場の量子論の物理と数学

• 立川裕二(たちかわゆうじ)

• http://twitter.com/yujitach

• 12年前に駒場で大学 2 年生でした

• 専門は素粒子理論及び弦理論です

場の量子論って？

場の理論

量子論

: 電磁波など

: 微細なものを扱う

をあわせたもの。

1975 までには、素粒子の「標準模型」が場の量子論として理論的にはほぼ完成。

photon(電磁気力) W,Z(弱い力) gluon(強い力)

電子 電子 neutrino u quark d quark

μ μ neutrino c quark s quark

τ τ neutrino t quark b quark

Higgs boson

力の粒子

物質粒子

photon(電磁気力) W,Z(弱い力) gluon(強い力)

電子 電子 neutrino u quark d quark

μ μ neutrino c quark s quark

τ τ neutrino t quark b quark

Higgs boson

1995

力の粒子

物質粒子

photon(電磁気力) W,Z(弱い力) gluon(強い力)

電子 電子 neutrino u quark d quark

μ μ neutrino c quark s quark

τ τ neutrino t quark b quark

Higgs boson

1995

そろそろ

力の粒子

物質粒子

場の量子論はとても精密。典型例:

電子の異常磁気能率は実験では 0.001159652180 ...

場の量子論はとても精密。典型例:

電子の異常磁気能率は実験では 0.001159652180 ...

一方理論では 0.001159652180 ...

ちなみに理論計算の一番の専門家は在アメリカの木下東一郎先生のグループです。

• しかし、場の量子論はまだ数学的に厳密に出来ていない。

• 力学、電磁気学、普通の量子力学等は数学として勉強することが可能だけれども、場の量子論はそうではない。

• 場の量子論を勉強したければ物理学科に来ないといけない...

土地の測量

ユークリッド幾何

～西暦0年

...

いろんな発展

動きの研究

微分積分

...

いろんな発展

17~18世紀

ニュートン力学

...

いろんな発展

素粒子の研究

場の量子論の数学

...

いろんな発展

20世紀後半~21世紀前半?

場の量子論

...

いろんな発展 ??? ???

???

1983: 弱い力の方程式をじっくり調べると、四次元多様体の形がとても良くわかることを Donaldson (数学者)が発見。

Donaldson 理論

数学

1983

理論物理

1988: Donaldson の結果は、超対称な弱い力の量子論を調べていると思ったほうがよいことを Witten (物理学者)が発見。

Donaldson 理論

数学

1983

理論物理

超対称弱い力理論1988

1994: 超対称弱い力の量子論は、じつは超対称電磁気学の量子論に帰着することを Seiberg と Witten が物理的に導出。

Donaldson 理論

数学

1983

理論物理

超対称弱い力理論

超対称電磁気理論

1988

1994

1994~: 四次元多様体の形を調べるのには、弱い力の方程式でなくて、より簡単な電磁気の方程式(モノポール方程式)を解けばいいので、数学のその分野が大発展した。

Donaldson 理論

モノポール方程式

数学

簡単化

1983

理論物理

超対称弱い力理論

超対称電磁気理論

1988

19941994~

理論物理

超対称弱い力理論

超対称電磁気理論

1988

1994

2002 Nekrasov(物理学者)がこの矢印を数学者にもわかるように定式化

理論物理

超対称弱い力理論

超対称電磁気理論

1988

1994

2002 Nekrasov(物理学者)がこの矢印を数学者にもわかるように定式化

2003 定式化されたものを中島と吉岡(数学者)が証明

理論物理

超対称弱い力理論

超対称電磁気理論

1988

1994

Nekrasov(物理学者)がこの矢印を数学者にもわかるように定式化

2003 定式化されたものを中島と吉岡(数学者)が証明

2009 これらの結果及び物理的考察から、Alday, Gaiotto

と僕(一応物理屋)は二次元共形場理論との関係を調べ、数学的予想を提出

理論物理

超対称弱い力理論

超対称電磁気理論

1988

1994

これらの結果及び物理的考察から、Alday, Gaiotto

と僕(一応物理屋)は二次元共形場理論との関係を調べ、数学的予想を提出

2012 Schiffman と Vasserot

(数学者)によって予想が証明された。

理論物理

実験物理

厳密数学

理論物理

実験物理

厳密数学

理論物理

実験物理

厳密数学