일반물리학1

<성적평가방법>

중간(40%), 기말(40%), 출석(10%), 과제(10%)

•결석1회당 0.1점 감점 (3회 지각 = 1회 결석)

•과제 1회 미제출시 1점 감점

학점분포: A(30%이하), B(35%이하), C(35%이상)

•학점 A,B,C 비율은 수업분위기 및 반평균 성적이 반영됨

• 담당교수: 강원남

• 전 공: 물리학 (초전도체 및 박막)

• 연 구 실: 31152 (자연과학관 A동)

• 전 화: 290-5904 (019-669-8209)

• 홈페이지: http://super.skku.edu/ (물리학 공식집)

• 교재: 대학물리학(10판), Young & Freedman 원저

• 강 의 실: 23217 (1공학관)

11. 평형과 탄성12. 중력 (만유인력)13. 주기 운동14. 유체 역학(생략)15. 온도와 열16. 물질의 열적 성질17. 열역학 제1법칙18. 열역학 제2법칙

<즐거운 기말고사>

강의 계획

1. 단위, 물리량, 벡터2. 직선운동 (1차원 운동)3. 2, 3차원 운동4. Newton의 운동법칙5. Newton 법칙의 응용6. 일과 운동에너지7. 위치에너지와 에너지 보존8. 운동량과 충격량

<신나는 중간고사>9. 강체의 회전10. 회전 동력학

자기부상 현상 1

자기부상 현상 2

제1장 단위, 물리량, 벡터

1-4 표준과 단위•시간(s) : 세슘(Cs) 원자의 진동주기•길이(m): 빛의 속도(c)가 기준

1m = c x 1/299,792.458s •질량(Kg): 이리듐-백금(Ir-Pt) 합금

1-1 서론 (생략)1-2 물리학의 본질 (생략)1-3 이상적인 모형점질량, 강체, 무한 평면진공에서의 운동,

1-5 단위의 일관성과 변환 (생략)1-6 불확정성과 유효숫자 (생략)1-7 어림셈의 큭기와 정도 (생략)

1-8 벡터(vector)의 덧셈과 뺄셈•벡터량: 크기와 방향이 있는 물리량•스칼라량: 크기만 있는 물리량•물리량: 길이(x,y,z), 시간(t), 속도(v), 가속도(a), 힘(F), 에너지(E), 운동량(p), 일률(W), 온도(T), 압력(P), 부피(V), 등<벡터의 표시>

<벡터의 덧셈>C = A + B = B + A

<벡터(vector)의 뺄셈>C = A – B = A + (-B)

1-9 벡터의 성분

Ax = Acosθ, Ay = Asinθ

22yx AAAA +==

r:크기

x

y

x

y

AA

AA

arctan,tan == θθ

1-10 단위 벡터

: 길이가 1이고 방향은 x축인 벡터: 길이가 1이고 방향이 y축인 벡터: 길이가 1이고 방향이 z축인 벡터

kAjAiAA zyxˆˆˆ ++=

r

ijk

kBjBiBB zyxˆˆˆ ++=

r

jBAiBAR yyxx ˆ)(ˆ)( +++=r

jAiAAAA yxyx ˆˆ +=+=rrr

BARrrr

+=:벡터합

1-9 벡터의 곱셈<스칼라곱, scalar (dot) product>

상대벡터에 투영된 값

<단위벡터의 스칼라곱>

]0[1cos)1)(1(ˆˆˆˆˆˆ oQ =⇐==⋅=⋅=⋅ φφkkjjii

]90[0cos)1)(1(ˆˆˆˆˆˆ oQ =⇐==⋅=⋅=⋅ φφikkjji

zzyyxx

zzyyxx

zzyzxz

zyyyxy

zxyxxx

zyxzyx

BABABA

kkBAjjBAiiBA

kkBAjkBAikBA

kjBAjjBAijBA

kiBAjiBAiiBA

kBjBiBkAjAiABA

++=

⋅+⋅+⋅=

⋅+⋅+⋅+

⋅+⋅+⋅+

⋅+⋅+⋅=

++⋅++=⋅

)ˆˆ()ˆˆ()ˆˆ(

)ˆˆ()ˆˆ()ˆˆ(

)ˆˆ()ˆˆ()ˆˆ(

)ˆˆ()ˆˆ()ˆˆ(

)ˆˆˆ()ˆˆˆ(rr

zzyyxx BABABABA ++=⋅∴rr

φcosABBA =⋅rr

>⋅< 계산의차원에서 BArr

3

<벡터곱, vector (corss) product>

<단위벡터의 벡터곱>

]0[0sin)1)(1(ˆˆˆˆˆˆ oQ =⇐==×=×=× φφkkjjii

kijik

jkikj

ijkji

ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ

ˆˆˆˆˆ

×−==×

×−==×

×−==×

kBABAjBABAiBABA

kkBAjkBAikBA

kjBAjjBAijBA

kiBAjiBAiiBA

kBjBiBkAjAiABA

xyyxzxxzyzzy

zzyzxz

zyyyxy

zxyxxx

zyxzyx

ˆ)(ˆ)(ˆ)(

)ˆˆ()ˆˆ()ˆˆ(

)ˆˆ()ˆˆ()ˆˆ(

)ˆˆ()ˆˆ()ˆˆ(

)ˆˆˆ()ˆˆˆ(

−+−+−=

×+×+×+

×+×+×+

×+×+×=

++×++=×rr

kBABAjBABAiBABABA xyyxzxxzyzzyˆ)(ˆ)(ˆ)( −+−+−=×∴

rr

법칙오른손방향은 ⇒=× ,ˆsin nABBA φrr

>×< 계산의차원에서 BArr

3

<행렬식을 이용한 벡터곱의 계산>

kBABAjBABAiBABABBBAAAkji

BA xyyxzxxzyzzy

zyx

zyxˆ)(ˆ)(ˆ)(

ˆˆˆ

−+−+−==×rr

+-

kjiB

kiAˆˆ2ˆ

ˆ3ˆ2

+−=

+=r

r

kji

kjikji

BA

kjiB

kjiA

ˆ6ˆ4ˆ7

)24(ˆ)26(ˆ)61(ˆ

122312

ˆˆˆ

ˆˆ2ˆ2

ˆ3ˆˆ2

++−=

++−+−−=−=×

++=

+−=

rv

r

r[예제1] [예제2]

