Ecuaciones Diferenciales Texto: Ecuaciones Diferenciales con aplicaciones de modelado. Novena edicin. Cengage Learning

Seccin 1.1

7. Establezca el orden de la ecuacin diferencial ordinaria dada.

Determine si la ecuacin es lineal o no, comparando con la

siguiente ecuacin:

La variable dependiente y todas sus derivadas son de primer

grado.

Todos los coeficientes estn en funcin de la variable

independiente

Solucin: La anterior ecuacin es una ecuacin lineal ordinaria de

orden 3.

39. construya una ecuacin diferencial que no tenga ninguna

solucin real.

Esta ecuacin tiene solucin imaginaria.

Esta ecuacin no tiene solucin.

40. Construya una ecuacin diferencial que usted asegure tenga

solo la solucin trivial y=0. Explique su razonamiento.

y=y ; Condicin inicial: y(0) = 0

Razonamiento:

Ln l y l= x + c

Y=

Y(0)=0

0=c

0=c

0=c

Y=0

Y=0

41. Qu funcin conoce de clculo tal que su primera derivada

sea ella misma? Que su primera derivada sea un mltiplo

constante K de ella misma? Escriba cada respuesta en la forma

de una ecuacin diferencial de primer orden de solucin.

Y(x)=

Y(x)=

Y(x)=

Y(x)=

Seccin 1.3

5. Una taza de caf se enfra de acuerdo con la ley de enfriamiento

de newton. Utilice los datos de la grfica de la temperatura

T(t)para estimar las constantes Tm , To y K en un modelo de la

forma de un problema con valores iniciales de primer orden:

9. Suponga que un tanque grande de mezclado contiene

inicialmente 300 galones de agua en los que se disolvieron 50

libras de sal. Entra agua pura a una razn de 3 gal/ min y cuando

la solucin est bien revuelta, sale a la misma razn. Determine

una ecuacin diferencial que exprese la cantidad A (t) de sal que

hay en el tanque al tiempo t. cunto vale A (0)?

X=AGUA Xo=300 GALONES

A=SAL Ao=50 Lb

CANTIDAD DE AGUA PURA QUE ENTRA----

SALIDA SOLUCION-----

CANTIDAD QUE ENTRA DE SAL= (0)(

)

CANTIDAD QUE SALE DE SAL=

.

+

= 0

HACIENDO VARIABLES SEPARABLES

DT

Ln lAl =

A(t)= C

A(0)=50 lb

10. suponga que en un principio un gran depsito de mezclado

contiene 300 galones de agua en la que se han disuelto 50 libras

de sal. Otra solucin de salmuera se bombea hacia el depsito a

razn de 3 galones por minuto, y cuando la solucin est bien

agitada, se bombea hacia afuera slo 2 galones por minuto. Si la

concentracin de la solucin entrante es 2 libras por galn,

determine una ecuacin diferencial para la cantidad de sal A (t)

que se encuentra en el tanque en el instante t.

Flujo de entrada

3 gal/min de solucin

2 lb/ gal de concentracin

Flujo de Cul es la cantidad

Salida de sal (A) en el tanque

3 gal/min de solucin en un tiempo t?

300 gal de agua

+ 50 lb de sal

SOLUCIN:

Sabemos que la cantidad de sal (A) que se encuentra en el tanque en

un tiempo t, est dado por la cantidad de sal que entra al recipiente y

la cantidad de sal que sale de este; matemticamente esto es

expresado como:

= R entrada R salida

Donde la cantidad de sal que entra (R entrada) est dada por:

R entrada= 3

* 2

= 6

Donde el primer trmino de esta expresin es la velocidad de entrada

de la solucin, y el segundo es la concentracin de este flujo.

Y la cantidad de sal que sale es:

R salida = (

) (2

) =

En esta expresin el primer trmino es la concentracin de sal en el

flujo de salida, la concentracin de esta, est dada por la cantidad de

soluto (sal) sobre la cantidad de solvente (agua), y est ltima vara

con el tiempo porque el flujo de salida es menor que el de entrada.

