변화하는 자기장과 전자기 유도 물질의 자기적 성질 교류...

변화하는 자기장과 전자기 유도 * 제 18 장

정전류에 의한 자기장 – 변화하는 자기장과 전자기 유도 – (물질의 자기적 성질) – 교류 회로

이 장에서는...

1. 전자기 유도

2. 유도 기전력과 Faraday 법칙

3. 유도 전기장

4. 상호(mutual) 인덕턴스와 자체(self) 인덕턴스

5. 자기 에너지

6. R-L 직류 회로

7. R-L-C 직류 회로

1/17 http://phys.cau.ac.kr/w/jtseo


전자기 유도

코일에 유도 기전력(induced emf)에 의한 유도 전류(induced current)가 흐르는 실험적인 상황들

● 영구 자석과의 거리가 가까워지거나 멀어질 때

● 전류가 흐르는 다른 코일과의 거리가 가까워지거나 멀어질 때

● 인접한 다른 코일에 흐르는 전류가 변할 때

● 일정한 자기장을 수직으로 자르고 지날 때

● 면적 벡터가 자기장에 수직한 축에 대해 회전할 때

코일에 자석이 다가올 때 코일에서 자석이 멀어질 때

유도 기전력은 코일(coil)을 통과하는 자기 선속(magnetic flux; B )의 변화에 의해 발생!



유도 기전력의 크기와 방향; Faraday 법칙 & Lenz 법칙

자기 선속(자속)은 자기장과 코일 면적 벡터의 스칼라곱

B = Bcos A = B⋅A , 또는 B =∫Bcosda =∫B⋅d a

* 자속의 단위는 Wb /Weber/ ( 1 T = 1 Wb/m2 )

Faraday 법칙: 코일에 발생하는 유도 기전력의 크기는

코일을 통과하는 자기 선속의 시간 변화율과 코일의 감은

횟수에 비례

Lenz 법칙: 방향은 자기 선속 변화의 반대 (상쇄 방향)

∣ℰ∣ = NdB

dt 또는 ℰ = − N

dB

dt (N 감은 횟수)

자기장의

세기

코일의

면적

면적

벡터의

방향



(예제) 균일한 자기장 속에서 운동하는 직선 도선 양 끝 사이의 전위차

Lorentz 힘에 의한 접근 Faraday 법칙에 의한 접근

도선 속의 전자에 가해지는 Lorentz 힘

F = qv ×B = qv B y

그림의 전하 분포에 의해 전기장 E = −E y 발생;

막대가 계속 속도 v로 이동하면 전자에 가해지는

Lorentz 힘과 전기장에 의한 힘이 평형을 이루므로

∣−qE y∣ = ∣qvB y∣ 또는 E = v B

길이 L 인 도선 양 끝의 전위차는 V = E L = v BL

(자기장 등은 조건 같음) 긴 ㄷ 자 모양의 도선 위에서

운동하는 직선 도선; 그림의 화살표에 둘러쌓인 면적 A

의 증가율은 dA/dt = Ldx /dt , 이 면적을 지나는 총

자속은 B = B A이므로, Faraday 법칙에 의해 다음과

같은 유도 기전력 발생; 전위차에 해당!

∣ℰ∣ =dB

dt= B

dAdt

= BLdxdt

= BLv



(예제) Faraday의 원판 발전기; 균일한 자기장 속에서 회전하는 도체판의 중심과 가장자리 사이의 전위차

Lorentz 힘에 의한 접근 Faraday 법칙에 의한 접근

중심으로부터 거리 r 인 지점에서 속도 v로 운동하는

단위 전하가 받는 힘은 v × B (Lorentz 법칙);

미소 거리 d r 양 끝 사이의 전위차는

dℰ = d r ⋅v × B = v Bdr ( v ⊥ B , dr ∥ v × B )

중심과 가장자리 사이 전위차(기전력)는

ℰ = ∫0

Rv Bdr = B∫0

Rr dr =

12BR2

원판의 임의의 기준축(반지름)이 시간 dt 동안 휩쓰는

면적은 dA = R2dt /2 ;

면 dA를 통과하는 자속은

dB =12

R2Bdt

Faraday 법칙에 의해 유도 기전력(전위차)은

ℰ =dB

dt=

12

R2B



Faraday disk

(homopolar/monopolar generator)

유도 전기장

정지해 있는 고리형 도선에도 유도 기전력 발생 가능

● 자기력(Lorentz 힘)에 의한 전자의 이동으로 해석할 수 없음

● 시간에 따라 변하는 자속 이 전기장을 만들어낸 것으로 해석; 유도 전기장

유도 전기장은 보존 역장(conservative field)이 아니다!

