1

Elektrostatika

Elektrostatički fluks Gaussova teorema

To je matematički izraz koji opisuje vezu između vektora E na nekoj zatvorenoj površi i ukupnog viška

naelektrisanja unutar te površi.

Za izvođnje Gausovog zakona potrebno je poznavanje pojma fluksa vektora.

2

Dejstvo jednog naelektrisanog tela na drugo ne objašnjavamo dejstvom naelektrisanog tela na daljinu već time da ono u svojoj okolini modifikuje stanje prostora stvaranjem posebnog fizičkog stanja koje se naziva električno polje.

Električna sila na neko telo je posledica delovanja električnog poljana to naelektrisano telo.

Ako polje potiče od nepokretnih električnih opterećenja naziva se elektrostatičko polje.

Šta smo do sada pominjali, naučili...

Do načina za precizno opisivanje električnog polja u svim tačkama dolazi se pomoću probnog opterećenja (naelektrisanja), ΔQ malo po dimenzijama i po naelektrisanju, da bi njegov uticaj mogao da se zanemari, jer i ono stvara

električno polje, Δ Q>0. Na Δ Q deluje električna sila odredjena

Kulonovim zakonom

3

Šta smo do sada pominjali, naučili...

Elektrostatsko polje je poseban slučaj stacionarnogeletromagnetnog polja, ona koja se ne menjaju u funkciji vremena.

U sistemu tačkastih naelektrisanja ukupna jačina električnog polja dobija se vektorskim sabiranjem polja pojedinih naelektrisanja:

021 10

1

4

n n

ii i

i i i

QE E r

r

Ukoliko se traži numerički rezultat onda je često najprikladniji način:• odrediti pripadne komponente (x, y, z) pojedinih vektora,• sabrati komponente i• odrediti ukupnu jačinu električnog polja.

4

E

Intenzitet (modul) vektora električnog polja

Intenzitet vektora električnog polja se pojačava približavanjem naelektrisanju, i na mestu samog naelektrisanja ima beskonačnu vrednost.

Budući da je tačkasto naelektrisanje fikcija, ni polje ne može biti beskonačno u realnom svetu.

5

E

E

-Vektor jačine elektrostatičkog polja se grafički predstavlja linijama vektora jačine elektrostatskog polja.

Linije vektora jačine elektrostatičkog polja se ne mogu međusobno seći.

Pravac i smer vektora se pruža duž radijalnih zraka, koje imaju svoj izvor u centru naelektrisanjog tela.

Polje pozitivnog naelektrisanja usmereno je od naelektrisanja, a poljenegativnog naelektrisanja usmereno je prema naelektrisanju.

E

6

Raspodele naelektrisanja u prostoru

Raspodele naelektrisanja u prostoru1.Skup diskretnih tačkastih naelektrisanja Q, q2.Linijska (=const)3.Površinska 4.Prostorna

Videli smo da se naelektrisanje uvek javlja u vidu celog broja najmanjeg naelektrisanja ili kvanta naelektrisanja e (tj. –e).

Naelektrisana tela imaju ogroman broj takvih naelektrisanih čestica, pa bi proračun polja preko polja tačkastog naelektrisanja bio praktično nemoguć

i kada bi znali položaj svake te čestice.

Radi pojednostavljenja, umesto da se svaka čestica posmatra zasebno, uvodi se pojam gustine naelektrisanja, koja karakteriše makroskopsku

srednju vrednost naelektrisanja u okolini tačke unutar naelektrisanog tela, na njegovoj površi, ili duž neke linije.

7

Raspodele naelektrisanja u prostoru

1.Skup diskretnih tačkastih naelektrisanja Q, q2.Linijska (=const)

3.Površinska 4.Prostorna

Pri analizi raspoređenog naelektrisanja pristupa se u principu jednako kao kod polja dva jednaka tačkasta naelektrisanja.Ukupno polje u nekoj tački prostora jednako je zbiru doprinosa svih pojedinačnih naelektrisanja. Taj princip superpozicije možemo koristiti zbog toga, što su osobine prostora konstantne i ne zavise od jačine ili smera polja.

Prostor je dakle homogen.

