ecuaciones diferencial trabajo2
DESCRIPTION
Trabajo hecho por alumnos de UNMSM FISITRANSCRIPT
Facultad de Ingeniería de SistemasCurso: Ecuaciones Diferenciales
Profesor: Guardia Cayo
Tema: Trabajo Práctico N° 2 (Ecuaciones diferenciales-180 problemas)
Integrantes: Maldonado Barrios, Abraham08200039
Monsalve Valderrama, Jhony08200044
Mondragon Pantigoso, Marco A.
08200042
Perales Vallejos, Alan
08200172
Córdova Arbieto, Redi Joel
10200093
1.Índice
Alan ----> Problema 1 hasta el problema 7.1 (36 problemas)
Redi Joel ---> Problema 7.2 hasta el problema problema 7.37 (36 problemas)
Abraham ---> Problema 7.38 hasta el problema problema 7.73 (36 problemas)
Jhony---> Problema 7.74 hasta el problema 17 (36 problemas)
Marco---> Problema 18 hasta el problema 27 (36 problemas)
***************************************************************
Problema 1 hasta el problema 7.1 ( Perales Vallejos, Alan)
Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
I. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Variable Separable
Los siguientes ejercicios resueltos, son ecuaciones diferenciales ordinarias de variable separable de la siguiente forma:
Y se sabe que su solución tiene la siguiente forma:
Problema 1
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Para tenemos:
II. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Homogéneas
Diremos que una ecuación es homogénea de grado , tiene la forma:
Y las funciones y son homogéneas del mismo grado en e : Y se resuelve con la siguiente sustitución:
Problema 2
9.
10.
11.
12.
13.
14.
Problema 3
III. Ecuaciones Diferenciales Lineales de Primer Orden
Los siguientes ejercicios resueltos, son ecuaciones diferenciales lineales de primer orden de la siguiente forma:
Y se sabe que su solución tiene la siguiente forma:
15.
Entonces:
; Reemplazando tenemos:
16.
Entonces:
; Reemplazando tenemos:
17.
Entonces:
; Reemplazando tenemos:
18.
Entonces:
; Reemplazando tenemos:
19.
Entonces:
; Reemplazando tenemos:
20.
Entonces:
;
Reemplazando tenemos:
21.
Entonces:
;
Reemplazando tenemos:
Para tenemos:
22.
Entonces:
;
Reemplazando tenemos:
Para tenemos:
IV. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Exactas
Los siguientes ejercicios resueltos, son ecuaciones diferenciales ordinarias exactas de la siguiente forma:
Para comprobar si son exactas se debe cumplir lo siguiente:
Para una función sabemos que por ser exacta se cumple lo siguiente:
Problema 4
23.
Entonces:
; Probamos si es exacta:
Para hallar la solución general tenemos:
Integramos respecto de :
Derivando respecto de :
Sabemos que:
Igualamos y resolvemos:
24.
Entonces:
Probamos si es exacta:
Para hallar la solución general tenemos:
Integramos respecto de :
Derivando respecto de :
Sabemos que:
Igualamos y resolvemos:
25.
Entonces:
Probamos si es exacta:
No es una ecuación diferencial ordinaria exacta Para hallar la solución general se emplea un método que se verá más adelante.
26.
Entonces:
Probamos si es exacta:
Para hallar la solución general tenemos:
Integramos respecto de :
Derivando respecto de :
Sabemos que:
Igualamos y resolvemos:
27.
Entonces:
Probamos si es exacta:
Para hallar la solución general tenemos:
Integramos respecto de :
Derivando respecto de :
Sabemos que:
Igualamos y resolvemos:
28.
Entonces:
Probamos si es exacta:
Para hallar la solución general tenemos:
Integramos respecto de :
Derivando respecto de :
Sabemos que:
Igualamos y resolvemos:
V. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Identificar y resolver las siguientes ecuaciones diferenciales:
Problema 5
29.
Podemos observar que esta ecuación tiene la forma: , por lo tanto la resolvemos como ecuación diferencial ordinaria separable.
30.
Podemos observar que esta ecuación tiene la forma: , esto quiere decir que su solución se obtiene llevándola a ecuación separable mediante la siguiente
sustitución: Se identifica y se sustituye en la ecuación:
31.
Ejercicio mal formulado, falta información32.
Observamos que la ecuación tiene la forma: y notamos que
y son homogéneas del mismo grado en e
Entonces se resuelve como homogénea:
33.
Al igual que el ejercicio anterior podemos notar que esta ecuación también es homogéneaEntonces se resuelve como homogénea:
34.
