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EEA-02: Análise de Circuitos ElétricosAula 12

1o Ten Eng Nicholas YUKIO Menezes Sugimoto

Instituto Tecnológico de Aeronáutica

Tópicos desta aula

Série de Fourier em Forma ExponencialTransformada de FourierAnálise de circuitos com Transformada de Fourier

1o Ten YUKIO (ITA) EEA-02: Análise de Circuitos Elétricos 2 / 35

Série de Fourier em Forma Exponencial

A expansão em Série de Fourier de uma função x(t), dada por

x(t) = a0 +∞∑n=1

(an cos(nω0t) + bn sin(nω0t)) (1)

pode ser expressa na forma exponencial:

x(t) =∞∑

n=−∞Fn exp(jnω0t) (2)

em que Fn =an − jbn

2, F−n =

an + jbn2

e Fn = a0 .


Série de Fourier em Forma Exponencial

Neste caso, os coeficientes complexos Fn podem ser calculados através de

Fn =1T

∫ T2

−T2

x(t)e−jnω0tdt (3)

A integração pode ser equivalentemente feita sobre outro intervalo demesmo comprimento T .


Transformada de Fourier

A Série de Fourier é usada para expressar funções periódicas nãosenoidais. Vamos obter uma extensão do conceito para funções nãoperiódicas.O caso de funções não periódicas corresponde à situação limite emque o período T de uma função periódica tende a infinito.Portanto, é interessante analisar a Série de Fourier para T −→∞.



Vamos primeiro analisar o que ocorre com o espectro de frequências de umpulso periódico à medida que o seu período T cresce. Considere que alargura do pulso é dada por τ < T . Assim, este pulso é definido por:

x(t) = x0, se 0 ≤ t ≤ τx(t) = 0, se τ < t < T

x(t + T ) = x(t)

O coeficiente Fn da série de Fourier complexa é

Fn =1T

∫ T2

−T2

x(t)e−jnω0tdt

Fn =1T

∫ τ

0x0e−jnω0tdt

Fn =jx0

2πn[e−jnω0τ − 1] (4)



Desta forma, para n > 0, temos

|Fn| =x0

2nπ|e−jnω0τ − 1|

|Fn| =x0

2nπ

∣∣∣∣∣e jnω0τ2 − e−jnω0

τ2

e jnω0τ2

∣∣∣∣∣|Fn| =

x0

2nπ

∣∣∣2j sin(nω0τ

2

)∣∣∣|Fn| =

x0

nπ

∣∣∣sin(nπτ

T

)∣∣∣|Fn| =

x0

nπ

∣∣∣sin(nπτ

T

)∣∣∣ (5)



Para n < 0, |F−n| = |Fn|.Para n = 0,

|F0| =1T

∫ T2

−T2

x(t)dt = x0τ

T(6)

As imagens apresentadas a seguir mostram graficamente os módulos doscoeficientes complexos da Série de Fourier para τ = 10 ms e T = 50 ms,T = 250 ms, T = 500 ms e T = 1 s. Foi usado x0 = 10 V e−2000 ≤ n ≤ 2000.



Figura: Módulo dos coeficientes da Série de Fourier complexa (V ) em função dafrequência angular (rad/s) para T = 50 ms



Figura: Módulo dos coeficientes da Série de Fourier complexa (V ) em função dafrequência angular (rad/s) para T = 1 s



Observe que, nos gráficos anteriores, a distância entre harmônicasconsecutivas reduz à medida que T cresce, o que é coerente pois sendo ωk

uma harmônica e ωk+1 sua sucessora, a separação entre as duas é de

ωk+1 − ωk = ω0 =2πT

(7)

Inclusive, no gráfico referente à situação em que T = 1 s, a representaçãonão permite mais perceber a separação entre harmônicas sucessivas.Portanto, é razoável imaginar que o espectro de frequências de um sinalnão periódico é contínuo, ao invés de ser composto apenas por harmônicas(que ocorrem em valores discretos de frequências).



