ecuaciones eigens

7/24/2019 ecuaciones eigens

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Ejemplo 8. 3

+ + ( - - 4 ) ( - l ) +

= + ( l ) ( l ) + +

Ejemplo 9. El producto obtenido al intercambiar las matrices en el Ejem-plo 8 no est definido, porque en el producto resultante el nmero de colum-nas de la primera matriz sera igual al nmero de filas de la segunda ma-triz. Este ejemplo muestra que la ley conmutativa para la multiplicacin dematrices no se cumple en general, esto es, BA. Esto es cierto en gene-ral an cuando AB y BA existan ambas.

Observacin. La definicin de multiplicacin de matrices requiere quesi A es una matriz de m x n y B es una matriz de p x q entonces debemos te-ner n para que el producto AB exista. En tal caso decimos que A y B sonconformes. El producto AB es una matriz de m q. Esto se puede indicarsimblicamente por la regla de cancelacin:

x x x

Si una matriz se sustrae de s misma, el resultado es una matriz cuyoselementos son todos iguales a cero, llamada la cero o y denotadapor el smbolo 0. La matriz cero puede tener cualquier o dimensin.

La matriz cero o nula acta en lgebra matricial como el cero del lgebra or-dinaria.

Con el objeto de tener una matriz que acte como el uno o unidad de! l-gebra ordinaria, introducimos una matriz unidad o identidad definida por

1

la cual es una matriz cuadrada con unos en la diagonal de la izquierda supe-rior a la derecha inferior, llamada la diagonal principal, y ceros en otras par-tes. Si el producto IA o AI existe, el resultado es (ver el Ejercicio

Ejemplo ll.

=

+ +

La siguiente lista proporciona algunos resultados importantes en rela-cin a matrices, los cuales se pueden considerar corno teoremas. En todoscasos asumimos que las operaciones indicadas estn definidas y todas las

Mtodos de de matraces para sistemas de ecuaciones. 5 5 11 55


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letras denotan matrices.1. Ley conmutativa para la adicin2. + + = (4 c Ley asociativa para la adicin3. AB en general Ley conmutativa para la multiplicacin

no se cumple4. = Ley asociativa para la multiplicacin5. = AB + Ley distributiva

6. A + O = A

7. = = 0

8. Al = IA A

En muchas situaciones prcticas tenemos necesidad de matrices cuyoselementos son funciones, tal como por ejemplo

4

4

en la cual los elementos son funciones de Las reglas de operacin conmatrices son exactamente las mismas a las ya dadas. Adems, sin embargo,como se podra esperar en aplicaciones a ecuaciones diferenciales, necesita-mos definir la derivada de una matriz. Hacemos la siguiente

Definicin 1. Si A es una matriz cuyos elementos son funciones de entonces la derivada de A con respecto a denotada por

es una matriz cuyos elementos son las derivadas de los elementos correspon-dientes de A. En smbolos, si A = entonces

Ejemplo 12.

Podemos tambin definir integrales de matrices.

Definicin 2. Si A es una matriz cuyos elementos son funciones integra-bles de entonces la integral de A con respecto a es una matriz cuyos ele-mentos son las integrales de los elementos correspondientes de A. En smbo-los, si A = entonces

E j e m p l o 1 3 . S e a =

Entonces A = 3t + = 2 3t) +

donde C = c,). Algunas veces C se llama una matriz constantearbitraria,

Consideremos algunos ejemplos ilustrando varias operaciones con ma-trices.

55 11 66 Captulo once


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EJEMPLO ILUSTRATIVO 1

Exprese el sistema de ecuaciones lineales pgina en forma

Entonces usando la definicin de e igualdad de matrices, po-demos escribir el sistema en la forma AX =


Si A= muestre que 3A = 0.

Solucin Tomando tenemos


Escriba en forma matricial el sistema de ecuaciones diferencialesdx

+ z = 1, x + + 3z =dt + x = (13)

Solucin El sistema dado (13) se puede expresar de acuerdo a la definicinde igualdad de matrices como

(14)

usado D . Usando la definicin de adicinde matrices, el lado izquierdo de (14) se puede escribir como una suma:

donde hemos usado las definiciones de derivadas y producto de matrices.Podemos as escribir el sistema dado como

Mtodos de eigenvalores de matrices para sistemas de ecuaciones. 5 1 7


4/34

El siguiente es un teorema importante el cual ser usado con frecuenciaen este captulo.

Teorema. Suponga que se da el sistema de ecuaciones lineales

A X = 0

donde A es una matriz de n n cuyos elemntos son constantes dadas, y Xes un vector n dimensional con elementos desconocidos , , .Entonces el sistema tiene soluciones no triviales, esto es, X 0, si y slosi det (A) = 0.

Ejemplo 14. = 3 y X = E n t o n c e s A X = O e s

equivalente al sistema de ecuaciones lineales

2.x + = 0

3s + = 0

= 0

2-l

Puesto que = 3 2

1 6

el sistema tiene soluciones no triviales. Dos de las infinitas posibles solucio-nes no triviales son

4 = - 2 0

14

Debido al teorema anterior llamamos una matriz A singular si det (A) 0;en otro caso, se llama no singular.

EJERCICIOS A

1. Desarrolle cada una de las siguientes operaciones indicadas para producir unamatriz equivalente

5 1 8 Captulo once


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Encuentre los valores de y para los 3) +

, encuentre

D a d o q u e = = C = M u e s t r e q u e

A + = + C. (h) + C) = AB +

leyes ilustran estos resultados?

Si A, C son las matrices dadas en el Ejercicio 4, determine si (a) AB(b) C(AB). conclusiones puede usted sacar de estas observaciones?

6. Exprese en forma matricial

7. Dado que A = encuentre

8. Exprese los siguientes sistemas de ecuaciones diferenciales en forma matricial

9. Encuentre det (A) si: (a) A A

10. Determine cules de los siguientes sistemas tienen soluciones no triviales, y de-termine algunas de estas soluciones si existen.