제2장 직선(1차원)운동

2-2 변위(Δx) 와 평균속도(vav)

dtdx

txv

t=

ΔΔ

=→Δ

lim0

순간속도

2-3 순간속도(v)

12

12ttxx

txvav −

−=

ΔΔ

= 평균속도

Ex.) ∆t = t2 – t1=4 – 1 (s) ∆x = x2 – x1=280 – 10 (m)

dtdx

txv

t=

ΔΔ

=→Δ

lim0

순간속도<x-t 그래프에서 속도 구하기>

2-4 평균가속도와 순간가속도

2

20

lim

dtxd

dtdx

dtd

dtdv

tva

t

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

=ΔΔ

=→Δ

순간가속도

12

12ttvv

tvaav −

−=

ΔΔ

= 평균가속도

2-4 등가속도 운동 (자유낙하)

)112(21)(

21

)(~2

~:

)92(0

,;0

)82(0

,;,;0

000

02

00

0

0

00

2001

−−−+=++=

⇐=

+=

−−−−

=−−

=

=⇒=

−−−−−+=∴

=−

=−−

=

=⇒=

atvvatvv

vv

vvv

txx

txxv

xttxt

atvv

atvv

tvva

vxttvxt

av

av

av

av

성립등가속도운동에서만

산술평균속도

평균속도

평균가속도

)132(2

)(2

222)(2

21

)82(

)122(21

20

2

20

20

20

22000

200

00

0

200

0

−−−−−−−−=Δ

−=−

+−+−=−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+=

−=−

−−−−++=

vvxa

vvxxa

vvvvvvvxxa

avva

avvvxx

avvt

attvxx

대입하면를에서

atvtxx

21

)112()92(

00 +=

−−=− 이므로

2

2

<적분을 이용한 풀이>등가속도=a, t1=0; x0, v0 → t2=t; x, v

dtatdtvdx

atvdtdx

xB

atvvatvv

atdtaadtdv

adtdv

adtdv

vA

ttv

v

)(

)1()(..

)1(

)(..

0

0

0

0

000

+=

+=

−−−−−−−+=∴=−

===

=

=

∫∫∫

식에서

계산의거리

계산속도

)2(2121

200

200

0000

−−−−++=

+=−

+= ∫∫∫

attvxx

attvxx

tdtadtvdxttx

x

)3(2

)(2

222)(2

21

)1(

)()(..

20

2

20

20

20

22000

200

00

0

0

−−−−−−−=Δ

−=−

+−+−=−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+=

−=

vvxa

vvxxa

vvvvvvvxxa

avva

avvvxx

avvt

vxC

대입하면를에서

관계식의속도와거리

2-6 자유낙하 (g = 9.8m/s2, 일정)

t=0; v=0, v=?t=t; x=0, x=?

)/(8.9)/(8.9

)1()(

22

0

smttsmv

gtvgtvv

v

−=−=

−=−−−−−−−−=

속도

)/(9.4)/)(8.9(21

)2(21

)(

2222

200

smttsmx

attvxx

x

−=−=

−−−−−+=

거리

제3장 2, 3차원에서 운동

3-2 위치벡터(r) 와 속도벡터(v)

kzjyixr ˆˆˆ ++=r 위치벡터

kzzjyyixxrrr

kzjyixrkzjyixr

rrr

ˆ)(ˆ)(ˆ)(

ˆˆˆ,ˆˆˆ

12121212

22221111

12

−+−+−=−=Δ

++=++=

−=Δ

rrr

rr

rrr

변위벡터

xy(2차원) 평면인 경우

속도 벡터(v)

222

0

,,

ˆˆˆ

ˆˆˆ

lim

zyx

zyx

zyx

t

vvvvvdtdzv

dtdyv

dtdxv

kdtdzj

dtdyi

dtdx

kvjvivdtrd

trv

++==

===

++=

++=

=ΔΔ

=→Δ

r

rrr 속도

x

y

yx

vv

vvv

=

+=

αtan

,22

가속도 벡터(a)

222

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

120

,,

ˆˆˆ

ˆˆˆ

ˆˆˆ

,lim

zyx

zz

yy

xx

zyx

zyx

t

aaaaa

dtzd

dtdva

dtyd

dtdv

adt

xddt

dva

kdt

zdjdt

ydidt

xd

kdt

dvjdt

dvi

dtdv

kajaia

vvvdtvd

tva

++==

======

++=

++=

++=

−=Δ=ΔΔ

=→Δ

r

rrrrr

r

가속도

(a)속력만 변하는 경우(b)속력은 일정하고 방향만 변하는 경

우 (등속 원운동)

*가속도의 방향은 Δv 의 방향과 같다.

가속도의 성분

3-4 포물체 운동

, ,

이면

이고

위치및속도성분

위치및속도성분

속도초기

가속도

αα sin,cos0;0

21

)()(

)()(

ˆˆ,0ˆ)ˆ(

ˆˆ

2

ooyoox

oo

oy

oyy

y

oxo

oxx

x

oyoxo

yx

yx

vvvvyxt

gttvy

gtvv

yvy

tvxxvv

xvx

jvivv

gaajgjg

jaiaa

=====

−=

−=

−

+==−

+=

==⇐−=−=

+=

r

r

x

y

oy

ox

o

o

vv

gtvvvv

gttvy

tvx

=

−==

−=

=

α

αα

α

α

tan

sincos

21)sin(

)cos(

2 (2) -----

(1)-----

0/0)(

)cos(2,tan

)cos(2)(tan

cos21

cos)sin(

)2()1(

21)sin(

)cos(

2

2

22

2

2

===−=−=

==

−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

−=

=

ycbxorxcxbxcxbxy

vgcb

xv

gx

vxg

vxvy

t

gttvy

tvx

o

o

ooo

o

o

.