Notamos que la ecuación es de la forma: y no es una ecuación diferencial ordinaria homogénea, por lo tanto evaluamos la ecuación para:
Probamos si es exacta:
Para hallar la solución general tenemos:
Integramos respecto de :
Derivando respecto de :
Sabemos que:
Igualamos y resolvemos:
Problema 6
35.Se pide hallar un valor para tal que la ecuación sea exacta y hallar su solución general.Tenemos:
Si es exacta sabemos:
Luego:
Entonces integramos a ambos lados:
****************************************************************
Problema 7.2 hasta el problema problema 7.37 (Córdova Arbieto, Redi Joel)
Problema 7
Como la ecuación es homogénea de 1er grado
Hacemos : y
Sea:
Vemos que:
Sea:
Vemos que:
Vemos que:
22.
( x2+ y2+ x ) dx+xydy=0
Buscaremos el factor de integración.
f ( x )= 1N ( x , y ) ( ∂M ( x , y )
∂ y−
∂ N (x , y )∂ x )→u ( x )=e∫ f ( x ) dx
f ( x )= 1xy
(2 y− y )=1x
→u ( x )=e∫ dx
x =e ln x=x
→u (x ) ( x2+ y2+x ) dx+u ( x ) (x·y )dy=0 ,Debe ser exacta
x ( x2+ y2+x ) dx+x ( x·y )=0
( x3+x y2+x2 ) dx+ x2 ydy=0
∂ M ( x , y )∂ y
=∂ N ( x , y )
∂ x=2xy , es exacta
∂F (x , y)∂x
=M ( x , y ) ,integramos respecto a x
F ( x , y )=∫ ( x3+x y2+x2 ) dx+g ( y )
F ( x , y )= x 4
4+ x2 y2
2+ x3
3+g ( y ) …(α )
Ahora derivamos respecto de y.
∂ f ( x , y )∂ y
=N ( x , y )=x2 y=∂( x4
4+ x2 y2
2+ x3
3+g ( y ))
∂ y
x2 y=x2 y+g' ( y )→g ' ( y )=0→ g ( y )=C
Reemplazamos en ( ).α
x4
4+ x2 y2
2+ x3
3+C=0
23.
24.dydx
= y ( x y3−1 )
dydx
=x y 4− y
dydx
+ y=x y 4…Bernoulli conn=4 y P ( x )=1 ,Q ( x )=x
multiplicamos por y−4→ y−4 dydx
+ y−3=x
multiplicamos por (−3 )→−3 y−4 dydx
+(−3 ) y−3=x
→Sea : z= y−3 , dz= (−3 ) y−4dy …reemplazamos
dzdx
+(−3 ) z=x , linealcon P ( x )=(−3 ) ,Q ( x )=x
z=e−∫−3dx [∫ e∫−3dx xdx+C ]
z=e3x [∫e−3x xdx+C ]… (α )
¿ ∫ e−3x xdx … I . P .P
u=xdu=dx
dv=e−3x dx
v=13
e−3x dx
∫ e−3 x xdx=−x3
e−3 x−(−13 )∫ e−3x
∫ e−3 x xdx=−x3
− x3
e−3 x−(−13 )(−13 )∫−3e−3 x dx
∫ e−3 x xdx=−x3
e−3 x−19
e−3x+C
En (α ) : z=e3x (−x3
e−3 x−19
e−3x+C)→z=−x3
−19+C
y−3=−x3
−19+C
25. dx+( xy−sen y )dy=0
g ( y )= 1−M ( x , y ) ( ∂ M (x , y )
∂ y−
∂N ( x , y )∂x )
u ( y )=e∫g ( y ) dy
g ( y )=(−1 )(0− 1y )= 1yu ( y )=e
∫ dyy =eln y= y
u ( y ) dx+u ( y )( xy−sen y )dy=0
ydx+( x− y sen y ) dy
∂ M ( x , y )∂ y
=∂ N ( x , y )
∂ x=1…Exacta ‼
∂F ( x , y )∂ x
=M (x , y ) ,integramos respecto a x
F ( x , y )=∫ y dx+g ( y )
F ( x , y )=xy+g ( y ) ,derivamos respecto a y
∂ f (x , y)∂ y
=N ( x , y )=x− y sen y=x+g '( y )
− y sen y=g' ( y ) →−∫ y sen y=g ( y ) … (α )
¿ ∫ y sen y dy
u= y du=d sen y=dv−cos y=v
−∫ y sen ydy=(−1 ) [− y cos y —∫cos y dy ]
¿ (−1 ) [− y cos y+∫cos ydy ]=(−1 ) [− ycos y+sen y+C ]
¿ y cos y−sen y+C
En (α ) : g ( y )= y cos y−sen y+C .Reemplazamos :
xy+ y cos y−sen y+C=0
26. ( y2+3 xy ) dx=(4 x2+ xy ) dy
Sea y=ux -> dy=udx+xdu
((ux )2+3 x (ux ) )dx=(4 x2+x (ux ) ) (udx+xdu )
(u2 x2+3u x2 ) dx=(4 x2+x2u ) (udx+xdu )
(u2+3u ) dx= (4+u ) (udx+xdu )
(u2+3u ) dx=4udx+4 xdu+u2dx+xudu
(u2+3u−4u−u2 ) dx=(4 x+ xu ) du
udx=x (4+u ) du
dxx
=−(4+u ) du
u
∫ dxx
=∫−(4+u ) duu
→∫ dxx
=−4∫u−1du−∫ du
ln x=−4 lnu−u…Reemplazando
ln x=−4 ln yx− y
x+C
ln x=−4 ln y+4 ln x− yx+C
4 ln y−3 ln x+ yx+C=0
27.