Retomando tenemos que:

= R entrada R salida

= 6

-

Para resolver est ecuacin diferencial, entonces tenemos que:

= 6 -

Llevando la ecuacin a la forme estndar:

+

= 6

Entonces:

P(x)=

f(x)=6 Factor Integrante: =

= = (300+ t)2

Extrapolando con la solucin estndar encontramos que:

A (t) =

+

dt

A (t) =

+

Simplificando:

13. Suponga que est saliendo agua de un tanque a travs de un agujero circular de rea Ao que est en el fondo. Cuando el agua sale a travs del agujero, la friccin y la contraccin de la corriente cerca del agujero reducen el volumen de agua que sale

del tanque por segundo a , donde c es una constante emprica. Determine una ecuacin diferencial para la altura h del agua al tiempo t para el tanque cubico que se muestra en la

figura. El radio del agujero es de 2 pulg y

Partimos de:

En primer lugar podemos obtener el volumen del tanque:

Como la altura y el volumen varan con respecto al tiempo, tenemos

A (t) =

+ 2(300+t)

Pero

Sustituyendo

Pero como el nivel del agua est disminuyendo concluimos.

15. un circuito en serie tiene un resistor y un inductor como se

muestra en la figura. Determine la ecuacin diferencial para la

corriente i(t) si la resistencia es R, la inductancia es L y el voltaje

aplicado es E(t).

Cadas de voltaje: VR= iR ; VL=L

E(t): iR + L

E(t):R

+ L

16. Un circuito en serie de contiene un resistor y un capacitor

como se ilustra en la Figura. Determine una ecuacin diferencial

para la carga q (t) en el capacitor se la resistencia es R, la

capacitancia es C y el voltaje impreso es E (t).

De acuerdo a la segunda ley de kirchhoff el voltaje aplicado E (t) a un

circuito cerrado debe ser igual a la suma de las cadas respectivas de

voltaje en el circuito. Como la corriente i (t) est relacionada con la

carga q (t) en el capacitor mediante

. Sumamos:

;

Cada del resistor Cada capacitor

17. Cada libre y resistencia del aire

Para movimientos de gran rapidez en el aire, como el de un

paracaidista, que est cayendo antes de que se abra el

paracadas la resistencia del aire es cercano a una potencia de la

velocidad instantnea v(t). Determine una ecuacin diferencial

para la velocidad v(t) de un cuerpo de masa m que cae, si la

resistencia del aire es proporcional al cuadrado de la velocidad

instantnea.

Utilizando la segunda ley de Newton

Igualo sumatorias de fuerza

18. Un barril cilndrico de s pies de dimetro y w lb de peso, est

flotando en agua como se muestra en la figura 1.3.16a. Despus

de un hundimiento inicial el barril presenta un movimiento

oscilatorio, hacia arriba y hacia abajo, a lo largo de la vertical.

Utilizando la figura 1.3.16b, defina una ecuacin diferencial para

establecer el desplazamiento vertical y(t), si se supone que el

origen est en el eje vertical y en la superficie del agua cuando el

barril est en reposo. Use el Principio de Arqumedes: la fuerza de

flotacin o hacia arriba que ejerce el agua sobre el barril el igual

al peso del agua desplazada. Suponga que la direccin hacia

abajo es positiva, que la densidad de masa del agua es

62.4lb/pies3 y que no hay resistencia entre el barril y el agua.

Direccin

positiva

mg

Kv2

Solucin.

Segn el Principio de Arqumedes se tiene:

La fuerza ascendente del agua sobre el barril = Peso del agua

desplazada

= (62,4) x (Volumen de agua desplazada)

= (62,4) (s/2)2 y

=15,6 s2y

Utilizando la segunda ley de Newton tenemos:

= - 15,6 s y

+

= 0 ; = 32 pies/seg y w= el peso del barril en libras

19. Despus de que se fija una masa M a un resorte, este se estira

S unidades y cuelga en reposo en la posicin de equilibrio.