(2) ----

(1)----------

에서

함수포물선인

소거하면를에서식과

αα

αα

ααα

α

α

x

y

b/c0

oo

oo

o

o

o

gvgv

gvR

R

gv

gv

cbR

R

45,902

)2)(sin/()cossin2)(/(

cossin)/(2

)

cossin)/(2

)cos(2cossin

)

22

2max

max

2

2

==

==

=

=

==

αα

ααα

αα

αα

ααα

( B)

( A)

위해서갖기최대값을

최대사거리

사정거리

<실제 상황>•공기의 저항을 고려해야 함.

•공이 출발하는 위치가 y=0 이아니라 y ≈ 1m 이므로 최대사거리가 되는 α > 45o 이다.

vo = 50m/s, α = 53.1°일 때, 야구공의 포물선 운동

낙하운동 테니스공의 운동

화산분출

3-5. 원주상의 운동

ΔOP1P2와 Δop1p2 는 닮은꼴(SAS)

2

222

1

201

21

01

100

1

1

412

)2

)lim(lim

limlim

TR

RTR

Rva

TT

Rv

vvRva

tsv

Rv

ts

Rv

ts

Rv

tv

a

sRvv

Rs

vv

rad

rad

tt

tt

ππ

π

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛==

==

==

ΔΔ

==ΔΔ

=

ΔΔ

=ΔΔ

=

Δ=Δ⇒Δ

=Δ

→Δ→Δ

→Δ→Δ

( ,

),(

이므로주기또한

구심가속도

Q

r

rr

원심력과 구심력

):ˆ

)ˆ(4)ˆ( 2

22

단위벡터반경방향 (

r

rT

RrRvarad −=−=

πr원심력

3-6. 상대속도

BAPBPA

BAPBPA

BAPBPA

vvvdt

dxdt

dxdt

dxxxx

+=

+=

+=

2, 3차원에서 상대속도

22BAPBPAPABAPBPA

BAPBPA

BAPBPA

vvvvvvvdtrd

dtrd

dtrd

rrr

+==+=

+=

+=

rrrr

rrr

rrr

,

P

A

B vBA

vPB

1차 숙제 (1~3장)

1장: (1-18) ~ (1-22)2장: 2-2, 2-3, 2-4, 2-8, 2-10, 2-11, 2-173장: 3-2, 3-3, 3-5, 3-9, 3-13

제4장 Newton의 법칙

1. 관성 (慣性 ) 의 법칙“자연은 관성(운동 버릇)을 유지하려고 한다.”

2. 힘의 법칙 (F = ma)“질량(m)이란 무엇인가?”

3. 작용과 반작용의 법칙“작용이 있으면 반작용이 있다.”

제4장 뉴턴의 법칙

4-2 힘과 상호작용

222

111

22221111

1321

321

,,

ˆˆˆ,ˆˆˆ

ˆˆˆ

)

zyx

n

iizz

n

iiyy

n

iixx

zyxzyx

zyx

i

n

iin

RRRR

FRFRFR

kFjFiFFkFjFiFF

kRjRiRR

FFFFFFR

forcenet

,F, F, F

++=

===

++=++=

++=

==⋅⋅⋅⋅+++=

⋅⋅⋅

><

∑∑∑

∑∑

===

=

(

rr

r

rrrrrrr

rrr

알짜힘

경우작용하는

등이힘여러가지

중첩힘의Fn ᆞ ᆞ ᆞ ᆞ

4-3 뉴턴의 제1법칙 (관성(慣性 )의 법칙)

0,0,0

0321

321

===

==⋅⋅⋅⋅+++=

><

∑∑∑∑

iziyix

in

FFF

FFFFFR

,F, F, F

rrr

rrrrrr

rrr

상태영인알짜힘이경우

작용하는등이힘

상태평형

“알짜힘이 없으면 물체는 일정한 속도로 움직인다”.속도가 일정하면 정지(v=0)상태와 동일하다.

<관성 기준계>속도가 일정한(혹은 영인)기준(좌표)계

4-4 뉴턴의 제2법칙 (힘의 법칙)

0,0(

321 ≠==⋅⋅⋅⋅+++= ∑∑ iin FFFFFFRrrrrrrr

) 상태운동와정지상태평형상태

)ˆ(

0

iaa

Fi

+=

>∑r

r

)ˆ(

0

iaa

Fi

−=

<∑r

r

0=∑ iFr

maFFFFFF in =≠=⋅⋅⋅+++ ∑∑rrrrrr

,0321 힘의 단위:1N(뉴턴) = 1Kg·(m/s2)

<뉴턴의 제2법칙>알짜힘이 작용하면 물체는 가속된다.힘과 가속도의 방향은 같다.

zzyyxx

zyx

zyx

maFmaFmaF

kmajmaimaam

kFjFiFF

∑∑∑

∑∑∑∑

===∴

++=

++=

,,

ˆˆˆ

ˆˆˆr

r

) 2

법칙제뉴턴의

이면

(

0321

amF

FFFFFR inrr

rrrrrr

=

≠=⋅⋅⋅+++=

∑∑

4-5 질량과 무게

질량: 힘에 대한 저항의 척도 (a = F/m)물체의 관성적 성질 (가속을 방해한다.)

