ecuaciones

C.E.Te.CCarrera: Técnico Superior En Análisis De SistemasAsignatur: Matemática II Sistemas de ecuaciones

1

Unidad Nº3: Sistemas De Ecuaciones

Observemos la siguiente situación: ¿Existe algún número real, que sumado a su doble, dé como resultado el número 6 ?Si llamamos x a dicho número; la condición que debe cumplir es 2x + x = 6.¿Cómo hallamos el valor de x?Para resolver esta situación, hemos planteado una igualdad en la que un valor es desconocido. Este tipode situaciones originó el estudio de las ecuaciones.

Ecuaciones.Las ecuaciones son relaciones de igualdad entre cantidades, algunas de ellas, desconocidas. Tambiénpuede definirse como una igualdad entre dos expresiones algebraicas.

Ej.: 4log ; 1 ; 52 22 ===+ xxxy

En particular, cuando el valor desconocido es uno solo, a dicha ecuación se la denomina “Ecuacióncon una incógnita”, como en el segundo y tercer ejemplo.

Conjunto Solución:A los valores de x que verifican una ecuación se los denomina “Solución de la Ecuación”.Ej.: x = 6 es solución de la ecuación 3x + 4 = 5x – 8, pues reemplazando x por 6 en la ecuación, resulta:

2222

865463

=−⋅=+⋅

Y escribimos el conjunto solución como S ={6}.En cambio, x = 1 no es solución de la ecuación, pues:

37

815413

−≠−⋅=+⋅

Tener un solo elemento. Por ejemplo: 2x = 6, la única soluciónes x = 3 ⇒ S = {3}

Tener un número finito de elementos. Por ejemplo:02

122

13 =−+ xxx ⇒ S = {½, -1, 0}

Tener infinitos elementos. Por ejemplo: 2x – x = x ⇒ S = {R},puesto que cualquier número real satisface la ecuación.

El conjunto soluciónde una ecuación puede:

No tener elementos. Por ejemplo: x2 = -4 , puesto que ningúnnúmero real satisface la igualdad ⇒ S = Ø

Ecuaciones equivalentes.Dos ecuaciones son equivalentes cuando tienen el mismo conjunto solución.Ej.: 4x + 6 = x + 9 y x – 2 = -1, son equivalentes. Ambas tienen como conjunto solución S = {1}.

Resolución de Ecuaciones:Para resolver ecuaciones, utilizaremos propiedades de la igualdad, a través de las cuales, obtendremosecuaciones equivalentes a la original, pero más sencillas de resolver.


2

Propiedades de la igualdad:Si: a, b, c y d son números reales, se verifica:

1. Reflexibilidad: a = a (Todo número es igual a si mismo);2. Simetría: Si a = b ⇒ b = a;3. Transitividad: Si a = b y b = c ⇒ a = c;4. Uniformidad con la suma: Si a = b ⇒ a + c = b + c;5. Uniformidad con el producto: Si a = b ⇒ a · c = b · c;

Ej.: Resolver la siguiente ecuación:

Observación: No siempre que aplicamos la uniformidad con el producto obtenemos una ecuaciónequivalente. por ejemplo: 2x = 6 (1)Si multiplicamos ambos miembros por x resulta: 2x2 = 6x (2)La ecuación (1) tiene como solución solo a x = 3, o sea, S1 = {3};La ecuación (2) tiene como solución a x = 3 y x = 0 , o sea., S2 = {0,3};

Conclusión: Dada una ecuación, si multiplicamos o dividimos a ambos miembros por un númerodistinto de cero, obtenemos una ecuación equivalente.

Clasificación de las ecuaciones:

1- Enteras: cuando las incógnitas están sometidas únicamente a las operaciones desuma, resta y producto.

Ej.: 322

1−=+ xx

2- Fraccionarias: cuando por lo menos una de las incógnitas figura como divisor.

Ej.: yxyx

x

x3

241+=

−−

+Ecuaciones

3- Irracional: cuando por lo menos una incógnita figura bajo el signo radical.

Ej.: 1512 +=− xx

Clasificación de las funciones polinómicas:Para entender esta clasificación veamos algunos ejemplos:P(x) = 3x + 1 gr(P(x)) = 1 ⇒ 3x + 1 = 5 (Es una ecuación lineal o de 1er grado)Q(x) = x2 – 2x – 5 gr(Q(x)) = 2 ⇒ x2 – 2x – 5 = 0 (Es una ecuación cuadrática o de 2do grado)R(x) = x3 + 2x2 – x + 1 gr(R(x)) = 3 ⇒ x3 2x2 – x + 1 = 0 (Es una ecuación cúbica o de 3er grado)...S(x) = anx

n + ... + a1x + a0 gr(S(x)) = n ⇒ an xn + … + a1x + a0 = 0 (es una ecuación de grado n)

31

31

31 13

13

)8(9)8(83

983

=⋅=⋅

=−+=−++

=+

x

x

x

x

xPor uniformidad con la suma

Por uniformidad con el Producto

{ }31=S


3

Resolución de ecuaciones de primer grado:Su resolución es posible con las propiedades mencionadas anteriormente. Existen 3 posibilidades parael conjunto solución.

1er caso:

El absurdo provino de que la ecuación dada no tiene solución. Es decir, no existe ningún número realque la verifique.

2do caso:

La ecuación equivalente que obtuvimos se verifica para todos los números reales. El conjunto soluciónes infinito.

