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EDUARDO MARQUES VIEIRA PEREIRA
REGIÕES ESPECIAIS DE CONCRETO ARMADO: VIGAS
COM APOIO INDIRETO E MUDANÇA BRUSCA DE SEÇÃO
NATAL-RN
2017
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE
CENTRO DE TECNOLOGIA
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
Eduardo Marques Vieira Pereira
Regiões especiais de concreto armado: vigas com apoio indireto e mudança brusca de seção
Trabalho de Conclusão de Curso na modalidade
Monografia, submetido ao Departamento de
Engenharia Civil da Universidade Federal do Rio
Grande do Norte como parte dos requisitos
necessários para obtenção do título de Bacharel em
Engenharia Civil.
Orientador: Prof. Dr. Petrus Gorgônio Bulhões da Nóbrega
Coorientadora: Prof.ª Dr.ª Selma Hissae Shimura da Nóbrega
Natal-RN
2017
Universidade Federal do Rio Grande do Norte - UFRN
Sistema de Bibliotecas - SISBI
Catalogação de Publicação na Fonte. UFRN - Biblioteca Central Zila Mamede
Pereira, Eduardo Marques Vieira.
Regiões especiais de concreto armado: vigas com apoio
indireto e mudança brusca de seção / Eduardo Marques Vieira Pereira. - 2017.
133 f.: il.
Universidade Federal do Rio Grande do Norte, Centro de
Tecnologia, Curso de Engenharia Civil. Natal, RN, 2017.
Orientador: Prof. Dr. Petrus Gorgônio Bulhões da Nóbrega.
Coorientador: Prof.ª Dr.ª Selma Hissae Shimura da Nóbrega.
1. Engenharia Civil - Monografia. 2. Regiões especiais - Monografia. 3. Bielas e tirantes - Monografia. 4. Apoios
indiretos - Monografia. 5. Variação de altura - Monografia. I.
Nóbrega, Petrus Gorgônio Bulhões da. II. Nóbrega, Selma Hissae
Shimura da. III. Título.
RN/UF/BCZM CDU 624
Eduardo Marques Vieira Pereira
Regiões especiais de concreto armado: vigas com apoio indireto e mudança brusca de seção
Trabalho de conclusão de curso na modalidade
Monografia, submetido ao Departamento de
Engenharia Civil da Universidade Federal do Rio
Grande do Norte como parte dos requisitos
necessários para obtenção do título de Bacharel em
Engenharia Civil.
Aprovado em 23 de novembro de 2017:
___________________________________________________
Prof. Dr. Petrus Gorgônio Bulhões da Nóbrega – Orientador
___________________________________________________
Prof.ª Dr.ª Selma Hissae Shimura da Nóbrega – Coorientadora
___________________________________________________
Prof. Dr. Rodrigo Barros – Examinador externo
___________________________________________________
Prof. Me. Márcio Dantas Medeiros – Examinador externo
Natal-RN
2017
DEDICATÓRIA
À minha avó, Marinete Neves
Marques Vieira (in memoriam),
e minhas tias, Marilita, Marilena
e Margarida, com amor, carinho
e muita saudade.
AGRADECIMENTOS
Faz-se necessário agradecer àqueles que diretamente, ou indiretamente, participaram,
de alguma forma, na elaboração deste trabalho e na minha formação acadêmica. Desta forma,
expresso aqui os meus mais sinceros agradecimentos:
Aos meus pais, Marcela Vieira e Roberto Pereira, que sempre me incentivaram a
estudar e batalhar pelos meus sonhos, além de nunca hesitarem em me ajudar quando sempre
precisei.
Ao meu avô, Orlando Marques Vieira, que com sua dedicação e profissionalismo, me
serviu de inspiração para seguir sempre em frente.
À minha namorada, Luiza Gabriella, pela paciência e companheirismo nas horas mais
difíceis.
Aos professores das escolas NEI e CEI, que fizeram parte da minha formação e
educação. Sem eles, não teria chegado até onde cheguei.
Aos amigos de graduação, que fizeram parte dessa etapa importante da minha vida. A
graduação não seria a mesma sem a presença de vocês.
Ao amigo Weber Anselmo pela disposição em me ajudar a conseguir referências e
normas técnicas que precisei não só neste trabalho, mas ao longo de toda a graduação.
À professora Flávia Ribeiro por ter me ajudado em algumas referências importantes
que precisei em meu trabalho.
Aos professores do departamento de engenharia civil que contribuíram para minha
formação como engenheiro.
Ao professor Joel Neto pelos ensinamentos nesses cinco anos de graduação.
Por fim, aos meus orientadores, Petrus Nóbrega e Selma Nóbrega, a quem tenho como
verdadeiros mestres e professores que sempre se dispuseram a ajudar e ensinar seus alunos e,
sem a ajuda deles, este trabalho não seria possível.
"O sucesso nasce do querer, da determinação e
persistência em se chegar a algum objetivo.
Mesmo não atingindo o alvo, quem busca e vence
obstáculos, no mínimo fará coisas admiráveis. ”
(José de Alencar)
RESUMO
Regiões especiais de concreto armado: vigas com apoio indireto e mudança brusca de
seção
O uso de softwares para auxiliar no projeto estrutural cresceu nas últimas décadas e com
isso o engenheiro deve ter a responsabilidade e a capacidade de analisar os resultados emitidos
computacionalmente para validá-los. As regiões especiais de concreto armado são definidas na
NBR 6118:2014 e não podem ser dimensionadas pelos procedimentos comuns, sendo então
necessários métodos de projeto que melhor representem o comportamento do elemento
estrutural, como o Método de Bielas e Tirantes. Dentre todas as regiões citadas pela norma, este
trabalho tem como objetivo estudar a teoria e os métodos de análise, primeiramente, para depois
avaliar o dimensionamento e detalhamento realizados pelos softwares CAD/TQS V20.1 e
Eberick V10 nas situações de apoios indiretos entre vigas e vigas com mudança brusca de seção.
Para este último, também foram comparados resultados obtidos a partir do aplicativo
SECAOVIG e de um modelo de bielas e tirantes elaborado neste trabalho para fins de
verificação. Os estudos de caso, para ambas as regiões especiais, se deram em pórticos
modelados nos softwares em diferentes condições, de forma a avaliar o procedimento utilizado
e os resultados. No final, foi observado que, quando se trata dos apoios indiretos entre vigas,
ambas as ferramentas computacionais tratam o problema de forma parecida e bem semelhante
às bibliografias encontradas. Porém, quando se trata das vigas com variação brusca de altura,
os métodos utilizados pelos programas precisam ser melhorados para se aproximarem das
recomendações das diversas bibliografias e das normas técnicas brasileiras.
Palavras-chave: Regiões especiais, Bielas e tirantes, Apoios indiretos, Variação de altura.
ABSTRACT
Title: Reinforced concrete discontinuity regions: beams with indirect support and sudden
change in cross-section
The use of software to assist in structural engineering has grown over the last decade
and now the engineer must have responsibility and ability to analyze computationally produced
results to validate them. Reinforced concrete discontinuity regions, defined in brazilian standard
code, NBR 6118:2014, cannot be designed by common procedures and deserve special
treatment. Therefore, specific methods, which better represent the behavior of the structural
element, for example the Strut-and-Tie Method, are needed. Among all the discontinuity
regions defined in the brazilian code, the aim of this paper is to study the theory and the design
methods, and then to analyze the results produced by the software CAD/TQS V20.1 and Eberick
V10 in different situations of indirect support between beams and beams with sudden change
in cross-section. For beams with change in cross-section, results obtained through another
software, SECAOVIG, and a strut-and-tie model elaborated in this work for verification
purposes were also compared. Tests were carried out, for both mentioned discontinuity regions,
in frames modeled in the first two software, to study the influence of different types of structure,
then evaluate and compare the computational procedures. Based on the results, it was observed
that, when dealing with indirect supports between beams, both software treat the problem in a
similar way and follow the recommendations of many authors and codes referenced here in this
paper. However, when it comes to beams with sudden change in cross-section, the methods
used by both software need to be improved to approximate the results to the recommendations
of authors and brazilian codes.
Keywords: Discontinuity regions, Strut-and-tie, Indirect support, Change in cross-section.
ÍNDICE GERAL
CAPÍTULO PÁGINA
1 INTRODUÇÃO 18
1.1 Tema e motivação 18
1.2 Objetivos 20
1.2.1 Objetivo geral 20
1.2.2 Objetivos específicos 21
1.3 Estrutura do trabalho 21
1.4 Referências bibliográficas 22
2 REGIÕES E ELEMENTOS ESPECIAIS 24
2.1 Introdução 24
2.2 Método de Bielas e Tirantes 26
2.2.1 Dimensionamento dos tirantes 30
2.2.2 Verificação de bielas e nós 30
3 VIGAS COM APOIO INDIRETO 34
3.1 Introdução 34
3.2 Metodologia 55
3.3 Análise dos resultados e discussões 58
3.3.1 Eberick V10 58
3.3.2 CAD/TQS V20.1 69
3.4 Conclusões 81
4 VIGAS COM MUDANÇA BRUSCA DE SEÇÃO 83
4.1 Introdução 83
4.2 Metodologia 97
4.3 Análise dos resultados e discussões 99
4.3.1 Eberick V10 99
4.3.2 CAD/TQS V20.1 108
4.3.3 SECAOVIG 116
4.3.4 Elaboração de um modelo para verificação 119
4.4 Conclusões 125
5 CONSIDERAÇÕES FINAIS 127
REFERÊNCIAS 129
ÍNDICE DE FIGURAS
FIGURA PÁGINA
1 – Laje de piscina apoiada sobre vigas com apoios indiretos. 19
2 – Apoio indireto. 20
3 – Viga pré-moldada com variação de altura. 20
4 – Exemplos comuns de regiões com descontinuidades. 25
5 – Trajetórias elásticas de tensões e modelo biela-tirante. 26
6 – Divisão da estrutura em regiões B e D. 28
7 – Representação do processo do caminho das cargas. 29
8 – Diferentes formas para os campos de tensão de compressão. 31
9 – Transição do comportamento de viga para o de treliça. 35
10 – Falta de suporte para as diagonais comprimidas. 35
11 – Tirante “interno” necessário para equilibrar o modelo de treliça. 36
12 – Modelo de treliça para vigas de diferentes alturas 37
13 – Fissuração em apoio direto. 38
14 – Região para disposição da armadura de suspensão. 38
15 – Variação da força nos estribos em experimentos. 39
16 – Esquema de detalhamento proposto para a região de encontro das
vigas.
40
17 – Ganchos para ancoragem deitados. 40
18 – Superfície de ruptura em apoios indiretos. 41
19 – Diferentes situações de apoio indireto. 41
20 – Detalhamento proposto para os casos (a) e (b) de apoio indireto. 42
21 – Detalhamento proposto para o caso (c) de apoio indireto. 42
22 – Detalhamento proposto de apoio indireto onde a viga continua após
cruzamento.
43
23 – Diferentes arranjos para região de intersecção entre vigas. 43
24 – Campos de tensão na viga apoiada. 44
25 – Trecho de distribuição segundo norma europeia. 44
26 – Zona para disposição de armadura transversal adicional. 45
27 – Estrutura utilizada para ensaio. 46
28 – Estrutura utilizada para ensaio. 48
29 – Modelos ensaiados (dimensões em polegadas). 48
30 – Forças atuantes entre as fissuras diagonais. 49
31 – Gráficos “Tensão na Armadura × Distância do Apoio” para Modelos
1 e 2.
50
32 – Gráficos “Tensão na Armadura × Distância do Apoio” para Modelos
3 e 4.
50
33 – Gráfico da força nos estribos. 52
34 – Diferentes tipos de interação entre vigas. 53
35 – Necessidade de armadura horizontal suplementar em apoios indiretos. 54
36 – Modelo e arranjo de armaduras para uma força concentrada de grande
intensidade próxima ao apoio.
54
37 – Subdivisão de bielas muito inclinadas e tirante de suspensão. 55
38 – Modelo estrutural para análise de apoio indireto entre vigas (sem
escala).
56
39 – Situações de apoio analisadas no trabalho (sem escala). 57
40 – Critérios para armadura de suspensão. 59
41 – Grampo “aberto”. 60
42 – Esforço cortante equivalente no caso 1. 61
43 – Trecho de distribuição do reforço dos estribos. 62
44 – Legenda para os fatores de redução. 64
45 – Analogia entre situações diferentes. 65
46 – Aplicação do esforço cortante equivalente no caso 4. 67
47 – Detalhamento da viga V2 no caso 4 (sem escala). 68
48 – Detalhamento da viga V1 no caso 4 (sem escala). 69
49 – Definição da condição de apoio. 69
50 – Critério K66: Consideração de armadura de suspensão. 70
51 – Resultado alternativo para o caso 1.– Cálculo do cisalhamento no
relatório geral de vigas para o caso 4.
73
52 – Resultados de V2 para incrementos de carga para o caso 1. 73
53 – Resultado alternativo para o caso 1. 74
54 – Detalhamento alternativo para o caso 9 (sem escala). 75
55 – Diagramas para verificação da condição de apoio. 76
56 – Detalhamento de V2 no caso 4 (sem escala). 78
57 – Detalhamento de V1 no caso 2 (sem escala). 79
58 – Exemplos de variação brusca em seção de vigas. 83
59 – Altura e largura efetivas. 84
60 – Analogia entre dentes Gerber e vigas com variação brusca de altura. 85
61 – Modelo biela-tirante para dentes Gerber. 85
62 – Tensões nos dentes Gerber e esquema de detalhamento. 86
63 – Modelo biela-tirante para dentes Gerber. 87
64 – Diferentes modelos para dimensionamento e detalhamento de dentes
Gerber.
88
65 – Detalhamento proposto para dente Gerber. 88
66 – Detalhes do dente Gerber das lajes da ponte Concorde. 89
67 – Diferentes detalhamentos para os dentes Gerber ensaiados. 90
68 – Imagens dos modelos ensaiados na ruptura. 90
69 – Modelo de bielas e tirantes para descontinuidades na altura de vigas. 92
70 – Modelo desconsiderando a biela de ancoragem no nó superior. 92
71 – Resultantes na seção, fissuração e armadura de pele. 93
72 – Modelo biela-tirante para descontinuidades na altura; a)
descontinuidade no banzo tracionado; b) descontinuidade no banzo
comprimido.
94
73 – Modelo biela-tirante para descontinuidades de altura nas vigas. 95
74 – Nós CTT dois tirantes ortogonais. 96
75 – Fissuração observada na viga com variação brusca de altura. 97
76 – Modelo estrutural para análise de vigas com variação brusca de altura
no vão (sem escala).
98
77 – Diferentes variações de altura analisadas no trabalho (sem escala). 99
78 – Momentos fletores de cálculo (tfm) dos casos 6a e 6b. 101
79 – Momentos fletores de cálculo dos casos 4b e 5b. 101
80 – Esforços cortantes (tf) para V1 no caso 1a. 102
81 – Verificação do esmagamento das bielas para o caso 1a. 104
82 – Verificação do esmagamento das bielas para o caso 2a. 104
83 – Opções de detalhamento para armadura transversal no trecho de
suspensão para o caso 1a.
105
84 – Detalhamento emitido pelo Eberick V10 da viga V1 no caso 1a (sem
escala).
106
85 – Detalhamento emitido pelo Eberick V10 da viga V1 no caso 5a (sem
escala).
106
86 – Critérios de trechos de distribuição de estribos. 107
87 – Critério para detalhamento em situações de variação de seção. 109
88 – Detalhamento emitido pelo CAD/TQS V20.1 da viga V1 no caso 1a
(sem escala).
110
89 – Detalhamento emitido pelo CAD/TQS V20.1 da viga V1 no caso 5a
(sem escala).
110
90 – Diagramas de momentos fletores dos pórticos (valores
característicos).
111
91 – Critério de percentagem máxima para o baricentro da armadura. 112
92 – Verificação e dimensionamento do cisalhamento para os casos 1a, 2a
e 3a.
112
93 – VRd2 para viga com h = 60cm. 113
94 – Interface do aplicativo. 116
95 – Dados de entrada para o aplicativo. 117
96 – Modelo utilizado. 117
97 – Detalhamento gerado pelo SECAOVIG. 119
98 – Modelos 01 e 02 para cálculo manual. 120
99 – Cruzamento de viga na descontinuidade. 124
100 – Caso real de estrutura com vigas com mudança brusca de seção. 124
ÍNDICE DE TABELAS
TABELA PÁGINA
1 Resumo das situações analisadas no trabalho. 58
2 Resultados obtidos nos casos estudados no software Eberick. 60
3 Relação entre área de aço do software e área de aço determinada
manualmente e aplicação dos fatores de redução.
63
4 Fatores de redução isolados. 63
5 Verificação da armadura de suspensão em conjunto com esforço
cortante.
65
6 Resultados obtidos nos casos estudados no software CAD/TQS com
critério [K66=1].
71
7 Relação entre área de aço em grampo calculada pelo software (As,g) e
calculada manualmente (As,g,calc).
71
8 Relação entre área de aço do software e área de aço determinada
manualmente e aplicação de fatores de redução.
72
9 Resultados obtidos nos casos estudados no software CAD/TQS com
critério [K66=2].
74
10 Resultados para viga V1 definida como apoio 75
11 Cálculo da tensão de cisalhamento solicitante. 80
12 Armaduras transversais adotadas. 82
13 Resultados obtidos nos casos estudados no software Eberick V10. 100
14 Resultados com acréscimo de carregamento. 103
15 Cálculo do esforço cortante de suspensão. 103
16 Relação entre área de aço calculada manualmente e pelo software. 104
17 Área de aço adotada pelo Eberick 105
18 Área de aço adotada pelo CAD/TQS. 115
19 Resultados obtidos no aplicativo SECAOVIG. 118
20 Comparação entre o Eberick e o SECAOVIG. 119
21 Parâmetros iniciais 122
22 Dimensionamento inicial à flexão. 123
23 Geometria dos modelos. 123
24 Dimensionamento e verificação dos modelos. 123
25 Comparação final entre resultados. 126
SIMBOLOGIA
SÍMBOLO SIGNIFICADO
A,nó Área de nó para verificação
As Área de aço de tirante
As,calc Área de aço da armadura de suspensão calculada manualmente
As,g Área de aço de grampo emitida pelo software
As,g,calc Área de aço de grampo calculada manualmente
As,L Área de aço da armadura longitudinal
As,sus Área de aço da armadura de suspensão emitida pelos softwares
As,sus,apoio Área de aço da armadura de suspensão calculada manualmente para
viga apoio
Asw Área de aço da armadura transversal
Asw,total Área de aço total da armadura transversal
b Largura da viga
bw Largura da viga
d Altura útil da viga
dv Braço de alavanca das resultantes no concreto e aço
dvig Altura útil da viga segundo NBR 9062:2017
d1 Altura útil do lado de menor altura
d2 Altura útil do lado de maior altura
dI Altura da viga apoiada
dII Altura da viga apoio
Fc Força atuante em bielas
fcd Resistência de cálculo à compressão do concreto
fcd1 Tensão resistente em nós CCC ou bielas sem tensões transversais de
tração
fcd2 Tensão resistente em nós CTT ou bielas atravessadas por mais de um
tirante
fcd3 Tensão resistente em nós CCT ou bielas atravessadas por um tirante
fck Resistência característica à compressão do concreto de acordo com a
NBR 6118:2014
fc' Resistência característica à compressão do concreto de acordo com o
ACI 318:2014 e CSA A.23.3-14
fctd Resistência de cálculo à tração do concreto
Fsd Força de projeto atuante em tirante
Ft Força atuante em tirantes
fyd Resistência de cálculo ao escoamento do aço
fyk Resistência característica ao escoamento do aço
fywd Resistência de cálculo ao escoamento do aço da armadura transversal
h Altura da viga
h1 Menor altura da viga em vigas com variação brusca de altura
h2 Maior altura da viga em vigas com variação brusca de altura
hb Diferença de altura entre faces inferiores de duas vigas
H1 Altura de V1 no estudo de caso
H2 Altura de V2 no estudo de caso
h0 Altura não comum entre as vigas no estudo de caso
h’ Altura comum entre as vigas no estudo de caso
h” Diferença entre faces inferiores das vigas no estudo de caso
h2 Altura de viga apoiada
hI Altura da viga apoiada
hII Altura da viga apoio
L,ancoragem Comprimento da armadura do tirante
Lb Comprimento de ancoragem para região de má aderência segundo
NBR 9062:2017
lb,nec1 Comprimento de ancoragem para o lado de menor altura
lb,nec2 Comprimento de ancoragem para o lado de maior altura
Md Momento fletor de cálculo
MSd,máx Momento fletor de cálculo máximo no trecho em análise
M0 Momento fletor que anula tensão normal de compressão na borda da
seção
Rd Reação de apoio de viga
Rst Força na armadura longitudinal tracionada
T Força atuante em armadura de tração
Vc Parcela resistente de esforço cortante pelos mecanismos
complementares ao de treliça
Vc0 Valor de referência para Vc, quando ϴ = 45º
Vd Esforço cortante de cálculo
Vd,eq Esforço cortante equivalente
Vd,total Esforço cortante de cálculo total
VRd2 Força cortante resistente de cálculo, relativa à ruina das diagonais
comprimidas de concreto
Vs Parcela resistente de esforço cortante pela armadura transversal
Vsw Parcela resistente de esforço cortante pela armadura transversal
w Carregamento distribuído solicitante
X1 Altura da linha neutra no lado de menor altura
X2 Altura da linha neutra no lado de maior altura
αv2 Fator de efetividade
ΔFc Diferença de força entre banzos comprimidos
ΔX Diferença de altura entre linhas neutras
φc Fator de redução de resistência do concreto
γc Coeficiente de ponderação da resistência do concreto
γn Coeficiente de ajustamento
γn1 Primeira parcela do coeficiente de ajustamento
γn2 Segunda parcela do coeficiente de ajustamento
γs Coeficiente de ponderação da resistência do aço
λ Fator de modificação da resistência do concreto devido à densidade
dos agregados
σ,nó Tensão de compressão atuante em nó
τ,lim Tensão de cisalhamento limite
τSd Tensão de cisalhamento solicitante
18
CAPÍTULO 1 – INTRODUÇÃO
1.1 – Tema e motivação
O uso de softwares para auxiliar na elaboração do projeto estrutural se estabeleceu nas
últimas décadas destacando-se pela sua praticidade e rapidez, aumentando assim a
produtividade dos engenheiros. A complexidade das estruturas, o enorme número de
combinações de ações e até as próprias exigências normativas fazem com que seja impensável
o projeto estrutural sem o auxílio de ferramentas numéricas. Com os softwares, todos os
cálculos e análises complexas que são inviáveis de serem feitos manualmente podem ser
realizados com extrema rapidez e isso, por sua vez, pode criar a ilusão de que não há
necessidade de se conhecer a fundo o problema.
