ecuaciones diferenciales con bernoulli
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Esta presentación contiene los procedimientos de la solución de problemas de ecuaciones diferenciales aplicando el método de bernoulliTRANSCRIPT
Capítulo IICapítulo II
ECUACIONES DIFERENCIALES BERNOULLI
ING. LEODAN H. CONDORI QUISPE
MATEMÁTICA APLICADA A LA INGENIERÍA IVMATEMÁTICA APLICADA A LA INGENIERÍA IV
ING. LEODAN H. CONDORI QUISPE 2
E. D. DE BERNOULLI
A. DEFINICION:
También se conoce con el nombre de BERNQULLI y está representada por la
siguiente ecuación:
B. SOLUCIÓN:
Para resolver este tipo de ecuaciones (1), primero se transforma a una ecuación
diferencial lineal, mediante el procedimiento siguiente :
1º A la ecuación (1) se le multiplica por , quedando de la siguiente forma:
2º A la ecuación (2) multiplicar por , quedando de la siguiente forma:
𝒅𝒚𝒅𝒙
+𝑷 (𝒙 ) 𝒚=𝑸 (𝒙 ) 𝒚𝒏 ;𝒏≠𝟏………………(𝟏)
𝒚−𝒏𝒅𝒚𝒅𝒙
+𝑷 (𝒙 ) 𝒚𝟏−𝒏=𝑸 (𝒙 )……………(𝟐)
(𝟏−𝒏 )𝒚 −𝒏 𝒅𝒚𝒅𝒙
+ (𝟏−𝒏 )𝑷 (𝒙 ) 𝒚𝟏−𝒏=(𝟏−𝒏 )𝑸 (𝒙 )……(𝟑)
ING. LEODAN H. CONDORI QUISPE 3
E. D. DE BERNOULLI
3º Realizar el siguiente cambio de variable en la ecuación (3):
4º Reemplazar la ecuación (4) en (3):
5º Resolver la ecuación diferencial aplicando la fórmula adecuada de E. D. Lineal de 1er Orden:
𝒛=𝒚𝟏−𝒏⇨𝒅 𝒛𝒅𝒙
=(𝟏−𝒏 ) 𝒚−𝒏 𝒅𝒚𝒅𝒙
……….…… (𝟒)
𝒅 𝒛𝒅𝒙
+ (𝟏−𝒏) 𝑷 (𝒙 ) 𝒛= (𝟏−𝒏 )𝑸 (𝒙 )……(𝟑)
ING. LEODAN H. CONDORI QUISPE 4
E. D. DE BERNOULLI
C. EJERCICIOS DE APLICACIÓN:
SOLUCION
1º Expresar/adecuar a una E.D. de Bernoulli
P(x) Q(x)
𝒅𝒚𝒅𝒙
+𝑷 (𝒙 ) 𝒚=𝑸 (𝒙 ) 𝒚𝒏
n=3
ING. LEODAN H. CONDORI QUISPE 5
E. D. DE BERNOULLI
2º Multiplicando a la ecuación por , se tiene:
3º Multiplicando a la ecuación por , se tiene:
4º Cambiando variable :
ING. LEODAN H. CONDORI QUISPE 6
E. D. DE BERNOULLI
5º Reemplazando (2) en (1):
P(x) Q(X)6º Aplicando la fórmula adecuada, se tiene:
ING. LEODAN H. CONDORI QUISPE 7
E. D. DE BERNOULLI
ING. LEODAN H. CONDORI QUISPE 8
E. D. DE BERNOULLI
SOLUCION
1º Expresar/adecuar a una E.D. de Bernoulli
P(x) Q(x)
𝒅𝒚𝒅𝒙
+𝑷 (𝒙 ) 𝒚=𝑸 (𝒙 ) 𝒚𝒏
n=-3
ING. LEODAN H. CONDORI QUISPE 9
E. D. DE BERNOULLI
2º Multiplicando a la ecuación por , se tiene:
3º Multiplicando a la ecuación por , se tiene:
4º Cambiando variable :
ING. LEODAN H. CONDORI QUISPE 10
E. D. DE BERNOULLI
5º Reemplazando (2) en (1):
P(x) Q(X)6º Aplicando la fórmula adecuada, se tiene:
ING. LEODAN H. CONDORI QUISPE 11
E. D. DE BERNOULLI
ING. LEODAN H. CONDORI QUISPE 12
EJERCICIOS DE APLICACIÓN Nº 2
Resuelva las siguientes E. D.: (Pág. 52-Pág. 57)