3er caso:

En este caso hay un solo número real que verifica la ecuación dada. El conjunto solución es unitario.

Conclusión:

Tener un único elemento (unitario)

Tener una cantidad infinita de elementos (infinito)El conjunto soluciónde una ecuación de1er grado puede: No tener ningún elemento (vacío)

Resolución de ecuaciones de segundo grado:

Una ecuación de segundo grado tiene la forma:+ + = ≠2ax bx c 0 si a 0

O cualquier expresión equivalente a esta.Para resolver ecuaciones de 2º grado podemos utilizar dos procedimientos:

68

226282

2682

)3(282

=−−+=−−

+=−+=−

xxxx

xx

xx propiedad distributiva

uniformidad con la suma

⇒ es absurdo ya que S = {Ø}

xx

xx

xx

xxx

xxx

=

−⋅−=

−⋅−

−=−−=−−=−

10

110

10

110

1010

201010

)42(510 propiedad distributiva

uniformidad con el producto

⇒ S = R

3

133

113

3

13

133

58553

853

=

⋅=⋅

=+=−+

=−

x

x

x

x

x uniformidad con la suma

uniformidad con el producto

⇒ S { }313=


4

El primero: Completamiento de cuadrados:

La idea consiste en expresar un polinomio de 2do grado:

2ax bx c+ + como : ( ) khxa +− 2

Ej.: Hallar los valores de x que verifican la ecuación: 0862 2 =−+ xxSacando factor común, el coeficiente principal a = 2, resulta: ( ) 0432 2 =−+ xx

Trataremos ahora de expresar 432 −+ xx (*) como ( )2kx + (trinomio cubo perfecto)

Si: ( ) 222 2 kkxxkx ++=+ comparado con 432 −+ xx , resulta que debe ser: 23 32 =⇒= kk

Pero si k = 23 , resulta:

( ) ( )2

222

32

2

3

2

32

+

/⋅/+=+=+ xxxkx

Los dos primeros sumandos coinciden con la expresión (*). Para obtener el tercer sumando, sumamosy restamos en (*).

4

25

2

343

44

9

2

343

42

3

2

3343

2

3

2

34343

22

22

2222

2222

−

+=−+

−−

+=−+

−

−

++=−+

−

+−+=−+

xxx

xxx

xxxx

xxxx

Volviendo a la ecuación original, resulta:

Entonces:

Por lo que resulta:

ó 2

5

2

3 ó

2

5

2

3

4x1x −==

−=+=+ xx ⇒ S = {1,-4}

Conclusión: Completando cuadrados obtenemos una ecuación equivalente a la dada que se puederesolver aplicando las propiedades ya conocidas.

Resumiendo, los pasos a seguir serian los siguientes:1) Sacar factor común el coeficiente de x2;2) Sumar y restar el cuadrado de la mitad del coeficiente de x;3) Escribir el trinomio cuadrado perfecto como binomio al cuadrado;4) Utilizar las propiedades ya conocidas para resolver la ecuación;

( )

4

25

2

3

04

25

2

3

04

25

2

32

0432

2

2

2

2

=

+

=−

+

=

−

+

=−+

x

x

x

xx

23 25

2 4

3 5

2 2

x

x

+ =

+ = ±


5

Segundo: Fórmula de Baskara.Si aplicamos el completamiento de cuadrados en una ecuación general de 2do grado, resulta:

0

0

2

2

=

++

=++

a

cx

a

bxa

cbxax

En este caso, debemos sumar y restar 2

2

a

b para obtener un trinomio cuadrado perfecto, es decir:

2

2

4a

b.

04

4

20

44 2

22

2

2

2

22 =

−−

+⇒=

+−++

a

acb

a

bxa

a

c

a

b

a

bx

a

bxa

Dividiendo por a ≠ 0 y despejando del binomio al cuadrado resulta:

a

acb

a

bx

a

acb

a

bx

a

acb

a

bx

a

acb

a

bx

2

4

24

4

24

4

24

4

2

2

2

2

2

2

2

22 −±−=⇒

−±=+⇒

−±=+⇒

−=

+

a

acbbx

2

42 −±−=⇒ Fórmula

A través de la formula obtenida, podemos resolver cualquier ecuación de 2do grado sin la necesidad dehacer completamiento de cuadrado.De la formula obtenida, podemos deducir que una ecuación de 2do grado puede tener 3 tipos deconjunto solución.

Un único elemento si 042 =− acb(discriminante)

Dos elementos si 042 >− acbEl conjunto soluciónde una ecuación de 2do

grado puede tener: Ningún elemento si 042 <− acb

Ej.: tomemos la misma ecuación que hemos resuelto completando cuadrados:

2x2 + 6x - 8 = 0a = 2b = 6c = -8

Utilizando la fórmula, resulta:

Observemos que en este caso, el discriminante b2 – 4 · a · c > 0 , por lo tanto obtuvimos dos solucionesdistintas: S = {1,-4}.

Observación: algunas ecuaciones de 2do grado no necesitan la formula de Baskara o el completamientode cuadrados para ser resueltas.

x2 = -4

x1 = 1

24

)8(2466 2 −⋅⋅−±−=x


6

Ej.1: no posee término lineal:

24282082 2222 =⇒=⇒=⇒=⇒=− xxxxx { }2,2−=∴S

Ej.2: no posee termino independiente:

( ) 2122 012 o 0012022 =⇒=−=⇒=−⇒=−⇒= xxxxxxxxx { }21,0=∴S

Ecuaciones Fraccionarias

Se llaman ecuaciones fraccionarias a las ecuaciones de la forma 0)(

)(=

xQ

xP, donde P(x) y Q(x) son

polinomios y Q(x) ≠ 0, o a aquellas que puedan llevar a dicha forma.

