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기하광학기초 2011. 12. 10

기하광학기초

2010. 12. 10

이 종 웅

청주대학교 레이저광정보공학과

기하광학기초 2011. 12. 10

제 1 장 빛의 전파와 광학 결상

1. 빛의 굴절과 반사

평판에서의 빛의 굴절 평면거울에서의 반사

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2. 파면과 광선

□ 균일한 등방성 매질 : 빛의 속도가 위치와 전파방향, 편광에 무관하게 동일한 매질

* 굴절률이 균일하고 복굴절이 없는 매질

* 빛이 직진하는 매질

* 점광원에서 출사하는 파면은 구면파를 형성

□ 파면 : 점광원에서 출발한 빛이 일정시간 후에 도달한 면.

* 파면상의 모든 점은 같은 위상을 가진다(등위상면).

* 점광원으로 부터 파면상의 모든 점까지의 광로정은 같다.

□ 광로정(OPL, optical path length)

* 균일한 등방성 매질 : AB AB

* AB를 전파하는 시간() 동안 진공속에서 전파하는 거리

□ 광선 : 파면상의 한 점이 이동한 경로, 광파의 전파 경로(광선의 방향은 파면의 법선)

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□ 빛의 전파 : Huygens의 원리

- 파면상의 모든 점은 2차구면파의 광원

- 2차구면파의 간섭에 의하여 새로운 파면이 형성

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광파의 공간적 분포(공간적 진동)

, fixed

, wave vector

, 광선벡터

, 빛의 파장

, 진폭분포의

공간적인 반복주기 공간주파수(spatial frequency)

[단위] line-pairs/mm(lps/mm)

cycles/mm

, 진폭분포 ⇨ 1 mm내에서 반복되는 횟수

, 강도

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광파의 시간적 진동(시간적 분포)

, 각속도

, fixed

, 진동수(frequency)

[단위] Hz, 1초 동안에 반복되는 회수

, 진동 주기

빛의 전파

, 빛의 전파 속도

시간적 반복주기

, 매질의 굴절률

: 진공에서의 광속(≈ 공기속의 광속)

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빛의 전파 속도 :

, 입사측 매질

, 굴절후 매질

빛의 파장 :

,

굴절의 법칙 : sin sin

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□ 광파

빛 : 광파, 전기장과 자기장의 진동(전자기파)

전자기파

Er Eo k⋅r

Hr Ho k⋅r

Energy의 전파

S E×H , 광파의 전파방향

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전자기파의 분류

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표. 가시광선의 파장과 색

그림. 광파의 파장대역

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3. 광학결상

볼록렌즈에 의한 광선의 굴절 오목거울에 의한 반사

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볼록면에 의한 광선의 굴절

- 점광원에서 출사한 광파가 굴절하여 상측에서

한 점에 모임

- 굴절률이 높은 유리(전파 속도가 낮은 매질)로

먼저 입사한 파면이 뒤쳐지면서 발산하는 파면이

수렴하는 파면으로 변형됨

결상소자

* 굴절에 의한 결상 : 렌즈

* 반사에 의한 결상 : 거울

* 회절에 의한 결상 : DOE, HOE

그림. 곡면에 서의 굴절과 결상

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□ 광학 결상

물체점에서 출사한 광파가 상측에서 한 점(상점)에

- 모일 때(실상)

- 모이는 것처럼 보일 때(허상), 상측에서는 광파가 상점에서 출사하는 것처럼 보임.

그림. 실상의 결상 그림. 허상의 결상

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□ 광학결상의 분류

- 이상결상 : 물체점과 상점의 결상

한 물체점이 출사한 광속이 상측에서 대응되는 상점(공액점)에 모두 모일 때

모든 광선의 광로정이 같을 때, 상점으로 수렴하는 파면이 구면을 이룰 때

- 완전결상 : 물체면과 상면의 결상

물체면의 모든 점이 상면의 공액점에 이상결상하고

상의 높이가 물체의 높이에 선형 비례할 때 (′ )

- 절대결상 : 물체공간의 모든 물체점이 상공간에 완전결상 할 때

* 절대광학계(absolute instrument) : 절대결상하는 광학계, 평면거울이 유일한 절대광학계

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□ 근축광학(선형기하광학, Gaussian Optics)

- 실제 광학계를 절대결상하는 광학계로 근사

- 함수를 1차함수(선형함수)로 근사(근축광학적 근사)

- 광축부근의 좁은 영역(근축영역)에서만 성립

* 광학수차 : 실제 광학계와 이상적인 광학계의 차이

그림. 볼록렌즈에 의한 결상과 광학수차

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4. 기하광학의 구성

□ 근축광학(Gauss 광학) : 절대결상하는 이상적인 광학계에서의 결상

- 실제 광학계를 이상적인 광학계로 근사

- 광학계의 설계 및 분석의 기준

□ 광학수차 : 실제 광학계와 이상적인 광학계의 차이

- 파면의 차이 : 파면수차

- 광선의 차이 : 광선수차

□ 결상이론 : 수차, 회절, 간섭 등 복합적인 광학현상에 의한 결상

□ 광학설계 : 광학수차의 보정, 결상특성의 이론적인 평가, 공차분석, 미광해석, 열해석, ...

□ 광학평가 : 실제 광학계의 결상특성 평가

- 파면수차 평가 : 간섭계

- 결상특성 평가 : optical transfer function(OTF), 투영해상력 검사, 왜곡측정

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□ 파면광학(wavefront optics)

- 빛의 전파를 파면의 이동으로 설명

- 광학 결상 : 물체점에서 출사한 구면파가 상측에서 파면이 한 점으로 수렴하여 상이 형성

- 파면 수차 : 이상적인 파면(구면파)와 실제 파면의 차이

□ 광선광학(ray optics)

- 빛의 전파를 광선의 이동으로 설명

- 광학 결상 : 물체점에서 출사한 광선이 상측에서 한 점에 모여 상이 형성

- 광선 수차 : 이상 광선과 실제 광선의 차이(입사점의 차이, 교점의 차이, 입사각의 차이)

□ 해석광학(analytical optics)

- 빛의 전파를 Fermat의 원리에 따라 해석

- 이상 결상 : 물체점에서 상점까지의 모든 광경로에 대하여 광로정이 같다.

