1. Ecuacin de la recta
Prof. Mnica Lordi

2. Ecuacin de la recta
Las ecuaciones del tipo
y = mx+ b
representan rectas en el plano
2
Prof. Mnica Lordi
3. Ejemplos

y= 3x+8

4. y= x 7 Ecuacin explcita de la recta
Llamaremos ecuacin explcita de la recta a la expresin
y = mx + b
En esta ecuacin se pueden distinguir los siguientes elementos:
m = pendiente
b = ordenada al origen
x = variable independiente
Recuerda: las expresiones de la forma
y = mx + b
representan rectas en el plano
y = variable dependiente
3
Prof. Mnica Lordi
5. Pendiente
En lasecuaciones

y = 4x, la pendienteesm = 4

y = 4x
y = 3x
y = 3x , la pendiente esm = 3
y = 2x
y = x
Observa las siguientes grficas
y = 2x, la pendiente esm = 2
Se puede observar que la pendiente m determina la inclinacin de la recta respecto del eje X
y = x. la pendiente es m = 1
4
Prof. Mnica Lordi
6. Ordenada al origen
2
1
0
-1
y = x + 2
y = x + 1
y = x - 1
Observa, en la grfica
La recta de ecuacin
y= x + 2 , la ordenada al origen es b = 2
y = x + 1, la ordenada al origen es b = 1
y = x 1, la ordenada al origen es b = -1
La ordenada al origenb determina la interseccin de la recta con el eje Y
5
Prof. Mnica Lordi
7.

y =x

Veamos un ejemplo:
Determinar la pendiente y la ordenada al origen de las ecuaciones de siguientes rectas:
m = 3
y = 3x - 11
b = -11
m = -5

y = -5x + 20

b = 20
m =
b = 0
6
Prof. Mnica Lordi
8. Otros ejemplos de rectas

Recta creciente, ya que la pendiente es positiva.

9. La recta crece dos unidades de y por cada unidad de x. 10. Cuando x=0, la ordenada al origen es igual a 1. 11. Recta decreciente, ya que la pendiente es negativa. 12. La recta decrece una unidad de y por cada unidad de x. 13. Cuando x=0, la ordenada al origen es igual 4.7
Prof. Mnica Lordi
14. Otras formas de ecuaciones lineales
Forma implcita:Ax + By + C = 0
Forma segmentaria:Si una recta corta a los ejes en los puntos P = (p,0) y Q = (0,q) su ecuacin en forma segmentaria es:
8
Prof. Mnica Lordi
15. FORMA SEGMENTARIA
p
q
9
Prof. Mnica Lordi
16. Si la recta est escrita de otra forma, podemos escribirla en forma explcita y luego identificar my b
Ejemplo 1:
Determinar la pendiente y la ordenada al origen en la ecuacin 2x + y 8 = 0
Se despeja y
(de la misma forma que se despeja cualquier ecuacin)
2x +y=0 + 8
y = -2x + 8
Luego,m = -2y b = 8
10
Prof. Mnica Lordi
17. Ejemplo 2:Encontrar la pendiente y la ordenada al origen de la recta de ecuacin 4x 8y + 16 = 0
Despejamos y
4x 8y + 16 = 0
4x+16=8y
m =
b = 2
11
Prof. Mnica Lordi
18. Ejemplo 3:Encontrar la pendiente y la ordenada al origen de la recta de ecuacin
Despejamos y
12
Prof. Mnica Lordi
19. Ejercicio 1:Encontrar la pendiente y la ordenada al origen de las siguientes rectas:
g)
13
Prof. Mnica Lordi
20. Clculo de la pendiente de una recta
21. Cuando se tienen dos puntos cualesquierade una recta
(x1, y1) y (x2 ,y2 )
la pendiente m
queda determinada por el cociente entre la diferencia de las ordenadas
y la diferencia de las abscisasde los mismos puntos,
es decir:
15
Prof. Mnica Lordi
22. Cuando se tienen dos puntos de una recta (x1, y1) y (x2 ,y2 )
la pendiente m queda determinada por el cociente entre la diferencia de las ordenadas
y la diferencia de las abscisasde los mismos puntos, es decir:
(x2 , y2)
y2 y1
m =
y2 y1
x2 x1
(x1 , y1)
x2 x1
16
Prof. Mnica Lordi
23. (x2 , y2)
y2
y2 y1
(x1 , y1)
Clculo de la pendiente de una recta
y1
x2 x1
x1
x2
17
Prof. Mnica Lordi
24. Ejemplo 1
Calcular la pendiente de la recta que pasa por los puntos ( 7 , 2 )y( 9 , 14)
x2
y2
Identificamos los valores de x1 , y1 , x2 , y 2
x1
y1
12
y2 y1
14 2
m =
=
=
= 6
2
x2 x1
9 7
Reemplazamos estos valores en la frmula
18
Prof. Mnica Lordi
25. Ejemplo 2
Calcular la pendiente de la recta que pasa por los puntos ( -5 , 1 )y( 9 , -3)
x1
y1
x2
y2
Identificamos los valores de x1 , y1 , x2 , y 2
-4
y2 y1
-3 1
-2
m =
=
=
=
14
x2 x1
7
9 (-5)
Reemplazamos estos valores en la frmula
19
Prof. Mnica Lordi
26. Ejemplo 3
Encontrar la pendiente de la recta del grfico:
En este caso debemos identificar las coordenadas de dos puntos de la recta:
( 0 , 4 ) y( 5 , 0)
(0,4)
x1
y1
x2
y2
(5,0)
Identificamos los valores de x1 , y1 , x2 , y 2
y2 y1
0 4
-4
m =
=
=
x2 x1
5
5 0
Reemplazamos estos valores en la frmula
20
Prof. Mnica Lordi
27. Ejercicio 2
I) Calcular la pendiente de la recta que pasa por los puntos:
A) (3 , -6)y(-2 , -2)
B) (7 , -9) y (0 , -1)
C) (-3 , -4) y el origen
D) (3 , -4) y ( 2 , -6)
21
Prof. Mnica Lordi
28. A)B)
II) Encontrar las pendientes de las rectasgraficadas:
22
Prof. Mnica Lordi
29. Puntos que pertenecen a una recta
30. 2
1
0
-1
-1 12 3
Cmo determinar cuando un punto pertenece
o nopertenece a una recta?
24
Prof. Mnica Lordi
31. Muy sencillo!
Se reemplaza las coordenadas del punto dado (x , y) en la ecuaciny = mx + b!
Ejemplo 1:Determinar si el punto (1,3)
pertenece a la rectay = -3x + 6
(1 , 3 )Reemplazamosx = 1 , y = 3 en la ecuacin
= -3 1 + 6 y resolvemos las operaciones para
verificar si hayequilibrio entre
ambos miembros
3 = -3 + 6
3 =3
Por lo tanto, el punto (1,3) pertenece a la recta y = -3x + 6
25
Prof. Mnica Lordi
32. 3 = -2 + 1
3 =-1
Ejemplo 2:
Determinar si elpunto (-1,3) pertenece a la rectay = 2x + 1
(-1 , 3 ) Reemplazamosx = -1 , y = 3 en la ecuacin
= 2 (-1) + 1 y resolvemos las operaciones para
verificar si hayequilibrio entre
ambos miembros
Por lo tanto, el punto (-1,3) no pertenece a la recta y = 2x + 1
26
Prof. Mnica Lordi
33. Ejercicio 3: Determinar si los puntos pertenecen a la recta dada
A) (, 0) ; (-2 , 7) ; (0,1 ) a la recta y = -3x + 1
B) (-3 , 1) ; (9,9) ; (-6,1) a la recta y = x + 3
C) (4,2) ; (-6,-7) ; (-4,-4) a la recta3x 4y 4= 0
27
Prof. Mnica Lordi
34. Ecuacin de la recta a partir de dos puntos del plano
(x2, y2)
y = mx + b
(x1, y1)
35. P(x1 , y1)
Ecuacin de la recta que pasa por dos puntos
Sean P = (x1 ,y1) y Q = (x2, y2 ) dos puntos de una recta.
En base a estos dos puntos conocidos de la recta, es posible
determinar su ecuacin.