São conhecidos da comunidade de engenharia acidentes e problemas estruturais devido
ao mau uso de softwares; dito isso, é importante analisar com cuidado os resultados obtidos e
estudar melhor seu funcionamento. É evidente que, quando se trata de problemas comuns de
engenharia, os softwares já têm seu método de cálculo bem consolidado, embora isso não exclua
a possibilidade de erros e a necessidade de verificações. Quando se trata dos casos, aqui
chamados de especiais, o tratamento dado ao problema pela ferramenta e os resultados obtidos
devem ser cuidadosamente analisados através dos métodos adequados, bibliografias
consagradas e experiências já consolidadas no meio profissional.
As estruturas de concreto armado devem ser projetadas de forma a atenderem requisitos
de capacidade resistente, desempenho em serviço e durabilidade. Para que estes requisitos
sejam atendidos, os métodos de análise e dimensionamento devem ser adaptados para
representar um comportamento próximo ao real, a fim de garantir o bom desempenho da
edificação frente às solicitações externas. O detalhamento correto dos elementos estruturais
também é de fundamental importância para que as premissas de cálculo sejam realmente
verdadeiras e o elemento se comporte como foi projetado.
No projeto estrutural, dentre as hipóteses básicas adotadas, a hipótese de Bernoulli ou
hipótese das seções planas, é a de que a seção transversal de uma viga permanece plana e normal
ao eixo da viga após a deformação por flexão. No entanto, em certos casos de elementos
19
estruturais, essa hipótese não mais representa o comportamento real e passam a ser
denominados como especiais. Um método ainda aproximado para análise desses casos, porém
mais adequado e recomendado por normas nacionais e internacionais, é o Método de Bielas e
Tirantes, cujos fundamentos teóricos serão expostos neste trabalho.
Os softwares geralmente realizam análise estrutural através de elementos de barras que
representam o eixo longitudinal dos elementos estruturais, e o dimensionamento por métodos
simplificados a partir dos esforços internos obtidos nessa análise. Já o Método de Bielas e
Tirantes, considera a análise e a verificação dos elementos a partir de um arranjo de barras
idealizado, formado por barras comprimidas e tracionadas, que representa o fluxo interno de
tensões no elemento. Serão tratados neste trabalho os seguintes casos especiais de detalhamento
e dimensionamento de estruturas de concreto armado: vigas com apoios indiretos e vigas com
mudança brusca de seção.
Os apoios indiretos das vigas geralmente ocorrem quando, na etapa de lançamento
estrutural do projeto, surge a necessidade de apoiar vigas em outras vigas, criando assim a
situação de apoio indireto (Figura 1). Nessa situação, deve ser disposta uma armadura especial
composta por estribos distribuídos no entorno da região de cruzamento que têm a função de
suspender a reação de apoio, transmitida pela biela de compressão da viga apoiada, para o banzo
superior da viga que serve de apoio (Figura 2). Essa armadura é denominada armadura de
suspensão.
Figura 1 – Laje de piscina apoiada sobre
vigas com apoios indiretos.
Fonte: foto tirada pelo autor (2017).
20
Figura 2 – Apoio indireto.
Fonte: Bastos (2015).
A existência de desníveis e a necessidade de compatibilizar a estrutura de concreto
armado com o projeto arquitetônico podem exigir variações bruscas nas seções transversais no
vão de vigas, criando uma descontinuidade geométrica. Em estruturas de concreto pré-
fabricado, que envolve etapas complexas de fabricação e transporte, o uso de geometrias não
usuais também é possível a fim de facilitar a aplicação (Figura 3). Devido a essa
descontinuidade na geometria, o fluxo de tensões se torna complexo e passam a existir
concentrações de tensões no canto reentrante. Dessa forma, outros métodos de
dimensionamento e prescrições de detalhamento especiais devem ser aplicados na região.
Figura 3 – Viga pré-moldada com variação de altura.
Fonte: foto tirada pelo autor (2017).
21
1.2 – Objetivos
1.2.1 – Objetivo Geral
Os casos de apoios indiretos entre vigas e vigas com mudança brusca de seção são pouco
estudados durante a graduação e a bibliografia por vezes é escassa ou existe muita divergência
entre os autores, de forma que este trabalho tem como objetivo inicial expor a teoria por trás
desses casos, a fim de sintetizar os principais trabalhos e conhecimentos sobre os temas. Com
base na exposição teórica, será feita uma avaliação do dimensionamento e detalhamento desses
casos especiais através dos resultados obtidos a partir da modelagem computacional nos
principais softwares brasileiros utilizados pelos engenheiros civis no mercado de projetos
estruturais, CAD/TQS V20.1 e AltoQi Eberick V10. Para os casos de mudança brusca de seção,
também é utilizado o software SECAOVIG para fins de comparação de resultados.
1.2.2 – Objetivos específicos
- Estudar a teoria acerca da temática abordada, de forma a fundamentar as considerações
e críticas que serão feitas;
- Verificar a influência das diferentes situações de apoios indiretos no dimensionamento
e detalhamento da armadura de suspensão realizados pelos softwares através da análise de casos
com rebaixos e vigas de diferentes alturas;
- Verificar a influência da posição e de diferentes variações bruscas de altura no
dimensionamento e detalhamento realizados pelos softwares;
- Entender o funcionamento dos softwares e o procedimento utilizado, além de comparar
os resultados emitidos com o que se esperaria através de uma resolução manual do problema
através de modelos e métodos de cálculo propostos por diferentes autores;
- Avaliar se o detalhamento e dimensionamento realizados pelos softwares estão de
acordo com as normas vigentes e as boas práticas de projeto.
22
1.3 – Estrutura do trabalho
Essa monografia é composta por cinco capítulos, sendo o Capítulo 1 onde são
apresentadas as considerações iniciais, os objetivos, a justificativa e uma pequena introdução
às referências que foram utilizadas.
O Capítulo 2 apresenta uma introdução às regiões especiais, referências importantes
sobre o tema e recomendações da principal norma brasileira de projeto de estruturas de concreto
armado, a NBR 6118:2014. No capítulo também é feita uma breve introdução ao Método de
Bielas e Tirantes.
O Capítulo 3 foca em uma das regiões especiais que são abordadas neste trabalho, os
apoios indiretos. São apresentadas as principais referências encontradas e também é
apresentada a metodologia que será utilizada para análise dos problemas nos softwares, bem
como os resultados e as discussões.
No Capítulo 4 são abordadas vigas com mudança brusca de seção, onde também são
apresentadas as principais referências encontradas, a metodologia dos estudos de caso, além
dos resultados e discussões. Neste capítulo também consta a elaboração de um modelo biela-
tirante para verificação dos resultados.
O Capítulo 5 trata das considerações finais sobre o trabalho e sugestões para trabalhos
futuros.
1.4 – Referências bibliográficas
Quando se trata dos elementos e regiões especiais, embora comuns nos projetos
estruturais e suas definições sejam relativamente antigas, as normas nacionais ou internacionais
ainda são bastante omissas em relação a esse assunto. A principal norma brasileira de projeto
NBR 6118:2014 e as principais normas internacionais não abordam todos os casos especiais e
quando abordam, o fazem de forma sucinta. As normas geralmente estabelecem limites para
tensões, mas não explicitam como as verificações devem ser feitas. A falta de critérios e
explicações normatizadas contribui de certa forma para o menor interesse na aplicação e no
estudo do tema para práticas de projeto.
As principais fontes de referência utilizadas para o estudo deste tema devem ser artigos
ou trabalhos acadêmicos, como dissertações de mestrado ou teses de doutorado. Como
mencionado, é um tema que é estudado há muito tempo e vários autores estabeleceram critérios
23
e modelos de projeto bem embasados em resultados experimentais, como Schlaich et al. (1987)
e Schlaich e Schäfer (1991). É válido também citar Silva e Giongo (2000), livro que trata sobre
a análise das regiões e elementos especiais através do Método de Bielas e Tirantes.
Em relação à situação de apoios indiretos em vigas, alguns livros de concreto armado
apresentam o conceito da armadura de suspensão, mas não se aprofundam na origem dessa
necessidade e nem nas prescrições de detalhamento recomendadas. A norma brasileira
NBR 6118:2014 é muito breve e recomenda apenas que deve se dispor dessa armadura em
certas situações. A norma europeia BS EN 1992-1-1:2004, mais conhecida como Eurocode 2,
aborda essa questão e traz prescrições de dimensionamento e detalhamento. A norma canadense
CSA A23.3-14 já é mais completa e especifica alguns critérios também de detalhamento e
dimensionamento, além de algumas outras verificações.
Experimentos de Mattock e Shen (1992) e Mattock e Kumar (1992) se destacaram em
comprovar a influência da armadura de suspensão na capacidade resistente das vigas nas
situações de apoio indireto, além do detalhamento mais adequado. Ribeiro (1999) realizou
experimentos em vigas de concreto de alta resistência com a intenção de avaliar o detalhamento
mais adequado para a armadura de suspensão.
Quando se trata de vigas com mudança brusca de seção no vão, são poucos os trabalhos
que abordam esse assunto. Não foi encontrada nenhuma norma que recomendasse
procedimentos de projeto ou algum modelo a ser seguido. A NBR 6118:2014 caracteriza esse
tipo de viga como uma região especial, mas não faz maiores recomendações para o cálculo.
Souza (1999) faz analogias entre o comportamento desse tipo de viga e o comportamento de
dentes Gerber e esta é a linha seguida neste trabalho. Souza (1999) também realizou
experimentos neste tipo de viga e seus resultados são relatados em parte aqui neste presente
trabalho.
Os softwares, de forma geral, não abordam esse tipo de viga de maneira especial, apenas
aplicam alguns critérios estabelecidos pela literatura, e a única ferramenta encontrada e
específica para este fim, foi o aplicativo SECAOVIG. Este último realiza a análise dessas vigas
através de um modelo de bielas e tirantes, procedimento mais adequado aos olhos da
normatização brasileira.
24
CAPÍTULO 2 – REGIÕES E ELEMENTOS ESPECIAIS
2.1 – Introdução
A NBR 6118:2014, na seção 21, define as regiões especiais como “regiões dos
elementos estruturais em que, na análise de seu comportamento estrutural, não seja aplicável a
hipótese das seções planas, ou seja, quando se apresentar na estrutura uma distribuição não
linear de deformações específicas. Estas regiões ficam caracterizadas quando se apresentar na
estrutura descontinuidades bruscas de geometria ou dos carregamentos aplicados”. A norma
ainda afirma que “os elementos estruturais, que devido a sua forma ou proporções, caracterizam
uma descontinuidade como um todo, são chamados de elementos especiais”.
A norma também esclarece que, tendo em vista a existência de regiões especiais na
estrutura, pode-se subdividir os elementos estruturais em duas regiões: B e D. As regiões B de
um elemento são aquelas em que a hipótese básica das seções planas é válida. As regiões D são
aquelas em que a distribuição linear de deformações específicas na seção transversal não pode
mais ser admita e a hipótese das seções planas não é válida, caracterizando uma região especial
ou de descontinuidade.
Conforme o princípio de Saint-Venant, há uma região definida por dimensões da mesma
ordem de grandeza da seção transversal do elemento carregado, na qual se processa a
regularização de tensões a partir da descontinuidade. Partindo deste princípio, pode-se delimitar
as regiões D considerando-se, a partir das descontinuidades geométricas ou estáticas, distâncias
iguais à altura das regiões B adjacentes (SILVA e GIONGO, 2000).
A NBR 6118:2014, no item 22.2, ilustra situações comuns de regiões D devido aos
diferentes tipos de descontinuidades (Figura 4):
a) Descontinuidade geométrica;
b) Descontinuidade estática;
c) Descontinuidade geométrica e estática.
25
Figura 4 – Exemplos comuns de regiões com descontinuidades.
Fonte: NBR 6118:2014.
No item 22.2 da norma é exigido que, devido à responsabilidade dos elementos especiais
na estrutura, deve-se majorar as solicitações de cálculo por um coeficiente adicional de
ajustamento γn, definido no item 5.3.3 da NBR 8681:2004:
γn = γn1 ∙ γn2
γn1 ≤ 1,2 em função da ductilidade de uma eventual ruína;
γn2 ≤ 1,2 em função da gravidade das consequências de uma eventual ruína.
Tanto os elementos especiais como as regiões especiais devem ser projetados
considerando as prescrições da seção 22. Segundo a NBR 6118:2014, a análise das regiões de
descontinuidade no estado-limite último pode ser feita através de uma treliça idealizada
composta por bielas, tirantes e nós. A análise das estruturas através desta treliça é chamada de
Método de Bielas e Tirantes e as prescrições de projeto são observadas na seção 22.3.
26
2.2 – Método de Bielas e Tirantes
A idealização de um modelo de treliça para estruturas de concreto armado não é recente.
O modelo de treliça clássica de Ritter-Mörsh e a treliça generalizada, ambos utilizados no
dimensionamento de vigas ao esforço cortante, são exemplos de idealizações de treliça para
estruturas de concreto armado.
O método de bielas e tirantes é uma representação discreta dos campos de tensão dos
elementos estruturais de concreto armado através de barras comprimidas e tracionadas. As
barras comprimidas, denominadas bielas, são idealizações dos campos de tensão de compressão
no concreto, e as barras tracionadas, denominadas tirantes, idealizações dos campos de tensão
de tração que podem ser absorvidos por uma ou várias camadas de armaduras ou pelo concreto
em alguns casos específicos. Os nós são definidos como volumes de concreto que envolvem a
interseção entre bielas e tirantes (SILVA e GIONGO, 2000). Na Figura 5, as linhas tracejadas
em negrito representam as bielas e a linha contínua o tirante da treliça.
Figura 5 – Trajetórias elásticas de tensões e
modelo biela-tirante.
Fonte: adaptada de Schlaich e Schäfer (1991).
Ainda segundo Silva e Giongo (2000), os elementos com descontinuidades são de igual
importância para o comportamento e segurança da estrutura em relação às outras partes,
portanto, não se justifica projetá-los por processos aproximados, enquanto o restante da
estrutura é projetado com maior exatidão. Deve-se buscar um conceito de projeto que seja
adequado para todas as partes da estrutura. O método de bielas e tirantes permite o
27
dimensionamento das regiões e elementos especiais de maneira sistemática e possibilita o
entendimento do comportamento da estrutura através do seu fluxo interno de tensões.
Se um modelo de treliça adequado para a região D é conhecido, as forças nas bielas e
tirantes serão calculadas satisfazendo o equilíbrio entre as forças solicitantes e esforços
internos. Este método implica que a estrutura é dimensionada de acordo com o Teorema do
Limite Inferior da Teoria da Plasticidade. No entanto, como o concreto permite apenas
deformações plásticas limitadas, o modelo de bielas e tirantes deve ser escolhido de forma que
a capacidade de deformação não seja excedida em nenhum ponto antes que o estado de tensões
assumido seja atingido em toda a estrutura (SCHLAICH e SCHÄFER, 1991).
Segundo Silva e Giongo (2000), a geometria do modelo de bielas e tirantes a ser adotado
para análise do elemento estrutural é influenciada pelos seguintes aspectos:
- Tipos de ações atuantes;
- Ângulos entre bielas e tirantes;
- Área de aplicação das ações e reações;
- Número de camadas de armadura;
- Cobrimento das armaduras.
Os ângulos entre as bielas e os tirantes podem ser determinados através da distribuição
de tensões elásticas produzidas pelas ações solicitantes. As dimensões das bielas e nós para
verificação dependem da área de aplicação das ações e reações, das camadas e do cobrimento
de armaduras. Silva e Giongo (2000) propõem o seguinte procedimento para aplicação do
método nas regiões e elementos especiais:
1) Divisão da estrutura em regiões B e D (Figura 6);
2) Isolar a região D;
3) Determinar os esforços solicitantes no contorno da região D;
4) Processo do caminho das cargas ou métodos numéricos para determinação do
modelo;
5) Dimensionamento dos Tirantes;
6) Verificação das tensões nas bielas e nós;
7) Tipo e comprimento de ancoragem;
8) Detalhamento dos tirantes e armaduras secundárias.
28
Figura 6 – Divisão da estrutura em regiões B e D.
Fonte: Silva e Giongo (2000).
O processo do caminho das cargas representa uma forma simples e sistemática de
obtenção do fluxo de tensões nas regiões de descontinuidade (Figura 7). O procedimento para
encontrar o modelo a ser utilizado e aplicar o método de bielas e tirantes é sistematizado a
seguir, conforme Silva e Giongo (2000):
1) Determinar as ações solicitantes no contorno da região D (reações de apoio, esforços
internos, solicitações etc.). Ações distribuídas são consideradas através de forças
concentradas equivalentes;
2) As ações de um lado da estrutura devem percorrer um determinado caminho de carga
de forma que sejam equilibradas por ações no lado oposto;
3) Esses caminhos de carga devem ser alinhados e não podem se interceptar, além de
serem os mais curtos possíveis;
4) Acrescentar bielas e tirantes secundários para equilibrar os nós.
29
Figura 7 – Representação do processo do caminho
das cargas.
Fonte: Silva e Giongo (2000).
A NBR 6118:2014 determina que as bielas tenham ângulo de inclinação cuja tangente
esteja entre 0,57 e 2, aproximadamente 29,7° e 63,4°. Para Fusco (2013) as bielas ainda podem
se formar com inclinações da ordem de 18,4°, no entanto isto deve ser evitado, pois estas
inclinações são obtidas à custa de intensa fissuração da peça. O mínimo absoluto para os
ângulos deve ser tomado como o recomendado pela norma e abaixo disso, o problema deve ser
tratado como um caso de flexão com cisalhamento.
Segundo Schlaich e Schäfer (1991) podem surgir vários caminhos de carga possíveis e
dúvidas com relação ao modelo mais adequado para o elemento em questão. É preciso analisar
que as cargas irão utilizar o caminho de menores forças e deformações e, uma vez que os tirantes
são mais deformáveis que as bielas, o modelo com menos e menores tirantes é o mais adequado.
Schäfer (1999a) recomenda que as bielas e tirantes sejam orientados através do fluxo de
tensões elásticas para evitar incompatibilidades e adaptar o modelo ao verdadeiro
comportamento da estrutura. O direcionamento destas tensões pode ser obtido através da análise
do problema por elementos finitos. Antes do colapso, a estrutura irá se adaptar ao modelo
escolhido para dimensionamento. Se um modelo é orientado pelas tensões elásticas, as
deformações plásticas necessárias para a redistribuição dos esforços serão facilmente toleradas
pelo material e serão de ordem de grandeza similar à deformação de uma análise linear elástica
com elementos finitos. Além disso, modelos que não são orientados pelas tensões elásticas são
suscetíveis à grandes fissurações em serviço.
30
2.2.1 – Dimensionamento dos tirantes
Com a determinação do modelo, é necessário dimensionar as armaduras que irão
constituir os tirantes. Uma vez que o modelo é influenciado pelo posicionamento e distribuição
da armadura, e a força no tirante por sua vez depende do modelo, isso muitas vezes pode
constituir um procedimento iterativo, que deve se repetir até ser observada a convergência dos
resultados. O cálculo da armadura é realizado a partir da força atuante no tirante do modelo e
é definido no item 22.3.3 da NBR 6118:2014:
As,sus = Fsd
fyd (Equação 1)
Onde:
fyd = fyk
γs;
Fsd é o valor da força de tração de cálculo no tirante;
fyd é a resistência de cálculo ao escoamento do aço;
fyk é a resistência característica ao escoamento do aço;
γs é o coeficiente de ponderação da resistência do aço.
A norma também traz prescrições sobre detalhamento e armaduras secundárias para
alguns tipos de elementos e regiões especiais. No entanto, para as regiões especiais estudadas
neste trabalho a norma é breve ou não apresenta considerações sobre as armaduras secundárias.
A norma canadense CSA A23.3-14, no item 11.4.5, exige que todos os elementos
dimensionados através do método de bielas e tirantes tenham uma malha ortogonal de armadura
em cada face. A taxa de armadura da malha não deve ser inferior a 0,2% área da seção
transversal em cada direção e o espaçamento não deve exceder 30cm. Se a malha estiver
localizada dentro de um trecho em que existe um tirante do modelo, também poder ser
considerada como armadura resistente.
31
2.2.2 – Verificação de bielas e nós
A verificação das bielas deve ser feita através da comparação entre a tensão solicitante
na sua seção devido à força obtida no modelo biela-tirante adotado e as tensões limites
preconizadas pela norma. Caso os limites não sejam atendidos, deve-se procurar aumentar a
resistência característica do concreto, aumentar a seção transversal das bielas ou até mesmo
mudar o modelo utilizado na análise. É possível também armar as bielas como se fossem pilares,
embora geralmente seja mais vantajoso se valer das outras alternativas. Os nós são verificados
de forma análoga, através da tensão atuante em sua superfície.
Schlaich e Schäfer (1991) apresentam três tipos de configurações para as bielas e
afirmam que são suficientes para cobrir os diferentes campos de tensões de compressão
(Figura 8):
a) Biela em leque (“fan-shaped”): é a idealização de um campo de tensão com curvatura
desprezível e que não desenvolve tensões transversais de tração;
b) Biela em garrafa (“bottle-shaped”): tipo de biela que possui a distribuição de tensão
em linhas abauladas e curvas e que desenvolve tensões transversais de compressão no
“pescoço” da garrafa e depois tensões de tração consideráveis;
c) Biela prismática (“parallel”): campo de tensão que se distribui uniformemente, sem
perturbação, e que não produz tensões transversais de tração.
Figura 8 – Diferentes formas para os campos de tensão de compressão.
Fonte: adaptada de Schlaich e Schäfer (1991).
32
Segundo Silva e Giongo (2000), a resistência do concreto nas bielas depende do estado
multiaxial de tensões e das perturbações causadas pelas fissuras. A compressão transversal é
favorável, principalmente se ocorre em ambas as direções transversais à aplicação das cargas,
sendo este o caso das regiões confinadas, quando existe um volume considerável de concreto
envolvendo o campo de tensões ou armaduras transversais. Devido à fissuração, as tensões
transversais de tração são prejudiciais, podendo conduzir à ruptura do concreto com tensões
inferiores à sua resistência à compressão de projeto.
