経済数学II

須賀晃一

2005年 10月

目 次

第 1章 積分 31.1 定積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 原始関数と微分積分学の基本定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3 不定積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.4 積分の基礎的公式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.5 部分積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.6 変数の変換 (置換積分) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.7 広義積分 (変格積分) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.8 積分記号下の微分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

第 2章 微分方程式 132.1 はじめに . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2 1階線形微分方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2.1 定数係数 1階線形微分方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.2.2 変数係数 1階線形微分方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.2.3 ベルヌーイ方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.3 非線形の微分方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.3.1 完全微分方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.3.2 積分因子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.3.3 変数分離形 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.3.4 定性解：位相図 (phase diagrams) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.4 新古典派経済成長モデル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.5 2階および高階の線形微分方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.5.1 補助関数 xc(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.5.2 dが定数のときの特殊積分 (xp または xe) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.5.3 dが tのある関数 g(t)のときの特殊積分 xp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

第 3章 差分方程式 35

3.1 はじめに . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.2 1階差分方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.2.1 線形差分方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.2.2 非線形差分方程式と位相図 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.3 2階線形差分方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.3.1 特殊解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.3.2 補助関数 xc(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.3.3 完全解と例 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.4 安定性条件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

1

3.4.1 1階差分方程式の安定性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.4.2 2階差分方程式の安定性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.5 経済学への応用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.5.1 サミュエルソンの景気循環論 (1939) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.5.2 ヒックスの景気循環論 (1950) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.6 まとめ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

第 4章 連立 1階微分方程式 494.1 はじめに . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494.2 定数係数の連立線形微分方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.2.1 ケース (i)：相異なる実固有値 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504.2.2 ケース (ii)：重複固有値 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534.2.3 ケース (iii)：複素固有値 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.3 連立微分方程式のジョルダン標準形 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584.3.1 ケース (i)：相異なる実固有値 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594.3.2 ケース (ii)：重複固有値 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604.3.3 ケース (iii)：複素固有値 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.4 連立微分方程式の安定性条件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624.4.1 漸近安定性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624.4.2 大域的安定性:リャプーノフの第 2の方法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4.5 定性的解法:位相図 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

第 5章 連立 1階差分方程式 70

5.1 1階線形連立差分方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 705.2 ジョルダン標準形 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

5.2.1 ケース (i): 相異なる実固有値 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 735.2.2 ケース (ii): 重複固有値 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 745.2.3 ケース (iii): 複素固有値 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

5.3 安定性条件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 765.3.1 局所的安定性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 765.3.2 大域的安定性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

5.4 定性的解法:位相図 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

第 6章 最適制御 81

6.1 はじめに . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 816.2 連続モデル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 816.3 離散モデル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 876.4 割引つき制御問題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 886.5 連続モデルの位相図 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

第 7章 ダイナミック・プログラミング 1027.1 はじめに . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1027.2 有限期間離散時間問題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1027.3 無限期間 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1057.4 確率的ダイナミック・プログラミング . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

2

第1章 積分

1.1 定積分

aと bの間のすべての xについて，b ≥ aおよび f(x) ≥ 0ならば，記号∫ b

af(x)dxは f(x)のグラ

フの下側で，x = aと x = bのあいだの x軸の上側の面積を表わす．この記号は定積分と呼ばれる．

f(x) < 0ならば，負の面積として計算する．他方 b < aならば，∫ b

af(x)dx = − ∫ a

bf(x)dxと定義

する．

f(x)

a b x

図 1.1: 定積分

正確な面積を決定するためには，つぎのように進める．たとえば，∫ 1

0 f(x)dxを評価するには，0と 1の間の x軸を長さ 1/nの n個の区間に，0から 1/nに，1/nから 2/nに，2/nから 3/nに，· · ·，および (n − 1)/nから n/n = 1に分割する．(i − 1)/nと i/n間の i番目の区間を考える．この区間

のすべての xについて，[(i − 1)/n]2 < x2 < [i/n]2である．(i − 1)/nと i/nの間の f(x) = x2 のグ

ラフの下の面積は [(i − 1)/n]2(1/n)より大きく，[i/n]2(1/n)より小さい．これらは幅 1/n，それぞ

れ高さ [(i− 1)/n]2および [i/n]2の長方形の面積である．このことは各 i番目の区間，i = 1, 2, · · · , n

について真であるから，総面積∫ b

af(x)dxは [0/n]2(1/n) + [1/n]2(1/n) + · · ·+ [(n− 1)/n]2(1/n)と

[1/n]2(1/n) + [2/n]2(1/n) + · · · + [n/n]2(1/n)の間にある．公式 12 + 22 + 32 + · · · + n2 = n(n +1)(2n+1)/6を使って，最初の和は (2n2−3n+1)/6n2であり，他方，2番目の和は (2n2+3n+1)/6n2

である．これはすべての nについて真であるから，極限をとっても成立する．すなわち，

13

= limn→∞

2n2 − 3n + 16n2

≤∫ 1

0

x2dx ≤ limn→∞

2n2 + 3n + 16n2

=13

したがって，∫ 1

0 x2dx = 13 である．

1.2 原始関数と微分積分学の基本定理

上の手順は，簡単な例でもかなり複雑であった．これに替わる手順は積分される関数の原始関数を

もとめることに関するものである．

3

定義 1.1 関数 F は，すべての実行可能な領域における xについて F ′(x) = f(x)であるならば，関数 f の原始関数であるという．

F (x)が f(x)の原始関数ならば，任意の定数 cについて，F (x) + cも原始関数であることに注意

しよう．関数 f はどのような場合に原始関数をもつであろうか．微分積分学の基本定理によれば，

f が連続である場合，∫ x

af(t)dt は f の原始関数である．これを見るために，f は連続であるとし，

F (x) =∫ x

a f(t)dtとおく．このとき，F (x + h) − F (x)は xと x + hの間の f の下側の面積である．

小さな方について，面積 F (x + h) − F (x)は，幅 h，高さ f(x)の長方形の面積，すなわち，hf(x)にほぼ等しい．したがって，

F ′(x) = limh→0

F (x + h) − F (x)h

= f(x) (1.1)

であり，F は f の原始関数である．この重要な結果はつぎのように要約される．

定理 1.1 f が xにおいて連続であるならば，d

(∫ x

a

f(t)dt

)/dx = f(x)である．

例 1.1 F (x) =∫ x

2 (ln t)et2dtならば，F ′(x) = (lnx)ex2；すなわち t = xで被積分関数 f(t)を評価し

たものが，F ′(x)である．

例 1.2 F (x) =∫ a

x et2dtならば，∫ a

x et2dt = − ∫ x

a et2dt =∫ x

a −et2dtであることを使って，F ′(x) =−ex2

をもとめることができる．

微分積分学の基本定理の後半部分は，積分 (およびそれらが表わす面積)を評価する方法を与えてくれる．F (x)およびG(x)の両方が関数 fの原始関数であるならば，F ′(x) ≡ G′(x) ≡ f(x)である．よって，F およびGはある定数だけ異なっている．すなわち，G(x) ≡ F (x)+cである．F (x) =

∫ x

a f(t)dt

および a < bとする．このとき，F (a) = 0(面積は幅ゼロの領域である)，および F (b) =∫ b

af(t)dtで

ある．原始関数 G(x) ≡ F (x) + cに関して，

∫ b

a

f(t)dt = F (b) − F (a)

= (F (b) + c) − (F (a) + c) = G(b) − G(a)

この重要な結果はつぎのように要約される．

定理 1.2 F が f の任意の原始関数であるならば，∫ b

af(t)dt = F (b) − F (a)である．

これは，積分を評価する方法を与える．F (b) − F (a)は，しばしば，記号 [F (x)]ba で表わされる．

例 1.3 x3/3は x2 の原始関数である．なぜなら，d

dx

(x3

3

)= x2 であるから．よって，

∫ 1

0 t2dt =

(13/3) − (03/3) = 1/3である．

例 1.4 ln(x+1)は 1/(x+1)の原始関数である．なぜなら，d

dxln(x + 1) =

1x + 1

であるから．よって，

∫ 2

1

dt

t + 1= [ln(x + 1)]21 = ln(3) − ln(2) = ln

32

4

1.3 不定積分

記号∫

f(x)dx (不定積分と呼ばれる)は，普通，f の任意の原始関数を表わすのに使われる．これ

は混乱を招くことがある．なぜならば，原始関数 F (x)も xの関数として書き表わされるからである．

例 1.5∫

x2dx = (x3/3) + c

不定積分は f の任意の原始関数を表わす．f のすべての原始関数は定数だけしか異ならないので，

積分定数 cが含まれている．したがって，ひとつの原始関数，F (x)がわかれば，他のすべての原始関数は，ある定数 cについて，G(x) = F (x) + cの形をとる．この記号において混乱が生じるのは，

xが∫

f(x)dxにおけるダミー変数としてのみでなく，F (x)における実際の変数としても使われるからである．f の原始関数のひとつは F (x) =

∫ x

af(t)dtであったことを思いだそう．変数 xは積分さ

れる変数として表われるのではなく，積分される変数は tであることに注意しよう．この tはダミー

変数である．f(z)dzまたは f(s)dsあるいは x以外の任意の変数をダミー変数として使うこともでき

たであろう．xは積分の上限 (上端)として特別の役割を果たすので，f(t)dt に xを使うことはでき

ない．それにもかかわらず，通常 xを∫

f(x)dxにおけるダミー変数としても原始関数 F (x)における変数としても用いる．

例 1.6∫

2xdx = x2 + C

1.4 積分の基礎的公式

定義とともに，面積についての簡単な観察から定積分についてのいくつかの基礎的な事実が得ら

れる． ∫ a

a

f(t)dt = 0 (1.2)

∫ b

a

f(t)dt = −∫ a

b

f(t)dt (1.3)

∫ b

a

f(t)dt +∫ c

b

f(t)dt =∫ c

a

f(t)dt (1.4)

