別鬧了別鬧了!!!少年牌!少年牌－少年－少年「「牌牌牌」」」的奇...

1

〜〜〜〜別鬧了別鬧了別鬧了別鬧了!!!!少年牌少年牌少年牌少年牌－－－－少年少年少年少年「「「「牌牌牌牌」」」」的奇幻規律之延伸探討的奇幻規律之延伸探討的奇幻規律之延伸探討的奇幻規律之延伸探討〜〜〜〜

摘要摘要摘要摘要

本研究從第 53 屆高雄市科展佳作作品「少年牌的奇幻規律」延

伸探討，該作品研究目的為從最上方的卡片開始，每放 1 張至桌

上，下 q 張即放至該疊的下方；本研究推廣為每放 p 張至桌上，下

q 張即放至該疊的下方，重複此過程，直到全部 n 張卡片都放到桌

上為止。發現該 n 張卡片之基本數列均具奇妙的規律。

最後完整得到：當 n 張卡放 p 張收 q 張時，其第 x 項數字的一般

化公式為 )1()(

)( −−

+

−−= t

qp

txpnxf ，其中 x≡t(mod p+q)。

壹壹壹壹、、、、研究動機研究動機研究動機研究動機及研究目的及研究目的及研究目的及研究目的

在 2009 年南非德本的青少年數學國際城市邀請賽的題目中，有一

個題目(原文如下)：

The cards 1 to 15 are arranged in a deck, not in numerical order. The top card is

placed on the table and the next card is transferred to the bottom of the deck. Now

the new top card is placed on top of the card on the table and the next card is

transferred to the bottom of the remaining deck. This process is repeated until all

15 cards are on the table. If the cards on the table are now in their natural order, 1

to 15, from top to bottom, what was the fourth card from the bottom in the

original deck?

有 15 張卡片，分別為 1 至 15，疊成一疊，沒有依照順序排列。從最上

方的卡片開始，每放 1 張至桌上，下 1 張即放至該疊的下方。重複此過

程，直到全部 15 張卡片都放到桌上為止。如果最後的結果是，在桌上

的卡片是成自然順序，由上而下 1 到 15。求原來的順序，第四張卡片是

幾號?

我們對這個問題產生強烈的興趣，進一步參考高雄市第 53 屆科展

國中組數學科作品「少年牌的奇幻規律」，發現只有完成放 1 收 P。我們

嘗試利用第四冊第一章等差數列與級數及高中數學第一冊之同餘定理之

尋找數列之方法，試圖推廣延伸至放 p 收 q 推廣至一般化公式。因此，

訂出研究目的如下：

將從 1 至 n 任意 n 個自然數以放 p 收 q 的方式所得到的數列加以分

析、探討，以推廣至一般化，並求出其公式。

2

參參參參、、、、文獻探討文獻探討文獻探討文獻探討

本研究根據第 53 屆高雄市科展國中組數學科評審之建議，進一步推

廣「少年牌的奇幻規律」作品「放 1 收 P」之研究內容，並更深入做其他

文獻探討。

發現除「少年牌的奇幻規律」作品原參考文獻外，另有「約瑟夫數

列的最後一章（中華民國第 46 屆中小學科學展覽會國中組數學科）」。此

研究將 n 個自然數排成一環狀以α分類、n 及 k 分類、F 函數、b 函數及

循環節，將約瑟夫問題探討範圍提升至殺α(個數)留β(個數)，求倒數第

k 個留下的數是多少。

根據以上，嘗試利用不同的方式，探討研究並推廣至「放 p 收 q」的

一般化公式。

肆肆肆肆、、、、解釋名詞解釋名詞解釋名詞解釋名詞

1.1.1.1.自然順序自然順序自然順序自然順序：：：：意指由上而下 1~n，例如 n=6，其自然順序即為 1,2,3,4,5,6

2.2.2.2.基本數列基本數列基本數列基本數列：：：：意指有 n 張卡片，分別為 1 至 n，疊成一疊，依照順序排

列。從最上方的卡片開始，每放 1 張至桌上，下 1 張即放至

該疊的下方。重複此過程，直到全部 n 張卡片都放到桌上

變成自然順序為止。該數列順序稱之為基本數列。

3.3.3.3.填填填填 k/pk/pk/pk/p 數數數數：：：：在放 p 收 q時，填 1~p層填到最後一格的情形。

例如：1. 填數：放 3 收 1填至最後格剛好填完填 2 個數，即為填

數。(如下)

2.填 1 數：放 2 收 1填至最後格剛好填完 2 個數，即為填 2/2 數=

塡 1 數。(如下)

5 4 3 2

3.填 0 數：放 2 收 1填至最後格剛好必須空該格，即為填 0/2 數=

填 0 數。

6 5 4 3 2

9 8 7 6 5 4

3

4444....第第第第 xxxx 項項項項：：：：指基本數列自然順序的項

如：n=47,放 2 收 1時該數列基本數列為 47、46、2、…、17、16，

則 47為第 1項，46 為第 2項，2 為第 3項，以此類推，16 為第 47

項。

5.5.5.5.第第第第 t t t t 層層層層：：：：放 p 收 q時可將所有自然順序數列分成 p層，故 t 指在擺放位

置時的層數。其範圍為 1≦t≦p。

6666. . . . 第第第第 mmmm 項項項項：：：：該 t層中基本數列之序數。

伍伍伍伍、、、、研究過程研究過程研究過程研究過程及設計及設計及設計及設計

我們延伸全市科展得獎佳作作品「少年牌的奇幻規律」，遵循他們的

研究方式，將探討其原研究內容「將 1 至 n 張自然連續數以放 1 收 q 的

方式（由大至小）排列求出其公式」範圍延伸至放 p 收 1、放 p 收 q，並

求出公式。

研究一研究一研究一研究一、、、、有有有有 nnnn 張卡片張卡片張卡片張卡片，，，，分別為分別為分別為分別為 1111 至至至至 nnnn，，，，疊成一疊疊成一疊疊成一疊疊成一疊，，，，依照基本數列順序排依照基本數列順序排依照基本數列順序排依照基本數列順序排