28. x2dx+(1−x3 y ) dy=0
g ( y )= −1M ( x , y ) ( ∂ M (x , y )
∂ y−
∂N (x , y )∂ x )
g ( y )=−1x2
(0−(−3 x2 y ))=−3 x2 yx2
=−3 y
u ( y )=e∫g ( y ) dy
→u ( y )=e∫−3 ydy
u ( y )=e−32
y2
u ( y ) x2dx+u ( y ) (1−x3 y ) dy=0
e−32
y2
+e−32
y2
(1−x3 y ) dy=0
e−32
y2
x2dx+(e−32
y2
−e−32
y2
x3 y)dy=0…debe ser exacta
→∂ M ( x , y )
∂ y=
∂N ( x , y )∂ x
=−3 y x2 e−32
y2
…es exacta
ahora :∂ f (x , y )
∂ x=M ( x , y )…integremos respecto ax
∂ f (x , y)∂x
=f (x , y )=∫e−32
y2
x2+g( y)
f ( x , y )= x3
3e
−32
y2
+g ( y ) …ahoraderivemos respecto a y
∂ f (x , y)∂x
=N ( x , y )=e−32
y2
x3 y=−3 x3 y3
e−32
y2
+g '( y)
g' ( y )=e−32
y2
−13 y
e−32
y2
+C=g ( y )
→x3
3e
−32
y2
− 13 y
e−32
y2
+C=0
29.
30. (6 x2 y+12 xy+ y2 ) dx+(6 x2+2 y ) dy=0
Si :u=z=xm y n
¿ ∂u∂ y
=dudz
∂ z∂ y
=n yn−1 xm dudz
¿ ∂u∂ x
=dudz
∂ z∂x
=m xn−1 yn dudz
¿ ∂M∂ y
=6 x2+12x+2 y ¿ ∂ N∂ x
=12x
Sesabe :uMdx+uNdy=0
M∂u∂ x
+u∂ M∂ y
=N∂u∂ x
+u∂N∂ x
Mn yn−1 xm+6u x2+12ux+2uy=Nn yn−1 xm dudz
+12 xu
dudz
( Mn yn−1 xm−Nm xm−1 yn )=−u (6 x2+2 y )
duu
=−(6 x2+2 y )
xm−1 yn (6n x3+12n x2+ ynx−6m x2−2my )dz
Sin=0 y m=1→ z=x→dz=dx
duu
=dx →∫ duu
=∫ dx→ ln u=x →u=ex (F . I )
Por lo tanto:
(6 x2 ye x+12 xy ex+ y2ex ) dx+(6 x2 ex+2 y ex ) dy=0
¿ ∂M∂ y
=6 x2 ex+12 x ex+2 y ex
¿ ¿
Resolvamos :∂ f∂ x
=M →Integrando : f =6ex x2+2 y ex+g ( y)
∂ f∂ y
=2ex+g' ( y )→ Sesabe que :∂ f∂ y
=N
2ex+g' ( y )=6 x2ex+2 y ex
g' ( y )=6 x2e x+2 y ex−2ex
g ( y )=∫ (6 x2 ex+2 y ex−2e x) dy
g ( y )=6 x2 ex y+2 y2 ex−2ex y+C
Por lo tanto : f =6ex x2+2 y ex y+6 x2 ex y+ y2 ex−2ex y+C
f =6e x x2+6x2 ex y+ yx ex+C
31. ( x2+xy+3 y2 ) dx−( x2+2xy ) dy=0
La ecuación es homogénea.
