ecuaciones y sistemas de ecuaciones...

ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Ecuaciones Lineales Una ecuación es una afirmación que establece si dos cantidades o expresiones algebraicas son equivalentes o iguales. Las cantidades se denominan miembros de la ecuación. Ejemplo:

1252 x

10617 xx

)2(5)1(3 xx

32

13 xx

La incógnita recibe el nombre de variable y su valor determina si la ecuación es cierta. La solución de la ecuación es la acción de encontrar el (los) valor (es) de la(s) variable (s) que hacen verdadera la ecuación. Las ecuaciones son ciertas para todos los valores de las variables, se les denomina identidad y aquellas que son verdaderas para ciertos valores se llaman ecuaciones condicionales. Resolver una ecuación lineal con una variable es hallar el valor de la variable a través de procedimientos algebraicos. Para ellos se debe dejar sola la variable a un lado de la igualdad. Esto se logra despejando valores y variables. Cuando se despeja un valor o una variable (pasar al otro lado de la igualdad) este o esta pasa a ser la operación contraria, es decir, si está sumando pasa a restar y viceversa y si está multiplicando pasa a dividir y viceversa. Ejercicio Resuelva y verifique cada ecuación:

17 x 42 x 183 x

43

x

5

1

3

2x 182 x

2874 xx )1(88 xx 24

4

3 x

2

3𝑥 +

1

4=

1

2𝑥 2

5

33

x

x 104

5

3

2

52

2

xx

x

𝑥 + 5

𝑥 + 9=

2

3

𝑥 + 1

6+

5𝑥 + 11

6= 𝑥 + 2

𝑥 − (𝑥 + 20) + (4 − 𝑥) = 2𝑥

Ejercicio Despeje 𝑃 en cada ecuación:

Mis Notas de Clase Lic. José F. Barros Troncoso 2

Taller de Lógica

120045 Px 3

15

2

3 Px 11

2

39 Px

rP

66.017

36.0

4.65 Px

m

ax

bP

tI Pr piPS )1( tPS Pr

𝐶 =50000

𝑝− 2850

Ejercicio Dadas las ecuaciones de demanda para ciertos productos hallar la cantidad demandada q conociendo el precio p 1. 𝑞 − 3𝑝 = −3 con 𝑝 = 10 2. 3𝑞 − 4𝑝 = −7 con 𝑝 = 7 3. 𝑝 = 40 − 2𝑞 con 𝑝 = 30

4. 𝑝 =800

2𝑞−1 con 𝑝 = 32

5. 𝑝 =500

𝑞+2 con 𝑝 = 5

Problemas 1. Suponga que el ingreso 𝑅 de una compañía por la venta de 𝑥 artículos esta dado por

𝑅 = 215𝑥 y el costo de producir la misma cantidad de artículos es 𝐶 = 65𝑥 + 15000.

Si la utilidad es el ingreso menos el costo escriba la expresión de la utilidad. a. ¿Cuántas unidades se tienen que producir para obtener una utilidad de 15000

U.M.? b. El punto en donde los ingresos totales recibidos se igualan a los costos asociados

con la venta de un producto se denomina punto de equilibrio. ¿Qué cantidad de artículos que se tienen que fabricar y vender para obtener un punto de equilibrio?

2. El ingreso mensual total de una guardería obtenido por el cuidado de 𝑥 niños está

dado por 𝑟 = 450𝑥, y sus costos mensuales totales están dados por 𝑐 = 380𝑥 +3500. a. ¿Cuántos niños se necesitan inscribir mensualmente para llegar al punto de

equilibrio? Es decir, cuando el ingreso es igual al costo. b. Si la utilidad es igual al ingreso menos el costo escriba una expresión de la

utilidad. c. ¿Cuál sería la utilidad mensual si se matriculan 100 niños? d. ¿Cuántos niños se tiene que matricular para obtener una utilidad de 10500

unidades monetarias


Taller de Lógica

3. El costo promedio (en miles de pesos) de la producción de x unidades de cierto artículo está dado por

𝐶(𝑥) = 20 +400

𝑥

a. Determine el costo de producir 100 y 200 unidades. Compare los resultados ¿qué encuentra?

b. ¿Cuántas unidades se deben producir para que el costo promedio sea de 25 mil pesos

4. Suponga que el costo de obtener agua que contiene el p por ciento de impurezas está

dado por

𝐶(𝑥) =120000

𝑝− 120

¿A un costo de 3 000 dólares que porcentaje de agua sin impurezas se puede obtener?

5. El número de estudiantes por computador en las escuelas públicas de Estados

Unidos se puede modelar con la ecuación

𝑓(𝑥) =375.5 − 15𝑥

𝑥 + 0.03

, donde 𝑥 es el número de años transcurridos desde 1981. ¿En qué año se proyecta tener un estudiante por computador en las escuelas públicas de Estados Unidos?

6. Las ventas 𝑦 (en miles de dólares) se relacionan con los gastos de publicidad 𝑥 (en

miles de dólares) según

𝑦(𝑥) =200𝑥

𝑥 − 10

, con x ≥ 10. ¿Cuánto se puede invertir en publicidad para obtener ventas de 10 millones de dólares ( 𝑓(𝑦) = 10 000)?

7. Si el costo promedio (en dólares) de producir televisores Toshiba de 27 pulgadas

está dado por

C(x) = 50000+105𝑥

𝑥

, donde x es el número de televisores producidos por semana ¿cuántos televisores por semana se pueden producir a un costo promedio de 200 dólares?

8. Suponga que las ventas diarias S (en dólares), t días después de terminar una

campaña publicitaria son

𝑆 = 400 +2400

𝑡 + 1

Encuentre el número de días que deben pasar para que las ventas disminuyan a 500 dólares


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9. Una maquinaria de construcción de 30 millones de pesos se deprecia de acuerdo a la expresión

𝑉 = 30 – 0,123𝑥 , donde V es el valor de la maquinaria después de x meses de uso, determinar es

a. ¿Cuál será el valor de la maquinaria dentro de 6 meses? b. ¿Cuál será el valor de la construcción dentro de 5 años? c. ¿Cuánto tiempo pasa hasta que la construcción se deprecie por completo? d. ¿Cuánto tiempo debe pasar para que la construcción se deprecie en 10 millones

de pesos?

10. La carga tributaria per cápita T (en millones de pesos) se puede describir por medio de

𝑇(𝑡) = 20,37 + 1,834𝑡 , donde t es el número de años que han pasado desde 1980.

a. ¿Cuál era la carga tributaria en 1980? b. ¿Cuál será la carga tributaria en el 2008? c. ¿En qué año aproximadamente la carga tributaria será de 70 millones de pesos?

11. El volumen en millones de pesos de las transacciones en los cajeros electrónicos ha

aumentado conforme se ha incrementado el número de máquinas. Se puede escribir esa relación con

𝑦 = 0.136𝑥 – 5.09 , donde 𝑦 son los miles de millones de pesos de las transacciones y 𝑥 el número de cajeros (en miles)

a. ¿Cuál es el volumen de transacciones de 100 mil cajeros? b. ¿Cuántos cajeros se deben tener para que el volumen de las transacciones sea

de 10 millones de pesos?

12. El porcentaje de empresas que reclutaron activamente empleados en internet entre 1980 y 2000 se puede modelar con

𝑃(𝑥) = 26,5𝑥 − 194,5 , donde 𝑥 es el número de años que han pasado desde 1980.

a. ¿Qué porcentaje de personas reclutaron en 1998? b. ¿Cuántos años deben transcurrir para que el porcentaje de personas reclutadas

por las empresas alcance el 50%?

13. Se puede describir el número de cuentas de internet, A, mediante la ecuación 𝐴 = 3,303𝑥 – 18,59

, donde 𝐴 se da en millones de cuentas y 𝑥 es el número de años que han pasado desde 1990. ¿En qué año aproximadamente se alcanzarán los 47,47 millones de cuentas?


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14. El importe total de una inversión con interés simple se da con 𝐴 = 𝑝 + 𝑝𝑟𝑡 ¿qué valor principal de 𝑝 se debe invertir durante 𝑡 = 5 años con una tasa de interés 𝑟 =10% de modo que el importe 𝐴 aumente a $6000?

15. Las altas tasas de interés hacen que para la gente sea difícil pagar la deuda de tarjeta de crédito en un periodo razonable. Se puede hacer una aproximación del interés en dólares, I, pagado sobre la deuda de $10.000 a 3 años cuando la tasa de interés es r% por medio de la ecuación

𝑟 =𝐼

175.39+ 0.66

Encuentre el interés pagado si la tasa es del 19.8%

16. Una empresa que fabrica CD los a un distribuidor en paquetes de 500 CD. Si el costo

total y el ingreso total (en dólares) por x paquetes de 500 CD están dados por:

Costo total = 2x + 7920 e Ingreso total = 20x

¿Cuántos paquetes de 500 CD se deben vender para alcanzar su punto de equilibrio?

17. En su segundo año de operaciones, las ganancias de un proveedor local de internet fueron $170 500. Si esta cantidad represento el 576% de las ganancias de la compañía en el primer año, encuentre las ganancias aproximadas del primer año.

18. Un vendedor de automóviles compra 20 automóviles nuevos en $16 000 (dólares)

cada uno, Si vende 16 con una ganancia del 20%, ¿en cuánto debe vender los otros cuatro para tener una ganancia del 18%?

Salud

19. La regla para calcular la dosis de una Salud para niños entre uno y doce años es

𝐷(𝑡) =500𝑡

𝑡 + 12

, donde 𝐷(𝑡) está dada en mg y t es la edad del niño (en años) a. Encuentre la dosis de Salud que se le debe dar a niños de 5 y 6 años. Compare

los resultados que encuentra b. ¿A qué edad se le debe dar a un niño una dosis de 100 mg

20. Un determinado fármaco que se usa para controlar la temperatura se inyecta vía

intramuscular. Su efecto (E) en horas está dado en función de la dosis suministrada (𝑥) en mg por

𝐸 =74𝑥

8𝑥 + 3


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a. ¿En cuántas horas se alcanza a controlar la temperatura si se inyectan 5 mg del

fármaco? b. ¿Qué cantidad de dosis se debe inyectar para que el fármaco tenga efecto de 8

horas?

21. La regla de Cowling es un método para calcular dosis pediátricas. Si 𝑎denota la dosis para un adulto (en mg) y 𝑡 es la edad del niño (en años), entonces la dosis infantil está dada por

𝐷 = (𝑡 + 1

24) × 𝑎

Si la dosis de un adulto es de 500 mg, ¿cuál es la edad de un niño cuya dosis pediátrica alcanza los 125 mg?

22. Una algoritmo que permite determinar una dosis pediátrica es mediante

𝐷 =4𝑃 + 7

𝑃 + 90

23. Donde P es el peso del niño en Kg, ¿Cuál debe ser el peso de un niño para suministrarle 1.5 mg de cierto medicamento?

24. La relación entre la estatura (en pies) y la edad de un niño entre 4 y 16 años de edad

es lineal y se obtiene por la expresión ℎ = 0.231𝐴 + 3.126

, donde ℎ es la estatura del niño y 𝐴 la edad. a. Aproximadamente ¿Cuál será la estatura de un niño de 5 años de edad en

metros? (1 pie= 30.48 cm). b. Aproximadamente ¿Cuál será la edad de un niño cuya estatura es de 1.5 m?

25. La presión arterial media (𝑃𝐴𝑀) de un paciente se obtiene mediante la expresión

𝑃𝐴𝑀 =2𝑃𝐴𝐷 + 𝑃𝐴𝑆

3

, donde 𝑃𝐴𝐷 es la presión arterial diastólica y PAS presión arterial sistólica. La presión de pulso (PP) se obtiene por

𝑃𝑃 = 𝑃𝐴𝑆 − 𝑃𝐴𝐷 a. Si se desea que un paciente mantenga una presión arterial media de 100 mm Hg

y su presión arterial sistólica es de 130 mm Hg ¿cuál tiene que ser su presión arterial diastólica?

b. ¿Cuál será su presión de pulso?


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26. Según cierta teoría médica el porcentaje de peligro de un virus se mide en función del tiempo que lleva en el organismo mediante la siguiente expresión ( 𝑃(𝑡) es el peligro para un tiempo de 𝑡 minutos)

𝑃 =50𝑡 − 62.5

0.5𝑡 + 5 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡 > 5

a. ¿Cuál es el peligro si el virus lleva 10 minutos en el organismo? b. ¿En cuánto tiempo alcanzará un 65% de peligro el virus en el organismo?

27. Suponga que durante un programa nacional para inmunizar a la población contra

cierta variedad de influenza, los funcionarios de salud pública calcularon que el costo de vacunar a 𝑥% de la población era aproximadamente

𝐶 =150𝑥

200 − 𝑥

, millones de pesos. ¿Qué porcentaje de la población se alcanza a vacunar a un costos de 37.5 millones de pesos?

Escritura de Expresiones y Ecuaciones Los problemas del mundo real por lo general se dan en palabras y uno los expresa en forma de expresiones algebraicas o ecuaciones Cómo escribir frases como expresiones y oraciones como ecuaciones: Suma: más, más que, total, suma, aumentado en, incrementado en, sobrepasa. Menos: menos, menos que, diferencia, disminuido en. Multiplicación: por, el producto, multiplicado por, dos veces, tres veces,…, el doble,

el triplo,… División: dividido por, entre, la mitad, el cociente, la razón. Igual: es igual a, es, da, será Ejercicio Escriba cada frase en forma de expresión algebraica. 1. x incrementado en 8 2. x disminuido en tres 3. Cuatro veces x 4. La mitad de x 5. La suma de x más tres es doce 6. x disminuido en ocho es once 7. Un número incrementado en tres es 12 8. La suma de un número y el cociente de 2 y 8 es 3.25 9. 4 veces un número disminuido en tres es menos 7

10. El cociente de dos números consecutivos y 5 es 11 Problemas En cada uno de los siguientes enunciados construye la ecuación resuelve y verifica


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1. ¿Cuál es el precio que un vendedor debe poner a un artículo que a él le cuesta $1,200,

para poder ofrecerlo con un descuento del 20% sobre el precio señalado y, todavía ganar en la operación un 25% sobre el precio de venta?

Definición de variables: Sea 𝑥 el precio de venta del artículo Construcción de las ecuaciones:

1200 + 1200 ∗ 0.25 = 𝑥 − 1200 ∗ 0.20 Resolvemos la ecuación

1200 + 300 = 𝑥 − 240 1500 + 240 = 𝑥

1740 = 𝑥 Veámoslo

1200 + 1200 ∗ 0.25 = 1740 − 1200 ∗ 0.20 1200 + 300 = 1740 − 240

1500 = 1500 El precio de venta del producto es de $1740

2. Un estudiante hizo un préstamo por $ 1´ 800 000 para su matrícula. Si debe pagar un

interés del 15%, y el pago total debe hacerlo en tres cuotas mensuales de diferente valor, así: El doble de la primera cuota excede al total en $ 230 000; la segunda cuota excede en $230 000 al 40% de la primera. ¿Cuánto tiene que pagar en la tercera cuota? Definimos las variables: Sean 𝐶1: El monto de la primera cuota 𝐶2: El monto de la segunda cuota 𝐶3: El monto de la tercera cuota , como tiene que pagar un interés del 15%, el total a pagar (𝑇𝑃) por la deuda es:

𝑇𝑃 = 1´800 000 + 1´800 000 × 0.15 𝑇𝑃 = 1´800 000 + 270 000

𝑇𝑃 = 2´070 000 , es decir:

𝐶1 + 𝐶2 + 𝐶3 = 2´070 000 ① , por datos:

2𝐶1 = 2´070 000 + 230 000 , resolviendo:

2𝐶1 = 2´300 000

𝐶1 =2´300 000

2

𝐶1 = 1´150 000


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, por tanto la primera cuota será de $1´150 000 , por datos

𝐶2 = 0.4𝐶1 + 230 000 , remplazando

𝐶2 = 0.4(1´150 000) + 230 000 𝐶2 = 460 000 + 230 000

𝐶2 = 690 000 , luego la segunda cuota será de $690 00 , si remplazamos los valores de la primera y segunda cuota en ①:

1´150 000 + 690 000 + 𝐶3 = 2´070 000 1´840 000 + 𝐶3 = 2´070 000

, despejando 𝐶3 = 2´070 000 − 1´840 000

𝐶3 = 230 000 , entonces la tercera cuota será de $230 000

3. La suma de dos números es 102 y su diferencia 64 ¿cuáles son los números?

4. La diferencia entre dos números es 35 y el doble del menor sumado con 3 veces el mayor es 400 ¿cuáles son los números?

5. La suma de dos números es 233 y su diferencia 65 ¿cuáles son los números?

6. La suma de tres números naturales consecutivos es igual al menor más 19. ¿Cuáles son estos tres números?

7. El perímetro de un rectángulo es 64 centímetros. Su largo es 4 cm menos que tres veces su ancho. Halla las dimensiones del rectángulo.

