年前父亲的年龄是儿子年龄的 7 倍，14 年后父亲的年龄是儿子年龄的 2 倍，今年
父子各是多少岁？
6. 一群小猴上山摘野果，第一只小猴摘了一个野果，第二只小猴摘了 2 个野果，第三只
小猴摘了 3 个野果，依次类推，后面的小猴都比它前面的小猴多摘一个野果。最后，
每只小猴分得 8 个野果。这群小猴一共有_________只。
17 / 41
【越玩越聪明】
动物园里的小象将会变成什么? 什么虎会爬墙却不会伤害人呢?
什么贼不偷东西? 有一头头朝北的牛，它向右转三圈，
然后向后转，接着再左转，这时候
它的尾巴朝向哪里？
18 / 41
第 5 讲 数列与数表（一）
课前回顾
1. 数列中的周期问题.
2. 分组思想在数列中的应用.
3. 数表中的等差数列，中项定理依然成立：和＝中间项×项数
随堂测试
1. 数列：1991414199141419 共 2008 个数字，其中数字 1 有 个.
A、575 B、861 C、286 D、287
2. 观察下面的算式：4 2 ，5 4 ，6 6 ，4 8 ，5 10 ，6 12 ，4 14 ，5 16 ，…其中
第_____个算式的结果是 2510.
A、250 B、251 C、252 D、253
3. 一个数列的第一项是 1，之后的每一项是这样得到的：如果前一项是一位数，接着的一
项就等于前一项的二倍；如果前一项是两位数，接着的一项就等于前一项各位数字的和
的两倍．请问：第 100 项是_____。
A、2 B、4 C、6 D、8
4. （ 2000年“祖冲之杯”小学数学邀请赛试题）如图是一张把自然数按一定顺序排列的数
表，用一个五个空格的十字框可以框出五个不同的数字，现框出的框内五个数字的四角
上数字的和是 48，如果框出的五个数字的四角的和是 624时，那么框内下面的数字是
_____.
A、149
B、163
C、155
D、157
...
21201918171615
141312111098
7654321
19 / 41
课后作业
1. （2010 年中环杯初赛）观察一组式子：32 + 42 = 52，52 + 122 = 132，72 + 242 =
252，92 + 402 = 412根据以上规律，请你写出第 7 组算式：________________.
2. 下面的各算式是按规律排列的： 1 1 ， 2 3 ，3 5 ， 4 7 ，1 9 ， 2 11 ，3 13 ，
4 15 ，1 17 ，…， 那么其中第多少个算式的结果是 2008？
3. 1, 1, 4, 2, 7, 3, 10, 1, 13, 2, 16, 3, 19, 1, 22, 2, 25, 3，…，
100．请观察上面数列的规律，问：
(1) 这个数列一共有多少项？
(2) 这个数列所有数的总和是多少？
4. 按图所示的顺序数数，
(1) 当数到 1500 时，应数到第几列？
(2) 当数到 2007 时，应在哪一列呢？
5. 将 1～100 的自然数按下面的顺序排列：问正方形里的 9 个数和是 90，能否照这样框出
9 个数，使它们的和分别是 170、216、630？
6. （从小爱数学邀请赛）
有一串分数：1
1，
1
2，
2
2，
1
2，
1
3，
2
3，
3
3，
2
3，
1
3，
1
4，
2
4，
3
4，
4
4，
3
4，
2
4，
1
4，
32313029272625
2423222120191817
16151413121110
87654321
28
9
1 2 3 4 5
34
33 32 31 30
2928272625 24 23 22
21201918
17 16 15 14
131211109 8 7 6
54321
20 / 41
请问：7
10是第几个分数？
【越玩越聪明】
为什么你写出一个字，谁见了都会说好呢？ “新华字典”有多少个字？
什么样的山和海可以移动？ 太阳和月亮在一起是哪一天？
两个重要方法：①等差数列中的，中间数＝平均数；②周期规律中，分
组的方法，常常分组之后，组中的个数也是有规律的。
21 / 41
四年级-寒假-奥数-期中测试
（每题 10 分，共计 100 分）
1. 计算：99999 × 26 + 33333 × 24＝______.