∫ b

a

−f(t)dt = −∫ b

a

f(t)dt (1.5)

∫ b

a

kf(t)dt = k

∫ b

a

f(t)dt (1.6)

∫ b

a

[f(t) + g(t)]dt =∫ b

a

f(t)dt +∫ b

a

g(t)dt (1.7)

原始関数をもとめるための基礎的な公式は，微分の公式から導かれる．積分は微分とは逆の方向の

演算であることを思い起こすことが重要である．f の微分はどのようなものであるかではなく，微分

すると f となる関数はどのようなものか，をわれわれは尋ねている．また，結果をチェックする簡単

な方法が利用可能である：F (x)が f(x)の原始関数であるならば，F の導関数は f に等しくなけれ

ばならない，すなわち，F ′(x) = f(x)である．不定積分の基礎的な性質はつぎのようである．∫

exdx = ex + c (1.8)

5

∫eaxdx =

eax

a+ c (1.9)

∫1x

dx = ln |x| + c (1.10)

n = −1に関して， ∫xndx =

xn+1

n + 1+ c (1.11)

(∫

1dx = x + cは n = 0の場合である)∫[f(x) + g(x)]dx =

∫f(x)dx +

∫g(x)dx (1.12)

∫kf(x)dx = k

∫f(x)dx (1.13)

∫0dx = c (1.14)

1.5 部分積分

微分に関する積の公式により，

d

dx[u(x)v(x)] = u′(x)v(x) + u(x)v′(x)

両辺を積分して， ∫ b

a

[u′(x)v(x) + u(x)v′(x)]dx =∫ b

a

d

dx[u(x)v(x)]dx

左辺は∫ b

au′(x)v(x)dx +

∫ b

au(x)v′(x)dxに分解できる．右辺の原始関数は，u(x)v(x)である．した

がって， ∫ b

a

d

dx[u(x)v(x)]dx = [u(x)v(x)]ba

これらの項を並べ変えて，次の公式を得る．

部分積分公式： ∫ b

a

u′(x)v(x)dx = [u(x)v(x)]ba −∫ b

a

u(x)v′(x)dx (1.15)

この公式は複雑な積分問題を簡単化するのに使うことができる．難しいのは，何を u′(x)とし何をv(x)とするかを決定することにある．

例 1.7∫ 1

0xexdxを評価するために，u′(x) = exおよび v(x) = xとする．このとき，u(x) = ex(ここ

で u(x) = ex +cを使うこともできるが，定数は最終的に相殺されてしまうであろう)および v′(x) = 1を使う．この分割が良い選択かどうかを決定するために，

∫ 1

0 u(x)v′(x)dxがもとの問題より簡単かど

うかをチェックすればよい．ここで，∫ 1

0u(x)v′(x)dx =

∫ 1

0exdxであり，このほうが簡単である．そ

れに対して，u′(x) = xおよび v(x) = exとおくと，u(x) = x2/2および v′(x) = exとなる．よって，∫ 1

0u(x)v′(x)dx =

∫ 1

0(x2/2)exdxである．これはもとの問題より複雑である．

部分積分についての公式から，∫ 1

0

xexdx = [xex]10 −∫ 1

0

exdx = (1 · e1 − 0 · e0) − [ex]10

= e − (e1 − e0) = e0 = 1

6

例 1.8∫ e

1ln xdxを評価するために，u′(x) = 1および v(x) = lnxとする．よって，u(x) = xおよび

v′(x) = 1/xである．このとき，∫ e

1 u(x)v′(x)dx =∫ e

1 (x/x)dxである．これはもとの問題より簡単で

ある．部分積分についての公式により，∫ e

1

ln xdx = [x ln x]e1 −∫ e

1

dx = (e ln e − ln 1) − [x]e1

= (e − 0) − (e − 1) = 1

部分積分についての公式は，また，原始関数をもとめるためにも使うことができる．

例 1.9∫

xexdxをもとめるために，u′(x) = ex および v(x) = xとする．よって，u(x) = ex および

v′(x) = 1である．このとき，∫

xexdx = xex − ∫ exdx = xex − ex + cである．これをチェックする

ために，xex − ex + cを微分して，ex + xex − ex = xex を得る．したがって，xex − exは xex の原

始関数である．

例 1.10∫

ln xdxをもとめるために，u′(x) = 1および v(x) = lnxとする．よって，u(x) = xおよ

び v′(x) = 1/xである．このとき，∫

ln xdx = x ln x− ∫ dx = x ln x− x + cである．これをチェック

するために，x ln x − x + cを微分して，ln x + x(1/x)− 1 = lnxを得る．したがって，x ln x− xは

ln xの原始関数である．

1.6 変数の変換 (置換積分)

微分に関するチェイン・ルール (合成関数の微分の公式)により，

d

dy(h(g(y))) = h′(g(y))g′(y)

両辺を積分して， ∫ B

A

d

dy(h(g(y)))dy =

∫ B

A

h′((g(y))g′(y)dy

左辺の原始関数は h(g(y))である．よって，∫ B

A

d

dy(h(g(y)))dy = [h(g(y))]BA

定積分の性質により，[h(g(y))]BA は x = g(A)と x = g(B)の間の h′(x)のグラフの下側の面積である．

a = g(A)および b = g(B)

とおくならば，同一の面積についてのもうひとつの表記は∫ b

ah′(x)dxである．したがって，

∫ b

a

h′(x)dx =∫ B

A

d

dy(h(g(y)))dy =

∫ B

A

h′(g(y))g′(y)dy (1.16)

関数 f を導関数 h′とすると，次の公式を導いたことになる．変数変換公式：∫ b

a

f(x)dx =∫ B

A

f(g(y))g′(y)dy,ここで a = g(A)および b = g(B) (1.17)

この公式はときに，複雑な積分問題を簡単化するために使うことができる．難しいのは，もとの関

数をどのように分割するかを決定すること，および (a, b)と (A, B)の関係を辿ることである．

7

例 1.11∫ 4

1 (e√

x/√

x)dxを評価するために，f(x) = e√

x/√

xおよび x = g(y) = y2とする．Aおよ

び Bをもとめるために，g(A) = xを解いて，A = 1を得，g(B) = 4を解いて，B = 2を得る．gの

導関数は g′(y) = 2yである．変数変換公式により，

∫ 4

1

e√

x√x

dx =∫ 2

1

e√

y2√y2

2ydy =∫ 2

1

ey

y2ydy =

∫ 2

1

2eydy

= [2ey]21 = 2e2 − 2e

例 1.12 被積分関数は，変数変換公式の右辺のように見えることがある．∫ 2

1 2xex2+1dxを評価する

ために，g(x) = x2 + 1および f(y) = ey について，g′(x) = 2xであることに注意しよう．よって，∫ 2

1 2xex2+1dx =∫ 2

1 f(g(x))g′(x)dxとなる．a = g(A) = g(1) = 2および b = g(B) = g(2) = 5について，変数変換公式により，

∫ 5

2eydy =

∫ 2

12xex2+1dxである．左辺は [ey]52 = e5 − e2 に等しい．し

たがって，それはもとの積分の値である．

これら 2つの例では，逆の方向に変数変換公式を使った．公式が使われる方向は注意して決定しなければならない．とくに，積分の初めの上下限が aと b(したがって AとBは a = g(A)と b = g(B)の解として求められる)としてか，または Aと B(したがって a = g(A)と b = g(B))として使われるべきかどうかを知っていなければならない．

例 1.13∫ 3

0 x2√

x + 1dxを評価するために，x = g(y) = y2 − 1および f(x) = x2√

x + 1とする．このアプローチについて，積分のもとの下限は aと bに対応する．よって，g(A) = 0を解いて，A = 1を得，g(B) = 3を解いて，B = 2を得る．g′(y) = 2yであるから，変数変換公式により，

∫ 3

0

x2√

x + 1dx =∫ 2

1

(y2 − 1)2√

y2 − 1 + 12ydy

=∫ 2

1

(y4 − 2y2 + 1)y2ydy =∫ 2

1

(2y6 − 4y4 + 2y2)dy

=[2y7

7− 4y5

5+

2y3

3

]21

=(

2567

− 1285

+163

)−(

27− 4

5+

23

)

=2547

− 1245

+143

平方根を消去し，多項式だけを残して積分するように，変数の変換，x = y2 − 1が選択されたことに注意しよう．

1.7 広義積分 (変格積分)

広義積分は，∫∞

a f(t)dt，∫ b

−∞ f(t)dt，∫∞−∞ f(t)dtのように積分の上下限として，または f(t) = 1/t2

のように被積分関数に「無限」をともなう積分である．f(t) = 1/t2 は，t = 0で定義されないので∫ 1

−1(1/t2)dtは「無限」を含む．これらの積分については，「無限」を直接に使うことを避け，極限を

8

とる操作によって評価しなければならない．広義積分の値はつぎのように定義される：

極限が存在する場合，∫ ∞

a

f(t)dt = limb→∞

∫ b

a

f(t)dt (1.18)

極限が存在する場合，∫ b

−∞f(t)dt = lim

a→−∞

∫ b

a

f(t)dt (1.19)

極限が存在する場合，∫ ∞

−∞f(t)dt = lim

a→−∞b→∞

∫ b

a

f(t)dt (1.20)

f(t)は，たとえば，t = 1で定義されないならば，記号B → 1−はBが下から 1に近づくこと，および A → 1+ は Aが上から 1に近づくことを意味するものとする．このとき，a < 1 < bの場合，両

極限が存在するならば， ∫ b

a

f(t)dt = limB→1−

∫ B

a

f(t)dt + limA→1+

∫ b

A

f(t)dt

例 1.14 ∫ ∞

0

e−rtdt = limb→∞

∫ b

0

e−rtdt

= limb→∞

[−1

re−rt

]b

0

= limb→∞

(−1

re−rb +

1r

)=

1r

例 1.15 ∫ 4

0

(1/√

t)dt = lima→0+

∫ 4

a

(1/√

t)dt

= lima→0+

[2√

t]4

a

= lima→0+

(2√

4 − 2√

a)

