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ECUACIONES DIFERENCIALES

CARLOS RUZ LEIVA

Universidad Diego Portales Instituto de Ciencias Básicas 2

Definición de ecuación diferencial

Una ecuación que relaciona una función desconocida y una o más de susderivadas se llama ecuación diferencial.


Ejemplo 1

La ecuación diferencial 2

2 5 9 0d y dy ydx dx

+ + = incluye la función desconocida y

de la variable independiente x y las primeras dos derivadas y′ y y′′ de y .

La ecuación diferencial 2 2dx x tdt

= + incluye tanto a la función desconocida

( )x t como a su primera derivada ( ) dxx tdt

′ = .


Ejemplo 2

Si C es una constante y 2

( ) xy x Ce= , (1)

Entonces ( ) ( )2 2

2 (2 ) 2x xdy C xe x Ce xydx

= = = .

Así, toda función ( )y x de la forma (1) satisface a la ecuación diferencial

2dy xydx

= . Es decir, es una solución de la ecuación diferencial, para toda x .

En particular, la ecuación diferencial (1) define a una familia infinita desoluciones diferentes de esta ecuación diferencial, una para cada elecciónde la constante arbitraria C .


En el gráfico se muestran dos soluciones; una que pasa por el punto (0,2), la otra pasa por el punto (0,-2).


Ejemplo 3

Si C es una constante y 1( )y x

C x=

−, entonces

22

1( )

dy ydx C x

= =−

si x C≠ . Así

1( )y x

C x=

−

define a una solución de la ecuación diferencial 2dy ydx

= para cualquier

intervalo de números reales que no contenga al punto x C= . Con 1x =

obtenemos la solución particular 1( )

1y x

x=

− que satisface la condición

inicial (0) 1y = . Como se indica en la figura siguiente, esta solución es

continua en el intervalo ] [,1−∞ , pero tiene una asíntota vertical en 1x = .


Definición de orden

El orden de una ecuación diferencial es el orden de la derivada más altaque aparezca en ella.

• 2 2dx x tdt

= + , es de primer orden.

• 2

2 5 9 0d y dy ydx dx

+ + = , es de segundo orden.

• (5) (3) 2 cosy xy x y x− + = , es de quinto orden. • La forma general de una ecuación diferencial de orden n con

variable independiente x y función desconocida o variabledependiente ( )y y x= es

( )( , , , ,..., ) 0nF x y y y y′ ′′ = (2) donde F es una función específica con valores reales de 2n + variables.


Se dice que la función ( )u u x= es una solución de la ecuación diferencial en

(2), en el intervalo I siempre y cuando las derivadas ( ), ,..., nu u u′ ′′ existan

en I y ( )( , , , ,..., ) 0nF x u u u u′ ′′ = para toda x en I . Más brevemente, decimosque ( )u u x= satisface la ecuación diferencial en (2) sobre I .

Toda las ecuaciones diferenciales que hemos mencionado hasta ahora sonecuaciones diferenciales ordinarias, queriendo decir que la funcióndesconocida (variable dependiente) depende solamente de una sola variableindependiente. Si la variable dependiente es una función de dos o másvariables independientes, entonces la ecuación diferencial se llamaecuación diferencial parcial (aparecen en la ecuación derivadasparciales).


Por ejemplo, la temperatura ( , )u u x t= en el punto x y en el tiempo t de unavarilla larga y uniforme satisface (en condiciones simples y apropiadas) laecuación diferencial parcial

2

2

u ukt x

∂ ∂=

∂ ∂ ,

donde k es una constante (difusividad térmica de la varilla).


En este capítulo estudiaremos ecuaciones diferenciales de primer orden dela forma

( , )dy f x ydx

= .

También, estudiaremos problemas con condiciones iniciales, de la forma

( , )dy f x ydx

= , 0 0( )y x y= . (3)

Resolver este problema, significa determinar una función diferenciable

( )y y x= que satisfaga ambas condiciones de la ecuación (3) en algún

intervalo que contenga 0x .


Ejemplo 4

Dada la solución 1( )y x

C x=

− de la ecuación diferencial 2dy y

dx= , resuelva el

problema con condición inicial

2dy ydx

= , (1) 2y = .

Los métodos, que estudiaremos a continuación, nos permitirán resolver estetipo de problemas y otros de mucho interés en Ciencia y en Ingeniería.


