공간계량경제학을 응용한 사례분석

서울대학교 사회과학대학 지리학과 교수 손정렬

Anselin versus Griffith2

Anselin versus Griffith

On Anselin’s, Griffith says… 두 서적의 비교를 통한 서평 오자(multicollinearity), 개념적 오류, 오해 등의 문제존재 공간통계분야 문헌들의 언급 부재 혹은 미약 중복되는 부분이 적어 두 서적간의 보완성 상당히 높음

On Griffith’s, Anselin says… Griffith의 서평을 읽은 후에 작성한 서평 공간통계학과 공간계량경제학 간의 대화의 장을 열겠다는 취지와는 달리 공간계량경

제학에 대한 무시 혹은 경시 계량경제학 부문에서의 최근 이론과 방법론의 논의 부재 추정과 검정에서 앞으로의 연구과제라고 한 부분이 실제로는 상당부분 이미 연구

내용의 수준으로 인해 독자층의 규모가 협소하고 책값이 너무 비쌈

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Anselin versus Griffith

공간계량경제학 (spatial econometrics) Model-driven 공간자료의 문제를 모형에서 명시적으로 처리 계량모형의 공간버전

시간버전은 시계열 모형

공간통계학 (spatial statistics) Data-driven 공간자료의 문제는 문제가 아니라 공간적 특성을 나타내는 정보

Let the data speak for itself! 공간적 자기상관을 분석하는 여러 가지 통계기법들 전통적인 계량지리학에서 출발

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공간계량경제학 (Anselin, 1988)

회귀분석 모형에서 공간효과를 다루기 위한 방법 공간회귀모형

공간적 이질성(spatial heterogeneity) 각각의 위치는 고유성 가짐 표준적인 방법론이 적용

Structural change, varying coefficients 분류상의 모호성

공간통계학자들의 연구가 많음

공간적 의존성(spatial dependence) 특수한 방법론이 필요

이차원적, 다방향적 의존성

시계열분석의 방식 적용 불가 의존성 문제가 있는 표본은 정보의 양이 더 적음

i.i.d. 표본과의 비교 Independent and identically distributed

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공간계량경제학의 네 가지 요소

공간적 의존성의 구조를 지정

어떤 위치들이 상호작용?

공간적 의존성의 존재 검정 어떤 유형의 의존성?

공간적 의존성을 고려하는 모형의 추정 Spatial lag, spatial error, higher order

공간상의 예측 Interpolation, extrapolation, missing values

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공간적 의존성

공간적 상호작용의 형태와 정도를 추정

실재적인 공간적 의존성

Spatial lag 모형: y

공간적 파급효과에 대한 교정 유해요소(nuisance)로서의 공간적 의존성

Spatial error 모형: ε

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공간적 의존성의 지정

실재적인 공간적 의존성

Lag 의존성

회귀분석에 Wy를 설명변수로 삽입

y = ρWy + Xβ + ε

유해요소로서의 의존성 Error 의존성

error variance의 왜곡 E[εε’] = Ω

Ω가 의존성 구조를 포함

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공간적 의존성

Spatial lag 모형 Spatial autoregressive model y = ρWy + Xβ + u with u as i.i.d.