= 4

例 1.16 ∫ 2

1

(1/(t − 1)dt = lima→1+

∫ 2

a

[1/(t − 1)]dt

= lima→1+

[ln(t − 1)]2a

= lima→1+

(ln 1 − ln(a − 1))

= lima→1+

(− ln(a − 1))

これは発散する (すなわち，その値は任意に大きな負の数になる)．有限な極限は存在しない．この積分は発散するという．

例 1.17 ∫ ∞

1

(1/t2)dt = limb→∞

∫ b

1

(1/t2)dt

= limb→∞

[−1

t

]b

1

= limb→∞

(−1

b− (−1)

)= 1

9

例 1.18 ∫ 1

−1

(1/t)dt = limb→0−

∫ b

−1

(1/t)dt + lima→0+

∫ 1

a

(1/t)dt

= limb→0−

[ln |t|]b−1 + lima→0+

[ln t]1a

= limb→0−

(ln |b| − ln 1) + lima→0+

(ln 1 − ln a)

各極限は発散する．よって，∫ 1

−1(1/t)dtは発散する．「t < 0についての負の値が，ちょうど t > 0に

ついての正の値とつりあう」とは言えないことに注意しよう．任意の極限が発散するならば，その積

分は発散する．これはまた，積分が広義積分かどうかをみるために，被積分関数を調べる重要性を例

証する． ∫ 1

−1

(1/t)dt = [ln |t|]1−1 = ln 1 − ln 1 = 0

であるかのようにあつかうならば，それは誤っている．

1.8 積分記号下の微分

微分積分学の基本定理の前半部分によれば，f が xで連続ならば，

d

dx

∫ x

a

f(t)dt = f(x)

積分の上限が xではなく，連続微分関数 b(x)ならば，

d

dx

∫ b(x)

a

f(t)dt

はどのようなものであろうか．

これをもとめるために，F (x) =∫ b(x)

a f(t)dtとおこう．このとき，F (x + h)−F (x)は f の下側の

b(x)と b(x + h)の間の面積である．しかし，b(x + h)は近似的には b(x) + hb′(x)である．それゆえ，小さな hに関して，面積 F (x + h) − F (x)は，幅 hb′(x)および高さ f(b(x))の長方形の面積，すなわち，hb′(x)f(b(x))にほぼ等しい．したがって，

F ′(x) = limh→0

F (x + h) − F (x)h

= b′(x)f(b(x)) (1.21)

積分の下限が xの連続微分関数である場合はどうであろうか．

F (x) =∫ b

a(x)

f(t)dt = f ならば，F (x) = −∫ a(x)

b

f(t)dt (1.22)

よって，F ′(x) = −a′(x)f(a(x))である．積分の上限と下限の両方が xの関数ならば，

F (x) =∫ b(x)

a(x)

f(t)dt =∫ c

a(x)

f(t)dt +∫ b(x)

c

f(t)dt

したがって，

F ′(x) = −a′(x)f(a(x)) + b′(x)f(b(x)) (1.23)

被積分関数が tだけでなく xの関数ならばどうか．F (x) =∫ b

af(t, x)dtおよび f と ∂f/∂xが連続な

らば，

F (x + h) =∫ b

a

f(t, x + h)dt ≈∫ b

a

[f(t, x) + h

∂f(t, x)∂x

]dt

10

よって，

F (x + h) − F (x) ≈∫ b

a

h∂f(t, x)

∂xdt = h

∫ b

a

∂f(t, x)∂x

dt

したがって，

F ′(x) = limh→0

F (x + h) − F (x)h

=∫ b

a

∂f(t, x)∂x

dt (1.24)

3つの可能性 (被積分関数が xの関数，積分の上限または下限が xの関数)のうちの任意の組み含わせが成立するならば，それぞれの効果を単に足し含わせる．

例 1.19 f(t, x) = t + x，a(x) = x，b(x) = 1 + 2xおよび F (x) =∫ b(x)

a(x)f(t, x)dtとする．このとき，

F ′(0) = −a′(0)f(a(0), 0) + b′(0)f(b(0), 0) +∫ b(0)

a(0)

∂f(t, 0)∂x

dt

= −(1)f(0, 0) + 2f(1, 0) +∫ 1

0

1dt = 0 + 2 + 1 = 3

である．

練習問題

1. 以下の定積分を求めよ．

(a)∫ 6

0

5xdx

(c)∫ 3

1

(x3 + x + 6)dx

(b)∫ 64

1

x−2/3dx

(d)∫ 3

0

4e2xdx

2. 置換積分を用いて次の定積分を求めよ．

(a)∫ 3

0

8x(2x2 + 3)dx

(c)∫ 3

0

6x

x2 + 1dx

(b)∫ 2

0

3x2

(x3 + 1)2dx

(d)∫ 1

0

3x2e2x3+1dx

3. 部分積分を用いて次の定積分を求めよ．

(a)∫ 5

2

3x

(x + 1)2dx (b)

∫ 3

1

5xex+2dx

4. 次の式を示せ．

(a)∫ 4

−4

(8x3 + 9x2)dx =∫ 0

−4

(8x3 + 9x2)dx +∫ 4

0

(8x3 + 9x2)dx

(b)∫ 3

0

6x

x2 + 1dx =

∫ 1

0

6x

x2 + 1dx +

∫ 2

1

6x

x2 + 1dx +

∫ 3

2

6x

x2 + 1dx

(c)∫ 3

1

5xex+2dx =∫ 2

1

5xex+2dx +∫ 3

2

5xex+2dx

5. 次の広義積分が収束するかどうかを確かめよ．

(a)∫ ∞

1

2x

(x2 + 1)2dx

(c)∫ 0

−∞2xexdx

(b)∫ ∞

1

dx

x + 7

(d)∫ 6

0

dx

x − 6

11

6. 次の不定積分を求めよ．

(a)∫

3.5xdx

(c)∫

dx

(e)∫

4x3dx

(b)∫

−12dx

(d)∫

x5dx

(f)∫

x−1/5dx

7. 次の不定積分を求めよ．

(a)∫

dx

x

(c)∫

13x

dx

(e)∫

dx√x

(b)∫

5x−1dx

(d)∫ √

xdx

(f)∫

(5x3 + 2x2 + 3x)dx

8. 次の不定積分を求めよ．

(a)∫

24xdx

(c)∫

e5xdx

(e)∫

(6e3x − 8e−2x)dx

(b)∫

8xdx

(d)∫

16e−4xdx

9. 置換積分で次の積分を求めよ．

(a)∫

10x(x2 + 3)4dx

(c)∫

6x2 + 4x + 10(x3 + x2 + 5x)3

dx

(e)∫

x3ex4dx

(b)∫

(6x − 11)−5dx

(d)∫

dx

9x − 5

(f)∫

5xe5x2+3dx

10. 部分積分で次の積分を求めよ．

(a)∫

15x(x + 4)3/2dx

(c)∫

16xe−(x+9)dx

(b)∫

5x

(x − 1)2dx

12

第2章 微分方程式

2.1 はじめに

まず，いくつかの基本概念から始める．

常微分方程式とは導関数を含む方程式のことである．たとえば，

φ

(x,

dx

dt,d2x

dt2, · · · ,

dnx

dtn, t

)= 0 (2.1)

のように表せる．これらの導関数が偏導関数 (たとえば，∂x∂t , ∂x

∂s など)のときは，偏微分方程式と呼ばれる．この講義では常微分方程式のみを扱う．

常微分方程式の階数 (order)は，そこに含まれる最高階の導関数により与えられる．たとえば (2.1)は n階の常微分方程式である．常微分方程式の次数 (degree)は含まれる導関数の最高べき指数によ

り与えられる．たとえば，x ≡ dx/dt，x ≡ d2x/dt2などと書くことにすれば，

x + ax3 + bx + c = 0 (2.2)

は 2階で 3次の常微分方程式である．常微分方程式は従属変数とその導関数に関し 1次のとき線形であるといわれる．1例を挙げれば

a0(t)dnx

dtn+ a1(t)

dn−1x

dtn−1+ · · · + an−1(t)x + an(t)x = 0 (2.3)

である．また，(1次より)高次の項を含む常微分方程式は非線形常微分方程式と呼ばれる．たとえば次のようなものである．

x + ax + bx2 = 0

x + ax3 + bxt = 0

常微分方程式の解とは導関数を含まない変数の間の関係式でその常微分方程式をみたすもののこと

である．その解はまた常微分方程式の積分曲線とも呼ばれる．たとえば，x(0) = x0に対する x = ax

の解は x(t) = ceat = x0eat である．ここに cは任意の定数で初期条件によりその値が決定される．

ここでは c = x0である．なぜなら t = 0のとき x(t) = ce0 = c = x0だから．初期条件の数はその常

微分方程式の次数に等しくなければならないことに注意しよう．それらの初期条件が与えられれば，

ある特定の点を通る解曲線は解の族のなかでただ 1つ存在する．これを定理の形で述べておく．

定理 2.1 x = f(x, t)は定義域 Dに属する xと区間 I に属する tに関し，つまり x ∈ Dと t ∈ I に

関し，連続で ∂f/∂xも連続であるとしよう．このとき x0 ∈ D，t0 ∈ I であれば，(x0, t0)のある近傍に初期条件 x∗(t0) = x0を満たす解 x∗(t)が一意に存在する．

2.2 1階線形微分方程式

1階線形微分方程式は次の形をしている．

a0(t)x + a1(t)x = G(t) (2.4)

13

a0(t) = 0であれば次のように書くのが便利である．

x + a(t)x = g(t) (2.5)

