超幾何関数入門 - 株式会社サイエンス社 ... ·...
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SGC ライブラリ- 55
超幾何関数入門特殊関数への統一的視点からのアプローチ
木村 弘信 著
サイエンス社
まえがき
本書では，いわゆる特殊関数の中で，超幾何関数とその合流型と呼ばれる一連の関数とその多変
数関数への一般化を扱っている．たとえば，ベータ関数，ガンマ関数をはじめとして，ガウスの超
幾何関数，ベッセル関数などはよく知られていて，自然科学や工学の諸分野で重要な役割を担って
いることは周知の事実である．これら一つひとつの関数の出自はそれぞれ異なっている．ベータ関
数とガンマ関数は，数学，物理学などのいくつかの分野に跨って膨大な業績を残したレオンハルト・
オイラー (Leonhard Euler, 1707–1783)の名前を冠して，第 1種オイラー積分，第 2種オイラー
積分と呼ばれる広義積分によって定義される関数である．これらの関数の有限体における類似物は
ヤコビ和，ガウス和と呼ばれ，整数論において重要な役割を果たしている．ガウスの超幾何関数は，
ガウスによって整数論への応用を視野に入れて研究され，その後リーマンによる大域的な振舞いの
研究を経て，ヒルベルトの第 21問題（いわゆるリーマン・ヒルベルト問題）の端緒となったもので
ある．またベッセル関数は，膜の振動を記述する偏微分方程式の特殊解を求める方法，いわゆる変
数分離の方法によって見出されている．このように特殊関数は，自然科学や工学だけでなく，数学
においてもさまざまな現象を理解し，その世界を豊かにするために大きな役割を果たしてきたので
ある．このような状況は現在でも同様で，青本やGelfand，Zelevinsky, Kapranov 等によって見出
された，古典的な特殊関数をその一部として内包する多変数関数への一般化は，数学のさまざまな
分野に影響を及ぼしつつある．
古典的な特殊関数に関する書物はこれまでもたくさん出版されている．その中で，日本語で書か
れたものでは，犬井鉄郎先生による「特殊関数」が広く読まれていて名著の誉れが高いようである．
この本において著者は，上に述べたさまざまな特殊関数たちを，微分方程式や差分方程式を用いて，
できるだけ統一的な視点から扱おうと試みている．しかしながら，個々の特殊関数を理解するには，
どうしてもそれらを定義する微分方程式の具体的な形やさまざまな公式を覚えている必要がある．
もちろん，このようなことは実際には不可能で，だからこそ公式集というものが存在するわけであ
るが．
本書においては，従来の方法とは異なり，青本やGelfandによるラドン変換の視点を用いて，ガ
ウスの超幾何関数とその仲間，およびその多変数関数への一般化である古典的特殊関数をグラスマン
多様体 Gr(r,N)上の関数として統一的に理解する試みを解説している．標語的に言えば，微分方程
式や公式の具体的な形は覚えている必要はなく，自然数N の分割が指定されれば，微分方程式もそ
れらについてのさまざまな公式も，原則的に復元できることになる．たとえばガウスの場合，その仲
間の合流型関数と呼ばれるものとして，クンマーの合流型関数，ベッセル関数，エルミート–ウエー
バー関数，エアリー関数というものが知られていて，これらはN = 4 を 1 + 1 + 1 + 1, 2 + 1 + 1,
2 + 2, 3 + 1, 4 と自然数の和として表わすことに対応する．
このように，出自の違うさまざまな関数が統一的な視点で扱えるというのは不思議な気もするが，
むしろ長い年月の間にこのように統一的に扱えるものが生き残ったと言えるのかも知れない．
この本の内容は，いくつかの大学で集中講義をさせて頂いた過程で説明を加えたり計算をやり直
したりして固まってきたものである．その成り立ちもあって，できるだけ他の本を参照しなくても
読めるように心掛けたつもりではあるが，やはり線形代数，微積分，複素解析の初歩を仮定せざる
を得なかった．また，説明が冗長になっている嫌いがある点も気になっている．
当初予定していた分量を越えてしまったことと，まだ完全に咀嚼できていないこともあって，本
書で扱えなかったテーマがいくつかある．それは
•超幾何関数を特徴づける微分方程式系の大域解析，すなわち解析接続を記述するモノドロミー表現やストークス現象の具体的表示，
•合流という現象の幾何学的な意味づけと取り扱い，•ド・ラーム理論の枠組みで超幾何関数を理解すること，•ホルンの超幾何関数と概均質ベクトル空間の理論との関係，• Gelfand，Kapranov，Zelevinskyによる一般化された超幾何関数，いわゆるGKZ 超幾何関数
などである．また，記述を簡単にするために対象を Gr(2, N) 上の超幾何関数に限定した．
最近，本書で扱っている枠組みで，パンルベ方程式などの重要な非線型方程式によって定義され
る関数もある程度統一的に扱えることが分かってきている．が，しかし，それらはまだ十分納得で
きる理解レベルからは程遠い．その意味で，ここで解説したことは未だ発展途上なのである．
本書を上梓するに当り，恩師である故木村俊房教授，先達であり多大な影響を受けた岡本和夫教
授をはじめ，諸先輩，友人に感謝したい．また集中講義に招いて話をする機会を与えてくださった
方々，その拙い講義を聴講してくれた大学（院）生，また本書の仕上げの時期に快適な滞在を許し
てくれたストラスブール，ルイ・パスツール大学のシェフケ教授と数学教室のスタッフに謝意を表
したい．何よりも，編集部の平勢耕介氏の辛抱強い励ましと督促がなければこの本は世に出ること
はなかった．ここで，氏に心からの謝意を表したいと思う．最後に，家族の変わらないサポートが
私の活動すべてのベースであることを付け加える．
2007年 早春の熊本にて
木村 弘信
ii まえがき
目 次
第 1章 初等関数 1
1.1 指数関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 対数関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 複素ベキ関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
第 2章 ベータ関数，ガンマ関数，ガウス積分 9
2.1 複素解析からの準備 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2 ベータ関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3 ガンマ関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.4 ベータ関数の解析接続 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.4.1 部分積分による解析接続 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.4.2 2重結びの路による解析接続 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.5 ガンマ関数の解析接続 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.5.1 部分積分による解析接続 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.5.2 積分路変更による解析接続 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.6 スターリングの公式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.7 極限移行 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
