複雑ネットワークの統計的性質

大学院共通授業科目

「トポロジー理工学特別講義 Ｉ 」

ネットワークトポロジー

北海道大学工学研究科応用物理学専攻矢久保考介

ネットワークとは ．．．

ノードリンク

ノード：場所、人、物、言葉、概念、・・・

リンク： ノードとノードの関係

文中に隣接（次隣接）して位置する

単語単語ネットワーク

引用関係論文論文引用

共著関係研究者論文共著

共演関係映画俳優映画俳優ネットワーク

路線空港交通網

友人関係、敵対関係人人的コミュニケーション

クーロン相互作用電子相互作用

リンクWebページWWW

通信回線コンピュータインターネット

リンクノードネットワーク

様々なネットワーク

ネットワークの例１： 地下鉄ネットワークノード：駅リンク：路線

ネットワークの例２： コンピュータ・ネットワークノード：コンピュータリンク：回線

ネットワークの例3： インターネットノード：コンピュータリンク：物理回線

ネットワークの例4： WWWノード：Webページリンク：ハイパーリンク

MARCELLUS Good now, sit down, and tell me, he that knows, Why this same strict and most observant watch So nightly toils the subject of the land, And why such daily cast of brazen cannon, And foreign mart for implements of war; Why such impress of shipwrights, whose sore task Does not divide the Sunday from the week; What might be toward, that this sweaty haste Doth make the night joint-labourer with the day: Who is't that can inform me?

HORATIO That can I; At least, the whisper goes so. Our last king, Whose image even but now appear'd to us, Was, as you know, by Fortinbras of Norway, Thereto prick'd on by a most emulate pride, Dared to the combat; in which our valiant Hamlet-- For so this side of our known world esteem'd him-- Did slay this Fortinbras; who by a seal'd compact, Well ratified by law and heraldry, Did forfeit, with his life, all those his lands Which he stood seized of, to the conqueror: Against the which, a moiety competent Was gaged by our king; which had return'd To the inheritance of Fortinbras, Had he been vanquisher; as, by the same covenant, And carriage of the article design'd, His fell to Hamlet. Now, sir, young Fortinbras, Of unimproved mettle hot and full, Hath in the skirts of Norway here and there Shark'd up a list of lawless resolutes, For food and diet, to some enterprise That hath a stomach in't; which is no other-- As it doth well appear unto our state-- But to recover of us, by strong hand And terms compulsatory, those foresaid lands So by his father lost: and this, I take it, Is the main motive of our preparations, The source of this our watch and the chief head Of this post-haste and romage in the land.