Despus el sistema masa-resorte se pone en movimiento, sea que

X (t) denote la distancia dirigida del punto de equilibrio a la masa.

Suponga que la direccin hacia abajo es positiva y que el

movimiento se efecta en una recta vertical que pasa por el

centro de gravedad de la masa y que las nicas fuerzas son el

peso de la masa y la fuerza restauradora del resorte estirado.

Utilic la ley de Hooke: la fuerza de restauracin de un resorte es

proporcional a su elongacin total. Determine una ecuacin

diferencial del desplazamiento X (t) al tiempo t.

Condicin de equilibrio:

Mg = k S

Aplicando la segunda ley de Newton

F = Ma ; donde a =

Obtenemos

Mg k (x + S ) = M

Mg kx kS = M

Teniendo en cuenta la condicin de equilibrio obtenemos la

siguiente ecuacin

Mg kx Mg = M

-kx = M

+

= 0

Esta ecuacin diferencial representa un movimiento armnico

simple.

Esta es una ecuacin diferencial :

1. Ordinaria

2. De orden 2

3. lineal

4. Homognea

20. Segunda Ley de Newton y ley de Hooke.

Despus de que se fija una masa a un resorte, ste se estira

unidades y cuelga en resorte en la posicin de equilibrio como se

muestra en la figura. Despus el sistema resorte/ masa se pone

en movimiento, sea que denote la distancia dirigida del punto

de equilibrio de la masa. Suponga que la direccin hacia abajo es

positiva y que el movimiento se efecta en una recta vertical que

pasa por el centro de gravedad de la masa y que las fuerzas que

actan sobre el sistema son el peso de la masa, la fuerza de

restauracin del resorte estirado y una fuerza de amortiguamiento

sobre el sistema masa resorte que es proporcional a la velocidad

instantnea de la masa y acta en direccin contraria al

movimiento. Utilice la Ley de Hooke: la fuerza de restauracin de

un resorte es proporcional a su elongacin total. Determine una

ecuacin diferencial del desplazamiento .

Sin una fuerza de amortiguamiento, la ecuacin diferencial es:

Con una fuerza de amortiguamiento proporcional a la velocidad, la

ecuacin diferencial viene ser

La ecuacin diferencial es:

21. Segunda ley de newton y la ley de la gravitacion universal.

De acuerdo con la ley de la gravitacin universal de Newton, la

aceleracin de cada libre a de un cuerpo, tal como el satlite que

se muestra en la figura, que est cayendo desde una gran

distancia hacia la superficie no es la constante g. Mas bien, la

aceleracin a es inversamente proporcional al cuadrado de la

distancia desde el centro de la tierra a=k/r2 donde K es la

constante de proporcionalidad. Utilice el hecho de que en la

superficie de la tierra, r=R y a=g, para determinar K. Si la

direccin positiva se considera hacia arriba, utilice la segunda ley

de Newton y la ley de la gravitacin universal para encontrar, una

ecuacin diferencial para la distancia r.

Segn la ley de la gravitacin universal, la aceleracin de cada libre

es a

Si

donde, K= Constante de proporcionalidad

r= Distancia desde el centro de la tierra

Si (En la superficie de la tierra)

Para la superficie de la tierra (La direccin vertical hacia arriba es el

eje positivo y el contrario sera el negativo)

Si

Despejando a K

2 Constante de Proporcionalidad en la superficie de la

tierra

Segn la Segunda Ley de Newton

F = ma

Si la fuerza neta del objeto es igual a la fuerza que ejerce el peso del

objeto

(La fuerza del peso del objeto es negativa

porque el objeto va cayendo, es decir, va en direccin contraria a

nuestro eje positivo)

Pero como

2

La Ecuacin diferencial para la distancia r es:

31. Modelo de poblacin. La ecuacin diferencial

, donde k es una constante positiva, modela la poblacin

humana, P (t), de cierta comunidad.