Ej.: 03

021

=⇒=+xxx

Para resolver estas ecuaciones aplicamos las propiedades ya conocidas.Ej.:

⇒

¿Cuál es el conjunto solución?Si intentamos verificar las soluciones, observamos que el denominador, (x + 1) se anula para x = -1.Como la división por cero no esta definida, debemos descartar esta solución.

Conclusión: debemos descartar las soluciones que hagan cero el denominador.

InecuacionesDefinición: una inecuación es una desigualdad que contiene valores desconocidos (incógnitas). Hayinecuaciones de 1º, 2º, etc. y con una o más incógnitas.Ej.: 513 <−x ; 0152 ≥−+ xx ; yx 2>

Para resolver inecuaciones, necesitamos conocer las propiedades de las desigualdades.

Propiedades:1) Sean a, b, c ∈ R, si a < b ⇒ a + c < b + c ;2) Sean a, b, c ∈ R, si a < b y b < c ⇒ a < c ;3) Sean a, b, c ∈ R, si a < b y c > 0 ⇒ a · c < b · c ;4) Sean a, b, c ∈ R, si a < b y c < 0 ⇒ a · c > b · c ;

Conjuntos definidos por las inecuaciones:

Es el formado por todos los números que son solución de la inecuación y se llama conjunto solución.Ej.: 513 <−x ⇒ { }2/ <= xxS

Gráficamente:

En notación de intervalo: ( )2,∞−=xS

En este caso es un intervalo abierto, porque no tiene ni primer ni último elemento.

( ) ( ) ( )

1 o 111

1011011

1

2

222

−==⇒=⇒=⇒

=⇒=−⇒+⋅=+⋅+−

xxxx

xxxxx

x0

1

12

=+−

x

x

0 2

��)


7

Ej.: x ≥ 3 ⇒ { }3/ ≥∧∈= xRxxS

Gráficamente:

Intervalo: [ )−∞= ,3xS

En este caso es un intervalo semiabierto, pues tiene como extremo a 3.

Cuando al conjunto solución le corresponde un intervalo que incluye los 2 extremos, el intervalo escerrado.

Inecuaciones de 1er grado con una incógnita:

Inecuaciones equivalentes:Dos inecuaciones son equivalentes cuando tienen el mismo conjunto solución.

Operaciones que transforman una inecuación en otra equivalente:Son las mismas que transforman ecuaciones en otras equivalentes. Se debe tener en cuenta que todofactor negativo de un miembro de una inecuación, puede pasar al otro miembro como su inverso, conel mismo signo, cambiando el sentido de la desigualdad. La inecuación que resulta, también esequivalente.Ej.: 25 >−x ⇒ x > 7

Si multiplico por (-3) ⇒

Conclusión: se llega al mismo conjunto solución.

Sistemas de ecuaciones lineales

Hemos visto anteriormente la necesidad de plantear una ecuación para resolver algunos problemas.Pero a veces el planteo de una única ecuación no basta para la resolución de un problema.Por ejemplo: “... Le preguntamos la edad a una mujer y nos dijo: –Yo tengo el doble que la edad de mihermana, pero si ella hubiera nacido 5 años antes y yo 5 años después, solo me llevaría 5 años – ...”¿Cuál es la edad de cada hermana?.Observemos que el problema nos proporciona dos datos, a los cuales llamamos. x a la edad de lamayor e y a la edad de la menor.Entonces:

• La edad de la mayor (x) es el doble que la menor (y). Es decir: x = 2y (ecuación 1).• Si la menor hubiera nacido 5 años antes (es decir, si fuera 5 años mayor) y la mayor 5 años

después (es decir, 5 años mas joven), se llevarían 5 años (diferencia entre las edades).O sea, (x – 5) – (y + 5) = 5 (ecuación 2)

Para averiguar la edad de las hermanas (x e y) debemos encontrar valores de x e y que verifiquen lasecuaciones 1 y 2 simultáneamente. Es decir, que para resolver este problema, necesitamos resolver elsiguiente sistema de ecuaciones:

2

15

x yS

x y

== − =

30

��[

( ) ( ) ( )

73

21

213

6153

3353

>−−

>

−<−−<+−

⋅−<−⋅−

x

x

x

x

x


8

Para resolver sistemas de ecuaciones existen varios métodos, pero antes veamos algunos conceptosbásicos.

Definición 1:Se llama ecuación lineal de n incógnitas a una expresión de la forma:

bxaxaxa nn =+++ ...2211 (1)

Donde:- Los ai son números reales llamados coeficientes de la ecuación;- b es un número real llamado término independiente;- Los xi , 1 ≤ i ≤ n , son símbolos llamados incógnitas.

Definición 2:Se llama solución de la ecuación a toda n-upla de escalares (k1 , k2 , ... , kn) que reemplazadosordenadamente en lugar de las incógnitas x1 , x2 , ... , xn verifican la igualdad (1).

