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ContenidoObjetivos
Definiciones:
Ecuaciones Cuadraticas en una Variable Real
Carlos A. Rivera-Morales
Precalculo I
Rivera-Morales, Carlos A. Ecuaciones Cuadraticas
ContenidoObjetivos
Definiciones:
Tabla de Contenido
1 Objetivos
2 Definiciones:Ecuaciones Cuadraticas en una Variable RealMetodo de Resolucion: FactorizacionMetodo de Resolucion: Raız CuadradaMetodo de Resolucion: Completando el CuadradoMetodo de Resolucion: Formula CuadraticaEcuaciones con RadicalesEcuaciones Literales
Rivera-Morales, Carlos A. Ecuaciones Cuadraticas
ContenidoObjetivos
Definiciones:
Tabla de Contenido
1 Objetivos
2 Definiciones:Ecuaciones Cuadraticas en una Variable RealMetodo de Resolucion: FactorizacionMetodo de Resolucion: Raız CuadradaMetodo de Resolucion: Completando el CuadradoMetodo de Resolucion: Formula CuadraticaEcuaciones con RadicalesEcuaciones Literales
Rivera-Morales, Carlos A. Ecuaciones Cuadraticas
ContenidoObjetivos
Definiciones:
Objetivos:
Discutiremos:
forma general de una ecuacion cuadratica en una variablereal.
metodos de resolucion de ecuaciones cuadraticas.
factorizacionraız cuadradacompletando el cuadradoformula cuadratica
ecuaciones con radicales
ecuaciones literales
Rivera-Morales, Carlos A. Ecuaciones Cuadraticas
ContenidoObjetivos
Definiciones:
Objetivos:
Discutiremos:
forma general de una ecuacion cuadratica en una variablereal.
metodos de resolucion de ecuaciones cuadraticas.
factorizacionraız cuadradacompletando el cuadradoformula cuadratica
ecuaciones con radicales
ecuaciones literales
Rivera-Morales, Carlos A. Ecuaciones Cuadraticas
ContenidoObjetivos
Definiciones:
Objetivos:
Discutiremos:
forma general de una ecuacion cuadratica en una variablereal.
metodos de resolucion de ecuaciones cuadraticas.
factorizacion
raız cuadradacompletando el cuadradoformula cuadratica
ecuaciones con radicales
ecuaciones literales
Rivera-Morales, Carlos A. Ecuaciones Cuadraticas
ContenidoObjetivos
Definiciones:
Objetivos:
Discutiremos:
forma general de una ecuacion cuadratica en una variablereal.
metodos de resolucion de ecuaciones cuadraticas.
factorizacionraız cuadrada
completando el cuadradoformula cuadratica
ecuaciones con radicales
ecuaciones literales
Rivera-Morales, Carlos A. Ecuaciones Cuadraticas
ContenidoObjetivos
Definiciones:
Objetivos:
Discutiremos:
forma general de una ecuacion cuadratica en una variablereal.
metodos de resolucion de ecuaciones cuadraticas.
factorizacionraız cuadradacompletando el cuadrado
formula cuadratica
ecuaciones con radicales
ecuaciones literales
Rivera-Morales, Carlos A. Ecuaciones Cuadraticas
ContenidoObjetivos
Definiciones:
Objetivos:
Discutiremos:
forma general de una ecuacion cuadratica en una variablereal.
metodos de resolucion de ecuaciones cuadraticas.
factorizacionraız cuadradacompletando el cuadradoformula cuadratica
ecuaciones con radicales
ecuaciones literales
Rivera-Morales, Carlos A. Ecuaciones Cuadraticas
ContenidoObjetivos
Definiciones:
Objetivos:
Discutiremos:
forma general de una ecuacion cuadratica en una variablereal.
metodos de resolucion de ecuaciones cuadraticas.
factorizacionraız cuadradacompletando el cuadradoformula cuadratica
ecuaciones con radicales
ecuaciones literales
Rivera-Morales, Carlos A. Ecuaciones Cuadraticas
ContenidoObjetivos
Definiciones:
Objetivos:
Discutiremos:
forma general de una ecuacion cuadratica en una variablereal.
