ecuaciones e inecuaciones lineales

Universidad Centroccidental Lisandro AlvaradoDecanato de Administración y ContaduríaDepartamento de Técnicas Cuantitativas.

16/04/2008 Hecho por: M. Sc. Jorge Hernández 1

Contenido de la presentación:

1. Ecuaciones2. Inecuaciones3. Problemas Propuestos4. Fin de la Presentación


Una ecuación es una relaciónde igualdad entre dosexpresiones algebraicas. Loselementos presentes son detipo numérico, de tipo literal yde tipo operacional, es decir,contienen números, letras ysignos que identificanoperaciones entre ellos.


Ecuación

Expresión alg 1 = Expresión alg 2

Tipos de ecuaciones:

1. Ecuaciones Lineales2. Ecuaciones Cuadráticas3. Ecuaciones Polinómicas4. Ecuaciones Racionales5. Ecuaciones con radicales6. Ecuaciones Trascendentes7. Ecuaciones Trigonométricas


Ecuaciones Lineales

Forma general:Las ecuacioneslineales son aquellasen las cuales todas lasvariables presentestienen potencia 1, ylas variables noforman parte deldenominador dealguna fracción.


Con una variable

Con dos variables

0=+ bax

0=++ cbyax

Ecuaciones Lineales

Ejemplos:A continuación presentamos algunos

ejemplos de ecuaciones lineales


0452254137

082053

=−++=−

=−=+−

=+

yxxx

xx

x

Ecuaciones Lineales

Ejemplo:Resolver una ecuación lineal con

una variable significa encontrar el valor

único de la variable que satisface la

ecuación.

El método para resolverla,

generalmente es despejar la variable.


3553

053

−=

−==+

x

xx

Ecuaciones Cuadráticas

Las ecuaciones cuadráticas tienen todas al menos una de las variables con potencia 2, y no forman parte del denominador de alguna fracción.


Forma general de una ecuación cuadrática

02 =++ cbxax


Resolver una ecuación cuadrática con una

variable es encontrar el o los valores (que

cuando más son dos) que satisfacen la

ecuación.

Generalmente se usa la resolvente cuadrática

para conseguirlos.


Resolvente cuadrática

aacbbx

242

2,1−±−

=


Existe además otra forma de ecuación

cuadrática denominada “expresión

factorizada” de la cuadrática.

Generalmente son dos factores lineales que se

multiplican.


Expresión factorizada de una cuadrática

02 =++ cbxax

0))(( 21 =−− xxxxa


Hay forma de saber cuantas soluciones tiene una ecuación

cuadrática, reconociendo el signo

de la cantidad subradical,

denominada discriminante


Discriminante acb 42 −

042 >− acb Dos soluci0nes

042 <− acb Sin solución

042 =− acb Una solución


A las soluciones de una ecuación igualada

a cero se les llama raíces de la ecuación.


Encuentre las raíces o soluciones de la ecuaciónsiguiente

0652 =−− xx

Solución: Como a = 1, b =-5 y c = -6, entonces,

275

2495

224255

242

2,1

±=

±=

+±=

−±−=

aacbbx 1 ,6 21 −== xx

Ecuaciones Polinómicas

Las ecuaciones polinómicas son sumas de potencias enteras de

una variable.

Las soluciones se encuentran, cuando

existen por medio del método de Ruffini.


Forma general

0.... 012

21

1 =+++++ −− axaxaxaxa n

nn

n

Ecuaciones Polinómicas

Con las soluciones del polinomio podemos escribirlo en forma

factorizada.


Factorización de unaecuación polinomial

0.... 012

21

1 =+++++ −− axaxaxaxa n

nn

n

0))()....()(( 121 =−−−− − xxxxxxxxa nnn

Ecuaciones racionales

Las ecuaciones racionales contienen expresiones fraccionarias donde el

denominador de alguna de las fracciones contiene

la variable.

Generalmente tienen polinomios en el numerador y el denominador.


Forma general

0....

....

012

21

1

012

21

1 =++++++++++

−−

−−

bxbxbxbxbaxaxaxaxa

mm

mm

nn

nn

Ecuaciones racionales

Las soluciones de este tipo de ecuaciones son

las soluciones del polinomio del numerador..


Ejemplo: Resolver la siguiente ecuación racional.

0124

632 =

+−+

xxx

La solución a este problema es encontrarsimplemente la solución al polinomio delnumerador.

23/663

063

−=−=−==+

xxx

Ecuaciones con radicales

Las ecuaciones con radicales son

precisamente aquellas que contienen radicales.

Los elementos radicales aparecen en sumas,

productos o cocientes.

La solución generalmente implica la eliminación del símbolo

radical usando potenciación.


