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ESPOL ‐ FEN Deber # 1 de Econometría I 

Mayo del 2011 – Eco. Efraín Quiñónez J.  

Sección I. Resuelva los siguientes ejercicios  Ejercicio 1 (Modelo sin pendiente).‐ 

Dado un modelo de la forma  iiY μα +=  en el cual iμ corresponde al error aleatorio. Demuestre que la estimación 

de mínimos cuadrados ordinarios del intercepto es  YMCO =α , donde Y es el promedio muestral de los datos. 

Ejercicio 2 (Varianza del intercepto).‐ 

Considere un modelo  iii XY μββ ++= 21  en el cual iμ corresponde al error aleatorio que cumple con los supuestos 

clásicos. Determine que la expresión para la varianza del intercepto  1β es  ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−=

∑∑

2

22

1 )()ˆ(

XXnX

Vari

iσβ   

Ejercicio 3 (Residuos heterocedásticos).‐ 

En un modelo  iii XY μβ +=  en el  cual iμ corresponde  al error  aleatorio que  cumple  con  los  supuestos  clásicos. 

Determine que los residuos ( iμ ) tienen, al igual que el error, valor esperado igual 0, pero son heterocedásticos, ya 

que la varianza se define como  ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=∑ 2

22 1)ˆ(

i

ii X

XVar σμ  

Ejercicio 4 (Varianza de la pendiente).‐ 

Suponga un modelo  sin  constante  iii XY μβ +=  en el  cual iμ corresponde al error aleatorio que  cumple  con  los 

supuestos clásicos. Determine que la ∑

= 2

2

)ˆ(iX

Var σβ  

Ejercicio 5 (Covarianza de estimadores).‐ 

Derive la expresión para calcular la covarianza entre el estimador de la pendiente y la constante  )ˆ;ˆ( βαCov  

Ejercicio 6 (Linealidad de los modelos).‐ 

De los siguientes modelos. ¿Cuáles son modelos de regresión lineales? En los que no son lineales, ¿existe forma de aplicar transformaciones que los vuelvan lineales? 

 

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Ejercicio 7 (Modelo en desviaciones con respecto a la media).‐ 

Demuestre que  el modelo  iii XY μβα ˆˆˆ ++= ,  se puede  rescribir de  la  forma  iii xy μβ ˆˆ += , donde  las  variables 

minúsculas  corresponden  a  los  datos  originales  medidos  en  desviaciones  con  respecto  a  las  media  (usando XXx ii −=  y  YYy ii −= ). Observe que el intercepto desaparece en la segunda expresión. 

Ejercicio 8 (Cambio de Escala).‐ 

Suponga  que  en  un modelo  iii XY μββ ++= 21   en  el  que  se  obtienen  las  estimaciones  de  la  pendiente  y  la 

constante, los datos de la variable independiente son multiplicados por una constante λ. ¿Cómo afecta este cambio de valores a las estimaciones de MCO? ¿Qué hubiese ocurrido si el cambio se aplica tanto a la variable dependiente como  a  la  independiente?  En  el  segundo  caso,  ¿existen modificaciones  en  los  valores  ajustados  de  la  variable explicada? ¿Se logra incrementar el R cuadrado con este tipo de transformaciones?   Ejercicio 9 (Regresión sobre valores ajustados).‐  Indique si la siguiente afirmación es correcta: Al hacer una regresión de la Yi observada sobre la Yi  estimada el valor de la intersección y de la pendiente que se estima por mínimos cuadrados serán 0 y 1 respectivamente.  Ejercicio 10 (Independencia entre los residuos y los valores estimados).‐  

Demuestre  que  en  un modelo  de  regresión  lineal  simple,  iii XY μβα ˆˆˆ ++=   los  valores  ajustados  iY no  están 

correlacionados con los residuos iμ , por lo que  0ˆˆ =∑ iiY μ . ¿Guarda alguna intuición este resultado? 

 Ejercicio 11 (Coeficiente de bondad de ajuste)  Demuestre que en un modelo de  regresión  lineal simple, con constante y pendiente, el coeficiente de bondad de ajuste (R cuadrado) coincide con el coeficiente de correlación entre  la variable dependiente e  independiente, pero 

elevado al cuadrado (es decir R2 =   2xyρ ). ¿Se cumple esta relación si el modelo no tuviese constante? 

 Ejercicio 12 (Ejemplo numérico del modelo de regresión lineal simple).‐  Considere los siguientes datos hipotéticos de consumo e ingreso familiar en el año X, expresados en miles de dólares  

X  Y 5  8 6  10 10  12 

 a) Realice un diagrama scatterplot de las variables dependiente e independiente. b) De acuerdo al gráfico ¿Qué relación se esperaría exista entre estas dos variables? c) ¿A qué es igual  X  Y  Sxx, Sxy y Syy? d) Determinar el valor de la constante y la pendiente en un modelo de regresión lineal, estimado por mínimos 

cuadrados ordinarios. e) Realizar el gráfico scatterplot incorporando la recta de regresión estimada. ¿Es bueno el ajuste? f) Calcular el valor de la suma de los residuos al cuadrado (RSS) g) Estimar la varianza que presentan los errores del modelo h) Exprese la descomposición de la varianza total de la variable dependiente (TSS = RSS + ESS) i) Calcular el valor del coeficiente de determinación (R cuadrado) j) Demuestre el cumplimiento de las ecuaciones normales del método de mínimos cuadrados ordinarios k) Determinar los valores de las varianzas de las estimaciones de la constante y la pendiente. 

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Sección II.‐ Problemas del Libro “Econometría” Segunda Edición. Alfonso Novales  

  

  

  

 

  

  

 

  

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