ここに a(t) ≡ a1(t)/a0(t)，g(t) ≡ G(t)/a0(t)である．(2.4) あるいは (2.5) の右辺が 0，すなわち x + a(t)x = 0 のとき同次線形微分方程式と呼ばれ，

g(t) = 0のときは非同次線形微分方程式と呼ばれる．a(t) = a，ただし aは定数の場合は定数係数線

形微分方程式と呼ばれる．一般に a(t)は時間 tの関数である場合が多いがそのときには変数係数微

分方程式という．

2.2.1 定数係数 1階線形微分方程式

同次の場合：x + ax = 0 と書ける．このとき解は次の定理で与えられる．

定理 2.2x + ax = 0, x(0) = x0 (2.6)

の解は次のようになる．

x(t) = x0e−at (2.7)

証明．(2.6)を dx/x = −adtと書きかえ両辺積分すれば ln x = −at+ cがえられるから elnx ≡ x(t) =e−atec となる．ここで cおよび ec ≡ Aは任意定数で初期条件 x0 によって決められる．すなわち，

x0 = x(0) = e0ec = ec = Aである．

a = 0のときは直接積分して x(t) = cを得るが，定数 cは与えられた初期条件 x(0) = x0 から決

まり x0 = x(0) = c．よって x(t) = x0 となる．すなわち x(t)は時間を通じてその初期値 x0 にとど

まる．

例 2.1 x + 0.5x = 0, x0 = 2の解は (2.7)より x(t) = 2e−0.5tである．

非同次の場合：典型的な形式は次の通り．

x + ax = b, x(0) = x0, b = 0 (2.8)

定理 2.3 (2.8)の解は

a = 0のとき，x(t) = Ae−at +b

a(2.9)

a = 0のとき，x(t) = bt + x0 (2.10)

である．ここで Aは任意定数で初期条件によって決定される．したがって，A = x0 − b/aである．

証明．y ≡ x − b/a (a = 0)，すなわち x ≡ y + b/aと定義することにより (2.8)は次のように書き直せる．

y + a(y + b/a) = b

y + ay = 0

この解は定理 2.2より y(t) = y0e−atであるからこれより

x(t) = (x0 − b/a)e−at + b/a (a = 0)

14

を得る．a = 0のときは x = b であるから直接積分することで次を得る．

x(t) = bt + c = bt + x0

ここで cは積分定数であり，今の場合 x0 に等しい．

注 2.1 解 (2.9)は xc ≡ Ae−atと xe ≡ xp = b/aの 2つの部分からなる．前者は (2.8)の同次形，すなわち x+ ax = 0の解で補助関数と呼ばれる．後者は (2.8)の均衡値または特殊積分と呼ばれ，(2.8)で x = 0とおくことにより得られる．均衡値 xeはまた不動点とも呼ばれる．不動点は x = 0を満たす x∗(t)と定義される．

注 2.2 解 (2.9)において，xeないし xpは x(t)の均衡値をあらわし，xc(t) = Ae−at ≡ (x0 −xe)e−at

はその均衡水準 xe = b/aからの軌道 x(t)の時間的偏差を表す．この偏差は a < 0のとき時間を通じて aの比率で指数的に増大する一方，a > 0のときは 0に収束する．すなわち

limt→∞xc(t) = lim

t→∞(x0 − b/a)e−at = ∞ a < 0のとき

= 0 a > 0のとき

前者の場合 (a < 0)は limt→∞ x(t) = ∞ であるため不安定であるといわれ，後者の場合 (a > 0)はlimt→∞ x(t) = b/a：定数であるため (漸近)安定であるといわれる．図 2.1と図 2.2から明らかな通り，均衡水準 b/aからの偏差 xc(t) = (x0 −xe)e−atは，a > 0のとき時間を通じて減少するが，a < 0のとき時間と共に増加する．

x(t)

xe

x0

x0

t

b

a

a < 0

a < 0

図 2.1: 不安定

x(t)

xe

x0

x0

t

b

a

a > 0

a > 0

図 2.2: 安定

注 2.3 注意 2.2より (2.8)はその均衡値をもとめることで直接解くことができる．まず均衡値は x = 0より ax = b だから xp = b/a = xe となる．次に補助関数に関しては，定理 2.2(または 2.3) よりxc(t) = Aeλt という形をしていることが保証されているので，未定の定数 λに対しその形式になる

ことを仮定する．すると x = λAeλt であるから (2.8)の左辺は次のように書ける．

x + ax ≡ Aeλt(λ + a) = 0 (2.11)

Aeλt = 0であるから λ = −aであり，要求どおり xc(t) = Ae−atを得る．したがって完全な解は

x(t) = xc(t) + xe = Ae−at +b

a(2.12)

15

となるが，これは (2.9)に他ならない．Aは初期条件 x(0) = x0から与えられる．すなわち t = 0のとき x(0) = x0 = Ae0 + b/a = A + b/aであるので A = x0 − xeを得る．これは t = 0における軌道x(t)の均衡値からの偏差を表す．

例 2.2 x + 2x = 10，x0 = 8の解は定理 2.3で示されるように

x(t) = 10/2 + (8 − 10/2)e−2t = 5 + 3e−2t

= xp + xc(t)

である．明かに limt→∞ x(t) = 5+0である．つまりその均衡水準 b/a = 5からの初期の偏差x0−xe = 3は時間と共に減少し x(t)はその均衡水準 xe = 5に収束する．

2.2.2 変数係数 1階線形微分方程式

この場合の典型的な方程式の形は次の通り．

x + a(t)x = g(t) (2.13)

ここで a(t)は前節と異なり，tのある関数となっており，変数係数である．始めに g(t) = 0の同次形の場合を扱い，続いて g(t) = 0の非同次形の場合を扱う．

定理 2.4 [(同次形の場合)]x + a(t)x = 0, x(0) = x0 (2.14)

の解は，

x(t) = Ae−R

a(t)dt = A exp(−∫

a(t)dt

)となる．ここで，Aは任意定数で初期条件 x(0) = x0 により決定される．

証明．x + a(t)x = 0 を dx/x = −a(t)dt と書き換えて両辺積分すれば次が得られる．ln x + c =− ∫ a(t)dt. これより

elnx ≡ x(t) = e−ce−R

a(t)dt ≡ Ae−R

a(t)dt

例 2.3 x + 2tx = 0．この場合 a(t) ≡ 2t であるから e−R

a(t)dt = e−R

2tdt = e−t2 となり解は

x(t) = Ae−R

2tdt = Ae−t2 である．

定理 2.5 [(非同次形の場合)]x + a(t)x = g(t) (2.15)

の解は次のようになる．

x(t) = e−R

a(t)dt

[A +

∫g(t)e

Ra(t)dtdt

](2.16)

証明．まずd

dt(xe

Ra(t)dt) = e

Ra(t)dt [x + a(t)x]であってこの右辺は (2.15)の同次形に e

Ra(t)dtを乗

じたものであることに注意しよう．さて (2.15)の両辺に積分因子 (integrating factor) と呼ばれるe

Ra(t)dt を乗ずれば e

Ra(t)dt(x + a(t)x) = e

Ra(t)dtg(t) となるのでこの両辺を積分すれば次が得ら

れる．

xeR

a(t)dt =∫

eR

a(t)dtg(t)dt + A (2.17)

x(t) = e−R

a(t)dt

[A +

∫g(t)e

Ra(t)dtdt

]ここに Aは任意定数で初期条件により決定される．上で得た解は (2.16)に他ならない．

16

例 2.4 x + 2x/t = 5t2．

この例では a(t) ≡ 2/tだから積分因子は eR

a(t)dt = e2R 1

t dt = eln t2 = t2である．よって (2.17)から xt2 =

∫5t2t2dt + c = t5 + c，つまり解は xt2 = t5 + cである．

例 2.5 x + 1t x = t.

a(t) = 1t であるから積分因子は e

R 1t dt = eln t = tとなり (2.17)より次が得られる．

x(t)eln t =∫

eln ttdt =∫

t2dt

x(t) = e− ln t

∫t2dt

= e− ln t

(t3

3+ c

)

=1t

(t3

3+ c

)=

t2

3+

c

t

例 2.6 x + ax = b (定数)．このときの積分因子は e

Radt = eatであるから (2.16)を適用して次を得る．

x(t) = e−at

[∫beatd + A

]

= Ae−at +b

a

これは (2.9)に等しい．定数係数の場合は変数係数微分方程式の特殊ケースであるから本節で論じた積分因子を使っても解くことができるのである．

2.2.3 ベルヌーイ方程式

微分方程式

x + a(t)x = g(t)xn (n = 0, 1) (2.18)

は，ベルヌーイ方程式と呼ばれる．この方程式は xn があるため非線形だが，両辺を xn で割り，新

たな変数 y ≡ x1−n を定義することで線形に変換することができるので，これまでの方法で解ける．

実際，上式は x−nx + a(t)x1−n = g(t)であるから新変数 yを使えば 11−n y + a(t)y = g(y)より

y + (1 − n)a(t)y = (1 − n)g(t) (2.19)

となり，これは正に (2.13)の変数係数線形微分方程式であるから，既に述べた方法により解くことができる．

a(t) = aかつ g(t) = b (a, b共に定数)という定数係数の場合は，y ≡ x1−nの変数変換により (2.18)は (2.8)で与えた y + αy = β の形になるから，定理 2.3の方法で解くことができる．

例 2.7 x − xt = −t2x3．

(2.19)の形になるようにまず両辺に −2x−3 ≡ (l − n)x−n を乗じ −2x−3 dx

dt+

2tx−2 = 2t2 を得た

のち y ≡ x−2 と置き換えればdy

dt+

2ty = 2t2となる．

17

2.3 非線形の微分方程式

次に，非線形の微分方程式の代表的な解法について述べる．

2.3.1 完全微分方程式

微分方程式

M(x, t)dx + N(x, t)dt = 0 (2.20)

を考える．これはdx

dt= −N(x, t)

M(x, t)