Analice e interprete la solucin de esta ecuacin. En otras

palabras, Qu tipo de poblacin piensa que describe esta

ecuacin diferencial?

Solucin:

Para la solucin del ejercicio podemos observar que la ecuacin

diferencial es de primer orden y de variables separables, debido a que

sus dos variables P (poblacin) y t (tiempo) se pueden factorizar

como el producto de una funcin de t por una funcin de P as:

Separamos las variables:

Integramos:

1

(Propiedades de exponentes)

Haciendo C igual a se obtiene:

Condiciones iniciales:

En la desarrollo de una dinmica poblacional se supone que para el

tiempo en el cual se aplica el modelo (t=0), la poblacin presente va a

ser una poblacin inicial puesto que es necesario partir con una

cantidad establecida.

t=0; P(o)=Po Po: poblacin inicial

Aplicamos las C.I:

Grficamente, el comportamiento de la poblacin que describe esta

solucin es el siguiente:

Anlisis e interpretacin:

Mediante la grfica podemos observar que la solucin de la ecuacin

diferencial representa a una poblacin con comportamiento peridico,

es decir que crece y decrece en intervalos de tiempo.

Este tipo de comportamiento en los seres vivos describe algunos

fenmenos como la actividad del corazn, respiracin, ciclos

circadianos, mestruacin etc cuyas representaciones grficas son del

tipo sinusoidal.

Un tipo de poblacin que describira esta ecuacin diferencial seria la

poblacin que padece de tiempos de hambrunas, ya que mientras

tengan una cantidad de alimentos suficientes para satisfacer sus

necesidades van a encontrarse con buena salud, pero en el momento

en que estos comienzan a escacear, gran parte de la poblacin

comenzar a sufrir enfermedades hasta el punto en el que algunas

personas mueren.

Otro tipo de poblacin de seres vivos que describira sera por ejemplo

una poblacin de conejos al acecho de zorros depredadores.

Seccin 3.1

1. Crecimiento poblacional:

Se sabe que la poblacin de una comunidad crece con una razn

proporcional al nmero de personas presentes en el tiempo t. Si

la poblacin inicial P0 se duplic en 5 aos, En cuntos aos se

triplicar y cuadruplicar?

Solucin:

Para responder a estas preguntas lo primero que se debe es plantear

una ecuacin diferencial de crecimiento poblacional como la siguiente:

= en la cual se sustituye x por P:

= P en donde reagrupando

trminos obtenemos una ecuacin diferencial separable de primer

orden como se muestra:

=0 Forma estndar de la E.D

De la cual tenemos P(t)=-k y F(t)=0 donde el Factor integrante para esta

ED es:

(F.I): =

Obtenindose una familia uniparamtrica de soluciones:

P= C

Ahora haciendo uso de las condiciones iniciales t=0 y P (0)=Po, se

puede obtener C

Po=C

Donde C=P0 P(t)=

Sabiendo que la poblacin se duplic en cinco aos se puede despejar

K como sigue:

P=2Po, t=5

2Po=Po

ln(2)=5k

k =

La solucin de la ecuacin diferencial original viene dada por:

P(t)=

a) P(t)=3Po, t=?

3Po=

ln(3)=

t=

t 7,9 aos

b) P(t)=4Po , t=?

4Po=

ln(4)=

t=

t=10 aos

7. Inicialmente haba 100 miligramos de una sustancia radiactiva.

Despus de 6 horas la masa disminuy 3%. Si la razn de

decaimiento, en cualquier momento, es proporcional a la cantidad

de la sustancia presente al tiempo t, determine la cantidad que

queda despus de 24 horas.