- 광학 수차 : 광경로에 따른 광로정의 차이

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제 2 장 근축광학(Paraxial Optics)

1. 근축광학의 기본용어

□ 광축(optical axis) : 광학계의 기준좌표축

- 광학계의 회전대칭축, 통상적으로 z-축으로 정의

□ 근축광선(paraxial ray, Gaussian ray) : 광축 가까이를 지나는 광선(근축영역의 광선)

- 이상적인 광학계의 이상적인 광선

- 근축광학적 근사에 의하여 계산되는 빛의 경로

* 유한광선(finite ray) : 근사 없이 정확하게 계산된 실제 광학계의 광선

□ 근축각(paraxial angle, ′)- 근축광선과 광축이 이루는 각

* 경사각(slope angle) : 광선과 광축이 이루는 각

□ 근축광선의 입사고() : 근축광선이 광학면에 입사하는 높이

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그림. 광학면에서 광선의 굴절

: 정점(vertex point) : 근축광선의 입사고 : 곡률중심(center of curvature) : 곡률반경(curvature radius) : 곡률(curvature, 1/r) : 입사광선의 근축각(paraxial angle), ′ : 굴절광선의 근축각 : 물체측 매질의 굴절률, ′ : 굴절후 매질의 굴절률 : 광학면의 물체거리(object distance, 정점에서 물체까지의 거리) ′ : 광학면의 상거리(image distance, 정점에서 상면까지의 거리)

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2. 부호에 관한 규약

(1) 광선은 최초에 좌측에서 우측으로 진행한다.

굴절률의 부호 : 광선이 좌-우인 경우 + 부호, 광선이 우-좌 이면 - 부호

-> 굴절과 반사를 구분하지 않고 동일한 수식을 사용한다.

(2) 좌표계는 정점(vertex point)을 원점으로 하는 우수직각 좌표계를 사용한다(광축은 +z축).

(3) 곡률, 곡률반경의 부호는 곡률중심의 위치로 결정한다.

(4) 면간의 축상 거리 또는 렌즈의 두께는 앞면의 좌표계를 사용한다(앞면의 면번호를 사용).

(5) 굴절후의 물리량은 prime(')을 붙여 구분한다.

(6) 각도의 부호는 기준선에서 반시계 방향을 양(+), 시계 방향을 음(-)으로 한다.

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□ 면번호 : 광선이 만나는 순서대로 붙이는 광학면의 번호

0 면 : 물체면

1 ~ k 면 : 굴절면, 조리개 etc

k+1 면 : 상면

그림. 면번호와 광학면의 기준좌표계.

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□ 근축광학적 근사(paraxial approximation)

광학계로 입사하는 광선이 모두 근축영역에 있을 때 성립하는 근사

- 각도 ′, , ′, 가 매우 작다.

- 구면파와 포물면파가 거의 같다.

- 광학면의 휘어진 깊이 (sag)가 아주 작다.

광학면입사파면

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- 각도의 근사 : ( ′′)가 매우작음

sin≈ , cos ≈ , tan ≈

※ sine, cosine, tangent룰 선형함수로 근사

ex) Snell's law, sin ′sin′ , 비선형방정식

⇨ ′ ′ , 선형방정식

- 파면의 근사 : ≈ (구면파를 포물면파로 근사)

ex) 구면파 :

⇨

, 포물면파

- 광학면의 근사 : ≈ (구면을 평면으로 근사)

ex) 구면 : ′ tan ′ ⇨ ′ ′ , 선형함수

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3. 광학면에서의 결상

□ 광학면에서의 굴절

′ sin′ sin ⇨ ′′ (근축광학적 근사)

(입사각)

′ ′ (굴절각)

≈ sin

,

′′

⇨ ′′

′

- 굴절방정식 : ′′ ,

≡

′ , 광학면의 굴절능(refracting power)

※ 굴절능의 단위 : D, diopter(), m 단위로 계산된 굴절능

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- 광학면의 물체거리와 상거리

, ′ ′

′′ ⇨ ′′

, 결상방정식

- 광학면의 초점거리

광학면의 상측 초점거리 ′ : 물체가 무한대에 있을 때의 상거리

→∞, ′→ ′ ⇨ ′′

물체측 초점거리 : 상이 무한대에 생기는 물체거리

′→∞, → ⇨

광학면의 굴절능과 광학면의 초점거리 : ′′

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□ 광학면에서의 굴절과 불변량

불변량(invariant)

- 굴절전의 값과 굴절후의 값이 같은 물리량(굴절에 의하여는 변화하지 않는 물리량)

* 근축불변량 : 근축광학에서만 성립하는 불변량

Ex. ′ sin′ sin , 굴절불변량(불변량)

⇨ ′′ , 근축불변량

- Abbe의 0차 불변량(Abbe's zeroth invariant)

′′

′ ⇨ ′′

≡

- 굴절불변량 : ′′ ≡,

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4. 광학계의 결상과 근축광선추적

□ 광학계의 결상 : 광학면의 결상에 의한 상의 중계

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- 제1면의 결상 : ′ , ′ (제1면의 물체 = 광학계의 물체)

, ′

′

- 제2면의 결상 : ′, ′ , ′

′

...................

- 마지막 면의 결상 : ′, ′ , ′

′

′ ′, ′ ′ (마지막 면의 상 = 광학계의 상)

′ , 마지막 면에서 상면까지의 거리

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□ 근축광선추적(paraxial ray trace, h-u method)

광학계 상면의 위치 : 축상 물체점에서 출발한 근축광선이 상측에서 광축과 만나는 점

광학계의 상높이 : 물체의 끝단에서 출발한 근축광선이 상면에 입사한 높이

근축광선추적 : 이상적인 광학계에서 이상적인 광선의 진행경로를 추적

- 근축광선의 이동 : tan ′ ≈

′

- 근축광선의 굴절 : ′′

- 초기치 : ( , ′ ), 물체면에서의 높이와 근축각

- 근축광선추적 : ⋯

′ ,

′ , ′

′

′ ′

′ , ≡

′

′

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□ Example : Triplet

주광선

주변광선

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□ 근축광선추적(Code V)

Cooke Triplet f/5

Position 1, Wavelength = 546.1 NM

HMY UMY N * IMY HCY UCY N * ICY ( ′′) ( ′′) EP 5.000000 0.000000 0.000000 0.300000

1 5.000000 -0.089335 0.232761 -1.999443 0.220583 0.206921

2 4.821332 -0.169177 -0.208027 -1.558281 0.365796 0.378353

STO 4.100644 -0.169177 -0.169177 0.000000 0.365796 0.365796

4 3.931469 -0.025570 -0.375014 0.365794 0.233054 0.346645

5 3.899506 0.068560 0.245811 0.657109 0.396217 0.426086

6 4.221048 0.037320 0.081393 2.515354 0.241212 0.403865

7 4.305018 -0.100000 -0.357787 3.058077 0.277395 0.094276

IMG 0.000000 -0.100000

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5. 광학계의 특이점(Cardinal Points)

□ 초점(focal points: F,F')

- 제2초점(F') : 물체측에서 광축과 평행하게 입사한 광선과 광축과의 교점.

∞에 있는 축상물체점의 상점.

- 제1초점(F) : 상측에서 광축과 평행하게 입사한 광선과 광축과의 교점.

상이 ∞에 생기는 축상 물체점.

□ 주요점(principal points : H,H')

- 제2주요면 : 제2초점을 지나는 광선(광축과 평행하게 입사하는 광선)이 굴절되는 것처럼

보이는 가상의 면(상공간에 존재하는 가상면)

- 제1주요면 : 제1초점을 지나는 광선(광축과 평행하게 출사하는 광선)이 굴절되는 것처럼

보이는 가상의 면(물체공간에 존재하는 가상면)

- 주요점 : 주요면과 광축의 교점, 제1주요점(H)과 제2주요점(H')

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* 주요면의 성질

근축광선이 물체측에서 제1주요면에 입사한 높이(h)와 이 광선이 상측 제2주요면에서

출사하는 높이(h')는 같다(h=h').

* 무한초점계(afocal system) : 제1초점, 제2초점이 무한대에 있는 광학계

그림. 광학계의 주요점과 초점.

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□ 절점(nodal points: N,N')과 광심(optical center)

비축물체점에서 광학계에 입사하는 근축광선 중 입사각과 출사각이 같은 근축광선이 존재

- 제1절점(N, 물체측 절점) : 물체측에서 보아 이 광선이 광축과 만나는 것처럼 보이는 점

- 제2절점(N', 상측 절점) : 상측에서 보아 이 광선과 광축이 만나는 것처럼 보이는 점

- 광심(C) : 제1절점으로 입사하고 제2절점으로 출사하는 광선이 실제로 광축과 교차하는 점

그림. 절점과 광심

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□ 근축광선의 작도

- 초점의 성질 물체측에서 광축과 평행하게 입사한 근축광선은 상측에서 제2초점을 지난다. 물체측에서 제1초점을 지나는 근축광선은 상측에서 광축과 평행하게 출사한다.

- 주요면의 성질 근축광선이 제1주요면에 입사하는 높이는 제2주요면에서 출사하는 높이와 같다.

- 절점의 성질 물체측에서 제1절점(N)으로 입사한 근축광선은 상측에서는 제2절점(N')에서 출사하며,

입사광선의 근축각(u)과 출사광선의 근축각(u')은 같다(u=u').

※ 물체측과 상측의 굴절률이 같으면 절점과 주요점은 같다. n=n' 이면, H=N, H'=N' 이다(매질의 굴절률과 광선의 진행방향이 같아야 한다).

※ 물체가 무한대에 있는 경우, 제2절점을 중심으로 광학계가 회전하여도 상의 위치가 이동하지 않는다(nodal slide의 원리).

※ 근축광학에서 주요면은 평면이나 실제 광학계에서는 설계에 따라 달라진다.

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□ 초점거리와 주요면의 위치

- 후초점거리(back focal length, BFL,′ ) : 광학계의 마지막 면에서 제2초점까지의 거리

′ ′

′

단, 제1면에 입사고 , 근축각 로 입사.

k면 : 광학계의 마지막 면(상면의 앞면)

- 유효초점거리(effective focal length, EFL, ′ ) : 제2주요면에서 제2초점(상측초점)까지의 거리

′ ′′

′

,단 제1면에 입사고 , 근축각 로 입사.

- 제2주요점의 위치 : 마지막면의 정점을 기준으로 계산, ′ ′ ′ ′

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- 앞초점거리(front focal length, FFL, ) : 광학계의 제1면에서 제1초점까지의 거리

, 단 제 k면에서 입사고 , 근축각

′ 인 광선

- 물체측 초점거리(object-side focal length, ) : 제1주요면에서 제1초점(물체측초점)까지의 거리

, 단 제 k면에서 입사고 , 근축각

′ 인 광선

- 제1주요점의 위치 : 제1면의 정점을 기준으로 계산,

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그림. EFL, BFL, 제2주요점의 계산.

′ tan ′ ≈ ′′ ☞ ′ ′

′ tan ′ ≈ ′′ ☞ ′ ′

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□ 광학계의 물체거리와 상거리

- 물체거리(object distance) : 제1주요면에서 물체면까지의 거리

≡

상거리(image distance) : 제2주요면에서 상면까지의 거리

′≡ ′ ′ ′ ′ ′

그림. 광학계의 물체거리와 상거리.

