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集合(重なり)の問題　まとめ集合(重なり)の問題とは

ベン図とは集合の問題を考えるときに使われる便利な図がイギリスの数学者ベンが考案したベン図です。ベン図の書き方と解き方のポイントについて説明します。

全体をある条件(算数では主に２つ)について,あてはまるか,あてはまらないかで分けたとき,すべてにあてはまる数やあてはまらない数などを求める問題をいいます。集合の問題を解くときは,ベン図を使って数を書き込んで考えると簡単に解くことができます。

30人のクラスで,犬と猫を飼っているか飼っていないかを調べたところ,犬を飼っている人は14人,猫を飼っている人は11人,どちらも飼っていない人は10人,犬を飼っていて猫は飼っていない人は９人,猫を飼っていて犬は飼っていない人は６人,犬と猫どちらも飼っている人は５人いました。

図のように,クラス全体を長方形で表し,犬を飼っている人と猫を飼っている人を２つの円で表します。犬と猫どちらも飼っている人は２つの円が重なった部分,どちらも飼っていない人は２つの円の外を表します。ここに問題で与えられている人数を書きこみます。犬を飼っている人(14人)は,猫を飼っている人も含んでいます。そのため,円の中に書き込まないで両方を含んでいることがわかるように,犬を飼っている人を表す円の線上に14人と書き込み,犬を飼っていて猫は飼っていない人(９人)は円の中に書きこむと混同しないでおすすめです。

＝ －

＝ －＋

10人

５人９人９人 ６人 ６人

14人 11人

犬 猫14人 11人

どこか一部の数がわからないときは,次の２つの式を使って解くことがポイントです！

①

②

全体30人

犬を飼っている人 猫を飼っている人

どちらも飼っていない人

犬を飼っていて猫は飼っていない人

猫を飼っていて犬は飼っていない人

犬と猫どちらも飼っている人

重なりの問題は,表を使っても解けるけど,ベン図を使って解くととても簡単だよ！

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☆中学受験 集合(重なり)の問題 2015年 大宮開成中学校 難易度★☆☆☆☆

遠足に行った人数を調べたら,男11人,女14人,子ども18人,大人７人でした。

そのうち男の子どもが８人だとすると,女の大人は何人ですか。

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☆中学受験 集合(重なり)の問題 2015年 星野学園中学校 難易度★★☆☆☆

40人のクラスで,犬や猫を飼っている人の人数を調べたところ,犬を飼っている人は12人,

猫を飼っている人は９人でした。また犬と猫の両方を飼っている人は３人でした。

犬も猫も飼っていない人は何人ですか。　

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☆中学受験 集合(重なり)の問題 2015年 国学院大学久我山中学校 難易度★★☆☆☆

K中学校の１年生100人のうち,京都に行ったことがある人は40人,沖縄に行ったことが

ある人は22人,どちらにも行ったことがない人は45人でした。京都と沖縄の両方に行ったこと

がある人は何人ですか。

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☆中学受験 集合(重なり)の問題 2014年 千葉日本大学第一中学校 難易度★★☆☆☆

あるクラスの35人全員に「算数と国語は得意か」というアンケートを行いました。

その結果,「算数が得意」と答えた児童は13人, 「国語が得意」と答えた児童は18人,

「どちらも得意でない」と答えた児童が９人いました。

このとき,算数は得意だが国語は得意でない児童「　　」人いることが分かります。

　

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☆中学受験 集合(重なり)の問題 2015年 横浜共立学園中学 難易度★★★☆☆

６年生72人にある日の朝食について調査をしたところ,卵を食べた児童の人数は全体の　　,

パンを食べた児童の人数は全体の　 でした。どちらも食べなかった児童は15人いました。

両方とも食べた児童の人数は「　　　　」人です。

４９

３４

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☆中学受験 集合(重なりの問題) 2015年 日本大学中学校 難易度★★★☆☆

ある中学校のクラスで,自宅から学校までの通学方法を調査しました。

自宅から学校までの間に自転車を利用する生徒の割合はクラスの で,バスを利用する生徒の

割合はクラスの でした。

また,自転車とバスの両方を利用する生徒の割合はクラスの で,どちらも利用しない生徒は

10人でした。このとき,このクラスの生徒の人数は「　　　　」人です。

１４

５８

１12

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☆中学受験 集合(重なり)の問題 2015年 かえつ有明中学校 難易度★★★☆☆

50人のうち,ドイツにもイタリアにも行ったことのない人が17人,両方に行ったことのある人は

９人です。ドイツだけ行ったことのある人が７の倍数で,イタリアだけ行ったことのある人が

５の倍数であるとき,ドイツに行ったことのある人は何人ですか。

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☆中学受験 集合(重なり)の問題 2013年 公文国際学園中等部 難易度★★★★☆

生徒数51人のクラスで,算数の問題A,B,Cを出題しました。Aが解けた人は36人,

Bが解けた人は28人,Cが解けた人は27人,AとBの両方が解けた人は18人,BとCの両方が

解けた人は13人,AとCの両方が解けた人は15人で,３問とも解けなかった人はいませんでした。

このとき,３問とも解けた人は「　　」人です。

９人

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☆中学受験 集合(重なり)の問題 2013年 浅野中学校 難易度★★★★★

50人の生徒に,問題A,問題B,問題Cの３題からなる算数のテストを実施しました。

問題Aを正解した生徒は27人,問題Bを正解した生徒は27人,問題Cを正解した生徒は28人,

問題Aだけを正解した生徒は４人,問題Bだけを正解した生徒は３人,問題Cだけを正解した

生徒は６人,問題Aと問題Bを正解して問題Cを正解できなかった生徒は10人でした。

このとき,３問すべてを正解した生徒の人数は何人ですか。

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☆中学受験 集合(重なり)の問題 2015年 星野学園中学校

解答解答全体40人

？人

３人

＝

＝

－

－＋

40人

犬または猫を飼ったことがある人(紫色部分)は

「犬を飼ったことがある人(12人)」＋「猫を飼ったことがある人(９人)」－

「犬と猫の両方を飼っている人(３人)」(図２参照)より,

12＋９－３＝18(人)

「40人のクラスで,犬や猫を飼っている人の人数を調べた

ところ,犬を飼っている人は12人,猫を飼っている人は

９人でした。また犬と猫の両方を飼っている人は３人

でした。」より,

ベン図は,図１のようになります。

犬も猫も飼っていない人は(青色部分)は.

「全体(40人)」－「犬または猫を飼ったことがある人(18人)」(図３参照)より,

40－18＝22(人) ……(答え)

図２

図３

図１

12人

12人

９人

９人

３人

18人

12人 ９人犬 猫

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１.ひもが動ける範囲問題２.推理問題３.植木算４.年齢算５.時計算６.過不足算７.覆面算８.集合(重なり)の問題編９.平均算10.売買損益算11.旅人算12.鶴亀(つるかめ)算13.場合の数14.日暦算15.和差算16.相当算17.食塩水問題

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