8. El perímetro de un terreno rectangular es de 20 metros y el largo equivale a 2 veces el ancho dividido en tres ¿cuáles son las dimensiones del terreno?

9. Una pieza de alambre de 48 m se corta en dos trozos tal que uno mide 3 m más que ¼ del otro ¿cuál es la medida de cada trozo?

10. Un padre de familia pago $67 100 por 25 cuadernos y 12 lápices, si el precio de una cuaderno excede en 1 500 el del lápiz ¿cuál es el precio de un lápiz y un cuaderno?

11. Se reparten 40 mil pesos para dos personas, de manera que uno recibe 10 más que el otro ¿Cuánto recibe cada uno?


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12. Supongamos que un delfín adulto de nariz en forma de botella pesa 800 libras. Esto es 735 libras más que un delfín típico de nariz en forma de botella recién nacido. ¿Cuál ecuación se podría usar para calcular el peso de uno de estos delfines típicos recién nacidos?

13. En una tienda, de un producto me rebajaron el 15% y pagué 51 €. ¿Cuánto costaba el producto?

14. Tengo 2/3 de lo que vale un ordenador. ¿Cuánto vale el ordenador si me faltan sólo

318€ para comprarlo? 15. Tres socios tienen que repartirse 3.000€ de beneficios. ¿Cuánto le tocará a cada uno,

si el primero tiene que recibir 3 veces más que el segundo y el tercero dos veces más que el primero?

16. Necesitamos repartir 27 naranjas en dos cajas de forma que en la primera haya 3

más que en la segunda. ¿Cuántas naranjas habrá en cada caja? 17. Después de gastar las 4/7 partes de un depósito quedan 78 litros. ¿Cuál es la

capacidad del depósito? 18. Al comprar una camisa he pagado 27,59€. Si me han rebajado un 15%. ¿Cuánto

costaba la camisa antes de las rebajas? 19. Un pastelero gasta $24 000 pesos diarios en ingredientes para hacer galletas y cobra

$200 por cada galleta. Si al final de un día vendió todas las galletas que preparó, y obtuvo una ganancia total de 8 800 pesos, ¿cuántas galletas vendió?

20. Se reparten bombones entre tres niños. Al segundo le dan el doble que al primero y

al tercero el triple que al segundo. Si hay 18 bombones en total. ¿Cuántos bombones dan a cada niño?

21. En una caja hay doble número de naranjas que de manzanas, y de duraznos hay la mitad que de manzanas. Si en total hay 84 frutas. Hallar la cantidad de cada fruta que hay en la caja.

22. En una parcela, entre gallinas y conejos, hay 20 cabezas y 52 patas. ¿Cuántas gallinas

y cuántos conejos hay en la pequeña parcela? 23. En un avión viajan el cuádruple de hombres que de mujeres y la mitad de niños que

de mujeres, en total viajan 165 personas. ¿Qué número corresponde a cada tipo de persona


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24. Un yogur de frutas cuesta 1000 pesos más que uno natural. ¿Cuál es el precio de cada clase de yogur si he pagado 23000 pesos por cinco naturales y nueve de frutas?

25. Pamela y Paz tienen 6 y 9 años, respectivamente. Ana, su madre, tiene 35 años.

¿Cuántos años deben pasar para que, entre las dos niñas, igualen la edad de la madre? 26. Tengo en el bolsillo 27 fichas, unas que valen 20 pesos y otras que valen 50 pesos. Si

las cambio todas por dinero, obtengo 960 pesos, ¿cuántas fichas de cada clase tengo? (R: 13 de 20

27. Un taxista cobra un cargo fijo de $4800 por "tarifa mínima" y luego $300 por cada

kilómetro de recorrido. Un segundo taxista no cobra tarifa mínima, pero cobra $1500 por cada kilómetro. a. Plantear la "ecuación de cobro por viaje" correspondiente a cada taxista. b. Determinar en cuál taxi es más económico viajar una distancia de 5 kilómetros. c. ¿En qué distancia ambos taxistas cobran lo mismo?

28. En la ciudad de Santa Marta hay dos estaciones de taxis, Pronto Taxis y Taxis Expres.

La Pronto Taxis cobra una tarifa fija de 6500 pesos por los 3 primeros kilómetros recorridos y 500 por cada kilómetros adicional. La Taxis Expres cobra 1500 por kilómetro recorrido ¿Para qué distancias la empresa Taxis Expres resulta más económica? a. Plantear la "ecuación de cobro por viaje" correspondiente a cada empresa. b. Determinar en cuál empresa es más económico viajar una distancia de 6

kilómetros. c. ¿En qué distancia ambos empresas cobran lo mismo?

29. Una persona destinó una tercera parte de su salario mensual para comprar

alimentos y la mitad del salario para diversos pagos; si le quedaron $500.00 para ahorrar, ¿Cuánto gana mensualmente?

30. Un camión de volteo carga siempre 2 toneladas más de su capacidad normal y en 36

viajes acarrea 252 toneladas de arena. ¿Cuál es su capacidad normal? 31. Un comerciante dice: Si lograra duplicar mi dinero y pagara $5,200.00 que debo, me

quedarían $8,000.00. ¿Cuánto dinero tiene el comerciante? 32. La renta producida por dos casas en un año fue de $15 700 000. ¿Cuál es la renta

mensual de cada una, si entre sí difieren en $250 000 y la de renta más alta estuvo desocupada 2 meses?


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33. Un obrero tenía $20.00. Después de cobrar una semana (siete días) de trabajo, gasta 2/3 de su haber; pero diez días después vuelve a recibir su salario y posee $426.00. ¿Cuánto gana ese obrero diariamente?