Formas diversas de estas ecuaciones:

0=+ bax

0=+++ dcxbax

0=−n n bax

0=+++

m

n

fexdcxa

Ecuaciones Trascendentes

Las ecuaciones trascendentes son aquellas donde

aparecen expresiones

exponenciales y/o logarítmica, en

forma de sumas, multiplicaciones y

divisiones.



0)()(0)(

0)(0

=+++=−

=+=+

qpxmLncbxaLncebaebxaLn

bae

xx

x

Ecuaciones Trigonométricas

Las ecuaciones trigonométricas son

aquellas donde aparecen

expresiones del tipo seno, coseno,

tangente, cotangente, secantes y

cosecante, o con sus inversas.



0)csc()(0)tan(

0)cos(0)(

=+++=−

=+=+

qpxmcbxasencebabxabxasen

x

Las inecuaciones o desigualdades son expresionesalgebraicas por medio de símbolos de relaciones de orden.


Expresión algebraica 1 Expresión algebraica 2

≥≤><

Tipos de inecuaciones:

1. Inecuaciones lineales2. Inecuaciones cuadráticas3. Inecuaciones polinómicas4. Inecuaciones racionales5. Inecuaciones con radicales6. Inecuaciones trascendentes7. Inecuaciones trigonométricas


Inecuaciones Lineales

Forma general:Las inecuacioneslineales son aquellasen las cuales todas lasvariables presentestienen potencia 1, ylas variables noforman parte deldenominador dealguna fracción.


Con una variable

Con dos variables

0≤+ bax

0≤++ cbyax

Nota: Puede aparecer cualquier otro símbolo de desigualdad

Inecuaciones Lineales

Ejemplo:Resolver una inecuación lineal con una variable significa encontrar el conjunto solución de valores para la variable que

satisface la desigualdad.

El método para resolverla,

generalmente es despejar la variable.


3553

053

−>

−>>+

x

xx

Lo que significa que el conjunto solución es:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ∞− ,

35

Inecuaciones Cuadráticas

Las inecuaciones cuadráticas tienen

todas o al menos una de las variables con

potencia 2, y no forman parte del denominador de alguna fracción.


Forma general de una inecuación cuadrática

02 ≤++ cbxaxNota: Puede aparecer cualquier símbolo


Resolver una ecuación cuadrática con una

variable es encontrar el conjunto solución de

valores para la variable que satisfacen la

desigualdad.

Usamos un método que se denomina: Método de Sturm,

para conseguir dicho conjunto solución.


Método de Sturm

1. Factorizamos la cuadrática

2. Sobre una recta marcamos las raíces

3. Escogemos un valor de prueba a la izquierda del menor de ellos

4. Estudiamos los signos de la expresión factorizada

5. Escogemos el signo determinado por la desigualdad


Ejemplo de aplicación del método de Sturm.


Resolver la siguiente desigualdad cuadrática.

0652 >−− xx

Solución: Aplicamos los pasos del método

1. Factorización:

0652 >−− xx

0)1)(6( >+− xx

2. Representar gráficamente

-1 6





0652 >−− xx


3. Valor de prueba

2−=x

11218626

−=+−=+−=−−=−

xx

4. Estudio del signo en la factorización

-1 6

++++++----------------------------------+++





0652 >−− xx


5. Escogencia del signo: La desigualdad establece la escogencia del signo positivo

Solución:

-1 6

++++++----------------------------------+++

( ) ( )∞∪−∞− ,61,

Inecuaciones Polinómicas

Las inecuaciones polinómicas son sumas de potencias enteras de

una variable.

El conjunto solución lo encontramos factorizando por

medio del método de Ruffini y aplicando el

método de Sturm.


Forma general

0.... 012

21

1 ≤+++++ −− axaxaxaxa n

nn

n

Inecuaciones racionales

Las inecuaciones racionales contienen

expresiones fraccionarias donde el denominador de alguna de las fracciones

contiene la variable.

Generalmente tienen polinomios en el numerador y el denominador.

Se resuelven usando el método de Sturm.


Forma general

0....

....

012

21

1

012

21

1 ≤++++++++++

−−

−−

bxbxbxbxbaxaxaxaxa

mm

mm

nn

nn

Nota: Usaremos una sesión de ejercicios para tratar este caso.

Otros tipos.

Otros tipos de inecuaciones son las que

contienen elementos exponenciales, logarítmicos y

trigonométricos.

No son objeto de estudio en el contenido de esta

asignatura.


0)()( ≤+++ qpxmLncbxaLn

0)csc()( ≤+++ qpxmcbxasen

Gracias por la atención prestada.

M.Sc. Jorge Eliecer Hernández Hernández.


ecuaciones e inecuaciones lineales

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