Vamos então analisar o que ocorre matematicamente com a Série deFourier quando o período de x(t) tende a infinito.

x(t) =∞∑

n=−∞Fn exp(jnω0t)

em que

Fn =1T

∫ T2

−T2

x(t)e−jnω0tdt

Portanto,

x(t) =∞∑

n=−∞

[1T

∫ T2

−T2

x(t)e−jnω0tdt

]exp(jnω0t) (8)



O espaçamento entre harmônicas consecutivas é

∆ω = ωk+1 − ωk = ω0 =2πT

(9)

Desta forma, podemos escrever

x(t) =∞∑

n=−∞

[∆ω

2π

∫ T2

−T2

x(t)e−jnω0tdt

]exp(jnω0t)

x(t) =12π

∞∑n=−∞

[∫ T2

−T2

x(t)e−jnω0tdt

]exp(jnω0t)∆ω (10)



x(t) =12π

∞∑n=−∞

[∫ T2

−T2

x(t)e−jnω0tdt

]exp(jnω0t)∆ω

Quando T −→∞, substituímos ∆ω por dω, nω0 por ω e trocamos osomatório por uma integral imprópria:

x(t) =12π

∫ ∞−∞

[∫ ∞−∞

x(t)e−jωtdt

]exp(jωt)dω (11)

Podemos reconhecer nessa expressão a anti-transformação de umatransformada. Chamamos a integral de dentro de Transformada de Fourier,enquanto que a integral de fora corresponde a sua respectivaanti-transformada.



Dada uma função x(t), sua Transformada de Fourier é

X (ω) = F [x(t)] =

∫ ∞−∞

x(t)e−jωtdt (12)

E a expressão

x(t) = F−1[x(t)] =12π

∫ ∞−∞

X (ω)e jωtdω (13)

representa a Transformada Inversa de Fourier.


Transformada de Fourier - Exemplo

Para o pulso de largura τ do exemplo anterior, vamos analisar agoraeliminando a periodicidade do pulso, situação que corresponde ao casolimite T −→∞.Ou seja, considere um sinal x(t) dado por

x(t) = x0, se 0 ≤ t ≤ τx(t) = 0, se t > τ

A transformada de Fourier de x(t) é dada por

X (ω) =

∫ ∞−∞

x(t)e−jωtdt

X (ω) =

∫ τ

0x0e−jωtdt

X (ω) =jx0

ω[e−jωτ − 1] (14)



O módulo de X (ω) é dado por

|X (ω)| =x0

|ω|∣∣e−jωτ − 1

∣∣|X (ω)| =

x0

|ω|

∣∣∣∣∣e jωτ2 − e−jω

τ2

e jωτ2

∣∣∣∣∣|X (ω)| =

2x0

|ω|

∣∣∣sin(ωτ

2

)∣∣∣ (15)



A expressão anterior pode ser escrita em termos da função sinc(ω),definida por

sinc(ω) =sinω

ω(16)

para ω 6= 0 e sinc(0) = 1. Observe que esta função é contínua em ω = 0.Portanto, temos

|X (ω)| = x0τ∣∣∣sinc (ωτ

2

)∣∣∣ (17)

O gráfico de |X (ω)| é apresentado em seguida, para os mesmos parâmetrosdo exemplo do pulso periódico (τ = 10 ms e x0 = 10 V ).



Figura: Módulo da transformada de Fourier (Vs) em função da frequência angular(rad/s)



Observe que

X (ω) =jx0

ω[e−jωτ − 1]

e que

Fn =jx0

2πn[e−jnω0τ − 1]

Desta forma, podemos perceber a relação

Fn =1TX (nω0) (18)

Pode-se mostrar que a relação acima também é válida para n = 0.