2. 计算：333333 333333 ______. ＝
3. 计算： 2004 20032002 2002 20032004 ______. ＝
4. 四年级（3）班参加英语考试的有 21 人，参加数学考试的有 25 人，已知总共有 32 人参
加考试，那么两门考试都参加的有____人.
5. 三位基金经理投资若干只股票．张经理买过其中 66 只，王经理买过其中 40 只，李经理
买过其中 23 只．张经理和王经理都买过的有 17 只，王经理和李经理都买过的有 13 只，
李经理和张经理都买过的有 9 只，三个人都买过的有 6 只．请问：这三位经理一共买过
_____只股票.
6. 50 名同学面向老师站成一行，老师先让大家从左至右按 1，2，3，……，49，50 依次报
数；再让报数是 4 的倍数的同学向后转，接着又让报数是 6 的倍数的同学向后转.问：
现在面向老师的同学还有 ______名.
7. 爸爸 15 年前的年龄相当于儿子 12 年后的年龄，当爸爸的年龄是儿子的 4 倍时，爸爸___
22 / 41
岁.
8. 甲、乙两校共有学生 864，为了照顾学生就近入学，从甲校调入乙校 32 名同学，这样
甲校学生还比乙校多 48 人，甲校原有学生 人，乙校原有学生 人．
9. 在数学竞赛中，学校出 20 道题．规定答对一题得 10 分，答错一题扣 5 分．五年级一班
45 人参加，共得 5625 分．这个班共答对_____道.
10. 1, 1, 4, 2, 7, 3, 10, 1, 13, 2, 16, 3, 19, 1, 22, 2, 25, 3，…，
100．请观察上面数列的规律，问：
(1) 这个数列一共有____项.
(2) 这个数列所有数的总和是____.
23 / 41
第 6 讲 排列（一）
课前回顾
随堂测试
1. 计算：𝐴32 + 𝐴5
4 =
A、120 B、126 C、26 D、36
2. 用1、 2、 3、 4、 5 、 6、 7、8可以组成多少个没有重复数字的四位数？
A、1680 B、356 C、56 D、8
3. 学校要排练一个话剧，小明，小亮，小刚 3 人要从刘邦、张良、项羽、范增、樊哙、韩
信这 6 个角色中一人挑选其中一个角色来演，那么共有（ ）种选法。
A、40 B、80 C、120 D、160
4. 一列往返于北京和上海方向的列车全程停靠14个车站(包括北京和上海)，这条铁路线共
需要多少种不同的车票？
A、182 B、14 C、13 D、364
5. 一共有红、橙、黄、绿、青、蓝、紫七种颜色的灯各一盏，串起其中 4盏灯，紫灯不排
在第一位，也不排在第四位．那么：这一串灯有多少种不同的排法?