34. Un hacendado ha comprado doble número de pollos que de patos. Por cada pollo

pagó $70.00 y por cada pato $85.00. Si el importe de la compra fue de $2,700.00. ¿Cuántos pollos y cuántos patos compró?

35. Un capataz contrata un obrero por 50 días pagándole $3,000.00 por cada día de

trabajo con la condición de que por cada día que el obrero deje de asistir al trabajo perderá $2 000. Al cabo de los 50 días, el obrero recibe $90 000 ¿Cuántos días trabajó y cuántos días no trabajó?

36. Una tienda que está liquidando sus mercancías anuncia que todos los precios fueron

rebajados en un 30%. Si el precio de un artículo es de $186.00. ¿Cuál era su precio antes de la liquidación?

Sistemas de Ecuaciones Lineales Sistemas de Ecuaciones: Conjunto de dos o más ecuaciones con dos o más variables. Si un Sistema de Ecuaciones tiene solución se dice compatible sino es incompatible. Si un sistema compatible tiene una solución se dice determinado y si tiene infinitas soluciones es indeterminado. Métodos para resolver un Sistema de Ecuación lineal Para resolver un sistema de ecuaciones lineales es necesario obtener de las ecuaciones una ecuación con una incógnita. Los métodos elementales para resolver sistemas de ecuaciones lineales son: por igualación, sustitución, eliminación, regla de Cramer o determinante y el gráfico. La diferencia entre los métodos consiste en la obtención de la primera incógnita, el valor obtenido se remplaza en cualquiera de las ecuaciones originales para hallar el valor de la otra variable. Conjunto Solución: Son aquellos valores que al remplazar las variables satisfacen la ecuación, ósea, la vuelven una igualdad numérica. Para constatar que los valores obtenidos son conjunto solución, se deben verificar en las ecuaciones, el procedimiento consiste en sustituir los valores obtenidos en cada ecuación, se resuelve y si se obtienen igualdades numéricas, entonces la solución es correcta.


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Método de Igualación Consiste en despejar de ambas ecuaciones la misma variable, se igualan las expresiones obtenidas, obteniendo una ecuación con una incógnita, se resuelve y se halla el valor de la primera variable, se remplaza el valor obtenido en una de las ecuaciones despejadas para obtener el valor de la otra variable y se verifica para constatar si los valore obtenidos son conjunto solución Ejercicio. Resolver el siguiente sistema de ecuación lineal por el método de igualación

x + y = 2 (Ec1) 3x + y = -12 (Ec2)

Despejamos la variable y de las ecuaciones 1 y 2,

De la (Ec1) De la (Ec1) y = 2 – x (Ec3) y = -12 – 3x (Ec4)

Igualamos las ecuaciones Ec3 y Ec4: 2 – x = -12 – 3x

Despejando 3x – x = -12 – 2; 2x = -14; 𝑥 = −14

2

Halamos el valor de la otra variable, remplazando el valor de la variable obtenida en una de las ecuaciones originales despejadas, en (Ec3) o (Ec4)

En la (Ec1) y = 2 − (−7)

Entonces, y = 9

Para verificar se remplazan los valores obtenidos en las ecuaciones originales, (Ec1) y (Ec2)

En la (Ec1) En la (Ec2)

x + y = 2 3x + y = -12

−7 + 9 = 2 3(−7) + 9 = −12

2 = 2 −21 + 9 = −12

𝑥 = −7


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−12 = −12

Método de Sustitución Consiste en despejar de una de las ecuaciones una las variables, la expresión obtenida se sustituye en la otra ecuación, obteniendo una ecuación con una incógnita, se resuelve y se halla el valor de la primera variable, se remplaza el valor obtenido en una de las ecuaciones originales para obtener el valor de la otra variable y se verifica para constatar si los valore obtenidos son conjunto solución Ejercicio. Resolver el siguiente sistema de ecuación lineal por el método de sustitución

4x – 2y =4 (Ec1) x – 2y =-2

(Ec2)

Se despeja la variable x de la (Ec2): 𝑥 = 2𝑦 − 2 (Ec3)

Se remplaza en la (Ec1): 4(2𝑦 − 2) − 2𝑦 = 4

Resolviendo 8𝑦 − 8 − 2𝑦 = 4; 6𝑦 − 8 = 4

Despejando 6𝑦 = 8 + 4; 6𝑦 = 12: 𝑦 =12

6 entonces 𝐲 = 𝟐

Se remplaza en la (Ec2): 𝑥 − 2(2) = −2; 𝑥 − 4 = −2: 𝑥 = −2 +

4 entonces 𝒙 = 𝟐

Verificación


4(2) – 2(2) =4 2 – 2(2) =-2

8 − 4 = 4 2 − 4 = −2

4 = 4 −2 = −2

Método de Eliminación Consiste en eliminar una cualquiera de las variables. Esto se logra haciendo que una de las variables, quede con igual coeficiente pero con signo contrario, por medio de la multiplicación y división luego se suman las ecuaciones obtenidas, obteniendo una ecuación con una incógnita, se resuelve y se halla el valor de la primera variable, se


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remplaza el valor obtenido en una de las ecuaciones originales para obtener el valor de la otra variable y se verifica para constatar si los valore obtenidos son conjunto solución Ejercicio. Resolver el siguiente sistema de ecuación lineal por el método de eliminación

2x + 3y = -5 (Ec1) x - 2y = 8 (Ec2)

Se multiplica la (Ec2) por -2: −2(𝑥 − 2𝑦) = −2(8); −2𝑥 + 4𝑦 = −16 (Ec3) Sumamos las (Ec1) y la (Ec3);