Ainda segundo Silva e Giongo (2000), enquanto as bielas possuem uma geometria
aproximadamente definida, os nós são idealizações da realidade. Eles representam uma
mudança brusca na direção das forças, enquanto na verdade essa mudança ocorre
gradativamente em um certo comprimento. Os nós são classificados em singulares e contínuos.
Nós singulares são aqueles de pontos de aplicação de forças concentradas e onde há desvios
localizados de forças. Nós contínuos são aqueles em que os desvios de forças são feitos
gradativamente em um certo comprimento.
Os nós contínuos não são críticos e, portanto, é suficiente garantir a ancoragem das
armaduras de tração e alcançar as fibras mais externas dos campos de tensão de compressão
com a armadura. Por outro lado, nos pontos de aplicação de forças concentradas, os nós
singulares precisam ser cuidadosamente verificados através das forças que chegam, para evitar
deformações excessivas e fissuração elevada (SCHLAICH e SCHÄFER, 1991).
Os parâmetros de resistência de cálculo das bielas e nós variam entre as normas dos
diferentes países e alguns autores também propõem seus próprios valores. A seguir, serão
expostos os parâmetros de resistência considerados pela norma brasileira NBR 6118:2014 para
as bielas e nós no item 22.3.2:
- fcd1: tensão resistente máxima no concreto, em verificações pelo método de bielas e
tirantes, em regiões com tensões de compressão transversal ou sem tensões de tração transversal
e em nós onde confluem somente bielas de compressão (nós CCC):
fcd1 = 0,85 ∙ αv2 ∙ fcd (Equação 2)
- fcd2: tensão resistente máxima no concreto, em verificações pelo método de bielas e
tirantes, em regiões com tensões de tração transversal (bielas atravessadas por mais de um
tirante) e em nós onde confluem dois ou mais tirantes tracionados (nós CTT ou TTT):
33
fcd2 = 0,60 ∙ αv2 ∙ fcd (Equação 3)
- fcd3: tensão resistente máxima no concreto, em verificações pelo método de bielas e
tirantes, para bielas atravessadas por tirante único ou para nós onde conflui um tirante (nós
CCT):
fcd3 = 0,72 ∙ αv2 ∙ fcd (Equação 4)
Onde:
αv2 = [1 - fck
250] (fck em MPa);
fcd = fck
γc;
fcd é a resistência de cálculo à compressão do concreto;
fck é a resistência característica à compressão do concreto;
γc é o coeficiente de ponderação da resistência do concreto.
34
CAPÍTULO 3 – VIGAS COM APOIO INDIRETO
3.1 – Introdução
Durante a etapa de lançamento estrutural é necessário dispor as vigas e pilares de forma
que a arquitetura seja respeitada e a estrutura tenha um bom comportamento frente às
solicitações externas. Por vezes, as necessidades arquitetônicas e estruturais exigem que vigas
se apoiem em outras vigas, criando assim uma situação de apoio indireto e a necessidade de
cuidados especiais de projeto na região.
Segundo Bastos (2015), os apoios das vigas nas estruturas usuais de concreto armado
são geralmente vigas e pilares, com a predominância do apoio em pilares. Quando o apoio é um
pilar é denominado “apoio direto” e, quando o apoio é uma viga é denominado “apoio indireto”.
As vigas de concreto armado transmitem as cargas aos apoios por meio das bielas de
compressão para a face inferior da viga e, na analogia de treliça feita com as vigas, o
carregamento é recebido pela face superior. Daí vem a necessidade de “levantar” a carga para
a parte de cima nas situações de apoio indireto.
As armaduras de vigas de concreto armado submetidas à flexão simples devem obedecer
simultaneamente aos requisitos decorrentes de momentos fletores e de esforços cortantes, sendo
eles o comportamento de viga e o comportamento idealizado de treliça, respectivamente.
Quando uma viga é submetida a uma carga transversal e atinge um estado elevado de fissuração,
seu comportamento estrutural passa a se assemelhar ao das treliças: as bielas diagonais
delimitadas pelas fissuras formam as diagonais comprimidas e a armadura transversal forma os
montantes da treliça, sendo tracionados (Figura 9), conforme Fusco (2008). Deve ser feita ainda
a compatibilização dos dois comportamentos, através da decalagem do diagrama de momentos
fletores, cuja as especificações normativas são encontradas no item 17.4.2 da NBR 6118:2014.
35
Figura 9 – Transição do comportamento de viga
para o de treliça.
Fonte: adaptada de Fusco (2008).
Fusco (2013) explica que o comportamento de treliça após a fissuração das vigas de
concreto armado faz com que a carga aplicada por uma viga em seu apoio seja transmitida pelas
bielas de compressão e atue na face inferior dessa viga (Figura 10). O equilíbrio de esforços
internos da região de encontro entre vigas exige então uma armadura de suspensão, funcionando
como um tirante “interno” que levanta a reação de apoio ao banzo superior da viga de suporte
(Figura 11).
Figura 10 – Falta de suporte para as diagonais comprimidas.
Fonte: adaptada de THOMAZ (s.d).
36
Figura 11 – Tirante “interno” necessário para equilibrar
o modelo de treliça.
Fonte: adaptada de Thomaz (s.d).
A norma NBR 6118:2014 aborda a necessidade de armadura de suspensão de forma
breve, no item 18.3.6: “Nas proximidades de cargas concentradas transmitidas à viga por outras
vigas ou elementos discretos que nela se apoiem ao longo ou em parte de sua altura, ou fiquem
nela pendurados, deve ser colocada armadura de suspensão”. O cálculo da armadura de
suspensão (As,sus) se dá, inicialmente, com o equilíbrio do nó de encontro das vigas, onde
determina-se qual viga funciona como apoiada e a reação de apoio a ser suspendida pelo tirante.
O dimensionamento, então, é feito de acordo com a Equação 1, apresentada na seção anterior,
onde a força no tirante passa a ser a reação de apoio:
As,sus = Rd
fyd (Equação 5)
Onde:
Rd é a reação de apoio a ser suspendida;
Fusco (2013) propõe uma redução da força a suspender, quando a viga apoiada for
menor que a viga suporte e suas faces superiores estiverem no mesmo nível:
As,sus = Rd
fyd ∙
hI
hII (Equação 6)
37
Onde:
hI é a altura da viga apoiada;
hII é a altura da viga apoio.
A redução na força de cálculo da armadura de suspensão é possível, pois segundo
Mattock e Shen (1992), no modelo de treliça para vigas de diferentes alturas, porém com faces
superiores coincidentes, parte da reação é transmitida diretamente por ação de bielas para a
treliça da viga apoio e o restante é suspendido pelo tirante vertical (Figura 12).
Figura 12 – Modelo de treliça para vigas de diferentes alturas
Fonte: adaptada de Mattock e Shen (1992).
Ainda segundo Mattock e Shen (1992), se a armadura de suspensão não é corretamente
dimensionada e detalhada na região de encontro entre as vigas, falhas prematuras por
cisalhamento e por escoamento da armadura longitudinal podem ocorrer. O escoamento
prematuro da armadura longitudinal é causado por uma tração adicional devido aos esforços
cortantes na armadura, além da tração devido ao momento fletor. Essa tensão adicional na
armadura é causada pela componente horizontal das bielas inclinadas de concreto.
Ao lado de um apoio indireto, as bielas terão inclinação constante e a tensão adicional
máxima na armadura ocorrerá na face do apoio. No caso de apoio direto, as fissuras vão irradiar
a partir do suporte em forma de um “leque”. Neste último caso, a componente horizontal devido
ao cisalhamento vai diminuir a medida que a inclinação das fissuras aumenta (Figura 13)
chegando a zero na face do apoio, e a força resultante na armadura resultará apenas do momento
fletor (MATTOCK e SHEN, 1992).
38
Figura 13 – Fissuração em apoio direto.
Fonte: Mattock e Kumar (1992).
Fusco (2013) sugere que a zona ideal para dispor a armadura de suspensão é a própria
região de cruzamento das vigas, no entanto é preciso manter as boas condições de concretagem
da região, de forma que pode ser colocada na vizinhança, o mais próximo possível deste
cruzamento. Leonhardt e Mönnig (1978), fundamentados em ensaios experimentais realizados
em vigas protendidas, sugerem a disposição mostrada na Figura 14, em que dI e dII representam
a altura das vigas, que no presente trabalho estão sendo consideradas pela variável “h”, pois foi
verificado que na região assinalada as tensões solicitantes nos estribos foram maiores
(Figura 15).
Figura 14 – Região para disposição da armadura de
suspensão.
Fonte: adaptada de Leonhardt e Mönnig (1978).
39
Figura 15 – Variação da força nos estribos em experimentos.
Fonte: Thomaz (s.d).
A partir da Figura 15, pode-se ver que os limites d/2 representam uma região em que os
estribos já não são tão solicitados, pois ocorre uma redução brusca da solicitação. Isso reforça
a ideia de que a armadura de suspensão ideal deve ser a mais concentrada possível na região de
intersecção.
A armadura longitudinal do banzo inferior da viga apoiada deve ser disposta sobre a
armadura do banzo inferior da viga apoio e, no banzo superior, o estribo deve ser ancorado na
armadura superior longitudinal através de ganchos, conforme Fusco (2013), na Figura 16.
Quando os comprimentos de ancoragem reto para a viga apoiada não são suficientes, Leonhardt
e Mönnig (1978) sugerem que os ganchos sejam colocados inclinados ou deitados com intuito
de reduzir a fissuração da região (Figura 17).
40
Figura 16 – Esquema de detalhamento proposto
para a região de encontro das vigas.
Fonte: Fusco (2013).
Figura 17 – Ganchos para ancoragem deitados.
Fonte: Leonhardt e Mönnig (1978).
Mattock e Shen (1992) apresentam o formato aproximado da superfície de ruptura que
se forma nos apoios indiretos (Figura 18a), e a partir dela pode-se entender porque os estribos
fora da região de intersecção das vigas contribuem para suspender a reação de apoio. De forma
indireta, os estribos adjacentes terminam por suspender parte da reação de apoio impedindo a
formação da superfície de ruptura. No entanto, se a viga suporte possui alta rigidez à torção, a
presença do momento fletor modifica a superfície de ruptura (Figura 18b) de forma que apenas
os estribos próximos a interface de encontro das vigas funcionam como armadura de suspensão.
Particularmente, as vigas usuais de concreto armado não possuem alta rigidez à torção,
no entanto, isso pode representar um problema no caso de apoios indiretos próximos à pilares,
onde o trecho curto pode possuir alta rigidez à torção, e também na situação em que um apoio
intermediário é uma viga. Para o primeiro caso, isso significa que também pode ser necessário
verificar a capacidade de adaptação plástica do trecho curto, de acordo com o item 17.5.1.2 da
NBR 6118:2014.
41
Figura 18 – Superfície de ruptura em apoios indiretos.
Fonte: adaptada de Mattock e Shen (1992).
Uma vez que a região de distribuição da armadura transversal envolve ambas as vigas,
é necessário dividir a área de aço calculada a partir das Equações 5 ou 6 entre as duas vigas.
Bastos (2015) sugere três situações diferentes de apoios, mostrados na Figura 19. Nos casos (a)
e (b), 30% da armadura de suspensão deve ser distribuída na viga apoiada e 70% na viga apoio
(Figura 20).
Figura 19 – Diferentes situações de apoio indireto.
Fonte: adaptada de Bastos (2015).
42
Figura 20 – Detalhamento proposto para os casos (a) e (b) de apoio
indireto.
Fonte: adaptada de Bastos (2015).
No caso (c), é sugerido distribuir 100% da armadura de suspensão na viga apoiada
dentro da largura da viga suporte e ancorando em sua face superior, com pequeno espaçamento
e respeitando as condições para boa concretagem da região, e distribuir uma armadura
transversal adicional, com valor de 50%As,sus na viga suporte (Figura 21). O autor ainda
comenta que essa situação de apoio indireto deve ser evitada ao máximo. Quando a viga apoiada
continua após o cruzamento, a distribuição de armadura é análoga e proposta por Thomaz (s.d),
na Figura 22.
Figura 21 – Detalhamento proposto para o caso (c) de apoio
indireto.
Fonte: adaptada de Bastos (2015).
43
Figura 22 – Detalhamento proposto de apoio
indireto onde a viga continua após cruzamento.
Fonte: adaptada de Thomaz (s.d).
Reineck (2010) explica que na distribuição dos estribos na interseção das vigas existem,
em princípio, duas opções, exibidas na Figura 23. Entretanto, apenas a distribuição (A),
seguindo os estribos da viga apoiada, é correta, pois promove o suporte contínuo para as bielas
de compressão da viga apoiada (Figura 24). A razão para isso pode ser entendida observando a
ancoragem da armadura de flexão da viga apoiada, pois as tensões de ancoragem levam a uma
diminuição contínua da força no banzo tracionado e isso está de acordo com a distribuição
constante das forças transversais de suspensão. Assim, o equilíbrio das componentes verticais
e horizontais da biela é satisfeito ao longo do comprimento de ancoragem, através da ancoragem
e das forças verticais de suspensão.
Figura 23 – Diferentes arranjos para região de intersecção entre vigas.
Fonte: Reineck (2010).
44
Figura 24 – Campos de tensão na viga apoiada.
Fonte: adaptada de Reineck (2010).
Reineck (2010) ressalta que o trecho de intersecção entre as vigas, não apenas necessita
de armadura de suspensão, mas também resulta em problemas de ancoragem da armadura
longitudinal da viga apoiada. As tensões transversais de tração têm influência desfavorável na
aderência das armaduras, e por isso é necessário um comprimento de ancoragem maior.
A BS EN 1992-1-1:2004 exige que nas situações de apoio indireto exista armadura
transversal necessária para suspender a totalidade da reação de apoio. Essa armadura deve ser
adicional a qualquer outra armadura transversal requisitada por outros motivos. Na região
comum entre as duas vigas, os estribos devem envolver a armadura longitudinal da viga apoio
e alguns podem ser dispostos fora dessa região, conforme Figura 25.
Figura 25 – Trecho de distribuição segundo norma
europeia.
Fonte: adaptada de BS EN 1992-1-1:2004.
45
A norma canadense CSA A23.3-14, no item 11.2.12, determina que na situação de apoio
entre vigas exista uma armadura transversal adicional dimensionada para (1 – hb/h1) vezes a
reação de apoio a ser transmitida (Figura 26). Neste caso, hb representa a diferença de nível
entre as faces inferiores das vigas, h1 a altura da viga apoio e h2 a altura da viga apoiada. A
armadura transversal extra, a ser colocada apenas na viga apoio, deve ser disposta no trecho
indicado na Figura 26, delimitado por planos inclinados de 45° que partem de uma altura igual
à hb + ¼h2. Caso a viga apoiada tenha a face inferior abaixo da face inferior da viga apoio, esses
critérios não são mais válidos e a norma exige que sejam verificados critérios de acordo com o
método de bielas e tirantes. A norma comenta que os critérios do item 11.2.12 podem ser
dispensados se atendidos dois requisitos:
- A interface da viga apoiada se estende até o topo da viga apoio;
- A tensão de cisalhamento na interface é menor do que τ,lim = 0,23 ∙ λ ∙ φc ∙ √fc'.
Onde:
λ é um fator de redução que depende da densidade do agregado do concreto;
φc é um fator de ponderação da resistência do concreto;
fc’ é a resistência característica do concreto adotada pela norma.
Figura 26 – Zona para disposição de armadura transversal adicional.
Fonte: adaptada de CSA A23.3-14.
Mattock e Shen (1992) sugerem uma verificação similar, onde a tensão cisalhante de
projeto deve ser menor do que 0,25√fc' MPa para se dispensar a armadura de suspensão. Os
46
autores explicam que essa verificação é baseada na ideia de que se uma fissuração diagonal
significante não se desenvolve, o comportamento de treliça não irá existir e a reação de apoio
será transmitida ao longo da interface de encontro, o que teoricamente dispensaria a necessidade
de armadura de suspensão. O fator 0,25√fc' seria equivalente ao Vc, preconizado pela NBR
6118:2014, que representa os mecanismos complementares de resistência à tração diagonal. No
entanto o fc’ é diferente e mais conservador do que o fck. Equações de correlação entre esses
dois valores podem ser encontradas em Souza e Bittencourt (2003).
Os autores realizaram experimentos para avaliar a efetividade da armadura de suspensão
em situações em que a viga apoiada não continua após o cruzamento e possui a mesma altura
da viga apoio. A estrutura avaliada constituía-se de uma grelha em formato de “E” (Figura 27),
onde a viga apoio possuía rigidez à torção relativamente alta, de forma a criar um momento
negativo na viga apoiada na região de encontro. Um carregamento concentrado foi aplicado
através de um braço de alavanca, e o ponto de momento nulo ocorre exatamente abaixo da
aplicação da carga. Esse arranjo de carregamento impede transmissão direta das bielas da carga
concentrada para o apoio indireto, o que poderia acontecer se a carga fosse aplicada diretamente
na viga.
Figura 27 – Estrutura utilizada para ensaio.
Fonte: adaptada de Mattock e Shen (1992).
Foram avaliados cinco modelos variando-se a disposição da armadura de suspensão, os
esforços cortantes solicitantes e o momento máximo resistente da seção. Os Modelos 1, 2 e 3
possuíam armaduras de suspensão detalhadas próximas a interface de encontro das vigas e o
Modelo 5 possuía armadura de suspensão detalhada de forma semelhante ao que propõe
47
Leonhardt e Mönnig (1978), na Figura 14. O intuito do Modelo 5 é mostrar que, na presença de
um momento negativo atuante, a armadura de suspensão disposta na região de entorno do
encontro das vigas não é tão eficiente.
Os Modelos 1 e 4 foram submetidas a tensões de cisalhamento de 0,21√fc' MPa e mesmo
momento resistente, diferindo na presença ou não de armadura de suspensão, respectivamente.
O Modelo 2 possuía mesmo momento resistente, mas uma tensão cisalhante atuante de
0,83√fc' MPa e armadura de suspensão detalhada similar ao Modelo 1. O Modelo 3, possuía
também tensão cisalhante de 0,83√fc' MPa, porém um momento resistente duas vezes maior
que o dos modelos anteriores. O Modelo 5 possuía tensão cisalhante atuante de 0,66√fc' MPa e
momento resistente correspondente a essa tensão cisalhante.
Foi observado que os Modelos 1 e 4 se comportaram de forma similar e satisfatória,
comprovando a possibilidade de se dispensar armadura de suspensão para tensões de
cisalhamento inferiores a 0,25√fc' MPa. As fissuras por tração diagonal não foram bem
desenvolvidas nessas espécies. O comportamento esperado dos Modelos 2 e 3 foi atingido. Para
o Modelo 5, no entanto, o desempenho não foi satisfatório, pois ocorreu a ruptura prematura da
armadura longitudinal para apenas 66% do momento resistente calculado. A armadura de
suspensão não forneceu correto suporte para as bielas, de forma que a componente horizontal
causou um aumento da tensão na armadura, causando a ruptura prematura à flexão.
Nos Modelos 1, 2 e 3, a armadura de suspensão se comportou de forma eficiente,
atingindo o escoamento e suspendendo quase que a totalidade da reação de apoio transmitida.
No entanto, para o Modelo 5, apenas os estribos próximos a interface chegaram perto do
escoamento e a armadura de suspensão foi responsável por resistir a apenas 57% da reação de
apoio. Os ensaios comprovaram a eficiência da armadura de suspensão disposta próxima a
interface nas situações em que existe momento negativo e também a possibilidade de ruptura
prematura da armadura longitudinal quando a armadura de suspensão não é detalhada
corretamente.
Posteriormente, Mattock e Kumar (1992) avaliaram a influência das condições de apoio
e da presença de armadura de suspensão na variação de tensão nas armaduras longitudinais nos
trechos de momento negativo. Foram conduzidos ensaios experimentais em grelhas de vigas
em formato cruciforme (Figura 28), onde a viga apoiada continua após o cruzamento.
Extensômetros foram posicionados na armadura da viga apoiada em diferentes distâncias do
48
encontro das vigas de forma a medir as deformações na armadura. A aplicação de
carregamentos foi feita de forma semelhante ao observado em Mattock e Shen (1992).
Figura 28 – Estrutura utilizada para ensaio.
Fonte: adaptada de Mattock e Kumar (1992).
Foram ensaiados cinco modelos, sendo os Modelos 1, 2, 3 e 5 em formato cruciforme e
o Modelo 4 constituído por apenas uma viga e um apoio direto substituindo a Viga B
(Figura 29). O Modelo 5 foi testado para confirmar a possibilidade de redução da armadura de
suspensão quando a viga apoiada é menor do que a viga apoio e verificar as recomendações da
norma canadense de 1984, ainda recomendadas pela atual norma CSA A23.3-14.
Figura 29 – Modelos ensaiados (dimensões em polegadas1).
Fonte: adaptada de Mattock e Kumar (1992).
1 1 polegada = 2,54 centímetros
49
O Modelo 1 estava submetido a uma tensão de cisalhamento um pouco menor que
0,25√fc' MPa e dimensionado para um momento fletor correspondente ao esforço cortante que
gera essa tensão, além de não ter sido dimensionada armadura de suspensão. Os modelos
restantes foram submetidos a tensões da ordem de 0,83√fc' MPa, e um momento fletor resistente
igual ao do Modelo 1. Para o Modelo 2, não foi dimensionada armadura de suspensão, enquanto
que para o Modelo 3, foi dimensionada de acordo com a norma canadense. A armadura de
suspensão do Modelo 5 foi dimensionada aplicando-se o fator de redução dado pela razão entre
as alturas das vigas.
A força adicional na armadura foi calculada de duas formas, considerando inclinações
constantes de 45° para as bielas (curva “no fan”, nos gráficos), que seria equivalente a uma
situação de apoio indireto sem armadura de suspensão, e considerando inclinação variável
(curva “with fan”), que seria uma situação de apoio direto. A força adicional na armadura é
calculada através da Equação 7, obtida através das condições de equilíbrio de um trecho de viga
fissurada (Figura 30):
T = |Mny|
dv +
Vs + w ∙ dv ∙ cotθ
2 ∙ cotg θ (Equação 7)
Figura 30 – Forças atuantes entre as fissuras diagonais.
Fonte: Mattock e Kumar (1992).
Foi observado que no Modelo 2, onde o esforço cortante era elevado e o mecanismo de
treliça foi melhor desenvolvido, a tensão atuante na armadura na face do apoio resultou maior
do que a tensão que seria advinda apenas do momento fletor (curva M
dv ∙ As), indicando que houve
solicitações adicionais devido ao esforço cortante (Figura 31b). No entanto, a Equação 7
conseguiu prever razoavelmente a força observada experimentalmente neste caso. No Modelo
50
1, que não desenvolveu o mecanismo de treliça devido aos menores esforços cortantes, a tensão
máxima observada na armadura resultou muito próxima da tensão que seria advinda do
momento fletor, indicando que não houve solicitação adicional (Figura 31a).