Integrales como soluciones generales y particulares

La ecuación diferencial ( , )dy f x ydx

= , toma una forma particular sencilla si la

función f depende sólo de la variable independiente x :

( )dy f xdx

= .

En este caso, la solución general es ( ) ( )y y x f x dx C= = +∫ .

Formato básico para usar en la ClassPad 300


La solución particular de la ecuación diferencial con condición inicial

( )dy f xdx

= , 0 0( )y x y=

es

0( ) ( )y y x f x dx C= = +∫ , donde 0C se obtiene reemplazando 0x x= y

0y y= en la solución general.

Formato básico para usar en la ClassPad 300


Ejemplo 1

Resuelva el problema con condición inicial

3 2dy xdx

= + , (1) 5y = .

Solución:

La solución general es 23( ) (3 2) 2

2xy y x x dx C x C= = + + = + +∫ .

La solución particular es 2

03( ) 22xy y x x C= = + + , donde 0C se encuentra

reemplazando 1x = y 5y = en la solución general obtenida.

2

03(1)(1) 2(1) 5

2y C= + + = .

De aquí se obtiene 032

C = .


La solución particular de la ecuación diferencial 3 2dy xdx

= + , con condición

inicial (1) 5y = , es 23 3( ) 2

2 2xy y x x= = + + .


Ejemplo 2

En la figura siguiente se muestra la gráfica de la solución particular delproblema

3 2dy xdx

= + , con distintas condiciones iniciales. ¿Cuál es la distancia

vertical entre dos curvas contiguas? ¿Qué tiene que ver esta distanciavertical con el valor de la constante C?


Campos direccionales y curvas solución

Un campo de direcciones de una ecuación diferencial ( , )dy f x ydx

= , está

formado por un conjunto de segmentos de rectas, dibujados en cada punto( , )x y del plano XY, con una pendiente igual a ( , )f x y , como se muestra enla figura.

La pendiente de este segmento es igual a f(x,y).


Ejemplo 1

Las figuras siguientes muestran los campos de direcciones y las curvas desolución para la ecuación diferencial

dy kydx

=

con los valores 2, 0.5, y 1k = − . Observe que el campo de direccionesproduce una importante información cualitativa acerca del conjunto detodas las soluciones de la ecuación diferencial.


Isoclinas

Una isoclina de la ecuación diferencial ( , )dy f x ydx

= es una curva de la forma

( , )f x y c= ( c es una constante) en la cual la pendiente ( )y x′ es constante.


Ejemplo 2

La isoclina típica de la ecuación diferencial

2 2dy x ydx

= +

tiene la ecuación 2 2 0x y c+ = > , y por tanto es un círculo con centro en el

origen y radio r c= . Varios de estos círculos se presentan en la figurasiguiente.


Ejemplo 3

Dibuje, en una ventana de visualización 5 5, 5 5x y− ≤ ≤ − ≤ ≤ , el campo dedirecciones, curvas de solución y las isoclinas correspondientes a laecuación diferencial

sin( )dy x ydx

= −


Existencia y unicidad de las soluciones

Suponga que una función con valores reales ( , )f x y es continua en algúnrectángulo, en el plano XY, que contiene al punto ( , )a b en su interior.Entonces el problema con condición inicial

( , )dy f x ydx

= , ( )y a b=

tiene al menos una solución definida en algún intervalo J que contiene al

punto a . Si además, la derivada parcial fy∂∂

es continua en ese rectángulo,

entonces la solución es única en algún (tal vez más pequeño) intervaloabierto 0J que contiene al punto x a= .


Nota 1: Para la ecuación diferencial dy ydx

= − , la función ( , )f x y y= − y la

derivada parcial 1fy∂

= −∂

son funciones continuas en todas partes, por lo que

el teorema 1 implica la existencia de una solución única que pasa por elpunto ( , )a b . Aunque el teorema asegura la existencia sólo en algún

intervalo abierto que contenga a x a= , cada solución ( ) xy x Ce−= realmenteestá definida para toda x .

Nota 2: Para la ecuación diferencial 2dy ydx

= , la función ( , ) 2f x y y= es

continua si 0y > , pero la derivada parcial 1f

y y∂

=∂

es discontinua cuando

0y = , y por lo tanto en (0,0) . Es por lo que es posible que ahí existan dos

soluciones diferentes 21( )y x x= y 2 ( ) 0y x = , cada una de las cuales satisface

la condición inicial (0) 0y = .