Si y=ux →dy=udx+xdu
( x2+u x2+3u2 x2) dx−( x2+2u x2 ) (udx+xdu )=0
x2 (1+u+3u2 ) dx−x2 (2u2+u ) dx−x3 (1+2u )du=0
x2 (u2+2 )−x3 (1+2u ) du=0
dxx
−( 2u+1u2+1 )du=0
∫ dxx
−∫( 2u+1u2+1 )du=0+C
∫ dxx
−∫ 2udu
u2+1−∫ du
u2+1=C
ln|x|−ln|u2+1|−arctanu=C
ln|x|−ln| y2
x2+1|−arctan ( y
x )=C
32. ( y ln y+ y ex ) dx+( x+ ycos y )dy=0
Siu=z=xm yn
¿ ∂u∂ y
=dudz
∂ z∂ y
=n yn−1 xm dudz
¿ ∂u∂x
=dudz
∂ z∂ x
=m xm−1 yn dudz
∂ M∂ y
=ln y+1+ex ,∂N∂ x
=1
Sesabe que :uMdx+uNdy=0
M∂u∂ y
+u∂ M∂ y
=N∂u∂ x
+u∂ y∂x
Mn yn−1 xm dudz
+u ln y+u+uex=Nm xm−1 yn dudz
+u
duu
=−( ln y+ex )
xm−1 yn−1 ( ynx ln y+ ye x xn−xym−m y2 cos y )dz
Sim=0 y n=1→ z= y →dz=dy
duu
=−dyy
→ ln u=−ln y→u= 1y
(F . I . )
Por lo tanto : (ln y+ex ) dx+( xy+cos y )dy=0
∂ M∂ y
= 1y
,∂N∂ x
=1y
Resolvamos :∂ f∂ y
=m , Integrando : f = y ex+ y ln y− y+g( y)
∂ f∂ x
= y ex+g' ( y ) , Se sabe :∂ f∂ x
=N
y ex+g' ( y )= xy+cos y
g' ( y )= xy+cos y− y ex
g ( y )=x ln y+sen y−12
ex y2+C
→f = y ex+ y ln y− y+ x ln y+sen y−12
ex y2+C=0
33. ( y3√1+ x4−x )dx+x y2√1+ x4dy=0
Siu=z=xm yn
¿ ∂u∂ y
=dudz
∂ z∂ y
=n yn−1 xm dudz
¿ ∂u∂x
=dudz
∂ z∂ x
=m ym−2 yn dudz
∂ M∂ y
=3 y2√1+x4 ,∂N∂ x
= y2√1+x4+ 2 x4 y2
√1+x4
Sesabe que :uMdx+uNdy=0
M∂u∂ y
+u∂ M∂ y
=N∂u∂ x
+u∂ y∂x
Mn yn−2 xm dudz
+3u y2√1+x4=Nm xm−1 yn dudz
+2 x4 y2u
√1+x4+ y2u√1+x4
duu
=2x4 y2+ y2 (1+x4 )
xm−2 yn−1 ( y3 xn (1+x 4 )−x2n√1+x4−x y3m (1+x4 ))dz
Sin=0 y m=1→ z=x→dz=dx
duu
=(−3 x4−1x ( x4+1 ) )dx
∫ duu
=−∫ 3 x3
x4+1dx−∫ dx
x ( x4+1 )
∫ duu
=−34ln|1+x4|−1
4ln|2 x4−12x4+1 |
ln u=ln|(1+x4 )−34 (2 x4+1 )
14
(2 x4−1 )14 |
u=k· (2 x4+1 )
14
(1+x4 )34 (2x4−1 )
14
(F . I )
34. ( x2 y2− y2+ x2−1 ) dx+x2dy=0
( y2 ( x2−1 )+x2−1)dx+x2dy=0
( x2−1 ) ( x2+2 ) dx+x2dy=0
( x2−1 ) dx
x2+ dy
y2+1=0
∫ ( x2−1 ) dx
x2+∫ dy
y2+1=C
∫ dx−∫ dx
x2+∫ dy
y2+1=C
x− 1
2x2+arctan y=C
y=tan(x−1
2 x2+C)
35. 2dydx
= yx−x y−2
( x2− y3 ) dx+2 y2 xdy=0
Siu=z=xm yn
¿ ∂u∂ y
=dudz
∂ z∂ y
=n yn−1 xm dudz
¿ ∂u∂x
=dudz
∂ z∂ x
=m ym−1 yn dudz
∂ M∂ y
=−3 y2 ,∂ N∂x
=2 y2
Sesabe que :uMdx+uNdy=0
M∂u∂ y
+u∂ M∂ y
=N∂u∂ x
+u∂ y∂x
Mn yn−1 dudz
−3 y2u=Nm xm−1 yn dudz
+2 y2u
duu
= 5 y2
xm−1 yn−1 ( x3n− y3 xn−2 y3 xm )dz
Sin=0 y m=1→ z=x→dz=dx
duu
=−52
dxx
→ ln u=−52ln x →u=x
−52
Por lo tanto :( x−12 − y3 x
−52 )dx+2 y2 x
−32 dy=0
∂ M∂ y
=−3 y2 x−52 ,
∂ N∂ x
=−3 y2 x−52
Resolviendo :∂ f∂ x
=M ,Integrando f =2x12+23
x−32 y3+g( y)
Sesabe que∂ f∂ y
=N
∂ f∂ y
=2x−32 y2+g ' ( y )
2 x−32 y2+g' ( y )=2 x−3/2
g' ( y )=0→g ( y )=C
f =2 x12+ 23
x−32 y3+C
36. (2 xy+3 y2 ) dx−(2 xy+ x2) dy=0
Laecuación eshomogénea .Si y=ux→dy=udx+xdu
(2u x2+3u2 x2) dx−(2u x2+x2 ) (udx+xdu )=0
(2u x2+3u2 x2) dx−(2u x2+x2 )udx− (2u x2+x2) xdu=0
x2 (2u+3u2 ) dx−x2 (2u2+u ) dx−x3 (2u+1 ) du=0
