Ecuación vectorial de la recta

Sea P(x1, y1) es un punto de la recta r y   su vector director, el vector   tiene

igual dirección que  , luego es igual a   multiplicado por un escalar:

Ecuaciones paramétricas de la recta

Operando en la ecuación vectorial de la recta llegamos a la igualdad:

Esta igualdad se verifica si:

Ecuaciones continuas de la recta

Despejando e igualando λ en las ecuaciones paramétricas se tiene:

Ecuaciones implícitas de la recta

Una recta puede venir determinada por la intersección de los planos.

Si en las ecuaciones continuas de la recta quitamos denominadores y

pasamos todo al primer miembro, obtenemos también las ecuaciones

implícitas.

División de un segmento según una razón dada

Teorema: Si los puntos p1=(x1 , y1 , z1) y p2=(x2 , y2 , z2 ) son los extrmos de un

segmento dirigido p1 p2; las coordenadas de un punto p(x , y , z) que divide al

segmento p1 p2 en la Razón r=p1 p÷ p p2 es

Demostración

Del gráfico se tiene p1 p /¿ p p2 → ∃r∈R tal que p1 p=r p p2, de donde

p−p1=r ( p2−p) al despejar p se tiene: p=11+r

( p1+r p2) , ahora reemplazamos por

sus coordenadas respectivas:

Por igualdad se tiene:

Rectas paralelas y ortogonales.

Dos rectas L1 y L2 son paralelas si tienen la misma dirección.

Dos rectas L1 y L2 son ortogonales si sus vectores unitarios forman un Angulo

recto.

L1: (x , y , z )=P+t v⃗ ; t∈R˄ L2: ( x , y , z )=Q+s w⃗ ; s∈R

L1∨¿ L2 si y solo si v⃗∨¿ w⃗

L1⊥ L2 si y solo s i v⃗⊥ w⃗

El anguloentre L1 y L2es igualal anguloentre v⃗ y w⃗

Como podemos escoger dos puntos cualesquiera de una recta, las ecuaciones

no son únicas pero son equivalentes.

Angulo entre rectas.

Si las dos rectas son paralelas o coincidentes (lo cual es fácil de detectar, pues

en tal caso sus vectores serán iguales o proporcionales) obviamente el ángulo

que forman será cero. Por tanto, nos interesan dos casos:

Nótese que en las dos situaciones el ángulo que vamos a consideras es el

menor posible que forman las dos rectas, y no su suplemento (180°-α). En

ambos casos, el ángulo que forman las dos rectas se obtiene analógicamente,

ya que coincidirá con el ángulo que forman sus vectores direccionales.

cos α=|⃗ur ,u⃗s|

‖u⃗r‖‖u⃗s‖

El valor absoluto del numerador es necesario para que el producto escalar al

que afecta sea siempre positivo y por tanto el ángulo obtenido sea agudo, ya

que pudiera ocurrir que los dos vectores formaran un ángulo obtuso, en cuyo

caso su producto escalar seria negativo.

Distancia mínima entre dos rectas que se cruzan.

La distancia entre dos recta r y s que se cruzan es la mínima distancia entre

ellas.

d (r , s )=|[⃗ Ar A s ,u⃗r ,u⃗s ]|

‖u⃗r x u⃗s‖

Demostracion:

Cuando dos rectas se cruzan, siempre es posible encontra sendos planos, Ω y Ώ, que las contengan y que sean paralelos. La distancia buscada sera entonces la misma que la distancia entre dichos planos. Por otra parte, recordemos que el volumen de un paralelepipedo como el de la figura, de aristas difinidas por los vectores. A⃗ r A s, u⃗r y u⃗s venia dado por el modulo del producto mixto de estos.

Sean:

L1:P=P0+Ar u⃗r ; y L2:P=Q0+A s u⃗r

Entonces:

d (L1 , L2 )=√‖⃗P0Q0‖2‖u⃗r‖2−(⃗P0Q0. u⃗r )2

‖u⃗r‖

Q0 u⃗r L2:P=Q0+A s u⃗r

d (L1 , L2 )

P0 u⃗r u⃗r L1:P=P0+Ar u⃗r

Del gráfico, por el teorema de Pitágoras:

‖⃗P0Q0‖2=d (L1, L2 )2+‖proyu⃗r P⃗0Q0‖

2

d (L1 , L2 )2=‖⃗P0Q 0‖2−‖proyu⃗r P⃗0Q0‖

2

d (L1 , L2 )2=‖⃗P0Q 0‖2−|compu⃗r P⃗0Q 0|

2

d (L1 , L2 )2=‖⃗P0Q0‖2−

(⃗P0Q0 .u⃗r )2

‖u⃗r‖2

d (L1 , L2 )2=‖⃗P0Q0‖

2‖u⃗r‖

2−(⃗P0Q0 .u⃗r )2

‖u⃗r‖2

d (L1 , L2 )=√‖⃗P0Q0‖2‖u⃗r‖2−(⃗P0Q0. u⃗r )2

‖u⃗r‖

Problemas:

1.- Halle la ecuación de la recta que pasa por P (0,1,1 ) y corta a la recta L1 y L2

Dónde:

L1={ x= y2x= z Y L2= {(1 ,−2,0 )+s (1,2,1 )/s∈ R }

L1: 2 x=2 y=z→ x= y= z2

Solución:

1: (0 ,0 ,0 )+e (1 ,1 ,2 ) /e∈R2: (1 ,−2 ,0 )+s (1 ,2 ,1 ) /s∈R

Analizando L1 y L2 se cruzan o no.

(0+e' ,0+e ' ,0+2e ' )=(1+s ' ,−2+2 s' ,0+s ' )

0+e'=1+s' ; 0+e'=−2+2 s' ; 0+2e '=0+s

Donde se deduce que se cruzan. L1

D (1,1,2 )

.P (0,1,1)

(1 ,2,1 )

E L2

L3

D=(e1 , e1 ,2e1 )

E=(1+s1 ,−2+2 s1 , s1 )

P= (0 ,1 ,1 )

E⃗P=(−1−s1 ,3−2 s1 ,1−s1 )

P⃗D=(e1 , e1−1 ,2e1−1 )

P⃗D∨¿ E⃗P

−1−s1e1

=3−2 s1e1−1

=1−s12e1−1

−1−s1=e1K 3−2 s1=e1 K−K 1−s1=2e1 K−K

RESOLVIENDO:

K=−7/2, e1=3/7, s1=1 /2

∴ E⃗P=(−1.5,2,0.5 ) /¿(−3,4,1)

∴L3= (0 ,1 ,1 )+s (−3 ,4 ,1 )

2.- Dadas dos rectas L1={(−7 ,−4 ,−3 )+r (3,4 ,−2) /r∈R } y

L2= {(25 ,−5,2 )+t(6 ,−4 ,−1)/ t∈ R } .

I. Demuestre que las rectas se cruzan.II. Determine un punto A∈L1 y otro B∈ L2, tales que la distancia de A a B sea

mínima. Halle dicha distancia.III. Halle la ecuación de la recta L perpendicular a L1 y L2 (que las intersecta a

ambas).

Solución: