ecuaciones primer grado
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EL MODELO DE BALANZAS COMO HERRAMIENTA DIDÁCTICA PARA LA ENSEÑANZA DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITATRANSCRIPT
EL MODELO DE BALANZAS COMO HERRAMIENTA DIDÁCTICA PARA LA ENSEÑANZA DE
ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA
YURI MARCELA NIÑO BECERRA
XIMENA BIANEY LÓPEZ BELTRÁN
MARÍA ANDREA DURAN CAMARGO
MIGUEL ÁNGEL SIAUCHO
MARÍA PATRICIA MOGOLLÓN
ÁNGELA MARÍA SALAMANCA
UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA Y TECNOLÓGICA DE COLOMBIA
LICENCIATURA EN MATEMÁTICAS Y ESTADÍSTICA
FACULTAD SECCIONAL DUITAMA
DUITAMA
2011
EL MODELO DE BALANZAS COMO HERRAMIENTA DIDÁCTICA PARA LA ENSEÑANZA DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA
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EL MODELO DE BALANZAS COMO HERRAMIENTA DIDÁCTICA PARA LA
ENSEÑANZA DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON
UNA INCÓGNITA
YURI MARCELA NIÑO BECERRA*
XIMENA BIANEY LÓPEZ BELTRÁN*
MARÍA ANDREA DURAN CAMARGO*
MIGUEL ÁNGEL SIAUCHO*
MARÍA PATRICIA MOGOLLÓN*
ÁNGELA MARÍA SALAMANCA*
ANA CECILIA MEDINA NARIÑO**
Licenciatura en Matemáticas y Estadística – UPTC – Duitama
Resumen
Abstract
En este articulo se presenta una experiencia de investigación- acción en el aula generada en
la asignatura Proyecto Pedagógico VI y Ambientes Educativos IV de la Licenciatura de
Matemáticas y Estadística de la Universidad Pedagógica y Tecnológica de Colombia-
Duitama, con el fin de identificar los errores que cometen los estudiantes en cuanto el tema de
ecuaciones de primer grado con una incógnita. Se describe el diseño, gestión y resultados de
una propuesta de enseñanza de el concepto de ecuaciones por medio del modelo de balanzas,
dirigida a estudiantes de grado octavo (8) del Instituto Técnico Santo Tomás de Aquino de
Duitama, con el fin de que el estudiante comprenda el concepto y la resolución de ecuaciones,
además puedan superar los errores que se puedan presentar durante dicho proceso.
Palabras claves: ecuación, errores, balanzas, igualdad.
This paper presents an action-research experience in the classroom generated in the subject of
Pedagogical Project VI and Educational Environments IV of the Mathematics and Statistics
Degree of the Pedagogical and Technological University of Colombia-Duitama, to identify
errors committed by students on the topic of equations in first grade with one unknown. We
describe the design, management and the results of a teaching proposed of the equations
concept using the model of Balanzas, addressed to eighth grade students (8) of the Technical
Institute Santo Tomás de Aquino-Duitama, for that the students understand the concept and
resolution of equations, besides overcome the errors that may occur during this process.
Keywords: equation, errors, balance, equality
EL MODELO DE BALANZAS COMO HERRAMIENTA DIDÁCTICA PARA LA ENSEÑANZA DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA
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1. INTRODUCCIÓN
En el presente informe se da a conocer el resultado del análisis y la
reflexión profunda de la experiencia significativa que se genera en las
asignaturas Proyecto Pedagógico VI y Ambientes Educativos IV que se
imparte en la Licenciatura de Matemáticas y Estadística de la
Universidad Pedagógica y Tecnológica de Colombia, sede Duitama
dirigida por la magister Ana Cecilia Medina Mariño. Dicho análisis se
llevo a cabo mediante la observación participativa y la aplicación de
un cuestionario inicial para detectar los errores que cometen los
estudiantes de grado octavo del Instituto Técnico Santo Tomas de
Aquino en ecuaciones de primer grado con una incógnita.
Este cuestionario es aplicado a estudiantes que desearon mejorar su
aprendizaje en donde los objetivos de este informe consisten en
analizar detenida y estadísticamente el rendimiento de los estudiantes
en cuanto al desarrollo de un cuestionario inicial, basado en
ecuaciones de primer grado con una incógnita.
Además, identificar y enunciar los errores que cometen los
estudiantes en relación con las operaciones matemáticas
anteriormente mencionadas.
La metodología empleada para el desarrollo de este informe consiste
en la valoración de los ítems propuestos en el cuestionario inicial, los
cuales, fueron contrastados con el plan de la prueba, que contiene el
correcto desarrollo del cuestionario, con el objetivo de comparar y
validar los resultados presentes en los pliegos de los estudiantes.
Para dar origen al proyecto de aula, se diseñaron dos instrumentos: Un
cuestionario inicial y una matriz de observación.
