ecuaciones diferenciales en variable separable

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDENLa solución de una ecuación diferencial de primer orden es una herramienta matemática que permite resolver diversos problemas de aplicación de la vida real, desde un problema tan sencillo como el tiempo de vaciado de un tanque, hasta el hecho de poder calcular la velocidad con que se disuelve un contaminante en el medio ambiente.La forma general de una ecuación diferencial ordinaria de primer orden es:Si en esta ecuación es posible despejar , resulta:

dydx

=f (x , y )la cual puede también ser representada como:M ( x , y )dx+N ( x , y )dy=0dondeM y N pueden ser funciones de x e y .

Ejemplo:Dada la ecuación dydx=x2− y2 , también puede ser representada como ( x2− y2)dx−dy=0 ; en este caso M ( x , y )=x2− y2 y N ( x , y )=−1

1. ECUACIONES DIFERENCIABLES ORDINARIAS DE VARIABLE SEPARABLE.

Ecuación separable:Si el lado derecho de la ecuación se puede expresar como una función que sólo depende de x, por una función que sólo depende de y, entonces la ecuación diferencial es separable.

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CICLO: 2013-0Cajamarca

En otras palabras, una ecuación de primer orden es separable si se puede escribir en la forma:

Ejemplos:1. La ecuación es de variables separables, pues el lado derecho de la ecuación se puede expresar como el producto de dos funciones una que depende de x y la otra que depende de y, es decir:

2. La ecuación dydx=3+√ xy no es de variables separables.Una ecuación diferencial de primer orden y primer grado M ( x , y )dx+N ( x , y )dy=0 …....………(1)es de variables separables si M y N pueden descomponerse en factores de modo que cada factor depende solamente de una variable, es decir:f 1( x ) g2( y )dx+ f 2 (x )g1 ( y )dy=0 ……………(2)Ahora, si multiplicamos a (2) por

1g2( y ) f 2( x ) …………………………(3)Obtenemos lo siguiente f 1 ( x )f 2 ( x )

dx+g1( y )g2( y )

dy=0 ………………………... (4)A la ecuación (4) se le denomina ecuación diferencial ordinaria de variable separable y la solución se obtiene por integración, es decir:∫ f 1( x )

f 2( x )dx+∫ g1( y )

g2 ( y )dy=C

donde C es la constante de integración.Facultad De Ingeniería

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Nota: A la expresión en (3) se le denomina factor integrante.Ejemplos: Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales1. ( x−1)2 ydx+x2 ( y+1)dy=0SoluciónEl factor integrante en este caso es:

1

yx2Luego, la ecuación en variables separables será:( x−1 )2

x2dx+ y+1

ydy=0

NOTA: Es posible también llegar a una ecuación que sea integrable directamente sin multiplicar por el factor integrante, para lo cual llevemos cada diferencial a un miembro de la ecuación:

(x−1)2 ydx=−x2( y+1)dy

Ahora llevamos todas las variables x hacia un miembro y las y hacia el otro miembro. Esto es posible ya que es de variable separable:(x−1)2dx

x2=

−( y+1)dyyIntegrando se tiene:

∫ ( x−1 )2

x2dx+∫ y+1

ydy=C

de donde tenemos :x−2 ln|x|+ 1

x+ y+ ln|y|=C

2. x2( y+1 )dx+ y2 ( x−1)dy=0 Soluci ó n El factor integrante en este caso es: 1

( y+1)( x−1 )Luego, nuestra ecuación en variable separable será:Facultad De Ingeniería


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x2

x−1dx+ y2

y+1dy=0

Integrando se tiene∫ x2

x−1dx+∫ y2

y+1dy=C

Por lo tanto, la solución es:x2

2+x+ ln|x−1|+ y2

2− y+ln|y+1|=C

3. 4 xdy− ydx=x2 dySolución:Podemos ver que la ecuación dada se puede escribir en la siguiente forma:( x2−4 x )dy+ ydx=0La ecuación en variable separable es

dxx( x−4 )