무게(힘): 질량(m)에 중력이 작용하는 힘

질량 60Kg은 무게가 60x9.8 = 588(N)

)ˆ( jmggmw −== rr

<위치에 따른 g의 변화>

22 ,

.1

rMGg

rMmGmgF ===

이므로

영향의한반경에지구

)(2(

.2

각속도는원심력

영향의한지구자전에

)

ωωmrF =

0

2()(

)ˆ(),ˆ()ˆ(,ˆ

==−=

=−=−

=−==

−==

+++=

∑∑

∑

yny

xx

n

nn

n

mawFFy-

mafFFxwF

jwwjFFiffiFF

wFfFF

:

) :3

성분

법칙제뉴턴의성분

법칙제뉴턴의

rr

rr

rrrrr

4-6 뉴턴 법칙의 이용한 문제풀이 요령4-6 뉴턴의 제3법칙(작용과 반작용의 법칙)

수직항력

마찰력

02(

)()ˆ(),ˆ(

ˆ

==−=−

=−==

=

++=∑

yn

xx

n

nn

xx

nx

mawFy-maFx

wFjwwjFF

iFF

FwFF

:) :

3

성분

법칙제뉴턴의성분

법칙제뉴턴의

rr

rrrr

힘미는이면

정지이면

힘당기는이면

:02)32)2

:02)1

<>=

><

x

x

Fstst

Fst

톱날의 위치는 아래와 같이 주어진다.

톱날에 작용하는 힘을 시간의 함수로구하여라.

문제풀이 방법1. 힘 구하기 (물체에 작용하는 모든 힘을 구한다.)

F1(외력), F2(중력), F3(마찰력), F4(저항력), ….

2. 방정식 세우기 (뉴턴의 법칙을 적용하여 방정식을 세운다.)

3. 힘 벡터 구하기 (각 힘에 대한 성분을 계산하여 벡터로 나타낸다.)

4. 성분별로 분해 (방정식을 각 성분별(x, y, z)로 분해하여 정리한다.)∑Fx = max, ∑Fy = may, ∑Fz = maz

5. 해답 구하기 (방정식을 풀어서 미지수를 구한다.)

제5장 뉴턴 법칙의 응용

5-2 제1법칙의 응용 (평형상태)

∑ == 0: aamF rrr 평형상태에서는

⋅⋅⋅⋅=++= 21 ,ˆˆˆ FkFjFiFF zyxrr

예제 5-2. 2차원 평형

쇠사슬의 장력 T1, T2, T3 구하기엔진무게(w) = 2000N

A⊙

B⊙

B⊙A⊙

)(20000)ˆ(-)ˆ(

1

1

NwTjwjTF

A

==∴

=+=

><

∑

r지점에서

wTTwy

TTTTx

jTiT

jTiTT

iTTjwT

TTTFB

oo

320

23:

210

21:

)ˆ(23)ˆ(

21

)ˆ(60sin)ˆ(60cos

)ˆ(),ˆ(

0

33

3232

33

333

221

321

=⇒=+−−

=⇒=+−−

+=

+=

−=−=

=++=

><

∑

성분

성분

지점에서

r

rr

rrrr

)(20003

121

)(40003

13

2)(2000

32

3

1

NTT

NwT

NT

==

==

=><정답

w

5-3 제2법칙의 응용 (동력학) ∑∑ ∑ === yyxx maFmaFamF ,:rr

예제 5-2. 2차원 평형 스노우보드의 가속도와 속도 구하기

tgv

dtgdv

dtgdv

gdtdv

ga

maF

mamgFjmgF

jmgimgw

FwF

tv

x

yy

xx

n

n

)sin(

0;)sin(

)sin(

sin

sin

0

sin3)ˆ(cos

)ˆ(cos)ˆ(sin

00

α

α

α

α

α

α

α

αα

=

==

=

=

><

=∴

==

==

⇐=

−=

+=

∫∫

∑∑

∑

초기속도

구하기속도

법칙

r

r

rrr

ⓜ

x

y

Fn

wsinαwcosα

w=mg

α

• 마찰력을 무시하는 경우1. 스노우보드(스키, 썰매)의 가속도와 속

도는 사람의 체중에 무관하다.2. 가속도는 일정하다.3. 속도는 시간이 감에 따라 증가한다.

5-4 마찰력

운동마찰력 ⊙

nFr

마찰력은 표면 분자들의 상호작용에 의해 발생한다.

)(: forcefrictionalkineticFf

k

nkk

운동마찰계수μμ=

• 마찰력은 수직항력에 비례.

• 마찰력의 방향은 항상 운동방향에 반대.

정지마찰력

마찰력직전의움직이기물체가

최대정지마찰력

정지마찰계수

⇐=

≤

nss

s

nss

Ff

forcefrictionalstaticFf

μ

μμ

max)(

)(:

유체저항과 종단속력

<유체의 저항력>f = kv (저속인 경우), f = Dv2 (고속인 경우)k와 D는 물체의 모양, 크기, 유체의 밀도에 의존

smmsN

smKgv

mmrmsNkKg.mEx

kmgv

kvmg

makvmg

t

-

t

/2.3/1055.1

)/8.9)(105(

)1.0(/1055.1,1050)

0

)

)(

8

210

89

=⋅×

×=

=⋅×=×=

=

=−=

=−+=

><

−

−

−

∑

?

0,a vvelocity terminal:(v

F) (

t

t

y

종단속도는의가랑비

인

영이므로가속도는에서

종단속력

예저속운동의자유낙하빗방울의

유체내에서 운동 (속도, 가속도, 거리 구하기)

tmk

t

t

t

vt

tv

t

t

evv

tmk

vvv

tmkvv

dtmk

vvdv

vvdtdv

km

vk

mgdtdv

km

k

kvmgdtdvm

kvmgma

)/(

0

00

1

)(ln

)ln(

)(

,

−=−

−=−

=−−

=−

−=

−=

−=

−=><

∫∫

나누면로양변을

구하기속도

tvvat

==∞→

,0

,일때

[ ]

[ ]

[ ][ ][ ]tmk

t

t tmkt

y

tmkt

tmk

tmk

tmkt

tmkt

ekmtvy

dtevdy

evdtdyv

gea

ek

mgmk

evmk

dtdva

a

evv

)/(

0)/(

0

)/(

)/(

)/(

)/(

)/(

1

1

1

)(

)(

1

−

−

−

−

−

−

−

−+=

−=

−==

><=

=

−−==

><

−=

∫∫

낙하거리

가속도

5-6* 자연계의 기본힘

1. 만유인력(질량)

2. 전자기력(전자)