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6. 광학계의 합성

□ 얇은 렌즈와 두꺼운 렌즈

- 얇은 렌즈(thin lens) : 두께가 0인 렌즈

-> 면의 정점(A,A')과 광학계의 주요점(H,H')이 같은 렌즈(예: 단일 반사경)

광학계 전체를 면 1개로 간주될 수 있다.

※ 두꺼운 렌즈(thick lens) : 실제의 렌즈(정점과 주요면의 위치가 다른 렌즈)

□ 광학계의 합성

- 광선이 물체측에서 제1주요면에 입사한 높이는 광선이 상측에서

제2주요면에서 출사하는 높이가 같다.

* 제1주요면 : 물체공간에 있는 면, * 제2주요면 : 상공간에 있는 면

- 제1주요면과 제2주요면을 붙이면(H=H') 광학계 전체를 굴절면 1개로 볼 수 있다.

(광학계 전체를 주요면에 있는 등가의 얇은 렌즈로 변환)

- 광학계 전체의 굴절능(total power) : 주요면에 있는 가상의 굴절면이 가지는 굴절능

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′′ , 광학계 전체의 굴절

′

, 광학계 전체의 결상

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□ 광학계의 전체의 굴절능

′

, 광학계 전체의 결상

- 무한대에 있는 물체의 결상 : →∞, ′→ ′ ⇨ ′′

- 제1초점에 있는 물체의 결상 : →, ′→ ∞ ⇨

- Total power : ′′

* 광학계의 물체거리 :

* 광학계의 상거리 : ′ ′

* 광학계의 결상 : ′′

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□ 주요면에 입사한 높이

- 제1면에서 k 면 까지의 광선추적

′′ ′′

′′ ′′ ′

....

′′ ′′ ′ 따라서, ′′ ′′

- 광학계의 합성 : ′′ ′′

, 주요면에 입사한 높이 ( 를 알고 있는 경우)

, 주요면에 입사한 높이를 알고 있는 경우

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7. 조리개(Stop)와 동(Pupil)

□ 조리개와 주광선

- 조리개(stop, aperture stop) : 광학계에서 광선의 통과여부를 결정하는 개구

광학계의 밝기를 결정하는 개구(aperture), 결상광선을 결정하는 개구

- 시야조리개(field stop) : 물체 또는 상의 크기를 제한하는 개구

그림. 광학계의 조리개와 시야조리개

조리개

시야조리개

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그림. Vignetting.

Vignetting : 조리개 이외의 유효개구에 의한 광선의 차폐(손실)

주변상의 밝기가 저하된다.

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주광선(chief ray, principal ray) : 실제 조리개 중심을 지나는 광선

-> 광학결상의 기준광선(결상광선의 가운데 있는 광선)* 주변광선(marginal ray) : 조리개 끝단을 지나는 광선

입사동(entrance pupil) : 조리개 앞의 광학계에 의하여 물체측에 생긴 조리개의 상-> 물체측에서 보아 광량을 제한하는 개구-> 광학계 전체의 유효개구

출사동(exit pupil) : 조리개 뒤의 광학계에 의하여 상측에 생긴 조리개의 상-> 상측에서 광선이 출사하는 개구, 상측에서의 유효개구* Cold stop, glare stop : 출사동에 설치된 개구, 잡음광의 차단* eye stop : 눈의 동공, 접안경계의 조리개위치

※ 동과 주광선- 입사동, 조리개, 출사동은 공액관계(물체와 상의 관계)- 주광선은 입사동의 중심으로 입사, 조리개 중심을 지나 출사동의 중심에서 출사

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□ 입사동과 출사동

- 입사동(entrance pupil)

물체측에서 보이는 조리개(조리개 앞의 광학계에 의하여 생긴 조리개의 상)

물체측에서 주광선이 정점으로 입사하는 개구(실재의 개구 또는 가상의 개구)

주광선의 근축광선추적 : ( ),

입사동의 위치(제 1면을 기준으로 계산) : ′

그림. 광학계의 입사동.

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- 출사동(exit pupil)

상측에서 보이는 조리개(조리개 뒤의 광학계에 의하여 생긴 조리개의 상)

상측에서 주광선이 정점에서 출사하는 개구(실재의 개구 또는 가상의 개구)

출사동의 위치(마지막 면을 기준으로 계산) : ′ ′

그림. 광학계의 출사동.

* 입사동-조리개-출사동은 서로 공액관계, 광선은 입사동으로 입사하여 출사동에서 출사.

물체측에서는 입사동이 조리개 역할을 하며, 상측에서는 출사동이 조리개 역할을 한다.

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□ 동과 광학사양

, ′ : 실제의 주변광선(유한광선)이 광축과 이루는 각

, ′ : 실제의 주광선이 광축과 이루는 각

, ′ : 입사동, 출사동의 반직경(semi-diameter)

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- 광학계의 집광력

입사동의 직경 (EPD, entrance pupil diameter) :

f-수(f-number) :

′

(상측)수치구경(NA, numeriacl aperture) : ′sin′ 물체측 수치구경(NAO) : sin effective f-number(EFN) : EFN ≈

′

EFN ≈ , = 횡배율(근축광학)

* 상의 밝기

EPD, NA, NAO의 제곱에 비례

F-number, EFN 제곱의 역수에 비례

[참고] EFN, NA가 같으면 상의 조도가 같다.

초점거리가 커지면 입사동의 면적도 커지지만 상의 면적도 같이 증가한다.

따라서 상의 단위면적으로 입사하는 광량은 같아진다.

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- 광학계의 시야(field of view, FOV)

물체의 크기, 상의 크기 : , ′(물체측) 반시야각, 상측 반시야각 : , ′

: 시야각, 화각(field angle)

※ 근축각의 근사(실제 광학계의 물리량을 근축물리량으로 변환할 때의 근사)

주변광선의 근축각

사진광학계 : tan, ′ tan′노광광학계 : sin, ′ sin′ ]

주광선의 근축각

tan, ′ tan′

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□ Telecentric system

- object space telecentric

입사동이 무한대에 있는 광학계

조리개 앞 광학계의 제2초점에 조리개를 설치

상의 중심(축상상점)과 모서리(상의 끝단)의 밝기가 같아진다.