Spatial error 모형Spatial autoregressive error ε = λWε + ξ

Spatial moving average error ε = λW ξ + ξ

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해석

Spatial lag 경제적-행태적 프로세스와 관련

분석의 단위지역 수준에서만 의미를 가짐 Ecological fallacy의 문제

결과에 대한 이론적 해석 가능

Spatial error “고려되지 않은” 변수들의 파급효과 변수를 알 수 있는 경우와 알 수 없는 경우

결과에 대한 이론적 해석의 소지 적음 Nuisance parameter

실증분석에서 흔한 경우

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공간적 의존성을 무시할 경우 의 문제

Spatial lag을 무시할 경우

Omitted variable의 문제

OLS추정결과는 biased and inconsistent

Spatial error를 무시할 경우 Efficiency 문제

OLS 결과가 bias되지는 않으나 inefficient OLS 표준오차와 t-검정이 bias되게 됨

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공간적 이질성

문제의 해결방법

모형에 공간구조를 부과

단절적 공간적 변동: zone, regime 평균값에 초점: spatial ANOVA 모형의 계수에 초점: spatial regimes

연속적 공간적 변동: spatial drift 평균값에 초점: 경향면 분석

모형의 계수에 초점: spatially varying coefficients, spatial expansion model

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단절적 이질성

Spatial ANOVA 평균의 차이에 대한 검정 E[yi] = μ1, i є R1

E[yj] = μ2, j є R2

R1, R2 “regions”

Spatial regimes 공간구조변화에 대한 검정 yi = α1 + β1xi + εi, i є R1

yj = α2 + β2xj + εj, j є R2

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더미변수 회귀분석

지표 = spatial regime 각 지역별 차이의 검정

yj = β1d1i + β2d2i + εj d1i = 1 if i є R1 , 0 elsewhere d2i = 1 if i є R2 , 0 elsewhere Test β1 = β2

전체와 비교하여 한 지역의 차이를 검정 yi = α + βdi + εi di = 1 if i є R1 , 0 elsewhere Test β = 0, difference from overall mean α

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지역적 동질성

지역적 동질성의 검정 H0: αi = αj 동일한 y절편 H0: βi = βj 동일한기울기

대립가설: 이질성 y절편의차이기울기의차이

두가지모두의차이

Spatial Chow 검정

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연속적 이질성

경향면 회귀분석

Spatial expansion 모형 Geographically weighted regression (GWR)

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경향면 회귀분석

Spatial drift in mean 관측치의 x, y 좌표로 구성된 다항 회귀식 z = α + β1x + β2y + β3x2 + β4y2 + β5xy + ε

해석 Spatial interpolation 의미를 가지는 실재적 해석의 어려움 지리적 결정론?

다중공선성(multicollinearity)의 문제

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Spatial Expansion Method

Casetti의 일련의 연구들

회귀계수들에서의 spatial drift 기본 모형 yi = α + β1xi + εi

Expansion equation Deterministic, no random error β1 = γ0 + γ1 z1i + γ2 z2i

최종모형 yi = α + γ0xi + γ1 (z1ixi) + γ2 (z2ixi) + εi

적용상의 문제 다중공선성

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Geographically Weighted Regression (GWR)

국지적 회귀분석

이질성의 처리 각 위치 별로 서로 다른 파라미터 값

Kernel 추정

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GWR

Weighted estimation 각 위치 별로 하나씩의 추정치 인근위치의 자료에 의해 결정

거리조락효과

β(ui,vi) = [X’W(ui,vi)X] -1 X’W(ui,vi)y 각 위치좌표 (ui,vi) 별로 하나씩의 W 대각행렬 W의 값은 인근 관측치들로부터 도출

거리조락, nearest neighbor, Gaussian kernel 등의 방법 적용

탐색적 기법 공간적 이질성/공간적 연관의 속성과 양상을 파악

비선형성을 파악

거리조락함수와 kernel의 범위대역의 선정

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Luc Anselin, Attila Varga and Zoltan Acs(2000)

“Geographical Spillover and University Research: A Spatial Econometric Perspective”

Growth and Change 31pp. 501-515

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연구배경 및 목적

연구의 출발점은 Jaffe(1989)의 연구

미국 내 43개 주 및 125개 대도시권의 첨단기술 혁신을 대상

주 내의 대학이나 연구소의 지리적 집중에 의해 촉진되는 파급의 정도는 미약

논문의 연구보완점 첨단산업의 네 부문별 특성을 각각 정리

국지적인 수준에서 지리적 파급을 측정하는 측정치 도입 (spatial lag형)MSA 및 MSA주변 동심원 띠 지역에서의 연구활동을 측정: (I+W)x