Figura 31 – Gráficos “Tensão na Armadura × Distância do Apoio” para Modelos 1 e 2.
Fonte: adaptada de Mattock e Kumar (1992).
Para o Modelo 3, foi observado que a tensão medida na armadura resultou muito
próxima da tensão resultante devido ao momento fletor (Figura 32a), ao contrário do Modelo
2, que resultou maior. Para o Modelo 4, a tensão resultante resultou menor do que a calculada
pelo momento fletor (Figura 32b). Pôde-se concluir que a armadura de suspensão bem
detalhada e dimensionada faz com que o comportamento do apoio se aproxime ao de um apoio
direto e não existam tensões adicionais devido ao cisalhamento na armadura longitudinal.
O comportamento do Modelo 5 foi satisfatório, comprovando a possibilidade de se
reduzir a armadura de suspensão nas situações em que a viga apoiada é menor do que a viga
apoio e suas faces superiores são coincidentes. Os experimentos também comprovaram a
eficiência do detalhamento da armadura de suspensão proposto pela norma canadense.
51
Figura 32 – Gráficos “Tensão na Armadura × Distância do Apoio” para Modelos 3 e 4.
Fonte: adaptada de Mattock e Kumar (1992).
Os experimentos de Mattock e Kumar (1992), ao contrário de Mattock e Shen (1992),
representam uma situação mais corriqueira pois, uma vez que as vigas usuais não possuem alta
rigidez à torção, o momento negativo no apoio indireto seria mais provável na situação em que
a viga apoio representa um apoio intermediário. Dessa forma, se não for disposta armadura de
suspensão e a tensão de cisalhamento for superior a 0,25√fc' MPa, tanto o dimensionamento da
armadura transversal como o da armadura longitudinal considerando apenas o momento fletor
estariam contra a segurança.
A norma CSA A23.3-14 exige que a armadura longitudinal das vigas seja dimensionada
considerando as forças adicionais devido aos esforços cortantes, no entanto isso pode ser
desconsiderado se realizada a decalagem do diagrama de momentos fletores, preconizada
também pela NBR 6118:2014. Existe uma recomendação no item 11.3.9.4 – Compression fan
regions da norma canadense de que nas regiões adjacentes aos momentos máximos, a armadura
longitudinal não precisa ser dimensionada para forças maiores do que as advindas do momento
fletor, porém isso só é válido quando o apoio ou as forças são aplicadas no banzo comprimido,
como por exemplo um apoio direto com momento negativo. Essa recomendação corrobora com
Mattock e Shen (1992), haja vista que o leque de tensões nos apoios faz com que não existam
tensões adicionais na armadura.
Ensaios experimentais conduzidos por Ribeiro (1999), em vigas de concreto de alta
resistência, evidenciaram a necessidade de armadura de suspensão devido ao surgimento de
52
fissuras horizontais na viga apoio no trecho comum entre as vigas, indicando a presença de um
tirante vertical, e o pico de tensões que surgiu nos estribos próximos ao cruzamento. Os ensaios
mostraram que um arranjo de armadura de suspensão distribuída no entorno da região de
cruzamento não é tão eficiente quanto a armadura de suspensão situada no volume comum às
duas vigas, que apresentou o melhor panorama de fissuração.
Para o arranjo de armadura no entorno do cruzamento foi verificado que os estribos
presentes em trecho limitado à distância h/2 da intersecção foram os mais solicitados e
conseguiram suspender a totalidade da reação de apoio, confirmando a recomendação de
Leonhardt e Mönnig (1978), embora os estribos presentes no volume comum entre as vigas
tenham sido responsáveis pela maior parcela de suspensão (Figura 33). A armadura de
suspensão presente na viga apoio foi responsável por suspender 80% da reação e a armadura da
viga apoiada 20%, valores próximos à recomendação de Bastos (2015), que propõe 70% e 30%,
respectivamente.
Figura 33 – Gráfico da força nos estribos.
Fonte: Ribeiro (1999).
Dentre os trabalhos pesquisados, os autores divergem principalmente quanto a
necessidade ou não de se somar a área de aço da armadura de suspensão com a armadura
transversal de esforço cortante:
53
(i) Leonhardt e Mönnig (1978) cita que não há necessidade de armadura adicional
de cisalhamento na região de encontro das vigas e deve-se adotar o maior dos
dois valores entre a armadura de suspensão e a armadura de cisalhamento;
(ii) Thomaz (s.d) comenta que a armadura de suspensão deve ser somada aos
estribos de cisalhamento apenas na viga suporte, e na viga apoiada utiliza-se o
maior dos dois valores;
(iii) Bastos (2015) recomenda que a armadura de suspensão seja somada à armadura
de cisalhamento em ambas as vigas;
(iv) A norma BS EN 1992-1-1:2004 determina que a armadura de suspensão deve
ser adicional à armadura de cisalhamento, conforme já visto.
Em relação à armadura transversal mínima, definida no item 17.4.1.1.1 da
NBR 6118:2014, os autores não comentam se ela deve ser comparada à armadura de
cisalhamento e somada aos estribos de suspensão ou se deve ser comparada ao somatório das
duas armaduras.
Por fim, Fusco (2013) mostra os diferentes tipos de interações entre vigas e comenta
que a fissuração da região indica o arranjo a ser dado para a armadura de suspensão em cada
caso (Figura 34). O autor também comenta, sem mais detalhes, sobre a necessidade de se
colocar uma armadura suplementar horizontal em forma de grampos no caso de apoios indiretos
próximos a apoios diretos ou com a viga suporte em balanço (Figura 35).
Figura 34 – Diferentes tipos de interação entre vigas.
Fonte: Fusco (2013).
54
Figura 35 – Necessidade de armadura horizontal suplementar em apoios
indiretos.
Fonte: Fusco (2013).
A necessidade de armadura horizontal para cargas concentradas próximas a apoios
diretos pode estar associada à tendência das bielas de se subdividirem em bielas e tirantes
secundários quando as inclinações são muito altas. A situação exposta por Fusco (2013) mostra
essa necessidade para inclinações superiores a arctg (2) = 63,4°, sendo esta também a inclinação
limite superior determinada para as bielas pela NBR 6118:2014, a partir desse limite, a biela
tende se subdividir e passam a existir tirantes horizontais (Figura 36b). Embora as
considerações na Figura 36 sejam feitas para cargas aplicadas diretamente na face superior, a
aplicação de cargas indiretas associadas ao uso de armadura de suspensão faz com que o
comportamento se aproxime ao de uma carga direta (Figura 37).
Figura 36 – Modelo e arranjo de armaduras para uma força
concentrada de grande intensidade2 próxima ao apoio.
Fonte: Silva e Giongo (2000).
2 Considera-se força de grande intensidade aquela em que as tensões solicitantes de tração excedem a resistência
à tração do concreto e passa a ser necessário dispor de armaduras específicas.
55
Figura 37 – Subdivisão de bielas muito inclinadas e
tirante de suspensão.
Fonte: elaborada pelo autor.
3.2 – Metodologia
Os estudos de caso envolvendo problemas de apoios indiretos entre vigas através dos
softwares Eberick V10 e CAD/TQS V20.1 se deram pela avaliação de resultados obtidos a
partir da modelagem computacional de um pórtico de um pavimento, com 3 pilares e 2 vigas
(Figura 38). Ambas as vigas eram de concreto classe C35, possuíam cobrimento de 3 cm e
foram solicitadas por um carregamento uniformemente distribuído de 2,5 tf/m. A fim de
simplificar a análise dos resultados, não foram realizadas combinações das ações, logo as
únicas ações solicitantes foram o carregamento uniforme além do peso próprio dos elementos.
56
Figura 38 – Modelo estrutural para análise de apoio indireto entre vigas
(sem escala).
Fonte: elaborada pelo autor.
Inicialmente, neste pórtico, a fim de verificar a aplicação de fatores de redução devido
às diferenças de altura, o dimensionamento da armadura e comparar os detalhamentos propostos
pelos diversos autores com o detalhamento realizado pelo software, variou-se a posição relativa
da seção transversal das vigas, através de rebaixos e também diferenças de altura, totalizando 9
casos diferentes de situação de apoio (Figura 39, onde V1 é a viga apresentada em vista e V2 a
viga em corte). Na Tabela 1 é apresentado o resumo dos casos.
57
Figura 39 – Situações de apoio analisadas no trabalho (sem escala).
Fonte: elaborada pelo autor.
58
Tabela 1 – Resumo das situações analisadas no trabalho.
Caso Viga b (cm) h (cm) Rebaixo
(cm) Condição
1 V1 15 50 0 Apoiada
V2 15 50 0 Apoio
2 V1 15 50 0 Apoiada
V2 15 50 20 Apoio
3 V1 15 50 0 Apoiada
V2 15 50 40 Apoio
4 V1 15 50 20 Apoiada
V2 15 50 0 Apoio
5 V1 15 50 40 Apoiada
V2 15 50 0 Apoio
6 V1 15 60 0 Apoiada
V2 15 50 0 Apoio
7 V1 15 60 0 Apoiada
V2 15 40 0 Apoio
8 V1 15 50 0 Apoiada
V2 15 60 0 Apoio
9 V1 15 40 0 Apoiada
V2 15 60 0 Apoio
3.3 – Análise dos resultados e discussões
3.3.1 – Eberick V10
No dimensionamento da armadura de suspensão pelo software Eberick V10 é necessário
ajustar os critérios de cálculo que serão adotados pelo programa (Figura 40). Dentre as opções,
existe a de permitir viga de maior altura apoiando em viga menor e, caso essa opção esteja
desativada, o software irá emitir, após o processamento da estrutura, uma tarja de erro “Erro
D23 – Necessidade de armadura de suspensão” e a viga apoio não será dimensionada. Para que
a armadura de suspensão seja também dimensionada nos casos de vigas de igual altura, é
necessário que essa opção também esteja ativada nos critérios.
59
Figura 40 – Critérios para armadura de
suspensão.
Fonte: Eberick V10.
No software, não é necessário definir quem funciona como apoio ou apoiada no
cruzamento entre vigas. O próprio programa faz essa definição a partir do processamento global
da estrutura. O valor de projeto para a reação de apoio obtida no processamento do pórtico
espacial do caso 1 foi de 8,60 tf, logo a área de armadura de suspensão necessária esperada seria
de 1,98 cm²:
As,calc = Rd
fyd =
8,60
(5 1,15)⁄ = 1,98 cm²
Os resultados obtidos dos processamentos e retirados dos relatórios de cálculo de vigas
estão expostos na Tabela 2.
60
Tabela 2 – Resultados obtidos nos casos estudados no software Eberick.
Caso Viga Grampo Reforço nos estribos
Rd (tf) As,g (cm²) Estribos Rd (tf) As,sus (cm²) Vd, eq (tf) Trecho (cm)
1 V1 - - - 8,60 0,59 4,14 25,00
V2 - - - -8,60 1,39 4,79 50,00
2 V1 - - - 8,60 0,36 2,48 25,00
V2 - - - -8,60 0,83 2,87 50,00
3 V1 - - - 8,60 0,12 0,83 25,00
V2 - - - -8,60 0,28 0,96 50,00
4 V1 - - - 8,60 - - -
V2 8,60 1,98 2 φ 8,0 8,60 1,39 4,79 50,00
5 V1 - - - 8,60 - - -
V2 8,60 1,98 2 φ 8,0 -8,60 1,39 4,79 50,00
6 V1 - - - 8,91 - - -
V2 8,91 2,05 2 φ 10,0 -8,91 1,44 4,81 50,00
7 V1 - - - 8,82 - - -
V2 8,82 2,03 2 φ 10,0 -8,82 1,42 4,56 40,00
8 V1 - - - 8,66 0,50 3,37 25,00
V2 - - - -8,66 1,16 4,08 60,00
9 V1 - - - 8,24 0,38 2,51 20,00
V2 - - - -8,24 0,88 3,11 60,00
A partir da Tabela 2, pode-se perceber que o software dimensionou a armadura de
suspensão para todos os casos analisados, sendo a armadura dividida em dois tipos: grampo e
reforço nos estribos. Os grampos foram dimensionados nos casos em que as vigas apoiadas
estão “penduradas” na viga apoio, ou seja, têm sua face inferior abaixo da face inferior das
vigas de apoio (casos 4, 5, 6 e 7), e possuem dois tipos de configuração de detalhamento: aberto
(configuração padrão, na Figura 41) e fechado. Os grampos seguem o mesmo direcionamento
dos estribos da viga apoiada, procedimento correto segundo Reineck (2010).
Figura 41 – Grampo “aberto”.
Fonte: Eberick V10.
61
O reforço dos estribos é dimensionado em ambas as vigas ou em apenas uma delas,
dependendo da situação de encontro. Por exemplo, para os casos 4, 5, 6 e 7 (vigas “penduradas”)
não foi calculado reforço nos estribos para as vigas apoiadas, apenas os grampos de suspensão.
Através da Tabela 2, pode-se perceber que os grampos são dimensionados para suspender a
totalidade da reação de apoio, havendo ainda o cálculo do reforço nos estribos distribuídos na
viga apoio, procedimento semelhante ao proposto por Bastos (2015), na Figura 21.
A coluna relacionada ao Vd,eq representa o modo como o software analisa situações em
que são necessárias armaduras de suspensão, não só em encontro de vigas. O cálculo da
armadura de suspensão é feito através de um esforço cortante equivalente adicionado ao
diagrama de esforços apenas para análise local. Inicialmente é calculada uma área de aço
necessária para suspender o cortante (cm²), depois distribuída em um certo comprimento
(cm²/m), e após isso transformada em um esforço cortante equivalente que resultaria nesta
armadura transversal (Figura 42). A partir do exposto, pode-se definir a expressão geral para o
cálculo da armadura transversal:
Asw
s = Vd - Vc + Vd,eq
0,9 ∙ d ∙ fywd (Equação 8)
Figura 42 – Esforço cortante equivalente no caso 1.
Fonte: Eberick V10.
Foi observado que o trecho de distribuição do reforço nos estribos corresponde à metade
da altura da viga correspondente para cada lado do nó (Figura 43). Uma vez que a viga V1
termina no cruzamento, o trecho de distribuição é apenas metade da altura, enquanto que na
62
viga V2 é igual a altura completa. Essa forma de distribuição da armadura de suspensão no
entorno do encontro das vigas está de acordo com o proposto por Leonhardt e Mönnig (1978)
na Figura 14, embasado em resultados experimentais.
Figura 43 – Trecho de distribuição do reforço dos estribos.
Fonte: Armadura de Suspensão - Tutorial de Utilização3.
Em se tratando do reforço dos estribos, foi observado que a área de aço varia de viga
para viga e de caso para caso, indicando que existe influência da posição relativa entre a altura
das vigas e também da condição de apoio ou apoiada, uma vez que a área de aço calculada para
a viga apoiada foi sempre menor que a área de aço para a viga apoio. Na Tabela 3, é mostrada
a relação entre a armadura calculada pelo software (As,sus) e a armadura calculada manualmente
(As,calc) para o reforço nos estribos.
Na Tabela 3, também é mostrado como se chegam aos valores calculados pelo software,
através de fatores de redução, que são apresentados isoladamente na Tabela 4 e com legenda na
Figura 44. O fator α representa o fator que distribui 70% da área de aço para a viga apoio e 30%
para a viga apoiada, aplicável em todos os casos. A razão h’/H2 representa uma redução da área
de aço de suspensão devido a presença de rebaixos na viga apoio, aplicável aos casos 2 e 3. A
razão H1/H2 representa uma redução da área de aço devido menor altura da viga apoiada,
aplicável aos casos 8 e 9.
3 Disponível em: http://help.altoqi.com.br/Eberick/default.aspx?pageid=armadura_de_suspensao
63
Tabela 3 – Relação entre área de aço do software e área de aço determinada manualmente e aplicação de
fatores de redução.
Caso Viga As,sus
(cm²)
As,calc
(cm²)
As,sus/As,calc
(cm²)
As,calc*α
(cm²)
As,calc*α*h'/H2
(cm²)
As,calc*α*H1/H2
(cm²)
1 V1 0,59 1,98 0,30 0,59 - -
V2 1,39 1,98 0,70 1,38 - -
2 V1 0,36 1,98 0,18 0,59 0,36 -
V2 0,83 1,98 0,42 1,38 0,83 -
3 V1 0,12 1,98 0,06 0,59 0,12 -
V2 0,28 1,98 0,14 1,38 0,28 -
4 V1 - - - - - -
V2 1,39 1,98 0,70 1,39 - -
5 V1 - - - - - -
V2 1,39 1,98 0,70 1,39 - -
6 V1 - - - - - -
V2 1,44 2,05 0,70 1,43 - -
7 V1 - - - - - -
V2 1,42 2,03 0,70 1,42 - -
8 V1 0,50 1,99 0,25 0,60 - 0,50
V2 1,16 1,99 0,58 1,39 - 1,16
9 V1 0,38 1,90 0,20 0,57 - 0,38
V2 0,88 1,90 0,46 1,33 - 0,89
Tabela 4 – Fatores de redução isolados.
Caso Viga α h'/H2 H1/H2
1 V1 0,30 - -
V2 0,70 - -
2 V1 0,30 0,60 -
V2 0,70 0,60 -
3 V1 0,30 0,20 -
V2 0,70 0,20 -
4 V1 - - -
V2 0,70 - -
5 V1 - - -
V2 0,70 - -
6 V1 - - -
V2 0,70 - -
7 V1 - - -
V2 0,70 - -
8 V1 0,30 - 0,83
V2 0,70 - 0,83
9 V1 0,30 - 0,67
V2 0,70 - 0,67
64
Figura 44 – Legenda para os fatores de redução.
Fonte: elaborada pelo autor.
Pode-se perceber que, no caso geral 1, foi distribuído um total de 30% na área de aço na
viga apoiada e 70% na viga apoio. Nos casos 4, 5, 6 e 7 foi distribuído um total de 70% da área
de aço do reforço apenas na viga apoio, além do grampo de suspensão para a totalidade da
reação de apoio. Para estes últimos, o procedimento é semelhante ao proposto por
Bastos (2015), porém o autor sugere distribuir 50% da área de aço na viga apoio, logo o
resultado dado pelo programa se mostrou um pouco mais conservador.
No restante dos casos, existiram outros fatores de redução da área de aço e verificou-se
que nos casos 2 e 3, este fator de redução se deu justamente pela relação h’/H2 e nos casos 8 e
9 essa redução se deu pela relação H1/H2, conforme proposto por Fusco (2013). Pode ser feita
uma analogia entre as duas situações de apoio e, com isso, é possível ver que nos casos de
rebaixo das vigas de apoio, pode ser feita uma redução da força a suspender, pois em ambos,
parte da reação é transmitida diretamente por ação das bielas (Figura 45). É possível perceber
que, quanto mais se rebaixa a viga apoio, mais a armadura de suspensão é reduzida, até chegar
no rebaixo total que caracteriza uma transferência de carga direta e que, de fato, não é necessário
suspender a reação de apoio.
65
Figura 45 – Analogia entre situações diferentes.
Fonte: elaborada pelo autor.
A partir dos relatórios de cálculo, foram analisados também como o software considera
o cálculo em conjunto com o esforço cortante. Foi verificado que o software compara o
somatório das duas armaduras (suspensão e cisalhamento) com a armadura mínima de
cisalhamento e adota o maior dos dois valores. Na Tabela 5, quando o resultado Asw,total, que
representa o somatório das duas armaduras, resultou menor que a armadura mínima, a armadura
adotada pelo programa foi a de barras de diâmetro de 5 mm espaçadas de 21 cm, correspondente
a armadura mínima de 1,93 cm²/m para concretos da classe C35.
Tabela 5 – Verificação da armadura de suspensão em conjunto com esforço cortante.
Caso Viga As,sus
(cm²)
Trecho
(cm)
As,sus/s
(cm²/m) Vd (tf)
Asw/s
(cm²/m)
Asw,total/s
(cm²/m)
Vd,total
(tf)
Armadura
Adotada
1 V1 0,59 25,00 2,36 8,60 1,25 3,61 12,71 φ 5,0 c/11
2 V1 0,36 25,00 1,44 8,60 1,25 2,69 11,11 φ 5,0 c/15
3 V1 0,12 25,00 0,48 8,60 1,25 1,73 9,44 φ 5,0 c/21
4 V1 0,00 0,00 0,00 8,60 1,25 1,25 8,60 φ 5,0 c/21
5 V1 0,00 0,00 0,00 8,60 1,25 1,25 8,60 φ 5,0 c/21
6 V1 0,00 0,00 0,00 8,91 0,51 0,51 8,91 φ 5,0 c/21
7 V1 0,00 0,00 0,00 8,82 0,46 0,46 8,82 φ 5,0 c/21
8 V1 0,50 25,00 2,00 8,66 1,42 3,42 12,05 φ 5,0 c/12
9 V1 0,38 20,00 1,90 8,24 2,52 4,42 10,76 φ 6,3 c/14
66
As considerações feitas no parágrafo anterior, no entanto, só são válidas quando se trata
da viga V1. Isto porque, a partir da expressão geral do esforço cortante equivalente mostrada
anteriormente (Equação 8), é possível perceber que, quando Vd resultar menor do que Vc,
existirá uma parcela negativa que será retirada do esforço equivalente e, então, a contribuição
do concreto está, na verdade, sendo considerada na armadura de suspensão e a área de aço
adotada será menor do que a esperada. Para a viga V2, cuja descontinuidade está posicionada
no meio do vão, onde os esforços cortantes são menores, a armadura adotada foi menor do que
a esperada.
Diante disso, pode-se dividir duas situações: se Vd ≥ Vc, a armadura transversal será o
somatório da armadura de cisalhamento com a armadura de suspensão. No entanto, se Vd < Vc,
a área de aço total será menor do que a esperada, pois o valor da contribuição do concreto em
“excesso” será retirado da armadura de suspensão. Para a segunda situação, é preciso atenção
especial, pois segundo a NBR 6118:2014, o tirante deve ser calculado para a totalidade da força
obtida no modelo de treliça, conforme mostra a Equação 1, no Capítulo 2 deste presente
trabalho.
A seguir é apresentado o procedimento de cálculo utilizado pelo software Eberick V10
nas situações de apoio entre vigas e em seguida a aplicação do método na viga V2 do caso 4 e
seu detalhamento, assim como o detalhamento de V1 (Figura 47 e Figura 48, respectivamente),
onde o grampo de suspensão, denominado “SUSPENSÃO V1”, foi detalhado na forma de
estribo fechado comum.