- image space telecentric

출사동이 무한대에 있는 광학계

조리개 뒤 광학계의 제1초점에 조리개를 설치

상의 중심(축상상점)과 모서리(상의 끝단)의 회절이 같다(해상력이 같다).

- double telectric

입사동, 출사동이 모두 무한대에 있는 광학계

상의 밝기와 해상력이 균일하다.

횡배율이 일정, 물체가 광축방향으로 움직여도 상의 크기가 변화하지 않는다.

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8. 근축불변량과 배율

□ 근축불변량(Paraxial Invariants)

- 근축광학 영역에서 굴절 전후에 변화하지 않는 물리량.

- 광학수차의 계산과 분석결과의 검증에 사용.

* 이상적인 광학계의 불변량

□ 면불변량(Surface invariant, Q)

- Abbe의 zeroth invariant, 면의 결상방정식( 인 면의 굴절불변량)

′′

≡

□ 굴절불변량(Refraction invariant, A)

- 각 면에서 입사고가 h 인 광선에 대한 Snell 법칙의 근축광학적 표현

≡

′ ′ ′′

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□ Lagrange 불변량( )

- 광선 OAO′ : ′ ′

′ ′

′,

′ ′

≡ ′′′ , Lagrange 불변량

그림. 비축물체점의 결상과 Lagrange 불변량.

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※ 광학계의 모든 면에 대하여 Lagrange 불변량은 같다. ′′′ ′′′ , ′′′, ....

⇨ Lagrange 불변량이 주어지면 광학계로는 이 값을 바꿀 수 없다.

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□ 동의 Lagrange 불변량

- 입사동()과 출사동(′)의 결상 : ′ ′′ - 물체의 결상과 동의 결상

≡OE , 입사동에서 물체까지의 거리

,

(무한물체의 Lagrange 불변량)

≡E′O′ ′

′, ′ ′

′′′ ′ ′′ (무한상의 Lagrange 불변량)

* 물체(상)의 Lagrange 불변량과 동의 Lagrange 불변량은 같다.

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□ 종불변량

축상물체점의 결상

′′

, ′

′

′′ ′

, ′ ′′

′

, ′′ ′′

근축불변량(lim→)

′′′ , longitudinal invariant

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□ 광학계의 배율

- 횡배율(transverse magnification) : ≡

′, 물체와 상의 크기의 비

≡ ′′′, ≡

′ ′′

′

′

* 주요면 : 횡배율이 +1인 물체면(제1주요면)과 상면(제2주요면)

- 종배율(longitudial magnification) : ≡

′, 물체의 이동에 대한 상면 이동량의 비

′′ ′ , 종불변량

′′

′ ′

′

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- 각배율(angular magnification)

′ ′′ , 입사동과 출사동의 결상

′ ′′

, 주광선의 입사각과 출사각의 비

* 절점 : 각배율이 +1인 물체점(제1절점)과 상점(제2절점)

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[ 부 록 ]

□ 광학계의 분류

- Lens system(refractive optics)

Singlet : plano-convex, plano-concave, bi-convex, bi-concave, meniscus

Doublet : cemented doblet, air spaced doublet

Triplet : cemented triplet, triplet

- Mirror System(reflective optics)

Single mirror system : Newtonian

Two mirror system :

Cassegrain, inverse-Cassegrain, Gregorian, inverse Gregorian

Three mirror system : 인공위성용 광학계

- Catadioptric System

굴절과 반사를 모두 이용

ex) Mangin mirror

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□ 회전대칭성 광학면

- 구면(spherical surface)

,

- 원추곡면(conic surface)

, = 원추계수(conic constant)

> 0 : ellipsoid = 0 : sphere -1 < < 0 : ellipsoid = -1 : parabola < -1 : hyperbola

- 일반비구면(general aspheric surface)

⋯

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□ Lens catalogue

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□ 비축상점의 밝기(주변광량비)

Cosine 4승법칙 : 비축상점의 밝기는 cos 에 비례, ′≈′ cos - 이상적인 거친면(Lambertian surface)에서의 복사 : cos - 역제곱의 법칙 : ∝

cos

,

- 투영면적(projected area) : cos

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제 3 장 광학 수차

제 1 절 서 론

□ Fermat의 원리

- 빛은 두 점간에 시간이 극값(최대 또는 최소)을 가지는 경로로 진행.

- 빛은 두 점간에 가장 광로정이 극값을 가지는 경로로 진행

□ 광로정(optical path length, OPL)

- 소요시간 : 속도거리

, 매질의 굴절률

OPL , 동일한 시간 t 동안 진공 속을 진행하는 거리

□ 빛의 직진

- 등방성의 균일매질(위치와 방향, 편광에 무관하게 굴절률이 일정한 매질)에서 빛은 직진

- 굴절률이 일정하지 않으면(예. 광섬유) 빛은 곡선을 이루며 전파

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제 2 절 파면수차

1. 광학계의 수차

□ 이상결상(perfect imaging)의 조건

- 모든 광선이 한점에 모인다.

- 모든 광선의 광로정이 같다.

- 상점에 입사하는 파면이 구면을 형성한다.

□ 표준구면(reference sphere) :

- 주광선의 입사점을 중심으로 하고 출사동의 중심을 지나는 구면

- 주광선을 기준으로 한 이상적인 구면파의 파면

□ 파면수차(wavefront aberration)

- 파면이 출사동에서 출사할 때, 파면과 표준구면과의 광로정차,

- 광선이 표준구면에 도달하였을 때, 기준광선(주광선)과 다른 광선간의 광로정의 차이

□ 광선수차(ray aberration) :

- 이상적인 광선과 실제 광선의 차이를 기준으로 정의된 수차

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그림. 표준구면과 파면수차.