= 0

(b) = 0

+ = 0

EJERCICIOS

1. Si A, y C son matrices del mismo tamao, pruebe que (a) A + B B + A. (b)

2. Pruebe que si A, B y C son matrices conformes entonces:

+ C) = AB + (b)

3. Si A, son matrices conformes cuyos elementos son funciones de muestre que

Mtodos de de matrices para sistemas de ecuaciones. 519


6/34

Ilustre tomando

5.

6.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

520

Explique por qu el orden indicado es esencial.

AX donde A, X se asumen conformes, necesariamente sigue queX B? Explique.

, determine, si es posible, los elementos en la matriz X =

de modo que AX = XA.

Muestre que si es la matriz identidad pgina 515, y una matriz, enton-

ces si los productos ZA AZ existen, el resultado es A.

D a d o B =

tenemos det = det (BA).

EJERCICIOS C

2

- 2muestre que an cuando BA todava

Pruebe el resultado indicado en el Ejercicio 1 si A y B son cualesquiera (a) ma-

trices de 2x 2, (b) matrices de 3. El resultado se puede generalizar a matricesde n donde 3.

Muestre que si A y B son cualesquiera determinantes de 2 2 tenemos det (AB) =

det (A) det (B) e ilustre usando los determinantes en el Ejercicio 1. (b) Extiendael resultado de (a) a determinantes de 3 3 e ilustre con un ejemplo (el resultadoes cierto para cualesquiera determinantes de n n). (c) Discuta la conexin en-tre los resultados de (a) y (b) y los resultados de los Ejercicios 1 y 2.

Una matriz X tal que AX = Z donde es la matriz identidad o unidad se llama la

inversa de A y se denota por A- Encuentre A si:

Muestre que la inversa de una matriz cuadrada A no puede existir si A es una ma-

triz singular.

Sea A = una matriz cuadrada, C = (c,,) una matriz cuadrada del mismo

tamao cuyos elementos denotan los cofactores de los elementos, y

es la matriz cuadrada de C al intercambiar columnas y filas (con fre-

cuencia llamada la transpuesta de (a) Usando las matrices en el Ejercicio

ilustre el hecho que

Captulo once


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(b) Use para mostrar que la inversa de una matriz nosingular est dada

,

por A donde 0 y use este resultado para trabajar Ejercicio Es-

tos resultados se cumplen para matrices de x

Resuelva el sistema de ecuaciones pgina 511, usando matrices inversas. [su-gerencia: Use el Ejemplo ilustrativo 1, pgina 517, para escribir el sistema comoAX= y luego multiplique a la izquierda por

Ecuaciones diferenciales matriciales

Volvamos nuestra atencin a mostrar cmo las matrices se pueden usarpara resolver sistemas de ecuaciones diferenciales con coeficientes constan-tes por el mtodo de la solucin complementaria y particular. Hacemos un pa-

ralelo con la discusin de la pgina 500 para que el estudiante pueda ver lasrelaciones entre ambos mtodos. Como ya se mencion, las matrices sirvenpara simplificar el trabajo involucrado donde el nmero de ecuaciones esgrande.

Indicamos en el Captulo diez, pgina 449, que todo sistema lineal deecuaciones diferenciales puede escribirse como un sistema de ecuacionesdiferenciales de primer orden si queremos usar suficientes incgnitas. En elcaso donde, por ejemplo, tengamos tres funciones desconocidas de diga-mos tal sistema se puede escribir en la forma

+ =

dz + =

d on de los son cons ta nt es da da s y los lad os derech os F, , sonfunciones dadas de t. El sistema (1) se puede escribir en forma matricial como

don de Y

du

como vemos al usar un procedimiento similar al del Ejemplo ilustrativo p-gina 517. Si (1) se remplaza por un sistema de ecuaciones lineales con in-cgnitas, donde n la correspondiente ecuacin matricial est an dadapor pero u y F son entonces vectores n dimensional y A es una matriz denx n .

Entendemos por una solucin de por supuesto cualquier vector co-lumna u el cual cuando se sustituye en (2) produzca una identidad. Para re-solver cualquier sistema tal como debemos por tanto aprender cmo resol-ver (2).

de eigenvalores de matrices para sistemas de ecuaciones. 521


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Por razones obvias, llamamos (2) una ecuacin diferencial matricial lineal

de primer orden con coeficientes constantes.* La ecuacin de (2)al remplazar el lado derecho F por 0, matriz cero o nula, se llama por analo-ga con los captulos previos la ecuacin complementaria y est dada por

La solucin general de la cual involucra un nmero de constantesarbitrarias igual a la dimensin de u, se llama la solucin complementaria de

y como en los captulos previos tenemos los siguientes teoremas funda-mentales.

1. Sea la solucin general de la ecuacin complementariaesto es, la solucin complementaria de (2). Sea cualquier solucin parti-

cular de (2). Entonces la solucin general de (2) est dada por =

Teorema 2. (Principio de superposicin). Sea , cualquier nme-ro de soluciones de la ecuacin complementaria y sea cons-tantes arbitrarias. Entonces

= + + . .

es tambin una solucin de (4).

Pruebas de estos teoremas se dejan para los ejercicios.Observacin. Se debera notar que si deseamos la solucin general de

la ecuacin complementaria (4) donde u es un vector n dimensional necesita-mos n soluciones independientes en (6). Como en el Captulo cuatro, este con-cepto de independencia requiere una discusin de Wronskianos, la cual seda en la pgina 532.

En vista de los teoremas anteriores es claro que para obtener la solucingeneral deseada de (2) debemos encontrar la solucin complementaria deo la solucin general de y tambin una solucin particular de (2). Veamosahora cmo stas se pueden encontrar.

La solucin complementaria

Para encontrar la solucin general de (4) o la solucin complementaria de hagamos la sustitucin en (4) dada por

(7)

donde es una constante y v es un vector columna n-dimensional constan-te. Note que para n = 2, (7) equivale a hacer la sustitucin

en la pgina 502. Entonces (4) llega a ser

.*Pudimos tambin llamar (2) una ecuacin diferencial puesto que es un vector

columna.