列列列列。。。。從最上方的卡片開始從最上方的卡片開始從最上方的卡片開始從最上方的卡片開始，，，，每放每放每放每放 pppp 張至桌上張至桌上張至桌上張至桌上，，，，下下下下 1111 張即放至該張即放至該張即放至該張即放至該

疊的下方疊的下方疊的下方疊的下方。。。。重複此過程重複此過程重複此過程重複此過程，，，，直到全部直到全部直到全部直到全部 nnnn 張卡片都放到桌上為止張卡片都放到桌上為止張卡片都放到桌上為止張卡片都放到桌上為止。。。。

探討該探討該探討該探討該 nnnn 張卡片之基本數列規律張卡片之基本數列規律張卡片之基本數列規律張卡片之基本數列規律。。。。

我們嘗試將「放 1 張至桌上，下 1 張即放至該疊下方」的方式

推廣延伸變成「放 2 張至桌上，下 1 張即放至該疊下方」、「放 3 張至

桌上，下 1 張即放至該疊下方」、…一直到「放 p 張至桌上，下 1 張

即放至該疊下方」，找出其一般化的規律。

((((一一一一))))每放每放每放每放 2222 張至桌上張至桌上張至桌上張至桌上，，，，下下下下 1111 張即放至該疊的下方張即放至該疊的下方張即放至該疊的下方張即放至該疊的下方。。。。重複重複重複重複規定規定規定規定過程過程過程過程。。。。探探探探

討該討該討該討該 nnnn 張卡片之基本數列規律張卡片之基本數列規律張卡片之基本數列規律張卡片之基本數列規律。。。。

我們以嘗試錯誤的方法一一排出 1~100 之基本數列，以下是

每放 2 張至桌上，下 1 張即放至該疊下方時 n 為 1~10 之基本數

列，其餘 11~100詳見附件二。

n 基本數列

1 1

2 2.1

3 3.2.1

4 4.3.1.2

5 5.4.1.3.2

6 6.5.2.4.3.1

7 7.6.2.5.4.1.3

8 8.7.1.6.5.2.4.3

9 9.8.3.7.6.2.5.4.1

10 10.9.3.8.7.1.6.5.2.4

4

從觀察 1~100基本數列之排列順序，觀察其出現之規律及推導出

公式。

((((二二二二))))每放每放每放每放 3333 張至桌上張至桌上張至桌上張至桌上，，，，下下下下 1111 張即放至該疊的下方張即放至該疊的下方張即放至該疊的下方張即放至該疊的下方。。。。重複規定過程重複規定過程重複規定過程重複規定過程。。。。探探探探


仿上述方法一一排出 1~100 之基本數列，以下是每放 3 張至

桌上，下 1 張即放至該疊下方時 n 為 1~10 之基本數列，其餘

11~100詳見附件一。

n 基本數列

1 1

2 2.1

3 3.2.1

4 4.3.2.1

5 5.4.3.1.2

6 6.5.4.1.3.2

7 7.6.5.1.4.3.2

8 8.7.6.2.5.4.3.1

9 9.8.7.2.6.5.4.1.3

10 10.9.8.2.7.6.5.1.4.3


公式。

((((三三三三))))每放每放每放每放 4444 張至桌上張至桌上張至桌上張至桌上，，，，下下下下 1111 張即放至該疊的下方張即放至該疊的下方張即放至該疊的下方張即放至該疊的下方。。。。重複規定過程重複規定過程重複規定過程重複規定過程。。。。探探探探



桌上，下 1 張即放至該疊下方時 n 為 1~10 之基本數列。

n 基本數列

1 1

2 2.1

3 3.2.1

4 4.3.2.1

5 5.4.3.2.1

6 6.5.4.3.1.2

7 7.6.5.4.1.3.2

8 8.7.6.5.1.4.3.2

9 9.8.7.6.1.5.4.3.2

10 10.9.8.7.2.6.5.4.3.1


公式。

5

以此類推，我們發現放 p 收 1 之規律及推導公式。

研究二研究二研究二研究二、、、、有有有有 nnnn 張卡片張卡片張卡片張卡片，，，，分別為分別為分別為分別為 1111 至至至至 nnnn，，，，疊成一疊疊成一疊疊成一疊疊成一疊，，，，依照基本數列順序排依照基本數列順序排依照基本數列順序排依照基本數列順序排




((((一一一一))))每放每放每放每放 2222 張至桌上張至桌上張至桌上張至桌上，，，，下下下下 2222 張即放至該疊的下方張即放至該疊的下方張即放至該疊的下方張即放至該疊的下方。。。。重複此過程重複此過程重複此過程重複此過程，，，，直到直到直到直到

全部全部全部全部 nnnn 張卡片都放到桌上為止張卡片都放到桌上為止張卡片都放到桌上為止張卡片都放到桌上為止。。。。探討該探討該探討該探討該 nnnn 張卡片之基本數列規張卡片之基本數列規張卡片之基本數列規張卡片之基本數列規

律律律律。。。。


桌上，下 2 張即放至該疊下方時 1~10 之基本數列，其餘 11~100

詳見手搞。

n 基本數列

1 1

2 2.1

3 3.2.1

4 4.3.2.1

5 5.4.2.1.3

6 6.5.2.1.4.3

7 7.6.1.3.5.4.2

8 8.7.4.3.6.5.2.1

9 9.8.4.2.7.6.1.3.5

10 10.9.2.1.8.7.4.3.6.5


公式。

((((二二二二))))每放每放每放每放 3333 張至桌上張至桌上張至桌上張至桌上，，，，下下下下 2222 張即放至該疊的下方張即放至該疊的下方張即放至該疊的下方張即放至該疊的下方。。。。重複此過程重複此過程重複此過程重複此過程，，，，直到直到直到直到

全部全部全部全部 nnnn 張卡片都放到桌上為止張卡片都放到桌上為止張卡片都放到桌上為止張卡片都放到桌上為止。。。。探討該探討該探討該探討該 nnnn 張張張張卡片之基本數列規卡片之基本數列規卡片之基本數列規卡片之基本數列規