2x + 3y = -5 -2x + 4y = -16 7y = -21

Despejando: 𝑦 = −21

7; 𝒚 = −𝟑

Remplazando en la (Ec2): 𝑥 − 2(−3) = 8; 𝑥 + 6 = 8; 𝑥 = 8 − 6; 𝒙 = 𝟐 Verificando


2(2) + 3(-3) = -5 2- 2(-3) = 8

4 – 9 = -5 2 + 6 = 8

-5 = -5 8 = 8

Ejercicios: Resolver cada sistema de ecuación

2x + y = 0 x - y = -3

2x +3y = -1 x - y = 2

3x + 2y = -2 2x + 5 y = 6

4x – y = 3 2x + 3y = 19

Por Determinante Matriz Conjunto de datos organizados en filas y columnas. Una matriz de m filas y n columnas se dice una matriz de 𝑚 × 𝑛 dicho número es el tamaño de la matriz. Una matriz de n filas y n columnas, es decir, el número de filas es igual al de columnas, se dice una matriz cuadrada de orden n. Determinante de una matriz de orden 2

Dada la matriz

2,21,2

2,11,1

aa

aaA

El determinante de A es un número que se denota det(𝐴) ó |𝐴|y se obtiene


Taller de Lógica

det(𝐴) = |𝐴| = 𝑎1,1 × 𝑎2,2 − 𝑎2,1 × 𝑎1,2

Regla de Cramer Dado el sistema de ecuación lineal

𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐 𝑑𝑥 + 𝑒𝑦 = 𝑓

, con 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒 𝑦 𝑓 ∈ 𝑅 se cumple

𝑥 =[𝑐 𝑏𝑓 𝑒

]

[𝑎 𝑏𝑑 𝑒

] ; 𝑦 =

[𝑎 𝑐𝑑 𝑓]

[[𝑎 𝑏𝑑 𝑒

]]

Ejercicio. Resolver el siguiente sistema de ecuación lineal por la regla de Cramer

3x + 2y = -7 x - 3y = 4

Aplicando la regla de Cramer

x=[-7 24 -3

]

[3 22 -3

]=

(-7)(-3)-(4)(2)

(3)(-3)-(2)(2)=

21-8

-9-4=

13

-13=-1 , entonces x=-1

y=[3 -72 4

]

[3 22 -3

]=

(3)(4)-(-7)(2)

(3)(-3)-(2)(2)=

12+24

-9-4=

26

-13=-2 , entonces y = -2

Verificando En la (Ec1) En la (Ec2)

3(-1) + 2(-2) = -7 2(-1) – 3(-2) = 4

-3 – 4 = -7 -2 + 6 = 4

-7 = -7 4 = 4

Ejercicio. Resuelva cada sistema de ecuación lineal

4x – 3y = -5 3x - 2y = 4

3x + 4y = 1 2x – 3y = 12

5x – 2y = 4 2x – 3y = 5

2x + 3y = 12 3x + 2y =13

3x + 4y = 1 2x – 3y =12

5x – 2y = 4 2x - 3y = 5

-4x + 3y= -5 3x – 2y = 4

x + 2y =3 3x + 6y = 6

0.2x – 0.3y = 4 2,3x – y = 1.2 113

8;12

7

2

5

yx

yx x – y = 2 2x + 2y = -2


Taller de Lógica

Ejercicio. Resuelva cada sistema de ecuación lineal

x+ y +z = -2 x – y + z = 0 x – y – z = 4

2x + y - z = -1 3x – 2y + z = 3 -4x + 3y + 2z = -11

x + z -1 x + y = 0 y + z = -3

x + y + z = -2 2x – y + z = 1 -x + 2y – z = -1

x + 2y – z = 3 3x – y + 2z = =-8 2x + 3y + z = -1

x + y + z = 6 2x + y – z = 1 x – 2y + z = 0

x – 2y + 2z = 3 x – 2z = 4 y – z = 1

PROBLEMAS DE APLICACIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Pasos para resolver un problema se aplicación 1. Leer el problema hasta entenderlo

2. Defina las variables que participan en el problema

3. Plantee las ecuaciones

4. Resuelva el sistema de ecuaciones

5. Verifique los resultados

Problemas 1. La suma de dos números es 70 y la décima parte de su diferencia es igual a seis

¿cuáles son los números? Sean a y b los números. Por datos

Por datos: La suma de dos números es 70 𝑎 + 𝑏 = 70 (Ec1) la décima parte de su diferencia es igual a seis 𝑎−𝑏

10= 6 (𝐸𝑐2)

De la ecuación (Ec2) 𝑎 − 𝑏 = 10 × 6, 𝑎 − 𝑏 =60 (𝐸𝑐3)

Sumamos (Ec1) y (Ec3) 𝑎 + 𝑏 = 70 𝑎 − 𝑏 = 60 2𝑎 − 0 = 130,

2𝑎 = 130

𝑎 =130

2= 65

Por lo tanto 𝒂 = 𝟔𝟓 Remplazando en (Ec1) 65 + 𝑏 = 70

𝑏 = 70 − 65 = 5 Por lo tanto 𝒃 = 𝟓 Verificamos en (Ec1) 65 + 5 = 70, 70 = 70


Taller de Lógica

En (Ec2) 65 − 5

10= 6,

60

10= 6, 6 = 6

2. El perímetro de un terreno rectangular es de 20 metros y cuatro veces el largo

equivale a seis veces el ancho. ¿Cuáles son las dimensiones del terreno? Sean a y l el ancho y el largo del terreno

Por datos: El perímetro de un terreno rectangular es de 20 metros

20 = 2𝑎 + 2𝑙 (𝐸𝑐1)

Cuatro veces el largo equivale a seis veces el ancho

4𝑙 = 6𝑎 (𝐸𝑐2)