Transformada de Fourier - Existência

A Transformada de Fourier existe sempre que a integral que a define existe.Uma condição suficiente mas não necessária para a existência datransformada é que ∫ ∞

−∞|x(t)|dt (19)

convirja.


Transformada de Fourier - Propriedades

As seguintes propriedades da transformada de Fourier motivam seu uso naanálise de circuitos:Linearidade: Se X1(ω) e X2(ω) são as transformadas de Fourier de x1(t) ex2(t) e α1 e α2 são duas constantes, então

F [α1x1(t) + α2x2(t)] = α1F1(ω) + α2F (ω) (20)



Mudança de escala: Se X (ω) é a transformada de Fourier de x(t), então

F [x(at)] =1|a|

X(ωa

)(21)

expansão no tempo ↔ compressão na frequênciacompressão no tempo ↔ expansão na frequência



Deslocamento no tempo: Se X (ω) é a transformada de Fourier de x(t),então

F [x(t − t0)] = e−jωt0X (ω) (22)



Deslocamento na frequência: Se X (ω) é a transformada de Fourier dex(t), então

F [x(t)e jω0t ] = X (ω − ω0) (23)



Diferenciação no domínio do tempo: Se X (ω) é a transformada deFourier de x(t), então

F [x (n)(t)] = (jω)nX (ω) (24)



Integração no domínio do tempo: Se X (ω) é a transformada de Fourierde x(t), então

F[∫ t

−∞x(ξ)dξ

]=

X (ω)

jω+ πX (0)δ(ω) (25)



Reversão no tempo: Se X (ω) é a transformada de Fourier de x(t), então

F [x(−t)] = X (−ω) = X ∗(ω) (26)



Convolução no tempo: Se um sinal x(t) é aplicado a um circuito linearque tem resposta ao impulso h(t), então a saída será:

y(t) = h(t) ∗ x(t) =

∫ ∞−∞

h(τ)x(t − τ)dτ (27)

Se X (ω), H(ω) e Y (ω) forem as transformadas de Fourier de x(t), h(t) ey(t), então

Y (ω) = H(ω)X (ω) (28)



Convolução na frequência: Se as funções x1(t) e x2(t) possuíremtransformadas de Fourier X1(ω) e X2(ω), então

F [x1(t)x2(t)] =12π

X1(ω) ∗ X2(ω) (29)

ou

X (ω) =12π

∫ ∞−∞

X1(λ)X2(ω − λ)dλ (30)


Transformada de Fourier - Aplicações em circuitos

A transformada de Fourier generaliza as técnicas de fasores para sinais nãoperiódicos. Da mesma forma que os fasores apenas permitem analisar oregime permanente senoidal submetido a entradas senoidais, com atransformada de Fourier analisamos apenas o regime permanenteestabelecido.Através da transformada de Fourier, podemos conseguir as mesmasexpressões obtidas para impedâncias de resistores, indutores e capacitoresna análise fasorial, ou seja,

ZR = R

ZL = jωL

ZC =1

jωC


Transformada de Fourier - Aplicações em circuitos

Dispondo das relações acima, podemos obter as transformadas de Fourierpara os sinais de entrada e em seguida aplicar as mesmas técnicas dodomínio do tempo (como Lei das Correntes, Lei das Tensões, Análise dasMalhas, Análise Nodal, Análise Tableau, Equivalente Thévenin eEquivalente Norton) para encontrar a resposta Y (ω), no domínio dafrequência. Em seguida, calculamos a transformada inversa para obter aresposta no domínio do tempo.Novamente podemos definir a função de transferência de um circuito comoa razão entre as transformadas da saída e da entrada:

H(ω) =Y (ω)

X (ω)(31)


Bibliografia

Burian, Y. & Lyra, A.C.C., Circuitos elétricos, Prentice-Hall Brasil,2006 (Capítulo 13);Alexander, C., M. Sadiku, and M. Sadiku. "Fundamentals of ElectricCircuits, 2000."(Capítulo 18).


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