仿上述方法一一排出每放 3 張至桌上，下 2 張即放至該疊下

方時 1~10 之基本數列，其餘 11~100詳見手搞。

n 基本數列

1 1

2 2.1

3 3. 2.1

4 4. 3. 2.1

5 5. 4. 3. 2.1

6 6. 5. 4. 2.1. 3

7 7. 6. 5. 2.1.4. 3

6

8 8. 7. 6. 2.1. 5. 4. 3

9 9. 8. 7.1.3.6.5.4.2

10 10.9.8.1.4.7.6.5.3.2

從觀察 1~10基本數列之排列順序，觀察其出現之規律及推導出公

式。

((((三三三三))))每放每放每放每放 4444 張至桌上張至桌上張至桌上張至桌上，，，，下下下下 2222 張即放至該疊的下方張即放至該疊的下方張即放至該疊的下方張即放至該疊的下方。。。。重複此過程重複此過程重複此過程重複此過程，，，，直到直到直到直到





n 基本數列

1 1

2 2.1

3 3. 2.1

4 4. 3. 2.1

5 5. 4. 3. 2.1

6 6. 5. 4. 3. 2.1

7 7. 6. 5. 4. 2.1. 3

8 8. 7. 6. 5. 2.1.4. 3

9 9. 8. 7. 6. 2.1. 5. 4. 3

10 10. 9. 8. 7.1.3.6.5.4.2


式。

研究三研究三研究三研究三、、、、有有有有 nnnn 張卡片張卡片張卡片張卡片，，，，分別為分別為分別為分別為 1111 至至至至 nnnn，，，，疊成一疊疊成一疊疊成一疊疊成一疊，，，，依照基本數列順序排依照基本數列順序排依照基本數列順序排依照基本數列順序排




((((一一一一))))每放每放每放每放 3333 張至桌上張至桌上張至桌上張至桌上，，，，下下下下 3333 張即放至該疊的下方張即放至該疊的下方張即放至該疊的下方張即放至該疊的下方。。。。重複此過程重複此過程重複此過程重複此過程，，，，直到直到直到直到





詳見手搞。

n 基本數列

1 1

2 2.1

3 3.2.1

7

4 4.3.2.1

5 5.4.3.1.2

6 6.5.4.3.2.1

7 7.6.5.3.2.1.4

8 8.7.6.3.1.2.5.4

9 9.8.7.3.2.1.6.5.4

10 10.9.8.2.1.4.7.6.5.3


公式。

((((二二二二))))每放每放每放每放 2222 張至桌上張至桌上張至桌上張至桌上，，，，下下下下 3333 張張張張即放至該疊的下方即放至該疊的下方即放至該疊的下方即放至該疊的下方。。。。重複此過程重複此過程重複此過程重複此過程，，，，直到直到直到直到





n 基本數列

1 1

2 2.1

3 3. 2.1

4 4.3.1.2

5 5.4.3.2.1

6 6.5.3.1.2.4

7 7.6.3.2.1.5.4

8 8.7.1.2.4.6.5.3

9 9.8.1.5.4.7.6.3.2

10 10.9.6.5.3.8.7.1.2.4


式。

研究四研究四研究四研究四、、、、有有有有 nnnn 張卡片張卡片張卡片張卡片，，，，分別為分別為分別為分別為 1111 至至至至 nnnn，，，，疊成一疊疊成一疊疊成一疊疊成一疊，，，，依照基本數列順序排依照基本數列順序排依照基本數列順序排依照基本數列順序排

列列列列。。。。推廣延伸從最上方的卡片開始推廣延伸從最上方的卡片開始推廣延伸從最上方的卡片開始推廣延伸從最上方的卡片開始，，，，每放每放每放每放 pppp 張至桌上張至桌上張至桌上張至桌上，，，，下下下下 qqqq 張張張張

即放至該疊的下方即放至該疊的下方即放至該疊的下方即放至該疊的下方。。。。重複此過程重複此過程重複此過程重複此過程，，，，直到全部直到全部直到全部直到全部 nnnn 張卡片都放到桌張卡片都放到桌張卡片都放到桌張卡片都放到桌

上為止上為止上為止上為止。。。。探討該探討該探討該探討該 nnnn 張卡片之基本數列規律及其一般化公式張卡片之基本數列規律及其一般化公式張卡片之基本數列規律及其一般化公式張卡片之基本數列規律及其一般化公式。。。。

根據研究一二三發現要推導出規律 p和 q 之間的數據有關連性

在，因此接下來我們利用 p和 q 之間的關係將推導之規律分成三種情

形進行討論。

8

((((一一一一))))探討當探討當探討當探討當 p=qp=qp=qp=q 時時時時，，，，該該該該 nnnn 張卡張卡張卡張卡片之基本數列規律及其一般化公式片之基本數列規律及其一般化公式片之基本數列規律及其一般化公式片之基本數列規律及其一般化公式。。。。

1.每放 2 張至桌上，下 2 張即放至該疊的下方。重複此過程，直到

全部 n 張卡片都放到桌上為止。探討該 n 張卡片之基本數列規

律。



詳見手搞。

n 基本數列

1 1

2 2.1

3 3.2.1

4 4.3.2.1

5 5.4.2.1.3

6 6.5.2.1.4.3

7 7.6.1.3.5.4.2

8 8.7.4.3.6.5.2.1

9 9.8.4.2.7.6.1.3.5

10 10.9.2.1.8.7.4.3.6.5

從觀察 1~100基本數列之排列順序，觀察其出現之規律及推

導出公式。



律。



詳見手搞。

n 基本數列

1 1

2 2.1

3 3.2.1

4 4.3.2.1

5 5.4.3.1.2

6 6.5.4.3.2.1

7 7.6.5.3.2.1.4

8 8.7.6.3.1.2.5.4

9 9.8.7.3.2.1.6.5.4

10 10.9.8.2.1.4.7.6.5.3

9


導出公式。

3. 每放 4 張至桌上，下 4 張即放至該疊的下方。重複此過程，直

到全部 n 張卡片都放到桌上為止。探討該 n 張卡片之基本數列

規律。



詳見手搞。

n 基本數列

1 1

2 2.1

3 3.2.1

4 4.3.2.1

5 5.4.3.2.1

6 6.5.4.3.2.1

7 7. 6.5.4.1.3.2

8 8. 7. 6.5. 4.3.2.1

9 9. 8. 7. 6. 4.3.2.1.5

10 10. 9. 8. 7. 4.3.2.1. 6.5

((((二二二二) p) p) p) p＜＜＜＜qqqq 時時時時，，，，該該該該 nnnn 張卡片之基本數列規律及其一般化公式張卡片之基本數列規律及其一般化公式張卡片之基本數列規律及其一般化公式張卡片之基本數列規律及其一般化公式。。。。


