ecuatii diferentiale de ordin superior liniare cu coeficienti constanti
DESCRIPTION
Ecuaţii diferenţiale de ordin superior liniare cu coeficienţi constanţi omogeneTRANSCRIPT
Ecuaţii diferenţiale de ordin superior liniare cu coeficienţi constanţi
1. Ecuaţii diferenţiale de ordin superior liniare cu coeficienţi constanţi omogene
Forma generală a unei ecuaţii diferenţiale de ordin n, liniare, cu coeficienţi constanţi, omogene este:
(1)
unde coeficienţii , iar este funcţia reală de o variabilă reală (
) necunoscută (apare liniar ca atare şi în derivatele sale până la ordinul n inclusiv). Mulţimea soluţiilor ecuaţiei (1) formează o structură de spaţiu liniar (vectorial) real de dimensiune n. Pentru determinarea soluţiei generale a ecuaţiei (1) este necesară găsirea unei baze în acest spaţiu (formate din n soluţii liniar independente ale ecuaţiei). Căutând soluţii de forma
, (2)
din (1) se obţine ecuaţia caracteristică:
(3)
care este o ecuaţie algebrică de grad n cu coeficienţi reali. Această ecuaţie (3) are exact n rădăcini (în general complexe, simple sau multiple).După natura rădăcinilor se determină soluţiile liniar independente. Astfel: Unei rădăcini reale simple: a ecuaţiei caracteristice (3) îi corespunde o singură soluţie liniar
independentă a ecuaţiei (1): .
Unei rădăcini reale multiple de ordin de multiplicitate : a ecuaţiei caracteristice (3) îi
corespund m soluţii liniar independente ale ecuaţiei (1): .
Unei perechi de rădăcini complex conjugate simple : ale ecuaţiei caracteristice (3) îi
corespunde o pereche de soluţii liniar independente ale ecuaţiei (1): .
Unei perechi de rădăcini complex conjugate multiple de ordin de multiplicitate : ale ecuaţiei caracteristice (3) îi corespund 2m soluţii liniar independente ale ecuaţiei (1):
Astfel celor n rădăcini ale ecuaţiei caracteristice (3) le corespund n soluţii liniar independente (soluţii fundamentale), care constituie baza spaţiului liniar (vectorial) al soluţiilor ecuaţiei (1):
(4)
Prin urmare, orice soluţie a ecuaţiei (1) se exprimă ca o combinaţie liniară a soluţiilor fundamentale (vectorii bazei). În concluzie, soluţia generală a ecuaţiei diferenţiale (1) se scrie:
, (5)
unde sunt constante reale arbitrare.
1
Exemplul 1: Rezolvare: Este o ecuaţie diferenţială de ordin doi, liniară, cu coeficienţi constanţi, omogenă. Ecuaţia caracteristică este în acest caz: . Această ecuaţie de gradul al doilea are rădăcinile reale
distincte: ( Formula de rezolvare a ecuaţiei de gradul al doilea este
). Prin urmare soluţiile fundamentale sunt şi deci soluţia
generală a ecuaţiei date este , unde C1, C2 sunt constante reale
arbitrare. Exemplul 2:
Rezolvare: Ecuaţia caracteristică este cu rădăcinile . Aşadar soluţiile
fundamentale sunt şi deci soluţia generală a ecuaţiei date este
, unde C1, C2 sunt constante reale arbitrare.
Exemplul 3:
Rezolvare: Este o ecuaţie diferenţială de ordin trei, liniară, cu coeficienţi constanţi, omogenă. Ecuaţia
caracteristică este în acest caz cu rădăcinile .
Aşadar soluţiile fundamentale sunt şi deci soluţia generală a ecuaţiei date
este , unde C1, C2 ,C3
sunt constante reale arbitrare.
Exemplul 4:
Rezolvare: Ecuaţia caracteristică este cu rădăcinile complex conjugate .
Aşadar soluţiile fundamentale sunt şi deci soluţia generală a ecuaţiei date
este , unde C1, C2 sunt
constante reale arbitrare.
Exemplul 5:
Rezolvare: Este o ecuaţie diferenţială de ordin patru, liniară, cu coeficienţi constanţi, omogenă. Ecuaţia
caracteristică este în acest caz cu rădăcinile duble (de multiplicitate
m = 2): . Aşadar soluţiile fundamentale sunt
şi deci soluţia generală a ecuaţiei date este
,
unde C1, C2 , C3 , C4 sunt constante reale arbitrare.