Ej.: Dada la ecuación 532 321 =+− xxx sabemos que:

- 2, -3 y 1 son los coeficientes;- 5 es el término independiente;- x1 , x2 , x3 son las incógnitas;

De esta ecuación, )2,1,2(1 −−=S es una solución, pues verifica la ecuación.5234)2()1(3)2(2 =−+=−+−−⋅

En cambio (1,0,-1) no es solución de esta ecuación, pues 51102)1(03)1(2 ≠=−−=−+⋅−⋅

Definición 3:Se llama Sistemas de n ecuaciones lineales con n incógnitas a un conjunto de ecuaciones lineales de laforma:

=+++++

=+++++

=+++++

=+++++

nnmnjnjnni

ininjijii

nnjj

nnjij

bxaxaxaxa

bxaxaxaxa

bxaxaxaxa

bxaxaxaxa

S

......

......

...

......

......

:

221

2211

222222121

11212111

Donde:aij son los coeficientes;bi son los términos independientes;xi son las incógnitas.

El par de subíndices (i,j), donde 1 ≤ i ≤ n y 1 ≤ j ≤ n , indica que el coeficiente aij es el coeficiente de laj-ésima variable en la i-ésima ecuación.Una solución de S es una n-upla (k1 , k2 , ..., kn) de escalares tal que, reemplazados ordenadamente enlugar de las incógnitas x1 , x2 , ... , xn se satisfacen simultáneamente todas las ecuaciones.

Aclaración: Solo se analizaran sistemas de 2 x 2 y de 3 x 3 (2 ecuaciones con dos incógnitas y tresecuaciones con tres incógnitas).


9

Veremos a continuación algunos métodos para resolver sistemas de ecuaciones.Método de sustitución.

Dado un sistema de 2 ecuaciones con dos incógnitas:

=+=+

2222121

1212111

bxaxa

bxaxa

El método de resolución, consiste en:1º. Despejar una incógnita de una de las ecuaciones;2º. Sustituir lo obtenido en la otra ecuación y de esta obtenemos el valor de una de las incógnitas;3º. Sustituimos el valor de la incógnita que hallamos en el paso anterior sobre el primer despeje y

hallamos el valor de la segunda incógnita.Ej.:

1º. Despejamos de la ecuación (1) la variable x (en este caso ya esta despejada): x = 2y (3)2º. Sustituimos en la ecuación (2) y resolvemos:

3º. Sustituimos el valor hallado en (3):x = 2 · 15 ⇒ x = 30 ∴ S:{(30,15)} ⇒ La hermana mayor tiene 30 y la menor 15.

4º. Como cuarto paso podemos verificar la solución hallada, reemplazando en el sistemaoriginal.

(1). 30 = 2· 15 ⇒ 30 = 30(2). (30 – 5)·(15 + 5) = 5 ⇒ 25 – 20 = 5 ⇒ 5 = 5

Método de igualación

Dado un sistema de 2x2, el método de igualación consiste en:1º) Despejar de ambas ecuaciones la misma incógnita;2º) Igualar las dos expresiones obtenidas y resolver la ecuación de una incógnita;3º) Reemplazar el valor de la incógnita obtenida en el paso 2 en uno de los despejes del paso 1 y

obtenemos el valor de la otra incógnita;

En el ejemplo de las hermanas resulta:

1º) Despejamos de (1) y (2) la misma incógnita:de (1) x = 2yde (2) x – 5 – y – 5 = 5 ⇒ x – 10 = 5 + y ⇒ x = y + 15

2º) Igualamos2y = y + 15 ⇒ 2y – y = 15 ⇒ y = 15

3º) Reemplazamos en uno de los despejes del paso 1:en (1) por ejemplo, x = 2 · (15) ⇒ x = 30

S:{(30,15)}

(1)

(2)

2:

( 5) ( 5) 5

x yS

x y

= − − + =

15

510

5552

5)5()52(

==−=−−−=+−−

y

y

yy

yy

(1)

(2)

2:

( 5) ( 5) 5

x yS

x y

= − − + =


10

Ej.: Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones:

+==+

13

3:1 xy

xyS

+==−

2

2:2 xy

xyS

=−

=−

xy

xyS

2

4

21:3

S1 – Aplicando el método de sustitución, tenemos:1º. Despejamos una incógnita de la primera ecuación: y = 3 – x2º. Sustituimos en la segunda ecuación: 3 – x = 3x + 1 ⇒ 3 – 1 = 4x ⇒ x = ½3º. Reemplazamos en al 1er despeje: y = 3 – ½ ⇒ y = 2

5

( ){ }25

21

1 ,:SolS2 – Aplicando el método de igualación:

1º. Despejamos la misma incógnita de ambas ecuaciones: x = y – 2 y x = y – 2 ;2º. Igualamos: y – 2 = y – 2 ⇒ 0 · y = 0 ⇒ y ∈ R (cualquier número real y, verifica esta

ecuación)3º. En este caso si reemplazamos en cualquiera de los despejes del 1er paso, y ∈ R , resulta que x

también puede tomar cualquier valor en los R. De la forma x = y – 2.

