ecuaciÓn logÍstica poblaciones karen yulieth rayo-20132025231 juliÁn ricardo...
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ECUACIÓN LOGÍSTICA
POBLACIONES
KAREN YULIETH RAYO-20132025231
JULIÁN RICARDO RODRIGUEZ-20122025114
KEVIN FERNANDO ROJAS-20122025050
DINÁMICA POBLACIONAL
• UNO DE LOS PRIMEROS INTENTOS PARA MODELAR EL CRECIMIENTO DE LA POBLACIÓN HUMANA POR MEDIO DE LAS MATEMÁTICAS FUE REALIZADO EN 1798 POR EL ECONOMISTA INGLÉS THOMAS MALTHUS.
• BÁSICAMENTE LA IDEA DETRÁS DEL MODELO DE MALTHUS ES LA SUPOSICIÓN DE QUE LA RAZÓN CON LA QUE LA POBLACIÓN DE UN PAÍS EN UN CIERTO TIEMPO ES PROPORCIONAL A LA POBLACIÓN TOTAL DEL PAÍS EN ESE TIEMPO.
DINÁMICA POBLACIONAL
• EN OTRAS PALABRAS, ENTRE MÁS PERSONAS ESTÉN PRESENTES AL TIEMPO t, HABRÁ MÁS EN EL FUTURO. EN TÉRMINOS MATEMÁTICOS, SI P (t) DENOTA LA POBLACIÓN AL TIEMPO t, ENTONCES ESTA SUPOSICIÓN SE PUEDE EXPRESAR COMO:
• DONDE K ES UNA CONSTANTE DE PROPORCIONALIDAD.
DINÁMICA POBLACIONAL
• ESTE MODELO SIMPLE, FALLA SI SE CONSIDERAN MUCHOS OTROS FACTORES QUE PUEDEN INFLUIR EN EL CRECIMIENTO O DECRECIMIENTO (POR EJEMPLO, INMIGRACIÓN Y EMIGRACIÓN), RESULTÓ, SIN EMBARGO, BASTANTE EXACTO EN PREDECIR LA POBLACIÓN DE LOS ESTADOS UNIDOS, DURANTE 1790-1860.
• LAS POBLACIONES QUE CRECEN CON UNA RAZÓN DESCRITA POR LA ECUACIÓN ANTERIOR SON RARAS; SIN EMBARGO, AÚN SE USA PARA MODELAR EL CRECIMIENTO DE PEQUEÑAS POBLACIONES EN INTERVALOS DE TIEMPO CORTOS (POR EJEMPLO, CRECIMIENTO DE BACTERIAS EN UNA CAJA DE PETRI).
DINÁMICA POBLACIONAL
• THOMAS MALTHUS NO CREÍA QUE LA POBLACIÓN CRECÍA DE MANERA ASINTÓTICA PERFECTA, ÉL PENSABA QUE CUANDO SE LLEGABA A UN LÍMITE POBLACIONAL OCURRIRÍAN EVENTOS COMO CATÁSTROFES Y POR ESTO LA POBLACIÓN OSCILARÍA ALREDEDOR DEL LÍMITE, DANDO PASO A ESTAS CATÁSTROFES.
DINÁMICA POBLACIONAL
• PIERRE FRANÇOIS VERHULST, FUE UN MATEMÁTICO BELGA EL CUAL LEYÓ EL TRABAJO DE THOMAS MALTHUS E INTENTO MODELAR LA IDEA DE LA CUAL HABLABA MALTHUS.
• SI NO CONSIDERAMOS LAS RESTRICCIONES DEL AMBIENTE ENTONCES LA POBLACIÓN PUEDE CRECER DE MANERA EXPONENCIAL, MIENTRAS QUE SI NOS ACERCAMOS A LOS LÍMITES DADOS POR EL AMBIENTE ENTONCES LA POBLACIÓN VA A CRECER DE UNA MANERA ASINTÓTICA HACIA ALGÚN TIPO DE POBLACIÓN.
DINÁMICA POBLACIONAL
Series1
COMPARACIÓN DE MODELOS
MODELO INICIAL MODELO IDEAL
N
t
INTUICIÓN SOBRE LA ED
LOGÍSTICA
𝑑𝑁𝑑𝑡
=𝑟𝑁 ()
𝑁≪𝑘≈1
𝑁→𝐾(1− 𝑁𝑘 )≈ 0
𝑑𝑁𝑑𝑡
=𝑟𝑁 (1− 𝑁𝑘 )Ecuación Diferencial logística
r=Const proporción a NK=Capacidad MáximaN= Población
RESOLVIENDO ED LOGÍSTICA𝑑𝑁𝑑𝑡
=𝑟𝑁 (1−𝑁𝑘 )1
𝑁 (1− 𝑁𝑘 )∙𝑑𝑁=𝑟𝑑𝑡
∫ 1𝑁
+
1𝑘
1−(𝑁𝑘 )∙𝑑𝑁=∫ 𝑟 ∙𝑑𝑡
∫ 1𝑁∙𝑑𝑁−∫
−1𝑘
1−(𝑁𝑘 )∙𝑑𝑁=∫𝑟 ∙𝑑𝑡
𝐿𝑛|𝑁|− 𝐿𝑛|1− 𝑁𝑘 |+𝐶1=𝑟𝑡+𝐶 2
Con 0<N(t)<k y aplicando propiedades de los logaritmos
𝐿𝑛( 𝑁
1−𝑁𝑘 )=rt+C 3
4
Multiplicando a ambos lados por e:
Tomando el reciproco:
5
FUNCIÓN LOGISTICA
5
5
Pasando -1/k al otro lado y tomando el reciproco
𝑁 (𝑇 )= 1
𝐶 5 ∙𝑒− 𝑟𝑡+1𝑘
Asumiendo Población inicial N0 en un tiempo=0N0 C𝑁 (𝑇 )= 1
( 1𝑁 0
−1𝑘 ) ∙𝑒− 𝑟𝑡+ 1
𝑘
k k
.
𝑵 (𝑻 )=k
(𝒌−𝑵 0𝑵 0 )∙𝒆−𝒓𝒕+𝟏
EJERCICIO DE APLICACIÓN
• Utilizando un modelo logístico con capacidad sustentable k=100*, una población mundial
(humana) de 5 * en 1986 y una razón de crecimiento de 2% anual, hacer una predicción de la
población mundial para el año 2010.¿En que tiempo será esta población de 32*?
• Tenemos:
k=100 =5(en miles de millones de habitantes del planeta) en 1986 y r=0.02
N(t)=
N(t)=
N(t)=
en miles de millones de habitantes.
en el año 2010 tendremos t=24; entonces:
N(24)=
• la población será de 32* en el tiempo
N()=
Þ608*
Þ=>=