Se aplica una fuerza electromotriz de 30V a un circuito en serie LR con 0.1 henrys

de inductancia y 50 ohms de resistencia. Determine la corriente i(t), si i(0)=0.

Determine la corriente conforme t→0.

El circuito esta descrito en la Figura 1.

Circuito tipo LR conectado en serie

Dicho modelo matemático proviene de las leyes de Kirchoff:

1. La suma de las corrientes hacia (o desde) cualquier punto es cero.

LEY DE NODOS

2. Alrededor de cualquier trayectoria cerrada la suma de las caídas de voltaje

instantáneas en una dirección específica, es cero. LEY DE MALLAS

En este caso, como queremos encontrar un valor (la corriente i(t)), en un circuito

cerrado o malla utilizaremos para modelar el circuito la LEY DE MALLAS.

Para esto recordamos como representamos matemáticamente, en

circuitos eléctricos, a los Inductores y las Resistencias, así como las

definiciones de caídas de voltaje para cada elemento:

Elementos del

Circuito

Caídas de

Voltaje

Caídas de

voltaje

en función

de i(t)en función

de q(t)

Elementos del

Circuito

Caídas de

Voltaje

Caídas de

voltaje

Inductor  Ldidt  =Ld2idt2

Resistor iR =Rdqdt

Capacitor 1Cq

Tabla 1. Caídas de voltaje para cada elemento del circuito

descrito en la Figura 1, expresadas en función de la

correinte i(t) y en función de la carga q(t)

Entonces, aplicando la ley de mallas de kirchoff al circuito de la Figura 1, para

las caídas de voltaje en función de la corriente i(t), tenemos:

Ldidt+iR=E(t) (1)

Donde L, R son constantes conocidas como la inductancia y la

resistencia, respectivamente. La corriente i(t) se llama también respuesta

del sistema.

En realidad esta ecuación (1), no es más que la ecuación (2) del artículo:Circuitos

Eléctricos y Ecuaciones Diferenciales sin la caída de voltaje que genera el

capacitor; dicha ecuación es:

Ldidt+Ri+1Cq=E(t) (2)

Menciono porque es importante tomar en cuenta que una vez modelado un

circuito en serie del tipo RLC, las versiones de circuitos en serie del tipo LR y RC,

son simplemente contracciones de la ecuación (2).

Es importante hacer notar que en la ecuación (2) aparecen 2

variables dependientes i y q por lo que para poder resolverla con los

métodos para ecuaciones lineales ordinarias es necesario adecuarla a la

forma de una ecuación diferencial lineal ordinaria, la cual contiene una

sola variable dependiente, lo cual se hace evidente al ver la ecuación en su forma

estándar:

a2(x)d2ydx2+a1(x)dydx+a0(x)y=g(x)

La forma estándar anterior representa una ecuación diferencial de 2º orden, donde

su única variable dependiente es y y su variable independiente es x.

Utilizo la forma estándar de una ecuación diferencial linea ordinaria de 2º orden

por que al adecuar la ecuación (1) a una ecuación diferencial lineal ordinaria da

como resultado una ecuación de lineal ordinaria de 2º orden, ya que la

relación que se necesita para sustituir una de las variables independientes eleva

el orden la ecuación (1), al ser una diferencial. Es decir, la ecuación que relaciona

a las variables dependientes i(t) y q(t)de la ecuación (1), es una ecuación

diferencial.

Dicha ecuación diferencial que relaciona a las variables dependientes i(t) y q(t),

en su forma de derivada es:

i=dqdt

Solución de la Ecuación Diferencial resultante

Para nuestro caso la ecuación diferencial a resolver, según la ecuación (1)

y sustituyendo los valores del problema planteado, es:

0.1didt+50i=30 (3)

Resolviendo la ecuación (3) por el método de los 4 pasos:

I. Forma estándar:

dydx+P(x)y=g(x)⇒didt+500i=300

II. Factor Integrante:

e∫P(x)dx==e∫500dte500t

III. Forma de la solución:

y=yc+yp⇒i(t)=itr(t)+ips(t)

yc=Ce∫P(x)dx⇒⇒itr(t)=Ce−∫500dtitr(t)=Ce−500t

 

yp=1e∫P(x)dx∫e∫P(x)dxf(t)dx⇒⇒⇒⇒⇒ips(t)=1e500t∫e500t∗300dtips(t)=300e500t∫e500tdtips(t)=300500∗e500t∫e500t∗500dtips(t)

=35∗e−500t[e500t]ips(t)=35

Por tanto la corriente (total en el circuito), buscada es:

i(t)==itr(t)+ips(t)Ce−500t+35 (4)

Para encontrar el valor de C utilizamos los valores iniciales i(0)=0, es decir

cuando el tiempo t es 0 la corriente i en el circuito es 0 también.

Por tanto, sustituyendo estos valores en la ecuación para la corriente resultante

del circuito (4), tenemos:

i(t)000====Ce−500t+35Ce−500(0)+35C(1)+35C+35

Esto implica que:

C=–35

De donde la Corriente Buscada es:

i(t)=–35e−500t+35 (5)

Es evidente, observando la ecuación (5), que cuando t→∞, i(t)=35, este

resultado se hace más evidente cuando graficamos la corriente i(t), resultante

como en la Figura 2. De aquí que se le llame transitorio al término: –35e−500t