Ln l c l= kt+c-------------- c(t)=

T=0--------- c=100mg

T=6H-------C=0,97(100)

C(T)=100 Y T=0

100=C

100= c

C(t)=100

97=100

Ln

=6k

K=-5,076* *

C(t)=100 t

Si c(t)

C=co

C(t)=Co

T=?

C(t)=

/Co=

Ln(

=kt

-Ln2=kt

T

=-

T=-

T=136,55 h

11. Los arquelogos utilizan piezas de madera quemada o carbn vegetal, encontradas en un lugar para datar pinturas prehistricas de paredes y techos de una caverna en lascaux, Francia. Precise la edad aproximada de una pieza de madera quemada, si se determino que 85.5% de su C-14 encontrado en los arboles vivos del mismo tipo se haba desintegrado.

El mtodo se basa en que se sabe que la vida media del C-14 radiactivo es aproximadamente 5600 aos.

Sea Ao la muestra de C-14 encontrada en la pieza de madera.

Sea la cantidad de C-14 presente en la madera que quedo a travs del tiempo. Se soluciona el problema con valores iniciales.

Si se sabe que 5600 es la vida media del C-14, entonces tenemos.

(1)

Partiendo de Necesitamos hallar el valor de la constante. Usamos el hecho de la ecuacin (1).

Como se desintegro el 85,5% del C-14, entonces resta un 14,5%, de donde

Al reemplazar se obtiene:

Respuesta: la madera hallada en la caverna data de hace 15600 aos.

12. Muchos creen que la Sbana Santa de Turn, que muestra el

negativo del cuerpo de un hombre que al parecer fue crucificado,

es la mortaja de Jess de Nazareth. En 1988 el Vaticano otorg

el permiso para fecharlo con carbono. Tres laboratorios

independientes analizaron la tela y concluyeron que el sudario

tena alrededor de 660 aos de antigedad, una edad consistente

con su aparicin histrica. Con esta edad determine qu

porcentaje de C-14original permaneca en la tela en 1988.

Solucin:

La cantidad de carbono presente en la tela depende de la cantidad

original de este, matemticamente:

x

Para llevar esta expresin a una igualdad es necesario agregar una

constante de proporcionalidad, en este caso es la constante de

desintegracin, entonces tenemos:

= kx

Llevando la ecuacin diferencial a la forma estndar:

kx = 0

Donde:

P(x)= -k f(x)=0 Factor Integrante: = =

Extrapolando de la solucin estndar tenemos:

X (t)= c

Para hallar el valor de C, utilizamos la siguiente condicin inicial:

X (0) = Xo

C = Xo

La ecuacin queda del siguiente modo:

X (t) = Xo

Para nuestro problema esta ser la ecuacin que vamos a emplear:

Vamos a hallar primero el valor de la constante de desintegracin del

carbono, para esto conocemos un dato importante, el tiempo de vida

media del carbono es de 5600 aos.

El tiempo de vida media es el tiempo necesario para que una

determinada sustancia se desintegre hasta la mitad de la cantidad

original.

Trasladando esto a trminos matemticos:

= Xoe

5600k

Simplificando y despejando tenemos que k:

K =

K=1.23*10-4

Volviendo a nuestra ecuacin y reemplazando el valor de k, tenemos:

X (t) = Xo

La cantidad inicial de C-14 en la tela era el 100% y el tiempo t=660

aos, reemplazando los datos:

X (t)=100*

14. Un termmetro se lleva de una habitacin hasta el ambiente

exterior, donde la temperatura del aire es 5 F y despus de 5min

indica 30 F Cul era la temperatura inicial de la habitacin?

t min

0 1 5

T F

55 30

= K(T - Tm)

=

[ Ln (T-5) = Kt + C ]* e

T-5=

1. T= +5

Si t=5 y T=30

30= +5

2. =

Si t=1 y T=55

55= +5

50= (

)