metodos de resolucion de ecuaciones cuadraticas.
factorizacionraız cuadradacompletando el cuadradoformula cuadratica
ecuaciones con radicales
ecuaciones literales
Rivera-Morales, Carlos A. Ecuaciones Cuadraticas
ContenidoObjetivos
Definiciones:
Ecuaciones Cuadraticas en una Variable RealMetodo de Resolucion: FactorizacionMetodo de Resolucion: Raız CuadradaMetodo de Resolucion: Completando el CuadradoMetodo de Resolucion: Formula CuadraticaEcuaciones con RadicalesEcuaciones Literales
Ecuaciones Cuadraticas en una Variable Real
Definicion:
Una ecuacion cuadratica en la variable real x es unaecuacion de la forma
ax2 + bx+ c = 0,
donde a, b, c∈R, a 6= 0.
Ejemplos:1 3x2 − x+ 5 = 02 (3x+ 2)(2x− 3) = 5
3x2
3− 9 = (x+ 2)
Rivera-Morales, Carlos A. Ecuaciones Cuadraticas
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Definiciones:
Ecuaciones Cuadraticas en una Variable RealMetodo de Resolucion: FactorizacionMetodo de Resolucion: Raız CuadradaMetodo de Resolucion: Completando el CuadradoMetodo de Resolucion: Formula CuadraticaEcuaciones con RadicalesEcuaciones Literales
Ecuaciones Cuadraticas en una Variable Real
Definicion:
Una ecuacion cuadratica en la variable real x es unaecuacion de la forma
ax2 + bx+ c = 0,
donde a, b, c∈R, a 6= 0.
Ejemplos:
1 3x2 − x+ 5 = 02 (3x+ 2)(2x− 3) = 5
3x2
3− 9 = (x+ 2)
Rivera-Morales, Carlos A. Ecuaciones Cuadraticas
ContenidoObjetivos
Definiciones:
Ecuaciones Cuadraticas en una Variable RealMetodo de Resolucion: FactorizacionMetodo de Resolucion: Raız CuadradaMetodo de Resolucion: Completando el CuadradoMetodo de Resolucion: Formula CuadraticaEcuaciones con RadicalesEcuaciones Literales
Ecuaciones Cuadraticas en una Variable Real
Definicion:
Una ecuacion cuadratica en la variable real x es unaecuacion de la forma
ax2 + bx+ c = 0,
donde a, b, c∈R, a 6= 0.
Ejemplos:1 3x2 − x+ 5 = 0
2 (3x+ 2)(2x− 3) = 5
3x2
3− 9 = (x+ 2)
Rivera-Morales, Carlos A. Ecuaciones Cuadraticas
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Ecuaciones Cuadraticas en una Variable RealMetodo de Resolucion: FactorizacionMetodo de Resolucion: Raız CuadradaMetodo de Resolucion: Completando el CuadradoMetodo de Resolucion: Formula CuadraticaEcuaciones con RadicalesEcuaciones Literales
Ecuaciones Cuadraticas en una Variable Real
Definicion:
Una ecuacion cuadratica en la variable real x es unaecuacion de la forma
ax2 + bx+ c = 0,
donde a, b, c∈R, a 6= 0.
Ejemplos:1 3x2 − x+ 5 = 02 (3x+ 2)(2x− 3) = 5
3x2
3− 9 = (x+ 2)
Rivera-Morales, Carlos A. Ecuaciones Cuadraticas
ContenidoObjetivos
Definiciones:
Ecuaciones Cuadraticas en una Variable RealMetodo de Resolucion: FactorizacionMetodo de Resolucion: Raız CuadradaMetodo de Resolucion: Completando el CuadradoMetodo de Resolucion: Formula CuadraticaEcuaciones con RadicalesEcuaciones Literales
Ecuaciones Cuadraticas en una Variable Real
Definicion:
Una ecuacion cuadratica en la variable real x es unaecuacion de la forma
ax2 + bx+ c = 0,
donde a, b, c∈R, a 6= 0.