Spatial autocorrelation과 spatial heterogeneity에 대한 명시적인 검정과 분석모형에서의 적절한 처리

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지식생산함수(Knowledge Production Function: KPF) Two-factor Cobb-Douglas 생산함수

Log(K) = βK1 log(R) + βK2 log(U) + Z1 + εK K = 지식(특허나 혁신의 수) R = 산업부문의 연구개발

U = 대학연구

Z1 = 해당산업부문활동과 사업서비스활동의 집중도

주 혹은 도시권 등을 분석단위로 단일시점대상분석, 시점별 비교

대학연구가 산업부문별 연구개발입지에 미치는 영향 부분 추가

Log(R) = βR1 log(U) + βR2 Z2 + εR Z2 = 일련의 지역특성변수들

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공간계량경제학 방법론

공간자료에 공간적 자기상관이 존재하고 있는 상태에서 이를 무시할 경우 model misspecification의 문제 모형의 검정이 필요

문제가 있는가? 있다면 어떤 유형의 공간적 의존성인가?

두 가지 유형의 공간적 의존성 Substantive dependence (spatial lag형)

y = ρWy + Xβ + ε W: contiguity, distance 등 Wy: 인근측정치들의 공간적 가중평균 무시할 경우 β가 inconsistent and biased

Nuisance dependence (spatial error형) y = Xβ + ε with ε =λWε + u

Spatial autoregressive process 무시할 경우 bias의 문제를 야기하지는 않으나 inefficiency의 문제

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추정상의 이슈들

R과 U간의 endogeneity문제 K식에서는 독립변수들이나 R식에서는 인과관계

Durbin-Wu-Hausman 검정을 통해 exogeneity 확인

두 식의 OLS 오차 항 간의 상관관계 확인 오차의 공분산 행렬에 대한 LM test on diagonality 수행

공간적 자기상관의 확인 유의한 분석을 위해서는 설명변수들이 exogenous하다는 전제가 필요 그렇지 못할 경우는 OLS 잔차보다는 IV 잔차를 이용

LM test for spatial lag, error 공간가중치행렬: 50, 75마일 밴드, 거리제곱역수

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식 1 (지식생산함수) OLS 추정결과

RD, RDCOV50, RDCOV75 중 가장 유의한 계수, URD, URDCOV50, URDCOV75 중 가장 유의한 계수만 포함

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식 2 (민간연구) 추정결과27

공간계량경제학적으로 보정된 회귀분석결과

직접적 효과는 낮으나 표2에서처럼 간접적 효과는 높음

도시권 주변지역으로부터의 지식생산파급효과가 중요

민간연구는 도시권내의 영향효과만 있었으나대학연구는 도시권 및 주변지역의 효과까지 포함

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James B. Holt and C.P. Lo2008

“The Geography of Mortality in the Atlanta Metropolitan Area”

Computers, Environment and Urban Systems 32pp. 149-164

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연구배경 및 목적

사회인구학적 변수와 건강지표들과의 유관성 사회경제적 상태(SES) 도시화의 정도

연구목적 애틀랜타 대도시권 사망률의 지리적 분포를 분석 사망률의 지리적 상이성을 설명하는 공간프로세스를 규명

연구방법론상의 문제제기 공간자료에 OLS추정방법을 적용할 때의 문제들

Spatial stationarity의 문제 회귀식에서 독립변수와 종속변수간에 관측된 관계가 공간상에서 일정한가? 그렇지 않을 경우 nonstationarity를 설명할 수 있는 방법이 필요

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연구방법

연구단위지역: 센서스 tract 변동이 별로 없는 인구 2,500에서 8,000명 정도의 비교적 동질적인 구역

총 444개의 트랙트 중 431개가 이용 거주인구가 없는 트랙 (4) 대상기간 5년간 사망자수 30인 이하(9)

Geographically weighted regression (GWR)의 적용 독립변수와 종속변수간의 관계가 spatial nonstationarity 나타냄