と同じである．x = f(x, t)は dx − f(x, t)dt = 0のように書きなおせる．(2.20)の左辺M(x, t)dx + N(x, t)dtが x, tのある関数の全微分に等しいとき，すなわち，

dF (x, t) = M(x, t)dx + N(x, t)dt (2.21)

を満たす関数 F (x, t)が存在するとき，(2.20)は完全微分方程式という．全微分の定義より，

∂F

∂x= M(x, t),

∂F

∂t= N(x, t) (2.22)

このような関数 F (x, t)に対して，

F (x, t) = C (C は任意定数) (2.23)

は (2.20)の一般解である．なぜなら，(2.23)の両辺を tで微分すれば，

∂F

∂x

dx

dt+

∂F

∂t= 0

となるので，(2.22)より

M(x, t)dx

dt+ N(x, t) = 0,

すなわち (2.20)を得るからである．次に，(2.20)が完全微分方程式であるための条件を求める．M(x, t), N(x, t)が x, tに関して 2回

連続微分可能とすれば，∂2F

∂t∂x=

∂M

∂t,

∂2F

∂x∂t=

∂N

∂x

であるから

∂M

∂t=

∂N

∂x(2.24)

となる．ゆえに，(2.24)は (2.20)が完全微分方程式であるための必要条件である．逆に，(2.24)は(2.20)が完全微分方程式であるための十分条件であることも示せる．

F (x, t) =∫

N(x, t)dt

とおけば，∂F

∂t= N,

∂2F

∂t∂x=

∂2F

∂x∂t=

∂N

∂x=

∂M

∂t

18

であるから，∂

∂t

(∂F

∂x− M

)= 0

を得る．したがって，∂F

∂x− M は xだけの関数である．これを g(x)とおけば，

M =∂F

∂x− g(x)

よって

M(x, t)dx + N(x, t)dt =∂F

∂tdt +

(∂F

∂x− g(x)

)dx = d

(F −

∫g(x)dx

)

この式はM(x, t)dx + N(x, t)dtが

F (x, t) −∫

g(x)dx

=∫

N(x, t)dt +∫

M(x, t) − ∂

∂x

(∫N(x, t)dt

)dx

の全微分に等しいことを示している．ゆえに，(2.20)は完全微分方程式である．

例 2.8 微分方程式

(2xt + 3x2)dx + (x2 + t)dt = 0

を解くために，以下の手順で考える．

1. 完全微分方程式かどうかを調べる．ここでM = 2xt + 3x2, N = x2 + tとおく．∂M/∂t =2x, ∂N/∂x = 2xであるから，この微分方程式は完全微分方程式である．

2. M = ∂F/∂xは偏導関数であるから，M を xに関して偏積分し，微分する際に落ちた tについ

ての項を新たに関数 Z(t)として加える．

F (x, t) =∫

(2xt + 3x2)∂x + Z(t) = x2t + x3 + Z(t) (2.25)

3. N = ∂F/∂tを求めるために，(2.25)を tに関して偏微分すると，

N =∂F

∂t= x2 + Z ′(t) = x2 + t (2.26)

よって

Z(t) =∫

tdt + C =t2

2+ C (2.27)

ここで，C は積分定数である．(2.25)に代入すると

F (x, t) = x2t + x3 +t2

2+ C

2.3.2 積分因子

完全でない微分方程式のいくつかは，積分因子を使うことで完全にすることができる．積分因子と

は，微分方程式が積分できるようにするためのある乗数のことである．

19

例 2.9 非線形微分方程式

5xtdx + (5x2 + 8t)dt = 0

を考える．ここでM = 5xt, N = 5x2 + 8tとおく．∂M/∂t = 5x = ∂N/∂x = 10xであるから，こ

の微分方程式は完全微分方程式ではない．しかし，両辺に tをかけると完全微分方程式になる．す

なわち，5xt2dx + (5x2t + 8t2)dt = 0である．ここで改めて，M = 5xt2, N = x2t + 8t2とおくと，

∂M/∂t = 10xt = ∂N/∂xである．この微分方程式は，上で述べた手順によって解くことができる．

(練習問題 3(d))

ある 1階非線形微分方程式に積分因子が存在するならば，それを見つけ出すために次の 2つの法則が有用である．

法則 1．　もし1N

[∂M

∂t− ∂N

∂x

]= f(x)ならば，e

Rf(x)dxは積分因子である．

法則 2．　もし1M

[∂N

∂x− ∂M

∂t

]= g(t)ならば，e

Rg(t)dtは積分因子である．

例 2.10 上の法則を説明するために，先の非線形微分方程式 5xtdx + (5x2 + 8t)dt = 0を考える．ここでM = 5xt, N = 5x2 + 8tとおく．∂M/∂t = 5x = ∂N/∂x = 10xである．法則 1を適用すると，

15x2 + 8t

(5x − 10x) =−5x

5x2 + 8t

となる．これは xのみの関数ではない．

次に法則 2を適用すれば，1

5xt(10x − 5x) =

5x

5xt=

1t

となり，これは tのみの関数である．この場合の積分因子は eR(1/t)dt = eln t = tである．

2.3.3 変数分離形

非線形微分方程式の中には，比較的簡単に解けるものがある．

dx

dt= f(t)g(x) (2.28)

という形の微分方程式は変数分離形といわれる．xを tの関数と考えて，(2.28)を

1g(x)

dx

dt= f(t)

と書き直せば，左辺は G(x) =∫

dx

g(x)を tについて微分したものであるから，

d

dtG(x) = f(t)

となる．これより ∫dx

g(x)=∫

f(t)dt + C (C は任意定数) (2.29)

を得る．すなわち，xが (2.28)の解ならば，xは (2.29)を満たさなければならない．逆に，xが (2.29)を満足すれば，(2.28)の解であることは明らか ((2.29)の両辺を微分すればよい)．

20

上の計算をしばしば次のように書く．

dx

dt= f(t)g(x)

からdx

g(x)= f(t)dt

ゆえに ∫dx

g(x)=∫

f(t)dt + C

x, tを対称的に書けば，変数分離形の微分方程式は

M(x)dx + N(t)dt = 0

となる．この一般解は ∫M(x)dx +

∫N(t)dt = C

である．

例 2.11 微分方程式

dx

dt= x2t (2.30)

を考える．書き改めると，dx/x2 = tdtとなるので，両辺を積分すると，∫x−2dx =

∫tdt

−x−1 + C1 =t2

2+ C2

− 1x

=t2 + 2C2 − 2C1

2となる．C = 2C2 − 2C1とすれば，

x =−2

t2 + C(2.31)

例 2.12 微分方程式

(1 + t2)xdx

dt+ (1 + x2)t = 0 (2.32)

を考える．書き改めると，xdx

1 + x2+

tdt

1 + t2= 0

となるので，両辺を積分すると，∫xdx

1 + x2+∫

tdt

1 + t2= C1 (C1は積分定数)

12

ln(1 + x2) +12

ln(1 + t2) = C1

(1 + x2)(1 + t2) = e2C1

となる．C1 が任意の定数であれば C = e2C1 も任意の値をとりうるから，C を任意定数と考えるこ

とができる．したがって，一般解として，

(1 + x2)(1 + t2) = C (C は任意定数) (2.33)

を採用することができる．

21

2.3.4 定性解：位相図 (phase diagrams)

これまでは，微分方程式 x = fx, t)に対し各時点 tで x(t)の位置を与える定量的な解を論じてきた．しかしながら，すべての微分方程式が定量的に解けるわけではない．それができないときには定

性的な解を活用せざるをえない．定量解が可能な場合ですら時として定性解の方が有用で興味深い

こともある．特に我々が体系の構造や安定性にのみ関心をもっときにはそうなることが多い．

定性解は位相図の使用により得られる．この図は x = f(x)という形の同次微分方程式の初期状態x0を直線上の l点で表しそれが時間の経過と共に速度 x = f(x)で動く様子を表現する．位相図では点の速度の方向だけが示されその大きさは表されない．それが定性解と呼ばれる所以である．

次の方程式を考えよう．

x = f(x) (2.34)

この 1つの特殊ケースとして線形方程式x = ax (2.35)

がある (a：定数)．

x

0 x

x = f(x)(f ′ > 0)

x = f(x)(f ′ < 0)

図 2.3: x = f(x)

x

0 x

x = axa > 0

x = ax

a < 0

図 2.4: x = ax

横軸よりも上では明らかに x > 0であるからそのときの xは左から右へ進む矢印でしめされてい

るように時間と共に増加する (図 2.3および 2.4を見よ)．同様に横軸より下であれば x < 0で 1は時間と共に減少する．f(x)が増加関数であれば 1の速度方向を示す矢印は横軸より上のとき左から右へ上昇し横軸より下のとき石から左へと下降する．横軸上では x = 0が成り立つので xは不変に留

まる．ここが均衡点あるいは不動点であり (図 2.3および 2.4を見よ)，f(x) < 0つまり f(x)が減少関数のとき安定均衡点，f(x) > 0すなわち f(x)が増加関数のとき不安定均衡点である．f(x) = ax

の線形の場合も同様である．安定不動点 (すなわち a < 0または x = 0で f ′(x) < 0のとき)は，体系が横軸の上と下からそこに引きつけられるのでアトラクターと呼ばれる．不安定不動点 (すなわちa > 0または x = 0で f ′(x) > 0のとき)は体系がそこから離れていくためにリペラーと呼ばれる．そこを通るとき体系がその方向を変えない不動点はシャント (shunt)と呼ばれる．図 2.5～2.10を参照せよ．

22

x

x0

x = x(a − bx)(a, b > 0)

a/b

(リペラー) (アトラクター)

図 2.5: x = x(a − bx) (a, b > 0)

x

x0

x = x2 − 1

(リペラー)(アトラクター)

図 2.6: x = x2 − 1

x

0 x

x = ax3

(a < 0)

アトラクター図 2.7: アトラクター

x

0 x

x = ax3

(a > 0)

リペラー図 2.8: リペラー

x

0 x

x = ax2

(a < 0)

シャント図 2.9: シャント

x

0 x

x = ax2

(a > 0)

シャント図 2.10: シャント

23

2.4 新古典派経済成長モデル

スワン (Swan(1956))とソロー (Solow(1956))による新古典派モデルは，要素間の代替性を許した次の仮定にもとづいて組み立てられている．

(i) 労働 (L)は一定率 nで成長する．したがって，L/L = n．

(ii) すべての貯蓄 S = sY は資本 (K)の形成 I = K + δK に投資される (s, δ は一定の正の分数)．(iii) 生産は収穫一定の条件下で行われる．したがって，Y = F (K, L) = LF (K/L, 1) ≡ Lf(k)．こ

こに k ≡ K/Lである．以上から次の基本的動学方程式がみちびかれる．

k

k=

K

K− L

L=

sY

K− (δ + n)

これより

k = sf(k) − λk 　ここにλ ≡ δ + n (2.36)

ここで f(k)は稲田の条件；limk→0 f ′(k) = ∞ かつ limt→∞ f ′(k) = 0，を満たす単調増加微分可能な凹関数 f ′′ < 0 < f ′である．コブ=ダグラス型生産関数 Y = KaL1−a (0 < a < l)の場合には Y/L = KaL−a ≡ ka ≡ f(k)と

なるから基本成長方程式は次のようになる．

k = −λk + ska (2.37)

これはベルヌーイ方程式に他ならない．そこで x ≡ k1−aとおいて上式に代入すれば次が得られる．

x = −(1 − a)λx + (1 − a)s

これは (2.8)の形をしているのでその解は次のようになる．

x(t) = (x0 − s

λ)e−(1−a)λt +

x

λ

これを x ≡ k1−aに留意してもとの変数 kで表せば

k1−a = (k1−a0 − s

λ)e−(1−a)λt +

s

λ

となる．したがって，このモデルは明らかに安定的である．

y = f(k)という一般の場合にもどれば，位相図を利用して問題を定性的に解くことができる．その図は次の通りである．

この図から原点 (k = 0)はリペラーであるのに対し k = 0を満たす k∗ > 0はアトラクターないし安定均衡点であることが分かる．したがって，初期点 k0が k∗より小さいとき時間と共に kは k∗ ヘと増えていくのに対し，kが k∗より大きいときは k∗ ヘと減っていく．

2.5 2階および高階の線形微分方程式

n階線形微分方程式は次の形をしている．

a0(t)xn + a1(t)xn−1 + · · · + an−1(t)x + an(t)x = g(t) (2.38)

ここで g(t)，ai(t) (i = 0, 1, 2, · · · , n ただし a0(t) = 0)は tに関する任意の微分可能な関数であり，

また xn ≡ (dn/dtn)x，x ≡ (d/dt)x，x ≡ (d2/dt2)x等々である．

24

sf(k)

λk

sf(k)

λk

0 k∗ k

k

図 2.11: k = sf(k) − λk

ここでxに対する演算子Di ≡ di/dti (i = 0, 1, · · · , n)を使おう．これはたとえばD0x ≡ (d0/dt0)x ≡x, Dx ≡ (d/dt)x, D2x ≡ (d2/dt2)xのようになる．これを用いると (2.38)は次のように書ける．

[a0(t)Dn + a1(t)Dn−1 + · · · + an−1(t)D + an(t)]x(t) = g(t) (2.39)

または

L(D)x(t) = g(t) (2.40)

ここにL(D)は (2.39)の [ ]内のすべての項を表す．上記の微分方程式は g(t) = 0のとき同次，g(t) = 0のとき非同次，そして ai(t) = ai =定数のとき定数係数の方程式と呼ばれる．一般性を失うことなく a0(t)は 1と置くことができる (n階である以上 a0(t) = 0であるから (2.38)の両辺を a0(t)で除すればよい)．この微分方程式の解とは (2.38)を満足し導関数を含まない任意の関数のことである．g(t) = 0の

とき，x1(t), x2(t), · · · , xn(t)が各々(2.38)の解であれば cixi(t)も∑n

i=1 cixi(t)も解である．(2.38)で g(t) = 0とおいた同次形，すなわち L(D)x = 0の解 xc(t)は補助関数と呼ばれる一方，g(t)を伴う (2.38)の特定の解 xp(≡ xe)，つまり L(D)xp = g(t)なる xp は特殊積分と呼ばれる．完全な解は

それらの和，すなわち次の形で表される．

x(t) = xc(t) + xp

たとえば (D3 − D2 − D + 1)x = 5は解 x(t) = 5 + c1e−t + c1e

t + c2tet ≡ xp + xc をもつ．ここに

c1, c2, c3は任意定数である．

この微分方程式に対する解 xi (i = 1, 2, · · · , n)はそれらによるロンスキアン行列式W (t)が 0でないとき，すなわち

W (t) ≡

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

x1 x2 · · · xn

x′1 x′

2 · · · x′n

...x

(n−1)1 x

(n−1)2 · · · x

(n−1)n

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= 0 (2.41)

のときそしてそのときに限り 1次独立である．たとえば (2.38)の解が eλ1t, eλ2t, · · · , eλ1tで λi はす

25

べて異なるとするとW (t) = 0である．なぜなら

W (t) ≡

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

eλ1t eλ2t · · · eλnt

λ1eλ1t λ2e

λ2t · · · λneλnt

...λn−1

1 eλ1t λn−12 eλ2t · · · λn−1

n eλnt

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= e(λ1+λ2+···+λn)t

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 1 · · · 1λ1 λ2 · · · λn

...λn−1

1 λn−12 · · · λn−1

n

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= ±e(λ1+λ2+···+λn)t(λ1 − λ2)(λ1 − λ3) · · · (λn−1 − λn) = 0

最後の行列式はバンデルモントの行列式といわれるもので，すべての i = j (i, j = 1, 2, · · · , n)に対し λi = λj であればその値は 0でない．

例 2.13 (D3 − 6D2 + 11D − 6)x = 0の解は x(t) = (et, e2t, e3t)である．

λ3 − λ2 + 11λ − 6 = (λ − 1)(λ2 − 5λ + 6) = (λ − 1)(λ − 2)(λ − 3) = 0

∴ λ = 1, 2, 3.

より明らか．

また，次のようなロンスキアンW (t) (= 0)をもつ

W (t) =

∣∣∣∣∣∣∣et e2t e3t

et 2e2t 3e3t

et 4e2t 9e3t

∣∣∣∣∣∣∣ = e6t

∣∣∣∣∣∣∣1 1 11 2 31 4 9

∣∣∣∣∣∣∣ = 2e6t = 0

ここでは特に n = 2，つまり 2階微分方程式

a(t)x + b(t)x + c(t)x = d(t) (2.42)

を考察する．そして a, b, cが定数で a = 1であり，d(t)もまた dという定数である定数係数の場合，

すなわち

x + bx + cx = d (2.43)

に特別な注意を払う．以下，特に 2階定数係数の場合で補助関数 xc(t)と特殊積分 xp を検討するこ

とにしよう．

2.5.1 補助関数 xc(t)

補助関数 xc(t)は L(D)x = 0を満たす x(t)を求めることにより得られる．定理 2.3に照らし (また注意 2.3も見よ)，我々は x(t) = eλtという形の解を試してみることができる．それを (2.43)に代入すると L(D)x = 0となるのは

(D2 + bD + c)x ≡ x + bx + cx = 0 (2.44)

より eλt(λ2 + bλ + c) = 0のときである．eλ = 0より

λ2 + bλ + c = 0 (2.45)

が成り立たなければならない．(2.45)を微分方程式 (2.43)の特性方程式という．この方程式の解はλ = 1

2 (−b ±√b2 − 4c ≡ (λ1，λ2)であるから eλ1t, eλ2tは (2.44)の解であり A1eλ1t + A2e

λ2tもまた

26

解である．ここに A1，A2は任意定数であり初期条件により決定される．(これらが確かに解になることを示せ：宿題．) n階常微分方程式の n個の 1次独立な解の組を基本解といい，その 1次結合を一般解という．(2.45)の基本解が eλ1t，eλ2tであり，その 1次結合 A1e

λ1t + A2eλ2tが一般解である．

したがって，A1eλ1t + A2e

λ2tが元の常微分方程式 (2.43)の補助関数 xc(t)になる．そこで (2.43)の一般解は，「補助関数 xc(t)＋特殊解 xp」として表される．

λに対しては b2 − 4c 0の 3つの場合が考えられるから，それらを別個に検討しなければならない．

ケース (i)：b2 − 4c > 0特性方程式は 2つの異なる実根をもつ (すなわち λ1 = λ2, λ1, λ2 は実根)．よって補助関数は次の

通り．

xc(t) = A1eλ1t + A2e

λ2t (2.46)

ケース (ii)：b2 − 4c = 0特性方程式は重根 λ = − b

2 をもつ．このとき試すべき解は eλtではなしに x = teλtである．実際，

x = eλtは 1つの解だが，もし x = eλtとすると一般解は x(t) = A1eλt + A2e

λt = Aeλtとなるが，2階微分方程式の場合，初期条件は x(0)と x′(0)の 2つであり，それらから A = A1 + A2を決定する

ことは一般にできない (一致するか，平行になる)．そこで，x = teλtを考える．時間で微分すると，

x = (1 + λt)eλt，x = (2λ + λ2t)eλtとなる．これらを L(D)x = 0に代入すれば，次が得られる．

(2λ + λ2t)eλt + b(1 + λt)eλt + cteλt

=eλt[(λ2 + bλ + c)t + (2λ + b)] = 0

なぜなら，f(y) = y2 + by + cとおくと，λは f(y) = 0の重根だから，

f(y) = (y − λ)2 = y2 − 2λy + λ2, f ′(y) = 2y − 2λ = 2(y − λ)

より，f(λ) = 0, f ′(λ) = 0が成立するからである．eλt, teλtが 1次独立な解であるから (2つが 1次独立であることを示せ：宿題)，補助関数は

xc(t) = (A1 + A2t)eλt (2.47)