Despejando en la (Ec2) 𝑙 =

6𝑎

4 , 𝑙 =

3

2𝑎 (𝐸𝑐3)

Remplazando en (Ec1) 20 = 2𝑎 + 2

3

2𝑎

20 = 2𝑎 + 3𝑎

20 = 5𝑎, 𝑎 =20

5= 4

Por lo tanto 𝑎 = 4 remplazando en (Ec1) 20 = 2(4) + 2𝑙 20 = 8 + 2𝑙

20 − 8 = 2𝑙, 𝑙 =12

2= 6

𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑙 = 6, Verificamos: en (Ec1) 20 = 2(4) + 2(6) = 8 + 12= 20

En (Ec2) 4(6)=6(4), 24=24 El ancho es de 4 metros y el largo 6 metros

3. De Santa Marta a Ciénaga se transporta diariamente un promedio de 44 sacos de

café, utilizando para su transporte un taxi y una camioneta. En cada viaje la camioneta puede transportar 6 sacos y el taxi 4. El taxi realiza 2 viajes más que el triple de viajes que hace la camioneta, ¿cuántos viajes efectúa cada vehículo? Sean t y c el número de viajes que realizan el taxi y la camioneta respectivamente.

Por datos: De Santa Marta a Ciénaga se transporta diariamente un promedio de 44 sacos de café, utilizando para su transporte un taxi y una camioneta. En cada viaje la camioneta puede transportar 6 sacos y el taxi 4

4t + 6c =44 (Ec1)

El taxi realiza 2 viajes más que el triple de viajes que hace la camioneta

t=3c+2 (Ec2)

Remplazando en (Ec1) 4(3c + 2)+6c=44 12c + 8 +6c =44

18c=44-8, c=36

18=2


Taller de Lógica

Entonces c=2, remplazando en (Ec2) t=3(2)+2=6+2=8 Por lo que t=8, verificando en (Ec1) 4(8)+6(2)=44

32+12=44 44=44

En (Ec2) 8=3(2)+2 8=6+2 8=8

Entonces la camioneta realiza 2 viajes y el taxi 8 4. Un estudiante ha realizado un examen que constaba de 68 preguntas, ha dejado sin

contestar 18 preguntas y ha obtenido 478 puntos. Si por cada respuesta correcta se suman 10 puntos y por cada respuesta incorrecta se resta un punto ¿cuántas respuestas correctas y cuántas incorrectas ha contestado el estudiante?

5. Una fábrica de artículos deportivos produce y distribuye mensualmente los

siguientes productos a dos almacenes A y B a. El almacén A vende medias a $20 000 y balones a $44 000. b. El almacén B vende camisetas a $22 000 y tobilleras a $16 000 c. Con base a la anterior información da respuesta a las siguientes preguntas d. Si durante el primer mes el almacén A vendió 26 artículos y recaudó $856 000

¿cuántas medias y cuántos balones vendió? e. Si el almacén B recaudó $1 110 000 en 60 artículos ¿cuántos de cada uno vendió?

6. Dadas las ecuaciones de oferta y demanda del mercado determine el punto de

equilibrio

x +3p = 15 x – 3p = -3

3x + p = 21 3x – 4p = -9

p + 2x =321 p – 8x = 1

p + 2x = 15 p - x = 3

7. En un teatro hay 70 personas entre adultos y niños cada adulto paga $4 000 y cada

niño $1 500. Si el recaudo fue de $230 000 ¿cuántos adultos y cuántos niños entraron?

8. Si fabrican 65 artículos en total y venden cada pulsera a $1.000 y cada collar a $1.200

¿Cuántas pulseras y cuántos collares deben hacer para obtener $ 71.000 con la venta? Si el costo en materiales de cada pulsera es de $ 300 y de cada collar es de $ 360 ¿Cuánto dinero ganarán con esta venta?

9. Se le aplica un test de matemática a unos estudiantes que ingresan a la universidad

la prueba tiene 30 preguntas, cada pregunta contestada correctamente se le dan 5 puntos y por cada pregunta incorrecta o no contestada se le quitan 2 puntos. Un estudiante obtuvo en total 94 puntos. ¿Cuántas preguntas respondió correctamente?


Taller de Lógica

10. Un ama de casa compra en un supermercado 6 Kg. de café y 3 de azúcar, por lo que paga $60 300. Ante la amenaza de nuevas subidas, vuelve al día siguiente y compra 1 Kg. de café y 10 Kg. de azúcar por lo que paga $33 800. Calcule el precio del kilogramo de cada producto

11. Un moderno buque de turismo tiene camarotes dobles (dos camas) y simples (1

cama). Si se ofertan 65 camarotes que en total tienen 105 camas, averiguar el número de camarotes de cada tipo.

12. La suma de dos capitales es de 3 millones de pesos y la suma de los intereses

producidos es $180 000 ¿cuáles son los capitales si se sabe que el primero se prestó al 5% y el segundo al 8%?

13. En un cine 10 entradas de adultos y 9 de niños cuestan $51 200 y 17 de niños y 15

de adultos $831 00. Hallar el precio de una entrada de niño y una de adulto. 14. Un cliente le pide al cajero de un banco que le cambie un cheque $590 000 en billetes

de $50 000 y $20 000 si el cajero le da un total de 19 billetes ¿cuántos billetes de cada denominación entrego?

15. El viernes en el almacén “trapos” se vendieron pantalones a $25 000 cada uno y

camisas a $18 000 cada una, las ventas totales de esas prendas fueron de $441 000. El sábado el almacén vendió cada pantalón y cada camisa a $20 000 y las ventas fueron de $420 000 ¿cuántas pantalones y cuántas camisas se vendieron?