Ecuaciones separables

La ecuación diferencial de primer orden

( , )dy H x ydx

=

se denomina separable a condición de que ( , )H x y pueda escribirse como elproducto de una función de x y una función de y :

( )( ) ( )( )

dy g xg x ydx f y

φ= = ,

donde 1( )( )

yf y

φ = . En este caso las variables x y y pueden separarse,

escribiendo de manera informal la ecuación


que entendemos será una notación concisa para la ecuación diferencial

( ) ( )dyf y g xdx

= .

Integrando ambos miembros con respecto a x :

( ) ( )dyf y dx g x dx Cdx

= +∫ ∫ ;

o en forma equivalente, ( ) ( )f y dy g x dx C= +∫ ∫ .

De aquí se obtiene la solución general en la forma implícita ( , , ) 0x y Cϕ = .


Ejemplo 1


6dy xydx

= − , (0) 7y = .

¿Cuál será la solución de este problema si la condición inicial es (0) 4y = − ?

El gráfico de la figura muestra el campo de direcciones y las curvas soluciónen estos dos casos.


Ejemplo 2


2

4 23 5

dy xdx y

−=

−, (1) 3y = .


Ejemplo 3

Determine todas las soluciones de la ecuación diferencial

2/36 ( 1)dy x ydx

= − .


Ecuaciones lineales de primer orden

La ecuación lineal de primer orden tiene la forma

( ) ( )dy P x y Q xdx

+ =

donde P y Q son funciones continuas en algún intervalo real.

Método de resolución:

1. Calcular el factor de integración ( )

( )P x dx

x eρ ∫= . 2. Multiplicar ambos miembros de la ecuación diferencial por ( )xρ . 3. Identificar el miembro izquierdo de la ecuación resultante como

[ ]( ) ( ) ( ) ( )d x y x x Q xdx

ρ ρ= .

4. Integrar la ecuación ( ) ( ) ( ) ( )x y x x Q x dx Cρ ρ= +∫ .

5. Despejar la y , para obtener la solución general de la ecuacióndiferencial original.


Ejemplo 1


/ 3118

xdy y edx

−− = , (0) 1y = − .


Ejemplo 2

Determine una solución general de

2( 1) 3 6dyx xy xdx

+ + = .


Ejemplo 3

Analice los campos de direcciones en los ejemplos anteriores.


Ecuaciones homogéneas

Una ecuación diferencial homogénea de primer orden es una que puedeescribirse en la forma

dy yFdx x

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

.

Si hacemos las sustituciones

yvx

= , y vx= , dy dvv xdx dx

= + ,

entonces la ecuación diferencial se transforma en la ecuación separable

( )dvx F v vdx

= − .


Ejemplo 1

Resuelva la ecuación diferencial

2 22 4 3dyxy x ydx

= + .


Ejemplo 2


2 2dyx y x ydx

= + − , 0( ) 0y x =

donde 0 0x > .


Ejemplo 3


2( 3)dy x ydx

= + + .


Ejemplo 4


13

dy x ydx x y

− −=

+ +.


Ejemplo 5


1

2( ) 3dy x ydx y x

− +=

− +.


Ecuación de Bernoulli

La ecuación diferencial de primer orden de la forma

( ) ( ) ndy P x y Q x ydx

+ =

se denomina ecuación de Bernoulli. Si 0n = o 1n = , entonces la ecuación eslineal. En caso contrario, la sustitución 1 nv y −= transforma la ecuación diferencial dada en la ecuación lineal

(1 ) ( ) (1 ) ( ).dv n P x v n Q xdx

+ − = −


Ejemplo 6


2 22 4 3dyxy x ydx

= + .


Ejemplo 7


4/36 3dyx y xydx

+ = .


Ecuaciones diferenciales exactas

Supongamos que las funciones ( , )M x y y ( , )N x y son continuas y tienenderivadas parciales de primer orden continuas en el rectángulo abierto

: , R a x b c y d< < < < . Entonces la ecuación diferencial ( , ) ( , ) 0M x y dx N x y dy+ = es exacta en R si y sólo si

M Ny x

∂ ∂=

∂ ∂ (1)

en cada punto de R . Esto es, existe una función ( , )F x y definida en R con

F Mx

∂=

∂ y

F Ny

∂=

∂ si y sólo si la ecuación (1) se cumple en R .


