École d architecture de l yon les grands ateliers de lisle dabeau f. fleury - eal lexcitation...

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ateliersde l’isle d’abeauF. Fleury - EAL

L’excitation sismique : rappelsL’excitation sismique : rappels

• Durée

• Accélération maximale

• Contenu fréquentiel

Nombre de pics par seconde

(fe = 1/Te)


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Vibration des structuresVibration des structures

• La ‘ force ’ sismique– Accélération à la base– Forces internes– Équilibre dynamique

• Force interne– Élasticité et raideur (rappels de statique)– Paramètres de la raideur

• Oscillations libres et fréquence propre– Théorie– Maquettes

• Notion d ’amortissement– Le phénomène– Des ordres de grandeurs


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La ‘ force ’ sismiqueLa ‘ force ’ sismique

L ’accélération des pieds du personnage est équivalente, du point de vue de son équilibre, à une force qui tend à le renverser.

Accélération : a (m/s²)

Force d ’inertie : F = m.a

On peut considérer que ses pieds sont fixes (le camion est le référentiel), mais que son corps est soumis à une force horizontale de m x a (masse par accélération)


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La ‘ force ’ sismiqueLa ‘ force ’ sismique

a.F1

a.F2

a.F3

a.F4

a.F5

a.F6

a

t

Histoire de l'accélération

<=>

Appliquée à la base Appliquée aux masses


Force d ’inertie : F = m.a La force est donc proportionnelle

à la masse, et sa distribution dans l ’espace est directement liée à celle de la masse.


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Les forces internesLes forces internes

• Le personnage s’arque boute et tend ses muscles,

• la structure se déforme, les contraintes engendrées résultent en des forces internes.



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Modélisation - oscillateur simpleModélisation - oscillateur simple

Les masses sontsupposées concentréesdans la dalle

La dalle est supposéeinfiniment rigide vis à visdes efforts horizontaux

Modélisation

FFX


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Equilibre dynamiqueEquilibre dynamiqueEn terme de force En terme d ’énergie

Fi : Force d ’inertieFr : Force de réaction

Ec = Energie cinétiqueEp = Energie potentielle (de déformation)

M.u + K.u = -M.a..

M


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Force interne et raideurForce interne et raideur

• Raideur k :– Charge entraînant un déplacement unitaire de la structure

– Rapport Force/déplacement

– En N/m

Force F

Déplacement u

uF

k


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• La raideur dépend :– De l ’inertie des sections– Du matériau (module d ’élasticité)– De la longueur (portée)– De la nature des liaisons


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Exemples de raideursExemples de raideurs

Raideurd’une poutre

k = 48.E.I/L3k = 192.E.I/L3

Raideurd’une poutreen console

x = F.L3 /3.E.I or F = k. x d’où k = 3.E.I/L3

E,I

F

X LL

Raideurd’un portique

k = 3.E.I/L3 k = 12.E.I/L3

Fxx

F

Avec L hauteur des poteaux et I somme des inerties des poteaux

K = n.E.I/L3

n : coefficient dépendant de la nature des liaisons

E (Mpa) : Module d ’Young du matériau

I (m4) : Inertie des sections

L (m) : Longueur de l’élément


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Oscillations libres, non amortiesOscillations libres, non amorties

m.u + k.u = 0

La solution est harmonique : u(t) = Q.Cos(t+),

avec ² = k/m . est la pulsation, proportionnelle à la fréquence ( = 2f)

La période de ce mouvement vibratoire est : T = 2m/k

..

Force d ’inertie

Force de

rappel

-15

-10

-5

0

5

10

15

0 1 2 3 4 5 6

temps (s)

dé

pla

ce

me

nt

(mm

)T


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Oscillations forcées et résonanceOscillations forcées et résonance

Au lieu de laisser vibrer librement la structure, on lui applique une excitation périodique a(t), de période Te.

m.u + k.u = -m.a

• Si Te est proche de Ts (période propre), les vibrations de la structure sont amplifiées.

• Si Te = Ts, il y a résonance : sans amortissement, l ’amplitude de vibration deviendrait infinie.

..


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L ’amortissementL ’amortissement

• Mouvement amorti : • Une force supplémentaire,

• Une énergie supplémentaire, dissipée.

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

mouvement non amorti

mouvement amorti 5%

mouvement amorti 15%

m.u + C.u + k.u = -m.a.. .


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Origines de l ’amortissementOrigines de l ’amortissement• Amortissement externe (maquettes, balançoire, cloche …)

– Il s ’agit du frottement entre la structure et son environnement (sol, éléments non-structuraux)

• Amortissement interne– Dissipation d ’énergie par dégradation du matériau : fissuration,

plastification, frottements internes. Le comportement du matériau est dit hystérétique.

– On fait couramment l ’hypothèse que la dissipation d ’énergie par hystérésis matériau est assimilable à un frottement visqueux.

Déplacement

Force


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Amortissement interneAmortissement interne

Fd

ComportementductileForce

Déplacement

Energie dissipée

Matériaux Maçonnerie 0.05Béton non armé 0.03Béton armé 0.04Béton précontraint 0.02Bois cloué 0.05Bois boulonné 0.04Bois lamellé collé 0.04Acier soudé 0.02Acier boulonné 0.04

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

mouvement non amorti

mouvement amorti 5%

mouvement amorti 15%

N.B. : SI > 1, le mouvement est trop amorti pour être oscillatoire

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