第 3章 ガウスの超幾何関数とその一族 24
3.1 微分方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.1.1 コーシーの存在定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.1.2 解の解析接続 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.1.3 特異点 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.1.4 確定特異点であるための必要条件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.1.5 フロベニウスの方法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.2 フックスの定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.2.1 フックス–福原の関係式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.3 ガウスの超幾何関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.3.1 ガウスの超幾何級数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.3.2 オイラー積分表示 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.3.3 ガウスの超幾何微分方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.3.4 超幾何微分方程式の解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.3.5 基本解に対応する積分表示 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.4 合流型超幾何関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.4.1 合流型という意味 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.4.2 合流型微分方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.4.3 級数表示 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.4.4 積分表示 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.4.5 積分路の取り方と 4の分割 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.5 隣接関係 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.5.1 ガウスの超幾何関数の隣接関係 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.5.2 クンマーの合流超幾何関数の隣接関係 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.5.3 ベッセル関数の隣接関係 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.5.4 エルミート–ウエーバー関数の隣接関係 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
第 4章 グラスマン多様体上の超幾何関数 67
4.1 無限遠をとらえる—射影空間 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.1.1 群の作用について . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.1.2 複素射影空間 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.2 ガウスの超幾何関数の見直し . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.2.1 積分表示をどのように見るか . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.2.2 ゲルファントによる解釈 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.2.3 商空間 GL(2)\Z/H の見方 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.2.4 まとめ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.3 クンマーの合流超幾何関数の見直し . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.3.1 背後にある群構造 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.3.2 ゲルファント超幾何関数の類似 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.4 ベッセル関数の見直し . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.4.1 背後にある群構造 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.4.2 一般化されたベッセル関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.5 まとめ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.6 一般超幾何関数の定義 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.6.1 可換部分群 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.6.2 Hλ の指標 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4.6.3 ラドン変換 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.6.4 Hλ の特徴づけ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4.7 群の作用による共変性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
4.8 一般超幾何微分方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
4.8.1 リー環についての復習 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
4.8.2 超幾何微分方程式系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
