EJERCICIOS.

CABUDARE, 18 de Marzo de 2012.

UNIVERSIDAD FERMIN TOROVICE RECTORADO ACADEMICO

FACULTAD DE INGENIERIAESCUELA DE MANTENIMIENTO MECÁNICO

ESCUELA DE TELECOMUNICACIONESESCUELA DE COMPUTACIÓNESCUELA DE ELÉCTRICA

Alumno: Fremy Daniel Salazar Guedez C.I. 16.950.699Materia: Matemática IV ( Intensivo)Carrera: Ing. Mantenimiento Mecánico

1). Determine si la función es solución de la ecuación diferencial

a)

y =5 {e} ^ {-x} -4

Solución:

Reemplazando la función solución y su derivada en la e.d

y =5 {e} ^ {-x} -4

b)

y=12

senx−12+cosx+10 e−¿x ; y '+ y=senx ¿

Función= y= ½ senx -1/2 cosx+10e−¿x ¿

Ecuación diferencial= y '+ y=senx

1. Calculando la primera derivada de la función, solución:

y '=12

cosx+ 12

sen x−10 e−¿x ¿

dydx

=6 cos2 x−e− x;d y2

d x2 =-12sen 2x+e− x

y=3 sen2 x+e−x

y + 4y= 5 {e} ^ {-x

−12 sen2 x+e−¿x=5 e−¿x−4¿¿¿

−12 sen2 x+e−¿x=5 e−¿x−12 sen2 x−4 e−¿x¿¿¿

−12 sen2 x+e−¿x=−12 sen2x+e−¿x¿¿

e−¿x−12 sen2x=e−¿x−12 sen2 x ¿¿

2. Reemplazando la función solución y su derivada en la ec.

y '+ y=senx

12

cosx+ 12

sen x−10 e−¿x+ 12

sen x−12

cosx+10 e−¿x=sen x ¿¿

sen x=senx

c)

y=c1 e−¿x+c2 ex+c3e−¿2x+c4 e2 x ; y (4 )−5 y +4y=¿¿

Función = y=c1 e−¿x+c2 ex+c3e−¿2x+c4 e2 x ¿¿

1) y '=−c1 e−¿x+c2 ex−2c3 e−¿2 x+2 c4 e2 x¿¿

2)

y} = {c} rsub {1} e {-} ^ {x } + {c} rsub {2} {e} ^ {x } +4 {c} rsub {3} {e {-} ^ {2x } + {4c} rsub {4} e} ^ { }} ^ {stack { 2x } ¿¿

ed= y(4 )−5 y +4y=

y ' } =- {c} rsub {1} e {-} ^ {x } + {c} rsub {2} {e} ^ {x } -8 {c} rsub {3} {e {-} ^ {2x } + {8c} rsub {4} e} ^ { }} ^ {stack { 2x } ¿¿

y(4)=−c1e−¿x+c2 ex+16 c3e−¿2 x+16 c4 e2 x ¿¿

y(4)−5 y +4y=

−c1 e−¿x+c2e x+16 c3 e−¿2 x+16 c4 e2 x−5¿¿¿+

4 ¿

c1 e−¿x+c2ex+16 c3 e−¿2 x+16 c4 e2 x−5 c1e−¿x−5 c2 ex−20 c3 e−¿2x−20 c4 e2 x ¿¿¿¿+

4 c1e−¿x+4c2 ex+4 c3 e−¿2 x+4 c4 e2 x=0¿¿

0=0

2) Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales de primer orden de acuerdo al método correspondiente.

Solución:

b) ( xy+ y2+x2 ) dx−x2dy=0

Solución:

La ecuación es homogénea y se debe aplicar la sustitución de y , dy en la siguiente formula.

y=v . x y dy=vdx+xdv

e y sen2 xdx+cos x ( e2 y− y ) dy=0A)

e y sen2 sds=−cosx (e2 y− y ) dy

sen2 xdxcosx

=−(e2 y− y )

e y dy

2 senxcosxcosx

dx=−e− x ( e2 x− y ) dy

2 senxdx=(−e y+ ye− y ) dy

Para el cálculo podemos realizar una integral:

∫2 senxdx=∫(−e y¿¿+ ye− y )dy+e¿¿

−2 cosx=−e y− ye− y−e− y+c

( xvx+x2 v2+x2) dx−x2 (vdx+xdv )=0

vx2+x2 v2+xydx−x2 vdx−x3 dv=0

vx2+v2 x2+x2−x2 v¿dx=x3 dv

( v2 x2+x2) dx=x3 dv

Ya que la x la presentamos 2 veces podemos sacarla de dentro del paréntesis y

multiplicar a la v2 y 1 (resultado de una sola x).

x2 ( v2+1 ) dx=x3 dv

x2 dxx3 = dv

v2+1

dxx

= dv

v2+1

Nuevamente realizamos una integral para el cálculo:

∫ dxx

=∫ dv

v2+1+c

ln|x|=tg−1 ( v )+c1=tg−1 (v )=μ|x|−c1

tg−1 (v )=μ|x|+c

v=tg (μ|x|+c)

v=yx

←yx=tg1(μ|x|+c)

y=x , t(lu|x|+c )

c).( y2 cos x ) dx+(4+5 ysenx ) dy=0

Solución:

M= y2 cosx y N=4+5 ysenx

My

=2 ycosx yNx

=5 ycosx

∂ M∂ y

≠N

∂ x, no es exacta.