5 2 2 Captulo once


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o al dividir por 0

= 0

donde es la matriz identidad o unitaria. Ahora del teorema en la pgina 518,

sigue que (9) tendr soluciones no triviales, esto es, 0, si y solo si

det + = 0

Para la matriz (4) en la pgina 512 con estomincnte de orden n

3.1 EIGENVALORES Y EIGENVECTORES

La ecuacin determinante (ll) es equivalente a una ecuacin polinmicade grado n en Esta ecuacin, que es anloga a la ecuacin auxiliar delCaptulo cuatro, tiene n races no necesariamente distintas, digamos

Correspondiente a estas races habr valores del vector columnaobtenido de y de estos valores de se obtienen soluciones de la ecuacin

matricial (2). Antes de ilustrar el procedimiento, examinemos el significadode la ecuacin (9) la cual conduce a (10) u (11).

Podemos escribir (9) en la forma

=

En el lado izquierdo de esta ecuacin A es una matriz de n n y es un vec-tor columna n dimensional. Una pregunta que naturalmente surge es sobreel significado del producto Claramente, Av es otro vector n dimensional,de modo que podemos considerar a A como un operador o transformacin quecuando opera sobre produce un nuevo vector n dimensional. Esta transfor-macin en el espacio n dimensional se puede visualizar mejor si considera-mos n = 3, por ejemplo. En tal caso podemos pensar que la matriz A de 3 3

toma al vector tridimensional y lo transforma en otro vector tridimensional.En el espacio tridimensional se puede pensar que tal transformacin consis-te de una rotacin del vector, un alargamiento o contraccin del vector, o po-siblemente ambos. Para el caso general, donde n 3, podemos considerar a Acomo una rotacin con un posible alargamiento o contraccin de un vector ndimensional, aunque tal visualizacin no es tan fcil como para n 3.

En el caso de un vector tridimensional, la multiplicacin por un nme-

ro escalar representa un vector en la misma u opuesta direccin, depen-diendo si el nmero es posit ivo o negativo. En muchos casos, podemoscons iderar a como un vector paralelo a Esta misma idea tambin seaplica al espacio n dimensional.

Con estas interpretaciones el problema de hallar los valores de y sus

vectores correspondientes equivale a hacer la siguiente

vectores en el espacio n dimensional soncuando sufren una transformacin A y

Mtodos de eigenvafores de matrices para de ecuaciones. 5 2 3


10/34

se convierten en un nuevo vector (esto es, paralelo al vector original te-niendo magnitud veces la del vector original?Al responder la pregunta anterior estamos por supuesto buscando vecto-

res no cero o no triviales los cuales se pueden pensar como vectores propios.Ahora debido a que mucho del trabajo sobre teora de matrices fue hecho enalemn en el cual la palabra para propio es eigen, los valores de y los vec-tores correspondientes v han llegado a conocerse por las palabras hbridaseigenvalores y eigenvectores, respectivamente, y usaremos esta terminolo-ga. La ecuacin determinante (10) u (11) usada para hallar los valores dese llama la ecuacin de Hay varias observaciones que deberanhacerse.

Observacin El hecho de que aparezca un signo menos en (12) sur-ge simplemente porque hicimos = e en la ecuacin diferencial matricial

(4) en la pgina 522. Si en vez hubiramos hecho = e- (12) habra sidoremplazada por = XV, la cual luce ms esttica.* En tal caso pudimos lla-mar los eigenvalores, pero ellos seran los negativos de los dados anterior-mente. Hay algunas ventajas de usar la ecuacin (12) debido a la analogacon la de Sturm-Liouville del Captulo ocho, como lo discutiremos enla pgina 542. Se debera notar que independiente del signo adoptado paralos eigenvalores no hay diferencias en los eigenvectores correspondientes, de-bido a que cualquier mltiplo constante (o escalar) de un eigenvector es tam-bin un eigenvector.

Observacin 2. El problema de determinar y v que Av( Av XV) se puede considerar como un problema puramente algebraico (es-to es, aparte de su conexin con soluciones de ecuaciones diferenciales

Por esta razn, nos referimos a los y como los eigenvalores

y eigenvectores de la matrizA.

El problema de eigenvalores matriciales tienemuchas ramificaciones tericas importantes, algunas de las cuales se presen-tan en los ejercicios y al final de este captulo para aquellos interesados enellas. El estudiante que desee continuar un estudio adicional puede referirsea los libros sobre teora matricial.*

3.2 EL CASO DE REALES DISTINTOS

Para ilustrar las ideas anteriores, consideremos el siguiente

PROBLEMA

Resuelva el sistema 2 x =

dt01

*El estudiante que ha ledo el Captulo ocho notar la similitud en terminologa con la da-da aqu. Esta similitud se explorar ms en las pginas

Algunos autores expresan la ecuacin diferencial matricial en la forma +para conseguir este objetivo. Sin embargo, sta no es la forma ya usada al escribir ecuaciones di-ferenciales de primer orden (ver pgina 53).

*Ver [ll], por ejemplo.

524 Captulo once

cua uier m tip o constante o esca ar) e un eigenvector es tam-

bin un eigenvector.


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El sistema dado es equivalente a la ecuacin diferencial matricial

= 0 .

Colocando en la ecuacin diferencial dada o usando tenemos

- 6 + = 0 0

Ahora el objeto de tener soluciones no triviales 0, debemos tener

A - 2 - 6= 0, esto es , + + 2 =

2- 1 , - 2

As hay dos eigenvalores reales y dintintos = 1 y = 2.