2
Exemplul 6:
Rezolvare: Este o ecuaţie diferenţială de ordin opt, liniară, cu coeficienţi constanţi, omogenă. Ecuaţia
caracteristică este în acest caz: şi
, o ecuaţie de grad 7 pe care se rezolvă cu ajutorul schemei lui Horner. Se caută rădăcinile întregi ale ecuaţiei printre divizorii termenului liber (50):
1 -4 11 -6 -25 88 -115 50 ---------------------------------------- 1 | 1 -3 8 2 -23 65 -50 0 1 | 1 -2 6 8 -15 50 0 -2 | 1 -4 14 -20 25 0
Deci rădăcini întregi mai sunt (rădăcină dublă) şi . Celelalte rădăcini sunt date de
ecuaţia:
(rădăcini duble). Soluţiile fundamentale sunt atunci:
iar soluţia generală este:
, unde C1, C2 , C3, C4, C5, C6,
C7, C8 sunt constante reale arbitrare. Temă. Să se scrie soluţiile generale ale următoarelor ecuaţii diferenţiale de ordin superior, liniare, cu coeficienţi constanţi, omogene (în paranteză sunt indicate rădăcinile ecuaţiilor caracteristice corespunzătoare):
3
2. Ecuaţii diferenţiale de ordin superior liniare cu coeficienţi constanţi neomogene
Forma generală a unei ecuaţii diferenţiale de ordin n, liniare, cu coeficienţi constanţi, neomogene este:
(6)
unde coeficienţii , iar funcţia (neidentic nulă, pentru ).
Dacă se notează
, (7)
atunci ecuaţia (6) se scrie: Ecuaţia diferenţială omogenă asociată ecuaţiei (6) este ecuaţia (1):
sau echivalent:
Soluţia generală a ecuaţiei neomogene (6) este de forma:
(8)
unde y0 este soluţia generală a ecuaţiei omogene asociate (1), iar yp este o soluţie particulară a ecuaţiei neomogene date (6). Ecuaţia diferenţială omogenă (1) se rezolvă după cum s-a arătat anterior, obţinându-se astfel y0, iar pentru găsirea unei soluţii particulare yp a ecuaţiei neomogene (6):
(9)
se foloseşte una din următoarele metode:
A. Metoda variaţiei constantelor a lui Lagrange
Dacă conform (5):
este soluţia generală a ecuaţiei omogene (1), atunci o soluţie particulară yp a ecuaţiei neomogene (6) este de forma:
(10)
unde sunt soluţiile sistemului:
(11)
Din sistemul (11) se obţin funcţiile , apoi prin integrare funcţiile .
Observaţie: Această metodă se aplică şi dacă în ecuaţia (6) coeficienţii sunt variabili:
, dar este determinată soluţia generală a ecuaţiei omogene y0.
4
Exemplu.
Rezolvare: Ecuaţia diferenţială omogenă asociată este: .
Ecuaţia caracteristică acestei ecuaţii diferenţiale este: cu rădăcinile: .
Soluţiile fundamentale sunt atunci: şi prin urmare soluţia generală a ecuaţiei omogene
este .
O soluţie particulară a ecuaţiei neomogene se caută de forma: , unde
sunt soluţiile sistemului:
. Se integrează folosind schimbarea de
variabilă ( ): şi
Aşadar şi atunci soluţia generală a ecuaţia neomogenă dată
este: , unde C1, C2 sunt constante reale
arbitrare.
Temă: 1.
2.
3.
Răspunsuri: 1.
2.
3.
5
B. Metoda coeficienţilor nedeterminaţi (metoda identificării)
Dacă funcţia f(x) din ecuaţia neomogenă (6) este de forma unui cvasipolinom:
(12)
(unde Pp(x) este un polinom de grad p, iar Qq(x) – un polinom de grad q) sau o sumă de cvasipolinoame,atunci soluţia particulară yp a ecuaţiei diferenţiale neomogene (6) este un cvasipolinom sau o sumă de cvasipolinoame de acelaşi tip:
- Dacă , atunci ecuaţia neomogenă (6):
admite o soluţie particulară de forma:
(13)
unde k este ordinul de multiplicitate a numărului , dacă este rădăcină a ecuaţiei caracteristice
ataşată ecuaţiei omogene, , iar sunt polinoame generale de grad m, cu
coeficienţi reali nedeterminaţi. Înlocuind acest yp în ecuaţia neomogenă (6) se obţine (9): .
Prin identificare se obţin coeficienţii polinoamelor şi , apoi este determinat yp.
- Dacă şi dacă sunt soluţii particulare ale ecuaţiilor neomogene respective
, atunci este o soluţie particulară a ecuaţiei neomogene (6):
.
Exemplul 1.