EL MODELO DE BALANZAS COMO HERRAMIENTA DIDÁCTICA PARA LA ENSEÑANZA DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA
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La matriz de observación se diligenció en el Instituto Técnico Santo
Tomas de Aquino en los grados octavo, con una intensidad horaria, de
dieciocho (18) horas semanales comprendidas entre el 23 de Agosto al
2 de septiembre. La etapa de observación se realizó dentro del aula,
mientras los estudiantes del curso citado recibían sus clases de
matemáticas normalmente, con el docente titular del área de
matemáticas, Emiro Méndez Mulet.
El cuestionario inicial fue aplicado el día 16 de septiembre con la
colaboración de los directivos del plantel, en el horario comprendido
de 3.00 pm a 5.00 pm en donde asistieron 24 estudiantes. Luego se
llevaron a cabo 6 secuencias didácticas con el propósito de mejorar los
errores cometidos en el cuestionario inicial.
2. EL DIAGNÓSTICO
El instrumento utilizado para recopilar la información se aplicó a 24 estudiantes del grado
octavo del Instituto Técnico Santo Tomas de Aquino. Consistió en una prueba de 5 ítems que
pretendía determinar los errores que cometen los estudiantes para abordar el tema sobre
ecuaciones de primer grado con una incógnita.
2.1 CATEGORÍA DE ERRORES SOCAS (1997)
Uso inadecuado de conceptos, símbolos y vocabulario matemático.
Paso del lenguaje natural al lenguaje algebraico
Dificultades con el signo menos
Uso de competencias operatorias en la resolución de una ecuación.
Flexibilidad para decodificar nueva información
2.2 RESULTADOS Y ANÁLISIS DEL CUESTIONARIO INICIAL
Se señalan a continuación los resultados obtenidos a partir de la cuestionario inicial
analizando los diferentes tipos de error que pueden presentar los estudiantes según la
categoría a la que correspondían y el tipo de error que se pretendía observar mediante este,
enunciando los errores encontrados.
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CATEGORÍAS
SEGÚN SOCAS (1997)
TIPO DE ERROR
EN LA PRUEBA
EVIDENCIAS
Uso inadecuado de conceptos, símbolos y vocabulario matemático.
Los estudiantes ignoran la aplicación de la propiedad uniforme para resolver una ecuación y transposición de términos ya que el 75% de los estudiantes la ignoran por completo.
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Flexibilidad
para
decodificar
nueva
información
Los estudiantes no tienen
claro los conceptos y
símbolos del algebra y
además no distinguen una
operación de otra.
Por ejemplo se les dio el
enunciado cualquier
número más tres y ellos
tenían que dar la
expresión algebraica.
Muchos de ellos ignoraron
el enunciado donde se
especificaba en algebra
una letra representa
cualquier conjunto
numérico y la solución
qué dieron fue 4+3.
Uso de
competencias
operatorias en
la resolución
una ecuación
Algunos estudiantes no
realizan el despeje de una
inecuación y tampoco
grafican fracciones en la
recta numérica,
Dificultades con
el signo menos
A menudo los estudiantes
tienen dificultades con el
signo menos por ejemplo
se les propone que
resuelvan la siguiente
ecuación:
Fallan en el segundo paso,
al intentar aplicar la
operación inversa de la
sustracción para eliminar
32 del primer miembro,
pero lo hace
correctamente al
planteárselo con 25x en el
cuarto paso, a pesar de
que este término parece
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2.3 PLANTEAMIENTO Y FORMULACIÓN DEL PROBLEMA
Si bien el error puede tener procedencias diferentes, generalmente tiende a ser considerado
como la presencia de un esquema cognitivo inadecuado en el estudiante y no solamente como
consecuencia de una falta específica de conocimientos. Es de destacar que los errores no
aparecen por azar sino que surgen en un marco conceptual consistente, basado sobre
conocimientos adquiridos previamente, y todo proceso de instrucción es potencialmente
generador de errores, debido a diferentes causas, algunas de las cuales se presentan
inevitablemente. También se debe tener en cuenta que las oportunidades de los estudiantes
para aprender Matemática dependen del entorno y del tipo de tareas y discurso en que
participan, dependiendo lo que aprenden de cómo se implican en las actividades matemáticas,
lo que marca, a su vez, las actitudes que tienen hacia esta ciencia.
Sin embargo la enseñanza de las ecuaciones abarca, desde su concepto y planteamiento, hasta
el proceso de resolución, la comprobación de la solución obtenida y su interpretación. Sin
embargo, con mucha frecuencia otorgamos un valor tan preeminente a la resolución de
ecuaciones que reducimos su enseñanza casi exclusivamente a esto.
Según la categoría de errores los más recurrentes en su orden son: uso de competencias
operatorias en la solución de una ecuación, dificultades con el signo menos, uso inadecuado
más complicado por ir el
coeficiente acompañado
de la incógnita, lo cual
revela escasa consistencia
en la utilización de las
operaciones inversas.
Paso del
lenguaje
natural al
lenguaje
algebraico.
No interpretan bien el
vocabulario matemático
porque se les planteo un
problema y no
interpretaron las
expresiones algebraicas y
por lo tanto no obtuvieron
una respuesta favorable.
Todavía no se familiarizan
con el signo menos.