A、100 B、200 C、300 D、600
24 / 41
拓展练习
1. 用 1、3、5、7 这四个数字，不许重复，位数不限，能写出（ ）个3的倍数。（提示：
包括一位数、两位数、三位数，需要先分类）
A、17 B、18 C、19 D、20
2. 周末时网校老师出去游玩，王雨洁、姜付加、吴桐、张新刚、崔兆玉、兰海、刘阳七位
老师想一块儿站成一排合个影，刘阳和兰海因为高必须站在两头，则有（ ）种站法。
A、120 B、160 C、200 D、240
【疯狂答题】（重在参与，我爱国学）
（摘自《小新-国学 200 题》）《西游记》中唐僧的原型是：
A、玄奘
B、鉴真
C、寒山
D、慧能
25 / 41
课后作业
1. 丁丁和爸爸、妈妈、奶奶、哥哥一起照“全家福”，5 人并排站成一排，奶奶要站在正中
间，有多少种不同的站法？
2. 由 0，2，5，6，7，8 组成无重复数字的数．
(1) 整数有多少个？
(2) 是 5 的倍数的三位数有多少个？
3. 由 0，2，5，6，7，8 组成无重复数字的数．
(1) 由小到大排列的四位数中，5607 是第几个数？
(2) 由小到大排列的四位数中，第 128 个数是多少？
4. 七个人排成一排照相，
(1) 若小明必须排在小丽左边，有多少种排法？
(2) 若小明必须与小丽排在一起，有多少种排法？
5. 四年级三班举行六一儿童节联欢活动，整个活动由 2 个舞蹈、2 个演唱和 3 个小品组
成．请问：如果要求同类型的节目连续演出，那么共有多少种不同的出场顺序？
关于排列，1、有序，站队；
2、用 A 表示，就是个名字，
本质还是乘法原理。
26 / 41
第 7 讲 排列（二）
课前回顾
随堂测试
1. 七个同学照相，需要排成一排，某两人必须有一人站在最中间,一共有多少种不同的排
法?
A、360 B、720 C、1440 D、2880
2. 由 0，1，2，4，6，8 组成的无重复三位数有多少个?
A、100 B、120 C、80 D、60
3. 由 0， 2， 5， 6， 7，8组成无重复数字的三位偶数有多少个?
A、120 B、90 C、68 D、60
4. 五个小朋友站成一排，小明和小亮一定要站在一起,那么,一共有多少种不同的站队方法?
A、24 B、48 C、96 D、120
5. 五个小朋友站成一排，小明和小亮一定不能站在一起,那么,一共有多少种不同的站队方
法?
A、36 B、72 C、48 D、108
27 / 41
拓展练习
1. 现在有 8 颗珠子，3 颗红珠子，3 颗蓝珠子，2 颗粉珠子，如果把所有珠子串成一排，3
颗蓝珠子分开串，则共有（ ）种不同的串法。
A、120 B、7200 C、12000 D、14400
2. 有 9 名同学要照相，其中女生 4 名，男生 5 名，他们站成一排，男女各不相邻，则有（ ）
种不同的排法。
A、1680 B、2880 C、42300 D、43200
【疯狂答题】（重在参与，我爱国学）
（摘自《小新-国学 200 题》）孟浩然是什么诗派？与哪一位诗人齐名？
A、边塞诗派；王翰
B、田园诗派；岑参
C、边塞诗派；王昌龄
D、田园诗派；王维
28 / 41
课后作业
1. 从 0～6 这七个数字中任意选取 3 个，一共可以组成 个不含重复数字的三位偶数.