Ejemplos:1 3x2 − x+ 5 = 02 (3x+ 2)(2x− 3) = 5
3x2
3− 9 = (x+ 2)
Rivera-Morales, Carlos A. Ecuaciones Cuadraticas
ContenidoObjetivos
Definiciones:
Ecuaciones Cuadraticas en una Variable RealMetodo de Resolucion: FactorizacionMetodo de Resolucion: Raız CuadradaMetodo de Resolucion: Completando el CuadradoMetodo de Resolucion: Formula CuadraticaEcuaciones con RadicalesEcuaciones Literales
Ecuaciones Cuadraticas en una Variable Real
Metodos de Resolucion:
Estudiaremos los siguientes metodos para resolver una ecuacioncuadratica en R.
1 Factorizacion
2 Raız Cuadrada
3 Completando el Cuadrado
4 Formula Cuadratica
Rivera-Morales, Carlos A. Ecuaciones Cuadraticas
ContenidoObjetivos
Definiciones:
Ecuaciones Cuadraticas en una Variable RealMetodo de Resolucion: FactorizacionMetodo de Resolucion: Raız CuadradaMetodo de Resolucion: Completando el CuadradoMetodo de Resolucion: Formula CuadraticaEcuaciones con RadicalesEcuaciones Literales
Ecuaciones Cuadraticas en una Variable Real
Metodos de Resolucion:
Estudiaremos los siguientes metodos para resolver una ecuacioncuadratica en R.
1 Factorizacion
2 Raız Cuadrada
3 Completando el Cuadrado
4 Formula Cuadratica
Rivera-Morales, Carlos A. Ecuaciones Cuadraticas
ContenidoObjetivos
Definiciones:
Ecuaciones Cuadraticas en una Variable RealMetodo de Resolucion: FactorizacionMetodo de Resolucion: Raız CuadradaMetodo de Resolucion: Completando el CuadradoMetodo de Resolucion: Formula CuadraticaEcuaciones con RadicalesEcuaciones Literales
Ecuaciones Cuadraticas en una Variable Real
Metodos de Resolucion:
Estudiaremos los siguientes metodos para resolver una ecuacioncuadratica en R.
1 Factorizacion
2 Raız Cuadrada
3 Completando el Cuadrado
4 Formula Cuadratica
Rivera-Morales, Carlos A. Ecuaciones Cuadraticas
ContenidoObjetivos
Definiciones:
Ecuaciones Cuadraticas en una Variable RealMetodo de Resolucion: FactorizacionMetodo de Resolucion: Raız CuadradaMetodo de Resolucion: Completando el CuadradoMetodo de Resolucion: Formula CuadraticaEcuaciones con RadicalesEcuaciones Literales
Ecuaciones Cuadraticas en una Variable Real
Metodos de Resolucion:
Estudiaremos los siguientes metodos para resolver una ecuacioncuadratica en R.
1 Factorizacion
2 Raız Cuadrada
3 Completando el Cuadrado
4 Formula Cuadratica
Rivera-Morales, Carlos A. Ecuaciones Cuadraticas
ContenidoObjetivos
Definiciones:
Ecuaciones Cuadraticas en una Variable RealMetodo de Resolucion: FactorizacionMetodo de Resolucion: Raız CuadradaMetodo de Resolucion: Completando el CuadradoMetodo de Resolucion: Formula CuadraticaEcuaciones con RadicalesEcuaciones Literales
Ecuaciones Cuadraticas en una Variable Real
Metodo: Factorizacion
Propiedad del producto nulo en R: Si a, b∈R, entoncesa× b = 0 ⇐⇒ a = 0 o b = 0 o ambos son iguales a 0.