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de conceptos símbolos y vocabulario matemático, flexibilidad para decodificar nueva
información, paso del lenguaje natural al lenguaje algebraico, obteniendo así un 80% de
errores cometidos por los estudiantes lo cual es preocupante para el desarrollo del
aprendizaje y por esta razón que tan idóneo sería:
¿El uso de modelos de balanzas por medio de una secuencia didáctica facilitara la
comprensión de ecuaciones de primer grado con una incógnita?
3. MARCO TEÓRICO
A continuación se presentara el marco teórico desde tres perspectivas las cuales comprenden
la perspectiva epistemológica (Socas,1996) la cual hace referencia al análisis histórico y
epistemológico de ecuaciones de primer grado con una incógnita y la configuración
epistémica, también la perspectiva cognitiva (Socas,1997) en donde se menciona la noción de
aprendizaje, la noción de error y sus categorías en el aprendizaje de ecuaciones y la noción
de conflicto semiótico (Godino, Batanero y Font,2006) y por último la perspectiva didáctica
(Grupo Arzaquiel,1993) en la cual mencionamos nuestra propuesta didáctica y la noción de
idoneidad didáctica.
3.1 PERSPECTIVA EPISTEMOLÓGICA
Según socas la evolución de la matemática ha sido utilizada por la didáctica de la matemática
bajo distintos puntos de vista: desde informaciones históricas que sirven para motivar un tema
nuevo, hasta la construcción de secuencias didácticas inspiradas en la progresión histórica
seguida en el desarrollo de algunas teorías. En cualquier caso, la historia nos ofrece diferentes
ideas para la actividad didáctica e incluso puede ser utilizada por el profesor como referencia
para anticipar dificultades y errores posibles en el aprendizaje de los alumnos.
El contexto que sirvió de base en la antigüedad puede ser utilizado hoy como contextos para
construirlos, en clase.
Esto nos permite satisfacer diversas necesidades, tales como:
Representar las matemáticas como parte de la cultura humana que evoluciona con
ella, preparando así el terreno para llegar a la organización que los conceptos
matemáticos tienen actualmente.
Reconocer la importancia del lenguaje simbólico y de las técnicas, y las
insuficiencias y ambigüedades de cada formalismo.
Construir o profundizar los conceptos matemáticos que se han elegido por medio de
la diversidad con la cual cada época los presenta. Socas (1996, pág. 11)
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Los egipcios nos dejaron en sus papiros (sobre todo en el de Rhind 1650 a.c y el de Moscú
1850 a. c) multitud de problemas matemáticos resueltos. La mayoría de ellos son de tipo
aritmético y respondían a situaciones concretas de la vida diaria; sin embargo, encontramos
algunos que podemos clasificar como algebraicos, pues no se refieren a ningún objeto
concreto. En estos de una forma retorica, obtenían una solución realizando operaciones con
los datos de forma análoga a como hoy resolvemos dichas ecuaciones.
Las ecuaciones más utilizadas por los egipcios eran de la forma:
Donde a, b y c eran números conocidos y x la incógnita que ellos denominaban “aha” o
“montón”.
Una ecuación lineal que aparece en el papiro de Rhind responde al problema siguiente:
“Un montón y un séptimo del mismo es igual a 24”
En notación moderna la ecuación seria:
La solución la obtenía por un método que hoy conocemos con el nombre de “método de
la falsa posición “o “regula falsi”. Consiste en tomar un valor concreto para la incógnita,
probamos con él y si se verifica la igualdad ya tenemos la solución, si no mediante
cálculos obtendremos la solución exacta. socas (1996, pág. 46).
Los babilonios (el mayor número de documentos corresponden al periodo alrededor de 600
A.C. a 300 A.C. aparecen problemas de ecuaciones que aún ahora requieren considerable
habilidad numérica para su resolución.
Trabajaban ecuaciones como: En las tablas en base sexagesimal hallaban el
reciproco de 5 que era 12/60 en la tabla de multiplicar por 8, encontramos 8.12/60 = 1.
36/60.
Los matemáticos griegos no tuvieron problemas con las ecuaciones y exceptuando a Diophante
(250 d de C.), no se dedicaron mucho al algebra, pues su preocupación era, como hemos visto,
mayor por la geometría.
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Los primeros documentos matemáticos indios que existen (datan del siglo III d. de C) son los
suvulvastras, donde se recogen todos los conocimientos necesarios para construir los templos.
En estos aparece el siguiente problema:
“Hallar el lado de un rectángulo, conociendo el otro lado y sabiendo que su área es igual al
área de un cuadrado dado.”
Lo resolvían utilizando el método de la falsa posición, como los egipcios. Posteriormente,
Brahmagupta (siglo VII) expresa, ya de forma sincopada, como resolver ecuaciones lineales. La
incógnita la representaba por la abreviatura “ya”, y las operaciones por la primera silaba de
las palabras.
CONFIGURACIÓN EPISTÉMICA ASOCIADA A ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON
UNA INCÓGNITA.