1- Determinação da reação de apoio a ser suspendida através da análise estrutural do
pórtico;
2- Cálculo da área de aço em cm² da armadura de suspensão (reforço nos estribos) e
caso exista viga “pendurada”, cálculo dessa mesma área de aço em grampo;
3- Distribuição da área de aço em 30% para a viga apoiada, se esta não estiver
“pendurada” no apoio, e 70% para a viga apoio. Nesta etapa também são aplicados
os outros fatores da redução;
4- Cálculo da área de aço em cm²/m, através do trecho a ser distribuída;
5- Cálculo de um esforço cortante equivalente que origine essa área de aço;
6- Soma do cortante equivalente ao diagrama de esforços cortantes originado da análise
estrutural;
7- Cálculo de uma armadura transversal para esse cortante total e comparação dessa
armadura com a armadura transversal mínima, adotando-se o maior valor;
67
- Aplicação do procedimento no caso 4:
1- Rd = 8,60 tf
2- As = Rd
fyd =
8,60
(5 1,15)⁄ = 1,98 cm²
É uma situação de viga “pendurada”, então vai existir armadura em grampo de no
mínimo 1,98cm², então adota-se: 2 φ 8mm = 2,01cm² (estribo de dois ramos),
mostrados na Figura 47.
3- As,sus,apoio = 0,7 ∙ 1,98 = 1,39 cm²
4- As,sus,apoio
s=
1,39
0,5 = 2,78 cm2 m⁄
5- Vd,eq = Asw
s ∙ (0,9 ∙ d ∙ fywd)= 2,78∙ (0,9 ∙ 0,4417 ∙
5
1,15) = 4,80 tf
6- Figura 46 – Aplicação do esforço cortante equivalente no caso 4.
Fonte: Eberick V10.
7- Vsw = Vd – Vc
Sendo Vc definido na flexo-compressão, devido ao esforço normal de 0,59 tf que a
viga apresentou na análise estrutural do pórtico:
Vc = Vc0 ∙ (1 +M0
MSd,máx) = 0,6 ∙ fctd ∙ b ∙ d ∙ (1 +
M0
MSd,máx)
O valor calculado pelo software para o multiplicador de Vc0 foi de 1,02, logo tem-
se:
68
fctd = 0,7 ∙ 0,3 ∙√35
23
1,4 = 1,60MPa = 0,016 tf/cm²
Vc0 = 0,6 ∙ 0,016 ∙ 15 ∙ 44,17 ∙ 1,02 = 6,49 tf
Vsw = 10,66 - 6,49 = 4,17 tf
Asw
s =
Vsw
(0,9 ∙ d ∙ fywd) =
4,17
(0,9 ∙ 0,4417 ∙ 4,35)= 2,41 cm²/m
Adotado estribo de dois ramos: φ 6,3 mm c/ 26 cm = 2,40 cm²/m.
A armadura adotada para V2 resultou menor do que a armadura de suspensão
inicialmente calculada (2,78 cm²/m), isto porque Vd resultou menor do que Vc e o
excesso foi descontado de Vd,eq, conforme foi explicado.
Figura 47 – Detalhamento da viga V2 no caso 4 (sem escala).
Fonte: Eberick V10.
69
Figura 48 – Detalhamento da viga V1 no caso 4 (sem escala).
Fonte: Eberick V10.
3.3.2 – CAD/TQS V20
No software CAD/TQS V20.1, quando na situação de apoio entre vigas, é necessário
definir manualmente qual viga serve de apoio ou está apoiada. Esta definição, a partir dos
resultados obtidos, influencia apenas no detalhamento da armadura longitudinal e transversal
da viga e não na análise estrutural do pórtico, de forma que os esforços internos continuam os
mesmos. Na Figura 49, a direção do maior lado do retângulo indica qual viga é considerada
apoio. Existe ainda uma terceira opção, denominada “Cruzamento Simples”, onde as vigas são
consideradas de forma independente, que seria uma situação onde nenhuma das vigas do
cruzamento está servindo de apoio.
Figura 49 – Definição da condição de apoio.
Fonte: CAD/TQS V20.1.
70
É importante então, que após o processamento da estrutura, seja verificado o diagrama
de esforços internos do pórtico para confirmar ou alterar a definição prévia. Caso a definição
seja feita de forma errônea, o detalhamento e dimensionamento gerados pelo software podem
conduzir a resultados antieconômicos e contra a segurança. Para as análises no software
CAD/TQS, a viga V2 inicialmente foi definida como apoio, como de fato é.
O dimensionamento da armadura de suspensão é controlado pelo critério [K66], que se
divide em três opções diferentes (Figura 50). O critério [K66=0], teoricamente, dimensiona a
armadura de suspensão apenas para as vigas “penduradas”. O critério [K66=1] dimensiona para
situações em que a altura da viga apoiada (a) é maior que 10% da altura da viga apoio (h). E
por fim, o critério [K66=2] dimensiona para vigas apoiadas com alturas maiores ou iguais às
da viga apoio. Inicialmente foram feitas análises com o critério [K66=1] e, em seguida, com os
outros dois.
Figura 50 – Critério K66: Consideração de armadura de suspensão.
Fonte: CAD/TQS V20.1.
A reação de apoio de projeto obtida no processamento do pórtico espacial do caso geral
1, foi de 8,63 tf, logo a área de armadura de suspensão necessária esperada para o caso geral 1
seria também de 1,98 cm².
As,calc = Rd
fyd =
8,63tf
(5tf/cm2 1,15)⁄ = 1,98 cm²
A partir dos resultados obtidos e expostos na Tabela 6, pode-se perceber que o software
também detalha armaduras em grampo para os casos de vigas “penduradas”, assim como o
71
Eberick V10. Além da armadura em grampo, é dimensionada armadura de suspensão como
estribos normais. A área de aço emitida pelo software é em cm²/m, e assim será colocada na
Tabela 6.
Tabela 6 – Resultados obtidos nos casos estudados no software CAD/TQS com critério [K66=1].
Caso Viga Grampo (AsTrt) Estribos (AsSus)
Rd (tf) As,g (cm²) Estribos Rd (tf) As,sus/s (cm²/m) Trecho (cm)
1 V1 - - - 8,63 - -
V2 - - - -8,63 3,30 62,00
2 V1 - - - 8,63 - -
V2 - - - -8,63 2,00 62,00
3 V1 - - - 8,63 - -
V2 - - - -8,63 0,70 62,00
4 V1 - - - 8,63 - -
V2 8,63 4,3 2 φ 12,5 -8,63 3,30 62,00
5 V1 - - - 8,63 - -
V2 8,63 4,3 2 φ 12,5 -8,63 3,30 62,00
6 V1 - - - 8,94 - -
V2 8,96 4,5 2 φ 12,5 -8,94 3,40 62,00
7 V1 - - - 8,86 - -
V2 8,86 4,4 2 φ 12,5 -8,86 4,00 50,00
8 V1 - - - 8,68 - -
V2 - - - -8,68 2,30 70,00
9 V1 - - - 8,26 - -
V2 - - - -8,26 1,80 70,00
Na Tabela 7, pode-se perceber que a área de aço adotada pelo software na armadura de
suspensão em grampo (Tabela 6) resultou em mais que o dobro da área aço necessária para
suspender a totalidade da reação de apoio. Foi verificado também que o software detalha a
armadura de suspensão em estribos comuns apenas na viga definida previamente como apoio e
o trecho observado para distribuição dos estribos é aproximadamente igual a altura útil da
viga apoio somada com a largura da viga apoiada.
Tabela 7 – Relação entre área de aço em grampo calculada pelo
software (As,g) e calculada manualmente (As,g,calc).
Caso Rd (tf) As,g,calc (cm²) As,g (cm²) As,g/As,g,calc
4 8,63 1,98 4,30 2,17
5 8,63 1,98 4,30 2,17
6 8,94 2,06 4,50 2,19
7 8,86 2,04 4,40 2,16
72
No caso dos estribos, foi observada diferença nos resultados dos casos com rebaixos e
variação de altura indicando, novamente, a presença de fatores de redução da armadura de
suspensão. Após a aplicação dos mesmos fatores utilizados nos resultados obtidos no software
Eberick, foi observada a convergência dos resultados (Tabela 8). O fato do software trabalhar
apenas com uma casa decimal nos relatórios de cálculo dificulta a verificação da precisão do
resultado, mas é possível perceber que após a aplicação dos mesmos fatores de redução chega-
se a um resultado próximo ao calculado pelo software.
Tabela 8 – Relação entre área de aço do software e área de aço determinada manualmente e aplicação de
fatores de redução.
Caso Viga As,sus/s
(cm²/m)
As,calc
(cm²)
As,calc/s
(cm²/m)
As,sus/As,calc
(cm²)
As,calc*h'/H2
(cm²/m)
As,calc*H1/H2
(cm²/m)
1 V1 - - - - - -
V2 3,30 1,98 3,20 1,03 - -
2 V1 - - - - - -
V2 2,00 1,98 3,20 0,62 1,92 -
3 V1 - - - - - -
V2 0,70 1,98 3,20 0,22 0,64 -
4 V1 - - - - - -
V2 3,30 1,98 3,20 1,03 - -
5 V1 - - - - - -
V2 3,30 1,98 3,20 1,03 - -
6 V1 - - - - - -
V2 3,40 2,06 3,32 1,02 - -
7 V1 - - - - - -
V2 4,00 2,03 4,06 0,99 - -
8 V1 - - - - - -
V2 2,30 2,00 2,85 0,81 - 2,38
9 V1 - - - - - -
V2 1,80 1,90 2,71 0,66 - 1,81
Nos casos 4, 5, 6 e 7 foi distribuída 100% da armadura de suspensão na viga apoio, além
dos grampos para mais que o dobro da reação a suspender. Este resultado se mostrou bem mais
conservador que o obtido pelo outro software para estes mesmos casos. Foi observado também
que, embora exista um esforço cortante no trecho de distribuição da armadura de suspensão em
V2, não foi dimensionada qualquer armadura para esse esforço e a armadura transversal adotada
foi apenas a de suspensão, 3,3 cm²/m. (Figura 51). Para avaliar melhor essa situação, o pórtico
foi reprocessado com o carregamento atuante em ambas as vigas incrementado em três passos.
73
Os resultados estão expostos na Figura 52 e verificou-se que, a partir do 2º incremento
de carga, passou a existir uma armadura transversal de cisalhamento no trecho intermediário da
viga. Isto ocorreu porque o esforço cortante de projeto naquele trecho resultou maior do que a
contribuição do concreto enquanto que, no Caso 1 inicial e no 1º incremento de carga, esse
valor resultou menor ou muito próximo e por isso não houve armadura transversal de
cisalhamento. Pode-se concluir também que, a partir dos relatórios, o software adotou para a
armadura transversal total (Asw [C+T]), o somatório da armadura de suspensão (AsSus) com a
armadura de cisalhamento (Asw [C]) calculada para o esforço cortante atuante no trecho de
distribuição.
Figura 51 – Cálculo do cisalhamento no relatório geral de vigas para o caso 4.
Fonte: CAD/TQS V20.1.
Figura 52 – Resultados de V2 para incrementos de carga para o caso 1.
Fonte: CAD/TQS V20.1.
Conforme comentado no início desta seção do trabalho, os outros critérios de armadura
de suspensão, [K66=0] e [K66=2], também foram avaliados para todos os casos e foram
observados os mesmos resultados para ambos. Embora o primeiro exija que a viga apoiada
tenha maior altura, para os casos 1 e 8 foi dimensionada armadura de reforço nos estribos,
porém, no caso 9 não foi. Nos casos de rebaixo da viga apoio não houve dimensionamento de
74
armadura de suspensão. Nos casos de vigas “penduradas”, foram observados os mesmos valores
do critério [K66=1]. Os resultados estão expostos na Tabela 9.
Tabela 9 – Resultados obtidos nos casos estudados no software CAD/TQS com critério [K66=2] e
[K66=0].
Caso Viga
Grampo (AsTrt) Estribos (AsSus)
Rd (tf) As,g
(cm²) Estribos Rd (tf) As,sus/s (cm²/m) Trecho (cm)
1 V1 - - - 8,63 - -
V2 - - - -8,63 3,30 62,00
2 V1 - - - 8,63 - -
V2 - - - -8,63 - -
3 V1 - - - 8,63 - -
V2 - - - -8,63 - -
4 V1 - - - 8,63 - -
V2 8,63 4,3 2 φ 12,5 -8,63 3,30 62,00
5 V1 - - - 8,63 - -
V2 8,63 4,3 2 φ 12,5 -8,63 3,30 62,00
6 V1 - - - 8,94 - -
V2 8,94 4,5 2 φ 12,5 8,94 3,40 62,00
7 V1 - - - 8,86 - -
V2 8,86 4,4 2 φ 12,5 -8,86 4,00 50,00
8 V1 - - - 8,68 - -
V2 - - - 8,68 2,30 70,00
9 V1 - - - 8,26 - -
V2 - - - -8,26 - -
A influência de se definir a viga errada como apoio também foi avaliada e, para isso, a
viga V1 foi definida previamente como viga apoio e todos os casos foram reprocessados.
Observou-se que, devido ao maior esforço cortante na extremidade de V1 do que no trecho
intermediário de V2, foi sempre considerada uma parcela de cisalhamento na armadura, e o
mesmo somatório com a armadura de suspensão também foi observado (Figura 53). A armadura
de suspensão resultou maior, por causa do menor trecho de distribuição, já que V1 não continua
após o cruzamento. Os resultados são mostrados na Tabela 10.
Figura 53 – Resultado alternativo para o caso 1.
Fonte: CAD/TQS V20.1.
75
Tabela 10 – Resultados para viga V1 definida como apoio.
Caso Viga As,sus/s
(cm²/m) Vd (tf)
Asw/s
(cm²/m)
Asw,total
(cm²/m)
Armadura
Adotada
1 V1 5,30 8,63 1,10 6,40 φ 6,3 c/ 8
2 V1 5,30 8,63 1,10 6,40 φ 6,3 c/ 8
3 V1 5,30 8,63 1,10 6,40 φ 6,3 c/ 8
4 V1 3,20 8,63 1,10 4,30 φ 6,3 c/ 12
5 V1 1,10 8,63 1,10 2,20 φ 5,0 c/ 18
6 V1 4,00 8,96 0,40 4,40 φ 5,0 c/ 8
7 V1 3,20 8,82 0,40 3,60 φ 5,0 c/ 8
8 V1 5,30 8,68 1,20 6,50 φ 6,3 c/ 8
9 V1 5,80 8,26 2,20 8,00 φ 8,0 c/ 12
Ao inverter a condição de apoio, foram dimensionados grampos apenas nos casos em
que V2 estava rebaixada, analogamente aos casos em que V1 estava rebaixada e V2 era definida
como apoio, e estes grampos seguiram o direcionamento de V2. Os grampos sempre devem
seguir o direcionamento dos estribos da viga apoiada, como explica Reineck (2010) e, uma vez
que V1 foi definida erroneamente como apoio, isso pode conduzir a resultados contra a
segurança. A armadura negativa de V1, referente ao momento fletor no apoio da esquerda, foi
estendida por todo o vão (Figura 54). A partir disso, ressalta-se novamente a importância em se
verificar a real condição apoio-apoiada a partir dos resultados obtidos no processamento do
pórtico espacial.
Figura 54 – Detalhamento alternativo para o caso 9 (sem escala).
Fonte: CAD/TQS V20.1.
76
Embora no pórtico analisado, onde as vigas possuem os vãos e apoios similares, possa
ser de fácil identificação qual viga está apoiada, em certos casos pode ser necessária maior
atenção do projetista. Caso o vão da V2 fosse maior, isso poderia significar que a V1, embora
em “balanço”, pudesse servir de apoio para a V2. Caso a V1 estivesse apoiada em um pilar de
maior rigidez, isso também poderia significar a inversão da condição apoio-apoiada do pórtico
analisado. É possível também ocorrer situações em que a rigidez das duas vigas é igual e
nenhuma das duas funciona como apoio ou apoiada.
A verificação pode ser feita através do diagrama de esforços cortantes (DEC) ou de
momentos fletores (DMF). Se houver uma variação brusca de esforço cortante, onde ele passe
de um valor negativo para um positivo, isso indicaria uma força de baixo para cima atuando no
nó e, portanto, uma reação de apoio, logo a viga seria a apoiada. No diagrama de momentos
fletores, se houver uma tendência do momento fletor positivo reduzir nas proximidades do
apoio ou existir um momento negativo, significa que a outra viga está servindo de apoio
(Figura 55).
Figura 55 – Diagramas para verificação da condição de apoio.
Fonte: elaborada pelo autor.
A seguir é apresentado o procedimento de cálculo utilizado pelo software CAD/TQS
V20.1 nas situações de apoio entre vigas e, em seguida, a aplicação do método na viga V2 do
caso 4 e seu detalhamento, assim como o detalhamento também de V1 (Figura 56 e Figura 57,
respectivamente).
1- Definição de qual viga será considerada como apoio no modelador estrutural;
77
2- Determinação da reação de apoio a ser suspendida através da análise estrutural do
pórtico;
3- Cálculo da área de aço em cm² da armadura de suspensão (reforço nos estribos) e
caso exista viga “pendurada”, cálculo de uma área de aço em grampo cerca de 2,15
vezes maior que a necessária para suspender a totalidade da reação;
4- A partir do trecho em que será distribuída, cálculo da totalidade da armadura de
suspensão em cm²/m apenas na viga definida como apoio e aplicação dos fatores de
redução já mencionados;
5- Somatório da armadura de suspensão calculada com a armadura transversal de
cisalhamento. Caso Vd ≤ Vc, não existirá armadura transversal de cisalhamento no
trecho;
6- Comparação do somatório com a armadura transversal mínima e adoção do maior
valor.
- Aplicação do procedimento no caso 4:
1- V2 definida como apoio no caso 4.
2- Rd = 8,63 tf
3- As,g =Rd
fyd=
8,63
(5 1,15)⁄ = 1,98 cm²
É uma situação de viga “pendurada”, então vai existir armadura em grampo de no
mínimo cerca de 2,15 vezes maior que 1,98 cm².
As,g = 2,15 ∙ 1,98 = 4,26 cm²
Adota-se: 2 φ 12,5mm = 4,91 cm² (estribo de dois ramos), mostrados na Figura 56.
4- As,sus,apoio
s =
1,98
0,62 = 3,19 cm²/m
5- Como o esforço cortante de 5,46 tf atuante no trecho é menor do que Vc, não será
considerada armadura transversal de cisalhamento.
78
6- A armadura de suspensão foi adotada pois resultou maior que a mínima: adotado
φ 6,3mm c/ 18cm = 3,46 cm²/m.
Figura 56 – Detalhamento de V2 no caso 4 (sem escala).
Fonte: CAD/TQS V20.1.
79
Figura 57 – Detalhamento de V1 no caso 2 (sem escala).
Fonte: CAD/TQS V20.1.
Apenas para critério de comparação, a verificação proposta pela norma CSA A23.3-14
para a necessidade, ou não, de armadura transversal adicional foi feita para os casos 1, 8 e 9,
por serem os casos abrangidos pela norma dentre os analisados, e a verificação proposta por
Mattock e Shen (1992) também para todos os casos (Tabela 11), considerando os esforços
obtidos através do CAD/TQS. Para a determinação do fc’, foi considerada a equação proposta
por Souza e Bittencourt (2003) a seguir, considerando um desvio padrão de 3,5 MPa para o
concreto:
fc' = fck - 2,38 (Equação 9)
- Verificação segundo a norma CSA A23.3-14:
τ,lim = 0,23 ∙ λ ∙ Φc ∙ √fc' = 0,23 ∙ 1 ∙ 0,65 ∙ √35 - 2,38 = 0,85 MPa
τSd,1 = Rd
b ∙ h' =
8,63
15 ∙ 50 = 0,0115 tf/cm² = 1,15 MPa
80
τSd,8 = Rd
b ∙ h' =
8,68
15 ∙ 50 = 0,0116 tf/cm² = 1,16 MPa
τSd,9 = Rd
b ∙ h' =
8,26
15 ∙ 40 = 0,0138 tf/cm² = 1,38 MPa
- Verificação segundo Mattock e Shen (1992):
τ,lim = 0,25 ∙ √fc' = 0,25 ∙ √35 - 2,38 = 1,43 MPa
Tabela 11 – Cálculo da tensão de
cisalhamento solicitante.
Caso Vd (tf) Área
(cm²)
τSd
(MPa)
1 8,63 750,00 1,15
2 8,63 750,00 1,15
3 8,63 750,00 1,15
4 8,63 750,00 1,15
5 8,63 750,00 1,15
6 8,96 900,00 1,00
7 8,82 900,00 0,98
8 8,68 750,00 1,16
9 8,26 600,00 1,38
Para o critério da norma canadense, foi verificado que a tensão de cisalhamento na
interface resultou maior que o limite, de forma que pelos critérios normativos seria necessário
dispor de armadura de suspensão. Já para o critério proposto por Mattock e Shen (1992),
nenhuma das vigas necessitaria armadura de suspensão, pois a tensão de cisalhamento
solicitante em todos os casos resultou menor do que a tensão limite. É importante mencionar
que o fator limite proposto pelos autores não envolve coeficientes de ponderação de resistência,
apenas a resistência característica do concreto, de forma que o procedimento determinado pela
CSA A23.3-14 constitui uma alternativa mais “prudente”.
81
3.4 - Conclusões
Os resultados obtidos através do Eberick V10, no geral, se apresentaram mais próximos
das recomendações dos autores e bibliografias pesquisadas. Contudo, o dimensionamento
através do CAD/TQS V20.1 também resultou parecido. Ambos os softwares apresentaram o
uso de fatores de redução da armadura de suspensão de forma correta, resultando em armaduras
similares. Em termos de esforços internos, a análise estrutural dos dois softwares resultou em
valores bem próximos.
A diferença principal seria o fato de que o CAD/TQS dimensiona a armadura de
suspensão apenas na viga apoio, o que possivelmente não influenciaria muito na capacidade
resistente, haja visto que a maior parte da reação é suspendida justamente pelos estribos
presentes na viga apoio. O dimensionamento dos grampos pelo CAD/TQS, nas situações de
vigas “penduradas”, também chamou atenção por levar a áreas de aço maiores que o dobro do
realmente necessário. Para efeitos de projeto, a adoção do critério [K66=1] seria a alternativa
mais recomendada, pois a armadura de suspensão é necessária mesmo quando a altura da viga
apoiada é menor, conforme foi visto.