x2 (u2+u ) dx−x3 (2u+1 ) du=0
dxx
−( 2u+1u2+u )du=0
∫ dxx
−∫( 2u+1u2+u )du=0
Siu2+u=T → (2u+1 ) du=dT
∫ dxx
−∫ dTT
=0
ln|x|−lnT=C → ln|x|−ln|u2+u|=lnC
ln|x|−ln|( yx )
2
− yx |=lnC
x
( yx )
2
− yx
=C
37. 6 xydx+(4 y+9 x2 ) dy=0
Siu=z=xm yn
¿ ∂u∂ y
=dudz
∂ z∂ y
=n yn−1 xm dudz
¿ ∂u∂x
=dudz
∂ z∂ x
=m ym−1 yn dudz
∂ M∂ y
=6 x ,∂ N∂x
=18 x
Sesabe que :uMdx+uNdy=0
M∂u∂ y
+u∂ M∂ y
=N∂u∂ x
+u∂ y∂x
Mn yn−1 xm dudz
+6 xu=Nm xm−1 yn dudz
+18ux
duu
= 12x
xm−1 yn−1 (6 x2 yn−4 y2m−9 x2 ym)dz
Sin=0 y m=1→ z= y →dz=dy
duu
=2 dyy
→∫ duu
=2∫ dyy
ln u=2 ln y→u= y2(F . I )
Por lo tanto :6 x y3dx+(4 y3+9 x2 y2 ) dy=0
∂ M∂ y
=18 x y2 ,∂N∂ x
=18x y2
Resolvamos :∂ f∂ x
=M , integrando f =3 x2 y3+g( y)
∂ f∂ y
=27 x2 y3+g' ( y ) , Se sabe que∂ f∂ y
=N
27 x2 y3+g' ( y )=4 y3+9 x2 y2
g' ( y )=4 y3−18 x2 y2
g ( y )= y 4−6 x2 y3+C
f =3 x2 y3+ y4−6 x2 y3+C
→f = y4−3x2 y3+C
38) xy’- y –x2 Cos(x)=0 , con y(π)=1x(y’-xCos(x))=y
y '= yx+xCos(x )
y '+(−1x ) y=xCos (x) es una E.D. Lineal de primer orden→ y=e
∫−(−1x
)dx [∫ e∫−1
xdx
. xCos (x ) dx+c ]y=e ln|x|[∫e− ln|x|. xCos ( x ) dx+c ]
y=x [∫cos (x ) dx+c ]y= xSen(x)+xc→Para: y(π)=1c= 1
π entonces la solución particular es: y=xSen(x)+ x
π
39)(2x + tg(y))dx + (x – x2tan(y))dy=0M(x,y)= 2x + tg(y)N(x,y)= x – x2tan(y)
∂ M∂ y
=Sec2 y
No es una E.D. exacta∂N∂ x
=1−2 xtan( y)
Hallando su factor integranteg ( y )=−( ∂M
∂ y−∂ N
∂ x ) . 1M (x , y )
g ( y )=−(Sec2 y−1+2xtan( y ))2x+tg( y )
g ( y )=−tg( y )
u ( y )=e−∫ tg( y)
u ( y )=cos ( y)que es el factor integrante(2x.cos ( y ) + tg(y).cos ( y ))dx + (x .cos ( y )– x2tan(y)cos ( y ))dy=0(2x cos(y)+ sen(y))dx + (xcos(y) – x2sen(y))dy=0M1(x,y)= 2x cos(y)+ sen(y)N1(x,y)= xcos(y) – x2sen(y)
∂ M1
∂ y=−2 x+cos ( y )
Es una E.D. exacta∂N 1
∂ x=cos ( y )−2 x
→∃ f(x , y )/∂ f ( x , y )
∂ x=M 1(x , y )
∫ ∂ f ( x , y )∂x
=∫2 x cos( y)+sen( y )dx
f ( x , y )=cos ( y ) x2+ xsen( y)+g( y )
∂ f (x , y)∂ y
=−sen ( y ) x2+xcos( y )+g' ( y )
xcos(y) – x2sen(y)=−sen ( y ) x2+xcos ( y )+g '( y)
∫0 dy=∫ g' ( y )
c= g( y )
→f ( x , y )=cos ( y ) x2+ xsen( y)+c
K=cos ( y ) x2+xsen ( y )
40) y2dx + (xy – x3)dy = 0y = zα → dy= αzα-1 dzz2αdx+ (xz2α-1- x3zα-1) αdz=02α=1+α-1=3+α-1 →α=2z4dx+ (xz3-x3z)2dz=0 E.D. Homogéneaz=ux → dz=udx+ xduu4x4dx+(u3x4-x4u)2(udx+xdu)=0
3u4x4dx-2x4u2dx+(u3-u)2x5du=0dxx
= 1−u2
u (3u2−2)du
Au
+ Bu+C
3u2−2→3 A u2−2 A+B u2+Cu=1−u2
-2A=1 y 3A +B=-1 A=−1
2 y B=1
2
→tendriamos∫ dx
x=∫−1
2udu+∫ 1
2(3u2−2)du
ln|x|=−12ln|u|+ 1
6ln|3u2−2|+c
ln|x|=−12ln|z
x |+ 16 ln|3( zx )
2
−2|+c
ln|x|=−12ln|√ y
x |+ 16 ln|3(√ yx )
2
−2|+c
42)xydx – x2dy = y √ x2+ y2dy
Como es una E.D. Homogénea y=ux → dy = xdu + 4dx
u x2dx− (x2+ux √ x2+u2 x2 ) (udx+xdu )=0