によって与えられる．

ケース (iii)：b2 − 4c < 0このとき λは複素根である．すなわち

λ = − b

2± i√

4c − b2

2≡ α ± iβ

ここに α ≡ Re(λ) ≡ −b/2は λの実部，β ≡√

4c − b2

2は λの虚部であり i2 = −1である．補助関

数は

xc(t) = A1eλ1t + A2e

λ2t

= A1e(α+iβ)t + A2e

(α−iβ)t, (e±iβt ≡ cosβt ± i sinβtより)

= eαt[A1eiβt + A2e

−iβt]

= eαt[A1(cosβt + i sinβt) + A2(cosβt − i sinβt)]

= eαt(B1 cosβt + B2 sin βt) (2.48)

27

ここに B1 ≡ A1 + A2，B2 ≡ i(A1 − A2)である．xc(t)は別の形で次のようにも書ける．

xc(t) = eαt[A cos(βt + ε)] (2.49)

これは，次のようにして確認できる．tan ε = −B2/B1とおく．

sin ε

cos ε= −B2

B1より，

B1

cos ε= − B2

sin ε= Aとおくと

B1 cosβt + B2 sin βt

=A cosβt cos ε − A sin βt sin ε

=A cos(βt + ε)

が成り立つ．

以上の方法はかなり分かり難いので，もう少し直観的な方法を考えてみよう．複素根は常に共役複

素数として対で出てくるが，実部と虚部の値は対同士で同じである．そこで，実部と虚部から作られ

る eαt cosβtと eαt sin βtを考える．これらを同次形の微分方程式 (2.44)に直接代入する．そのためにまず，次を計算しておく．1回微分すると，

d

dt(eαt cosβt) = αeαt cosβt − βeαt sin βt

= eαt(α cosβt − β sin βt)

2回微分すると，

d2

dt2(eαt cosβt)

=αeαt(α cosβt − β sin βt) + eαt(−αβ sin βt − β2 cosβt)

=eαt(α2 − β2) cosβt − 2eαtαβ sin βt)

また，

α2 − β2 =b2

4− 4c − b2

4=

b2

2− c

αβ =b√

4c − b2

4したがって，

x + bx + cx = eαt(α2 − β2) cosβt − 2eαtαβ sin βt) + beαt(α cosβt − β sin βt) + c(eαt cosβt)

= eαt cosβt((α2 − β2) + αb + c

)− eαt sin βt(2αβ + βb)

= 0

よって，eαt cosβtは (2.44)の解である．同様にして，eαt sin βtも (2.44)の解であることが確認できる (これを確認せよ：宿題)．次に，ロンスキアンを作る．

W (t) =

∣∣∣∣∣ eαt cosβt eαt sin βt

eαt(α cosβt − β sin βt) eαt(α sin βt + β cosβt)

∣∣∣∣∣= e2αt cosβt(α sin βt + β cosβt) − e2αt sinβt(α cosβt − β sin βt)

= βe2αt(cos2 βt + sin2 βt)

= βe2αt = 0 β = 0だから

28

よって，eαt cosβt，eαt sinβtは 1次独立であるから，(2.44)の基本解であることが確認できた．ゆえに (2.43)の補助関数は

xc(t) = eαt(B1 cosβt + B2 sin βt

となる．

注 2.4 三角関数の微分について

(sin x)′ = cosx, (cos x)′ = − sin x

sin 0 = 0, cos 0 = 1

テーラー展開

f(x) = f(a) +f ′(a)

1!(x − a) +

f ′′(a)2!

(x − a)2 + · · · + f (n−1)(a)(n − 1)!

(x − a)n−1 + Rn

ただし，Rn =f (n)(c)

n!(x − a)n，cは xと aの間の点である．

マクローリン展開

テーラー展開において a = 0とおく．

f(x) = f(0) +f ′(0)

1!x +

f ′′(0)2!

x2 + · · · + f (n−1)(0)(n − 1)!

xn−1 + Rn

ただし，Rn =f (n)(θx)

n!xn，0 < θ < 1である．

n → ∞のとき Rn → 0ならば無限級数の形に展開できる．これをマクローリン級数という．指数関数の展開式

ex = 1 +x

1!+

x2

2!+ · · · + xn

n!+ · · ·

正弦・余弦の展開式

sinx = x − x3

3!+

x5

5!− · · · + (−1)n−1 x2n−1

(2n − 1)!+ · · ·

cosx = 1 − x2

2!+

x4

4!− · · · + (−1)n−1 x2n

(2n)!+ · · ·

eix の定義

eix = 1 + ix

1!− x2

2!− i

x3

3!+

x4

4!+ i

x5

5!+ · · ·

=(

1 − x2

2!+

x4

4!− · · ·

)+ i

(x − x3

3!+

x5

5!− · · ·

)

= cosx + i sinx

e−ix = cos(−x) + i sin(−x)

= cosx − i sinx

∴ cosx =eix + e−ix

2sin x =

eix − e−ix

2i

eα+iβ = eαeiβ = eα(cos β + i sinβ)

29

f(x) = u(x) + iv(x)，(u，vは実数値関数)，の微分の定義

f ′(x) = u′(x) + iv′(x)

この定義に基づいて計算すると，

d

dt(e(α+iβ)t) = (α + iβ)e(α+iβ)t

を得る (計算してみよ：宿題)．

上の議論は定理としてまとめることができよう．

定理 2.6 次の形の定数係数 2階線形微分方程式

L(D)x ≡ (aD2 + bD + c)x ≡ ax + bx + cx = 0 (2.50)

は，a = 0より便宜上 a = 1とおくことにすれば付随する特性方程式は

c(λ) = λ2 + bλ + c = (λ − λ1)(λ − λ2) = 0 (2.51)

であり，解は次の通りである (ただし，A, A1, A2, B1, B2は任意定数)．(i) c(λ) = 0の根 λ1, λ2が異なる実根のとき

x(t) = A1eλ1t + A2e

λ2t (2.52)

(ii) λ1 = λ2 ≡ λが重根，すなわち重複度 2の実根のとき

x(t) = (A1 + tA2)eλt (2.53)

(iii) c(λ) = 0の根が共役な複素数，すなわち λ1 = α + iβ, λ2 ≡ λ1 = α − iβ，ただし，ここで

α ≡ − b2 = Re(λ)，β ≡ 1

2

√4c − b2 = Im(λ)および i =

√− 1，のとき

x(t) = eαt(B1 cosβt + B2 sin βt) (2.54)

≡ eαt[A cos(βt + ε)]

ここにA1, A2およびB1, B2はすべて実任意定数で初期条件により決定され，またA cos ε ≡ B1, ε ≡tan−1(B2/B1)である．さらに αと β も共に実数である．

(2.50)は同次形の微分方程式である．(2.50)が L(D)x = dとなる場合，上で示した (2.52)，(2.53)および (2.54)の諸結果は同次形の部分 L(D)x = 0あるいは補助関数についての解となる．その場合には混乱を避けるために (2.52)，(2.53)および (2.54)の解 x(t)は xc(t)と書かれねばならない．というのは完全な解は次のようになるからである．

x(t) = xc(t) + xp(t) (2.55)

ここに xp(t)は特殊積分である．1例として L(D)x = ax+ bx+ cx = dのとき，xp(t) = d/c (c = 0)である．

最後に λ1 = 0 = λ2 の場合には b = 0 = cとなるから (2.50)は (a = 0より a = 1とおいて)x = 0となることに注意しよう．これに対する解は直接積分することで得られる．それはすなわち時間に関

する線形関数

x(t) = A1t + A2 (2.56)

である．

30

例 2.14

x + x − 6x = 0 または (D2 + D − 6)x = 0

特性方程式は λ2 +λ−6 = 0であるからその解は λ = (2,−3)である．したがって，補助関数は (2.52)より次の通り．

xc(t) = A1e2t + A2e

−3t

例 2.152x + x − x = 0, x0 = 3, x(0) = 2

特性方程式は 2λ2 + λ − 1 = 0であるから (2λ− 1)(λ + 1) = 0 ∴ λ = (12 ,−1)．これは 2根が異なる

実根という (i)の場合である．よって (2.52)よりその一般解は

x(t) = A1et/2 + A2e

−t.

初期条件より x(0) ≡ x0 = A1(1)+ A2(1) = 3と x(0) = 0.5A1(1)−A2(1) = 2を解くと，(A1, A2) =(10/3，− 1/3)を得る．したがって，解は

x(t) =103

et2 − 1

3e−t

t → ∞のとき，et/2 → ∞，e−t → ∞となるので，x(t)は∞に発散する．

例 2.16

x − 6x + 9x = 0

特性方程式は λ2 − 6λ + 9 = 0であるから λ = 3．これは重根であるから (ii) の場合である．よって解は次の通り．

x(t) = (A1 + A2t)e3t

t → ∞のとき，e3t → ∞となるので，x(t)は∞に発散する．

例 2.17

x + 25x = 0

特性方程式より λ =± 5iであるから (iii)の場合にあたり，その解は (2.54)より次の通り．

x(t) = B1 cos 5x + B2 sin 5x

これは (iii)の場合でも Re(λ) = 0という特殊なケースであり解 x(t)は永久に振動する．このとき解は中立的安定性をもつといわれる．

例 2.18

x − 4x + 13x = 0

このとき λ = 2 ± 3iであるから解は (2.54)より次の通り．

x(t) = e2t(B1 cos 3t + B2 sin 3t)

Re(λ) = 2 > 0であるからこの解は振動しながら発散する．したがって不安定である．上述の任意定数A1, A2, B1およびB2は次例が示すように，一旦，初期条件が与えられれば一定の値に決められる．

31

例 2.19

x + 2x + 10x = 0, x0 = 5, x(0) = 4

λ2 + 2λ + 10 = 0より λ = −1 ± 3iであるから解は (2.54)より次の通り．

x(t) = e−t(B1 cos 3t + B2 sin 3t)