¿ Cuál es la solución del sistema ?Observemos que y ∈ R y que dado un valor de y, por ejemplo y = 1;Este determina que el valor de x debe ser x = 1 – 2 = -1;Es decir que una de las infinitas soluciones del sistema S2 es (-1,1). De la misma manera podríamoshallar mas soluciones del sistema dándole valores a la incógnita “y” y determinando el valor de laincógnita “x”. Pero, para presentar todas las soluciones debemos encontrar una expresión general parala solución del siguiente modo:Como ya vimos que si a la incógnita y le asignamos un número real, digamos t, x toma el valor

2−= tx ; por lo tanto la solución al sistema son los pares ordenados de la forma (t – 2, t) t ∈ R.( ){ } R t con t2,tSol2 ∈−=

S3 – Por el método de sustitución resulta:1º) Despejamos una incógnita de una de las ecuaciones: y = 2x – 1;2º) Reemplazamos en la otra ecuación: y – 4 = 2x ⇒ 2x – 1 – 4 = 2x ⇒ -5 = 0 x

En este caso, no existe ningún valor de x que verifique la ecuación, entonces: El sistema S3 no tienesolución, es decir Sol3 = ∅

Método de reducción por suma o resta:

Aquí se elimina una de las incógnitas, luego, con un pasaje de términos, se halla la incógnita quequedo.Para eliminar una de las incógnitas, tienen que tener el mismo coeficiente (así se eliminan al sumar orestar). Si no tienen el mismo coeficiente, se multiplica una de ellas o las dos ecuaciones por un factoro distintos factores, de modo tal que queden los términos de las incógnitas iguales. De acuerdo a lossignos que tengan, se suman o restan las ecuaciones para anular las incógnitas.

Ej.: Dado 3 2 7

5 3

x y

x y

− = + =


11

Para eliminar la incógnita x, multiplico ambas ecuaciones por el coeficiente de la otra:

( )( ) 3353

75235

⋅=+⋅⋅=−⋅

yx

yx ⇒

⇒ y = -2

Para eliminar la incógnita y, multiplico la segunda por 2:

( )3 2 7

2 5 2 3

x y

x y

− =

⋅ + = ⋅⇒

⇒x = 1

Luego, la solución del sistema es: ( ) ( ){ }1,2, −=yxS

Método de determinantes:

Para estudiar este método, definiremos previamente lo que es un determinante.Dada una matriz cuadrada A (igual número de filas y de columnas)de orden n, se llama determinante aun número asociado a una matriz y obtenido de la siguiente manera:

- Si A es de orden 1 ⇒ el determinante es igual al elemento a.

- Si A es de orden 2 (2 filas y 2 columnas) ⇒ |A| o 221122

11 bababa

ba⋅−⋅==∆

- Si a es de orden 3 se puede usar la regla de Sarrus.

Nota: de acuerdo al número de filas y columnas, se determina el orden del determinante.

Ej.: dado:

En este método cada incógnita es igual a un cociente entre dos determinantes.

Dado el siguiente sistema:

2613

9315

351015

=−=+=−

y

yx

yx

13013

6210

723

=+=+=−

x

yx

yx

Diag. Secundaria

Diag. Principal

11−=−−=⋅−−⋅=−

=∆ 8342)1(314

23

=+=+

222

111

cybxa

cybxa

Coeficiente de x Coeficiente de y Términoindependiente

1 1

2 2 1 2 1 2

1 1 1 2 1 2

2 2

Para hallar :x

c b

c b c b b cx

a b a b b a

a b

⋅ − ⋅= =

⋅ − ⋅

1 1

2 2 1 2 1 2

1 1 1 2 1 2

2 2

Para hallar :y

a c

a c a c c ay

a b a b b a

a b

⋅ − ⋅= =

⋅ − ⋅


12

El denominador es igual en ambos casos y el determinante formado por los coeficientes de lasincógnitas (sistema ordenado).El numerador para ambos casos es el determinante que se obtiene reemplazando en el denominador lacolumna de los coeficientes de la incógnita que se calcula, por los términos independientes delsegundo miembro.Si falta alguna incógnita, su coeficiente es cero.

Observaciones:1- Debe tener un solo término en x, un solo término en y y un término independiente.2- Si el determinante ∆ es cero, el sistema es indeterminado o incompatible.3- Los determinantes pueden denominarse: ∆x, ∆y o ∆.

∴ e yxx y∆∆

= =∆ ∆

Ej.:

=+−=−926

734

yx

yx

⇒2

1

26

13

188

2714

26

34

29

37

==++−

=−

−−

=x ⇒2

1=x

326

78

188

4236

26

34

96

74

==++

−

−

=y ⇒ 3=y

( )

=∴ 3,

2

1, yxS

Interpretación geométrica de las soluciones

Observemos que cada una de las ecuaciones de los sistemas representan una función lineal, por lotanto, su gráfica es una recta.Por eso, por cada sistema de ecuaciones tenemos, gráficamente, una cantidad de rectas igual a lacantidad de ecuaciones y una cantidad de ejes como incógnitas.Observemos también que al hallar la o las soluciones de los sistemas, estamos encontrando paresordenados (x,y) que verifican la totalidad de las ecuaciones (rectas). Es decir, que los puntos quehallamos como solución, son los puntos que pertenecen a ambas rectas.A continuación se grafican en un mismo sistema de ejes, las rectas correspondientes a cada sistema.


13

S1 –

+=+−=

=2

11 L 13

L 3

xy

xyS

( ){ }25

21

1 ,:Sol

Conclusión: Si la solución de un sistema de 2x2 es un solo punto, las rectas son coincidentes y secortan en el punto que es solución de ese sistema.

Definición 4:Cuando un sistema de ecuaciones tiene una única solución decimos que el sistema es CompatibleDeterminado.

S2 –

+==−

2

2:2 xy

xyS

( ){ } R t con t2,tSol2 ∈−=

Conclusión: Cuando la solución de un sistema de 2x2 es un conjunto infinito, las rectas soncoincidentes y los puntos de intersección son todos los que pertenecen a la recta.