到全部 n 張卡片都放到桌上為止。探討該 n 張卡片之基本數列規

律。



n 基本數列

1 1

2 2.1

3 3. 2.1

4 4.3.1.2

5 5.4.3.2.1

6 6.5.3.1.2.4

7 7.6.3.2.1.5.4

8 8.7.1.2.4.6.5.3

9 9.8.1.5.4.7.6.3.2

10 10.9.6.5.3.8.7.1.2.4


10

導出公式。


到全部 n 張卡片都放到桌上為止。探討該 n 張卡片之基本數列規

律。



n 基本數列

1 1

2 2.1

3 3. 2.1

4 4. 3. 2.1

5 5.4.1.3.2

6 6.5. 4.3.2.1

7 7.6.4.1.3.2.5

8 8.7.4.3.2.1.6.5

9 9.8.1.3.2.5.7.6.4

10 10.9.2.1.6.5.8.7.4.3

((((三三三三) p) p) p) p＞＞＞＞qqqq 時時時時，，，，該該該該 nnnn 張張張張卡片之基本數列規律及其一般化公式卡片之基本數列規律及其一般化公式卡片之基本數列規律及其一般化公式卡片之基本數列規律及其一般化公式。。。。

1. 每放 3 張至桌上，下 2 張即放至該疊的下方。重複此過程，直到


律。



n 基本數列

1 1

2 2.1

3 3. 2.1

4 4. 3. 2.1

5 5. 4. 3. 2.1

6 6. 5. 4. 2.1. 3

7 7. 6. 5. 2.1.4. 3

8 8. 7. 6. 2.1. 5. 4. 3

9 9. 8. 7.1.3.6.5.4.2

10 10.9.8.1.4.7.6.5.3.2


導出公式。


11


律。



n 基本數列

1 1

2 2.1

3 3. 2.1

4 4. 3. 2.1

5 5. 4. 3. 2.1

6 6. 5. 4. 3. 2.1

7 7. 6. 5. 4. 2.1. 3

8 8. 7. 6. 5. 2.1.4. 3

9 9. 8. 7. 6. 2.1. 5. 4. 3

10 10. 9. 8. 7.1.3.6.5.4.2


導出公式。

其餘數據以此類推，詳見手稿。

陸陸陸陸、、、、研究結果研究結果研究結果研究結果

一一一一、、、、針對針對針對針對研究一研究一研究一研究一有有有有 nnnn 張基本數列卡片張基本數列卡片張基本數列卡片張基本數列卡片，，，，每放每放每放每放 pppp 張至桌上張至桌上張至桌上張至桌上，，，，下下下下 1111 張即放至該張即放至該張即放至該張即放至該

疊的下方疊的下方疊的下方疊的下方，，，，基本數列規律的研究結果基本數列規律的研究結果基本數列規律的研究結果基本數列規律的研究結果。。。。

((((一一一一))))發現發現發現發現「「「「放放放放 2222 張至桌上張至桌上張至桌上張至桌上，，，，下下下下 1111 張即放至該疊下方之基本數列張即放至該疊下方之基本數列張即放至該疊下方之基本數列張即放至該疊下方之基本數列」」」」的規律的規律的規律的規律如如如如

下下下下::::

1列基本數列之排法口訣：放 2格空 1格

2步驟：1.最大數值 n 由大到小依次往下排,排至間隔恰可放入餘下總

張數

2.照原口訣排下去

3.每一步皆須放入數字直到當時數列之最尾處

3實際排列時可分三種情形：

情形 1: 當 n被 3 除餘 1時，最後一格為填 1/2 數

n=4 放二收一數列的步驟為

� 4、3、2先放入，如： 4 3 2

� 填入 1

4 3 2 � 4 3 1 2

12

�得到基本數列 4，3，1，2

情形 2: 當 n被 3 除餘 2時，最後一格為填 1 數


� 5、4、3 、2先放入，如： 5 4 3 2

�接下來因為最後一格為填 1 數，所以將剩下的空格填入 1

5 4 3 2 � 5 4 1111 3 2

�得到基本數列 5，4，1，3，2

情形 3: 當 n被 3整除時，最後一格為填 0 數


� 6 、5、4、3先放入，如： 6 5 4 3

�接下來因為最後一格沒有填數，所以接著再空一格後填入

2、1

6 5 4 3 � 6 5 2222 4 3 1

� 得到基本數列 6，5，2，4，3，1

4數值越大相對步數越多

Ex：n=19

第�步：每放二張牌空一格排至 7，總空格數恰可放完剩餘 6 張

19191919 18181818 17171717 16161616 15151515 14141414 13131313 12121212 11111111 10101010 9999 8888 7777

第�步：依照原口訣放二收一，放入 6，5，4，3

19 18 6 17 16 15 14 5 13 12 4 11 10 9 8 3 7

第�步：依舊，放 2於 16 後

19 18 6 17 16 2 15 14 5 13 12 4 11 10 9 8 3 7

第�步：填入 1

19 18 6 17 16 2 15 14 5 13 12 4 11 10 1 9 8 3 7

第步：得到基本數列 19，18，6，17，16，2，15，14，5，13，

12，4，11，10，1，9，8，3，7

5發現當 n－2 及 n時其基本數列之間有規律：每一數列第一、二張

牌皆為 n、n-1，第三張則為 n-2 數列之倒數第一張，第四張以後則

為 n-2 數列第一張至倒數第二張。。。。

((((二二二二))))發現發現發現發現「「「「放放放放 3333 張至桌上張至桌上張至桌上張至桌上，，，，下下下下 1111 張即放至該疊下方之基本數列張即放至該疊下方之基本數列張即放至該疊下方之基本數列張即放至該疊下方之基本數列」」」」的規律如的規律如的規律如的規律如

下下下下::::