Para poder valorar la idoneidad epistémica es necesario establecer el significado de
referencia que sirva de comparación. (Godino, Font y Wilhemi, 2006). Dicho
significado de referencia es organizado en una configuración epistémica ( subsistemas
de practicas institucionales ligadas a contextos de usos particulares, y de objetos
emergentes (Godino, Bencomo, Font y Wilhemi)), de tipo empírico: “se trata de una
configuración epistémica en la que los conceptos y las propiedades que se
introducen, se intentan justificar por su acuerdo con una realidad extra matematica”
o de tipo formal: “en esta configuración se usa el método axiomático, es decir se
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eligen ciertos enunciados de la teoría como axiomas y se elige que todos los demás
san probados a partir de ellos ” (Godino, Font y Wilhemi, 2006).
A continuación describiré de manera sintética los principales elementos sobre el
significado de referencia: expresiones algebraicas y sus operaciones agrupándolos en
seis tipos de entidades que propone el EOS: lenguaje, situaciones, acciones,
conceptos propiedades y argumentos y se organizaran en una configuración
epistémica de tipo empírico.
LENGUAJE
Verbal
Lenguaje natural, lenguaje algebraico, operaciones algebraicas,
operaciones algebraicas, variables, ecuación de primer grado con una
incógnita, igualdad, términos, propiedad uniforme de la suma, resta,
multiplicación y división,
Gráfico
Dibujos con balanzas que ayuden ala comprensión significativa de
ecuaciones de primer grado con una incógnita.
Simbólico
SITUACIONES CONCEPTOS
Problemas en los que se debe
resolver una ecuación de primer
grado con una incógnita
PREVIOS
Expresión algebraica
Igualdad
EMERGENTES
Solución de una ecuación algebraica
PROCEDIMIENTOS PROPIEDADES
Manejo de representaciones de
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balanzas por medio de dibujos.
Propiedad uniforme de la suma
Propiedad uniforme de la resta
Propiedad uniforme de la
multiplicación
Propiedad uniforme de la división.
ARGUMENTOS
Comprobación mediante ejemplos por medio de dibujos con
balanzas.
3.2 PERSPECTIVA COGNITIVA
Noción de aprendizaje:
Según el Enfoque Ontosemiotico; El aprendizaje tiene lugar mediante la participación del
sujeto en las comunidades de prácticas, el acoplamiento progresivo de los significados
personales a los institucionales y la apropiación de los significados institucionales por los
estudiantes (Godino J. D., Bencomo, Font, & Wilhelmi, 2006)
Noción de error en matemáticas:
Según Socas (1997), el error debe ser considerado como la presencia en un alumno de un
esquema cognitivo inadecuado y no sólo la consecuencia de una falta específica de
conocimiento o de una distracción. Los errores aparecen cuando se enfrentan a conocimientos
nuevos que los obliga a hacer una revisión o reestructuración, y un uso de los que ya saben.
Noción de conflicto semiótico:
Según Godino y Font (2007) “un conflicto semiótico es cualquier disparidad o
discordancia entre los significados atribuidos a una expresión por dos sujetos
(personas o instituciones)”.Si una disparidad se produce entre significados
institucionales es de tipo epistémico; Si la disparidad se produce entre prácticas que
forman el significado personal de un mismo sujeto es de tipo cognitivo y si la
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disparidad se produce entre las practicas (discursivas y operativas) de dos sujetos
diferentes en interacción comunicativa es de tipo interaccional.
CATEGORÍAS DE ERRORES
Errores en el aprendizaje de ecuaciones de primer grado con una incógnita:
En Socas (1997), se consideran tres ejes, que permiten analizar el origen del error. De esta
forma, podemos situar los errores que cometen los alumnos en relación con tres orígenes
distintos:
Obstáculos: conocimientos adquiridos que demuestran su afectividad en ciertos
contextos pero no válidos en otros.
ausencia de sentido: relacionado en las distintas etapas de aprendizaje de un sistema
de representación, semiótica, estructural y autónoma.
actitudes afectivas y emocionales: Los errores que tienen su origen en actitudes
afectivas y emocionales tienen distinta naturaleza: faltas de concentración (excesiva
confianza), bloqueos, olvidos, etc.
Para esta investigación se adopto la siguiente categoría de errores:
Uso inadecuado de conceptos, símbolos y vocabulario matemático.
Paso del lenguaje natural al lenguaje algebraico
Dificultades con el signo menos
Uso de competencias operatorias en la resolución de una ecuación.
Flexibilidad para decodificar nueva información
3.3 PERSPECTIVA DIDÁCTICA
El concepto de ecuación se construye a partir de igualdades presentadas como situaciones de
equilibrio en balanzas en las que hay un elemento desconocido (incógnita). Se trata
inicialmente de encontrar el valor de dicho elemento para lograr el equilibrio propuesto. Las
balanzas pueden ser elaboradas por los alumnos y usar como pesas elementos corrientes entre
los cuales se puedan establecer equivalencias de peso (botones, canicas, etc.).