Rivera-Morales, Carlos A. Ecuaciones Cuadraticas
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Ecuaciones Cuadraticas en una Variable RealMetodo de Resolucion: FactorizacionMetodo de Resolucion: Raız CuadradaMetodo de Resolucion: Completando el CuadradoMetodo de Resolucion: Formula CuadraticaEcuaciones con RadicalesEcuaciones Literales
Ecuaciones Cuadraticas en una Variable Real
Metodo: Factorizacion
Propiedad del producto nulo en R: Si a, b∈R, entoncesa× b = 0 ⇐⇒ a = 0 o b = 0 o ambos son iguales a 0.
Rivera-Morales, Carlos A. Ecuaciones Cuadraticas
ContenidoObjetivos
Definiciones:
Ecuaciones Cuadraticas en una Variable RealMetodo de Resolucion: FactorizacionMetodo de Resolucion: Raız CuadradaMetodo de Resolucion: Completando el CuadradoMetodo de Resolucion: Formula CuadraticaEcuaciones con RadicalesEcuaciones Literales
Ecuaciones Cuadraticas en una Variable Real
Metodo: Raız Cuadrada
Propiedad de la raız cuadrada en R :Si x2 = p, p ≥ 0,entonces x =
√p o x = −√p. Esto es, x = ±√p .
Ejercicios: Resuelva haciendo uso del metodo de la raızcuadrada.
Rivera-Morales, Carlos A. Ecuaciones Cuadraticas
ContenidoObjetivos
Definiciones:
Ecuaciones Cuadraticas en una Variable RealMetodo de Resolucion: FactorizacionMetodo de Resolucion: Raız CuadradaMetodo de Resolucion: Completando el CuadradoMetodo de Resolucion: Formula CuadraticaEcuaciones con RadicalesEcuaciones Literales
Ecuaciones Cuadraticas en una Variable Real
Metodo: Raız Cuadrada
Propiedad de la raız cuadrada en R :Si x2 = p, p ≥ 0,entonces x =
√p o x = −√p. Esto es, x = ±√p .
Ejercicios: Resuelva haciendo uso del metodo de la raızcuadrada.
Rivera-Morales, Carlos A. Ecuaciones Cuadraticas
ContenidoObjetivos
Definiciones:
Ecuaciones Cuadraticas en una Variable RealMetodo de Resolucion: FactorizacionMetodo de Resolucion: Raız CuadradaMetodo de Resolucion: Completando el CuadradoMetodo de Resolucion: Formula CuadraticaEcuaciones con RadicalesEcuaciones Literales
Ecuaciones Cuadraticas en una Variable Real
Metodo: Completando el Cuadrado
Propiedad : Podemos completar un cuadrado perfecto a partir
de x2 + px sumando (p
2)2. Esto es, x2 + px+ (
p
2)2 = (x +
p
2)2 .
Ejercicios: Resuelva haciendo uso del metodo completando elcuadrado.
Rivera-Morales, Carlos A. Ecuaciones Cuadraticas
ContenidoObjetivos
Definiciones:
Ecuaciones Cuadraticas en una Variable RealMetodo de Resolucion: FactorizacionMetodo de Resolucion: Raız CuadradaMetodo de Resolucion: Completando el CuadradoMetodo de Resolucion: Formula CuadraticaEcuaciones con RadicalesEcuaciones Literales
Ecuaciones Cuadraticas en una Variable Real
Metodo: Completando el Cuadrado
Propiedad : Podemos completar un cuadrado perfecto a partir
de x2 + px sumando (p
2)2. Esto es, x2 + px+ (
p
2)2 = (x +
p
2)2 .
Ejercicios: Resuelva haciendo uso del metodo completando elcuadrado.
Rivera-Morales, Carlos A. Ecuaciones Cuadraticas
ContenidoObjetivos
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Ecuaciones Cuadraticas en una Variable RealMetodo de Resolucion: FactorizacionMetodo de Resolucion: Raız CuadradaMetodo de Resolucion: Completando el CuadradoMetodo de Resolucion: Formula CuadraticaEcuaciones con RadicalesEcuaciones Literales
Ecuaciones Cuadraticas en una Variable Real
Metodo: Formula Cuadratica
Teorema: Considere la ecuacion cuadraticaax2 + bx+ c = 0, a 6= 0 . Si el discriminante b2 − 4ac deax2 + bx+ c = 0 es tal que b2 − 4ac ≥ 0, entonces las solucionesreales de la ecuacion estan dadas por la formula cuadratica:
x =−b±
√b2 − 4ac
2a
Demostracion: Estudiarla del libro de texto.