1列基本數列之排法口訣：放 3格空 1格


張數


13


3實際排列時可分四種情形：

情形 1.當 n被 4 除餘 1時，最後一格為填數

n=5 列基本數列的步驟為

� 5、4、3、2先放入，如： 5 4 3 2

�接下來因為最後一格填數，所以將剩下的空格直接填入 1

5 4 3 2 � 5 4444 3 1 2

�得到基本數列 5，4，3，1，2

情形 2.當 n被 4 除餘 2時，最後一格為填數

n=6 列基本數列的步驟為

� 6、5、4、3、2先放入，如： 6 5 4 3 2

�接下來因為最後一格填數可再填一格，所以將剩下的空格

填入 1

6 5 4 3 2 � 6 5555 4 1 3 2

�最後基本數列 6，1，2，4，5，3

情形 3.當 n被 4 除餘 3時，最後三格為有填數

n=7列基本數列的步驟為

� 7、6、5、4、3、2先放入，如： 7 6 5 4 3 2

�接下來因為最後三格有填數，所以再針對空格空 1格後填入

1

7 6 5 4 3 2 � 7 6 5 1 4 3 2

�最後基本數列 7，6，5，1，4，3，2

情形 4. 當 n被 4整除時，最後 1格為填 0 數

n=8列基本數列的步驟為

� 8、7、6、5、4、3先放入，如： 8 7 6 5 4 3

�接下來因為最後 1格沒有填數，所以將剩下的空格直接填入

2、1

8 7 6 5 4 3 � 8 7777 6 2 5 4 3 1

�最後基本數列 8，7，6，2，5，4，3，1

4數值越大相對步數越多

Ex：n=19

第�步：每放三張牌空一格排至 5,總空格數恰可放完剩餘 4 張

19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5

14

第�步：依照原口訣空一格放三,所以在 17後空一格後連續放入

4,3,2

19 18 17 16 15 14 4 13 12 11 3 10 9 8 2 7 6 5

第�步：放入最後一數----1

19 18 17 1 16 15 14 4 13 12 11 3 10 9 8 2 7 6 5

第�步：得到基本數 19,18,17,1,16,15,14,4,13,12,11,3,10,9,8,2,7,6,5

5發現當 n－3 及 n時其基本數列之間有規律：每一數列第一、二、三

張牌皆為 n、n-1、n-2，第四張則為 n-3 數列之倒數第一張，而第五張

開始則剛好為 n-3 數列扣掉倒數第一張牌後剩下的牌。。。。

((((三三三三))))發現發現發現發現「「「「放放放放 pppp 張至桌上張至桌上張至桌上張至桌上，，，，下下下下 1111 張即放至該疊下方之基本數列張即放至該疊下方之基本數列張即放至該疊下方之基本數列張即放至該疊下方之基本數列」」」」的規律如的規律如的規律如的規律如

下下下下::::

3實際排列時可分 p+1種情形：

情形 1.當 n被 p+1 除餘 1時，最後一格為填 1/p 數



……以此類推……

情形 p. 當 n被 p+1 除餘 p時，最後一格為填 1 數

情形 p+1. 當 n被 p+1整除時，最後一格為填 0 數

4發現當 n－p 及 n時其基本數列之間有規律：每一數列第一、二、

三…p 張牌皆為 n、n-1、n-2、…n-p+1，第 p+1 張則為 n-p 數列之倒數

第 1 張，而第 p+1+1 張開始則剛好為 n-p 數列扣掉倒數第一張牌後剩

下的牌。。。。

二二二二、、、、針對研究二針對研究二針對研究二針對研究二、、、、有有有有 nnnn 張基本數列卡片張基本數列卡片張基本數列卡片張基本數列卡片，，，，每放每放每放每放 pppp 張至桌上張至桌上張至桌上張至桌上，，，，下下下下 2222 張即放至張即放至張即放至張即放至

該疊的下方該疊的下方該疊的下方該疊的下方，，，，基本數列規律的研究結果基本數列規律的研究結果基本數列規律的研究結果基本數列規律的研究結果。。。。

發現發現發現發現「「「「放放放放 pppp 張至桌上張至桌上張至桌上張至桌上，，，，下下下下 2222 張即放至該疊下方之基本數列張即放至該疊下方之基本數列張即放至該疊下方之基本數列張即放至該疊下方之基本數列」」」」的規律如下的規律如下的規律如下的規律如下::::

1列基本數列之排法口訣：放 p格空 2格


張數








15


情形 p+1. 當 n被 p+2 除餘 p+1、整除時，最後一格為填 0 數


三…p 張牌皆為 n、n-1、n-2、…n-p+1，第 p+1、p+2 張則為 n-p 數列之

倒數第 2、 1 張，而第 p+2+1 張開始則剛好為 n-p 數列扣掉倒數第

一、二張牌後剩下的牌。。。。

三三三三、、、、針對研究三針對研究三針對研究三針對研究三、、、、有有有有 nnnn 張基本數列卡片張基本數列卡片張基本數列卡片張基本數列卡片，，，，每放每放每放每放 pppp 張至桌上張至桌上張至桌上張至桌上，，，，下下下下 3333 張即放至張即放至張即放至張即放至


發現發現發現發現「「「「放放放放 pppp 張至桌上張至桌上張至桌上張至桌上，，，，下下下下 3333 張即放至該疊下方之基本數列張即放至該疊下方之基本數列張即放至該疊下方之基本數列張即放至該疊下方之基本數列」」」」的規律如下的規律如下的規律如下的規律如下::::

1列基本數列之排法口訣：放 p格空 3格


張數









情形 p+1. 當 n被 p+3 除餘 p+1、p+2、整除時，最後一格為填 0 數


三…p 張牌皆為 n、n-1、n-2、…n-p+1，第 p+1、p+2、p+3 張則為 n-p

數列之倒數第 3、2、 1 張，而第 p+3+1 張開始則剛好為 n-p 數列扣掉

倒數第一、二、三張牌後剩下的牌。。。。

四四四四、、、、針對研究四針對研究四針對研究四針對研究四、、、、有有有有 nnnn 張基本數列卡片張基本數列卡片張基本數列卡片張基本數列卡片，，，，每放每放每放每放 pppp 張至桌上張至桌上張至桌上張至桌上，，，，下下下下 qqqq 張即放至張即放至張即放至張即放至