인과관계의 시간적 지체 고려 독립변수: 1990년

종속변수: 1995-1999년

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애틀랜타 대도시권 연구지역32

애틀랜타 대도시권의 SMR (1995-1999)

사망률

표준사망률(SMR) = observed death / expected death Expected death =

Σ (연령대별 표준사망률 x 연령대 인구)

인구집단의 연령특성에 의한사망률의 bias 보정

기준치: 1.0

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애틀랜타의 토지이용/토지피복(LULC) (1990)

-상업용지, 공업용지- 주거용지

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독립변수들의 선정

SES변수들간의 다중공선성문제 요인분석을 통해 변수정리 (인종, 도시화 변수만 제외)

독립변수들의 기초통계(1990)

SES 요인분석에 의해서 설명되는 총 변량

요인 1만을 분석에 SES요인으로 이용: 높은 값이 낮은 사회경제적 지위반영

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공간적 자기상관

SMR분포지도에서 나타난 공간적 연계 정도 파악

모란지수 (global pattern) SMR(0.38) 독립변수들도 높은 공간적 자기상관(앞 쪽의 표 참조)

Local Moran지수 모란지수가 제공하지 않는 국지적 공간적 자기상관 정도에 대한 정보 제공 Ii = zi Σ wijzj

공간가중치 행렬은 tract 중앙점간 거리의 역수를 이용

실제분석은 LISA 지도를 이용하여 수행

LISA 지도 Moran’s scattergram의 정보를 이용

x와 Wx를 좌표값으로 이용하여 4사분면상에 분포 H-H, H-L, L-H, L-L

유의도는 Local Moran의 통계치로 결정

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LISA (Local Moran) 지도

- Spatial cluster(hot spot, cold spot)와 spatial outlier 파악- 중심-주변지역간의 명확한 패턴 구분: 공간적 자기상관 존재- 독립변수들의 공간적 특성: 회귀모형의 stationarity를 보장해주지 못함

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GWR

일반 OLS 모형 yi = β0 + Σ βkxik + εi

GWR 기본형 yi = β0(ui, vi) + Σ βk(ui, vi)xik + εi

(ui, vi): i의 좌표

좌표가 가까운 관측치들에 높은 가중치 부여

Kernel의 선정방식 관측치 분포의 불규칙성 상 동일한 수의 인근 관측치들을 포함하는 adaptive kernel 이용

모형의 performance 비교방식 F 검정, Akaike Information Criteria (AIC)

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GWR 포아송 회귀모형

종속변수가 count 변수일 경우

기본형λi = Pi exp (β0 + Σ βkxik) λi: yi count 분포상의 평균값

Pi: 사망위험군 인구를 반영하는 offset variable

GWR형λi = Pi exp (β0(ui, vi) + Σ βk(ui, vi)xik) 종속변수: 사망자수

Offset variable: 기대 사망자 수

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GWR 모수추정결과

-독립변수의 영향에 대한 종속변수의 감응도(계수의 크기)의 공간적 분포-Local R-square의 범위는 0.73~0.96 (비교적 높은 설명력)-잔차에 대한 모란지수와 Local Moran지수는 공간적 자기상관이 남아있지 않은 것으로 판명(-.0.03)

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모형의 performance 비교

Global model vs. GWR model AIC: 4034.94 vs. 2963.18(better)

세 가지 설명변수와 종속변수간의 관계 GWR 분석에서 global parameter estimates을 함께 제공

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사망률에 대한 독립변수들의 상대적 연관도42

GWR의 한계점

여러 설명변수들 중 stationary variable이 있을 경우 부분적인 처리가불가 Mixed GWR (Mei, Wang, and Zhang, 2006)

계층적 회귀모형(센서스지역 단위와 개개인 단위)에 이용불가

외생변수들간의 다중공선성이 있는 경우 주의 요망

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소프트웨어

Spatial econometrics SpaceStat GeoDa R-GEO

GWR GWR (University of Newcastle)

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