−u2 x2√1+u2dx−x3du−u x3√u2+1du=0
∫−(1+u√u2+1)
u2√1+u2du=∫ dx
x
−¿
tgθ=uSec2θdθ=duReemplazando en α
−∫ Sec2θtg2θSecθ
dθ−ln|u|=ln|x|
−∫Cscθ .Ctgθdθ−¿ ln|u|=ln|x|¿
Cscθ−ln|u|=ln|x|
√1+u2
u+ln|u|=ln|x|
√1+( yx )
2
yx
+ ln|u|=ln|x|
43) xy (1 + xy2)dydx
=1 x2y3 = dx
dy - xy por lo que es una E.D. de Bernoulli
multiplicamos por x-2
y3=x-2 dxdy
– x-1y multiplicamos por -1-y3=-x-2 dx
dy + x-1y
z= x-1 → dzdy
=−x−2 dxdy
dzdy
+zy=− y3 es una E.D. lineal de primer ordenz=e∫−( y)dy [∫ e∫ ydy . (− y3 ) dy+c ]
z=e− y2
2 [∫ ey2
2 . (− y3 ) dy+c ]1x=e
− y2
2 [− y2
2e
y2
2 +2ey2
2 +c ]
44)(y + 3x2y + x2)dx + (x + x3)dy = 0M(x,y)= y – 3x2y + x2N(x,y)= x + x3
∂ M∂ y
=1+3 x2
∂N∂ y
=1+3x2 entonces es una E.D. exacta→∃ f
(x , y )/∂ f ( x , y )∂ x
=M (x , y )
∫ ∂ f ( x , y )∂x
=∫ y – 3x2 y+ x2dx
f ( x , y )= y x3+ x3
3+g( y)
∂ f (x , y)∂ y
=x3+g' ( y )
x + x3=x3+g ' ( y)
∫ xdy=∫ g ' ( y )
xy= g( y )
→k=y x3+ x3
3+xy
45)xdydx
− y=√x2+ y2
Es una E.D. Homogénea
y= ux → dy=xdu+udxReemplazando
x (xdu+udx )−(√ x2+u2 x2+ux )dx=0
x2du+uxdx−x (√u2+1+u )dx=0
x2du−x (√u2+1 )dx=0
∫ du
√u2+1=∫ dx
x
ln|u+√u2+1|=ln|x|+c
ln| yx+√( y
x )2
+1|=ln|x|+c
- Problema 7.38 hasta el problema 7.73 (Maldonado Barrios, Abraham)
Problema 7.74 hasta el problema 17 (Monsalve Valderrama, Jhony)
Queda pendiente por qué no entrego el trabajo a tiempo.
****************************************************************
Problema 18 hasta el problema 27 (Mondragon Pantigoso, Marco A.)
Problema 18
Determine las condiciones bajo los cuales la ecuación tien un factor integrante u(x,y)=h(x+y). Aplique este resultado para determinar la solución general de:
…(1)
Hallando el FI u:
Reemplazando:
Se sabe además que, y reemplazando en la ecuación anterior:
Agrupando:
, donde z=x+y, reemplazando:
Resolviendo e integrando:
, donde , Hemos hallado el factor de integración para (1)
Problema 19
Problema 20
Hállense todas las f(t) tales que la ecuación:
, sea exacta.
Como es exacta se debe verificar:
Tal que (1) y (2) deben ser iguales, por tanto igualando (1)y(2)
, integrando:
… RESPUESTA
Problema 21
Se sabe que la ecuación:
Admite a u=u(t,y)=t como factor integrante. Hállense las funciones f(t).
Es exacta ya que t es F.I. por dato
Por tanto se cumple: …(1)
Obteniendo la siguiente igualdad:
Sea g(t)=tf(f), resolviendo y reemplazando en (1)
, integrando
…(2)
Reemplazando g(t) por tf(t):
, dónde:
… RESPUESTA
Problema 22
Si u(x,y)=eycosx es un factor integrante de la ecuación:
Determine:
a) Las funciones F(x) y G(y)
b) La solución general de la ecuacón resultante
a) es exacta, por datoPor tanto se cumple:
Resolviendo:
Despejando:
Dónde:
… RESPUESTAb) Reemplazando F y G en la E. D.