3. 핵력(핵자: 양성자, 중성자): 강한 상호작용

4. 약력(소립자, 반중성미자): 약한 상호작용

2)(r

MmGFg −=r

2)(rQqkFq ±=

r

M mr

Q qr

지구(중력) DNA(전자기력) 태양(핵력)

제6장 일과 운동에너지

6-2 일 (힘의 크기가 일정한 경우)

<1차원에서 일의 정의>

W = Fs (F와 s 가 평행한 경우)

)cos 사잇각의와는

정의일의일반적인

s F (

φφFssFW

=⋅=

><rr

W > 0 W < 0

<일의 부호>

22 )/(1)/(1

1)(1

smKgmsmKg

mNJouleJ

==

⋅=><단위

6-3 일과 운동에너지 φcosFssFW =⋅= rr

W = Fs > 0 W = FscosΦ > 0 W = Fscos(180°) = -Fs < 0

sr sr sr sr

W = Fs = 0

F

<운동에너지의 정의>

x1v1

x2v2

Δs = x2 – x1 x

) -(

) (

정리에너지일

정의운동에너지의

에서

운동에서등가속도

12

2

21

22

21

22

21

22

21

22

21

21

21

2

2

2

KKW

mvK

mvmvFsW

svvmmaF

svva

vvas

−=

≡

−==

−==

−=

−=

mNm)m/sKg

sm(Kg)J

⋅=⋅⋅=

=

><

1(1

)/(112

2

단위

22

21

22 2

1)(21 mvvvmFs =−=

= 운동에너지공의한일큐가

6-4 변하는 힘에 의한 일과 에너지

힘이 일정한 경우W = Fs (면적 구하기)

FsxxFdx FW

Fdx W

x

x

x

x

=−==

><

=

><

∫

∫

)( 122

1

2

1

경우일정한힘이

경우변하는힘이

21

22

21

2

0

20

00

21

21

,

)(21

21

21

0

:

2

1kxkxkxdx W

xx

kXX

kXxkxdxk

kxdxFdx W

X

kxF

x

x

XX

XX

−==

⇒

=

===

==

=

><

∫

∫

∫∫

경우인변위가일반적으로

면적삼각형의

늘렸다면만큼에서

길이를가하여힘을용수철에

힘변하는일한용수철이

) (

law) s(Hook'

직선운동에서 일-에너지 정리

x1v1

x2v2

Δs = x2 – x1 x

" ") -(

) (

같다에너지는

일과경우에도변하는힘이

정리에너지일

정의운동에너지의

12

21

22

2

21

21

21

21 2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

KKW

mvK

vmvm

vmvdvmdxdxdvvm

adxmmadxFdxW

dxdvvv

dxdv

dtdx

dxdv

dtdva

v

v

v

v

x

x

x

x

x

x

x

x

−=

≡

−=

===

===

====

∫∫

∫∫∫

곡선운동에서 일-에너지 정리

∫

∫∫⋅=

==

⋅=

==

2

1

2

1

2

1)()cos(

)()cos(

||

||

P

P

P

P

P

P

ldF

dlFdlFW

ldF

dlFdlFdW

) (

일대한곡선경로에rr

rr

φ

φ

예제 6-7 그네 타기

그네를 천천히(평형상태) 밀어 각도가Θo가 되도록 밀었을 때, 한 일은?

θ

θθ

θθθ

θ

Rdds

wFwT

wTFTFTFF

ds F

dsFldFW

y

x

=

=∴=

=−==

=−=

=⋅=

∑

∑

∫∫

tancos/

,0cos,0sin

,0sin,0

)1

)cos(

평형상태이므로

구하기와

에서rr

."

같다것과올린들어상방향으로수직

때일

"

,90

)cos1()1(cos

cos)(sin

))()(costan(

00

0

FsmgswRW

wRwR

wRdwR

RdwW

oo

oo

oo

o

====

−=−−=

−==

=

∫

∫

θ

θθ

θθθ

θθθ

θθ

θ

6-5 일률 (Power)

" "1.

)

(

전기에너지사용한시간동안

단위임에너지아니라단위가일률의

단위사용량의전기참고

단위일률의

일률순간

평균일단위시간당

일률평균

MJJ

ssJkWh

kWWpowerhorsehp

sJwattW

dtdW

tWP

tWP

t

av

6.3106.3

)3600)(/1000(1(

43746)(1

/1)(1

lim

6

0

=×=

=•

≈=

=><

=ΔΔ

=

><

>ΔΔ

=

><

→Δ

)( ), ), ), ,

) )

W/tPFxWmaFm/sasmv

tx

vFPtsF

tsFP

tsF

tsFP

tt

av

=====

><

⋅=∴

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

ΔΔ

⋅=ΔΔ⋅

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ΔΔ

⋅=ΔΔ⋅

=

><

→Δ→Δ

일률일힘

가속도속도

시간거리정리단위

속도일률과

((()/(

,(,(

limlim

2

00rr

rrrr

rrrr

∆

제7장 위치에너지와 에너지보존

7-2 중력 위치에너지

)ˆ)((),ˆ(

,0)(,

21

2121

2121

jyysjmgwF

yysyymgsFWyyyy

g

−−=−==

−=>−=⋅=

>⇒><

rrrQ

rrr

일한중력이경우내리는물체를

UUUUUWmgyU

jyysjmgwF

yysyymgsFWyyyy

g

g

Δ−=−−=−=≡

−=−==

−=<−−=⋅=

<⇒><

)()

)ˆ)((),ˆ(

,0)(,

1221

12

1212

2121

정의중력위치에너지의

일한중력이경우올리는물체를

(

rrrQ

rrr

Wg = -∆U > 0 (내리는 경우, 중력과 변위방향이 동일)Wg = -∆U > 0 (올리는 경우, 중력과 변위방향이 반대)

y1v1

y2v2

m

0

상수

상수일정

보존법칙역학적에너지

정리에너지일

경우이동하는지점으로에서

UK E

)(

) (

- 2 1

=+=

=+=+

+=+−=−−=−

⇐Δ−=Δ=

2221

21

2211

211212

21

21

)(

mgymvmgymv

UKUKUUUUKK

UKWg

B. 역학적에너지 보존법칙(다른 힘이 존재하는 경우)

"