1. 1. Colocando = 1 en (15) y =son constantes desconocidas, tenemos 0

, donde a y b

De cualquiera de estas dos ecuaciones encontramos a = 2b. En particular,si b entonces a 2. As una solucin de (15) correspondiente a =- 1 e s

Usando = v, esto produce una solucin correspondiente a (14) dada

2. Colocando = 2 en (15) como en el Caso 1, encontramos

As a = b. En particular, si b 2, tenemos de modo que

- 3

2

y una solucin a la ecuacin diferencial (14) es- 3

2

Usando el principio de superposicin, vemos de las soluciones (17) y (18) que

Mtodos de eigenvalores de matrices para sistemas de ecuaciones. 525


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es tambin una solucin. Puesto que sta contiene el nmero (dos) necesa-

rio de constantes arbitrarias, sta es la solucin general deseada. Podemosescribir (19) como

= +

Observacin 3. Al obtener la solucin general anterior, hemosdo la independencia lineal de las soluciones dadas por (17) yrespectivamente. Esto se verifica en la pgina 532. Ejemplo 1.

Observacin 4. El sistema (13) es equivalente al sistema (9) en la p-gina 502, y se obtiene la misma solucin general. Podemos usar mtodos

para resolver pgina 502, directamente como se muestra en elEjercicio

3.3 EL CASO DE EIGENVALORES REPETIDOS

Consideremos el siguiente

PROBLEMA PARA

Resuelva el sistema

dt

Este sistema es equivalente a la ecuacin diferencial matricial

+ = 0, = =

La misma tcnica de hacer u = usada antes produce

= 0 01

= 0

As, para tener soluciones no triviales v 0, debemos tener

4

- 1 1= + + 1 = 0 = 1, 1

o eigenvalores repetidos.

Caso 1. 1. Colocando = 1 en (23) se obtiene

0 o 2a + 4b = 0,

de modo que a En particular, si b = 1, entonces a = 2 de modo que

- 2

1

526 Capitulo once


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y una solucin a la ecuacin diferencial es

Obviamente, no hace falta tomar el Caso 2, 1, puesto que es de nuevo co-mo el Caso 1. De acuerdo a nuestra experiencia con races repetidas podemosensayar como una posible solucin

de (24) al multiplicar por Sin embargo, al sustituir (25) en la ecua-cin diferencial de encontramos

lo cual muestra que (25) no es una solucin. El hecho de que un trmino invo-lucrando

1

no se use en (26) nos lleva a asumir en vez de (25) la posible solucin

donde , son constantes a determinar. Sustituyendo (27) en (22) da

Tomando = 0, de modo que = 1, vemos de (27) que una solucin es-t dada por

De las dos soluciones (24) y (28) y del principio de superposicin obtenemos

como la solucin general deseada.

Observacin 5. Podemos mostrar que las soluciones (24) y (28) sonnealmente independientes por el mtodo en las pginas 532-533

Observacin 6. El sistema (21) es equivalente al dado en (14) en la p-gina 504, y las dos soluciones generales obtenidas son las mismas.

3 . 4 EL CASO DE E I G ENVAL O RES I M AG I NARI O S

Consideremos el siguiente

Mtodos de de matrices para sistemas de ecuaciones. 52 7


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PROBLEMA PARA DISCUSION

El sistema es equivalente a la ecuacin diferencial matricial

De esto encontramos

(30)

de modo que + 4 = 0 0 =

Tenemos as eigenvalores imaginarios.

Cuso = 2i. Colocando 2i en tenemos

0 o (2i + = 0, + (2i = 0

Entonces = (4i En particular si b = 5, tenemos a = 3 + 4i. As

- 3 + 4 i

5(33)

lo cual conduce a la solucin de la ecuacin diferencial (31) dada por

- 3 4 i

5 (34)

Caso 2, 2i. Podramos colocar 2i en (32) y proceder como en elCaso 1. Es ms fcil notar que podemos obtener la solucin deseada para es-te caso simplemente remplazando i por i en (34). Esto lleva a la solucin

- 3 4 i

5

De (34) y (35) podramos encontrar la solucin general usando el principio desuperposicin. Sin embargo esta solucin est dada en trminos de imagina-rios y desearamos que la solucin fuese real. Podemos fcilmente probar quela parte real de y la parte imaginaria de son soluciones (ver el Ejer-cicio De (34) tenemos, al hacer uso de la identidad de Euler, pgina

528 Captulo once


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+ + (36)

Esto lleva a las soluciones

+

as que por el principio de superposicin la solucin general es

= + + (38)

Observacin 7. Podemos mostrar que las soluciones en (38) sonmente independientes por el mtodo en la pgina 532, de modo que (38) da so-lucin general.

Observacin 8. El sistema (30) es equivalente al dado en (22) en la p-gina 505, y la solucin general all es equivalente a (38).

3.5 UN PROBLEMA ALGO MAS COMPLICADO

Las ideas anteriores se pueden por supuesto extender a sistemas que in-volucran matrices de n n donde n > 2. Los mtodos son esencialmente los

mismos, y la nica dificultad que puede surgir es el trabajo involucrado en laevaluacin de determinantes de alto orden. Con el objeto de ilustrar el proce-dimiento en casos, consideremos el siguiente

PROBLEMA PARA

R e s u e l v a e l s i s t e m a

dt

dx dy

Para reducir ste a un sistema de primer orden, hacemos la =

Entonces el sistema dado (39) puede escribirse

dx dz

dt

Esto puede escribirse como una ecuacin diferencial matricial de primer orden.

(41)

Mtodos de eigenvalores de matrices para sistemas de ecuaciones. 529


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d o n d e l l = A =

ahora colocamos en

sional constante, se obtiene

+ = 0 o (43)

As, para obtener soluciones no triviales 0, debemos tener

0 - 1

1

i - l 1

2 = 0, esto es, 2, 1, 1

2 + 1

Caso 1, = 2. Colocando = 2 en (43) produce

= 0 0 = 0, + + = 0, + =0

de donde = = En particular, si = 2, entonces 1, = -3.

As tenemos

y una solucin correspondiente es

= 1. Colocando = 1 en (43) produce

de donde = 0. En particular si = 1, entonces

As tenemos

y una solucin correspondiente es

1

0

1

=

- 1

0

1

(44)

(45)

= 0

1, = 0.