Tomemos un tercer punto R(x,y), tambin perteneciente a larecta.

36. Como P, Q y R pertenecen a la misma recta, se tiene que PQ y PR deben tener la misma pendiente, es decir y
Entonces:
Q(x2 , y2)
que tambin se puede expresar como:
R(x , y)
29
Prof. Mnica Lordi
37. Y cmo usamos esta frmula?
Determinar la ecuacin de la recta que pasa por los puntos(2 , 4) y (5, 10)
x1
y1
x2
y2
Identificamos x1 , y1 , x2 , y2
y y1
y2 y1
=
Reemplazamos estos valores en la frmula
x x1
x2 x1
y4
10 4
Efectuamos los productos cruzados
=
x 2
5 2
y4
2
=
y4
6
x 2
1
=
x 2
3
y 4 = 2x - 4
ordenamos
y = 2x 4 +4
30
Prof. Mnica Lordi
Y tenemos nuestra ecuacin
y = 2x
38. Otra forma de enfrentar la misma tarea
Determinar la ecuacin de la recta que pasa por los puntos(2 , -4) y (6, 12)
Identificamos x1 , y1 , x2 , y2
x1
y1
x2
y2
y2 y1
12 (-4)
16
4
Se calcula la pendiente:
=
=
m
=
= 4
x2 x1
6 2

Se reemplaza m en la ecuaciny = mx + b

y = 4x+ b

Se toman las coordenadas x e y de uno de los dos puntos y se reemplaza en la ecuacin y = 4x + b

(2 , -4)
-4 = 42 + b
y despejamos b
-4 = 8 + b
Finalmente reemplazamos ben
y = 3x +b, quedandoy =3x12
-4 8 = b
-12 = b
31
Prof. Mnica Lordi
39. Ejercicio 4 :I) Encontrar la ecuacin de recta que pasa por los puntos
A)(3,5) y (2, 8)
B)(-2 , -3) y (5 , 3)
C)(3 , 5 ) y ( -4, 5)
D) (-1, 1) yel origen
32
Prof. Mnica Lordi
40. II) Encontrar la ecuacin de recta de los siguientes grficos
33
Prof. Mnica Lordi