) 2 1

보존법칙에너지

때작용할힘이다른이외의중력

이므로

경우이동하는지점으로에서받으며힘을다른

"21

21

(,

2221

21

2211

1221

1212

mgymvWmgymv

UKWUKKKUUW

UUWKKWW

other

other

other

ggother

+=++

+=++−=−+

−−=−=+

A. 역학적에너지 보존법칙(중력만 존재하는 경우)

1

2

C. 곡선경로에서 중력 위치에너지

""

)ˆˆ(ˆ)(

0)ˆ(ˆ),ˆ(

2121

21

같다수직경로에서와

일은한중력이곡선경로에서

의존한다변위에만연직방향

경우이동하는

지점으로에서따라곡선경로를

) (

2 1

UUmgymgyW

ymgW

jyixjmgswW

yyyjyixsjmggmw

swW

g

g

g

g

−=−=

Δ=

Δ−Δ⋅−=Δ⋅=

>−=Δ−Δ+Δ=Δ−==

Δ⋅=

rr

rrr

rr

1

2

주의: 교과서에서는 ∆y = y2 – y1 로 정했음

예제 7-4 포사체 운동의 최대 높이

." 4-3"

:

)(

같다결과와의예제

최대높이

정점이므로

gvh

ghv

v

vvvv

ghvvvv

o

o

y

oyxx

yxyx

2)sin(

2)sin(

0

sin,

2

20

20

2

0121

22

22

21

21

α

α

α

=

=

=

==

++=+

mghvvmvvm

mghmgyUmgyU

vvmKvvmK

UKUK

yxyx

yxyx

++=++

====

+=+=

+=+

)(210)(

21

,0

)(21),(

21

22

22

21

21

2211

22

222

21

211

2211

2 1

적용하면

보존법칙을에너지지점에서지점과

00

)(21

)(21

21

21)(

21

)(

12

12

22

21

1221

2

2122

21

21

22

21

2

1

2

1

2

1

>⇒<<⇒>

−=

Δ−=−−=−=

≡

−=−=−−=

−=−==

>⇒<

∫∫∫

el

el

el

el

xx

xx

xxel

WxxWxx

xxkW

UUUUUW

kxU

UUkxkxxxk

xdxkdxkxFdxW

xx

) ( ) (

) (

경우압축하는

경우팽창하는

에서

위치에너지탄성

일한용수철이

경우늘이는로용수철을

7-3 탄성 위치에너지

부호는 힘과 변위의 방향에 의해 결정된다.

φcosFssFW =⋅= rr용수철의 힘은 항상 평형(원)점 방향.중력은 항상 지구 중심 방향.

<중력과 탄성력이 있는 경우>222111

22

22

21

21

22

22

21

21

2211

211212

21

,,.

21

21

21

21

.

21

21

21

21

.

)(

elgotherelg

other

el

UUKWUUKC

kxmvWkxmv

B

kxmvkxmv

A

UKUKUUUUKK

UKWxx

++=+++

+=++

+=+

+=+−=−−=−

Δ−=Δ=>⇒<

경우있는다른힘이탄성력중력

경우있는힘이다른

경우있는탄성력만이

정리에너지일

일한늘이는데로용수철을

) -(

에너지 보존법칙

<비보존력에서 에너지 보존법칙>비보존력은 마찰력, 저항력 등에 의해

내부(열)에너지로 변환된다.

7-4 보존력과 비보존력 1

2

<보존력의 성질>1. 일은 위치에너지 함수의 초기값과

나중값으로 나타낼 수 있다.2. 일은 가역적이다.3. 일은 경로에 무관하다.4. 출발점과 도착점이 동일한 경우 전

체 일은 0이다.

22int11

2211

int

UKUUKUKWUK

UW

other

other

+=Δ−++=++><

Δ−=

에서

법칙보존에너지

7-5 힘과 위치에너지 (보존력)

zzUy

yUx

xU

zyxU

xzyxUF

UkzUj

yUi

xU

kFjFiFzyxF

zUF

yUF

xUF

dxdU

xUxF

UxxFUW

x

zyx

zyx

x

2,6,4

32

),,(

)ˆˆˆ(

ˆˆˆ),,(

,,

3

lim)(

)(1

222

0

=∂∂

=∂∂

=∂∂

++=

∂∂

=

><

∇−=∂∂

+∂∂

+∂∂

−=

++=

∂∂

−=∂∂

−=∂∂

−=

><

−=ΔΔ

−=

Δ−=ΔΔ−=><

→Δ

)

.

z y

경우인예

미분한다생각하고

상수로는와경우인

편미분

차원

에서

차원

r

r힘은 위치에너지를

미분하여 구할 수 있다

7-6 에너지 도표

1. x=±A에서 U는 최대값, U=E, v=0 회기점(되돌이 점)

2. x=0에서 U=0, K=EK와 v 최대값F=0, 가장 안정된 상태

숙제 (5월 2일(화)까지 제출)5-1, 4, 5, 8, 11, 18 6-1, 3, 7, 10, 11, 12, 177-4, 5, 14, 16, 19