É importante chamar atenção para o método do esforço cortante equivalente utilizado
pelo Eberick V10. Em situações em que o esforço cortante de projeto seja menor do que o valor
Vc, a parcela em excesso será retirada do esforço cortante equivalente, resultante da força a ser
suspendida. Isso implica que a contribuição do concreto está, na verdade, sendo considerada no
cálculo da armadura de suspensão e esse procedimento pode levar a resultados contra a
segurança. O procedimento mais correto e seguro seria comparar o Vd com o Vc e só
posteriormente somar a armadura de cisalhamento resultante com a armadura de suspensão,
conforme realizado pelo CAD/TQS V20.1. A seguir, é mostrada a Tabela 12 com as armaduras
transversais totais calculadas pelos softwares na região de cruzamento das vigas.
82
Tabela 12 – Armaduras transversais adotadas.
Caso Asw,V1 (cm²/m) Asw,V2 (cm²/m)
Eberick CAD/TQS Eberick CAD/TQS
1 3,61 1,90 2,47 3,30
2 2,69 1,90 1,93 2,00
3 1,93 1,90 1,93 1,90
4 1,93 1,90 2,41 3,30
5 1,93 1,90 2,41 3,30
6 1,93 1,90 2,77 3,40
7 1,93 1,90 3,88 4,00
8 3,39 2,00 1,93 2,40
9 4,39 2,30 1,93 1,90
A partir das referências pesquisadas, pode-se concluir que a armadura de suspensão é
necessária e exigida por norma. Embora Mattock e Shen (1992), Mattock e Kumar (1992) e a
norma canadense CSA A23.3-14 mostrem que é possível dispensar a armadura de suspensão
em certas ocasiões, a norma brasileira não faz qualquer menção a essa condição, logo a
armadura deve ser dimensionada sempre que houver apoio entre vigas, muito embora a norma
também não faça nenhuma recomendação de detalhamento. É necessário cuidado com certos
critérios de dimensionamento dos softwares, visto que uns dispensam o dimensionamento da
armadura de suspensão.
Apesar da necessidade de armadura de suspensão ser comprovada experimentalmente,
o que se observa muitas vezes é a omissão em relação ao seu dimensionamento na prática. Isso
entra em contraste com o fato de que não se observam muitos acidentes estruturais devido à sua
ausência nos apoios indiretos. Em primeiro lugar, isso pode ser atribuído aos coeficientes de
segurança normalmente utilizados nos projetos, porém pode-se mencionar também que, na
prática, é comum muitas vigas apresentarem esforços cortantes solicitantes de baixa
intensidade, de forma que não existe uma fissuração representativa e o mecanismo de treliça
não se desenvolve. Muitas vezes, a própria armadura mínima exigida por norma pode ser
suficiente para garantir a armadura de suspensão e a armadura transversal de cisalhamento.
83
CAPÍTULO 4 – VIGAS COM MUDANÇA BRUSCA DE SEÇÃO
4.1 - Introdução
Durante a elaboração do projeto estrutural é necessário compatibilizar a estrutura com
a arquitetura e isso pode exigir do projetista soluções não convencionais. A existência de
desníveis, por exemplo em varandas, pode exigir que a seção transversal das vigas precise de
uma mudança brusca de seção para atender aos requisitos do projeto arquitetônico.
São muitos os casos em que são necessárias soluções de vigas com mudança brusca de
seção (Figura 58). Em certos edifícios, as instalações prediais são acomodadas abaixo da laje e
para não serem feitos furos nas vigas e mesmo assim conservar o espaço vertical do pavimento,
o uso de trechos com altura reduzida permite passagem de tubulações. No processo de
ampliação de edificações, as cintas de fundações podem cruzar com tubulações já existentes e
ser necessário uma seção reduzida em certo trecho para não ser necessário realocar a tubulação
(TAN, 2004).
Figura 58 – Exemplos de variação brusca em seção de vigas.
Fonte: adaptada de Tan (2004).
As mudanças bruscas da seção transversal em vigas de concreto armado criam uma
descontinuidade geométrica na viga e, com isso, uma perturbação no fluxo de tensões. A região
84
de descontinuidade então, não mais pode ser tratada com as mesmas hipóteses de uma viga de
seção constante e é necessário outro método de cálculo que leve em consideração a perturbação
de tensões. A partir dessas considerações, é recomendado pela NBR 6118:2014 que o
tratamento da região seja feito pelo método das bielas e tirantes. A norma ainda faz uma breve
recomendação no item 14.6.2.3 para a altura e largura efetivas que devem ser consideradas em
mísulas ou variações bruscas de seção (Figura 59).
Figura 59 – Altura e largura efetivas.
Fonte: Adaptada de NBR 6118:2014.
Devido à semelhança geométrica entre os dentes Gerber e as vigas com variação brusca
de altura (Figura 60), é possível admitir que o fluxo de tensões também seja semelhante, de
forma que é possível fazer analogias entre o comportamento estrutural e o detalhamento dos
dois elementos. A força horizontal atuante no dente é análoga à resultante de tração na armadura
devido ao momento fletor. No caso de dentes longos, que passam a se comportar como vigas e
os requisitos de flexão e cisalhamento devem ser atendidos, o comportamento se assemelha
ainda mais com o das vigas com variação de altura. Contudo, para descontinuidades de altura
no banzo comprimido da viga, o comportamento já se torna diferente dos dentes Gerber,
conforme será visto posteriormente.
85
Figura 60 – Analogia entre dentes Gerber e vigas com variação brusca de altura.
Fonte: elaborada pelo autor.
A NBR 6118:2014 define dente Gerber como uma saliência que se projeta para fora da
extremidade de uma viga com o objetivo de apoiá-la em um consolo ou na extremidade inferior
de outra viga. A norma apresenta o modelo de cálculo a ser adotado para os dentes Gerber de
forma sucinta, expondo a necessidade do uso de armadura de suspensão composta
preferencialmente por estribos concentrados próximos ao dente e que deve ser dimensionada
para uma força, no mínimo, igual à reação de apoio no dente (Figura 61).
A norma determina que a armadura inferior de flexão da viga deve ser ancorada no
trecho de distribuição da armadura de suspensão e, caso esse trecho não seja suficientemente
grande, é recomendada a utilização de grampos horizontais de barras transversais soldadas. A
armadura inferior do dente tem a função de equilibrar a componente horizontal da biela que
descarrega no apoio e deve ser ancorada a partir do seu cruzamento com a primeira biela no
trecho de maior altura. A norma também exige a presença de armaduras de costura, assim como
nos consolos, para permitir uma ruptura mais dúctil e proporcionar maior carga de ruptura.
Figura 61 – Modelo biela-tirante para dentes Gerber.
Fonte: NBR 6118:2014.
86
Fusco (2013) explica que a geometria dos dentes Gerber acarreta a necessidade de
armaduras de suspensão tanto nos dentes localizados no banzo superior como no banzo inferior
da viga, sendo recomendável dimensioná-la para uma carga 20% maior que a força a ser
teoricamente transmitida (Figura 62). Esse aumento da força a ser suspendida decorre do apoio
das bielas de ancoragem do tirante do dente no nó inferior da armadura de suspensão, em
conjunto com a presença de eventuais forças horizontais atuantes no apoio, como será visto em
seguida.
Figura 62 – Tensões nos dentes Gerber e esquema
de detalhamento.
Fonte: adaptada de Fusco (2013).
Nos dentes Gerber é comum a prática de suspender apenas a reação F da viga, como na
Figura 63, mas o modelo completo de bielas e tirantes revela que não é suficiente apenas
adicionar T1 para a armadura de cisalhamento regular equivalente à força do tirante vertical
(montante) t3 = F/l3. Na verdade, existem forças verticais adicionais T2 = F, porque a força do
tirante horizontal T na redução de seção precisa ser ancorada. A força no tirante T2 é distribuída
sobre um comprimento l2 menor que l3 e, portanto, t2 é consideravelmente maior que t3. Se
existir uma força adicional horizontal Hd solicitando o dente, a quantidade necessária de estribos
verticais deve aumentar (SCHLAICH et al.,1987).
87
Figura 63 – Modelo biela-tirante para dentes Gerber.
Fonte: adaptada de Schlaich et al. (1987).
Segundo Leonhardt e Mönnig (1978), nos dentes Gerber, o fluxo de esforços internos e
a configuração fissurada é função da relação entre a altura reduzida e a altura da viga (h1/h2) e
da disposição das armaduras. Quanto menor a relação h1/h2, mais horizontal será a fissura que
parte do vértice do canto reentrante e tanto mais necessário se torna suspender a força cortante
no dente. Um chanfro no canto reentrante é desejável para diminuir a fissuração devida às
concentrações de tensões por efeito do entalhe.
O autor propõe duas disposições diferentes de armaduras para os dentes Gerber
(Figura 64), mas ressalta que em ensaios realizados, a melhor capacidade resistente e aspecto
de fissuração foram obtidos com uma combinação dos dois casos. Evidentemente, o caso b) é
o menos desejável para execução devido à necessidade de armaduras inclinadas e, no caso de
forças horizontais elevadas, o caso a) seria o mais recomendado.
O autor recomenda que o tirante vertical seja composto por estribos, pois dobrar as
barras do banzo inferior não mostrou bons resultados experimentais. A ancoragem superior de
barras maiores do banzo tracionado, em geral, só se consegue com peças especiais de
ancoragens, como placas metálicas. No caso de estribos, estes devem ser distribuídos em um
trecho de, no máximo, um quarto da altura da viga. A força horizontal de tração na face inferior
do dente deve ser introduzida na viga por meio de armaduras, até uma seção tal que as bielas
de compressão da ancoragem possam se apoiar nos nós superiores e inferiores da treliça.
88
Figura 64 – Diferentes modelos para dimensionamento e detalhamento de dentes
Gerber.
Fonte: Leonhardt e Mönnig (1978).
A NBR 9062:2017 apresenta de forma mais detalhada as exigências de detalhamento
para os dentes Gerber (Figura 65). O início da ancoragem do tirante do dente é suposto diante
do primeiro estribo de suspensão de (dvig - d). A armadura de suspensão deve ser disposta em
um trecho menor ou igual a dvig/4, o que pode implicar na necessidade do uso de grampos de
ancoragem para suprir o reduzido comprimento de ancoragem disponível para a armadura de
flexão da viga, e deve ser composta preferencialmente por estribos fechados. A armadura de
costura deve se estender em, no mínimo, 1,5 vezes o comprimento de ancoragem necessário
considerado em uma região de má aderência (Lb).
Figura 65 – Detalhamento proposto para dente Gerber.
Fonte: adaptada de NBR 9062:2017.
89
Mitchel et al. (2010) retratam o colapso parcial da ponte Concorde em Quebec devido
ao detalhamento incorreto da armadura de suspensão no dente Gerber das lajes da ponte.
Segundo o autor, o grande problema do detalhamento foi o estribo Nº8 (#8) em formato U, que
não foi corretamente ancorado nas barras longitudinais superiores e inferiores (Figura 66a).
Investigações posteriores mostraram que o reforço inclinado Nº6 (#6) foi posicionado
erroneamente, de forma que entre os ganchos da armadura de suspensão e as barras
longitudinais superiores foi criada uma zona de baixa resistência à tração (Figura 66b).
Figura 66 – Detalhes do dente Gerber das lajes da ponte Concorde.
Fonte: adaptada de Mitchel et al. (2010).
Os autores também realizaram experimentos em dentes Gerber com diferentes
detalhamentos para a armadura de suspensão (Figura 67). O detalhamento (a) é semelhante ao
detalhamento utilizado na ponte Concorde. No detalhamento (b), a ancoragem da armadura
longitudinal se dá no trecho da armadura de suspensão de forma correta, e no detalhamento (c)
a ancoragem se dá por uma placa metálica concretada na extremidade, ambos com armadura de
suspensão em estribos perpendiculares ao eixo da peça. Por último, o detalhamento (d) possui
a armadura de suspensão por dobra da armadura longitudinal, ancorada na parte superior da
viga.
90
Figura 67 – Diferentes detalhamentos para os dentes Gerber
ensaiados.
Fonte: adaptada de Mitchel et al. (2010).
As vigas (b) e (c) apresentaram as maiores cargas de ruptura, 273 kN e 329 kN,
respectivamente, e atenderam a resistência prevista. As vigas (a) e (d) apresentaram as menores
cargas de ruptura, 193 kN e 228 kN, respectivamente, e não atenderam à resistência prevista. A
viga (a) apresentou problemas de ancoragem da armadura longitudinal inferior e dos estribos
de suspensão. A viga (d) apresentou problemas de ancoragem da armadura de suspensão na
parte superior e, a partir disso, o surgimento de uma grande fissura (Figura 68).
Figura 68 – Imagens dos modelos ensaiados na ruptura.
Fonte: adaptada de Mitchel et al. (2010).
91
A partir desses experimentos, fica evidenciada a importância da ancoragem correta da
armadura de suspensão na capacidade resistente última dos dentes. Entretanto, é válido ressaltar
que a NBR 6118:2014 permite o uso de barras dobradas para armadura de suspensão, exigindo
apenas que o modelo de cálculo seja adaptado para isso. Já a NBR 9062:2017, permite o uso
desde que corretamente ancoradas na extremidade e protegidas do risco de fendilhamento do
concreto nas suas dobras, respeitando o limite de se suspender no máximo 40% da força através
dessas barras.
Muttoni et al. (1997) apresenta modelos de bielas e tirantes especificamente para vigas
com variação brusca de altura solicitadas apenas a momentos fletores (Figura 69). A partir do
modelo exposto, pode-se perceber a necessidade de armadura de suspensão tanto em
descontinuidades no banzo tracionado, como no banzo comprimido. Também pode-se observar
a tendência de maiores descontinuidades de altura em gerar uma maior armadura de suspensão,
pois maiores inclinações das bielas geram uma componente vertical de maior intensidade a ser
equilibrada pela armadura de suspensão.
Para descontinuidades do banzo tracionado, as bielas de ancoragem da armadura
tracionada do lado de menor altura se equilibram nos nós superiores e inferiores da treliça
criando uma componente vertical de força de tração que precisa ser resistida por uma armadura
transversal. Para descontinuidades do banzo comprimido, o surgimento de uma inclinação do
banzo também cria uma componente vertical que precisa ser resistida através de uma armadura.
As duas armaduras transversais diferem na posição em relação à descontinuidade. Para a
primeira a situação, a armadura deve ser colocada próxima à descontinuidade, e para a segunda
situação, deve ser colocada a uma certa distância que depende da inclinação considerada para
o banzo comprimido.
92
Figura 69 – Modelo de bielas e tirantes para descontinuidades
na altura de vigas.
Fonte: Muttoni et al. (1997).
Entre os modelos propostos por Muttoni et al. (1997) para vigas e Schlaich et al. (1987)
para dentes Gerber, pode-se perceber que, no segundo, as bielas da ancoragem do tirante do
dente não mais se ancoram no nó superior do banzo comprimido da viga. Reineck (2002) e
Sanders (2002) explicam que a existência da biela ancorando no nó superior não é consistente
com o mecanismo de ruptura de dentes Gerber observado em resultados experimentais, pois é
perpendicular à fissura que se forma no canto reentrante da viga (Figura 70). Para equilibrar
então as componentes verticais das tensões de ancoragem, é necessário o tirante DF da
Figura 70.
Figura 70 – Modelo desconsiderando a biela de ancoragem
no nó superior.
Fonte: adaptada de Sanders (2002).
93
No entanto, no caso das vigas com variação de altura, a presença da biela ancorando no
nó superior é fundamental para o equilíbrio do modelo adotado, uma vez que a força resultante
no concreto é maior no lado de menor altura (Figura 71). Tendo em vista a importância da biela,
é necessário garantir sua integridade no estado limite último, através do controle de fissuração
no canto reentrante. Sugere-se aqui neste trabalho então, a adoção de uma armadura de pele na
região da descontinuidade, a fim de reduzir a fissuração. Na ausência de algum critério
específico que determine a taxa de armadura de pele, pode-se utilizar o critério recomendado
pela CSA A23.3-14 para regiões especiais. Armaduras inclinadas também podem ser eficientes,
apesar de não preferíveis para a execução.
Figura 71 – Resultantes na seção, fissuração e armadura de pele.
Fonte: elaborada pelo autor.
Zilch e Zehetmaier (2010) apresentam o modelo de bielas de tirantes de forma mais
detalhada, expondo informações sobre as dimensões das bielas, dos tirantes existentes no
modelo e também detalhes dos comprimentos de ancoragem exigidos (Figura 72).
Na Figura 72a, pode-se perceber que a ancoragem da armadura longitudinal no lado de
maior altura também se dá no trecho da armadura de suspensão, logo o trecho mínimo possível
seria igual ao comprimento de ancoragem necessário para as barras longitudinais. O trecho da
armadura de suspensão influencia também na área das bielas de ancoragem da armadura
longitudinal da menor seção que deve ser estendida até no mínimo 2/3 do comprimento de
ancoragem necessário além do trecho da suspensão. No modelo da Figura 72b, a ancoragem da
armadura longitudinal da menor seção se dá no trecho da armadura de suspensão e novamente
influencia na área das bielas, porém a seção de verificação das bielas passa a ser a da outra
extremidade, por possuir menor área.
94
Figura 72 – Modelo biela-tirante para descontinuidades na altura; a) descontinuidade no banzo
tracionado; b) descontinuidade no banzo comprimido.
Fonte: adaptada de Zilch e Zehetmaier (2010).
Schlaich e Schäfer (2001) também apresentam modelos biela-tirante semelhantes para
essas vigas. A força no tirante vertical T3 é adotada como aproximadamente 80% da força na
armadura longitudinal na maior seção para uma relação T2/T1 de aproximadamente 0,5
(Figura 73). As mesmas considerações feitas por Zilch e Zehetmaier (2010) em relação à
ancoragem das armaduras são observadas.
95
Figura 73 – Modelo biela-tirante para descontinuidades de altura nas vigas.
Fonte: adaptada de Schlaich e Schäfer (2001).
O nó inferior da armadura de suspensão para descontinuidades no banzo tracionado e o
nó superior para descontinuidades no banzo comprimido representam um nó CTT (Figura 72).
Schäfer (1999b) explica que a ancoragem é essencialmente formada por compressão diagonal
combinada com armadura transversal composta por estribos. Considerando que as barras da
armadura transversal devem ser ancoradas dentro da espessura do banzo tracionado, apenas
barras de pequeno diâmetro dobradas em volta da armadura longitudinal são apropriadas
(Figura 74). Para esse tipo de nó, o autor sugere as seguintes verificações:
- Verificação da compressão diagonal da Fc na biela através do parâmetro limite fcd2;
- Ancoragem da força resultante (Ft1 - Ft2) no caso (a) e da força Ft1 no caso (b). O
comprimento de ancoragem disponível pode ser aumentado através do aumento do número de
estribos;
- Ancoragem dos estribos (Força Ft3) através de barras de pequeno diâmetro dobradas e
ancoradas nas barras longitudinais;
- Presença de reforço horizontal de acordo com as boas práticas, através do ramo
horizontal dos estribos.
96
Também há uma recomendação no item 23.8.3 da norma americana, ACI 318:2014, de
que a diferença das forças de tração deve se desenvolver dentro da região nodal, logo esse trecho
deve ser suficiente para desenvolver o maior comprimento de ancoragem entre os dois tirantes.
Figura 74 – Nós CTT dois tirantes ortogonais.
Fonte: Schäfer (1999b).
A profundidade da linha neutra deve ser calculada considerando a resistência do
concreto definida como o fcd1, para bielas prismásticas, o que implica em uma linha neutra e
armadura longitudinal maiores do que no dimensionamento comum da flexão. O mesmo fator
fcd1 para o banzo comprimido de vigas é recomendado no item 5.3.2 do boletim técnico da FIP,
Practical Design of Concrete Structures (1999). No capítulo 21 do ACI 318:2014 também é
proposto o uso de parâmetros de resistência diferentes do dimensionamento comum à flexão,
quando aplicado o método de bielas e tirantes.
Ensaios experimentais realizados por Souza (1999), em vigas deste tipo, confirmaram o
funcionamento dos estribos próximos ao dente como armadura de suspensão. Um aumento da
variação da altura promoveu um aumento da solicitação e a aproximação do comportamento
desses estribos ao de um tirante. Os ensaios também constataram a eficiência da armadura
inclinada posicionada no canto reentrante, onde a fissuração foi mais controlada e o
comportamento também se deu como armadura de suspensão. Souza (1999) sugere ainda o uso
de armadura de pele no lado de menor altura, pois esse lado resultou bem mais fissurado
(Figura 75).
97
Figura 75 – Fissuração observada na viga com variação brusca de
altura.
Fonte: adaptada de Souza (1999).
4.2 – Metodologia
Os estudos de caso das situações de vigas com variação brusca de altura no vão se deram
por intermédio de um pórtico de apenas um pavimento composto por dois pilares e uma viga
(Figura 76). No intuito de verificar a influência da presença de maiores esforços cortantes no
dimensionamento, variou-se a posição da descontinuidade de altura para duas situações:
descontinuidade situada no meio do vão, onde o esforço cortante é quase nulo, e
descontinuidade situada a uma distância de 70 cm do eixo do pilar P1, onde os esforços
cortantes são de maior intensidade e o comportamento, teoricamente, se aproxima mais ao de
um dente Gerber. A viga era de concreto de classe C35, com cobrimento de 3 cm e
carregamento uniforme de 3 tf/m além do peso próprio. Também não foram foram realizadas
combinações das ações.
98
Figura 76 – Modelo estrutural para análise de vigas com variação brusca
de altura no vão (sem escala).
Fonte: elaborada pelo autor.
Para estudar a influência da variação de altura no dimensionamento e detalhamento da
viga foram analisados 6 casos de variação para cada posição relativa da descontinuidade no
vão, sendo 3 casos associados à descontinuidades no banzo inferior e 3 casos associados à
descontinuidades no banzo superior, totalizando assim 12 casos (Figura 77). As situações “a”
se referem a descontinuidades no meio do vão, e “b” às descontinuidades próximas ao apoio.
99
Figura 77 – Diferentes variações de altura analisadas no trabalho (sem escala).
Fonte: elaborada pelo autor.
4.3 – Análise dos resultados e discussões
4.3.1 – Eberick V10
No dimensionamento de vigas com variação brusca de altura no vão pelo software
Eberick V10, as configurações são pré-estabelecidas pelo próprio software e não existem
critérios a serem modificados pelo projetista. A descontinuidade é modelada através da criação
de um nó na devida posição, dividindo a viga em duas, onde varia-se a seção para cada lado do
nó.