Ejemplo 8

Resuelva la ecuación diferencial 3 2 2(6 ) (4 3 3 ) 0xy y dx y x xy dy− + + − = .


Ecuación de Riccati

La ecuación 2( ) ( ) ( )dy A x y B x y C xdx

= + + se llama ecuación de Riccati. Si se

conoce una solución particular 1( )y x de esta ecuación, la sustitución

11y yv

= +

transforma la ecuación de Riccati en la ecuación lineal

1( 2 )dv B Ay v Adx

+ + = − .

Utilice este método para resolver las ecuaciones de los ejemplos siguientes,dado que 1( )y x x= es una solución de cada una.


Ejemplo 9


2 21dy y xdx

+ = + .


Ejemplo 10


2 22 1dy xy x ydx

+ = + + .


Aplicaciones de ecuaciones de primer orden

Trayectorias ortogonales Dada la ecuación de una familia de curvas, ( , , ) 0f x y A = , puededeterminarse la ecuación de otra familia de curvas, ( , , ) 0F x y B = , que cortena las curvas de la familia original perpendicularmente. Las curvas

( , , ) 0F x y B = se llaman las trayectorias ortogonales a las curvas( , , ) 0f x y A = .

Ejemplo 1 Las líneas de corriente originadas por dos fuentes en un flujo bidimensionalson las circunferencias 2 2 2( )x y a a+ − = . Halle las líneas de igual potencial develocidad.


Ejemplo 2 Halle las trayectorias ortogonales a la familia de curvas xy A= .

Ejemplo 3 Halle las trayectorias ortogonales a la familia de elipses 2 24y x A+ = .


Crecimiento exponencial La ecuación diferencial

dy kydx

= , ( k una constante)

sirve como modelo matemático para una amplia variedad de fenómenosnaturales, como se muestra en los siguientes ejemplos: Ejemplo 4 En mayo de 1993 la población mundial alcanzó los 5.5 mil millones y apartir de entonces aumentó a la tasa de 250 mil personas por día.Suponiendo que las tasas de nacimiento y muerte fuesen constantes, ¿ paracuándo se esperaría una población mundial de 11 mil millones?

Ejemplo 5 Suponga que un cuerpo mineral, formado en un antiguo cataclismo (quizá laformación de la Tierra misma) originalmente contenía el isótopo de uranio

238U (cuya vida media es de 94.51 10× años), pero no contenía plomo, que esel producto final de la desintegración del 238U . Si la proporción actual de losátomos de 238U al plomo en ese cuerpo mineral es de 0.9, ¿cuándo ocurrióel cataclismo?


Circuitos eléctricos Un circuito básico formado por una fuente electromotriz, que proporciona unvoltaje de ( )E t voltios en el instante t ; un resistor con una resistencia Rohms; un inductor con una inductancia de L henrys y un capacitor con unacapacitancia de C farads, se muestra en la figura siguiente.


Ejemplo 6 Un circuito tiene una resistencia R ohmios y una inductancia de L henriosy está conectado a una batería de voltaje constante, E . Halle la corriente,i , en amperios, que circula por el circuito t segundos después de cerrarlo.

Ejemplo 7 Un condensador de C faradios de capacidad, al voltaje 0v , se descarga a

través de una resistencia de R ohmios. Muestre que si la carga delcondensador es de q coulombios, la intensidad de corriente es de iamperios y v es el voltaje al tiempo t ,

q Cv= , v Ri= y dqidt

= − .

Muestre que, por tanto, 0

tRCv v e−= .


Mezclas químicas

Ejemplo 8 Un tanque contiene 1000 litros (L) de una solución que consta de 100 kg desal disueltos en agua. Se bombea agua pura hacia el tanque a razón de 5L/s y la mezcla - que se mantiene uniforme mediante agitación - se extraea la misma razón.¿Cuánto tiempo pasará antes de que queden solamente10 kg de sal en el tanque?


Ejemplo 9 Un tanque de 400 gal contiene inicialmente 100 gal de salmuera, la cualcontiene a su vez 50 lb de sal. Entra salmuera, cuya concentración es de 1lb de sal por galón a razón de 5 gal/s, y la salmuera mezclada en el tanquese derrama a razón de 3 gal/s. ¿Qué cantidad de sal contendrá el tanquecuando esté lleno de salmuera?

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