Se pretende diseñar una secuencia de aprendizaje que parta del concepto de igualdad
representado a través de balanzas en equilibrio y posteriormente.
Incorporar la incógnita como elemento desconocido cuyo valor se desea descubrir;
inicialmente el cálculo se hace por ensayo-error y luego, utilizando representaciones
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simbólicas como 2( ) + 3 = 5, por transposición de términos para identificar claramente la
jerarquía de las operaciones y el orden al efectuarlas.
Posteriormente, se pasa al manejo simbólico de la igualdad y de la incógnita para que
determinen el valor numérico del elemento que no se conoce (ensayo-error). Al tratar de
encontrar el valor de la incógnita se presenta la necesidad de identificar las operaciones que
intervienen en la igualdad y también el orden para ejecutarlas; es indispensable hacer énfasis
en la jerarquización de operaciones y el orden al transponer los términos. Paso a paso ha de
guiarse al alumno para que interprete las expresiones y establezca claras comparaciones con
las situaciones manejadas en las balanzas, (revista EMMA, 1997).
La secuencia a seguir es:
Traducción de lenguaje natural a expresiones algebraicas.
Introducción a la noción de ecuación.
Propiedades de la igualdad.
Solución de ecuaciones de primer grado con una incógnita
Planteamiento y resolución de problemas
Aplicando lo aprendido
3.4 IDONEIDAD DIDÁCTICA
La idoneidad didáctica es el criterio sistemático de pertenencia o adecuación de un proceso
de instrucción al proyecto educativo, cuyo principal indicador empírico puede ser adaptación
entre los significados personales logrados por los estudiantes y los significados institucionales
pretendidos. Para hacer activa esta definición se introducen seis criterios de idoneidad.
Idoneidad empírica: Grado de representatividad de los significados institucionales
implementados (o pretendidos), respecto de un significado de referencia.
Idoneidad cognitiva: Grado en que los significados implementados (pretendidos) están en la
zona de desarrollo potencial de los alumnos, así como la proximidad de los significados
personales logrados a los significados pretendidos implementados.
Idoneidad medicinal: Grado de disponibilidad y adecuación de los recursos materiales y
temporales necesarios para el desarrollo del proceso de enseñanza-aprendizaje.
Idoneidad emocional: Grado de implementación, interés y motivación de los estudiantes.
Idoneidad interaccional: Grado en que los modos de interacción permiten identificar y
resolver conflictos de significado y favorecen la autonomía en el aprendizaje.
Idoneidad ecológica: Grado de adaptación curricular, socio-profesional y conexiones intra e
interdisciplinares.
EL MODELO DE BALANZAS COMO HERRAMIENTA DIDÁCTICA PARA LA ENSEÑANZA DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA
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4. METODOLOGÍA DE INVESTIGACIÓN
Esta investigación se desarrolla con 24 estudiantes de grado 8, los cuales oscilan en las edades
de 13 - 15 años en donde se pretende identificar los errores que se presentan en ecuaciones
de primer grado con una incógnita y a partir de ellos mejorar nuestra eficiencia como futuros
docentes evaluada a partir de secuencias didácticas basadas en el modelo de balanzas que
enriquecerán el aprendizaje de los estudiantes.
4.1. TIPO DE INVESTIGACIÓN
El tipo de Investigación que se utiliza para la realización del Proyecto de Aula es la
Investigación Acción (IA) la cual como una actividad colectiva, se caracteriza por la
participación reflexiva puesto que es una investigación realizada por colectivos acerca de su
propio trabajo, lo cual no implica que se puede comenzar con el individuo como un sujeto
práctico reflexivo, que pueda generar planes de acción que transformen su práctica docente;
y, luego, apoyarse en el colectivo docente en donde todos analizan y reflexionan críticamente
sobre un mismo plan de acción. De ahí, sus carácter sistemático, de aprendizaje y colaborador
para dar forma a la acción educativa. (Kemmis, 1986). En el campo de la docencia la
investigación acción tiene como objetivo mejorar la práctica docente, permitiendo al docente
realizar una reflexión constante sobre su quehacer diario.
PROCESO DE LA INVESTIGACIÓN- ACCIÓN
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Exploración – Fase Diagnostica: Esta etapa se llevó a cabo en las clases de matemáticas
mediante observación participativa a los estudiantes del grado 8, para mirar el
desempeño de estos, luego se diseñó y aplico un cuestionario inicial enfocado a
determinar los conceptos previos que poseen los estudiantes con respecto a ecuaciones
de primer grado con una incógnita.
Planificación: Las secuencias de enseñanza se trabajaron con el propósito de estudiar el
tema relacionado a ecuaciones de primer grado con una incógnita, las cuales consistieron
en la implementación del modelo de balanzas para el aprendizaje de igualdad,
propiedades y solución de ecuaciones.