Rezolvare: Ecuaţia omogenă asociată este: . Ecuaţia caracteristică este
cu rădăcinile . Aşadar soluţiile fundamentale sunt şi deci soluţia
generală a ecuaţiei omogene este , unde C1, C2 sunt constante
reale arbitrare. Pentru ecuaţia neomogenă dată (polinom de gradul I) , iar acestei
exponenţiale îi corespunde care este rădăcină simplă (k = 1) a ecuaţiei caracteristice. Atunci o
soluţie particulară a ecuaţiei neomogene va fi de forma: , cu A şi B nedeterminaţi.
Se introduce acest yp în ecuaţia dată:
.
Prin identificare
În final soluţia generală a ecuaţiei neomogene date este:
, unde C1, C2 sunt constante reale arbitrare.
6
Exemplul 2:
Rezolvare: Ecuaţia omogenă asociată este: . Ecuaţia caracteristică este
cu rădăcinile . Aşadar soluţiile fundamentale sunt şi
deci soluţia generală a ecuaţiei omogene este , unde C1, C2 sunt
constante reale arbitrare. Ecuaţia neomogenă dată are termenul al doilea , unde
iar . Atunci o soluţie particulară yp se caută de forma: , unde
este o soluţie particulară a ecuaţiei (*) , iar
este o soluţie particulară a ecuaţiei (**) .
Astfel se caută de forma (= polinom de gradul zero , deoarece este
rădăcină simplă a ecuaţiei caracteristice)
.Înlocuind în (*) de
unde .
se caută de forma (= polinom de gradul întâi , deci nu se înmulţeşte cu
x, deoarece nu este rădăcină a ecuaţiei caracteristice)
.Înlocuind în (**)
de unde
.
Aşadar şi în final soluţia generală a ecuaţiei
neomogene date este , unde C1, C2 sunt
constante reale arbitrare.
Observaţie: Soluţia particulară yp se poate căuta direct de forma , care se
înlocuieşte în ecuaţia neomogenă dată pentru identificare. (
).
Exemplul 3. Să se determine soluţia generală a ecuaţiei: , precum şi soluţia care
satisface condiţiile: (problema lui Cauchy).
Rezolvare: Ecuaţia omogenă asociată este: . Ecuaţia caracteristică este
cu rădăcinile . Aşadar soluţiile fundamentale sunt şi
deci soluţia generală a ecuaţiei omogene este , unde C1, C2 sunt
constante reale arbitrare. Pentru ecuaţia neomogenă dată (polinom de gradul 0) , iar acestei
exponenţiale îi corespunde care este rădăcină dublă (k = 2) a ecuaţiei caracteristice. Atunci o
7
soluţie particulară a ecuaţiei neomogene va fi de forma: , cu A nedeterminat. Se introduce
acest yp în ecuaţia dată: .
Prin identificare . În fine soluţia generală a ecuaţiei neomogene date este:
, unde C1, C2 sunt constante reale arbitrare. Se impun
condiţiile iniţiale date: ;
. Aşadar soluţia problemei lui Cauchy este un y particular şi anume:
.
Temă:
Răspunsuri:
3. Ecuaţii diferenţiale liniare de tip Euler
Sunt ecuaţii diferenţiale de ordin superior liniare cu coeficienţi variabili de forma:
8
(14)
unde coeficienţii , iar
Prin schimbarea de variabilă:
, (15)
derivatele funcţiei y în raport cu variabila x se exprimă în funcţie de derivatele lui y în raport
cu noua variabilă t astfel:
(16)
(17)
, etc.
Şi astfel ecuaţia se reduce la o ecuaţie diferenţială liniară de ordin n cu coeficienţi constanţi.
Exemplu:
Rezolvare: Schimbarea de variabilă conform (15), este în acest caz . Atunci
derivatele se înlocuiesc conform (16) şi (17): şi ecuaţia dată devine
care este o ecuaţie liniară cu coeficienţi constanţi neomogenă.
Ecuaţia omogenă asociată este: . Ecuaţia caracteristică este cu rădăcinile
. Aşadar soluţiile fundamentale sunt şi deci soluţia generală a ecuaţiei
omogene este , unde C1, C2 sunt constante
reale arbitrare. Pentru ecuaţia liniară cu coeficienţi constanţi neomogenă obţinută (polinom de
gradul 0) , iar acestei exponenţiale îi corespunde care este rădăcină dublă (k = 2) a ecuaţiei
caracteristice. Atunci o soluţie particulară a ecuaţiei neomogene va fi de forma: , cu A
nedeterminat. Se introduce acest yp în ecuaţia dată:
.
9
Prin identificare . În fine soluţia generală a ecuaţiei
neomogene date este: , unde C1, C2 sunt constante reale
arbitrare.
Temă:
Răspunsuri:
10