+ dyy

=0Aplicando integración en la ecuación∫ dx

x ( x−4 )+∫ dy

y=CSe tiene:

4.Resolver Soluciónde se tiene: Entonces:De esto obtenemos: entonces



Nota: Debemos notar que estamos obteniendo una familia de soluciones, pues para cada constante C, se tiene una solución. A esta familia de soluciones se llama solución general.DEFINICIÓN: Un problema de valor inicial para una EDO de 1er orden, consiste en resolver una EDO de orden 1 que además tiene una condición inicial de la forma , con fijos.Ejemplo: resolverSolución: Por el ejercicio 5 sabemos que

es la solución general.Ahora si , tenemos: Entonces Por lo tanto . La cual es una solución particular.

5. Encontrar la solución particular de la ecuación diferencial: que satisfaga las condiciones x=1; y=2, es decir SoluciónSeparando variables tenemos:



Solución general:

De la condición del ejercicio para x=1; y=2, se tiene C=4. Por lo tanto, la solución particulares:

APLICACIÓN: Crecimiento poblacional de bacteriasCuando se estudia el crecimiento de una población se consideran tanto los organismos que nacen como los que mueren y los que migran. Si P representa a la población en cualquier instante, y M representa el incremento neto resultante de restar los organismos que emigran de los Facultad De Ingeniería


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que inmigran, entonces la tasa de crecimiento de la población de estos organismos está dado por:Ejemplo:Un biólogo cuenta con una población inicial de 100 bacterias, y en el período que está considerando observó que no hubo migración de organismo. Determinar la población de bacterias que se tendrá una vez que han transcurrido 5 días, si sabe que después de 3 días tiene una población de 150 organismos.Solución:La ecuación diferencial (1) modela la velocidad de crecimiento de una población bacteriana, y se puede resolver por el método de separación de variables

Al integrar, se obtiene: O bien

Por lo tanto se tiene: …………………. (2)- Para obtener el valor de C se utiliza la condición inicial de donde se obtiene y la ecuación (2) queda como: - El valor de k se puede obtener con la condición que después de 3 días

(t=3) tiene una población de 150 organismos, esto es Facultad De Ingeniería


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Por lo tanto la población en cualquier instante t es:Ahora si estamos en posibilidad de calcular la población de bacterias una vez que han transcurrido 5 días (t=5):Así la población de bacterias después de que han transcurrido 5 días será de 197 bacterias.APLICACIÓN 1: TRAYECTORIAS ORTOGONALESEn el curso de Física 3 se estudiarán las líneas de fuerza y las superficies equipotenciales: las líneas de fuerza son líneas que salen de una carga positiva y las superficies que sean ortogonales a dichas líneas se llaman equipotenciales porque tienen el mismo potencial eléctrico y son de interés para problemas de electrostática. De manera análoga en Termodinámica se tienen el flujo de calor y las curvas isotérmicas; así como en Mecánica de Fluidos se tiene la corriente y las curvas de potencial de velocidad.En el gráfico tenemos que los segmentos dirigidos son las líneas de fuerza y las líneas puntuadas representan a las superficies equipotenciales (lugares geométricos con el mismo potencial eléctrico) que son perpendiculares a las líneas.



Para encontrar la perpendicular a una curva debemos recordar que: Si 2 curvas son ortogonales es cierto que su producto de pendientes (derivadas de y con respecto a x) es -1.EJEMPLO:Halle las trayectorias ortogonales a la familia de curvas:

y=Cxpara C≠0. Haga un bosquejo de algunas de las curvas.