- 파면수차 : ′′ ′′′ ′ - ′ - 횡수차(transverse aberration) : 상면에 입사한 위치(높이)를 기준으로 정의

,

- 종수차(longitudinal aberration) : 광선과 기준광선(주광선)의 교점을 기준으로 정의(회전대칭성 수차에 사용)

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□출사동좌표계

- 입사동-조리개-출사동은 서로 공액관계(1:1 대응)

- 물체측에서는 입사동 좌표계, 상측에서는 출사동 좌표계를 사용

- 출사동의 정점 A'을 원점으로 하고 주광선의 진행방향 ′′을 z축으로 하는 좌표계

′ ′ ′ , ′ ′ sin , ′ ′ cos

□ 환산좌표계(reduced coordinate)

- 규격화된 출사동좌표계, 파면의 polynomial 전개에 사용

′max′

max

, max = 입사동의 최대반경

′max′

max

, max = 물체의 최대높이

- reduced coordinate : ( )

16:35:53

Double Gauss - U.S. Patent 2,532,751 Scale: 1.50 25-May-08

16.67 MM

16:35:22

Double Gauss - U.S. Patent 2,532,751 Scale: 1.50 25-May-08

16.67 MM

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□ 광학계의 단면

- 자오면(tangential plane) : 광축과 비축상점을 포함하는 광학계의 단면

통상적으로 y-z 평면(물체는 y축상에 있음. 또는 )- 구결면(sagittal plane) : 주광선을 교선으로 하고 자오면과 수직인 평면

통상적으로 x-z 평면에 대응(구결면의 수차는 좌우대칭, 또는 )

자오면 구결면

그림. 광학계의 자오면과 구결면

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2. 표준구면의 이동과 파면수차

□ 종이동(longitudinal shift)

기준상점의 이동량 :

′ ′ ′

′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ″ ′cos′ ′ ′′ ′′ cos′ 그림. 표준구면의 종이동

′ ′′ cos′

′

≈ ′′ cos′ ≈

′′

′sin′ ※ defocus에 의한 파면수차의 변화량

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□ 횡이동(transversal shift)

기준상점의 이동량 : ′ ′ ′ ′

′ ′≈ ′′′

′

≈ ′′′ cos

′ ′sin′ cos′ 그림. 표준구면의 횡이동

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3. 파면수차의 전개

□ 파면수차의 대칭성

- 광학계의 광축에 대한 회전대칭 : - 자오면에 대한 좌우대칭 : ,

- 파면수차 : cos의 함수□ 파면수차의 전개

cos cos

cos cos

cos ⋯ ⋯

주광선( )의 파면수차:

⋯

□ 실제의 파면수차

cos cos

cos cos

cos ⋯ ⋯

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□ 파면의 형태에 따른 수차의 분류

* 수차계수 는 특정한 형태의 파면수차의 크기를 나타낸다.

- 종초점이동(longitudinal shift of focus) : , 종색수치

- 횡초점이동(transverse shift of focus ) : , 횡색수차

- 3차 구면수차 (spherical aberration ) :

- 3차 코마 (coma ) :

- 3차 비점수차 (astigmatism ) :

- 3차 상면만곡 (field curvature ) :

- 3차 왜곡수차 (distrotion ) :

□ 결상광선의 파장에 따른 분류 - 단색수차(monochromatic aberration)

단파장의 결상에서 나타나는 수차. 종초점이동과 횡초점이동은 수차로서 취급하지는 않는다.

- 색수차(chromatic aberration) 파장이 다른 광선들의 결상시 나타나는 수차

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4. 광학유리의 분산과 색수차

그림. 파장에 따른 굴절률의 변화와 광선의 굴절.

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□ 가시광선용 광학계의 기준파장

d-선(587.6nm) : 기준파장

F-선(486.1nm) : 단파장(청색)의 기준파장

C-선(656.3nm) : 장파장(적색)의 기준파장

* 광학계의 평가 : e-선(546.1nm), He-Ne laser(632.8nm)

□ 광학유리의 굴절률과 분산

기준 굴절률 :

분산(dispersion) : 분산상수(Abbe 상수):

Glass number : 의 소수점 아래 3자리(반올림) - 에서 소수 첫째자리까지의 수

ex) Schott NBK-7 : , glass code : 517-642

Ohara S-LAH7 : , glass code : 003-283

Crown 유리 : 굴절률이 낮고, 경도가 높으며, 분산이 작다(분산상수가 크다).

Flint 유리 : 굴절률이 높고, 경도가 낮으며, 분산이 크다(분산상수가 작다).

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그림. Glass map.

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□ 종색수차(longitudinal chromatic aberration, axial color)

- 파장에 따른 축상 상점의 상거리 차이

□ 횡색수차(transverse chromatic aberration, lateral color)

- 파장에 따른 상높이의 차이

그림. 종색수차와 횡색수차

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5. 비축 물체점의 결상

□ Gauss 상점(Gaussian image point, ′ )

- Gauss 광학에서의 상점(이상광학계의 상점)

- Lagrange 불변량에 의하여 계산되는 상점

- 상의 높이와 물체의 높이에 선형비례(비례상수 : 횡배율)

* 왜곡수차 계산의 기준 상높이

′ ′′

□ 주광선의 입사점

- 주광선과 Gauss 상면과의 교점(′ ),

- 파면수차 계산의 기준상점.

- 조리개의 중심부근을 통과한 광선이 모이는 상점.

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□ Petzval 상점(Petzval image point, ′ )

- 곡률중심 주위를 통과하는 광선이 모이는 상점.

비축 물체점 과 곡률중심 C를 연결하는 직선을 새로운 광축으로 가정하면

′′

, 단, ′ ′

그림. Petzval 상점과 Petzval 상면만곡

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□ 자오상점

- 자오면(tangential plane, meridional plane):비축물체점과 광축을 포함하는 단면.

- 자오상점(tangential image point, ′ )

주광선을 중심으로 자오면을 따라 진행한 광선이 모이는 상점.