X (t)= 92.20%

[ =

]*ln

3. K=-0.1733

3 en 2

=

= 59.5

T= +5

TO = * 59.5 +5

TO =64.5

18. Al tiempo t=0 un tubo de ensayo sellado que contiene una

sustancia qumica est inmerso en un bao liquido. La

temperatura inicial de la sustancia qumica en el tubo de ensayo

es de 80 F. El bao liquido tiene un temperatura controlada

(medida en grados Fahrenheit) dada por ,

t0, donde t se mide en minutos.

a) Suponga que k=-0.1 en la ecuacin (2). Antes de resolver el

PVI, describa con palabras como espera que sea la

temperatura T (t) de la sustancia qumica a corto plazo. Y a

largo plazo.

b) Resuelva el problema con valores inciales. Use un programa

grafico para trazar la grafica de T (t) en diferentes intervalos de

tiempo. las graficas concuerdan con sus predicciones del

inciso a)?

Segn la ley de enfriamiento de Newton se tiene que:

Separando diferenciales e integrando tenemos:

Dado que la Tm est dada por:

; para t0

Podemos concluir la formula de esta manera:

a) Para k=-0.1 la formula queda:

Dado que el problema presenta en su desarrollo funciones

exponenciales se esperara que la temperatura a corto plazo vari

notablemente.

Y partiendo del planteamiento anterior de las funciones

exponenciales, podemos afirmar que la temperatura a largo plazo

casi no vara o tiende a estabilizarse. Porque tiende a cero

cuando el tiempo aumenta, por ende la temperatura de la sustancia

tiende a 100 para este caso.

b) Resolviendo el problema con valores inciales podemos concluir:

Entonces la ecuacin queda:

T=

Grafica general

En el intervalo t=0s a t=40s

Grafica en el intervalo t=0 a t=200

19. Un cadver se encontr dentro de un cuarto cerrado en una

casa donde la temperatura era constante a 70 F. Al tiempo del

descubrimiento la temperatura del corazn del cadver se

determin de 85 F. Una hora despus una segunda medicin

mostro que la temperatura del corazn era de 80 F. Suponga que

el tiempo de la muerte corresponde a t = 0 y que la temperatura

del corazn era en ese momento de 98.6 F. Determine cuantas

horas pasaron antes de que se encontrara el cadver.

Segn el modelo de enfriamiento de NEWTON, la

variacin de la temperatura con respecto al tiempo, es

directamente proporcional al diferencial de temperaturas

(TEMP del medio y TEMP del objeto en estudio) por una

constante.

= K ( - )

Teniendo en cuenta que la = 70F se tiene que:

=

Resolviendo las integrales:

= K t + C

Aplicando obtenemos:

T 70 =

T- 70 = ; donde =

As pues:

T(t) = 70 +

Teniendo en cuenta las condiciones iniciales : T(0) = 98,6F ;

entonces

T(0)= 98,6 = 70 + , como = 1 ; se tienes que:

98,6 = 70 + = 28,6

T(t) = 70 +

Como la temperatura a la hora del descubrimiento T( )= 85F y una

hora despus del descubrimiento la temperatura T( +1)= 80F,

tenemos las dos siguientes ecuaciones:

(1) 85= 70 + 28,6

(2) 80 = 70 + 28,6

De la ecuacin (1)

=

= K

Aplicando y despejando K tenemos que:

K = -

Reemplazo K en la ecuacin (2):

80 = 70 + 28,6

Entonces:

=

; al aplicar ln obtenemos:

=

=

1,6

Entonces, pasaron aproximadamente 1,6 horas antes de que se

encontrara al cadver.

20. LEY DE NEWTON DEL ENFRIAMIENTO /CALENTAMIENTO

La razn con la que un cuerpo se enfra tambin depende de su

rea superficial expuesta S. Si S es una constante, entonces una

modificacin a la ecuacin de la ley de

enfriamiento/calentamiento es

donde k

Taza de caf A:

Y determinar el valor de de modo que

La ecuacin es tanto lineal como separable.