Definición 5:Cuando un sistema de ecuaciones tiene infinitas soluciones, decimos que el sistema es CompatibleIndeterminado.

S3 –

=−

=−

xy

xyS

2

4

21:3 Sol3 = ∅

y

L2

L1

��

��

25

( )25

21 ,

y

2

x

21 LL ≡

y

L2 L1

4

1

x


14

Conclusión: Si la solución de un sistema de 2x2 es el conjunto vacío, las rectas son paralelas y por lotanto no se cortan en ningún punto.

Definición 6:Cuando un sistema de ecuaciones no tiene solución, decimos que el sistema es Incompatible.Resumen:

Determinado (única solución)Compatible (Tiene Solución)

Indeterminado (infinitas soluciones)

Incompatible (no tiene solución)

Sistema

Hasta ahora solo hemos analizado sistemas de ecuaciones de 2x2 (dos ecuaciones con 2 incógnitas).

Sistemas de tres ecuaciones de 1er grado con 3 incógnitas:

Pueden resolverse con los métodos antes mencionados.

Método de sustitución:Se puede resumir en los siguientes pasos:

1- Se despeja una de las incógnitas en una de las ecuaciones;2- Se reemplaza en las otras ecuaciones dicha incógnita por la expresión hallada;3- Se resuelve el sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas.4- Se reemplazan estas incógnitas por los valores obtenidos al resolver el sistema anterior en la

expresión que resulta al despejar la primera y se calcula así el valor de esta.

Ej.:

=−+

=−+

=+−

)3(43

)2(1223

)1(932

zyx

zyx

zyx

Para resolver:1- Despejo x en la ecuación (3): zyx +−= 34 (4)

2- En (1) reemplazo:

(5)

En (2):

(6)

3) para resolver el sistema formado por las ecuaciones (5) y (6).

Para resolver se puede utilizar cualquier método de resolución.En este caso resulta conveniente utilizar “Reducción por suma o resta”Restando miembro a miembro:

3=⇒= z124z

( )

157 =+−=+−+−

=+−+−⋅

zy

93268

93342

zyzy

zyzy

( )

117 −=+−=−++−=−++−⋅

zy

1223912

122343

zyzy

zyzy

−=+−=+−

117

157

zy

zy(7)

1240

117

157

=+−=+−

=+−

zy

zy

zy


15

Reemplazando en (7)

4) Se reemplaza z e y en (4)

Luego, la solución del sistema es:

===

3

2

1

z

y

x

Método de igualación:1- Se despeja una de las incógnitas en las 3 ecuaciones;2- Se formas 2 ecuaciones igualando de 2 en 2 las expresiones obtenidas;3- Se resuelve el sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas;4- Se reemplazan estas incógnitas por sus valores en una cualquiera de las expresiones que se

obtuvieron al despejar la primera incógnita y se obtiene así el valor de esta.

Ej.:

−=++

=++

−=+−

)3(223

)2(624

)1(1032

zyx

zyx

zyx

1) despejamos z:

De (1): )4(3210 yxz +−−=

De (2): )5(2

46 yxz

−−=

De (3): )6(232 yxz −−−=

2) Igualando (4) y (6):

Igualando (5) y (6):

3) Las ecuaciones (7) y (8) forman el sistema:

−==+

105

85

x

yx

El método más cómodo para resolver este sistema es el de sustitución.

Despejando 2−=⇒−

= x5

10x

⇒

2=−=−

=⋅+−

y

147

1357

y

y

1=+⋅−=

x

3234x

(7)85

2323210

=+

−−−+−−

yx

yxyx

( )

105

46446

223246

2322

46

−=−−−=−−

⋅−−−=−−

−−−=−−

x

yxyx

yxyx

yxyx

(8)

2=⇒−−

=⇒−

=

=+

y5

)2(8

5

8

85

yx

y

yx


16

4) Se reemplaza x e y en una de las ecuaciones, por ejemplo de (4):

Luego, la solución al sistema es: ( )

==−=

=0

2

2

,,

z

y

x

S zyx

Método de reducción por suma o resta:

1- Multiplicando convenientemente, se igualan los coeficientes de una incógnita en 2 de lasecuaciones y se suman o restan miembro a miembro para eliminar dicha incógnita;

2- Multiplicando convenientemente, se igualan los coeficientes de la misma incógnita en una delas ecuaciones anteriores y la ecuación restante y se suman o restan ordenadamente paraeliminar dicha incógnita;

3- Se resuelve el sistema de dos ecuaciones de 1er grado con 2 incógnitas así obtenido;4- Se reemplazan estas 2 incógnitas por sus valores (obtenidas al resolver el sistema anterior) en

cualquiera de las ecuaciones del sistema dado y se calcula así, la 3er incógnita.