∮CE⋅d l = ℰ ≠ 0 또는 ∮C

E⋅d l = −dB

dt (Faraday 법칙에 의해)



상호 인덕턴스

두 코일(각각 (1), (2))이 서로 나란히 놓여 있으며 (1)번 코일만 스위치를 통해 전원에 연결되어 있을 때

(1)번 코일의 스위치를 닫아 전류가 통하면 자기장이 발생,

(2)번 코일에도 자속의 변화에 따라 유도 기전력이 생겨난다.

ℰ2 =−N2

dB2

dt( N2 는 (2)번 코일의 감은 횟수, N2B2 는 (2)번 코일을 지나는 총 자속)

(2)번 코일을 지나는 총 자속은 (1) 번 코일에 흐르는 전류에 비례 ; 비례 상수 M21

N2B2 = M21 I1

ddt

N2B2 =ddt

M21I1 또는 N2

dB2

dt= M21

d I1dt

(코일의 형태와 상대 위치 변하지 않을 때)

그러므로 (2)번 코일에서의 유도 기전력은 (1) 번 코일에서의 전류 변화율에 비례

ℰ2 =−M21

d I1dt

비례 상수 M21 는 상호 인덕턴스(mutual inductance); M21 =N2B2

I1=

N1B1

I2= M12 ≡ M

어떤 코일에 흐르는 전류에 의한 자기장이 다른 코일에 영향을 미치는 정도 (기하학적 구조에만 관계)



자기 인덕턴스

하나의 코일에서도 전류가 바뀔 때 자기장의 변화에 의해 자체 유도 기전력(self-induced emf) 발생

이 경우에도 유도 기전력은 코일을 흐르는 전류의 변화율에 비례

ℰ = −L d Idt

비례 상수 L은 자기 인덕턴스(self inductance); L =N

I

인덕터(inductor) 또는 초크(choke): 자체 유도 기전력을

이용해 자기 에너지를 저장하는 회로의 구성 요소;

L

* 인덕턴스의 단위는 H /Henry/

( 1 H = 1 Wb/A = 1 V⋅s/A = 1 ⋅s )



인덕터에 저장되는 에너지

자기 에너지 저장의 의미; 흙으로 언덕 쌓기

– 쌓는 비율은 일정 (일정한 인덕턴스 L)

– 흙을 끌어올리는 동안 일을 하고, 언덕이 높아질수록 더 힘이 든다.

인턱터가 포함된 회로에 전류가 흐르면 전류의 증가

방향과 반대로 유도 기전력 ℰ ( V i ) 발생; 이 유도 기전력을

극복하고 인턱터 양 끝의 전위를 회로 전체의 전위로

유지하기 위해 일을 해줘야 함 (누가? 외부 기전력이!)

어떤 순간 회로에 흐르는 전류 i, 이 전류의 변화율이

di /dt일 때 인덕터 양 끝의 전위차는 ℰ i = Ldi /dt

이 전위차를 극복하고 전류 i 가 회로에 흐르게 하기 위해 필요한

일률은 dW /dt = ℰ i i = L idi /dt ; 시간 dt 동안 한 일은 dW = Li di

회로의 전류가 0 I 까지 증가하는 동안 한 일은

W =∫0

IL idi = 1

2L I2



자기장 에너지와 에너지 밀도

회로에 전류 I 만큼 흐르도록 해준 일은

인덕터가 가지게 된 에너지 &

인덕터의 코일 속에는 자기장이 생성

☺

☞

자기장 안에도 에너지 있다!

(전기장에도 있었으니까,

전자기장 안에 에너지 있다!)

인덕터에 저장된 내부 에너지 U 는 다음과 같고;

이 에너지는 자기장 형태로 저장된다.

U = W =12

L I2

단면적 A 인 코일이 N 번 감겨 있는 반지름 r 인 고리형

솔레노이드(toroidal solenoid)의 인덕턴스는

L =0N2 A

2r(참고) 교재 p. 403-404 예제 8

자기장 에너지와 에너지 밀도(energy density)는 각각 다음과 같다.