(47)

530 Captulo once


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Puesto que el Caso 3, = 1 producira la misma solucin con Caso de-bemos usar el mtodo para races repetidas dado en la pgina 526. Para estepropsito tomamos como solucin

buscamos determinar K,. Sustituyendo (48) en (41) produce

0 t

=K , = + 1 = 0

de donde = 1 , Puesto que es arbitraria, podemos es-coger = 0 de modo que K 1. As (48) da la solucin

Usando el principio de superposicin, obtenemos de (47) y (49) la general requerida.

1

u = -3 +

2

Esto es equivalente a

- 1

0

1

=

z =(51)

Se debera notar que aunque (51) es la solucin general para el sistema la solucin general para el sistema (39) est dada por los valores de

y y en mientras que la cual es igual a es ajena. A pesar de es-to, sin embargo, (50) o su equivalente (51) puede ser til cuando se con-diciones iniciales. Por ejemplo, suponga que debemos resolver (39) sujeto alas condiciones iniciales

= 5, 4 = 2, en

Esto se puede usar para escribir (50) como

1

-3 tc,2

- 1

0

1

- 1

0

(53)

de donde podemos encontrar

Mtodos de de p ar a de ecuaciones. 53 1


18/34

3.6 INDEPENDENCIA LINEAL

El uso del principio de superposicin en los problemas anteriores para ha-

llar soluciones generales se puede justificar empleando los conceptos de inde-pendencia lineal y Wronskianos como en el Captulo cuatro. En este respec-to, tenemos las siguientes definiciones fundamentales

Definicin 1 . Sea , un conjunto de vectores n dimensiona-

les , los cuales asumiremos que son funciones de definidas en algn interva-lo denotado por J. El conjunto se dice que es linealmente independiente en Jsi para todo en J

+ . . = 0 (54)

implica que c , . . . = = 0. En otro caso el conjunto se dice que es

nealmente dependiente en J.

Definicin 2 . Sea , un conjunto de vectores columna n di -mensionales definidos como en la Definicin 1. Entonces el es-te conjunto es el determinante de la matriz a part ir de estos vecto-res columna y se denota por

, , . , = . . ,

Entonces el siguiente teorema fundamental puede probarse.

(55)

Teorema 3. soluciones de la ecuacin diferencial

du

para todo en J, donde A es una matriz de n n y es vector columna n di-mensional.Entonces(a) el conjunto es linealmente independiente en J si y slo si el Wronskiano

0 para algn valor, digamos en J.(b) Todas las soluciones de (56) tienen la forma

u = +

esto es, (57) es la solucin general de (56).

(57)

Ejemplo 1. En el problema de la pgina 524 encontramos dos soluciones

de la ecuacin matricial (14) dadas por

El Wronskiano de este conjunto de soluciones est dado por

=

== =

632 Captulo once


19/34

y puesto que 0, vemos por el Teorema 3 que el conjunto es linealmenteindependiente y

es la solucin general deseada.

E

E

j

j

e

e

m

m

p

p

l

l

o

o 2. En el problema de la pgina 529 encontramos tres solucionesde la ecuacin matricial las cuales se pueden escribir como

El Wronskiano de este conjunto est dado

=

=

0

0

te-

Puesto que 0, vemos por el Teorema 3 que el conjunto es linealmenteindependiente y que u = + + es la solucin general deseada.

La solucin particular

Ahora que hemos encontrado la solucin complementaria, volvamos a losmtodos para obtener una solucin particular de la ecuacin matricial

Como en el Captulo cuatro, podemos usar el mtodo de coeficientes indeter-minados, el mtodo de variacin de parmetros, o mtodos especiales de ope-rador. De estos el mtodo de variacin de parmetros trabaja mejor, puestoque los otros mtodos se aplican slo a tipos especiales de funciones como he-mos visto. Restringimos as nuestra atencin a este mtodo. Para ilustrar elprocedimiento, consideremos el siguiente

PROBLEMA PARA DISCUSION

Resuelva el sistema d x

2x = 2t 2

dt

+ 2x = 3t + 3

Este sistema se puede escribir en forma matricial como

du + = d o n d e = = =

Mtodos de eigenvalores de matrices para sistemas de ecuaciones.


20/34

Ahora, ya hemos encontrado la solucin complementaria de la ecuacin dife-rencial en (3) como

(4)

Para hallar una solucin particular, remplacemos las constantes y en(4) por funciones de denotadas por y respectivamente, de modo que

es una solucin de la ecuacin diferencial en (3). Sustituyendo tenemos

(5 )

donde se nota que slo estn presentes los trminos que involucran derivadaspuesto que todos los otros trminos satisfacen la ecuacin dife-

rencial en (3) con F remplazada por 0. Podemos escribir (6) como dos ecua-ciones en saber

+ 3

las cuales podemos resolver ya sea por eliminacin o por determinantes (re-gla de Cramer, en el apndice). Por cualquiera de estos mtodos encontramos

= 4, = +

La integracin de stas, omitiendo las constantes de integracin, produce

= = (7 )

Usando stas en (5) da una solucin particular, y as la solucin de-seada es

Note que si sumamos las constantes arbitrarias , (7) y usamos losresultados en (5) tambin obtenemos (8).

En trminos de y la solucin est dada por

= +

= + + 4

Observacin. El sistema (2) es equivalente al sistema dado en la pgi-na 507, y las soluciones generales son las mismas.

Resumen del procedimiento

Resumamos el procedimiento usado anteriormente. Se asume que el sis-tema dado resolver est escrito en la forma pgina 521.

1. Escriba la ecuacin complementaria. Esto se hace remplazando el la-do derecho de la ecuacin diferencial matricial por la matriz nula ocero, asumiendo por supuesto que esto no est ya hecho.