2. 一列往返于北京和上海方向的列车全程停靠 14 个车站(包括北京和上海)，这条铁路线
共需要多少种不同的车票．
3. 4名男生，5 名女生，全体排成一行，问下列情形各有多少种不同的排法：
⑴ 甲、乙两人必须排在两端；
⑵ 男、女生分别排在一起；
⑶ 男女相间。
4. 七个同学照相， 甲站在乙的左边，且乙站在丙的左边的不同排法（可以不相邻）有 __
种。
5. 两对三胞胎喜相逢，他们围坐在桌子旁，要求每个人都不与自己的同胞兄妹相邻，(同
一位置上坐不同的人算不同的坐法)，那么共有多少种不同的坐法？
关于排列，1、有序，站队；
2、用 A 表示，就是个名字，
本质还是乘法原理。
29 / 41
第 8 讲 组合（一）
课前回顾
随堂测试
1. 计算: 𝐶54 + 𝐶10
3 =
A、125 B、120 C、60 D、30
2. 体育课上，老师从 5 名男生中挑出 4 人站成一排，一共有多少种不同的排列方法？
A、20 B、30 C、60 D、120
3. 学校开设 6门任意选修课，要求每个学生从中选学3门，共有多少种不同的选法？
A、10 B、20 C、30 D、120
4. 由一个圆周上的 10 个点，可以组成多少条不同的线段？
A、15 B、30 C、45 D、90
5. 妈妈有 12 颗不同的糖果，她想分给大毛 3 颗，分给二毛 9 颗，一共有多少种不同的分
法。
A、100 B、110 C、200 D、220
30 / 41
【疯狂答题】（重在参与，我爱国学）
（摘自《小新-国学 200 题》）“春城无处不飞花，寒食东风御柳斜。 日暮汉宫传蜡烛，轻烟
散入五侯家。”是唐代诗人韩翃的《寒食》，那么寒食节与下列哪一位人物有关？
A、屈原
B、周公
C、介之推
D、孔子
31 / 41
课后作业
1. 计算：
(1) 𝐶52= ；
(2) 𝐶108 + 𝐶5
3= ；
2. 6 个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次？如果又来了 2 个朋友，这时候会
多握几次手？
3. 小悦要从八门课程中选学三门，一共有多少种选法？如果数学课与钢琴课时间冲突，
不能同时学，她一共有多少种选法？
4. 6 名学生和 4 名老师分成红、蓝两队拔河，要求每个队都是 3 名学生和 2 名老师，一
共有多少种分队的方法？
5. 周末大扫除，老师要从第一组的 10 名男生和 10 名女生中选出 5 人留下打扫卫生。请
问：
(1) 如果老师随意选择，一共有多少种选择方法？
(2) 如果老师决定选出 2 名男生和 3 名女生，一共有多少种选择方法？
6. 在正八边形中有 8 个顶点和 1 个中心点，以这 9 个点为顶点的三角形共有多少个？
7. 从 20 件产品中有 4 件次品，现抽取 3 件检查，
(1) 恰好有一件次品的取法有___________种；
(2) 既有正品又有次品的取法有_______________种.
32 / 41
第 9 讲 组合（二）
课前回顾
随堂测试
1. 计算：𝐶54 + 𝐶8
7 =
A、13 B、14 C、15 D、16
2. 某校举行排球单循环赛，有12个队参加．问：共需要进行多少场比赛？
A、66 B、132 C、33 D、22
3. 学校十佳歌手大赛的 10 名获奖选手中，每 3 人都要照一张合影。问：需要拍多少张照
片？
A、30 B、60 C、120 D、720
4. 有 12 粒糖，分三天吃完，每天至少吃一粒，共有多少种不同的吃法？
A、55 B、66 C、550 D、660
5. 10 只无差别的橘子放到 3 个不同的盘子里，允许有的盘子空着．请问一共有多少种不
同的放法？
A、36 B、66 C、132 D、660
33 / 41
【疯狂答题】（重在参与，我爱国学）
《红楼梦》中林黛玉的“半卷湘帘半掩门，碾冰为土玉为盆。偷来梨蕊三分白，借得梅花一
缕魂。”描述的是什么花？
A、白海棠
B、白荷花
C、白玫瑰
D、白菊花
34 / 41
课后作业