Se obtiene

Y por consecuencia, cuando

As

Por consiguiente

Por ltimo, la medicin de conduce a

Ahora bien, siendo k una constante de proporcionalidad, podemos

utilizar este valor para encontrar el valor de para el caf de la

taza B

La ecuacin es tanto lineal como separable.

Se obtiene

Y por consecuencia, cuando

As

Por tanto obtenemos

RTA: La temperatura del caf de la taza B, despus de 30 minutos, es

de 81.2529 .

21. Un tanque contiene 200 litros de un lquido en el que se han

disuelto 30g de sal que tiene 1g de sal por litro entra al tanque

con una razn de 4Lt/min; la solucin bien mezclada sale del

tanque con la misma razn. Encuentre la cantidad A(t)de gramos

de sal que hay en el tanque al tiempo t.

Por la ecuacin

Concentracin de sal en el efluente

Razn de entrada

de la salmuera

Razn de entrada de la sal

Concentracin de sal en el efluente

Razn de salida

de la salmuera

Razn de salida de la sal

Entonces

Si la cantidad inicial de sal en el tanque es A(0)=30g

Entonces el factor integrante de esta ecuacin es:

Derivando

Integrando

dt

Si se divide entre el Factor Integrante

Si t=0 A=30

Entonces:

22. Mezcla de dos soluciones. Un tanque contiene 200L de un

lquido en el que se han disuelto 30g de sal. Agua pura entra al

tanque con una razn de 4L/min; la solucin bien mezclada sale

del tanque con la misma razn. Encuentre la cantidad A(t) de

gramos de sal que hay en el tanque al tiempo t.

Solucin:

Para el desarrollo de este ejercicio debemos establecer una ecuacin

diferencial cuya solucin me permita determinar la cantidad A(t) de sal

en el tanque a un tiempo establecido, por lo cual las variables en

juego son el tiempo t, y la cantidad de sal A(t).

Como el flujo de salida de la solucin final es igual al que est

entrando, se supone que el volumen dentro del tanque va a ser

siempre el mismo pero va a haber una variacin de la cantidad de sal

en este con el paso del tiempo. Esta variacin es igual a la diferencia

entre la razn de entrada y la razn de salida de la sal.

Tenemos entonces:

La razn de entrada de la sal al tanque es el producto de la

concentracin de entrada de la sal por la razn de entrada del fluido.

Tenemos entonces:

Rentra= (0 g/L).(4 L/min) = 0 g/min de sal

Ahora, como el volumen del tanque se mantiene constante debido a

que la solucin sale de este con la misma razn con la que entra, la

concentracin de sal en el tanque as como en el flujo de salida es:

Por lo tanto la razn de salida es:

La ecuacin queda entonces:

Separamos las variables:

Integramos:

(Propiedades de exponentes)

Haciendo C igual a se obtiene:

Condiciones iniciales:

Definimos el instante t=0 como el tiempo en el cual empieza a entrar

agua pura al tanque para lo cual la cantidad de sal que hay en este es

aquella presente en la solucin inicial, es decir 30 g.

t=0; A(o)=30 g

Aplicamos las C.I:

Grficamente se tiene:

29. Se aplica una fuerza electromotriz de 30v a un circuito en serie

LR con 0,1 henrys de inductancia y 50 ohms de resistencia.

Determinar la corriente i(t), si i(o)=o .Determine la corriente

conforme

Condiciones inciales

Voltaje de cada en el inductor y en el resistor

Por leyes de Kirchhoff

Forma estndar

Donde

Factor integrante

Resolviendo por la ecuacin lineal

Siendo y=i

Reemplazando las condiciones inciales, i(o)=o, obtengo el valor de C

Reemplazando en la ecuacin lineal

Cuando

30. Resuelva la ecuacin (7) suponiendo que = y

que o.