king

land poem

history

job

apple

man

yellowtype

blood

race

ネットワークの例5： 単語のネットワークノード：単語リンク：文章中で隣り合うか一つ飛ばしに隣り合う関係

ネットワークの例6：酵母におけるタンパク質間相互作用ネットワーク

ノード：蛋白質リンク：相互作用

ネットワークの例7： 科学論文共著関係ネットワークノード：研究者リンク：共著関係

ネットワークに関する理論的扱い

＝

グラフ理論（１８世紀のオイラーを創始者とする数学：トポロジーの起源）

膨大なノード数をもつ複雑なネットワーク

複雑ネットワーク科学（複雑ネットワークの統計的性質を解明する）

1998～

ネットワークの一般的性質

●ネットワーク構造に距離の概念はない

同じ構造

●連結性が変われば構造は変わる

異なる構造

連続変形しても繋ぎ替えがなければ同じ構造

トポロジー

ネットワークを特徴付ける様々な量

●総ノード数 N ネットワークのサイズ●総リンク数 n● ノードの次数 ki ノード iから出ているリンク数●平均次数 <k>

∑=i

ikN

k 1 Nkn =2

● ノード間距離 d

ijノード対を結ぶリンク数の最小値

2=ijd

●ネットワーク径 lネットワーク内の全てのノード間距離の最大値

●平均ノード間距離 <d>ネットワーク内の全てのノード間距離の平均値

● クラスター係数 C

i

i

ノード i の次数ki

ノード i の近接ノード数ki

近接ノードが互いにリンクする組み合わせの数 : Si

2)1(

2−

== iiki

kkCSi

近接ノードが実際にリンクしている数 ： Ei

ノード i のクラスター係数 ： Ci

)1(2−

==ii

i

i

ii kk

ESEC

ネットワークのクラスター係数 ： CiCC =

Cはネットワークがどの程度密に繋がっているかを表す量

完全グラフC=1

ツリー構造C=0

多くの現実ネットワークに共通の性質

１．スモールワールド性

Nl ln∝

ネットワークサイズNに比べて平均ノード間距離が圧倒的に小さい

高いクラスター性

0≈C 1≈C

２．スケールフリー性次数 kiの分布関数がベキ関数

論文の共著関係。(M)数学、(NS)神経科学

ベキ分布

(A) 俳優の共演関係、(B) WWW、(C) 電力網

現実のネットワークのベキ分布

)1( )( >>∝ − kkkP γ

スケールフリー性 （特徴的なkが存在しない）

γ=2.1 (WWW)γ=2.4 (Internet)γ=2.1 (NS)・・・

ハブ構造

巨大なリンク数を持つノード（ハブ）が少数ながら存在する

３．フラクタル性

フラクタル＝自身の一部分と相似な構造（自己相似）＝特徴的長さが無い構造

自然界の至るところに遍在

フラクタル構造とフラクタル次元：

CDlN ∝

D ・・・ フラクタル次元（非整数）

BDBB lN −∝

1l2l サイズ l の箱に含まれる質量 N （測度）

Bl

サイズ lBの箱で被覆するのに必要な最小の箱の数 NB

身の回りの複雑ネットワークはフラクタルか？

DBB lN −∝

ネットワーク距離 lBのサブグラフで

被覆するのに必要なサブグラフの最小数 NB

46==

B

B

Nl

フラクタル

WWWと俳優のネットワーク

DBB lN −∝

フラクタル・ネットワーク

"Self-similarity of complex networks"C. Song, S. Havlin, and H. A. MakseNature 433, 392 (2005).

蛋白質相互作用ネットワーク

DBB lN −∝

フラクタル・ネットワーク

細胞内生化学経路ネットワーク

DBB lN −∝

フラクタル・ネットワーク

インターネット 蛋白質相互作用ネットワーク

)/exp( 0llN BB ∝

非フラクタル・ネットワーク

多くの現実ネットワークに共通の性質

１．スモールワールド性２．スケールフリー性３．フラクタル性

全ての現実ネットワークがこれらの性質を共有しているわけではない！

何故、このような共通性が存在するのか？

スモールワールド性の起源

Watts-Strogatz （1998）規則性とランダム性の両方を取り入れたネットワーク・モデルにより大きなクラスター係数と小さなネットワーク径を両立させた。

(1)初めにN個のノードからなるリング状の格子を考え、ノード間はK個の最近接(N>>K>>lnN)まで結合している。（規則性）

N=8K=4

)1(4)2(3

−−

=KKC

(2) 確率pでランダムにリンクの繋ぎ替えをする。ただし、二重リンクや自己リンクを禁止する。（ランダムネス）

クラスター係数

)(/1

pKNfK

Nld

=

uu

u

uuuf

4tanh

4

4)(2

12 ++

= −

⎩⎨⎧

>><<

=1/)ln(1const.

)(uuuu

uf

スモールワールド性

の３角形が３角形のままでいられる確率

p=0でのクラスター係数

)1(4)2(3)0(

−−

=KKC

3)1( p−

3)1()1(4)2(3)( p

KKpC −−−

=平均ノード間距離

K>>1

l

C

p=1p=0

43

NK

KN

KN

lnln

大きな C と小さな l !

次数分布関数

∑=

−−−

−

−−−=

),(

0

2/2/

2/2/ )!2/(

)2/()1()(Kkf

n

pKnKk

nKnnK e

nKkpKppCkP

ランダム・ネットワークと本質的に同じ

スケールフリー性の起源

Barabasi-Albert モデル（1999）成長と優先的選択のメカニズムによりスケール・フリー性を有するネットワーク・モデルの構築に成功。

(1) 初めにm0個（少数）のノードが存在している。

各時間ステップで１個のノードを加える。このノードはm(≦m0)本のリンクを持っており、既存のノードのどれかと結合する。（成長）

(2) 新しく加わるノードが既存のノードとリンクで結ばれる確率は、

∑=Π

ii

ii k

kk )(2/6

2/6

2/62/10

3/103/10

2/10で与えられる。（優先的選択）

Barabasi-Albert モデル

スケール・フリー性 ハブ構造

●ネットワーク径

NNl

lnlnln

≈ （スモールワールド性）

● クラスター係数

さらなるネットワーク・モデルの必要性

ランダム・ネットワークと同程度

現実のネットワークと不一致

フラクタル性の起源

Song el at. (Nature, 2005)複雑ネットワークにフラクタル性があることを発見

CDlN ∝（フラクタル性）

Nl log∝（スモールワールド性）

BDBB lN −∝

フラクタル性の起源は?