4.9 一般超幾何関数の簡約化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
4.10 古典的な多変数超幾何関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
iv 目 次
4.10.1 アッペルの 2変数超幾何級数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
4.10.2 ウンベールの 2変数合流型超幾何級数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
4.10.3 ホルンのリスト . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
4.10.4 ホルンの超幾何方程式系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
4.10.5 積分表示式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
4.10.6 一般超幾何関数とホルンの超幾何関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
4.10.7 ホルンの超幾何関数たちの間の変換公式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
第 5章 一般超幾何関数の対称性 128
5.1 ガウスの超幾何関数の対称性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
5.1.1 クンマーの 24個の解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
5.1.2 対称性の群 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
5.1.3 ガウスの超幾何方程式の変換 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
5.1.4 ガウスの超幾何関数の変換 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
5.2 クンマーの合流超幾何関数の対称性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
5.2.1 対称性の群 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
5.2.2 (2, 1, 1) 型一般超幾何方程式の変換 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
5.2.3 クンマーの合流超幾何方程式の変換 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
5.2.4 クンマーの第一変換公式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
5.3 一般超幾何関数に付随するワイル群 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
5.3.1 主定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
5.3.2 主定理の証明 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
5.4 ワイル群の一般超幾何方程式への作用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
5.4.1 主定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
5.4.2 定理 5.27の証明（有限群 P の場合） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
5.4.3 定理 5.27の証明（連続群 Wc の場合） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
5.4.4 Wc の作用によるパラメータの簡約化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
第 6章 隣接関係 161
6.1 随伴表現 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
6.2 ガウスの超幾何に対応する場合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
6.2.1 ルート空間分解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
6.2.2 ルートベクトルの超幾何関数への作用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
6.2.3 微分方程式のレベルでの隣接関係式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
6.3 ベッセル関数に対応する場合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
6.3.1 広義固有空間分解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
6.3.2 関数のレベルの隣接関係 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
6.3.3 微分方程式のレベルの隣接関係 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
6.4 一般の場合の隣接関係 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
v
6.4.1 ルート空間分解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
6.4.2 関数のレベルの隣接関係 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
6.4.3 微分方程式のレベルの隣接関係 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
付録 行列方程式 179
参考文献 181
索引 184
vi 目 次
第 1 章
初等関数
物理学や工学において用いられるさまざまな重要な関数の中で，特に超幾何
関数やその合流型関数と呼ばれる一団の関数たち，およびそれらの多変数関数
への拡張は，数学においても魅力ある対象である．これらの関数たちに共通す
る構造を抽出して，できるだけ統一的な視点からこれらの関数について調べる
のが本書の目的である．超幾何関数は，複素数を変数とする複素解析関数であ
る．応用上は，独立変数を実数とする場合も多いであろうが，本書では特に断
らなければ，変数はすべて複素数とする．
超幾何関数およびその仲間たちは，指数関数と複素ベキ関数を用いて作られ
る関数を積分することによって表わすことができる．この章では，材料となる
指数関数や複素ベキ関数について復習しよう．
1.1 指数関数
高校において学習したように，指数関数 ex はその微分が自分自身と一致す
る，実数直線 � で定義された関数であった．つまり
d
dxex = ex.