…(es exacta)
Por tanto,
Partimos de , integrando
, reemplazando M
Resolviendo la Integral:
…(1)
Derivando con respecto a y
, reemplazando por N
, despejando:
, Integrando:
…(2)
Reemplazando (2) en (1)
… RESPUESTA
Ecuaciones Lineales de Primer Orden
Problema 23
23.1)
….(1)
Comprobaremos que la ecuación (1) es homogénea
Ambas funciones son homogéneas de grado 1.
Sea:
y=ux…(2)
dy=udx+xdu…(3)
Reemplazando (2) y (3) en (1) tenemos:
Factorizando y despejando:
Integrando
Reemplazando u en la ecuación anterior tenemos:
…RESPUESTA
23.2)
…(1)
Donde M=x2, N=2xy
Es claro ver que ambas funciones son homogéneas de grado 2.
Por tanto:
x=vy …(2)
dx=vdy+ydv …(3)
Reemplazando (3)y (2) en (1)
De donde se obtiene:
Integrando
…(4)
Sea:
u=v2+2…(5)
du=2vdv…(6)
Reemplazando (5) y (6) en (4)
Resolviendo:
…(7)
Reemplazando v de (2) en (7)
…RESPUESTA
23.3) …(1)
Las funciones M y N son ecuaciones homogéneas de 2 grado. Dónde:
….(2)
…(3)
…(4)
Reemplazamos (3) y (2) en (1)
Resolviendo y factorizando:
Integrando
Despejando a ambos lados:
…(5)
Reemplazando (4)en (5)
…RESPUESTA
23.4)
…(1)
Dónde:
M y N son funciones homogéneas de 2 grado , por tanto:
…(2)
…(3)
…(4)
Reemplazando (2) y (3 )en (4):
Despejando:
Integrando
Resolviendo las integrales
…(5)
Reemplazando (4) en (5)
…RESPUESTA
23.5)
….(1)
M(x,y)=
N(x,y)=
Es claro ver que ambas funciones M y N son homogéneas de 2 grado, por tanto:
…(2)
…(3)
Reemplanzando (2)y (3) en (1) tenemos:
…(4)
Despejando (4) se tiene:
…RESPUESTA
23.6) Es la misma ecuación diferencial del problema 23.1
23.7) …(1)
Multiplicamos (1) por cos2x
Dándole forma:
…(2) E.D. Lineal de 1er orden donde,
,
La solución de (2)es de la forma
…RESPUESTA
23.8)
Dándole forma obtenemos:
…(1)
Dónde:
,
La solución de (1) será de la forma:
…(2)
Reemplazando los valores hallados anteriormente en (2) :
, despejando tenemos:
…RESPUESTA
23.9)
Dándole forma obtenemos:
…(1)
Observamos que (1) es una E.D. lineal de primer orden.
,
Y la solución de (1) es de la forma:
…(2)
Reemplazando los valores hallados en (2):
…RESPUESTA
23.10) ..(1)
(1) es una ecuación lineal de 1er orden, donde:
,
La solución de (1) es de la forma:
, reemplazando los datos tenemos:
…RESPUESTA
23.11)
Es una ecuación diferencial lineal de 1er orden, donde:
Y la solución es de la forma:
Reemplazando los valores tenemos:
…RESPUESTA
23.12)
…(1)
Donde (1) es una E.D. Bernoulli
Multiplicamos a (1) por 2y
, sea :
…(2)
…(3)
Reemplazando (2) y (3) en 1:
…(4)
Dónde:
La solución de (4) es de la forma:
Reemplazando los valores conocidos para la ecuación anterior:
…RESPUESTA
23.13) …(1)
(1) es una E.D. Lineal de 1er orden
La solución es de la forma:
…(2)
Reemplazando los valores en (2)
Resolviendo por Integración por partes queda:
…RESPUESTA
23.14)
Dándole forma:
Es claro que se trata de una E.D. Lineal de 1ero Orden, dónde:
La solución tiene la forma:
Reemplazando p y q en la ecuación anterior:
Resolviendo la integral y operando:
…RESPUESTA
23.15) …(1) es una E.D. Lineal de 1ero Orden, dónde:
La solución tiene la forma:
Reemplazando p y q en la ecuación anterior:
Resolviendo la integral y operando:
…RESPUESTA
Problema 24
24.1)
Dándole forma:
…(1)
Es una E.D. Bernoulli
Multiplicamos a (1) por 4y3
..(2)
Sea:
Reemplazando en (2) tenemos:
…(es un E.D. Lineal de primer orden)
La solución es de la forma:
Resolviendo la integral:
Reemplazando z
…RESPUESTA
24.2)
Probaremos si la ecuación es exacta:
, son diferentes
Por tanto buscamos factor de integración
…(1)
es exacta, sea u(x,y)=u(y)
..(2)
Reemplazando y calculando en (2):
De dónde: …(3)
Reemplazando ( 3) en (1)
La ecuación diferencial es exacta, hallando su solución :
Entonces
,
, integrando
..(4)
Derivando con respecto de y
Reemplazando
…(5)
Integrando
, al integral no se puede integrar por partes por el exponente de e.