8

Linijska gustina naelektrisanja

(=const)

Približna linijska gustina naelektrisanja je:

C

m

9

Površinska gustina naelektrisanja

Kod površinski raspoređenog naelektrisanja uvodi se pojam površinske gustine naelektrisanja koja je definisana kao:

Površinski raspoređeno naelektrisanje

20lim

m

C

dS

dQ

S

QS

S

dSQ0

Za poznato ukupna količina naelektrisanja na površini može se dobiti integriranjem svih elementarnih naelektrisanja na toj površini

10

Zapreminska gustina naelektrisanja

Rezultani vektor električnog polja u proizvoljnoj tački,koji je posledica zapreminski raspoređenog naelektrisanje

dQ dV

0

V

Q dV

Ukupna količinu naelektrisanja Q na uočenoj zapremini V za

poznatu promena može se dobiti integriranjem svih elementarnih naelektrisanja na toj zapremini,tj.

U središtu centralno raspoređenog naelektrisanja E=0.

11

Fluks vektora jačine električnog poljaFluks vektora jačine električnog polja definiše se u opštem slučaju kao skalarni proizvod vektora površine vektora polja

E E S

cosE E S E S

fluks homogenog vektorskog polja kroz neku uočenu površinu Sjednak je proizvodu intenziteta vektora jačine električnog polja i

projekcije posmatrane površine na ravan polja.

E

S

S

12

Fluks vektora jačine električnog polja

Fluks nehomogenog električnog polja kroz zakrivljenu površinu:diferencijal toka

Ukupan ELEKTRIČNI FLUKS kroz neku površinu S , u vakuumu

Ed E d S

0

S

E E d S

Jedinica mere za fluks vektorajačine električnog polja je:

cosE E S

2 1E

Vm V m

m

13

E

E

14

Vektor dielektričnog pomeraja kolinearan sa vektorom E i dielektričnom konstantom

Skalarni proizvod se sreće pod nazivom Vektor deplasmana ili vektor elektrostatičke indukcije

Integral po celoj zatvorenoj površini S naziva se ELEKTRIČNI FLUKS kroz površinu S

u drugim dielektričnim sredinama

Ed D d S

0

r

D E

0 0 0

S S S

E Ed D d S E d S

dielektrična konstanta

sredine

E

15

SLIČNO Fluks vektora brzine protoka tečnosti

• Pojam fluksa može biti objašnjen razmatranjem ravnomernog konstantnog protoka tečnosti.

n

n

v

je vektor brzine tečnosti, vektor normale površine.

v

Najviše tečnosti će proticati kroz ram koji se nalazi u ravni normalnoj na pravac brzine.

Ako se ram postavi u ravan paralelnu vektoru brzine, tečnost će da klizi preko rama, pa će protok biti jednak nuli.

n

v

n v

S

vdt

Čestice tečnosti koje su se u trenutku t nalazile u ravni rama, u trenutku t+dt nalaze se na rastojanju v·dt od rama u pravcu brzine. Ukupna količina tečnosti koja za vreme dt protekne kroz površinu S jednaka je onoj količini tečnosti koja se nalazi u zapremini označenog kvadra.

dtvSdV

16

Brzina protoka tečnosti, koja predstavlja fluks vektora kroz površinu S, označava se grčkim slovom (psi), i iznosi:

v

/sm3Svdt

dVv

• Nekad je potrebno znati na koju stranu protiče tečnost. Zato se vrši orjentisanje površi, pa se površina, iako je skalar, tretira kao vektorska veličina.

Deo orjentisane ravne površi, površine S, može se tretirati kao vektor čiji je intenzitet jednak površini S, pravac normalan na S, a smer se poklapa sa usvojenim smerom normale na S.

17

Neka pravougaona površ, predstavljena vektorom , zaklapa ugao savektorom brzine . U tom slučaju će kroz nju, za interval vremena dt proteći onoliko tečnosti koliko se nađe u zapremini kosog paralelopipeda:

dtv

S

v

v S

dtvSdV cosFluks vektora brzine je tada:

/smcos 3Svdt

dVv

18

Proizvod intenziteta dva vektora i kosinusa ugla između njih predstavlja skalarni proizvod dva vektora.

