時間反転不変な系におけるZ2不変量

���茨大理：�福井隆裕

2008/7/18

量子スピンホール効果

バルクの観点: n = Chern number

Thouless-Kohmoto et al PRL 49, 405 (’82)

時間反転対称性ー無 →状態は整数 n で特徴付けられる。

量子ホール効果

時間反転対称性ー有 →状態は整数 n (mod 2)で特徴付けられる。

バルクの観点: n =Z2 numberChern number と同様 topological

Kane-Mele PRL 95, 146802 (05)

スピンホール効果:

電場によって スピン・ホール カレントが流れる

スピン軌道結合が重要な役割 → 時間反転対称

Doped semiconductor Murakami, Nagaosa, Zhang. Science 301, 1348 (’03) Sinova et al. PRL 92, 126603 (04)Insulator Murakami, Nagaosa, Zhang. PRL 93, 156804 (04) Kane, Mele PRL 95, 226801 (05) (graphene) Z2 topological number Kane, Mele PRL 95, 146802 (05)

Experiments J. Sinova et al, PRL 92, 126603 (’04) Y.K. Kato et al, Science 306, 1910 (’04)

量子スピンホール効果: Graphene with spin-orbit coupling → 4 band model

2 バンド

2 バンド

Kane-Mele PRL 95, 226801 (‘05)

バルクの観点より

2 バンド

Z2 不変量 = パフィアンの０点の数 (mod 2)

どのように計算するか

　スピンに依存したひねり境界条件で Spin-Chern 数

　運動量空間で直接

QSHE Trivial

連続運動量による Z2 の計算

B

Gauge: Pfaffian real positivePfaffian zero

B’

Fu-Kane, PRB74, 195312 (‘06)

Z2 invariant

メッシュに切った Brillouin zone でのChern 数の計算

1. Brillouin zone に格子を定義し ハミルトニアンを対角化

2. Berry U(1) リンク変数を計算

3. Berry field strength を計算Plaquette variable

Branch of ｌｎ

4. 和を取りChern 数を計算

・Fukui-Hatsugai-Suzuki, J. Phys. Soc. Jpn 74 (2005)　1674.

Luescher, NP B549, 295 (‘99)

Fujiwara-Suzuki-Wu, PTP 105, 789 (’01) .

1. non Abelian Berry link variable

2. Define U(1) part as a U(1) link variable

縮退がある時

格子Chern 数は整数

１．ゲージポテンシャルを定義

2．Field strength は

Branch of ln is [‐π, π)

3. Chern 数をｎで表す

差分

厳密に整数！n depends on a gaugebut their sum does not

差分は消える

A lattice field which takes only integers

Luescher, NP B549, 295 (‘99)Fujiwara-Suzuki-Wu, PTP 105, 789 (’01) .

離散運動量による Z2 の計算

B

Lattice version of Z2

Fukui-Hatsugai JPSJ 76 (2007) 053702

Fu-Kane

グラフェン模型への応用

Spectrum on cylinder (Edge states)

Spectrum of bulk Almost identical → gap does not distinguish phases

(Lattice) Z2 invariant

Kane, MelePRL 95, 146802 (05)

QSHE Insulator

Application to 3D materials → 4 Z2 invariants

3 basic phases: 1. Strong topological insulator 2. Weak topological insulator 3. Simple insulator

Bismuth Antimony

3D sysytems: Moore-Balents, cond-mat/0607314 Roy, cond-mat/0607531 Fu-Kane-Mele, cond-mat/0607699Bismuth: Murakami, cond-mat/0607001 Fu-Kane, cond-mat/0611341 Fukui-Hatsugai, cond-mat/0611423

Quasi-2D

Band Data: Liu-Allen, PRB 52, 1566 (’95)

まとめ

時間反転対称な絶縁体を特徴づける Z2 不変量の計算方法

格子Brillouin zone での Z2数の計算方法 　　　　 → 先に我々の提案した格子計算が威力を発揮

時間反転＋空間反転の場合：Z2= 4点parity → Fu-kane

我々の方法は不必要　　　　

　　　　　→ 空間反転がない場合（結晶構造、或いは乱れ）

　　　　　　 我々の方法が威力を発揮する。　　　　　　　　　　　　　　　 Essin-Moore, arXiv:0705.0172

現在の興味　Z2の位相幾何学的な意味

• パフィアン公式、第1チャーン数の”半分” (Fu-Kane)• 第2チャーン数(Qi-Zhang)

今ひとつ分かった気がしない

Global anomaly との関係 π4(SU(2))=Z2