このことより，f(x) = ex が無限回微分可能な関数であることが分かり，さら
にテイラーの定理を x = 0 において用いれば，ベキ級数による表示
ex = 1 +11!x+
12!x2 + · · · + 1
n!xn + · · · (1.1)
が得られる．実際，この表示がすべての実数 x について成り立つことは，テイ
ラーの定理の剰余項 Rn が
Rn =f (n)(θx)xn
n!=eθxxn
n!(0 < θ < 1)
で与えられ，従って
第 2 章
ベータ関数，ガンマ関数，ガウス積分
指数関数，ベキ関数などの初等関数の次に位置する重要な関数が，これらの関
数の積を被積分関数とする積分で与えられる関数たちである．この章では，そ
れらの中で最も簡単なベータ関数，ガンマ関数，そして関数ではないが，ガウ
ス積分を取り上げる．列挙すれば
B(a, b) :=∫ 1
0
ua−1(1 − u)b−1du,
Γ (a) :=∫ ∞
0
e−uua−1du,
√2π :=
∫ ∞
−∞e−
12 u2
du
である．これらの積分の被積分関数を見て，ある種の規則性を読み取れるだろう
か．ベータ関数は 2個のベキ関数の積を被積分関数に持ち，ガンマ関数はベー
タ関数のそれのうち (1 − u)b−1 が e−u に変わり，ガウス積分においてはガン
マ関数のそれのうち ua−1 がなくなり，その代わりに指数関数の e の肩に乗っ
ている多項式が二次式 − 12u2 に変わっている．後の章で明らかになるように，
これらの積分は，ある統一的な仕方で定義されるものである．
2.1 複素解析からの準備
複素解析関数の積分を扱うので，これらに必要な結果を複素解析から準備し
ておこう．
命題 2.1 D を z-平面の領域とし，D × [a, b] で定義された連続関数 f(z, t)
を考える．f(z, t) は，t を固定したとき z の関数として D で正則とする．こ
のとき
F (z) =∫ b
a
f(z, t)dt
第 3 章
ガウスの超幾何関数とその一族
この章では，ガウスの超幾何関数とその合流型関数と呼ばれる特殊関数を導
入する．ガウスの超幾何関数は，� \ {0, 1} における正則多価な，その大域的な振舞いがよく分かっている “良い”関数である．この関数はさまざまな顔を持っ
ている．ベキ級数，微分方程式，積分表示，隣接関係式によって特徴づけられ，
また，ワイル群対称性に由来する変換公式を持つ．このような多面性が，ガウ
スの超幾何関数の大域的な振舞いを調べることを可能にしていると言えるだろ
う．この仲間として合流型関数と呼ばれるクンマーの合流超幾何関数，ベッセ
ル関数，エルミート–ウエーバー関数，エアリー関数がある．ここで合流型関数
と言ったのは，ガンマ関数がベータ関数からある種の極限として得られるよう
に，ガウスの超幾何関数から極限操作によって，これらの関数が次々に得られ
るからである．その結果，これらの合流型関数も，ガウスの超幾何関数のさま
ざまな顔を形を変えて引き継ぐことになる．
3.1 微分方程式
この章のメインキャストであるガウスの超幾何関数とその合流型関数はすべ
て，複素数 x を独立変数とし，y を未知関数とする 2階線形微分方程式
y′′ + p(x)y′ + q(x)y = 0 (3.1)
の解として特徴づけられる．ここで，p(x) および q(x) は有理関数である．そ
こで，この節では，複素変数の 2階微分方程式の基本的な事項を復習しておく
ことにする．述べられる結果は，何らかの修正を経ることによって高階微分方
程式に対しても成り立つことを注意しておこう．
3.1.1 コーシーの存在定理
2次元ベクトル値関数 w = t(w1, w2) についての 1階方程式系
第 4 章
グラスマン多様体上の超幾何関数
前章では，ガウスの超幾何関数とその一族である合流型超幾何関数を古典的
な立場で導入した．本章では，これらの関数の積分表示を詳しく分析すること
によって，これらが群論的に統一的に扱えることを示し，一般超幾何関数に到
達する路を説明する．標語的に言えばそのストラテジーは積分変数を無限大も
込めて平等に扱いなさいということである．
4.1 無限遠をとらえる—射影空間
4.1.1 群の作用について
G を群，その単位元を 1，X を集合とする．
定義 4.1 群 Gが X に左から作用するとは，写像
G×X � (g, x) �→ g · x ∈ X
が定義されていて，次の条件を満たすときをいう．
1) 1 · x = x,
2) (g1g2) · x = g1 · (g2 · x).