dxdUF −=

제8장 운동량과 충격량

8-2 운동량과 충격량

12

12

12 )(

,,

ˆˆˆ

),(

)(

ttpp

tpF

dtpdF

ttFtFJ

mvPmvPmvP

kPjPiPp

vmppdtd

dtvmd

dtvdmamF

zzyyxx

zyx

−−

=ΔΔ

=

=

−=Δ=

><

===

++=

≡=

===

><

∑

∑

∑∑

∑

rrrr

rr

rrr

r

rrr

rrrr

경우일정한힘이이므로

힘일정한

충격량

정의운동량의

법칙에서제뉴턴의

운동량

,

) (

2

." ") (

같다변화량과운동량이충격량은

정리충격량운동량−=−=

−−−

=−= ∑

pΔppJ

ttttppttFJ

rrrr

rrrr

12

1212

1212 )()(

∑ Δ= tFJrr

충격량

)(

)(

)(

ˆˆˆ

1212

1212

1212

12

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

zzzztt zz

yyyytt yy

xxxxtt xx

zzx

pp

tt

tt

vvmppdtFJ

vvmppdtFJ

vvmppdtFJ

kJjJiJJ

pppddtdtpdJ

dtFJ

−=−==

−=−==

−=−==

++=

−===

=

><

∫ ∑

∫ ∑

∫ ∑

∫∫

∫ ∑

r

rrrrr

rr) (

정의일반적충격량의

충격량의한힘에변하는

골프공

테니스공

딱딱한 골프공과 물렁한 테니스공에 같은 충격량을 가했을 경우, 골프공에 가한 최대 힘이 더 크다.

8-3 운동량 보존법칙

2211

0)(

BBAABBAA vmvmvmvm

p

pdtdamF

+=+=

=

===∑

운동량충돌후운동량충돌전

하다상수일정

경우인합이알짜힘의

.)(

0

r

rrr

<운동량 보존법칙>• 어떤 계에 가해진 외력의 합이 0이면계의 총 운동량은 보존된다.

• 뉴턴의 제3법칙(작용-반작용)의 결과이다.

충돌전

충돌후

8-4 비탄성 충돌 (완전 비탄성)•자동차, 고무찰흙, 등의 충돌• 운동량은 보존, 운동에너지는 비보존

21

21

2

1

2

2

1

222

211

21

2112

21

1

211

21

)(21

)()(

21

)(21

,21

)()2

)(,)(

)(0)0)1

)(

AA

ABA

A

ABA

ABA

BA

AA

AABA

A

BAAA

BB

BABBAA

vm

vmm

m

KK

vmm

mmm

vmmK

vmK

KK

vvvmm

mv

vmmvmmv

vmmvmvm

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+=

+=

=

⇒

<+

=

+=+=

+=+

(

변화량운동에너지의

속도충돌후경우인정지가

."

감소한다항상운동에너지는

경우비탄성충돌인완전"

,1)( 12

1

2 KKmm

mKK

BA

A <<+

=

8-4 탄성 충돌

• 당구공 등의 충돌• 운동량과 운동에너지가 보존

"

있다수얻을방정식을개의두

보존법칙운동에너지

보존법칙운동량

"

21

21

21

21 2

22

221

21

2211

2211

2211

BBAABBAA

BABA

BBAABBAA

BABA

vmvmvmvm

KKKK

vmvmvmvmPPPP

+=+

+=+

+=++=+rrrr

충돌전

충돌후

1차원 탄성 충돌 (vB1 = 0 인 경우, 충돌 후 속도 구하기, p와 K가 보존)

(4) --

(3) -- (1)(2) ----------

(1) - --------

))((

)()2(

)(

21

21

21

21

21

21

21

21212

2

22

21

22

212

22

22

21

22

22

21

22

22

21

21

221

2211

AAAAABB

AAABB

AAABB

BBAAAA

BBAAAA

BBAABBAA

BBAAAA

BBAABBAA

vvvvmvm

vvmvm

vvmvmvmvmvm

vmvmvm

vmvmvmvm

vmvmvmvmvmvmvm

+−=

−=

−=+=

+=

+=+

+=+=+

식에서

식에서

보존법칙운동에너지

보존법칙에서운동량

m mm m

= 0

)7(2)(

)5)6(

)6(

)()()()(

)3()5()5(

)3/()4(

11

112

12

12

2121

212

(

ABA

A

BA

BABAA

ABA

BAAB

ABA

BAA

BAABAA

AAAAAB

AAB

vmm

mmm

mmmmv

vmmmmvv

vmmmmv

mmvmmvvvmvvm

vvv

+=

+−++

=

+−

+=

−−−−−−−−−−−+−

=

−=+−=+

−−−−−−−−−−−−−+=

대입하면에을

대입하면에를

해주면을

충돌후

A. 탁구공(mA) ≪ 볼링공(mB)인 경우[mA/mB ≪ 1]

0)/()/(

)/(2

)7(2

1)/(1)/(

)/()/()/()/(

)6(

12

12

112

12

12

≈+

==

+=

−≈+−

=

+−

=

−−−−+−

=

ABBBA

BAB

ABA

AB

AABA

BAA

ABBBA

BBBAA

ABA

BAA

vmmmm

mmv

vmm

mv

vvmmmmv

vmmmmmmmmv

vmmmmv

에서

에서

-----

mA mBvA1

vA2

B. 볼링공(mA) ≫ 탁구공(mB) 인 경우[mB/mA ≪ 1]

mAmB

vA1 vA2

vB2 = 2vA1

탁구공은 오던 속도로 튕겨나간다.

볼링공은 움직이지 않는다.

112

12

112

12

12

2)/()/(

)/(2

)7(2

)/(1)/(1

)/()/()/()/(

)6(

AAABAA

AAB

ABA

AB

AAAB

ABA

AABAA

ABAAA

ABA

BAA

vvmmmm

mmv

vmm

mv

vvmmmmv

vmmmmmmmmv

vmmmmv

≈+

==

+=

≈+−

==

+−

=

−−−−+−

=

에서

에서

-----

볼링공의 속도는 변하지 않는다.

탁구공은 볼링공의 2배 속도로 운동한다.

C. 두개의 당구공(mA = mB)인 경우[mB = mA = m]

112

12

12

12

2

)7(2

0

)6(

AAB

ABA

AB

AA

ABA

BAA

vvmm

mv

vmm

mv

vmmmmv

vmmmmv

≈+

==

+=

≈+−

=

−−−−+−

=

에서

에서

-----

하얀(A)공은 충돌 후 정지한다.

빨간(B)공은 하얀공의 속도로 운동한다.