Acción: La estrategia metodológica que se utilizó para el desarrollo de las secuencias de
enseñanza fue: El taller constructivo como estrategia metodológica para aprender a
pensar mediante la construcción del conocimiento matemático. Considera la enseñanza
como un proceso intencional y planeado, en donde el papel del maestro es crear o
diseñar situaciones de aprendizaje apropiadas que le permitían al estudiante construir en
forma individual y colectiva con la mediación del profesor, nuevos conocimientos. Las
secuencias que se llevaran a cabo son: traducción de lenguaje natural a expresiones
algebraicas, introducción a la noción de ecuación, propiedades de la igualdad, solución
de ecuaciones de primer grado con una incógnita, planteamiento y resolución de
problemas y aplicando lo aprendido, en los cuales se hicieron énfasis en la construcción
de los conceptos de ecuaciones de primer grado con una incógnita.
Evaluación: Es un proceso continuo que se realizó luego de la sistematización, la cual se
obtiene como objetivo recoger información que sea útil para el profesor para mejorar el
desempeño de los alumnos, así como para tratar de mejorar la práctica docente del
profesor, para la construcción y el desarrollo del Proyecto de aula, se hizo una
retroalimentación y seguimiento permanentemente del trabajo realizado por los
estudiantes del grado 8 en cada una de las clases, y esto mediante un proceso de
sistematización de experiencias. Para la sistematización de la experiencia de aula, se
consultaron puntos importantes acerca de que es sistematizar y para que se sistematiza
una experiencia.
También se realizaron planes de clase que sirvieron como guía para el desarrollo
de las actividades en el aula y estas se presentaron con anterioridad a la
profesora de la Asignatura Proyecto Pedagógico VI quien las sugerencias
respectivas para un mejor funcionamiento. Se realizó un cuestionario final el
cual pretendíamos identificar si los estudiantes recaían en los mismos errores
que presentaron en el cuestionario inicial y si se encontraban nuevos errores
además de evaluar lo aprendido durante las sesiones de clase realizadas por
medio de las secuencias didácticas sobre ecuaciones de primer grado con una
incógnita. Por último se aplicó una encuesta a estudiantes y profesores titulares
para mirar la evolución que tuvieron los estudiantes mediante el desarrollo de las
secuencias didácticas.
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4.2 INSTRUMENTOS PARA LA RECOPILACIÓN DE INFORMACIÓN Y
ANÁLISIS
Cuestionario inicial
Matriz de observación y registro del desempeño de los estudiantes en cada clase.
Guías de Talleres
Cuestionario final
Encuestas al finalizar la experiencia en el aula aplicada a estudiantes y profesor titular.
5. PROPUESTA SECUENCIAL DE ENSEÑANZA
1. DOMINIOS CONCEPTUALES: PENSAMIENTO NUMÉRICO Y PENSAMIENTO VARIACIONAL
2. ESTÁNDARES:
Pensamiento numérico:
Utilizar números en sus diferentes representaciones, en diversos contextos.
Simplificar cálculos usando relaciones inversas entre operaciones.
Construir ecuaciones equivalentes empleando inversos y recíprocos.
Pensamiento variacional:
Identificar relaciones entre propiedades de gráficas y propiedades de las ecuaciones
algebraicas.
Construir expresiones algebraicas equivalentes a una expresión algebraica dada.
Usar procesos inductivos para formular conjeturas.
3. ESTRATEGIAS METODOLÓGICAS GENERALES
El taller constructivo, como estrategia metodológica para aprender a pensar mediante la
construcción del conocimiento matemático. Considera la enseñanza como un proceso
intencional y planeado, en donde el papel del maestro es crear o diseñar situaciones de
aprendizaje apropiadas que le permitan al estudiante construir en forma individual y
colectiva, con la mediación del profesor, nuevos conocimientos. Las etapas de la dinámica del
taller son: Revisión de conceptos previos, Construcción lógica mediante la acción cognitiva y
reflexiva, Formulación, Validación, Formalización y Aplicación.
El modelo de balanzas es especialmente apta para enseñar ecuaciones por su capacidad
autocorrectora ya que traduce, físicamente, el concepto de igualdad a través de equilibrio de
las masas de ambos platillos.
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SECUENCIA
ACTIVIDADES
QUE SE PRETENDE
Traducción de lenguaje
natural a expresiones
algebraicas.
Salto de la rana
Cadena edades
La familia
Que el estudiante logre la traducción de expresiones escritas en lenguaje natural a expresiones de lenguaje algebraico.
Introducción a la noción
de ecuación.
Interpretación grafica de la
igualdad.
Las balanzas
Completar igualdades
Se pretende obtener ecuaciones a partir de diagramas, motivando la utilización de símbolos para cantidades desconocidas y a partir de allí construyan la noción de ecuación.
Propiedades de la
igualdad.
Hacia la propiedad
uniforme
Las balanzas
Se pretende que el estudiante logre interpretar el concepto de igualdad a partir de gráficos.
Solución de ecuaciones
de primer grado con una
incógnita
Propiedad uniforme de la
resta
Propiedad uniforme de la
suma.
Propiedad uniforme de la
multiplicación.
Propiedad uniforme de la
división.
Bingo
Determinar si el estudiante incorpora la incógnita como elemento desconocido cuyo valor se desea descubrir.