發現發現發現發現「「「「放放放放 pppp 張至桌上張至桌上張至桌上張至桌上，，，，下下下下 qqqq 張即放至該疊下方之基本數列張即放至該疊下方之基本數列張即放至該疊下方之基本數列張即放至該疊下方之基本數列」」」」的規律如下的規律如下的規律如下的規律如下::::

1列基本數列之排法口訣：放 p格空 q格


張數




情形 1.當 n被 p+q 除餘 1時，最後一格為填 1/p 數

16




情形 p. 當 n被 p+q 除餘 p時，最後一格為填 1 數

情形 p+1. 當 n被 p+q 餘 p+1、p+2…p+q-1、整除時，最後一格為

填 0 數


三…p 張牌皆為 n、n-1、n-2、…n-p+1，第 p+1 張則為 n-p 數列之倒數

第 q、q-1、q-2…1 張，而第 p+q+1 張開始則剛好為 n-p 數列扣掉倒數

第 q、q-1、q-2…1 張牌後剩下的牌。。。。

柒柒柒柒、、、、討論討論討論討論

探討本研究中 n 張卡片放 p 張收 q 張時基本數列之一般項公式。

針對研究結果所得進一步討論以推得一般項公式

我們先探討本研究中 n 張卡片放 1 張收 1 張時基本數列之一般項公

式

先根據規律中填寫的口訣將數列分「層」，其中「層」意指為一數

列分出的一排排含空格的數列，為方便表示，m 為排完後第幾張(即倒數

第 m 個位置)

Ex：n=19 的基本數列為 19、5、18、9、17、1、16、8、15、4、

14、7、13、2、12、6、11、3、10

�第一層為第 1輪填入的數

m 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

數列 19 5 18 9 17 1 16 8 15 4 14 7 13 2 12 6 11 3 10

m 每差 1時，數列部分差 2→ 2m-1( 原數列自然順序差)

∵經帶入後發現常數為 1

前 1~ 1

2

n +張→第一層求出之範圍

∴推出前 1~1

2

n +張：放 2m-1 的位置

�第二層為第 2輪填入的數 m 1 2 11 3 4 12 5 6 13 7 8 14 9 10 數列 19 5 18 9 17 1 16 8 15 4 14 7 13 2 12 6 11 3 10 m 每差 1時，數列部分差 2→ 4m

n 每差 1，m相同，格數差 2

∵減 2n再減一個常數→2n-1經過帶入後→2(n+1)

w 的差→4m-2(n+1) ←常數

∴推出第3

2

n + ~

1

2 4

n n++ 張: 放 4m-2(n+1)位置

17

�第三層為第 3輪填入的數

m 1 15 2 11 3 4 12 5 16 6 13 7 8 14 9 17 10

數列 19 5 18 9 17 1 16 8 15 4 14 7 13 2 12 6 11 3 10

�第四層為第 4輪填入的數

m 1 15 2 11 3 4 12 5 16 6 13 7 18 8 14 9 17 10 數列 19 5 18 9 17 1 16 8 15 4 14 7 13 2 12 6 11 3 10

第五層為第 5輪填入的數 m 1 15 2 11 3 19 4 12 5 16 6 13 7 18 8 14 9 17 10 數列 19 5 18 9 17 1 16 8 15 4 14 7 13 2 12 6 11 3 10 m 每差 1時，數列部分差 8→ 8m

n 每差 1，m相同，格數差 6→ 減 6n再減一個常數→ -6n-4

經過帶入後有些帶入會超過 n→多減一個 n→ -7n-4

∴推出第1

2 4

n n++ ~n 張：放 8m-(6n+4) 位置

若 8m-(6n+4)＞n，則放 8m-(7n+4)位置

若 8m-(6n+4)＜n，則放 8m-(6n+4)位置

根據上面可推得倒數第 m 個位置會對應到的位置

當 n 為偶數時

m滿足範圍對應到的位置

�2

1n

m ≤≤ 12 −m

�24

21

2

nnm

n+

+≤≤+ )1(24 +− nm

�24

2

8

41

24

2 nnnm

nn+

++

+≤≤++

+ )13(28 +− nm

�24

2

8

4

16

81

24

2

8

4 nnnnm

nnn+

++

++

+≤≤++

++

+ )17(216 +− nm

… …

當 n 為奇數時

m滿足範圍對應到的位置

�2

11

+≤≤

nm 12 −m

�2

1

4

11

2

1 ++

+≤≤+

+ nnm

n )1(24 +− nm

�2

1

4

1

8

11

2

1

4

1 ++

++

+≤≤+

++

+ nnnm

nn )23(28 +− nm

�2

1

4

1

8

1

16

11

24

1

8

1 ++

++

++

+≤≤++

++

+ nnnnm

nnn )47(216 +− nm

… …

18

進一步轉換變成 n 張卡片放 1 張收 1 張時基本數列之第 x項對應到

的數字公式為設放 1 張收 1 張時基本數列第 x項對應到的數字為

f1(x)。

我們推出放 1 收 q 之一般化公式 )(1 xf = n-p( )-(t-1)

放 p 收 1 之一般化公式 )(1 xf = n-p( )-(t-1)