□ 구결상점

- 구결면(sagittal plane) : 자오면과 수직하면서 주광선을 교선으로 하는 평면

- 구결상점(sagittal image point,′ )

주광선을 중심으로 구결면을 따라 진행한 광선이 모이는 상점.

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구결상점, S

자오상점, T조리개

조리개그림. 비축물체점의 결상 : 자오상점, 구결상점과 ray fan( )

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그림. 비축 물체점의 결상과 비점수차, 자오상면과 구결상면.

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6. 파면수차의 이해

□ 수차의 분류

- 형태에 따른 분류

구면수차류(spherical aberrations) : 만의 항들

coma 류 (comatic aberrations ) : cos 항들, ≧

비점수차류(astigmatic aberrations) : cos 항들, ≧

왜곡수차 : cos 상면 만곡(field curvature) : cos,

- 차수에 따른 분류

(의 차수 + 의 차수)/2 - 1 : Seidel 1차, 2차,... (근축광학으로 근사된 파면수차)

(의 차수 + 의 차수) - 1 : 3차, 5차, ...

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□ 파면수차와 광선수차

- 횡수차(spot의 크기) : 의 차수가 1 감소(미분)

- 종수차(초점의 이동) : 의 차수가 2 감소

ex) 파면수차 :

☞ 광선수차의 횡수차 ≈

광선수차의 종수차 ≈

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□ 구면수차(spherical aberration)

- 파면수차중에서 상높이(물체의 높이)와 무관한 회전대칭성분을 나타내는 수차항.- 구면수차만 있는 경우 상은 회전대칭성으로 퍼짐. 축상 물체에 대하여서는 구면수차만이 나타난다.* 물체의 높이(상높이)와 무관하게 전체 시야에서 같은 크기로 상이 번진다.

그림. 구면수차에 의한 상번짐(spot의 크기, 횡수차)

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□ 코마(coma)

- 구결면을 기준으로한 파면의 상하 비대칭성분. - 상은 자오면(tangential plane)의 한쪽방향으로 꼬리가 붙은 것처럼 퍼짐.

그림. 코마수차에 의한 상번짐.

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□ 비축상점의 만곡(field curvature)

- 자오상면만곡(tangential field curvature) : 자오상점의 만곡 - 구결상면만곡(sagittal field curvature) : 구결상점의 만곡

구결상점 자오상점

상면만곡 그림. 비점수차와 상면만곡.

- 비점수차(astigmatism): 자오상면과 구결상면의 차이(T-S)- 상면만곡(field curvature): 자오상면과 구결상면의 산술평균, 상높이에 따라 defocus 발생

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그림. 비축상점의 결상 (T:자오상점, S:구결상점, : sagittal ray fan, : tangental ray fan).

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□ 왜곡수차

- 이상적인 상높이와 실제 상높이의 차이, 상높이의 비선형적 변화

그림. 왜곡수차에 의한 상높이 변화.

그림. 왜곡수차에 의한 상의 변형.

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□ 색수차(chromatic aberration)

* 가시광선용 광학계d-선(587.6nm) : 기준파장

F-선(486.1nm) : 짧은 파장(청색)의 기준파장 C-선(656.3nm) : 긴 파장(적색)의 기준파장

* 종색수차 : ′

′ (적색과 청색의 축상 상점의 차이), secondary spectrum : ′

′

* 횡색수차 : ′

′ (적색과 청색의 상높이차) 그림. 종색수차와 횡색수차

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[부록] 광학계의 수차보정

best form : 구면수차보정

aplanat, aplanatic system : 구면수차와 코마가 보정

anastigmat, anastigmatic system : 비점수차가 보정

flat field : 상면만곡이 보정

distortion free : 왜곡수차가 보정

achromat : 종색수차의 보정(몰색화 렌즈, 색지움 렌즈)

aphochromat : 종색수차와 secondary spectrum의 보정

super achromat

- secondary spectrum이 매우 적은 achromat

- 가격이 비싼 이상분산유리가 사용되며, 색수차특성은 aphochromat 보다 우수함.

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제 4 장 광학계의 평가

제 1 절 이상적인 광학계의 결상

□ 기하광학적 결상

- 빛의 회절, 간섭현상을 0으로 근사.

- 모든 광선이 한점에 모인다(이상결상).

- 광학수차 : 이상결상과 실제결상의 차이

□ 광학계의 결상

- 수차, 회절, 간섭, 편광, 산란등 모든 광학현상이 복합됨

- 광학계의 해상력 저하 : 수차(기하광학적 요인) + 회절과 간섭(회절광학적 요인)

- 이상광학계의 결상 : 회절과 간섭에 의한 상번짐

조명 : 간섭성 조명, 비간섭성 조명, 부분 간섭성 조명

- 점광원의 결상

조명과 무관한 회절상(self-coherence), point spread function(PSF)

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그림. 원형개구 이상광학계에서 점광원의 회절상

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그림. 광학계의 공간분해능 한계

Rayleigh 기준

Sparrow 기준

선물체 점물체는 약 82%

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□ 점광원의 회절상

Airy disk의 반지름 :

Rayleigh 단위 : NA

, numerical aperture(NA) = ′sin′

□ Rayleigh 기준

- 인근 회절상의 극대가 첫 번째 극소(Airy disk)에 위치할 때를 분해능 한계로 규정

-

□ Sparrow 기준

- 인근 회절상의 와 회절상의 가 중첩

- , ( saddle point의 강도 = )

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□ 각분해능(angular resolution) : 원형개구 무수차 광학계

Rayleigh 기준 :

Sparrow 기준 :

※ 파장 550 nm, 직경 inch

, Rayleigh

, Sparrow 기준

단위 : arc-sec.

그림 4-3. 광학계의 각분해능

□ 사각개구 무수차 광학계의 각분해능

Rayleigh 기준 :

, 개구의 폭

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제 2 절 점광원의 결상특성 평가

□ Spot diagram analysis

- Diffraction limited system : spot의 크기가 Rayleigh한계보다 작은 광학계

(a) 입사동의 분할 (b) spot diagram과 line spread function

그림. Spot diagram analysis.