A partir dos resultados obtidos, é possível afirmar que o dimensionamento deste tipo de
viga se deu essencialmente pelo cálculo de uma armadura de suspensão a ser detalhada no lado
de maior altura, na forma de estribos fechados, para apenas descontinuidades no banzo
tracionado, e seguindo o direcionamento da armadura transversal comum. O dimensionamento
à flexão e cisalhamento é feito de forma separada para cada lado do nó, onde evidentemente o
lado de menor altura resultará em uma maior armadura, devido à menor altura útil. Os
resultados obtidos a partir dos casos modelados estão expostos na Tabela 13. Os dentes com
100
valores positivos representam variação de altura no banzo inferior e os valores negativos no
banzo superior.
Tabela 13 – Resultados obtidos nos casos estudados no software Eberick V10.
Caso Dente Reforço nos estribos
Vd (tf) As,sus (cm²) Vd, eq (tf) Trecho (cm)
1a 10 11,87 5,46 40,24 30,00
2a 20 10,54 4,85 35,73 30,00
3a 30 8,56 3,94 28,72 30,00
1b 10 - - - -
2b 20 - - - -
3b 30 1,17 0,54 3,92 30,00
4a -10 - - - -
5a -20 - - - -
6a -30 - - - -
4b -10 1,62 0,74 5,40 30,00
5b -20 0,46 0,21 1,55 30,00
6b -30 - - - -
Observando-se os resultados da Tabela 13, pode-se ver que em todos os casos (a) de
descontinuidade no banzo inferior foram dimensionadas armadura de suspensão, enquanto em
todos os casos (a) de descontinuidade no banzo superior, não foi calculada armadura de
suspensão. Dos casos (b), apenas o 3, 4 e 5 apresentaram armadura de suspensão. Os casos 6a
e 6b não apresentaram armadura de suspensão. O software utiliza do mesmo artifício do esforço
cortante equivalente utilizado para o caso de apoio entre vigas.
A partir do diagrama de momentos fletores obtidos do processamento do pórtico
espacial, pode-se perceber que todas as situações em que foram dimensionadas armadura de
suspensão, possuem a descontinuidade no lado tracionado pelo momento. Os casos (b) que
apresentaram armadura de suspensão possuem descontinuidade no lado tracionado pelo
momento fletor: 4b e 5b estão em um trecho de momento negativo, enquanto 3b em trecho de
momento positivo. Os casos (a) que apresentaram armadura de suspensão possuem
descontinuidade inferior e estão no trecho de momento fletor positivo.
Observando o diagrama de momentos fletores dos casos 6a e 6b, para os quais não foram
dimensionadas armaduras de suspensão, verifica-se que, no primeiro, a descontinuidade está de
fato na face comprimida (Figura 78). Para o caso 6b, o resultado da análise estrutural resultou
101
em uma descontinuidade ligeiramente ainda posicionada em um trecho de momento fletor
positivo, por isso também não foi dimensionada armadura de suspensão nesta situação.
Diferentemente dos casos 4b e 5b, onde a análise estrutural resultou em um trecho de momento
negativo, embora de baixo valor (Figura 79).
Figura 78 – Momentos fletores de cálculo (tfm) dos casos 6a e 6b.
Fonte: Eberick V10.
Figura 79 – Momentos fletores de cálculo dos casos 4b e 5b.
Fonte: Eberick V10.
A partir do exposto, pode-se afirmar que no software Eberick V10 o dimensionamento
da armadura de suspensão está diretamente ligado ao momento fletor atuante na seção. Para
102
que seja calculada uma armadura de suspensão, é necessário que a descontinuidade esteja
posicionada no lado tracionado da viga. Esta consideração entra em contradição com o modelo
biela e tirante proposto por Muttoni et al. (1997) e Zilch e Zehetmaier (2010) (Figura 69 e
Figura 72, respectivamente), onde se pode ver claramente a necessidade de armadura de
suspensão tanto para descontinuidades no banzo comprimido como no banzo tracionado.
É válido ressaltar que em todos os casos (a), a posição da descontinuidade ficou em um
ponto de cortante quase nulo, enquanto que os casos (b), mais próximos do apoio, ficaram em
regiões de cortantes mais elevados. Os casos 1a, 2a, e 3a se localizam próximos aos máximos
momentos fletores positivos e resultaram nas maiores armaduras de suspensão, e os casos 3b,
4b e 5b próximos aos momentos fletores nulos e resultaram em menores armaduras de
suspensão. Analisando-se as situações 3b e 4b, o momento fletor na descontinuidade é 0,56 tfm
e 0,78 tfm respectivamente, e a razão entre esses dois valores resulta muito próximo também
da razão entre as armaduras calculadas, 1,17 cm² e 1,62 cm² respectivamente, que é 0,72.
A partir dessas considerações, pode-se afirmar que, além da necessidade ou não da
armadura de suspensão, o cálculo da armadura de suspensão pelo software também está
intimamente ligado ao momento fletor no nó da descontinuidade e não aos esforços cortantes
propriamente ditos. É válido salientar que no caso 1a, o cortante a ser suspendido (11,87 tf)
resultou maior, inclusive, que o próprio cortante nas extremidades da viga (10,71 tf e 10,97 tf),
que é geralmente crítico para o dimensionamento da armadura transversal (Figura 80).
Em relação à área de aço dimensionada, foi verificado que quanto maior foi a
descontinuidade, menor foi o cortante a ser suspendido e menor a armadura de suspensão. Isto
contradiz o que Leonhardt e Mönnig (1978) expõem para dentes Gerber, que maiores
descontinuidades geram maiores armaduras de suspensão, o que faz sentido se observado o
modelo biela-tirante também para vigas com essa descontinuidade exposto por Muttoni et al.
(1997).
Figura 80 – Esforços cortantes (tf) para V1 no caso 1a.
Fonte: Eberick V10.
103
Para anular o efeito da diminuição do peso próprio e consequentemente dos esforços, os
casos 2a, 3a, 3b e 5b foram reprocessados, porém com um carregamento extra equivalente à
seção que foi reduzida para manter as mesmas solicitações (Tabela 14). A mesma tendência de
diminuição da armadura de suspensão foi observada, com pouca influência nos resultados
anteriores, principalmente nas situações (b), em que o trecho de altura reduzido é bem menor.
Tabela 14 – Resultados com acréscimo de carregamento.
Caso Md (tfm) Vd (tf) As (cm²) Vd,eq (tf)
2a’ 5,08 10,59 4,87 35,90
3a’ 4,14 8,63 3,97 28,96
3b’ 0,57 1,19 0,55 3,97
5b’ 0,23 0,46 0,21 1,55
Foi observado que o cortante a ser suspendido (Vd, na Tabela 13) resultou muito
próximo da força resultante (Rst) na armadura longitudinal tracionada (As,L), devido ao
momento fletor no nó da descontinuidade (Md). Não é aplicado o coeficiente γs = 1,15 à tensão
de escoamento pois esse já é aplicado na hora do cálculo da armadura de suspensão. A variação
de altura modificou os esforços internos de forma que o momento fletor no nó diminuía com o
aumento da variação, por isso a armadura de suspensão diminuiu com o aumento da variação
(Tabela 15).
Na Tabela 15, pode-se perceber a relação constante entre Md e Vd, para todos os casos,
e igual a 80% da altura maior da viga, 0,48 m. Pode-se inferir que a força a ser suspendida é
calculada com um braço de alavanca constante e igual à 0,8h2, onde h2 é a maior altura da viga 4.
Para o caso 1a, tem-se:
Vd = Md
0,8 ∙ h2 =
5,70
0,8 ∙ 0,6 =
5,70
0,48 = 11,875 tf
Tabela 15 – Cálculo do esforço cortante de suspensão.
Caso Md (tfm) As,L (cm²) Rst (tf) Vd (tf) Vd/Rst Md/Vd
1a 5,70 2,39 11,95 11,87 0,99 0,48
2a 5,06 2,11 10,55 10,54 1,00 0,48
3a 4,11 1,73 8,65 8,56 0,99 0,48
3b 0,56 0,23 1,14 1,17 1,03 0,48
4b 0,78 0,32 1,59 1,62 1,02 0,48
5b 0,22 0,09 0,45 0,46 1,03 0,48
4 Informação confirmada com o suporte técnico do software.
104
Ao verificar a área de aço calculada para suspender o cortante, o resultado dado pelo
software, exposto na tabela 1, resultou na verdade no dobro da área de aço necessária
(Tabela 16).
Tabela 16 – Relação entre área de aço calculada manualmente e pelo
software.
Caso Vd (tf) As,calc (cm²) As,sus (cm²) As,sus/As,calc
1a 11,87 2,73 5,46 2,00
2a 10,54 2,42 4,85 2,00
3a 8,56 1,97 3,94 2,00
3b 1,17 0,27 0,54 2,01
4b 1,62 0,37 0,74 1,99
5b 0,46 0,11 0,21 1,98
O valor do esforço cortante utilizado para suspensão foi adotado também para
verificação do esmagamento das bielas no caso 1a (Figura 81), situação essa que não foi
observada nos relatórios de apoio indireto entre vigas no estudo de caso anterior, onde o esforço
cortante para suspensão na viga V2, apenas serviu para dimensionamento da armadura
transversal e o utilizado nas verificações foi sempre o da extremidade. Em todos os outros casos,
o cortante de suspensão resultou menor que o cortante na extremidade da viga e o software
adotou o maior para verificação das bielas (Figura 82).
Figura 81 – Verificação do esmagamento das bielas para o caso 1a.
Fonte: Eberick V10.
Figura 82 – Verificação do esmagamento das bielas para o caso 2a.
Fonte: Eberick V10.
105
Os resultados obtidos pelo software Eberick se mostraram extremamente conservadores,
conduzindo a armaduras transversais relativamente elevadas na proximidade da variação de
altura (Tabela 17). Nos casos 1a, 2a e 3a, para que a armadura de suspensão fosse detalhada em
barras de 5 mm ou 6,3 mm, usualmente utilizadas como armadura transversal, seriam
necessários espaçamentos inviáveis de serem executados em uma estrutural real, ou estribos
com mais de 2 ramos (Figura 83).
Tabela 17 – Área de aço adotada pelo Eberick.
Caso Dente (cm) Asw (cm²/m) As,adotada
1a 10 15,05 φ 10,0 c/10
2a 20 13,01 φ 10,0 c/12
3a 30 10,05 φ 8,0 c/10
1b 10 1,93 φ 5,0 c/21
2b 20 1,93 φ 5,0 c/21
3b 30 1,93 φ 5,0 c/21
4a -10 1,93 φ 5,0 c/21
5a -20 1,93 φ 5,0 c/21
6a -30 1,93 φ 5,0 c/21
4b -10 1,93 φ 5,0 c/21
5b -20 1,93 φ 5,0 c/21
6b -30 1,93 φ 5,0 c/21
Figura 83 – Opções de detalhamento para armadura transversal no
trecho de suspensão para o caso 1a.
Fonte: Eberick V10.
Na Figura 84, está o detalhamento da viga V1, onde para o detalhamento da armadura
transversal de suspensão foi preferido barras de 10 mm espaçadas em 10 cm para garantir boas
condições de concretagem da região. Embora no relatório de cálculo o trecho de distribuição
da armadura de suspensão seja considerado igual à metade da maior altura da viga (30 cm), foi
observado que no detalhamento de todos os casos analisados, o trecho de real distribuição foi
de pouco mais de 1 metro, o que gerou um consumo maior de aço.
106
Figura 84 – Detalhamento emitido pelo Eberick V10 da viga V1 no caso 1a (sem escala).
Fonte: Eberick V10.
Figura 85 – Detalhamento emitido pelo Eberick V10 da viga V1 no caso 5a (sem escala).
Fonte: Eberick V10.
O método de cálculo de armaduras de suspensão através do cortante equivalente impede
a criação de trechos muito curtos de armaduras a fim de facilitar a execução da estrutura. Dessa
107
forma, a armadura de suspensão é tratada como uma armadura comum de cisalhamento e seus
critérios de distribuição são controlados pelos critérios de armadura de cisalhamento. Para
evitar a armadura de suspensão em um trecho muito grande, uma vez que só é necessária
próxima à descontinuidade, devem ser alterados os critérios relacionados aos trechos de
distribuição dos estribos (Figura 86).
No intuito de comparar os detalhamentos, o valor de 100 cm do critério da Figura 86 foi
alterado para 30 cm e com isso o trecho realmente detalhado reduziu para 49 cm. Uma redução
importante, visto que a armadura resultou relativamente alta e um trecho menor pode resultar
em uma grande economia. É importante que o responsável pelo projeto configure os critérios e
otimize o detalhamento para garantir a economia na fase de execução, seja através da redução
do consumo de aço ou seja por detalhamentos mais simples.
Figura 86 – Critérios de trechos de distribuição de estribos.
Fonte: Eberick V10.
A seguir é apresentado o procedimento de cálculo utilizado pelo software Eberick V10
nas situações de vigas com variação brusca de altura no vão e, em seguida, o cálculo manual
para o caso 1a (Figura 84).
1- Determinação do momento fletor no nó da abertura e do cortante a ser suspendido,
que será utilizado também na verificação da compressão diagonal se for maior que
os esforços cortantes solicitantes;
2- Cálculo da área de aço em cm², duas vezes maior que a necessária para o esforço
cortante calculado no item 1;
3- Cálculo da área de aço em cm²/m, dividindo-se pelo trecho em que será distribuída;
4- Cálculo de um esforço cortante equivalente que origine essa área de aço;
5- Adição desse cortante equivalente ao diagrama de esforços;
6- Cálculo de uma armadura transversal para esse cortante e comparação dessa
armadura com a armadura transversal mínima, adotando-se o maior valor.
108
- Aplicação do procedimento no caso 1a:
1- Md = 5,70tf
Vd = Md
0,8 ∙ h2=
5,70
0,8 ∙60= 11,87tf
2- As,sus = 2 ∙ Vd
fyd= 2 ∙
11,87
(5 1,15⁄ )= 5,46cm²
3- As,sus
s=
5,46
0,30= 18,20cm2/m
4- Vd,eq = As
s ∙ (0,9 ∙ d ∙ fywd) = 18,20 ∙ (0,9 ∙ 0,565 ∙
5
1,15) = 40,23tf
5- Vd,total = 40,23 + 1,35 = 41,58 tf
6- Vsw = Vd,total – Vc
Sendo Vc definido na flexo-compressão, devido ao esforço normal de 3,85 tf que a
viga apresentou na análise estrutural do pórtico:
Vc = Vc0 ∙ (1 +M0
MSd,máx ) = 0,6 ∙ fctd ∙ b ∙ d ∙ (1 +
M0
MSd,máx )
Vc = 0,6 ∙ 0,016 ∙ 15 ∙ 56,50 ∙ 1,07 = 8,70 tf
Vsw = 41,58 - 8,70 = 32,88 tf
Asw
s =
Vsw
(0,9 ∙ d ∙ fywd) =
32,88
(0,9 ∙ 0,565 ∙5/1,15 ) = 14,87 cm²/m
Chegou-se a um valor próximo dos 15,05 cm²/m calculados pelo software. Serão
adotados estribos de dois ramos: φ 10,0 mm c/ 10 cm = 15,7 cm²/m.
4.3.2 – CAD/TQS V20
O software CAD/TQS V20.1 não apresenta critérios de dimensionamento para vigas
com variação brusca de altura. Apenas existe um critério de detalhamento, que governa a quebra
ou não da armadura longitudinal, onde é preciso definir uma altura mínima para o dente, a partir
da qual será realizada a quebra e dobra no detalhamento (Figura 87).
109
Figura 87 – Critério para detalhamento em situações de variação de seção.
Fonte: CAD/TQS V20.1.
A partir dos resultados observados nos relatórios de cálculo emitidos, o software não
dimensiona uma armadura específica de suspensão na região da descontinuidade de altura. O
detalhamento especial da armadura devido à descontinuidade geométrica se resume à dobra e
ancoragem em gancho das barras longitudinais de flexão na parte superior do trecho de maior
altura (Figura 88). Para descontinuidades do banzo comprimido, a armadura longitudinal
também é dobrada, porém não ancorada nas barras longitudinais do outro extremo. (Figura 89).
110
Figura 88 – Detalhamento emitido pelo CAD/TQS V20.1 da viga V1 no caso 1a (sem escala).
Fonte: CAD/TQS V20.1.
Figura 89 – Detalhamento emitido pelo CAD/TQS V20.1 da viga V1 no caso 5a (sem escala).
Fonte: CAD/TQS V20.1.
111
Foi observado que o dimensionamento à flexão foi realizado considerando que toda a
viga possui a menor altura, embora o momento fletor utilizado no cálculo tenha sido o atuante
no respectivo trecho de dimensionamento. Esse procedimento impactou especialmente nos
casos 3a, 6a, 3b e 6b que não puderam ser dimensionados à flexão, pois a consideração da
menor altura (30 cm) nas seções de maior momento fletor (Figura 90) resultou em um centro
geométrico da armadura longitudinal muito alto, superior ao limite de 10% da altura da viga,
definido nos critérios de Flexão Simples (Figura 91). Para os casos 3a e 6a, o erro ocorreu para
o momento negativo no apoio da direita e, para os casos 3b e 6b, devido ao momento positivo
máximo.
Figura 90 – Diagramas de momentos fletores dos pórticos (valores característicos).
Fonte: CAD/TQS V20.1.
112
Figura 91 – Critério de percentagem máxima para o baricentro da armadura.
Fonte: CAD/TQS V20.1.
Observou-se também no relatório geral do cálculo de vigas que o dimensionamento ao
cisalhamento foi feito de forma semelhante. Na verificação de esmagamento das bielas, o valor
utilizado para o esforço resistente (VRd2) foi sempre o da menor altura, independente da
verificação ser feita para uma seção de esforço cortante atuante no trecho de maior altura
(Figura 92). Todas as vigas foram dimensionáveis aos esforços cortantes.
Figura 92 – Verificação e dimensionamento do cisalhamento para os casos 1a, 2a e 3a.
Fonte: CAD/TQS V20.1.
Sendo o modelo de cálculo I adotado, o esforço cortante resistente é definido no item
17.4.2.2 da NBR 6118:2014, e sendo o concreto de classe C35 e o centro geométrico da
113
armadura adotado simplificadamente como estando a 4 centímetros da borda, tem-se então o
cálculo dos esforços resistentes para todos os casos:
VRd2 = 0,27 ∙ αv2 ∙ fcd ∙ b ∙ d
αv2 = (1 - fck
250) = (1 -
35
250) =0,86
fcd = fck
γc =
35
1,4 = 25MPa = 0,25tf/cm²
- Para os casos 1a, 1b, 4a, e 4b: VRd2 = 0,27 ∙ 0,86 ∙ 0,25 ∙ 15 ∙ 46 = 40,05tf
- Para os casos 2a, 2b, 5a, e 5b: VRd2 = 0,27 ∙ 0,86 ∙ 0,25 ∙ 15 ∙ 36 = 31,35tf
- Para os casos 3a, 3b, 6a, e 6b: VRd2 = 0,27 ∙ 0,86 ∙ 0,25 ∙ 15 ∙ 26 = 22,63tf
- Para uma viga com h = 60cm: VRd2 = 0,27 ∙ 0,86 ∙ 0,25 ∙ 15 ∙ 56 = 48,76tf
Para uma viga de altura constante no vão e igual a 60cm, o valor adotado pelo software
para VRd2 foi de 48,98tf (Figura 93).
Figura 93 – VRd2 para viga com h = 60cm.
Fonte: CAD/TQS V20.1.
Na Figura 92, apesar do esforço cortante solicitante no segundo apoio ter aumentado
apenas de 10,19 tf no caso 1a para 10,58 tf no caso 3a, a armadura aumentou de 1,9cm²/m para
6,8 cm²/m, um aumento de mais de 250%. Enquanto na Figura 93, para a viga de altura
constante, a armadura calculada resultou menor que a armadura mínima, 1,3 cm²/m. É possível
verificar que o cálculo da armadura também se deu considerando apenas a menor altura, assim
como na verificação das bielas.
114
- Para o caso 1a:
Vc = 0,6 ∙ fctd ∙ b ∙ d = 0,6 ∙ 0,016 ∙ 15 ∙ 46 = 6,62 tf
Vsw = 10,19 - 6,62 = 3,57 tf
Asw
s =
Vsw
(0,9 ∙ d ∙ fyd) =
3,57
(0,9 ∙ 0,46 ∙ 5 / 1,15)= 1,98 cm²/m
- Para o caso 2a:
Vc = 0,6 ∙ 0,016 ∙ 15 ∙ 36 = 5,18 tf
Vsw(1) = 9,91 - 5,18 = 4,73 tf
Vsw(2) = 10,25 - 5,18 = 5,07 tf
Asw(1)
s =
4,73
(0,9 ∙ 0,36 ∙ 5 / 1,15) = 3,36 cm²/m
Asw(2)
s =
5,07
(0,9 ∙ 0,36 ∙ 5 / 1,15) = 3,60 cm²/m
- Para o caso 3a:
Vc = 0,6 ∙ 0,016 ∙ 15 ∙ 26 = 3,74 tf
Vsw(1) = 9,43 - 3,74 = 5,69 tf
Vsw(2) = 10,58 - 3,74 = 6,84 tf
Asw(1)
s =
5,69
(0,9 ∙ 0,26 ∙ 5 / 1,15) = 5,59 cm²/m
Asw(2)
s =
6,84
(0,9 ∙ 0,26 ∙ 5 / 1,15)= 6,72 cm²/m
O cálculo manual realizado anteriormente chegou a valores bem próximos dos emitidos
pelo software no relatório de cálculo (Figura 92). A utilização da geometria da menor seção
para todo o restante da viga certamente constitui um cálculo a favor da segurança quando se
trata da flexão e cisalhamento, embora antieconômico. No caso 3a, como já mostrado, uma
armadura transversal que resultaria próxima da armadura mínima resultou em um valor cerca
de três vezes maior. No cálculo da flexão, essa consideração inviabilizou o dimensionamento
dos casos 3a, 6a, 3b e 6b. Evidentemente, para pequenas diferenças de alturas, os valores de
115
armaduras resultantes serão parecidos e, na prática, poderia se adotar a mesma armadura para
os dois lados até como forma de simplificar o detalhamento.