我們想再接下去尋找放 p 收 q 之一般化公式

我們認為有 p q、p q、p q 這三種而有不同的公式，

但推導出的結果並不然

推導總公式：由放 p 收 1 的公式中，將係數為 p項的 1替換為 q，帶

入三種不同的數據後發現皆可用這此公式。

所以 )(1 xf =n-p( )-(t-1) 是適用於各種 p和 q 的組合，

其中特別針對 t 的部分，由於放 p 收 q時將所有自然順序的數列分成

p層，若根據之前的解釋名詞中 t 的定義，可將 t 用數學表示為 x≡

t(mod p+q)。

捌捌捌捌、、、、結論結論結論結論

當 n 張卡放 p 張收 q 張時，其第 x 項數字的一般化公式為

)1()(

)( −−

+

−−= t

qp

txpnxf ，其中 x≡t(mod p+q)。

玖玖玖玖、、、、應用應用應用應用解決本校月考複習考時均會使用電腦卡作答，依教務處規定考試結束

後收完電腦卡必須按照座號順序排列才可交回，因此每次考試時，老師

為了排答案卡順序方便往往將學生考試座位照座號排序，但座位每次都

照座號排序卻讓想作弊的學生

有機可乘，不照座號排序卻讓

監考老師每次都要浪費十分鐘

才能完成答案卡排序，若根據

本研究結果，可以延伸之前的

應用更可以用多元的排列方

式，成功且便捷地解決這個問

題。

以一個班人數 35人排成 7

排為例，我們將之前的推導出

的公式寫成簡單的程式去 run，下頁圖是考試時排列座號的序列。

等收答案卡後，監考老師只要照我們的規律：35,34,21,20,12,33,32,5,

4,19,31,30,18,7,11,29,28,10,17,16,27,26,6,3,2,25,24,15,14,9,23,22,8,1,13 排列並

且最後整理時放 2 張收 3 張，即可將所有答案打依照 1,2,3…34,35 順序排

列。

19

拾拾拾拾、、、、參考資料參考資料參考資料參考資料

1. 少年”牌”之奇幻規律(高雄市第 53 屆中小學科學博覽會國中組數學科

佳作)

2.約瑟夫數列最後一章(中華民國第 46 屆中小學科學博覽會國中組數學科

第三名)

3.洗牌的數學(中華民國第 42 屆中小學科學博覽會高中組數學科)

http://activity.ntsec.gov.tw/activity/race-1/42/pdf/e/4/040406.pdf

4.撲克牌中的數學---猜數字遊戲的研究推廣(中華民國第 44 屆中小學科學

展覽會高中組數學科)

http://activity.ntsec.gov.tw/activity/race-1/44/E/040420(1).pdf

5.樸克樸克你在哪(中華民國第四十五屆中小學科學展覽會國小組數學科

佳作)

http://activity.ntsec.gov.tw/activity/race-1/45/elementary/0804/080406.pdf

6.誰得最高分-撲克牌遊戲(中華民國第 20 屆中小學科學展覽會國小組數

學科)

http://activity.ntsec.gov.tw/activity/race-1/20/pdf/20s/191.pdf

7.撲克圈圈尋極限~撲克牌繞圈遊戲的極大值一般性探索(中華民國第 38

屆中小學科學展覽會國小組數學科)

http://activity.ntsec.gov.tw/activity/race-1/38/pdf/38s/208.pdf

8.聽音撲克牌探秘~撲克牌循環圈特色的研究 (中華民國第 41 屆中小學科

學展覽會國小組數學科)

http://activity.ntsec.gov.tw/activity/race-

1/41/%B0%EA%A4p%B2%D5/%BC%C6%BE%C7%AC%EC/4101.pdf

9.Magic Poker－撲克牌遊戲分析(中華民國第 46 屆中小學科學博覽會國中

組數學科)

http://activity.ntsec.gov.tw/activity/race-1/46/junior/0304/030412.pdf

10. 九尾謎咒(中華民國第 45 屆中小學科學博覽會國小組數學科佳作)

http://activity.ntsec.gov.tw/activity/race-1/46/junior/0304/030412.pdf

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附件一附件一附件一附件一：：：：以下是每放以下是每放以下是每放以下是每放 3333 張至桌上張至桌上張至桌上張至桌上、、、、下下下下 1111 張即放至該疊下方時張即放至該疊下方時張即放至該疊下方時張即放至該疊下方時 nnnn＝＝＝＝11~10011~10011~10011~100 之基本之基本之基本之基本

數列數列數列數列 n 基本數列 11 11、10、9、1、8、7、6、2、5、4、3 12 12、11、10、3、9、8、7、2、6、5、4、1 13 13、12、11、3、10、9、8、2、7、6、5、1、4 14 14、13、12、3、11、10、9、1、8、7、6、2、5、4 15 15、14、13、1、12、11、10、3、9、8、7、2、6、5、4 16 16、15、14、4、13、12、11、3、10、9、8、2、7、6、5、1 17 17、16、15、4、14、13、12、3、11、10、9、1、8、7、6、2、5 18 18、17、16、4、15、14、13、1、12、11、10、3、9、8、7、2、6、5 19 19、18、17、1、16、15、14、4、13、12、11、3、10、9、8、2、7、6、5 20 20、19、18、5、17、16、15、4、14、13、12、3、11、10、9、1、8、7、6、2 21 21、20、19、5、18、17、16、4、15、14、13、1、12、11、10、3、9、8、7、2、6 22 22、21、20、5、19、18、17、1、16、15、14、4、13、12、11、3、10、9、8、2、7、6 23 23、22、21、2、20、19、18、5、17、16、15、4、14、13、12、3、11、10、9、1、8、7、6 24 24、23、22、6、21、20、19、5、18、17、16、4、15、14、13、1、12、11、10、3、9、8、7、2 25 25、24、23、6、22、21、20、5、19、18、17、1、16、15、14、4、13、12、11、3、10、9、8、2、7 26 26、25、24、6、23、22、21、2、20、19、18、5、17、16、15、4、14、13、12、3、11、10、9、1、8、7 27 27、26、25、2、24、23、22、6、21、20、19、5、18、17、16、4、15、14、13、1、12、11、10、3、9、8、7 28 28、27、26、7、25、24、23、6、22、21、20、5、19、18、17、1、16、15、14、4、13、12、11、3、10、9、8、2 29 29、28、27、7、26、25、24、6、23、22、21、2、20、19、18、5、17、16、15、4、14、13、12、3、11、10、9、1、8 30 30、29、28、7、27、26、25、2、24、23、22、6、21、20、19、5、18、17、16、4、15、14、13、1、12、11、10、3、9、8 31 31、30、29、2、28、27、26、7、25、24、23、6、22、21、20、5、19、18、17、1、16、15、14、4、13、12、11、3、10、9、8 32 32、31、30、8、29、28、27、7、26、25、24、6、23、22、21、2、20、19、18、5、17、16、15、4、14、13、12、3、11、10、9、1 33 33、32、31、8、30、29、28、7、27、26、25、2、24、23、22、6、21、20、19、5、18、17、16、4、15、14、13、1、12、11、10、3、9 34 34、33、32、8、31、30、29、2、28、27、26、7、25、24、23、6、22、21、20、5、19、18、17、1、16、15、14、4、13、12、11、3、10、9 35 35、34、33、1、32、31、30、8、29、28、27、7、26、25、24、6、23、22、21、2、20、19、18、5、17、16、15、4、14、13、12、3、11、10、9 36 36、35、34、9、33、32、31、8、30、29、28、7、27、26、25、2、24、23、22、6、21、20、19、5、18、17、16、4、15、14、13、1、12、11、10、3 37 37、36、35、9、34、33、32、8、31、30、29、2、28、27、26、7、25、24、23、6、22、21、20、5、19、18、17、1、16、15、14、4、13、12、11、3、10 38 38、37、36、9、35、34、33、1、32、31、30、8、29、28、27、7、26、25、24、6、23、22、21、2、20、19、18、5、17、16、15、4、14、13、12、3、11、10 39 39、38、37、3、36、35、34、9、33、32、31、8、30、29、28、7、27、26、25、2、24、23、22、6、21、20、19、5、18、17、16、4、15、14、13、1、12、11、10 40 40、39、38、10、37、36、35、9、34、33、32、8、31、30、29、2、28、27、26、7、25、24、23、6、22、21、20、5、19、18、17、1、16、15、14、4、13、12、11、3 41 41、40、39、10、38、37、36、9、35、34、33、1、32、31、30、8、29、28、27、7、26、25、24、6、23、22、21、2、20、19、18、5、17、16、15、4、14、13、12、3、11 42 42、41、40、10、39、38、37、3、36、35、34、9、33、32、31、8、30、29、28、7、27、26、25、2、24、23、22、6、21、20、19、5、18、17、16、4、15、14、13、1、12、11 43 43、42、41、3、40、39、38、10、37、36、35、9、34、33、32、8、31、30、29、2、28、27、26、