Planteamiento y
resolución de problemas
Resolución de problemas
Cuadrado mágico
Determinar lo que se pide hallar en el enunciado e introducir una variable para representar la cantidad desconocida.
Aplicando lo aprendido
Quien tiene, yo tengo.
Se pretende mirar si el estudiante logro un aprendizaje significativo en cuanto a ecuaciones de primer grado con una incógnita.
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6. RESULTADOS DE LA SISTEMATIZACIÓN DEL PROYECTO
La experiencia de aprendizaje de las ecuaciones de primer grado con una incógnita, a partir
del reconocimiento de conceptos previos asociados al modelo de balanzas mostró ser de gran
utilidad en los estudiantes de grado octavo del Instituto Técnico Santo Tomas de Aquino.
Las resoluciones de los problemas por parte de los alumnos, correctas o no, así como las
omisiones de las respuestas, nos proveen datos para el análisis de algunas características del
estado de la enseñanza y el aprendizaje de la matemática. Este análisis, unido a numerosas
investigaciones didácticas que se han desarrollado a lo largo de las últimas décadas, nos
permitirá, por un lado, pensar sobre algunas situaciones del día a día en el aula y, por el otro,
plantear propuestas de enseñanza para algunos contenidos puntuales.
En este proyecto se presentan los resultados que obtuvimos a partir de los objetivos
planteados. A medida que se muestran los datos sobre el análisis de los diferentes grados de
idoneidad didáctica, surgen algunos elementos que los definen propuestos desde el enfoque
ontosemiótico estudiado por Godino (2006).
IDONEIDAD EPISTÉMICA:
El aprendizaje de las ecuaciones de primer grado con una incógnita, a partir del
reconocimiento de conceptos previos asociados al modelo de balanzas mostró ser de gran
utilidad en los estudiantes de grado octavo del Instituto Técnico Santo Tomas de Aquino
mostrando así una alta idoneidad.
Sin embargo, a partir del modelo de balanzas , se acercó a los estudiantes para que pudieran
poner a prueba su propia capacidad demostrativa, argumentativa y de resolución de
situaciones problema con el uso de este modelo, las ecuaciones de primer grado con una
incógnita, cobran mayor significado al apreciarlas desde este modelo, el cual sirve para
integrar y articular conceptos abordados en niveles escolares inferiores, para explorar la
habilidad operativa y de manipulación de algoritmos en la resolución de ecuaciones de primer
grado de una incógnita
Las actividades de visualización, comparación e interpretación de los resultados, favorecieron
el desarrollo de la capacidad argumentativa ya que en la fase diagnóstica las respuestas de los
estudiantes eran casi nulas y se notaba de sobre manera en casi el 100% de ellos no sabían
sobre el tema y tenían bastantes errores en este.
EL MODELO DE BALANZAS COMO HERRAMIENTA DIDÁCTICA PARA LA ENSEÑANZA DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA
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IDONEIDAD COGNITIVA
Para la evaluación de la idoneidad cognitiva se hizo necesario analizar la información recogida
en la matriz de observación, en la guía taller y en la evaluación de la clase que se aplico a los
estudiantes, con el fin de identificar sus conocimientos previos y reconocer si las
explicaciones dadas fueron comprendidas. (Godino, Bencomo, Font, & Wilhelmi, 2006).
De acuerdo a los criterios de esta idoneidad, se evidencio que realizar una revisión de
conceptos previos es fundamental para que los alumnos recuerden un tema al que se va a usar
como herramienta para el tema nuevo así como el uso de diferentes lenguajes contextos y
representaciones los cuales complementen la noción de un concepto, evidenciando así una
alta idoneidad cognitiva.
Se revisaron los conceptos previos a través del taller constructivo en su primera etapa, los
niños tienen dificultades en temas como la construcción de conceptos.
Los conceptos previos analizados se relacionan con el manejo de los tipos de lenguaje que se
utilizan en matemáticas, (lenguaje natural, lenguaje algebraico), y se observo que los niños
tienen muchos vacios y falta de conocimiento, no identifican la operación indicada cuando se
utilizan frases con palabras como: doble, triple, cuadrado o diferencia.
Se realizaron distintas actividades fundamentadas en el taller constructivo para superar las
dificultades y además llevarlos a la construcción de la noción de generalización, con la ayuda
de los videos se ve un cambio significativo en la actitud y en la participación, además se ve
reflejado en los resultados de la evaluación.
Uno de los motivos de la participación es el ambiente de confianza donde los estudiantes
tienen la posibilidad de expresar sus conocimientos. (Conjeturas, procedimientos,
argumentaciones).
También se les aplico un cuestionario final, en donde el propósito de este era mirar que
tanto se habían disminuido los errores en ecuaciones según la categoría de Socas, encontrados
en la aplicación del cuestionario inicial. Los errores encontrados en el cuestionario inicial
disminuyeron favorablemente gracias al desarrollo de las secuencias didácticas basadas en el
taller constructivista; los errores que mas disminuyeron fueron las dificultades con el signo
menos, teniendo en cuenta que en el cuestionario inicial, de los 24 estudiantes el 79.16%
cometieron el error mientras en el cuestionario final, de los 11 estudiantes el 9.09%
cometieron el error; otro error que disminuyo fue el uso de competencias operatorias en la
resolución de una ecuación teniendo en cuenta que en el cuestionario inicial, de los 24
estudiantes el 98% cometieron el error mientras en el cuestionario final, de los 11 estudiantes
el 18.18% cometieron el error.