SOLUCIÓN:Primero grafiquemos algunos miembros de la familia: y=C

x , para

lo cual damos valores a C como 1,2 y 3. Entonces obtenemos las gráficas de:y=1

x, y=2

x, y=3

x



2 1 1 2

10

5

5

10

Ahora entendemos que buscamos curvas que sean ortogonales a dichas curvas en todos los puntos de corte. Primero derivamos implícitamente la ecuación:y=C x−1

dy=−C x−2dx

dydx

=−C

x2Pero de la ecuación original tenemos que: C= yx , si reemplazamos:dydx

=− yx

x2Finalmente:dydx

=− yx

Ahora, las curvas que estamos buscando tienen su pendiente (derivada) que multiplique con la anterior un resultado igual a -1, por lo cual para nuestras curvas buscadas se tiene:dydx

= xy

Ahora separamos las variables:ydy=xdx



Integrando en ambos miembros tenemos:y2

2= x2

2+D

Multiplicando la ecuación por 2:y2=x2+ESiendo E la constante de integración. Despejando y tenemos:

y=±√ x2+E

Graficando algunos miembros de esta familia, para E igual a 0,1,2,3 tenemos:y=±√ x2 , y=±√ x2+1 , y=±√ x2+2 , y=±√ x2+3

2 1 1 2

2

1

1

2

Si se grafican los miembros de ambas familias en un solo plano se verá que son ortogonales mutuamente. Los miembros de una familia pueden ser líneas de fuerza y los otros líneas equipotenciales en electrostática.



3 2 1 1 2 3

3

2

1

1

2

3

APLICACIÓN 2: CONCENTRACIÓN DE UNA MEZCLASi en un recipiente tenemos una mezcla homogénea, digamos agua con sal (salmuera) al 5% y agregamos a una velocidad constante otra solución de agua con sal al 40%, la concentración de nuestra mezcla en el recipiente irá aumentado en el tiempo; supongamos además que en el recipiente abrimos una llave y a cierta velocidad dejamos fugar la mezcla homogénea. Es posible determinar la concentración en el tiempo usando ecuaciones diferenciales. La resolución de este problema puede también resolver el problema de encontrar: la cantidad en el tiempode un fármaco en la sangre, de alcohol en la sangre, de un contaminante en el agua, la cantidad de reactantes y productos químicos, etc.EJEMPLO:Un recipiente contiene 20 kg de sal disuelta en 5000 L de agua. Una solución de salmuera que contiene 0,03 kg de sal por litro de agua entra al recipiente con un caudal de 25 L/min. La solución se mantiene



mezclada por completo y sale del recipiente con l mismo caudal. ¿Cuánta sal hay en el recipiente luego de una hora?RESOLUCIÓN:Cómo solo queremos hallar la cantidad de sal, y esta cantidad es variable asumimos que dicha cantidad de sal en el tiempo sea: S(t ) donde t es el tiempo en minutos por conveniencia. De los datos tenemos que la cantidad inicial es 20 kg:S (0 )=20 , y nos piden la cantidad de sal luego de 60 minutos: S (60 ).

Como el cambio de la cantidad de sal en el tiempo es: dSdt

, podemos plantear entendiendo que estos cambios serán medidos en kg/min:

(cambiodesal total )=(cambio desal en laentrada )−(cambiodesal en la

salida )dSdt

=(cambio desal en laentrada )−(cambiodesal enla

salida )…(I )

CAMBIO DE SAL EN LA ENTRADA: De los datos:

(cambiodesal en laentrada )=(0,03 kgL )(25 L

min )=0,75 kgmin

CAMBIO DE SAL EN LA SALIDA: Cuando ya se unieron la mezcla del recipiente y la mezcla que ingresa, tendremos una cantidad de sal que hemos denominado S(t) que justamente escapará por la salida, y habrá S(t) kg de sal en cada 5000 L de solución ya que al ser igual el caudal de salida y entrada el volumen total en el recipiente no cambia:Facultad De Ingeniería


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(cambiodesal en lasalida )=( S (t )