g ∈ G によって定まる写像 Tg : X � x �→ g · x ∈ X は全単射である．群の
作用 G×X → X が定義されているとき，自然に X に同値関係が定まる．す
なわち，ある g ∈ G があって x = g · y となるとき x と y は同値であるとい
い x ∼ y と書くのである．x を含む同値類を O(x) と書く．
O(x) = {g · x | g ∈ G}である．O(x) を x を通る軌道 (orbit) とも呼ぶ．O(x) = O(y) であるか
O(x)∩O(y) = ∅ のいずれかが成り立つ．軌道全体の集合を G\X と表わし X
の Gの作用による商空間という．
第 5 章
一般超幾何関数の対称性
ガウスの超幾何関数やその一族であるクンマー，ベッセルなどの合流型超幾
何関数については，さまざまな変換公式が知られている．その中には，これら
の関数を支配する微分方程式を不変に保つ変換が存在することから導かれるも
のがある．ガウスの超幾何方程式のクンマーによる 24個の解や，クンマーの
合流超幾何関数に対する第一変換公式（第 5.2.4節参照）がその例である．第
4.10.1節に述べたアッペルの超幾何関数 F1 についても，クンマーの 24個の解
に相当するものが知られている [1]．この章では，一般超幾何方程式の対称性を，
A型ワイル群の類似物の作用によるものとしてとらえ，その視点から古典的超
幾何関数の公式がどのように理解されるかを述べる．また，第 4.5節の最後の
部分で見たように，ガウスの超幾何関数とその合流型超幾何関数に含まれるパ
ラメータの個数は，対応する一般超幾何関数に付随するヤング図形を λ とする
とき �(λ)− 1 であった．この事実の群論的な説明を与える．まずガウスの超幾
何とクンマーの合流超幾何の場合を調べ，その後，任意の分割に対する一般超
幾何関数の対称性について述べる．
5.1 ガウスの超幾何関数の対称性
5.1.1 クンマーの 24個の解
ガウスの超幾何方程式 E(a, b, c) は特異点 x = 0, 1,∞ を持ち，x = 0 にお
いて次のような解の表示を持っていることが知られている [35].
2F1(a, b, c;x) = (1 − x)−a2F1
(c− b, a, c ;
x
x− 1
)(5.1)
= (1 − x)−b2F1
(c− a, b, c ;
x
x− 1
)= (1 − x)c−a−b
2F1(c− a, c− b, c ;x),
x1−c2F1(a+ 1 − c, b+ 1 − c, 2 − c;x) (5.2)
第 6 章
隣接関係
我々は第 3章において，ガウスの超幾何関数やその合流型関数であるクンマー，
ベッセル，エルミート–ウエーバー関数の隣接関係を調べた．これら古典的な
特殊関数の場合，隣接関係から微分方程式そのものを回復できるという意味で，
隣接関係がこれらの特殊関数たちを完全に特徴づけているということができる．
このように隣接関係は極めて重要な意味を持つものである．この章では，これ
らの古典的な特殊関数に対する隣接関係を一般超幾何関数の隣接関係を考える
ことによって統一的に理解できることを示そう．まず，ガウスの超幾何関数と
ベッセル関数の場合を扱った後，一般の分割 λ に対する一般超幾何関数の場合
を論じる．これらの例を見れば，ベータ関数やガンマ関数の漸化式（隣接関係
式）も同じ枠組みで与えられることが分かるであろう．
6.1 随伴表現
一般超幾何方程式を扱った第 4.8節において，リー環についての簡単な説明
を与えた．ここでは隣接関係に係わるリー環の概念を説明しよう．
我々が実際に対象とするリー環は ��(N) や，ベクトル空間 V から自分自身へ
の線形写像の全体のなすリー環 ��(V )である．この場合，括弧積は f, g ∈ ��(V )
に対して
[f, g](v) = (f · g − g · f)(v) = f(g(v)) − g(f(v)) (v ∈ V )
で定義される．��(N) は ��(V ) において V = �N としたものである．
定義 6.1 �, �′ をリー環とする．写像 ϕ : � → �′ がリー環の準同型 (homo-
morphism) であるとは，次の条件を満たすときをいう：
(1) ϕ は線形写像である．
(2) ϕ は括弧積を保つ．すなわち
付録
A.1 行列方程式
補題 A.1 A,B,C をそれぞれ与えられた m ×m, n × n, m × n行列とし，
m× n 行列 X についての方程式
AX −XB = C (A.1)
を考える．このとき
1) C = 0 のとき，方程式 (A.1)が自明でない解を持つための必要十分条件は，
A の固有値と B の固有値に共通なものが存在することである．
2) 方程式 (A.1)が任意の C に対して解を持つための必要十分条件は，A の
固有値と B の固有値に共通なものがないことである．
証明 主張 1) を示そう．A と B が共通の固有値 α を持つとき，方程式
(A.1) が自明でない解を持つことを示そう．α が固有値であることから，A,B
の固有ベクトルである縦ベクトル u = t(u1, . . . , um) �= 0 と横ベクトル
v = (v1, . . . , vn) �= 0 が存在する：
Au = αu, vB = αv. (A.2)
このとき X = uv とおくと，X は 0 でないm× n 行列で，