1. 计算：
(1) 𝐶95
(2) 𝐶105 − 2 × 𝐶10
2
(3) 𝐶54，𝐶5
1
(4) 𝐶107，𝐶10
5
2. 在一次合唱比赛中，有身高互不相同的 8 个人要站成两排，每排 4 个人，且前后对齐。
而且第二排的每个人都要比他身前的那个人高，这样才不会被挡住。一共有多少种不同
的排队方法？
3. 如图所示，从端点O出发的射线共有 7 条，图中一共有多少个锐角？
4. 在图中1 5 的格子中填入 1，2，3，4，5 这 5 个数，要求，填入的数各不相同并且填在
黑格里的数比它旁边的两个数都大．共有 种不同的填法．
5. 一个小组共 7 名学生，其中 4 女生，3 男生.现从中选出 3 名代表，其中至少有一名女生
共有多少种选法？
6. 把同一排 6 张座位编号为 1，2，3，4，5，6 的电影票全部分给 4 个人，每人至少 1 张，
至多 2 张，且这两票具有连续的编号，那么不同的分法种数是 ．
35 / 41
第 10 讲 统筹与最优化
课前回顾
随堂测试
1. 以下5个人各拿一个水桶在自来水龙头前等候打水，他们打水所需的时间分别为3分钟、
4 分钟、5 分钟、6 分钟和 7 分钟.如果只有一个水龙头，试问怎样适当安排他们的打水
顺序，才能使每个人排队和打水时间的总和最小，这个最小的时间是_____分钟。
A、45 B、75 C、60 D、65
2. 四个人各拿一个大小不同的水壶在饮水机前打水，他们打水所需的时间分别是 1 分钟、
2 分钟、3 分钟和 5 分钟，由于饮水机一个个出水口，请你适当安排他们打水的顺序，
使所有人排队和打水所用时间的总和最少．这个总时间最少是多少？
A、10 B、21 C、22 D、23
3. 超市里有两位收银员，同时来了 A、B、C、D、E 五个顾客．A 买糖果需要 2 分钟；B 买
大米需要 6 分钟；C 买香烟和啤酒需要 4 分钟；D 买水果需要 3 分钟；E 买蔬菜需要 5
分钟．请问：售货员应该如何安排五个人的顺序，使得这五个人排队等候所用时间的总
和最少，这个最少时间是多少？
A、31 B、32 C、33 D、34
4. 如图，在街道上有 A、B、C、D、E、F、G 七栋居民楼，现在设立一个公交站，要想使
36 / 41
居民到达车站的距离之和最短，车站应该设在何处？
A、设在 C 点
B、设在 D 点
C、设在 E 点
D、设在 F 点
5. 北京、上海分别有 10 台和 6 台完全相同的机器，准备给武汉 11 台，西安 5 台，每台机
器的运费如右表，如何调运能使总运费最省，最省多少钱？
A、8000
B、9500
C、9700
D、8600
6. 某乡共有六块麦地，每块麦地的产量如右图．试问麦场设在何处最好？(运输总量的千
克千米数越小越好．)
A、C 点
B、E 点
C、G 点
D、A 点
【疯狂答题】（重在参与，我爱国学）
（摘自《小新-国学 200 题》） 中国诗歌史上，被称为“诗鬼”的人是谁？
A、李白
B、李贺
C、李商隐
D、王维
6000千克 4000千克
1000千克
5000千克
2000千克
3000千克
G
F
E
D
C
B
A
GFEDCBA
到站运费/元
发站武汉 西安
北京
上海
500
700
600
1000
37 / 41
课后作业
1. 梧桐老师烧鱼招待大家，她洗鱼要 2 分钟，切鱼要 2 分钟，切葱姜要 1 分钟，洗锅要 2
分钟，烧热锅、烧热油一共用 4 分钟，烧鱼要 5 分钟．请你帮忙算一算，她做这些事至
少需要多长时间？
2. 下图是贝贝家附近的道路图，其中 A 地是贝贝家，B 地是学校，各段路的路况不同，贝
贝走每段路所用的时间都已经标在图中（单位：分钟）．请问：贝贝从家走到学校最少
需要多少分钟？
3. 一条直街上有五栋楼，相邻两栋楼的距离都是 50 米，这五栋楼从左到右编号为 1、2、3、
4、5，楼里分别有 1 名、2 名、3 名、4 名、5 名职工在 A 工厂上班，A 厂计划在直街上
建一个班车站接送这五栋楼的职工上下班，为使这些职工到班车站所走的路程之和最小，