Embora a altura da viga tenha sido adotada como constante em todo o vão, na Figura 92
pode-se ver que a armadura transversal efetivamente detalhada na descontinuidade foi menor
do que a dos apoios, uma vez que os esforços cortantes no meio do vão são de menor intensidade
e os estribos ao longo do vão, por definição prévia, são divididos em três trechos. Para todos os
casos (a), essa armadura resultou na verdade na armadura mínima e, para os casos (b), resultou
maior, devido aos maiores esforços cortantes na seção. As armaduras efetivamente detalhadas
na descontinuidade, no lado da maior seção, estão na Tabela 18 a seguir.
Tabela 18 – Área de aço adotada pelo CAD/TQS.
Caso Dente (cm) Asw (cm²/m) As,adotada
1a 10 1,90 φ 5,0 c/20
2a 20 1,90 φ 5,0 c/20
3a 30 1,90 φ 5,0 c/20
1b 10 1,90 φ 5,0 c/20
2b 20 3,30 φ 6,3 c/18
3b 30 5,90 φ 6,3 c/10
4a -10 1,90 φ 5,0 c/20
5a -20 1,90 φ 5,0 c/20
6a -30 1,90 φ 5,0 c/20
4b -10 1,90 φ 5,0 c/20
5b -20 3,30 φ 6,3 c/18
6b -30 5,90 φ 6,3 c/10
É válido reiterar a necessidade de cuidados especiais de detalhamento nessas situações,
como a armadura transversal mais concentrada nas proximidades do dente, que não foi
observada nos resultados. O uso de barras longitudinais dobradas como forma de armadura de
suspensão, detalhadas pelo software, não representa uma boa alternativa, como verificado por
Mitchel et al. (2010). As próprias normas de projeto recomendam o uso de estribos fechados
para essa finalidade. É importante lembrar que no caso de dobras da armadura longitudinal, a
largura da viga deve ser suficiente para evitar o congestionamento das barras do lado de menor
altura com as dobras das barras do lado de maior altura.
116
4.3.3 - SECAOVIG
O aplicativo SECAOVIG é uma ferramenta de cálculo disponível na TQS Store e será
utilizada aqui como uma das formas de avaliar os resultados obtidos a partir dos outros
softwares. A razão disto é porque o aplicativo realiza um procedimento de cálculo baseado no
método de bielas e tirantes, que é recomendado pela norma. O modelo utilizado pelo aplicativo
é baseado no modelo proposto por Schlaich e Schäfer (2001) apresentado anteriormente
(Figura 73).
Figura 94 – Interface do aplicativo.
Fonte: SECAOVIG
O modelo contempla apenas os momentos fletores, mas o esforço cortante é considerado
de forma simplificada, somando a armadura transversal à armadura do tirante calculada através
do modelo. Para o dimensionamento da viga, é necessário fornecer como dados de entrada, as
armaduras oriundas do dimensionamento geral da viga à flexão e cisalhamento, além do fck e
cobrimento (Figura 95). Existe a opção “Modelo de Bielas e Tirantes e Cisalhamento” que, se
estiver desativada, a armadura transversal adotada resultará apenas do modelo biela-tirante, não
da sua soma com a armadura transversal de cisalhamento.
117
Figura 95 – Dados de entrada para o
aplicativo.
Fonte: SECAOVIG.
O aplicativo realiza as verificações de ancoragem das armaduras longitudinais das duas
seções, em especial a determinação da extensão da armadura da menor seção a partir da
descontinuidade (L,ancoragem). A armadura é estendida em 1,5lb,nec após o trecho da armadura de
suspensão, embora para o cálculo seja levado em consideração apenas o lb,e, conforme
Figura 96. Também é calculada a tensão atuante no nó A (σ,nó) e comparada com o valor limite
fcd2. Além das verificações principais do modelo, são feitas verificações secundárias em relação
a armadura fornecida inicialmente como o equilíbrio da seção transversal em relação à obtenção
da linha neutra.
Figura 96 – Modelo utilizado.
Fonte: Manual SECAOVIG V1.0 (2016).
118
O cálculo realizado por meio do aplicativo para fins de comparação da armadura gerada
foi feito considerando os dados de entrada obtidos através do Eberick, visto que foi o único dos
dois softwares previamente analisados que apresentou armadura transversal específica para essa
situação, e os resultados se encontram na Tabela 19. A armadura transversal é oriunda apenas
do modelo, não sendo considerada a parcela do cisalhamento. Os casos b) não foram avaliados
pois a armadura transversal resultaria próxima de zero, visto que o momento fletor no trecho é
quase nulo.
Tabela 19 – Resultados obtidos no aplicativo SECAOVIG.
Caso φ 1 (mm) φ 1 (mm) Md
(tfm)
Asw,total/s
(cm²/m)
L,ancoragem
(cm)
σ,nó
(tf/m²)
1a 4 φ 10,0 4 φ 10,0 5,70 4,54 76 547,30
2a 5 φ 10,0 3 φ 10,0 5,06 5,43 76 423,20
3a 4 φ 12,5 3 φ 10,0 4,11 5,83 111 333,80
4a 4 φ 10,0 4 φ 10,0 5,70 3,18 68 205,90
5a 5 φ 10,0 3 φ 10,0 5,06 5,25 65 261,40
6a 4 φ 12,5 3 φ 10,0 4,11 3,95 81 245,10
Apesar de a armadura para os casos 1a e 4a ter sido calculada, foi emitida uma tarja de
“Modelo de Bielas e Tirantes Inconsistente”. Isso ocorreu porque, devido à descontinuidade de
apenas 10cm, a inclinação da biela inferior de ancoragem resultou menor do que o limite
estipulado pela norma (29,7°). A situação deve ser, então, analisada através de outro modelo
que contemple bielas respeitando a exigência normativa.
Através dos resultados, é possível ver que mesmo com a diminuição do momento fletor
atuante na descontinuidade, a armadura transversal aumentou tanto para descontinuidades no
banzo tracionado como no banzo comprimido. Embora o aumento da descontinuidade produza
uma maior componente vertical a ser resistida pela armadura, a diminuição da altura h1 promove
o aumento da armadura e o uso de maiores bitolas e comprimento de ancoragem, que por sua
vez reduzem a inclinação das bielas. Isso explica porque o aumento de armadura do caso 1a
para o caso 3a, foi de apenas 5%.
Na Tabela 20 são comparadas as armaduras transversais calculadas pelo Eberick e pelo
SECAOVIG. É possível ver que as armaduras calculadas pelo Eberick se mostraram bem mais
conservadoras. Para os casos 4a, 5a e 6a, não houve comparação porque o Eberick não gerou
armadura de suspensão. Na Figura 97 é apresentado o detalhamento gerado pelo aplicativo para
119
os casos 3a e 6a. A armadura de suspensão é disposta na forma de estribos fechados, que
representa uma alternativa mais eficiente se comparada com as barras dobradas.
Tabela 20 – Comparação entre o Eberick e o SECAOVIG.
Caso Asw,Eberick
(cm²/m)
Asw,SECAOVIG
(cm²/m) Asw,eberick/Asw,SECAOVIG
1a 15,05 4,54 3,31
2a 13,01 5,43 2,40
3a 10,05 5,83 1,70
4a - 3,18 -
5a - 5,25 -
6a - 3,95 -
Figura 97 – Detalhamento gerado pelo SECAOVIG.
Fonte: SECAOVIG.
4.3.4 – Elaboração de um modelo para verificação
A verificação dos resultados será feita para as variações posicionadas no meio do vão a
partir da elaboração de um modelo para uma resolução manual do problema. Ambos os modelos
estão na Figura 98, sendo o Modelo 01 aplicável aos casos 1a, 2a e 3a e o Modelo 02 aplicável
aos casos 4a, 5a e 6a. O efeito dos esforços cortantes não será levado em consideração por se
120
tratarem de descontinuidades posicionadas próximas aos pontos de esforço cortante nulo. As
situações de descontinuidade próxima ao apoio não serão avaliadas por se tratarem de situações
que existe a presença tanto de momentos negativos como positivos atuantes no trecho, fazendo
com que a elaboração de um modelo específico seja de difícil avaliação.
Figura 98 – Modelos 01 e 02 para cálculo manual.
Fonte: elaborada pelo autor.
Em que:
Y1 e Y2 representam a profundidade do bloco retangular de tensões de compressão;
ΔY representa a diferença de altura entre os blocos retangulares de tensões;
ΔFc representa a diferença de forças entre banzos comprimidos;
121
d1 e d2 são as alturas úteis;
C1 e C2 representam as bielas prismáticas do banzo comprimido;
T1 e T2 representam os tirantes das armaduras longitudinais;
C3 e C4 representam as demais bielas do modelo;
T3 representa o tirante da armadura de suspensão.
O procedimento de cálculo e as equações para ambos os modelos será mostrado a seguir
e logo após as Tabelas 21, 22, 23 e 24 com os resultados:
1) Cálculo dos parâmetros iniciais: fcd1, fcd2, fcd3 e fyd;
2) Dimensionamento à flexão e cisalhamento da viga para ambas as seções e
determinação da posição da linha neutra. A resistência do banzo comprimido deve
ser adotada como fcd1, preconizado para bielas prismáticas;
3) Determinação dos comprimentos de ancoragem necessários, considerando as
regiões de boa ou má aderência;
4) Determinação da inclinação da biela C3 e C4 e cálculo das forças Fc3, Fc4 e Ft3;
- Modelo 01:
tg (ϴ3) = d2 - d1
lb,nec1/2 + lb,nec2/2 (Equação 10.1)
Fc3 = Ft2
cos(ϴ3) (Equação 11.1)
tg (ϴ4) = d1 - Y2 - ΔY/2
lb,nec1/2 + lb,nec2/2 (Equação 12.1)
Fc4 = ΔFc
cos(ϴ4) (Equação 13.1)
Ft3 = Ft2 ∙ tg ϴ3 (Equação 14.1)
- Modelo 02:
tg (ϴ3) = d1 - Y2 - ΔY/2
(d2 - d1) ∙ cot (ϴ4) (Equação 10.2)
Fc3 = ΔFc
cos(ϴ3) (Equação 11.2)
ϴ4: este ângulo é fixado previamente e depende de onde será posicionada a
armadura de suspensão. Será fixado como 40° nos exemplos a seguir. A condição
122
(d2 - d1) ∙ cot (ϴ4) ≥ lb,nec/2 deve ser atendida para garantir espaço suficiente para
disposição da armadura de suspensão.
Fc4 = Fc2
cos(ϴ4) (Equação 13.2)
Ft3 = ΔFc ∙ tg ϴ3 (Equação 14.2)
5) Verificação do nó inferior e superior do tirante T3 (Nós CTT e CCT,
respectivamente);
- Modelo 01:
σc3 = Fc3
b ∙ lb,nec2 ≤ fcd2 (Equação 15.1)
σc4 = Fc4
b ∙ √ΔY2 + lb,nec2²≤ fcd3 (Equação 16.1)
- Modelo 02:
σc3 = Fc3
b ∙ lb,nec ≤ fcd2 (Equação 15.2)
σc4 = Fc4
b ∙ √Y2² + lb,nec²≤ fcd3 (Equação 16.2)
6) Cálculo de As3 (Equação 1) e distribuição da armadura no trecho.
- Modelo 01:
As3
s =
As3
lb,nec2 (Equação 17.1)
- Modelo 02:
As3
s =
As3
lb,nec (Equação 17.2)
Tabela 21 – Parâmetros
iniciais.
fcd1 1827,50 tf/m²
fcd2 1290,00 tf/m²
fcd3 1548,00 tf/m²
fyd 43478,26 tf/m²
123
Tabela 22 – Dimensionamento inicial à flexão.
Caso d1
(cm)
d2
(cm)
Md
(tfm) Y1 (cm) Y2 (cm) ΔY (cm) Ft1 = Fc1 (tf) Ft2 = Fc2 (tf)
1a = 4a 45,25 55,25 5,70 4,86 3,90 0,96 13,31 10,69
2a = 5a 34,80 56,00 5,06 5,80 3,40 2,40 15,86 9,32
3a = 6a 24,25 56,00 4,11 7,27 2,74 4,53 19,94 7,52
Tabela 23 – Geometria dos modelos.
Caso AsL,1
(cm²)
AsL,2
(cm²) φ1 (mm) φ2 (mm)
lb,nec1
(cm)
lb,nec2
(cm) ϴ3 ϴ4
1a 3,12 2,46 4 φ 10,0 4 φ 10,0 29,79 23,49 20,57° 56,90°
2a 3,66 2,17 5 φ 10,0 3 φ 10,0 27,96 27,63 37,33° 47,37°
3a 4,45 1,73 4 φ 12,5 3 φ 10,0 48,95* 22,03 41,82° 28,47°
4a 3,12 2,46 4 φ 10,0 4 φ 10,0 29,79 23,49 73,74° 40,00°
5a 3,66 2,17 5 φ 10,0 3 φ 10,0 35,42 27,63 50,08° 40,00°
6a 4,45 1,73 4 φ 12,5 3 φ 10,0 34,45 22,03 26,96° 40,00°
*Comprimento de ancoragem necessário em região de má aderência, conforme item 9.3.1 da NBR 6118:2014.
Tabela 24 – Dimensionamento e verificação dos modelos.
Caso
Cálculo da Armadura Verificação do Nó
Inferior
Verificação do Nó
Superior
Ft3 (tf) As3
(cm²)
As3/s
(cm²/m)
Fc3
(tf)
A3
(cm²)
σ,nó3
(tf/m²)
Fc4
(tf)
A4
(cm²)
σ,nó4
(tf/m²)
1a 4,01 0,92 3,93 11,42 352,37 324,17 4,79 352,66 135,90
2a 7,11 1,63 5,92 11,72 414,44 282,79 9,66 416,00 232,27
3a 6,73 1,55 7,03 10,09 330,41 305,52 14,12 337,32 418,63
4a 8,98 2,06 6,93 9,35 446,91 209,21 13,96 450,72 309,73
5a 7,82 1,80 5,08 10,20 531,25 191,96 12,16 533,69 227,93
6a 6,31 1,45 4,22 13,93 516,73 269,52 9,82 518,36 189,46
A partir dos resultados da Tabela 24, pode-se perceber que ambos os modelos passaram
na verificação dos nós com uma folga relativamente alta de segurança. Para o Modelo 01, existe
uma tendência de aumento da armadura de suspensão com o aumento da descontinuidade,
porém quando se altera as barras da armadura longitudinal, pode ocorrer o inverso. Do caso 2a
para o 3a, por exemplo, pode haver uma diminuição se forem utilizadas barras de 16 mm ao
invés de 12,5 mm. No Modelo 02, houve uma tendência de diminuição da armadura transversal
com o aumento da descontinuidade.
Apesar de ter sido feita a resolução dos modelos da Figura 98, é preciso lembrar
novamente que a inclinação da biela deve estar contida no intervalo de 29,7° e 63,4°, de forma
que nos casos 1a, 3a, 4a e 6a é preciso fazer modificações ou refinar o modelo para adequá-lo.
124
Pode-se, por exemplo, reduzir o trecho de distribuição de As3 ou mudar a posição da armadura,
através do ângulo ϴ4. É importante reiterar que o modelo deve se adequar à situação em questão,
como a possível existência de uma viga perpendicular que cruza a viga analisada, exemplificada
na Figura 99, e em um caso real de estrutura na Figura 100. Em uma situação dessa, a reação
de apoio transmitida entre as vigas deve ser considerada no cálculo da força do tirante, que pode
aumentar ou diminuir, a depender de qual viga está apoiada ou serve de apoio.
Figura 99 – Cruzamento de viga na descontinuidade.
Fonte: elaborada pelo autor.
Figura 100 – Caso real de estrutura com vigas com mudança brusca de seção.
Fonte: fornecida por Petrus Gorgônio B. da Nóbrega (2017).
125
4.4 – Conclusões
Para os casos de vigas com variação brusca de altura, o dimensionamento e
detalhamento através do Eberick V10 e do CAD/TQS V20.1 resultaram bastante diferente. Em
termos de esforços internos, houve uma variação média de 5%, com desvio padrão de 9%. A
diferença principal entre os dois softwares, e que mais chamou atenção, foi o fato de que o
Eberick realiza uma análise localizada da região de descontinuidade, calculando uma armadura
de suspensão.
Conforme foi mostrado, no Eberick é calculada uma força a suspender através de uma
equação constante que independe do tamanho da descontinuidade e é função apenas do
momento fletor e da altura da maior seção da viga. A partir da determinação da força a ser
suspendida, a armadura de suspensão é calculada através do método do esforço cortante
equivalente, o que merece atenção novamente, pois esse método pode conduzir a resultados
contra a segurança nas situações em que os esforço cortante de projeto resultar menor do que a
contribuição do concreto.
O dimensionamento conduziu a armaduras transversais relativamente elevadas, o que
pôde ser visto através dos resultados obtidos do aplicativo SECAOVIG e os modelos utilizados
para verificação. Tendo em vista os modelos expostos pelos diversos autores, o aumento da
descontinuidade deveria aumentar a armadura de suspensão, mas foi observado exatamente o
oposto no Eberick. Uma vez que se manteve a maior seção constante, a diminuição da força a
suspender nos diferentes casos foi devido à redução do momento fletor atuante no nó da
descontinuidade, por causa da alteração da rigidez da viga com as mudanças de altura.
O dimensionamento da armadura de suspensão para descontinuidades no banzo
comprimido não é realizado pelo Eberick, o que contradiz o modelo que os diferentes autores
expõem e pode conduzir a resultados contra a segurança, uma vez que o desvio das tensões do
banzo comprimido cria uma componente vertical que precisa ser equilibrada.
Em relação ao software CAD/TQS, não é realizado o dimensionamento desse tipo de
viga através de um modelo de bielas e tirantes. Essa situação é considerada de forma
simplificada, através de um detalhamento diferenciado para a armadura longitudinal da maior
seção, que envolve a dobra e ancoragem por gancho no topo logo antes da descontinuidade.
Como já visto, a dobra da armadura longitudinal não constitui uma boa forma de ancoragem e
o funcionamento como armadura de suspensão termina prejudicado.
126
O dimensionamento da viga, tanto ao cisalhamento como à flexão, foi realizado como
se a viga tivesse a menor altura em todo o seu vão, que é um cálculo a favor da segurança,
porém antieconômico e chegou até a inviabilizar o dimensionamento à flexão de alguns dos
casos estudados. É importante lembrar que a armadura efetivamente adotada para os casos (a),
na descontinuidade, foi a armadura mínima de cisalhamento. O dimensionamento desse tipo de
viga deve ser revisto manualmente para resultados mais confiáveis e econômicos. A Tabela 25
mostrada a seguir compara os diferentes resultados obtidos através dos softwares e do cálculo
manual.
Tabela 25 – Comparação final entre resultados.
Caso Asw,Eberick
(cm²/m)
Asw,SECAOVIG
(cm²/m)
Asw,CAD/TQS
(cm²/m)
Asw,calc
(cm²/m)
1a 15,05 4,54 1,90 3,93
2a 13,01 5,43 1,90 5,92
3a 10,05 5,83 1,90 7,03
4a 1,93 3,18 1,90 6,93
5a 1,93 5,25 1,90 5,08
6a 1,93 3,95 1,90 4,22
É importante chamar atenção também para o detalhamento da armadura longitudinal,
pois é comum na prática que se considere o início da ancoragem da armadura longitudinal da
menor seção logo após a descontinuidade, no entanto existem outros fatores que devem ser
levados em consideração. Para a descontinuidade no banzo tracionado, existe uma tração
transversal desfavorável à ancoragem e, por isso, é importante que a ancoragem se inicie logo
após o trecho da armadura de suspensão. Em paralelo a isso, o trecho de distribuição da
armadura de suspensão também deve ser suficiente para ancorar a armadura da maior seção.
Para as descontinuidades no banzo comprimido, a ancoragem deve se iniciar e finalizar no
trecho de distribuição da armadura de suspensão; logo, a extensão da barra além da
descontinuidade deve variar com a posição da armadura e também com o comprimento de
ancoragem necessário para as barras.
127
CAPÍTULO 5 – CONSIDERAÇÕES FINAIS
As conclusões parciais em relações aos resultados obtidos e bibliografias consultadas já
vêm sendo apresentadas ao longo dos Capítulos 3 e 4, de forma que este capítulo final tem
como objetivo sintetizar e fazer as principais considerações sobre o estudo. O principal objetivo
deste trabalho foi comparar e mostrar as divergências entre os métodos de cálculo utilizados
pelos diferentes softwares em análise. Durante o trabalho foi feita uma ampla pesquisa teórica
que envolveu recomendações de diversos autores e normas, além de importantes resultados
experimentais que contribuíram para a verificação dos resultados obtidos computacionalmente.
Quando se trata do dimensionamento de apoios indiretos e a armadura de suspensão,
ambos os softwares apresentaram resultados parecidos e, de certa forma, próximos do que se
esperaria de um cálculo manual. Mas quando se trata das vigas com variação brusca de altura,
as metodologias de ambos os softwares resultaram bem diferentes e divergentes das
recomendações e modelos propostos pelos trabalhos aqui referenciados. O método utilizado
pelo Eberick V10 conduziu a armaduras relativamente elevadas. Sem dúvida, o
dimensionamento desse tipo de viga precisa ter o método de cálculo revisto e melhorado em
ambos os softwares e verificações manuais devem ser feitas.
Infelizmente o dimensionamento dessas vigas com variação de altura é algo pouco
discutido no meio técnico e carecem os resultados experimentais. É importante que sejam
realizados ensaios para comprovar a eficiência dos modelos adotados e do detalhamento na
capacidade resistente das vigas. Em conjunto com os experimentos, podem ser realizados
também estudos através de métodos numéricos, como o Método dos Elementos Finitos.
As regiões especiais merecem tratamento adequado quando se trata do
dimensionamento e detalhamento e, conforme pôde ser visto neste trabalho, poucas são as
orientações normativas nesse sentido, embora sejam muitas as regiões especiais mencionadas
pela própria NBR 6118:2014. Dentre os casos mostrados pela norma, pode-se citar presença de
aberturas em vigas ou as cargas concentradas diretas que atuam em fundações ou vigas de
transição. Ambas representam regiões especiais comuns e de extrema importância, e por isso é
necessário que o uso de ferramentas computacionais nessas situações seja devidamente
avaliado.
128
Sugestões para trabalhos futuros:
- Análise de outras regiões ou elementos especiais como vigas com aberturas, cargas
concentradas diretas, pilares com mudança brusca de seção, nós de pórticos, vigas parede etc;
- Estudo experimental aliado à modelagem numérica para vigas com mudança brusca
de seção para avaliar o melhor detalhamento e o que fornece uma maior capacidade resistente;
- Vigas com mudança brusca de seção submetidas à flexo-compressão, através da
protensão por exemplo, e como isso afeta os esforços e detalhamento.
129
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