AX −XB = A(uv) − (uv)B
= (Au)v − u(vB)
= αuv − αuv = 0
である．従って，方程式 (A.1) は非自明な解を持つ．逆を示そう．そのた
め A,B は共にジョルダン標準形であるとしてよいことに注意しよう．実際，
P ∈ GL(m), Q ∈ GL(n) を適当にとって
A = PAP−1, B = QBQ−1
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183
索 引
アアッペルの超幾何関数 113
一次分数変換 69
一般超幾何関数 97
一般超幾何微分方程式 108
因子分解法 53
ウンベール 113
エアリー関数 46
エルミート–ウエーバー関数 46
カ解の基本系 27
回路行列 28
ガウス積分 9
可換リー環 104
確定特異点 29
下降演算子 55
括弧積 104
カペリの恒等式 166
カルタン部分環 105
カルタン部分群 129
ガンマ関数 9, 12
軌道 67
基本解 27
クラインの 4元群 133
クンマーの 24個の解 129
クンマーの合流超幾何関数 46
クンマーの合流超幾何微分方程式 47
クンマーの合流超幾何方程式 49
クンマーの第一変換公式 144
クンマーの変換公式 129
ゲルファントの超幾何関数 73
サ作用 67
指数関数 2, 104
指標 71
射影変換群 69
シューア多項式 95
準同型 161
上昇演算子 55
ジョルダン群 80, 92
随伴写像 162
随伴表現 162
スターリングの公式 21
斉次座標 69
線形リー環 105
線形リー群 105
タ対数関数 4
多価関数 5
特性指数 30
ナ長さ 90
ハパーツ 90
配置空間 78
半直積 130
反転公式 19
微分 162
不確定特異点 29
複素射影空間 68
フックス型 37
部分リー環 104
普遍被覆群 7
分割 90
ベータ関数 9, 11
ベータ積分 11
ベッセル関数 46
ポッホハンマーシンボル 38
ポッホハンマー (Pochhammer)の路 14
ホルンの超幾何級数 119
ホルンのリスト 119
ヤヤング図形 90
ララドン変換 72
リー環 104
リーマン図式 37
リーマン面 4
隣接関係 53
ルート 164
ルート空間 164
ルート集合 175
ロドリーグの公式 66
ワワイル群 129, 131, 147
欧字1パラメータ部分群 105
2重結びの路 14
adjoint map 162
adjoint representation 162
Airy function 46
Appell’s hypergeometric function 113
Bessel function 46
Capelli identity 166
Cartan subgroup 129
character 71
characteristic exponent 30
circuit matrix 28
commutative Lie algebra 104
configuration space 78
derivation 162
Gelfand’s hypergeometric function 73
general hypergeometric function 97
Hermite-Weber function 46
homomorphism 161
Horn’s hypergeometric series 119
Horn’s list 119
irregular singular point 29
Kummer’s confluent hypergeometric function
46
Kummer’s first transformation formula 144
Kummer’s transformation formula 129
length 90
Lie algebra 104
Lie subalgebra 104
linear Lie algebra 105
linear Lie group 105
one parameter subgroup 105
orbit 67
P. Humbert 113
partition 90
parts 90
Pochhammer 14
Pochhammer symbol 38
Radon transform 72
regular singular point 29
Riemann scheme 37
Schur polynomial 95
set of roots 175
Weyl group 129, 147
Young diagram 90
185
著者略歴
木き村むら弘ひろ信のぶ
1954 年 山形県生まれ1983 年 東京大学大学院理学系研究科博士課程修了（理学博士）
東京大学理学部助手，東京大学大学院数理科学研究科助教授を経て，
1995 年 熊本大学理学部教授現 在 熊本大学大学院自然科学研究科教授専 門 特殊関数論，可積分系
臨時別冊・数理科学 SGCライブラリ- 55
『超幾何関数入門 特殊関数への統一的視点からのアプローチ』（電子版）
著 者 木村 弘信2016年 4 月 25日 初版発行 ISBN 978–4–7819–9907–4
この電子書籍は 2007年 5月 25日初版発行の同タイトルを底本としています．
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組版 ビーカム