加速器超入門①

Kikuchi, M. ‘08_04_15 FTBL meeting

ベータ関数　30分早分かり

問題解答付き

x! = !x

x

x’

x! ! !x

1. エミッタンス

位相空間(x,x’)に粒子達が分布しているとき、その位相空間に占める面積（に相当する量）をエミッタンスと呼ぶ。＜＞を粒子全体にわたる平均とすれば、エミッタンス　は

で与えられる。これは良い量であって、実際、(x,x’)が線形変換（ただしdet=1)を受けるときには保存量となる。

1.1 エミッタンスの概念

問１ これを実際に確かめよ。

図１位相空間における粒子達の分布

(1)

!

!2 =!x2

" !x!2" ! "xx!#2

1.2 分布を表すパラメータ

x x’に関する2次の統計量 はそれぞれエミッタンスに比例する量である。その比例係数 をTwiss パラメータと呼ぶ：

! , " , #

(2)

エミッタンス　は(1)で定義されているので　　　　は独立ではなく、

! ! , " , #

!" ! #2 = 1 (3)

が成り立たなければならない。（問２ これを確かめよ。）逆に　　　 が与えられたとき、これからエミッタンス及びTwissパラメータを求めることができる。

!x2

"= !"

!xx!" = #!"!x!2" = !"

!x2

", !xx!" ,

!x!2"

!x2

", !xx!" ,

!x!2"

Twiss パラメータの幾何学的意味

変数を(x, x’)から、次で与えられる変数(X, Y)に変えてみる。X = x

Y = x! ! !x

新しい変数では となるように を選ぶとする：!

すなわち、直線　　　　の上下で等分布になるような傾き　がちょうど になる。

x! = !x !

!!/"

(4)

!XY " = !xx!" # !!x2

"= 0

! =!xx!"!x2" = #"

#

!XY " = 0

x

x’

!!"

!!"!

!/"

面積= !"

図2 Twiss パラメータの幾何学的意味

x! = !!

"x

はビーム幅を表す はビームの傾きの幅を表す

!!"!!"

1.3 Twiss パラメータの場所による変化粒子達がビームラインにそって運動するとき、位相空間における分布もまた変化する。エミッタンスは保存量なので、Twiss パラメータの変化だけを考えればよい。簡単のためにここでは自由空間を運動する場合を考える。ビームラインに沿った長さをsとし、s=0における位置と傾きを　　 、s=sにおけるそれを とかくことにすれば、

x = x + sx!

x! = x!

(x, x!) (x, x!)

(5)

という関係が成り立つ。これから

即ち、! = ! ! 2s" + s2#" = "! s#

(6)(自由空間)

!x2

"=

!(x + sx!)2

"=

!x2

"+ 2s !xx!" + s2

!x!2"

!xx!" = !(x + sx!)x!" = !xx!" + s!x!2"

粒子の軌跡

!!(s)"

s

x

は粒子の軌跡群の包絡線を表す

x

x’

x

x’

!!(s)"

問3 一般にx = m11x + m12x!

x! = m21x + m22x!

のとき、

! = m211! ! 2m11m12" + m2

12#" = !m11m21! + (m11m22 + m12m21)"!m12m22#

が成り立つことを示せ。

問4 一般に次式が成り立つことを証明せよ。d!

ds= !2"

2. FTBLの問題測定された分布からビーム幅が最小になるsを求めてみる。βが最小になるsをs=0とし、最小値をβ* とすると、(6)から

（α*=0に注意）。測定値 , から、(2-1)(2-2)を使って , を求めることができて、

(2-1)

(2-2)

!!s

(2-3)

(2-4)図3 測定された位相空間

! = ! s

"!

! !

s = ! !

" + "!1

!! =!

"2 + 1

! = !! +s2

!!

分布のデータがあるのでこれから , を求めるべきであるが、ここでは目の子で求めてみる。仮に図3のような楕円にフィットできたとすると、 , , (水平方向)、 , , （垂直方向）を得る。これから、

!!s

!!/" = 0.00415

!!" = 0.0255

!!/" = 0.00153

!!" = 0.0575

! = 1.06! 10!4 m! = 6.14 m

!!/" = 0.0731

! = !0.45

s = 2.30 m

!! = 5.11 m

!!/" = 0.104

! = 8.80! 10!4 m

! = 3.76 m

! = !0.392

s = 1.28 m

!! = 3.26 m

（水平方向）

（垂直方向）

いずれもβとβ*はあまり違わない。

補遺解答問1

とかけることに注意して のとき

u = (x, x!)t とかくことにする。

det!uut

"= det

# !x2

"!xx!"

!xx!"!x!2"

$=

!x2

" !x!2" # !xx!"2

u = Mu

det!uut

"= detM

!uut

"M t = (detM)2 det

!uut

"= det

!uut

"

問2 (2)を(1)に代入する。

問3 を計算する。!x2

",!x!2"

問4

であることを思い起こすと、

x = m11x + m12x!

x! = m21x + m22x!

x! = dx/ds

sに関する微分を で表すことにする。(!)

において

dx/ds = m!11x + m!

12x! = m12x + m22x

!

これは任意の初期条件 に対して成り立たねばならないのでx , x!

が成立する。問3の式

! = m211! ! 2m11m12" + m2

12#" = !m11m21! + (m11m22 + m12m21)"!m12m22#

の第１式を微分して第2式と比べると

!! = 2(m11m!11! ! (m!

11m12 + m11m!12)" + m12m

!12#

= 2(m11m21! ! (m21m12 + m11m22)" + m12m22#

= !2"

を得る。

m21 = m!11 , m22 = m!

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