EL MODELO DE BALANZAS COMO HERRAMIENTA DIDÁCTICA PARA LA ENSEÑANZA DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA
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El error que siguió persistiendo fue el uso inadecuado de conceptos, símbolos y vocabulario
matemático puesto que en el cuestionario inicial el 75% cometieron el error y en la aplicación
del cuestionario final el 54.54%.
IDONEIDAD EMOCIONAL
Tiene idoneidad emocional alta pues los estudiantes mostraron gran interés por el desarrollo
de las actividades propuestas en las diferentes secuencias utilizando las balanzas.
Se plantearon actividades en las cuales los estudiantes mostraban interés como es el caso del
bingo, este consistía en resolver ecuaciones; se les hacia entrega de cartones en los cuales se
encontraban ecuaciones utilizando suma, resta, multiplicación y división, en una bolsa aparte
se encontraban fichas en las que estaban las soluciones de las ecuaciones, cada estudiante
sacaba una ficha y el numero que saliera y que la tuviera el estudiante, se tapaba con una
ficha dorada para saber que ya estaba la solución y así sucesivamente hasta que llenara el
cartón y ese era el estudiante ganador.
Gracias a esta actividad los estudiantes se interesaron y se responsabilizaron con el desarrollo
de las ecuaciones por medio de la transposición de términos, sin miedo hacia las matemáticas
mostrando gran interés en su aprendizaje adquirido ya que lo hicieron más significativo.
Encontramos que las balanzas fueron un buen modelo para la enseñanza de las ecuaciones
pues los estudiantes entendieron los temas que se proponían.
IDONEIDAD MEDIACIONAL
Se utilizaron materiales manipulables los cuales permitieron introducir buenas situaciones,
lenguajes, procedimientos, argumentaciones adaptadas; las definiciones y propiedades de
igualdades se realizaron utilizando propiedades y modelos concretos como el modelo de
balanzas en las ecuaciones de primer grado con una incógnita, evidenciando una alta
idoneidad mediacional.
Se motivaron a los alumnos realizando actividades con objetos que podían manipular como lo
fueron el Bingo, cuadros Mágicos y el juego “Quien tiene, Yo tengo”.
Las instalaciones utilizadas para el desarrollo de la práctica y la distribución de los alumnos, el
horario es adecuada para el desarrollo del proceso de instrucción pretendido.
Los significados de igualdad, ecuación los cuales se pretendieron enseñar y que se
implementaron fueron adecuados a nuestro proceso de enseñanza los cuales realizaron con
base en los estándares básicos.
IDONEIDAD INTERACCIONAL
Se realiza una presentación clara del tema en cada una de las secuencias, se tienen en cuenta
a todos los niños y sus opiniones y se llegan a consensos del tema. Se fomenta el dialogo y la
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discusión entre los estudiantes y se favorece la inclusión en el grupo, mostrando así una alta
idoneidad interaccional.
Respecto a las inquietudes dudas y errores presentadas por los estudiantes se refiere que la
metodología escogida de taller constructivo, incentivó a la discusión y la formalización en
grupo, la guía taller para cada estudiante, nos favoreció para un trabajo más personal con los
estudiantes procuró la atención en función de las necesidades particulares de cada
estudiante, sin embargo, algunos de los niños en especial los que faltan a la clase anterior
llegan perdidos y a copiar de los otros estudiantes.
7. CONCLUSIONES
Es de gran importancia para nosotros como futuros docentes llevar a cabo proyectos de
aula por que a través de ellos nos podemos involucrar, analizando diversos factores que
se pueden presentar en el aula como en el caso de los errores que cometen los
estudiantes en la resolución de ecuaciones y con este proponer diversos métodos de
enseñanza haciendo un aprendizaje más significativo en los estudiantes.
La utilización del modelo de balanzas fue de gran utilidad ya que los estudiantes se
motivaron a través de las diversas actividades que se propusieron en el desarrollo de las
secuencias basadas en el taller constructivo.
En el ámbito escolar se debe establecer la relación profesor-estudiante, más que
establecer una relación, el profesor debe ser un guía, explorando las capacidades que
tengan y si tiene dificultades ayudarlos a resolverlas para que el conocimiento sea fruto
de la comprensión, análisis, interpretación y aplicación de lo aprendido no solo en
matemáticas sino en muchas otras disciplinas.
8. BIBLIOGRAFÍA
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GODINO, J. D.
Godino, J. D., Bencomo, D., Font, V., & Wilhelmi, M. (2006). Analisis y valoracion de la
idoneidad didactica de procesos de estudio de las matemáticas. Madrid: Universidad
de Granada.
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EVIDENCIAS