5000kgL )(25 L

min )=S (t)200

kgL

Ahora podemos reemplazare en (I) para hallar la cantidad de sal:dSdt

=0,75− S200

dSdt

=150−S200Separando las variables:

dS150−S

= dt200

Integramos:∫ dS150−S

=∫ dt200

−ln|150−S|= t200

+C

Ahora reemplazando que S (0 )=20 :C=−ln130

Ahora tenemos que:−ln|150−S|= t

200−ln 130

Despejando S:S ( t )=150−130e−t /200

Finalmente hallamos: S (60 )=53,69 kg



Podemos mostrar la cantidad de sal (kg) en el tiempo (min) en una gráfica para entender el comportamiento de dicha cantidad de una manera más visual:

100 200 300 400 500 600

40

60

80

100

120

140

Podemos notar que al pasar el tiempo la cantidad de sal tiende a estabilizarse en el valor de 150 kg, y que el aumento en la cantidad de sal se ralentiza. Si necesitamos una mayor concentración de sal al final deberemos tomar alguna medida como aumentar el caudal de entrada, disminuir el de salida o aumentar la concentración de la mezcla de entrada.EJERCICIOS PROPUESTOS

1. En los siguientes problemas verificar que satisface la ecuación diferencial dada. Después determinar un valor de la constante C, talque satisfaga la condición inicial dada.a)b)c)d)



e)f)2. Hallar la solución de las siguientes ecuaciones: 1.- 2.- 3.- drdθ=θ−1

r3 4.- 5. 6.- drdθ= senθ+e2r senθ

3er+ercos2θ

7.- 8.- y−1dy+ yecos x senx dx=0

9.- 10.- 11.- (e y+1 )cos xdx+e y( senx+1)dy=0 12.-

dydx

=6 x5−2 x+1

cos y+e y

13.- ( x+1)( y−1 )dy+( x−1)( y+1 )dx=0 14.- ( x+ x√ y )dy+ y √ ydx=0

15.- dydx=sec2 y

1+x2 16.- (4 x+xy 2 )dx+( y+x2 y )dy=0

17.- ( xy+2 x+ y+2 )dx+( x2+2 x )dy=0 18.-( x+ xy2 )dx+ex2

ydy=0

19.- x ( y6+1 )dx+ y2( x4+1)dy=0 ; y (0 )=1 20.- y ' x ln x− y=0 ; y (2)=ln 4

21.- y ln y dx+xdy=0 y(1)=1. 22.- dydx=2√ y+1cos x

3. Resolver los siguientes problemas1) De acuerdo con la ley de enfriamiento de Newton, si un objeto a temperatura T se introduce en un medio con temperatura constante A, entonces la razón de cambio de T es proporcional a Facultad De Ingeniería


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la diferencia de temperatura A-T, esto produce la ecuación diferenciala) Resuelva la ecuación diferencial en términos de T.b) Sea T la temperatura en (ºF) de un objeto en una habitación cuya temperatura se conserva constante a 60º. Si la temperatura del objeto baja de 100º a 90º en 10 minutos, ¿cuánto tiempo se requerirá para bajar la temperatura a 80º?

2) Un panadero desea conocer el tiempo que debe esperar para poder aplicar el betún aun pastel. Si el panadero extrae del horno el pan a 220ºC, observa que después de que han transcurrido 10 minutos tiene temperatura de 190ºC, y para poder aplicar el betún requiere que la temperatura máxima sea de 150ºC. Determinar el tiempo mínimo de espera para poder aplicar el betún al pan, si la temperatura del medio ambiente es de 18ºC.3) Interés compuesto. Si P(t) es la cantidad de dinero en una cuenta de ahorros que paga una tasa de interés anual de r% compuesto continuamente, entoncesSuponga que el interés es de 5% anual, P(0)=$1000 y que no hay retiros.

a) ¿cuánto dinero habrá en la cuenta después de 2 años?b) En qué momento tendrá la cuenta $4000



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