Ecuacin (7)

Reemplazando =

Se lleva la ecuacin a la forma

Entonces

Donde

Se determina el factor de integracin

De lo anterior se tiene

+

+

Se desarrolla la integral y se tiene

=

Realizando de nuevo la integracin por partes se tiene:

=

Finalmente se reducen trminos y se halla la integral:

+

Reemplazando condiciones inciales 0

0 +

Entonces:

31. Se aplica una fuerza electromotriz de 100 voltios a un circuito

en serie RC, en el que la resistencia es de 200 Ohmnios y la

capacitancia es de 0.0001 Faradios. Determine la carga q(t) del

capacitor, si q(0)=0. Encuentre la corriente i (t).

R=200 ()

E(t)=100(V)

C=0.0001 (F)

Para plantear el modelo matemtico usaremos la segunda ley de

Kirchhoff donde establece que El voltaje aplicado a un circuito en

serie es igual a la suma de las cadas de voltaje en el circuito

Cada de voltaje en un resistor:

Cada de voltaje en un capacitor:

Donde hemos utilizado

Llevamos la ecuacin diferencial a la forma estndar al dividir entre

Se reconoce que

y

Entonces el factor integrante es igual

La solucin como tal es

En particular es una constante y al solucionar la integral

indefinida se obtiene:

Como se puede apreciar es una familia de soluciones de un

parmetro para conocer el valor de este ( ) utilizamos la condicin

inicial

En general se obtiene la siguiente solucin como respuesta al

problema

Al derivar la carga con respecto al tiempo podemos hallar la corriente

Al reemplazar los distintos valores de las constantes finalmente se

obtiene:

y

35. Ecuacin diferencial que describe la velocidad v de una masa sujeta que cae sujeta a una resistencia del aire proporcional a la velocidad instantnea es:

Donde es una constante de proporcionalidad. La direccin positiva se toma hacia abajo.

a. Resuelva la ecuacin sujeta a la condicin inicial . b. Utilice la solucin anterior para determinar la velocidad

limite o terminal de la masa. c. Si la distancia s, medida desde el punto en el que se suelta

la masa se relaciona con la velocidad v por , determine una expresion explicita para s(t) si

SOLUCIN

Analizamos la ecuacin.

1

2

a. Entonces, igualando 1 y 2

Resolviendo:

Reemplazando:

b. Tenemos que:

c. Ahora si s(0)=0, entonces.

Integrando tenemos que.

45. Marcapasos de corazn: En la figura 3.1.12 se muestra un

marcapasos de corazn, que consiste en un interruptor, una

batera, un capacitos y el corazn como un resistor. Cuando el

interruptor S esta en P, el capacitor se carga; cuando S esta en Q

el capacitor de descarga, enviando estmulos elctricos al

corazn. En el problema 47 de los ejercicios 2.3 vimos que

durante este tiempo que se estn aplicando estmulos elctricos

al corazn, el voltaje E a travs del corazn satisface la ED lineal

a) Suponga que el intervalo de tiempo de duracin

, el interruptor S est en la posicin P como se muestra

en la figura 3.1.12 y el capacitor se est cargando. Cuando el

interruptor se mueve a la posicin Q al tiempo el

capacitor se descarga, enviando un impulso al corazn

durante el intervalo de tiempo de duracin

Por lo que el intervalo inicial de carga descarga

el voltaje en el corazn se modela realmente por la

ecuacin diferencial definida por tramos.

Al moverse S entre P y Q, los intervalos de carga y descarga de

duraciones y , se repiten indefinidamente. Suponga que

s,

etc. Determine para

b) Suponga para ilustrar que . Utilice un programa de

graficacin para trazar la grafica de la solucin del PVI del

inicio a) para

Solucin parte a :

Para , , y , el

voltaje no est siendo aplicado en el corazn y .

Para los otros tiempos , 10 , y

la ecuacin diferencial est dada por:

POR MEDIO DE SEPARACIN DE VARIABLES TENEMOS:

Entonces tenemos:

Solucin parte b :