车站应建在距 1 号楼多少米处？
4. 中国和美国分别制成了同一型号的大型电子计算机若干台，除本国外，中国可以支援外
国 100 台，美国可以支援外国 40 台，现在决定给日本 80 台，印度 60 台．若每台大型
计算机的运费如下表所示（单位：万元），应该如何调运才能使总运费最省？请算出最
少的运费，
补充
1. 5 所学校 A,B,C,D,E 之间有公路相通，图中标出了各段公路的千米数，现在想在某所学校
召开一次学生代表会议，应出席会议的 A,B,C,D,E 校分别有 6 人，4 人，8 人，7 人，10
人，为使参加会议的代表所走的路程总和最小，会议应选在哪个学校召开？
5 10
3
3
5
823
4A B
38 / 41
2
2 2
3
4
A
B
D E
C
2. 一支勘探队在五个山头 A、B、C、D、E 设立了基地，人数如下图所示。为调整使各基地
人数相同，如何调动最方便？（调动时不考虑路程远近）
3. 189 米长的钢筋要剪成 4 米或 7 米两种尺寸，如果剪法最省材料？
39 / 41
四年级-寒假-奥数-期末测试
一、选择题（每题 5 分，共计 40 分）
1. 计算：99999 × 26 + 33333 × 24＝_ _____.
A、3339999 B、3399966 C、3399999 D、3300066
2. 方程：6𝒳 − (4 −𝒳) = 17的解，𝒳 =
A、3 B、4 C、5 D、6
3. 计算： 2004 20032002 2002 20032004 ______. ＝
A、20030000 B、30060000 C、40060000 D、60080000
4. 四年级（3）班参加英语考试的有 21 人，参加数学考试的有 25 人，已知总共有 32 人参
加考试，那么两门考试都参加的有____人.
A、14 B、12 C、10 D、8
5. 用五种不同的颜色去染“学而思网校”五个字，要求“网校”两个字用同一种颜色，其余三
个字用三种不同的颜色，那么，一共有____不同的染色方式。
A、320 B、1280 C、120 D、以上无答案
6. 50 名同学面向老师站成一行，老师先让大家从左至右按 1，2，3，……，49，50 依次报
数；再让报数是 4 的倍数的同学向后转，接着又让报数是 6 的倍数的同学向后转.问：
现在面向老师的同学还有 ______名.
A、38 B、39 C、40 D、41
40 / 41
7. 七个人排成一排照相，若小明必须站在队首，有_____种排法.
A、5040 B、720 C、120 D、24
8. 爸爸 15 年前的年龄相当于儿子 12 年后的年龄，当爸爸的年龄是儿子的 4 倍时，爸爸___
岁.
A、24 B、28 C、32 D、36
二、填空题（每题 10 分，共计 60 分）注意：只填数字，不写单位名称.
9. 下面是按规律排列的三角形数阵，请问第 7 行中的所有数的和是____.
10. 甲、乙两校共有学生 864，为了照顾学生就近入学，从甲校调入乙校 32 名同学，这样
甲校学生还比乙校多 48 人，甲校原有学生 人，乙校原有学生 人．
11. 把 14 支相同的铅笔分给 3 位小朋友，每人至少分得 1 支，那么有____种不同的分法.
12. 1, 1, 4, 2, 7, 3, 10, 1, 13, 2, 16, 3, 19, 1, 22, 2, 25, 3，…，
100．请观察上面数列的规律，问：
(1) 这个数列一共有____项.
(2) 这个数列所有数的总和是____.
13. 中国田径队的 40 名运动员在训练基地进行封闭训练，其中男运动员有 20 名，训练长跑
的运动员有 15 名，训练竞走的女运动员有 8 名，那么训练长跑的男运动员有____名.
41 / 41
14. 七个人排成一排，分别求出在下列条件下各有多少种站法？
(1) 七个人排成一排，有_____种站法。
(2) 甲、乙、丙两两不相邻，有_____种站法。
（完）