Ej.:

=−−

=++

=+−

)3(62

134

)2(12

)1(823

zyx

zyx

zyx

1) Eliminamos x entre (1) y (2):

( ) 3123

823

⋅=++⋅=+−zyx

zyx⇒

2) Eliminamos x entre (2) y (3): ( )

62

134

4124

=−−

⋅=++⋅

zyx

zyx⇒

3) Resolvemos el sistema formado por (4) y (5):

−=+

=−−

211

57

29 zy

zy

Resuelvo aplicando determinantes:

0=++−=

⋅+−⋅−−=+−−=

z

6410

23)2(210

3210

z

z

yxz

57

3363

823

=−−=++=+−

zy

zyx

zyx

(4)

211

634

4484

29

21

−=+

=−−

=++

zy

zyx

zyx

(5)

( )( ) 1−=∴−=

−=

+−−

=⋅−−⋅−−⋅−−⋅

=−−

−−

= y111

2

1117

215

11

17

1

15

241

241

263

245

29

29

29

29

y


17

2=∴=−−

=−−

=−

⋅−−⋅−=

−

−−

= z2415514115)2()7(211

57

241

241

241

241

z

4) Reemplazamos y y z en cualquiera de las ecuaciones, por ejemplo (2):

⇒ la solución resulta: ( )

=−=

==

2

1

1

,,

z

y

x

S zyx

Como se puede apreciar, resolver un sistema de 3x3 por el método de sustitución, igualación, etc. sevuelve bastante engorroso, por lo cual, a continuación veremos otros métodos, que nos servirán pararesolver sistemas de 3x3 en forma más sencilla. (También sirven para sistemas de 2x2).

Método de determinantes:

Veamos primero como se calcula el determinante de 3er orden.

Dados: ( )213132321213132321

333

222

111

abcabcabccbacbacba

cba

cba

cba

⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=

Para calcular este valor es cómodo aplicar la Regla de Sarrus, que consiste en repetir las dos primerasfilas debajo de la tercera.

Esto es:

Ej.:

Ej.: Dado el sistema:

=−+

=+−

=++

8323

222

1

32

zyx

zyx

zyx

1==+−=+−⋅+

x

122

12)1(2

x

x

222

111

333

222

111

cba

cba

cba

cba

cba

14

321

20

14

321

21

41

21

−−

−−−

2

2720308 2

1 −=−+−−−−=


18

Entonces la solución resulta:

−=−=

=

1

2

3

z

y

x

Antes de detallar el próximo método de resolución, es necesario conocer como un sistema deecuaciones puede representarse matricialmente.

Representación matricial de un sistema de ecuacionesUn sistema de ecuaciones lineales puede representarse en forma matricial de la siguiente manera:

A · X = B

Donde:

mxnmnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

A

=

...

...

...

21

22221

11211Matriz del Sistema

aij : Son los coeficientes

1

2

1

...

nxxn

x

x

X

=Matriz de incógnitasxi : incógnitas

1

2

1

...

mxmb

b

b

B

= Matriz de términos independientesbi : términos independientes

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )3

21332281218122)3()(3

323

21

112

328

22

113

215

245

215

21

21

21

21

==⋅⋅−−⋅⋅−⋅−⋅−⋅⋅+⋅⋅+−⋅−⋅

=

−

−−

=

−

x

3=∴ x

2−=∴ y215383

221

132

215

215

−=−

=−

=y

1−=∴z1823

21

312

215

215

215

21

−=−

=

−

=z


19

Observemos que si resolvemos en A · X = B , resulta:

=+++

=+++=+++

→

=

×

nnmnnn

nn

nn

mxmnxnmxnmnmm

n

n

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

S

b

b

b

x

x

x

aaa

aaa

aaa

...

...

...

...

:......

...

...

...

2211

22222121

11212111

1

2

1

1

2

1

21

22221

11211

Por lo tanto A · X = B representa el sistema de ecuaciones lineales S.

Método de eliminación de Gauss

Dado un sistema de ecuaciones lineales con n incógnitas, nuestro objetivo consiste en determinar unsistema de ecuaciones equivalente al dado que nos permita hallar la solución del sistema en forma massencilla (recordemos que dos sistemas son equivalentes si tienen exactamente la misma solución).Para obtener un sistema equivalente al dado utilizaremos las llamadas operaciones elementales:

1) Intercambiar dos ecuaciones entre si del sistema;2) Multiplicar una ecuación del sistema por un escalar distinto de 0;3) Reemplazar una ecuación del sistema por la suma de ella y una combinación lineal de otra

ecuación;

Ej.: Dado el sistema:

Si cambiamos la ecuación (1) y (2) resulta el siguiente sistema equivalente:

Si ahora multiplicamos (2’) por ½ obtenemos el siguiente sistema equivalente:

Si ahora reemplazamos (2’’) por (2’’) + (-1) · (1’’) resulta el siguiente sistema equivalente:

Multiplicando (2’’’) por 92 resulta:

(1)

(2)

(3)

=+−=+−=−+

03

24

32

: 23

zy

zyx

zyx

S

(1’)

(2’)

(3’)

=+−=−+=−−

03

32

24

:'2

3

zy

zyx

zyx

S

(1’’)

(2’’)

(3’’)

=+−=−+=+−

03

24

:'' 23

21

21

23

zy

zyx

zyx

S

=+−=−+=+−

03

00

24

:''' 25

29

23

zy

zyx

zyx

S

(1’’’)

(2’’’)

(3’’’)

(1IV)

(2 IV)

(3 IV)

=+−=−+=+−

030

00

24

: 95

23

zyx

zyx

zyx

S IV


20

Y por último reemplazando (3 IV) por (3 IV) + 3(2 IV), resulta:

El sistema obtenido SV es equivalente al sistema original S, es decir, que tiene el mismo conjuntosolución, pero su resolución es mas sencilla dado que su forma es escalonada.De la última ecuación podemos despejar la variable z:

0z =⇒=− 032 z

Reemplazando este valor en la segunda ecuación podemos hallar el valor de la otra variable:0y =⇒=⋅− 009

5y

por último, reemplazando ambos valores en la primer ecuación, obtenemos el valor de la variablerestante:

23x=⇒=⋅+⋅− 2

30204x

( ){ },0,0: 23Sol∴ ⇒ Sistema Compatible.