Reemplazando (4) en (5)
…RESPUESTA
24.3)
Dándole forma:
Multiplicando por -x-2
…(E.D. Bernoulli)
Dónde:
Reemplazando
La solución es de la forma:
Reemplazando:
Reemplazando z y evaluando la integral:
…RESPUESTA
24.4)
Dándole forma:
…(1) E.D. Bernoulli
Multiplicando por –y-2
Sea:
Con:
Resolveidno la integral y reemplazando z:
…RESPUESTA
24.5)
Dando forma:
Integrando:
Resolviendo:
…RESPUESTA
24.6)
Dándole forma:
Reemplazando:
…(1) E.D. Lineal de primer orden
Sea su solución:
Reemplazando:
Reemplazando z:
…RESPUESTA , no se puede integrar por partes
24.7)
Dándole forma:
… E.D. Bernoulli
Multiplicamos por 3x2
Reemplazando tendremos:
…(E.D. Lineal de 1er orden)
Si la solución es:
, reemplazando:
Despejando y reemplazando z:
…RESPUESTA
24.8)
…E.D. Bernoulli
Multiplicamos por 3y2
…(E.D. Lineal de 1er orden)
Solución:
Reemplazando y resolviendo:
Reemplazando z:
…RESPUESTA
24.9)
…( E.D. Bernoulli)
Multiplicando por -3y-4
,
Reemplazando
Resolviendo la Integral y reemplazando z:
…RESPUESTA
24.10)
… E.D. Bernoulli
Multiplicamos por 3y2
,
…E.D. Lineal de 1er orden
Reemplazando:
…RESPUESTA
24.11)
… E.D. Bernoulli
Multiplicamos por -2y3
,
Reemplazando:
Resolviendo y reemplazando z
…RESPUESTA
24.12) … E.D. Bernoulli
Multiplicamos por -2y-3
Reemplazando:
… E.D. Lineal de 1er orden
Resolviendo y reemplazando:
…RESPUESTA
ECUACIONES DIFERENCIALES DE RICATTI
Problema 25
Determine la solución general de (1+x3)y’+2xy2+x2y+1=0, si una solución particular es de la forma y =ax+b.
Sol.
(1+x3)y’+2xy2+x2y+1=0 …(1)
Solución particular de la forma y =ax+b …(2)
Derivando (2): …(3)
Reemplazando (2) y (3) en (1):
Resolviendo se obtiene a=-1, b=0
Por tanto la sol. Particular es y=-x
La solución general es de la forma:
…(5)
Derivando con respecto de x
…(6)
Reemplazando (5) y (6) en (1) y dando forma
… E.D. Lineal de 1er orden
…(7)
Como y=-x+1/z
z=1/(x+y), reemplazando el z en (7)
…RESPUESTA, solución general
Problema 26
Para x>0 considere la ecuación de Ricatti
…(1)
a) Determine la solución particular de la forma y1(x)=e2x(Ax+B)
Sol.
Sea la sol. Particular y1(x)=e2x(Ax+B) …(2)
Derivando, …(3)
Reemplazando (2) y (3) en (1)
Agrupando y resolviendo se obtienen 4 ecuaciones.
2A-A2=1
B=1
4A+2B-2AB-2A=1
4B+A-B2-2B-A=1
Resolviendo el sistema de ecuaciones: A=1, B=1
Por tanto, la solución particular es y1(x)=e2x(x+1)
Problema 27
Considere la ecuación diferencial
…(1)
a) Encuentre la solución particular de la forma y =Ax+B.
b) Determine la solución general.
c) Determine la solución particular que pasa por el punto (2,2)
Sol.
a)
Solución particular de la forma y =Ax+B …(2)
Derivando (2): …(3)
Reemplazando (2) y (3) en (1)
Factorizando, e igualando miembros se tiene: A=-1, B=1
Por tanto, y=-x+1 es la solución particular buscada.
b)
Sea la solución general de la forma:
…(4)
Derivando con respecto de x
…(5)
Reemplazando (4) y (5) en (1) tenemos:
Resolviendo queda:
Reemplazando z en (4)
…RESPUESTA, solución general
c) Solución particular con (x,y)=(2,2)
Reemplazamos en por el valor x=2, y =2 para hallar el valor c y de ahí reemplazar c en al solución para obtener la solución particular.
, se deduce que cuando x=2 , y =2
Reemplazando c en la solución :
…RESPUESTA