Svv

Ukoliko brzina nije homogena onda se, nakon orjentacije površine S, ona izdeli na fizički male površi , koje su dovoljno male da se mogu smatrati ravnim, a vektor na svakoj od njih konstantnim.

v

Sd

v

S

Sd

v Fluks dv kroz uočenu površ računa

se po formuli za skalarni proizvod:Sd

Sdvd v

Ukupan fluks v kroz celu površ S, dobija se sumiranjem svih flukseva dv:

SS

vv Sdvd

19

Gaussov zakon

Najelegantnija definicija Gausovog zakona bi bila: Električni fluks kroz bilo koju zatvorenu površinu jednak je ukupnom naelektrisanju koje je obuhvaćeno tom površinom, podeljenog dielektričnom konstantom 0.

20

Integral se zove fluks vektora jačine električnog polja kroz površinu S, označava se E, a proporcionalan je broju linija električnog polja koje prodiru kroz tu površinu:

Konvencija: Fluks je pozitivan ako linije električnog polja izlaze iz površine S, a negativan ako utiču (ulaze) u nju.

Gausov zakon je naročito važan za određivanje električnog polja generisanih raspodelama naelektrisanja koje imaju neku simetriju.

0

ii

E

S

Q

E dS

2q , ,E E E

SS S

Cd D d S C D

m

Uopšteni Gaussov zakon: važi i za dielektrične sredine i vakum:

21

Dokaz da je fluks vektora Ē tačkastog naelektrisanja Q isti ne samo za sferu čiji je centar u tom naelektrisanju, nego i kroz proizvoljnu zatvorenu površ koja obuhvata naelektrisanje Q

E na radijus vektor

22

23

Primene Gaussovog zakona

Zamišljena lopta sa središtem na mestu taškastog naelektrisanja

Električno polje tačkastog naelektrisanja na rastojanju r

Već poznat rezultat

24

Električno polje naelektrisane šuplje kugle

Obuhvaćeno naelektrisanje =0

r < a

r > a

Obuhvaćeno naelektrisanje =Q

25

Već poznat rezultat

Električno polje naelektrisane šuplje kugle

je svo naelektrsanje skoncentrisano u središtu kugle, radijalno

26

Električno polje naelektrisane kugle sa

homogenom prostornom raspodelom Zbog homogenog prostora polje će izvan i unutar kugle biti simetrično i radijalno

Bez računanja ne možemo zaključiti o intenzitetu polja ni unutar ni izvan kugle

27

Električno polje naelektrisane kugle sa homogenom

prostornom raspodelom

28

Električno polje naelektrisane kugle sa homogenom prostornom raspodelom

29

Električno polje naelektrisanog beskonačno dugačkog valjka

Primenimo Gaussov zakon za spoljašni zamišljeni

valjak

Površinska gustina naelektrisanja

30

Električno polje naelektrisanogbeskonačno dugačkog valjka

31

Električno polje

naelektrisane ravne ploče

Polje je normalno na ravan i jednako u svim

tačkama polja

Primenimo Gaussov zakon za

spoljašni zamišljeni valjak

Površinska gustina naelektrisanja

32

Električno polje naelektrisane ravne ploče

x komponenta jačine polja pozitvno naelektrisane

ploče

Polje naelektrisane ravni normalno je ravan i konstantnog iznosa

Polje ne zavisi od udaljenosti od ploče

Polje menja smer na mestu položaja same ravni

Pri pozitivnom naelektrisanju polje je usmereno od ravni,

a pri negativnom naelektrisanju prema ravni

33

Dve paralelne ravne ploče

naelektrisane jednakim ali suprotnim

površinskim naelektrisanjem

Superpozicija dva naelektrisana tela

34

Još jedna superpozicija

Primer tri različito naelektrisana tela

35

Odredite smjer sile na naelektrisanje q:

36

Električno polje prikazano linijama sila stvaraju dva točkasta naelektrisanja Q1 Q2 .

Odredite odnose tih naelektrisanja

37

Električno polje prikazano linijama sila stvaraju dva točkasta naelektrisanja Q1 Q2 .

Odredite predznake tih naelektrisanja

38

Negativno naelektrisano tačkasto naelektrisanje -q nalazi se u blizini pozitivog naelektrisanja +Q i negativnog naelektisanja –4Q. Njihov prostorni raspored dat je na slici. Sila koja deluje na -q ima smjer:

39

Ako znamo da vektor električnog polja u tački A ima prikazani smer, odredite predznake naelektrisanja:

40

Naelektrisana ravan i tačkasto naelektrisanje u tački T svaki za sebe stvaraju električno polje jednakog intenziteta. Odredite smjer rezultantnog vektora ja’ine električnog polja u tački T.