Goh el at. (PRL, 2006)フラクタル・ネットワークのスケルトン構造は臨界的

Yook el at. (PRL, 2005)フラクタルネットワークはdisassortative

Song el at. (Nature Phys., 2006)モージュールの入れ子構造

フラクタル構造

臨界現象平衡系臨界現象非平衡系自己組織化臨界性 (SOC)

特徴的長さの無い支配方程式

0=φ∆

フラクタル・ネットワークの形成

0.0 0.5 1.0 1.50.0

5.0

10.0

15.0

20.0

N=2000 N=4000 N=6000 N=8000 N=10000

Ave

rage

nod

e-pa

ir di

stan

ce (l

NP)

α

適応度モデルにおける臨界的性質とフラクタル性

あるパラメータαに対する相関長

α=0.26 (=αc) が臨界点

100 101 102

10-1

100

101

102

103

104

P c(s)

s0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0

0.0

0.5

1.0

M

α/αc

秩序変数 クラスター・サイズ分布

100 101 102100

101

102

N B

lB

100 101 102100

101

102

103

N c

lc

Box-covering Cluster-growing

Atα=αc

77.1== CB DDネットワークは臨界点でフラクタル構造

通常の臨界現象

B log l

Blo

gN

B log lB

log

N

D

d

Dフラクタル

ユークリッド

フラクタル

∞→dスモールワールド

0/ llB

BeN −∝

複雑ネットワークの臨界現象

フラクタル性とスモールワールド性との関係

複雑ネットワークの科学の展開

● SF、SW、フラクタル性の相互関係

スケールフリー性

スモールワールド性 フラクタル性

クロスオーバー

γとDに関係があるか同時成立するモデルは？

●スケールフリー性とスモールワールド性

閾値モデルM. Boguna et al.: Phys. Rev. E 68, 036112 (2003).

・・・

知人モデルJ. Davidsen et al.: Phys. Rev. Lett. 99, 128701 (2002).

●スケールフリー性とフラクタル性

k

B

dD

+=γ 1

繰り込まれたノードの次数k’とそのノードの繰り込み前のノード集合の最大次数kが比例し、比例係数が繰り込みサイズのdk乗に比例するスケールフリーなフラ

クタル・ネットワークの場合、

●自己組織化臨界による複雑ネットワーク形成

●重み付けられたネットワークの性質

4.30.1

2.1

0.3

1.5

航空路線ネットワーク株価の相関ネットワーク血管網・・・・

● ネットワーク上の物理噂の蔓延お金の流通 拡散問題

世論形成 スピン問題

何故現実のネットワークがフラクタル構造を取るか？

その他の問題

参考書

一般書

「新ネットワーク思考ー世界のしくみを読み解く」バラバシ （日本放送出版協会）

「複雑な世界、単純な法則ーネットワーク科学の最前線」マーク・ブキャナン （草思社）

「私たちはどうつながっているのかーネットワークの科学を応用する」増田直紀（中公新書）

「複雑ネットワークの科学」増田直紀、今野紀雄 （産業図書）

やや専門的

専門的“Characterization of complex networks: A survey of measurements”

L. da F. Costa, F. A. Rodrigues, G. Travieso, and P. R. Villas Boas,Adv. Phys. 56, 167 (2007).

“The structure and function of complex networks”M. E. J. Newman, SIAM Rev. 45, 167 (2003).

"Evolution of Networks: From Biological Nets to the Internet and WWW”S. N. Dorogovtsev and J. F. F. Mendes (Oxford Univ Pr., 2003).

“Statistical mechanics of complex networks”R. Albert and A. L. Barabasi, Rev. Mod. Phys. 74, 47 (2002).

“Evolution of networks”S. N. Dorogovtsev and J. F. F. Mendes, Adv. Phys. 51, 1079 (2002).

レポート課題：

与えられた N 個のノードに対して、これらの全てのノード対を確率 p で結ぶ（リンクを張る）ことで出来るネットワークを考える。十分大きなNにおけるこのネットワークに対して以下の問に答えよ。

(1) 平均次数を計算せよ(2) クラスター係数を計算せよ(3) 次数分布関数を求めよ