Rivera-Morales, Carlos A. Ecuaciones Cuadraticas
ContenidoObjetivos
Definiciones:
Ecuaciones Cuadraticas en una Variable RealMetodo de Resolucion: FactorizacionMetodo de Resolucion: Raız CuadradaMetodo de Resolucion: Completando el CuadradoMetodo de Resolucion: Formula CuadraticaEcuaciones con RadicalesEcuaciones Literales
Ecuaciones Cuadraticas en una Variable Real
Metodo: Formula Cuadratica
Teorema: Considere la ecuacion cuadraticaax2 + bx+ c = 0, a 6= 0 . Si el discriminante b2 − 4ac deax2 + bx+ c = 0 es tal que b2 − 4ac ≥ 0, entonces las solucionesreales de la ecuacion estan dadas por la formula cuadratica:
x =−b±
√b2 − 4ac
2a
Demostracion: Estudiarla del libro de texto.
Rivera-Morales, Carlos A. Ecuaciones Cuadraticas
ContenidoObjetivos
Definiciones:
Ecuaciones Cuadraticas en una Variable RealMetodo de Resolucion: FactorizacionMetodo de Resolucion: Raız CuadradaMetodo de Resolucion: Completando el CuadradoMetodo de Resolucion: Formula CuadraticaEcuaciones con RadicalesEcuaciones Literales
Ecuaciones Cuadraticas en una Variable Real
Formula CuadraticaEjercicios: Resuelva haciendo uso de la formula cuadratica.
Rivera-Morales, Carlos A. Ecuaciones Cuadraticas
ContenidoObjetivos
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Ecuaciones Cuadraticas en una Variable RealMetodo de Resolucion: FactorizacionMetodo de Resolucion: Raız CuadradaMetodo de Resolucion: Completando el CuadradoMetodo de Resolucion: Formula CuadraticaEcuaciones con RadicalesEcuaciones Literales
Ecuaciones Cuadraticas en una Variable Real
Ejercicios: Resuelve cada ecuacion por el metodo de suseleccion.
Rivera-Morales, Carlos A. Ecuaciones Cuadraticas
ContenidoObjetivos
Definiciones:
Ecuaciones Cuadraticas en una Variable RealMetodo de Resolucion: FactorizacionMetodo de Resolucion: Raız CuadradaMetodo de Resolucion: Completando el CuadradoMetodo de Resolucion: Formula CuadraticaEcuaciones con RadicalesEcuaciones Literales
Ecuaciones Cuadraticas en una Variable Real
Ejercicios: Determine el conjunto solucion de cada una de lassiguientes ecuaciones con radicales.
Rivera-Morales, Carlos A. Ecuaciones Cuadraticas
ContenidoObjetivos
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Ecuaciones Cuadraticas en una Variable RealMetodo de Resolucion: FactorizacionMetodo de Resolucion: Raız CuadradaMetodo de Resolucion: Completando el CuadradoMetodo de Resolucion: Formula CuadraticaEcuaciones con RadicalesEcuaciones Literales
Ecuaciones Lineales en una Variable Real
Ejercicios: Resuelva cada ecuacion para la letra indicada entreparentesis.
1 K =1
2mv2; (v) (energıa cinetica)
2 F = gmM
d2; (d) (ley de la gravitacion de Newton)
3 a2 + b2 = c2; (b) (teorema de Pitagoras)
4 A = 2πr(r + h); (r) (area de un cilindro cerrado)
5 s =1
2gt2 + v0t; (t) (distancia de caıda de un objeto)
Rivera-Morales, Carlos A. Ecuaciones Cuadraticas