Conclusión:El método de Gauss consiste en obtener un sistema equivalente al dado y de resolución mas sencilla,de manera tal que la cantidad de variables en cada ecuación disminuye hasta obtener una ecuación conuna sola variable que podamos despejar. Luego, mediante un reemplazo de las variables que se vanobteniendo en orden ascendente, obtenemos la solución.Para obtener un sistema de ecuaciones de este tipo, al aplicar las operaciones elementales, debemoslograr que el primer elemento no nulo de cada fila sea igual a 1 y los restantes en las columnas, pordebajo de la diagonal principal, sean cero (como vimos en el ejemplo).Al aplicar el método de Gauss, lo único que cambia, son los coeficientes de las incógnitas y lostérminos independientes del sistema, no así las incógnitas.

Por lo tanto, podríamos trabajar solamente con los elementos que cambian disponiéndolosmatricialmente, es decir:

32

3 3 3 1 3 1

2 1 1 3

1 4 2

0 3 1 0x x x

x

y

z

− − ⋅ =

−

representa a A · X = B

Y la matriz ampliada, seria en este caso:

En términos de la matriz ampliada del sistema, las operaciones elementales se traducen:

I. Intercambiar dos filas entre si en la matriz;II. Multiplicar una fila por un escalar z ≠ 0;III. Reemplazar una fila por la suma de ella y una combinación lineal de otra.

(1V)

(2V)

(3V)

=−+=−+=+−

000

00

24

:

32

95

23

zyx

zyx

zyx

S V

43

23

0

3

130

241

112

x

−−

−


21

Ej.:

−=+−=−+−=++

5523

2

172

:

zyx

zyx

zyx

S

De la ecuación 2 resulta: y = 1 – 2zReemplazando en la ecuación 1:

⇒ x = -3z - 1

En este caso se anulo la última fila, con lo cual la última ecuación 0 · z = 0, se verifica Rz∈∀ . Perodado un valor de z, digamos z = t de las demás ecuaciones vemos que x = -3t – 1 y y = 1 – 2t. Por lo tanto lasolución del sistema es:

( ){ } RttttS ∈−−− ,21,3,1: Sistema Compatible Indeterminado

Una solución particular seria, por ejemplo, para t = 0.⇒ S1 : {(-1,1,0)}

Ej.:

En este caso observamos que no existe ningún valor de z que verifique la tercera ecuación 0 · z = -3 porlo tanto el sistema no tiene solución ⇒ Sol = ∅ ⇒ Sistema Incompatible.

==+=++

∴

→ ⋅+=

00

12

172

0

1

1

000

210

721''28''3'''3

z

zy

zyxfilafilafila

−−− →

−−− →

−−−− ⋅=⋅−+=

+=

8

1

1

1680

210

721

8

3

1

1680

630

721

5

2

1

523

111

721'2''21)3(3'3

12'23

1 filafilafilafilafilafilafilaFila

13

213

1742

17)21(2

−−=−=+

=+−+=+−⋅+

zx

zx

zzx

zzx

=⋅==++

∴

−−−− →

×−+=×−+=

-3z0

-1z-y-

24z2yx

3

1

2

000

110

421

1

3

2

842

732

4211)2(3'31)2(2'2

filafilafilafilafilafila

=++=++=++

1842

3732

242

:

zyx

zyx

zyx

S


22

Sistemas Homogéneos:Un sistema de n ecuaciones lineales con n incógnitas se dice que es homogéneo si todos los términosindependientes son nulos, esto es:

=+++

=+++=+++

0...

...

0...

0...

2211

2222121

1212111

nmnmm

ni

nn

xaxaxa

xaxaxa

xaxaxa

Ej.:

=+=−+

0

032

31

321

xx

xxx

Una solución evidente de cualquier sistema homogéneo es 0...21 ==== nxxx no importando cuales

sean los coeficientes aij . Dicha solución se denomina Solución Trivial.De esta manera podemos concluir que nunca hay sistemas homogéneos incompatibles: la únicasolución es la trivial o existen infinitas soluciones. Además, en ningún caso pueden tener soluciónúnica no nula.

Ej.:

⇒S = {(0,0,0)} Compatible DeterminadoEj.:

La ecuación 3 se verifica Rz∈∀ , pero si de la segunda ecuación resulta z = 0, reemplazando en laecuación 1 resulta que x – 2y = 0 ⇒ x = 2y. Por lo tanto dado y = t ⇒ x = 2t y z = 0.Solución general: ( ){ } RtttS ∈ 0,,2: ⇒ Compatible Indeterminado.Soluciones Particulares: (2,1,0) y (0,0,0).

==+=+

∴

− →

−−−

−−+=

+=

00·z

0z0·y

03z2y-x

0

0

0

000

100

321

0

0

0

963

221

3211)3(3'3

12'2filafilafila

filafilafila

→

−− →

−

×−=+=⋅−+=

0

0

0

160

110

121

0

0

0

160

110

121

0

0

0

041

132

121'2)1(''213'3

1)2(2'2filafilafilafilafila

filafilafila

=→==→=+=→=++

∴

− → ×−+=

0z05z-

0y0zy

0x0z2yx

0

0

0

500

110

1212)6(''3'''3 filafilafila

=+−=++=++

04

032

02

yx

zyx

zyx

=+−=−+−=+−

0963

022

032

zyx

zyx

zyx

ecuaciones

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