Teora del electron de Dirac y ecuacin de Klein-Gordon

En esta seccin se desarrollar una versin relativista de la ecuacin de Schrdinger para el movimiento del electrn. Para empezar, se considerar al electrn como partcula libre sin que haya ninguna fuerza externa actuando sobre l. Para este caso, el hamiltoniano clsico relativista es:

donde m es la masa en reposo del electrn y p su momento lineal. Si p es el operador cuntico usual, se puede concluir que H no est bien definida debido al signo de la raz cuadrada. Una forma de evitar esta dificultad fue sugerida por Klein y Gordn que consideraron la expresin

en lugar de

Esta ecuacin es una ecuacin relativsticamente correcta, pero debido a la segunda derivada respecto al tiempo, la probabilidad no se conserva si $ se interpreta como una amplitud de probabilidad. Resulta que esta ecuacin, llamada ecuacin de Klein-Gordon, se puede interpretar dentro de la teora cuntica de los campos pero no se puede aplicar al movimiento de una sola partcula. Este dilema fue resuelto por Dirac usando el siguiente argumento. Si i/< se considera como una amplitud de probabilidad, entonces, en la ecuacin de Schrdinger slo puede aparecer la primera derivada respecto al tiempo. Ya que relativsticamente las coordenadas espaciales y la coordenada temporal son coordenadas del mismo tipo, las coordenadas espaciales en la ecuacin de Schrodinger tambin tienen que aparecer slo linealmente. Entonces se escribe,

imponiendo que H sea lineal en el momento

y donde a y )8 se determinan por la condicin

Se observa que Dirac impuso la condicin de que

fuera una funcin lineal de p bien definida. Es claro que a y /3 nopueden ser nmeros si las ecuaciones (69) y (70) se satisfacen, sinoque tienen que ser operadores independientes de las coordenadas.Teniendo en cuenta las caractersticas de a y de /3 se tiene que,

y, conservando el orden de todos los factores,

Comparando trminos se concluye que a, 2 = / 2 = 1 o bien,

y adems,

Entonces, las cuatro matrices a x ,a a ,a z y p anticonmutan entre s y el cuadrado de cada una es igual a la unidad. El lgebra de estos operadores de Dirac es idntico al de los operadores espinoriales de Pauli, excepto que los operadores de Dirac son cuatro. Ya que los operadores de Pauli, junto con la matriz unidad, agotan el nmero de matrices independientes dos por dos, los cuatro operadores de Dirac no pueden representarse por matrices dos por dos. Matrices tres por tres tampoco los representan, pero las matrices que s sirven son matrices cuatro por cuatro. Estas matrices no estn totalmente definidas por las relaciones de conmutacin, pero la seleccin convencional es,

que en notacin compacta se escriben como,

donde cada elemento es una matriz dos por dos ya- es el operador espinorial de Pauli.Los operadores de Dirac conmutan con todas las variables externas, tales como p y r , y por lo tanto deben de actuar sobre alguna clase de grados de libertad internos. Debido a la dimensionalidad delas matrices de Dirac, se debe de tomar a >/> como una funcin de onda con cuatro componentes, llamada espinor. Esta funcin de cuatro componentes se escribir como una matriz columna, o sea

sobreentendiendo que cuando una matriz arbitraria A cuatro por cuatro, con elementos A t , acta sobre