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□ Diffraction PSF : 점광원에 의한 회절광의 강도분포

□ Strehl Ratio : 점광원의 회절상을 측정하여 광학계의 성능을 평가

Strehl Ratio이상렌즈의 회절상의 중심강도회절상의 중심강도

SR ≈

, : rms wavefront error

- 좋은 렌즈 : SR 값이 0.8 이상

≦

, ≦

, quarter wave criterion(p-v error)

그림. 3차 coma에 의한 상번짐(좌로부터 각각 0.3, 1, 4.4, 5, 10).

기하광학기초 2011. 12. 10

□ 무수차 광학계의 초점심도(Depth of Focus, DOF)

±

, Strehl ratio > 0.8

, first minimum along z-axis

Z,defocus

ideal focus

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제 3 절 Optical Transfer Function

□ 물체와 상 : 주기적으로 반복되는 sinusoidal 강도 분포의 조합

′′′ ′′ ′′′′ ′ ′ ※ 공간주파수(spatial frequency) 1 mm에서 pattern(강도분포) 반복되는 회수(단위 : cycles/mm, line-pairs/mm)


′

, ′

′′ ′′ , = optical transfer function

□ Optical Transfer Function(OTF) : 공간주파수 영역에서의 상전달함수

OTF ×

: modulation transfer function(MTF) : phase transfer function (PTF)

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(a) 물체의 강도 분포 (b) 상의 강도 분포

그림. Sinusoidal object의 결상.

□ 물체와 상의 선명도(contrast, modulation)

물체의 contrast: max minmax min

상의 contrast: ′ max′ min′max′ min′

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□ OTF의 이해(Sinusoidal object의 결상)

물체와 상의 contrast : max minmax min

, ′ max′ min′max′ min′

contrast와 위상의 변화 : ≡

′ , ′

□ 강도분포의 공간주파수 한계 (이상광학계)

max

, cut-off frequency

NA

min max

, Sparrow Criterion

I

X

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□ Contrast Transfer Function(CTF)

CTF : line/space pattern의 transfer function

OTF : sinusoidal object의 transfer function

′max ′min ′max ′min

그림. 주기적인 line object의 intensity profile

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그림. 무수차광학계의 OTF와 CTF(max를 1로 규격화).

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[부록 1] 무수차 원형개구 이상광학계의 MTF

NA

, Rayleigh 단위

max

, 강도분포의 최대공간주파수

max

, 규격화된 공간주파수

예제 : 선폭 1의 pattern을 = 546.1 nm에서

MTF 0.5로 분해하는 광학계의 최소 NA

= 500 line-pairs/mm, pattern의 공간주파수

max

, max = 1250 line-pairs/mm

max

= 0.0016 mm 1.6

NAmin

= 0.341

MTF0.05 0.93639 0.10 0.87289 0.15 0.80973 0.20 0.74706 0.25 0.68504 0.30 0.62384 0.35 0.56364 0.40 0.50463 0.45 0.44701 0.50 0.39100 0.55 0.33683 0.60 0.28476 0.65 0.23508 0.70 0.18812 0.75 0.14429 0.80 0.10409 0.85 0.06815 0.90 0.03739 0.95 0.01332 1.00 0.00000

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[부록 2] 현미경용 대물렌즈

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[부록 3] 해상력 TEST CHART(USAF 1951)

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제5장 광학사양과 광학계

1. 서론

사양선정 광학설계 설계평가

- 사용자 사양 :

상의 크기,

공간분해능, etc

- 광학사양 :

초점거리, 배율,

F-수, 수치구경,

파장대역, etc

- 형상설계

(렌즈군배치)

- 기초설계

- 수차보정(최적화)

- 형상검토

- 수차분석

- 공차분석

- 해상력 평가

- 열특성 평가

- 생산성 평가

그림. 광학설계의 순서

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2. 광학설계의 기본사양 : 근축 사양

물체 광학계 상

- 물체의 크기() - 초점거리, 물체거리, 상거리 - 상의 크기(′)- 물체측 NA - 입사동, 출사동의 위치와 크기 - 상측 NA

- 물체의 위치 - F-수, FOV, OAL - 상의 위치

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3. 근축사양과 형상설계

□ 형상설계에서의 고려사항

렌즈군과 동(입사동, 조리개, 출사동)의 배치

불변량(Lagrange 불변량, 종불변량) : 렌즈군, 동의 사양

설계법 : 근축광선추적, Gaussian bracket, y-y bar diagram


물체와 상의 결상

입사동과 출사동의 결상

□ 중계광학계

상의 중계 : relay lens

동의 중계 : field lens

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4. 기본광학계

□ 1군 광학계

렌즈의 구경이 작아지며, compact한 설계가 가능

렌즈가 조리개에 가까우므로 축수차보정에 불리

EFL이 길어지면, BFL도 길어진다.

□ 2군 광학계

* Positive-Positive (Petzval lens) : 굴절능은 커지나 수차보정에 불리

초점거리가 짧고 시야각이 작은 렌즈, ex) 저배율 현미경 대물렌즈

* Positive-Negative(telephoto lens)

efl은 길지만, bfl은 짧다.

초점거리가 길고, 시야각이 작은 광학계, ex) 망원렌즈

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* Negative-Positive(retro-focus lens, inverted telephoto lens)

efl은 짧으나 bfl은 길다.

efl이 짧으면서 bfl이 요구되는 광학계, ex) 공구현미경용 대물렌즈

□ 3군 광학계

* Positive-Negative-Positive : Cooke triplet

수차보정이 쉬운 구조이며, 비교적 광각의 빠른 광학계가 가능

결상광학계에 가장 많이 활용되는 구조

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기하광학기초 - otec.inha.ac.krotec.inha.ac.kr/lecture/lec06/gh.pdf · 기하광학기초...

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