Encuentre la solucin complementaria. Para ello asuma una solucin

5 3 4 Captulo once


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Aplicaciones usando matrices

de la forma = donde es un vector columna de las variablesdependientes, es un vector columna constante, y es una constan-te (escalar). En el caso de la ecuacin pgina 522, esto conducea = 0. De esto tenemos det = 0, lo cual conducea los eigenvalores De estos eigenvalores podemos determinar loseigenvectores correspondientes y de stos la solucin. Hay tres si-tuaciones que pueden surgir.(a) Los eigenvalores son reales y distintos. En este caso lalucin complementaria se puede escribir como una combinacin linealde las soluciones (esto es, suma de soluciones cada una multiplicadapor una constante diferente).(b) Los eigenvalores estn repetidos. Si hay dos eigenvalorescada uno igual a por ejemplo, entonces una solucin est dadapo r u= donde es el eigenvector correspondiente a

Una segunda e independiente solucin se obtiene asumiendo

y determinando las constantes de modo que (10) satisfagala solucin complementaria. Una combinacin lineal de estas dos so-luciones ser tambin una solucin. Para tres o ms eigenvaloresiguales el procedimiento se puede extender.

(c) Los eigenvalores son imaginarios. En este caso hacemosuso del hecho de que las partes reales e imaginarias de solucionesson tambin soluciones.

III. Encuentre una solucin particular. Use el mtodo de variacin de pa-rmetros, esto es, remplace las constantes en la solucin complemen-taria por funciones de las cuales deben luego determinarse.

IV. Sume las soluciones complementaria y particular. El resultado es lasolucin general deseada del sistema dado.

Observacin. Se asume que en el procedimiento anterior el sistema da-do de ecuaciones est expresado como una ecuacin diferencial matricial deprimer orden con coeficientes constantes. Si, por ejemplo, tenemos un siste-ma que involucra dos ecuaciones diferenciales, las cuales pueden involucrarderivadas hasta de segundo orden, para ambas variables dependientes el pro-cedimiento anterior involucrara vectores cuadridimensionales y matrices de4 4. Es posible, sin embargo, generalizar el procedimiento anterior a ecuacio-nes diferenciales matriciales de segundo orden involucrando slo vectoresdimensionales y matrices de 2 2 (ver el Ejercicio 2C).

Podemos usar matrices para resolver sistemas de ecuaciones diferencia-les formuladas de problemas que surgen en ciencia e ingeniera. Una ilustra-cin tpica se da en el siguiente

EJEMPLO ILUSTRATIVO

Encuentre las corrientes en cualquier tiempo en la red elctrica que semuestra en la Figura 11.1, asumiendo que son cero en tiempo = 0.



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Solucin Usando las leyes de Kirchhoff (ver pgina encontramos lasecuaciones

370sent 21, = 0, + = 0

2 ohmios

1 henrio

F i g u r a l l

+ =

As la ecuacin de eigenvalores est dada por

- 3o 3 = 0 , esto es = - 6 ,

Cuso - 6 . D e 0

tenemos al colocar = -6 ; = 0, = 0 0

Tomando 1, tenemos 3. As una solucin de la ecuacin comple-mentaria es

- 3 =

1

Caso 2, = Colocando = en (3) se tiene

= 0, + = 0 0 =

Tomando a, = 2, tenemos = 3. As una segunda solucin de la ecuacin

complementaria es

2 =

3

De (4) y (5) vemos que la solucin complementaria de (2) es

536 Captulo once


23/34

Para encontrar una solucin particular usamos el mtodo de variacin de De acuerdo a este mtodo remplazamos y en (6) por funcio-

nes de dadas por y respectivamente para obtener

+.

(7 )

la cual debe ser una solucin de (2). Sustituyendo tenemos

donde usamos el hecho de que los trminos que involucran y desapa-recen puesto que la suma de trminos es una solucin de (2) con el ladoderecho remplazado por 0. Tenemos de (8)

0

La integracin de stas omitiendo las constantes de integracin conduce a

71 = t), = 2

Usando stas en (7) produce la solucin particular

sent +2

2 t) =

La solucin general est as dada por

Usando las condiciones iniciales = 0 en = 0 en (9) produce

=

de modo que la solucin deseada es

=

1 11 62 + 76 sent

2 l l l l78 24

EJERCICIOS A

1. Resuelva cada uno de los siguientes sistemas usando matrices y determine aquellasolucin que satisface cualesquiera condiciones dadas

- 2 .

(c) + 2x = 2x + = 0.

de eigenvalores de matrices para sistemas de ecuaciones. 5 37


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EJERCICIOS C

1. (a) Muestre que el sistema de ecuaciones diferenciales para las masas vibrantes(ver pgina 470) se pueden escribir en forma matricial como

0 0 - 1 0

donde 0 0 0 - 1y

0 0

0 0

Use mtodos matriciales para resolver el sistema en sujeto a las condicio-nes dadas en la pgina 471. Compare con los resultados ya obtenidos.

2. (a) Muestre que el sistema de ecuaciones para las masas vibrantes (pgina 470) sepueden escribir como una ecuacin diferencial matricial de segundo orden

Bu = 0 donde

(b) Muestre cmo se pueden usar mtodos matriciales para resolver la ecuacin en(a) directamente haciendo = e ventajas tendra este procedimientosobre el mtodo dado en el Ejercicio

Use el mtodo de los Ejercicios 1 y 2 para trabajar el Ejercicio pgina 479.

Algunos tpicos especiales

7.1 ORTOGONALIDAD

Suponga que tenemos dos vectores columna n dimensionales dados por

El producto escalar de los vectores fue definido en la pgina 513 como la su-ma de los productos de los componentes correspondientes de los vectores.Equivalentemente, esto se obtiene cambiando uno de los vectores (1) en unvector fila y usndolo para multiplicar al otro vector.

Dada una matriz A podemos obtener una nueva matriz al cambiar las co-lumnas en filas (o filas en columnas) de tal modo que la columna se convier-ta en la fila Esta nueva matriz se llama la transpuesta de A se denota por

As, tenemos la siguiente definicin

Definicin 1. La transpuesta de cualquier matriz A, denotada por esla matriz de A al cambiar sus filas en columnas (o columnas en filas),convirtindose la fila en la columna En smbolos, si entonce s

=



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Ejemplo 1. Si A =

2

, entonces = (1 3 2).

Ejemplo 2 . S i A = , ent on ces =

Usando la transpuesta, podramos definir el producto escalar como sigue.

Definicin 2. Sean A y B dos vectores columnas de la misma dimensin.