Buscamos un factor que nos ayuda a realizar el cálculo (factor integrante).

f =e∫Mdy

;siendo M=∂ N /∂ x−∂ M /∂ yM

=∫ ycosx−2 ycosx

y2 cosx

M¿ 3 ycosx

y2cosx← M=3

y

f =e∫ 3

ydy

f =e3 lny ← f =e lny 3= f= y3

Luego de tener f sacamos la ecuación diferencial y se multiplica con la misma:

( y5 cosx ) dx+( 4 y3+5 y4 senx ) dy=0

M= y5 cosx ; N=4 y3+5 y4 senx

∂ M∂ y

=5 y4 cosx;∂ N∂ x

=5 y4 cosx ←∂ M∂ y

=∂ N∂ x

Como resultado nos da la ecuación:

Solución def (x , y )=c

(1 ) ∂ f∂ x

=M∂ f∂ x

= y5cosx

(2) ∂ f∂ y

=N∂ f∂ y

=4 y3+5 y4 senx

f¿ ( x , y )= y5 cosx+h( y )← f (x , y )= y5 senx+h ( y )(a) la integramos.

Derivamos (a) respecto ay= ∂ f∂ y

=5 y4 senx+h ' ( y ) (b)

Igualando (b) y (2) ¿5 y4 senx+h ' ( y )=4 y3+5 y4 senx ← h' ( y )=4 y3

h ( y )=4 y3 dy

h ( y )= y4

f ( x , y )= y5 senx+ y 4

f ( x , y )=c ← y5 senx+ y4=c

d). y'−2

xy=x2 cos x

Sustituimos en a

Es unas ecuación lineal en P(x )=−2x

Y q(x) = x2 cosx

M=e∫p ( x )dx=e∫

− dxx2

=e−2 lnx← M=e lnx−2

M=x−2

y= 1M

¿

y= 1

x−2(∫ x−2 . x2. cosxdx+c)

y=x2 (∫cos|xdx|+c )=x2 ( senx+c )

y=x2 senx+c x2

3). Resolver las ecuaciones diferenciales de orden N según el método correspondiente.

A. y} - {3 y} ^ {'} +2 y = {3 e} ^ {- x} - 10 cos 3 ¿

Es una solución homogénea asociada.

Solución:

y} - {3y} ^ {1} +2y=0 {m} ^ {2} -3m+2= ¿

(m - 1) (m - 2) = 0

m1 = 1 ; 𝝁 2 = 2

Yn=c1 em1 x+c2em2 x

Yn=c1 ex+c2 e2 x

Solución:

f ( x )=3 e−x−10 cos3 x ,la soluciónes de la forma :

yp=Αe− x+Βcos3 x+Csen3 x

y p '=−Ae− x - 3Bsen3x + 3Ccos3x

yp= {Ae} ^ {- x} - 9 Bcos 3 x - 9 Csen 3

Sustituyendo: Yp ,Yp ´ yYp en la ecuaci ó n diferencial

Yp - {3 Yp} ^ {'+2Yp=0

Ae− x−9 Bcos3x−9 Csen3 x−3 (−Ae− x−3 Bsen3 x+3Ccos 3 x )

+2¿+Bcos3x+Csen3x) =3 e− x−10 cos3 x

6 Ae− x+ (−7B−9 c ) cos3+(9 B−7C ) sen3 x=3 e− x−10 cos3 x

Igualando coeficientes de términos semejantes ajuntamos:

6A = 3 A= 12

-7B – 9C = -𝝁 B = 7

13

9B – 7C = 0 C= 9

13

Yp=12

e− x+ 713

cos 3 x+ 913

sen3 x

Y= yn+YpY =C1 ex+C2 e2x+12

e−x+ 713

cos3 x+ 913

sen 3 x

B). y(6 )−5 y(4 )+16 y ' ' '+36 y ' '−16 y '−32 y=0

La ecuacion es homogénea:

d6−5d4+16 d3+ 36d2−16 d−32 d . y=0

32=(± 1;± 2 ;± 4 ;± 8 ;±16)

1 0 - 5 16 36 -16 -32

1 1 -4 12 48 32

1 1 -4 12 48 32 0

-1 0 4 -16 -32

1 0 -4 16 32 0

-2 4 0 -32

1 -2 0 16 0

1

-1

-2

0=1

D=-1

D=-2

D=-2

d=−(−4 )±√(−4)2−4.1 .8

2 .1

LA SOLUCION ES:

1 0 - 5 16 36 -16 -32

1 1 -4 12 48 32

1 1 -4 12 48 32 0

-1 0 4 -16 -32

1 0 -4 16 32 0

-2 4 0 -32

1 -2 0 16 0

D=2+26

D=2-26

Y=C1 ex+C2 e−x+C3e−2 x+C4¿

X e−2x +C5¿

e2x SemX +C5¿ e

2x+cos2 X¿¿¿