U =12

L I2 =12

0N2 A

2 rI2 , u =

U2 r A

=B2

20 ( u ... 자기장이 가지는 에너지 밀도; 15 장 참고)



R-L 직류 회로

저항 장치(R)와 인덕터(L ; 자기 인덕턴스)로 구성된 직류 회로

(제 16 장 R-C 직류 회로 참고)

스위치 S1 닫았을 때(인덕터에 자기 에너지 저장)

외부 기전력 ℰ (전압 V), 저항 R, 그리고 인덕터 L 로

이루어진 폐회로에 대해 Kirchhoff 법칙 적용

V − I R − L d Idt

= 0 또는 −VR

I−1

d I = −RL

dt

적분하면 It = V /R Be−Rt /L ; 초기 조건 I0 = 0 이라 두면

I = I t = VR1 − e−Rt /L

( L/R은 유도 시정수)

스위치 S1 을 열고 S2 닫았을 때(자기 에너지 방출)

앞서와 동일한 Kirchhoff 법칙에서 V = 0으로 두고 계산; 초기 조건 I0 = V /R 이라 두면

I = I t = VR

e−Rt /L ( L/R은 유도 시정수; L/R time constant)



R-L 회로에서는 전류가 쌓이며 자기 에너지 저장 (R-C 회로에서는 전하가 쌓이며 전기 에너지 저장)

자기 에너지 저장 곡선 자기 에너지 방출 곡선

I = I t = VR1 − e−Rt /L

I = I t = VR

e−Rt /L



이상적 L-C 회로

저항(R)을 무시하고 인덕터(L)와 축전기(C)만으로 구성한 가상적인 회로

축전기 C 에 걸린 전위차에 의해 시계 반대 방향으로 전류 발생

vs. 인덕터 L 에서는 유도 기전력에 의해 시계 방향으로 유도 전류 발생

축전기의 기전력은 q/C , 인덕터에서의 유도 기전력은 Ld I /dt이므로,

회로에 대해 Kirchhoff 법칙을 적용하면

L d Idt

qC

= 0

회로에 흐르는 전류 I 는 축전기 전하의 시간 변화율, 즉 I ≡ dq /dt 이므로

d2qdt2

1

LCq = 0 (제 9 장 진동과 조화 운동 참고)

이런 형태의 미분 방정식은 단조화 진동자(simple harmonic oscillator)를 의미; 시간에 따라 진동하는 q ( t )

해는 다음과 같이 진동하는 형태로 주어지고(삼각 함수 또는 지수 함수),

q = qt = q0cos0t ( q0 진폭; 초기 위상각; 0 ≡ 1/LC 각진동수)

전류는 I = dqdt

= −q00sin0t 로 구해진다.



축전기와 인덕터 사이의 장 에너지(field energy) 교환



R-L-C 직류 회로

R-L-C를 모두 갖춘 회로: 진동하는 L-C 회로에 마찰(저항) R 추가

그림의 d-a가 연결되었을 때 Kirchhoff 법칙 적용하면;

L d Idt

I R qC

= 0 또는 d2q

dt2

RL

dqdt

1LC

q = 0

이런 형태의 미분 방정식은 감쇄 조화 진동자(damped harmonic oscil.);

시간에 따라 진동하면서 저항에 의해 줄어드는 q ( t ) .

해는 R, L, 그리고 C 의 관계; D ≡ RL

2

−4

LC의 부호에 따라

● D 0 : R2 4L/C (과감쇄 – overdamping)

q = A1e−t A2e−−t (

±≡ −R ± R2

− 4L /C /2L )

● D = 0 : R2= 4L/C (임계 감쇄 – critical damping)

q = e−R/2L tA1 A2 t ( A0 , A1 , A2 는 초기 조건으로 결정)

● D 0 : R2 4L/C (미급감쇄 – underdamping)

q = A0e−R/2Ltcos' t ( ' = 1/LC − R/2L2 )



시간에 따른 각 감쇄(damping)의 특징

Underdamping

q = A0 e−R/2Ltcos' t ( ' = 1/LC − R/2L2 ) I = dqdt

축전기에 걸린 전압

(전하량 q 에 비례)

저항에 걸린 전압

회로를 흐르는 전류

(전하량 q 의 변화율)



Overdamping Critical damping

q = A1 e−t A2 e−

−t

( ±≡ −R ± R2

− 4L /C /2L )

I = dqdt

(극값을 갖지 않는다!)

q = e−R/2L t A1 A2 t

I = dqdt

(극값을 가진다!)


변화하는 자기장과 전자기 유도 물질의 자기적 성질 교류...

Documents