16. Una llamada internacional tiene un cargo fijo por el primer minuto y una tarifa

diferente por cada minuto adicional. Si una llamada de 7 minutos cuesta $2000 y una de 4 cuesta $1 280 encuentra el costo del primer minuto y del minuto adicional.

17. Una empresa de servicios se especializa en preparar y atender fiestas. La empresa

cobra una tarifa fija más un costo adicional por invitado. Si los costos por atender 25 invitados son de $3 000 000 y los costos por atender a 40 son de $4 200 000 ¿cuál es la tarifa fija y el costo por invitado?

18. El alquiler de un automóvil tiene un costo fijo semanal, un recargo adicional que se

cobra por cada kilómetro recorrido. Un viaje de una semana de 800 kilómetros cuesta $440 000 y uno de 1200 Km cuesta $560 000. Encuentre la tarifa semanal y la tarifa por kilómetro recorrido.

19. Un promotor de conciertos necesita reunir $380 millones de pesos de la venta de 16

000 boletos. Si el promotor cobra $20 000 por unos boletos y $30 000 por otros ¿cuántos boletos de cada tipo debe vender?


Taller de Lógica

20. Por usar el servicio de internet una compañía cobra un cargo de $2 000 hora/día y $2 500 hora/noche. si una persona pago $64 000 por 28 horas de uso de servicio encontrar el número de horas diurnas y nocturnas del servicio.

21. Un mayorista de frutas secas vende una mezcla de cacahuates y almendras. Cobra

US$ 2,8 por libra de cacahuates y US$ 5,3 por libra de almendra. Si la mezcla se va a vender en US$ 3,3 por libra ¿cuántas libras de cacahuate y cuántas de almendras se deben utilizar para hacer 100 libras de la mezcla?

22. Una mujer tiene $235 000 invertidos en dos propiedades en renta. Una tiene un

rédito de 10% sobre la inversión y la otra de 12%. Su ingreso total de estas es de $25 000 ¿En qué tasa tiene la mayor inversión y de cuánto es el monto?

23. En la cafetería "Colombiano" hay café de dos clases: uno de $5400 el kilogramo y otro

de $7000 el kilogramo. Se desea obtener una mezcla de 200 kilogramos de café para venderla a $6000 el kilogramo. ¿Cuántos kilogramos deberán ponerse de cada clase de café?

24. El número total de pasajeros matutinos de cierta línea de autobuses urbanos es de

1000. Si el pasaje para niños cuesta US $0.25 y el de adulto US $0.75 y el ingreso total obtenido del cobro de los pasajes es de US $650. ¿Cuántos niños y cuantos adultos utilizaron el bus en la mañana?

25. Juan compró plumeros rojos por $ 1 200 cada uno y azules por $ 800 cada uno. Si

Juan compró 24 plumeros con el costo total de $24 800 ¿cuántos plumeros de cada color compró?

26. En dos camiones cuyas capacidades de carga son respectivamente 3 y 4 toneladas, se hicieron en total 23 viajes para transportar 80 toneladas de madera. ¿cuántos viajes hizo cada camión?

27. Unos amigos por un pedido de 5 hamburguesas y 7 refrescos pagaron $57 100. Si la semana anterior consumieron 8 hamburguesas y 11 refrescos y la cuenta fue de $90 900 ¿cuánto cuesta un pedido de 4 hamburguesas y 4 refrescos?

Problemas de Sistemas de ecuaciones lineales de 3x3 1. En un local de comida rápida, una orden de 5 hamburguesas, 2 papas fritas y 3

refrescos cuesta 56 pesos. Una orden de 4 hamburguesas, 3 papas fritas y 2 refrescos cuesta 46 pesos. Una orden de 6 hamburguesas, 4 papas fritas y 3 refrescos cuesta 68 pesos ¿Cuál será el precio de una sola hamburguesa con un refresco?


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2. Una farmacia vende 10 frascos de vitamina A, 5 frascos de vitamina C y 25 frascos de vitamina D, todo por un valor de 355 pesos. Además, vende 20 frascos de vitamina A, 10 de vitamina C y 10 de vitamina D por un total de 310 pesos. Por otra parte vende 12 frascos de vitamina A, 4 de vitamina C y 15 de vitamina D por un total de 266 pesos. Encuentra el costo correspondiente a cada frasco de las vitaminas A, C y D.

3. Un laboratorista tiene tres soluciones que contienen cierto ácido. La primera

solución contiene 10% de sustancia ácida, la segunda 30% y la tercera 50%. Desea utilizar las tres soluciones para obtener una mezcla de 60 litros que contenga 30% de ácido, utilizando tres veces más solución de la solución de 50% que la de 30% ¿Cuántos litros de cada solución debe usar?

4. Una mujer compró tres clases diferentes de acciones por $20 000. Una de ellas paga

un 6% anual de intereses, otra paga un 7%, y la otra un 8% anual. Al final del primer año, la suma de los intereses de las acciones al 6% y al 7% es de $940, y la suma de los intereses de las acciones al 6% y al 8% es de $720. ¿Cuánto invirtió en cada una de las acciones?

5. Una compañía aeronáutica dispone de 10 aviones destinados a vuelos charter para

directivos de grandes empresas y equipos deportivos. Dispone de tres tipos de aviones: el modelo A es un reactor con capacidad para 30 pasajeros y cuya tripulación está formada por 3 pilotos; el modelo B es un turbo-hélice bimotor con capacidad para 20 pasajeros y su tripulación la forman 2 pilotos; el modelo C es una pequeña avioneta-taxi con capacidad para 4 pasajeros y un piloto. Ayer, por la mañana, despegaron todos los aviones completos. En ellos iban 140 pasajeros y 17 pilotos. ¿Cuántos aviones de cada modelo tiene la compañía?

ecuaciones y sistemas de ecuaciones...

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