A B

vA1

vB2=vA1

vB1=0

2차원 탄성 충돌 (충돌 후 당구공의 진행각도 구하기): 2차원적 풀이

βαβα

βαβα

βαβα

βαβα

coscos2)sin1()sin1(

coscos2coscos

21

21

21

21

][sinsin0

sinsin0

coscoscoscos

][

22

222

222

22

222

222

21

22

22

21

22

22

21

21

22

22

221

2211

BA

BA

BA

BAA

AAA

AABA

BA

BA

BAA

BABA

vvvv

vvvvv

vvv

mvmvmvmv

vvmvmv

yvvv

mvmvmvmvx

+−+−=

++=

+=

+=+

−=−=

−+=

+=+−

(1)(3) ------------------

(2) - ----------

:(1) - --------

:

제곱하면양변을식의

보존법칙운동에너지

성분

성분

보존법칙운동량

vA1B

A

A

B

α

β

vA2

vB2

vB1=0x

y

oBA

BABA

BABAA

BABA

BA

BA

BABAA

vvvvvv

vvvvv

vvvv

vv

vvvvvvv

90,0)cos(

0)sinsincos(cos2coscos2sinsin2)sinsin(

sinsin2)sinsin(

sinsin

coscos2)sinsin(

22

2222

222

22

22

21

222

22

222

222

22

222

222

22

22

21

=+=+

=−∴+−

−−+=

+−

=+

++−+=

βαβα

βαβαβαβα

βα

βαβα

βα

βαβα

,

여기서

2차원 탄성 충돌 (충돌 후 당구공의 진행각도 구하기): 3차원적 풀이

)2(2222

22)(

221

21

21

21

21

][

,,

][

22

22

21

22

22

21

21

21

21

21

221

22

22

21

21

221

2211

2211

2211

−−−−−−−−−−+=

+=+

===

+=+

+=+=+====

BAA

BABA

AAAA

AABA

BAA

BABA

BBBB

AAAA

pppm

pm

pm

pm

p

mp

mmv

mvmmv

mvmvmvmv

ppppppp

mvpmvpmvpmvp

보존법칙운동에너지

보존법칙운동량

(1) -------------

rrr

rrrr

rr

rr

pA1

B

A

A

B

θ

pA2

pB2

pB2=0x

y

oBABA

BABAA

BABBAAA

BABAAA

ppppppppp

ppppppp

pppppp

90

0cos))(()()(2

)(2)()(

()()()1(

2222

222

22

221

22222221

222211

=∴

==⋅⋅++=

⋅+⋅+⋅=

+⋅+=⋅

θ

θ

),

rr

rr

rrrrrr

rrrrrr제곱하면양변을식의

8-6 질량중심의 운동

) (

mass) of center

총질량계의

여기서

구하기질량중심

ii

ii

i

ii

i

iicm

n

ii

n

iii

i

ii

i

ii

i

iicm

i

ii

i

iicm

i

ii

i

iicm

cmcmcmcm

mmmmMM

rmm

rmmmm

rmrmrmr

m

xm

mxm

mzm

mmmzmzmzmz

mym

mmmymymymy

mxm

mmmxmxmxmx

kzjyixr

+⋅⋅⋅++==

==+⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++

=

=

=+⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++

=

=+⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++

=

=+⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++

=

++=

∑

∑∑∑

∑

∑

∑∑

∑∑∑∑∑∑

=

=

21

21

2211

1

1

21

2211

21

2211

21

2211

ˆˆˆ]([

vvvvvv

r

mi

m1

cm

xi

yircm

y

x

) (

운동량총

속도질량중심의

ni

iiicm

ii

i

ii

i

iicm

i

izi

i

izizzzcm

i

iyi

i

iyiyyycm

i

ixi

i

ixixxxcm

zcmycmxcmcm

ppppP

PpvmvmvmvM

Mvm

mvm

mmmvmvmvmv

mvm

mmmvmvmvmv

mvm

mmmvmvmvm

v

mvm

mmmvmvmvmv

kvjvivv

rrrrr

rrrrrr

rrrrrr

r

+⋅⋅⋅++==

==+⋅⋅⋅++=

==+⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++

=

=+⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++

=

=+⋅⋅⋅++

+⋅⋅⋅++=

=+⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++

=

++=

∑∑

∑∑∑

∑∑∑∑∑∑

21

2211

21

2211

21

2211,

21

2211,

21

2211,

,,,ˆˆˆ

][

dtpdF

dtpd

dtvMd

dtvdMaM

aMFamamamaM

kajaiaa

ext

cmcmcm

cmext

iicm

zcmycmxcmcm

rv

rrrr

rv

rrrr

r

=

===

=

+⋅⋅⋅++=

++=

)(.

)1

ˆˆˆ][

2211

,,,

작용질량중심에외력은모든

집중질량중심에질량은모든

질량중심힘과

2).

mi

cm

xi

yircm

y

x

vcmFext

8-7 로켓 추진 (질량이 변하는 운동)

dmvmdvdmdvdmdvdmvmdv

dmvvdmdmdvvdmmdvmvmvvvdmdvvdmmmv

dttPtp

vvdmdmvpdvvdmmp

dtt

vvv

ex

ex

ex

ex

exfuelfuel

rocket

exfuel

or

<<−−=

+−+++=−−++=

+=

−−==++=

+

−=

Q

)())(()()(

))(())((

의해보존법칙에운동량

운동량에서시각

상대속도대한로켓에분사연료의

SKKUSKKU

t t + dt

."

) (

:

) (

커야한다이

위해서는얻기속도를최대로켓이

초기질량초기속도속도

가속도

추진력로켓

mm

mmvmvv

vvdvm

dmvdv

mvdtdm

mv

dtdva

Fdtdmv

dtdvm

dmvmdv

exmmex

v mm m

dmex

mm m

dmex

ex

ex

ex

ex

/"

lnln

,0)2

)1

0

0

0

00

0

00

=−=

−=−=

−=

=

−==

=−=

−=

∫ ∫∫

dm< 0