Ejemplo 3. Si A =

2

Entonces el producto escalar de A y B est dado por

=

- 3

1

-3 -3

2

Por analoga con la ortogonalidad (perpendicularidad) de vectores en tres di-mensiones, hacemos la siguiente

Definicin 3. Dos vectores columna A y B teniendo la misma dimensin sedice que son ortogonales si su producto escalar es cero, esto es, si =

0.

Mientras que la ortogonalidad significa que los vectores son perpendicularesen tres dimensiones, en dimensiones mayores a tres tal visualizacin slopuede imaginarse.


Encuentre el valor de K para que los vectores A y B sean ortogonalesdon de

So lu ci n Tenemos el producto escalar B A 2 + 2K 3K +0 = - 2 - K y es t o es cero pa ra K= - 2 .

Tenemos el siguiente teorema:

540 Captulo once


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Teorema 1. La transpuesta del producto de matrices es igual al productode sus transpuestas en orden inverso, asumiendo por supuesto que los pro-ductos estn definidos. Para el caso de productos que involucran dos tresmatrices, esto puede escribirse como

(a) =(b) =

Ejemplo 4. Si e n t o n c e s

A B = ( - 2 ( - 1 6 - 3 )

As = 16 - 3 ) =

Se deja para el Ejercicio la prueba de este teorema

7.2 LONGITUD DE UN VECTOR

Si tenemos un vector tridimensional con componentes , asu-midos ser nmeros reales, sabemos del clculo elemental que la longitud delvector hallada usando el teorema de Pitgoras est dada por

Si el vector est dado por (4 )

el resultado (3) se puede expresar en trminos del producto escalar de cons mismo como

(5 )

Esto lleva a definir la longitud de un vector en el espacio n dimensional co-mo sigue:

Definicin 4. cualquier vector columna con componentes reales. En-tonces la longitud de est dada por

En particular, si 1, llamamos a un unitario.

Dado un vector el proceso de multiplicar por un escalar c para quesea un vector unitario se llama la normalizacin del vector u. Esto siempre sepuede llevar a cabo al dividir a por su longitud, asumiendo por supuestoque esta longitud no es cero.

Mtodos de de matrices para sistemas de


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Un vector columna cuadridimensional tiene componentes 3,(a) Determine la longitud del vector y (b) normalice el vector

Solucin (a) La longitud del vector est dada por

+ + ( - 3 ) =

(b) Dividiendo por obtenemos el vector normalizado o

Algunas veces tenemos un conjunto de vectores, como por ejemplo loseigenvectores, los cuales corresponden a los eigenvalores de una matriz. Silos convertimos en vectores unitarios o normalizados, el conjunto con frecuen-cia se denomina un conjunto normalizado. Si adems cada par de vectores eneste conjunto es ortogonal, en cuyo caso podemos decir que los vectores sonmutuamente ortogonales, con frecuencia llamamos al conjunto un conjuntoortonormal. La palabra ortonormal es por supuesto una combinacin de laspalabras ortogonal y normalizado.

Observacin. Aquellos que han estudiado el Captulo ocho notarn lasmarcadas analogas que existen en los conceptos de ortogonalidad, el concep-to de eigenvalores, en particular la ecuacin de eigenvalor Av = XV, y la ecua-cin diferencial de Sturm-Liouville de las pginas 362-363. Analogas adicio-

nales aparecern en las prximas pginas y en los ejercicios avanzados.

7.3 EIGENVALORES Y EIGENVECTDRES DE

MATRICES REALES SIMETRICAS

Suponga que tenemos una matriz A cuyos elementos son todos nmerosreales llamada una matriz real. Entonces como hemos visto los eigenvaloresy eigenvectores correspondientes a A se encuentran al hallar soluciones notriviales, esto es, v 0, de

=

Ahora, como hemos visto, an cuando A sea real los eigenvalores ytores no necesitan ser reales. As, si tomamos la conjugada compleja de am-bos lados de obtenemos o puesto que A es real

Multipliquemos ambos lados de (6) por para obtener

y multipliquemos ambos lados de (7) por para obtener

542 Captulo once


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Puesto que y son las transpuestas de cada uno, nos lleva a tomarla transpuesta de ambos lados de (8) y luego usar el teorema en lapara obtener

Ahora se puede ver que los lados izquierdos de (9) y (10) son iguales siA es una matriz tal que

A =

Escribiendo A vemos que (ll) implica que

0 (12)

Esto significa que el elemento en la filaj y columna es igual al elemento en

la fila y columna j, de modo que hay una simetra de los elementos en lamatriz alrededor de la diagonal principal. Esto nos lleva a llamar una matrizreal que tenga la propiedad (ll) una matriz real simtrica. Enunciamos estoen la siguiente

Definicin 5. Una matriz A se llama una matriz real simtrica si A es realy

Ejemplo 5. Puesto que A = a s

vemos que A es real, A = de modo que A es una matriz real simtrica.

Regresando a (9) y vemos que si A es simtrica tenemos =

De esto se deduce que en cuyo caso todo eigenvalor debe ser real, = 0. Sin embargo, es fcil mostrar que 0. Para ello, asumamos

que v est dado por el vector columna

donde algunos o todos los elementos pueden no ser reales Entonces tenemos

= + + . + = + . +

Puesto que al menos uno de los no es cero (debido a que v vemosque 0, lo cual significa que todos los eigenvalores son reales. Comouna consecuencia necesaria de esto, vemos tambin de (6) que lostores correspondientes se pueden escoger para que sean reales. Debido a estotenemos el siguiente



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TeoremaSi

Aes una matriz real simtrica, entonces todos sus eigenva-lores son reales y los eigenvectores correspondientes se pueden escoger reales.