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附件二附件二附件二附件二：：：：以下是每放以下是每放以下是每放以下是每放 2222 張至桌上張至桌上張至桌上張至桌上，，，，下下下下 1111 張即放至該疊下方時張即放至該疊下方時張即放至該疊下方時張即放至該疊下方時 nnnn＝＝＝＝11~10011~10011~10011~100 之基本之基本之基本之基本

數列數列數列數列 n 基本數列 11 11、10、1、9、8、3、7、6、2、5、4 12 12、11、4、10、9、3、8、7、1、6、5、2 13 13、12、4、11、10、1、9、8、3、7、6、2、5 14 14、13、2、12、11、4、10、9、3、8、7、1、6、5 15 15、14、5、13、12、4、11、10、1、9、8、3、7、6、2 16 16、15、5、14、13、2、12、11、4、10、9、3、8、7、1、6 17 17、16、2、15、14、5、13、12、4、11、10、1、9、8、3、7、6 18 18、17、6、16、15、5、14、13、2、12、11、4、10、9、3、8、7、1 19 19、18、6、17、16、2、15、14、5、13、12、4、11、10、1、9、8、3、7 20 20、19、1、18、17、6、16、15、5、14、13、2、12、11、4、10、9、3、8、7 21 21、20、7、19、18、6、17、16、2、15、14、5、13、12、4、11、10、1、9、8、3 22 22、21、7、20、19、1、18、17、6、16、15、5、14、13、2、12、11、4、10、9、3、8 23 23、22、3、21、20、7、19、18、6、17、16、2、15、14、5、13、12、4、11、10、1、9、8 24 24、23、8、22、21、7、20、19、1、18、17、6、16、15、5、14、13、2、12、11、4、10、9、3 25 25、24、8、23、22、3、21、20、7、19、18、6、17、16、2、15、14、5、13、12、4、11、10、1、9 26 26、25、3、24、23、8、22、21、7、20、19、1、18、17、6、16、15、5、14、13、2、12、11、4、10、9 27 27、26、9、25、24、8、23、22、3、21、20、7、19、18、6、17、16、2、15、14、5、13、12、4、11、10、1 28 28、27、9、26、25、3、24、23、8、22、21、7、20、19、1、18、17、6、16、15、5、14、13、2、12、11、4、10 29 29、28、1、27、26、9、25、24、8、23、22、3、21、20、7、19、18、6、17、16、2、15、14、5、13、12、4、11、10 30 30、29、10、28、27、9、26、25、3、24、23、8、22、21、7、20、19、1、18、17、6、16、15、5、14、13、2、12、11、4 31 31、30、10、29、28、1、27、26、9、25、24、8、23、22、3、21、20、7、19、18、6、17、16、2、15、14、5、13、12、4、11 32 32、31、4、30、29、10、28、27、9、26、25、3、24、23、8、22、21、7、20、19、1、18、17、6、16、15、5、14、13、2、12、11 33 33、32、11、31、30、10、29、28、1、27、26、9、25、24、8、23、22、3、21、20、7、19、18、6、17、16、2、15、14、5、13、12、4 34 34、33、11、32、31、4、30、29、10、28、27、9、26、25、3、24、23、8、22、21、7、20、19、1、18、17、6、16、15、5、14、13、2、12 35 35、34、4、33、32、11、31、30、10、29、28、1、27、26、9、25、24、8、23、22、3、21、20、7、19、18、6、17、16、2、15、14、5、13、12 36 36、35、12、34、33、11、32、31、4、30、29、10、28、27、9、26、25、3、24、23、8、22、21、7、20、19、1、18、17、6、16、15、5、14、13、2 37 37、36、12、35、34、4、33、32、11、31、30、10、29、28、1、27、26、9、25、24、8、23、22、3、21、20、7、19、18、6、17、16、2、15、14、5、13 38 38、37、2、36、35、12、34、33、11、32、31、4、30、29、10、28、27、9、26、25、3、24、23、8、22、21、7、20、19、1、18、17、6、16、15、5、14、13 39 39、38、13、37、36、12、35、34、4、33、32、11、31、30、10、29、28、1、27、26、9、25、24、8、23、22、3、21、20、7、19、18、6、17、16、2、15、14、5

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別鬧了別鬧了!!!少年牌!少年牌－少年－少年「「牌牌牌」」」 的奇...

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