Verifique el teorema anterior para la matriz =

Solucin Los eigenvalores y eigenvectores se obtienen como de costumbrede = 0, esto es,

- 2(14)

- 2 + 6

Para soluciones no triviales, 0, debemos tener

- 2 + 6

=o 0 + + 14 = 0, esto es = -2, -7

Cuso 1, = 2. Colocando 2 en lleva a

1 -2

-2 4= 0, esto es, = 0, = 0

de modo que a . En particular, escogiendo = 1, tenemos a, 2. Asun eigenvector es

2 =

1

Cuso 2, 7. Colocando 7 en (14) lleva a

0 , e s t o e s , = 0 , = 0

de modo que = En particular, escogiendo a , 1, tenemosAs, otro eigenvector es

Puesto que A es una matriz real simtrica y puesto que hemos hallado que loseigenvalores son reales el teorema anterior ha sido verificado para este caso.Se debera notar tambin que los eigenvectores son reales.

Ahora que sabemos los eigenvalores y eigenvectores para una matriz real

simtrica son reales, supongamos que , y son cualesquiera dos eigenva-lores con eigenvectores correspondientes y respectivamente. Enton-ces por definicin

= = (17)

Multipliquemos ahora cada lado de la primera ecuacin en (17) por paraobtener

=

Captulo


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Similarmente, multipliquemos cada lado de la segunda ecuacin en por para obtener

=

Si tomamos la transpuesta de ambos lados de encontramos

=

donde hemos hecho uso de la parte (b) del Teorema 1, pgina 541, y del hechode que la transpuesta de la transpuesta de una matriz dada es claramente lamatriz dada. Sigue que si A es simtrica, obtenemos de (19) y

= 0

y puesto queT

= 0

lo cual establece que y son ortogonales. Hemos probado as un resul-tado algo interesante dado en el siguiente

3 . A es cualquier matriz real simtrica, entonces lostores pertenecientes a dos eigenvalores diferentes son ortogonales.


Verifique el Teorema 3 para la matriz del Ejemplo ilustrativo 3.

Del Ejemplo ilustrativo 3 tenemos los

Entonces, = + (l)(-2) = 0

de modo que y son ortogonales y el teorema est verificado.

EJERCICIOS A

1,. Encuentre el producto escalar de

- 1

- 2

0

1

2. Encuentre las longitudes de los vectores- componentes (a) 0, 2, 3,6 . - 3 , - 2 , 0 .

3.. vectores dados en el Ejercicio

4. Dados- vectores columna A y cuyas componentes dadas 3, 1,y 2, 0, 4, respectivamente. (a) Encuentre de para que

vectores- sean ortogonales, y (b) determine los- corres-pondientes.

de de matrices para sistemas de


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5. Dados los vectores columna A y con componentes 2, 1, 4 y 4, 3, 2 respecti-vamente. Encuentre un vector normalizado que sea ortogonal con ambos A y B.Interprete los resultados geomtricamente.

6. Dado A = = C = verifique que

(a) = (b) =

7. Verifique los Teoremas 2 y 3 para las matrices

8. Encuentre un conjunto de vectores mutuamente ortogonales y normalizados per-

tenecientes a la matriz

EJERCICIOS

1. Si A, B, C son matrices apropiadamente conformes, pruebe que

(a) = (b) =

Pruebe que si A y B son matrices del mismo tamao entonces (A + = + .

3. Dada la matriz A = encuentre una matriz B = tal que =

4. Muestre que las matrices A y B, asumidas apropiadamente conformes, se conmu-tan si y slo si Ilustre usando el Ejercicio 3.

5 . D a d o l o s v e c t o r e s A , , A , , donde (1 1 (2 1 0),(0 2 determine un conjunto ortonormal de vectores c , , A ,

donde los son c ons tant es (esca lare s) . Di sc ut a elsignificado geomtricamente. (Este es el mtodo de ortonormalizacin deSchmidt de la pgina 417 para el caso especial de vectores tridimensionales.

6. Generalice las ideas del Ejercicio 5.

7 . S e an A , , v ec to re s d im en si on al es . Si existen constantes (esca-

lares) c , no todos cero tal que

+ + 0

se dice que los vectores son linealmente dependientes; en otro caso ellos son

nealmente independientes. Determine si los vectores (a) (2 1 (3 2( 4 5 ( b ) ( c ) - 6 )son linealmente dependientes o independientes.

8. Discuta el significado geomtrico de vectores linealmente dependientes e inde-pendientes y su relacin con la solucin de sistemas de ecuaciones diferencialesconsideradas en la ltima seccin.

9. Pruebe que un conjunto de ms de n vectores diferentes en el espacio n dimen-sional deben ser linealmente dependientes. Discuta la relacin de esto con la teo-ra de sistemas de ecuaciones diferenciales.

64 6 Captulo once


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Discuta la relacin del mtodo de ortonormalizacin de (ver Ejer-cicio 5) con los conceptos de dependencia lineal.

EJERCICIOS C

1. (a) Resuelva la ecuacin diferencial matricial

donde

=

(b) Muestre que hay tres soluciones linealmente independientes y mutuamenteortogonales al sistema en (a), y explique su relacin con la solucingeneral en (a).

Sea una matriz cuyas columnas son los eigenvectores normalizados de la matriz

2 - 2A =

6

dada en el Ejemplo ilustrativo 3, pgina 544. (a) Muestre que Z, donde Zes la matriz identidad de 2 2, o equivalentemente . Una matriz S te-niendo la propiedad que Sr = S- a menudo se llama una matriz ortogonal. (b)Muestre que la matriz es una matriz con todos sus elementos cero excep-to en la diagonal principal. (c) Muestre que los elementos en la diagonal principalde la matriz en (b) son los negativos de los eigenvalores de A, o equivalentementeque los eigenvalores de S- AS son iguales a los eigenvalores de A.

3. Demuestre los resultados del Ejercicio 2 usando la matriz A del Ejercicio 1.

4. Pruebe directamente de la definicin = los resultados indicados en los

Ejercicios 2(b) y (c).

5. Discuta las relaciones de las formulaciones matriciales del problema de masas vi-brantes dadas en el Ejercicio y pgina 539, con los Teoremas 2 y 3 en laspginas 544-545

Mtodos de eigenvalores de matrices de ecuaciones. 5 4 7


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ecuaciones eigens

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