ここで t = 0では x0 = 5 = e−0(B1 cos 0 + B2 sin 0) = B1 + 0 = 5．ざらに t = 0で xを微分すれば

x′(t) = −e−t(B1 cos 3t + B2 sin 3t) + e−t(−3B1 sin 3t + 3B2 cos 3t)

x′(0) = −e−t(B1 + 0) + e−t(0 + 3B2)

= −B1 + 3B2 ≡ x(0) = 4 = −5 + 3B2 ⇐⇒ B2 = 3

よって解は

x(t) = e−t(5 cos 3t + 3 sin 3t)

なお，この場合，別形式の解は (2.54) より x(t) = e−t[A cos(3t + ε)] である．ここでは tan ε =sin ε/ cos ε = B2/B1 = 3/5 であるから ε = tan−1(B2/B1) ≈ 30.96．また A = B1/ cos ε =5/0.8575 ≈ 5.83．よって

x(t) = e−t[5.83 cos(3t + 30.96)]

これは e−tで減衰する振幅 A = 5.83，周期 2π/3のシヌソイド関数 (円関数)であり周期的に安定である．

2.5.2 dが定数のときの特殊積分 (xpまたは xe)

1階の方程式の場合と同様 (注意 2.1)，xpは x = 0 = xをみたす不動点 xをもとめることにより得

られる．x = 0 = xを (2.43)に代入すれば cx = d．よって c = 0ならば xp = d/cである．これは解

として xp = k，ただし kは任意の定数，を試すことと同じである．実際そのときには xp = 0 = xp

であるからそれを (2.43)に代入して cxp = dあるいは xp ≡ xe = d/c (c = 0)を得る．c = 0 のときには，xp = ktを試してみる．すると xp = k，xp = 0 であるからこれらを (2.43)

に代入して，bk = dすなわち k = d/bを得る．よって xp = kt = dt/bとなる．b = 0 = cのとき

は，xp = kt2 で試してみる．これを微分して xp = 2kt，xp = 2k．これらを (2.43)に代入すれば2k + 0 + 0 = dすなわち k = d/2であるから，xp = kt2 = dt2/2を得る．以上から (2.43)の特殊積分 xp は次のようになる．

c = 0のとき xp = d/c

c = 0のとき xp = dt/b (2.57)

c = 0 = bのときxp = dt2/2

2.5.3 dが tのある関数 g(t)のときの特殊積分 xp

L(D)x = g(t)の右辺 g(t)が tの関数のとき，特殊積分をもとめるのにいくつかの方法が使われて

いる．ここでは，未定係数法について述べる．一般的な方法については常微分方程式のテキストを

見よ．

未定係数法は xp(t)を g(t)と同じ性質の関数で試してみる方法である．たとえば次のような関数である．

32

g(t) 試すべき xp(t)

tn tn, tn−1, · · · , t, 1eαt, e−αt eαt, e−αt

cosαt sin αt, cosαtsin αt cosαt, sin αt

例 2.20

x − 4x + 4x ≡ (D2 − 4D + 4)x = t3＋ 2t + 3 + e2t

xc(t) = (A1＋ tA2)e2t

xp として次を試す．

xp = at3 + bt2 + ct + d + pe2tt2

xp = 3at2 + 2bt + c + 2pe2tt2 + 2pe2tt

xp = 6at + 2b + 4pt2e2t + 8pte2t + 2pe2t

これらを元の方程式に代入すれば

(D2 − 4D＋ 4)x =4at3 + (−12a + 4b)t2 + (6a − 8b + 4c)t

+ (2b − 4c + 4d) + 0 + 2pe2t

はじめの式の右辺と係数を比較して

4a = 1 ⇐⇒ a = 1/4

4b − 12a = 0 ⇐⇒ b = 3/4

6a − 8b + 4c = 2 ⇐⇒ c = 13/8

2b − 4c + 4d = 3 ⇐⇒ d = 2

2p = 2 ⇐⇒ p = 1/2

よって

xp =t3

4+

34t2 +

13t

8+ 2＋

t2

2e2t

完全な解は x(t) = xe(t)＋ xp(t)より，次の通り．

x(t) = (A1 + A2t)e2t +t3

4+

34t2 +

13t

8+ 2＋

t2

2e2t

練習問題

1. 一般解の公式を用いて，次の微分方程式を解け．

(a)dx

dt+ 5x = 0

(c)dx

dt+ 4tx = 6t

(e) 2dx

dt+ 2t2x = 9t2 x(0) = −2.5

(g)dx

dt= −x x(3) = 20

(b)dx

dt+ 4x = 12

(d)dx

dt+ 5x = 0 x(0) = 2

(f)dx

dt+ 3x = 6t x(0) =

13

(h)dx

dt+ 3t2x = t2 x(0) = 1

33

2. 次の微分方程式を解け．（完全微分方程式）(a) (6xt + 9x2)dx + (3x2 + 8t)dt = 0

(c) 8txdx = −(3t2 + 4x2)dt

(b) (4x + 8t2)dx + (16xt − 3)dt = 0

(d) (2tx + 6t)dx + (x2 + 6x − 1)dt = 0

3. ( )の積分因子を用いて，微分方程式を解け．(a) 6tdx + 12xdt = 0 (t)

(c) 4tdx + (16x − t2)dt = 0 (t3)

(b) t2dx + 3xtdt = 0 (t)

(d) 5xtdx + (5x2 + 8t)dt = 0 (t)

4. 次の微分方程式の積分因子を見つけ，その方程式を解け．(a) (7x + 4t2)dx + 4xtdt = 0

(c) t2dx + 3xtdt = 0

(b) 4tdx + (16x − t2)dt = 0

(d) (2t3 − 4x2)dx + 3xt2dt = 0

5. 変数分離法により，次の微分方程式を解け．

(a)dx

dt=

−5t

x(c) t2dx − x2dt = 0

(e) x2(t3 + 1)dx + t2(x3 − 5)dt = 0

(g) tdx = x(x − 1)dt

(b)dx

dt=

t5

x4

(d) dx = 3t2xdt

(f) (1 + t2)xdx + (1 + x2)tdt = 0

(h) (1 + t)xdt + (1 + x)tdx = 0

6. 次のベルヌーイ方程式を解け．

(a)dx

dt+ x = tx3 (b)

dx

dt+

12x =

12(t + 1)x3

7. 次の 2階微分方程式の特殊積分，補助関数，一般解を求めよ．(a) x′′(t) − 5x′(t) + 4x(t) = 2

(c) x′′(t) = 16

(e) x′′(t) − 4x′(t) − 5x(t) = 35

(g) x′′(t) + x′(t) +14x(t) = 9

(i) x′′(t) − 6x′(t) + 25x(t) = 150

(b) x′′(t) + 3x′(t) = 12

(d) x′′(t) + 9x′(t) + 14x(t) = 7

(f) x′′(t) − 12x′(t) = 13

(h) x′′(t) + 2x′(t) + 10x(t) = 80

(j) t2x′′(t) = 2tx′(t) + t2

8. 次の微分方程式の確定解を求め，時間経路の動学的安定性を検討せよ．

(a) x′′(t) − 5x′(t) + 4x(t) = 2, x(0) = 512, x′(0) = 11

(b) x′′(t) + 9x′(t) + 14x(t) = 7, x(0) = −212, x′(0) = 31

(c) x′′(t) − 4x′(t) − 5x(t) = 35, x(0) = 5, x′(0) = 6

(d) x′′(t) − 12x′(t) = 13, x(0) = 17, x′(0) = −19

12

(e) x′′(t) + x′(t) +14x(t) = 9, x(0) = 30, x′(0) = 15

(f) x′′(t) + 2x′(t) + 10x(t) = 80, x(0) = 10, x′(0) = 13

(g) x′′(t) − 6x′(t) + 25x(t) = 150, x(0) = 13, x′(0) = 25

34

第3章 差分方程式

3.1 はじめに

変数 x(t)とその連続的な変化率を与える導関数 x, x，等を含む常微分方程式に続いて，変数 xtと

その差分 ∆xt, ∆2xt，等を含む差分方程式を扱う．ここでは変数が離散的に変化する．より精確に

いうならば，変数それ自体は連続なのだがその変化の観察が一定の間隔をおいてしか行われないの

である．たとえば，xt を時点 tの国民総生産とすればそれは 1年に 1度だけたとえば 12月 31日に測定され，その日に記録される．差分方程式と呼ばれるのはそれが関数の差を含むからである．たと

えば，xt = f(t)とすれば 1階差分は

∆xt = xt+1 − xt = f(t + 1) − f(t)

とか

∆xt+1 = xt+2 − xt+1 = f(t + 2) − f(t + 1)

であり，2階差分は

∆2xt ≡ ∆xt+1 − ∆xt = (xt+2 − xt+1) − (xt+1 − xt) = xt+2 − 2xt+1 + xt (3.1)

のようになる．簡単のため観察は規則的な間隔で行われると仮定する．つまり tは等間隔に置かれて

いるとする．x(t)や x(t + 1)の代わりに xt，xt+1等と書くことにするが，それは記号の簡単のため

ばかりでなく常微分方程式との区別を明確にするためでもある．

ここでは 1階，2階および高階の差分方程式の簡単な議論を行う．離散的な時間変数という点を除けば微分方程式との類似性は極めて高いので，取扱いはそれだけ容易である．以下では定数係数の 1階および 2階差分方程式を集中的に論ずる．常差分方程式 (以下，略して差分方程式と呼ぶ)とは異なる時点で離散的に測定される 1変数 xtを

含む方程式のことである．たとえば

F (xt+1, xt, xt−1, · · · ) = 0 (3.2)

あるいは陽関数表示で

xt+1 = f(xt，xt−1, · · · ) (3.3)

のようである．差分方程式の階数は方程式にあらわれる最高階差により与えられる．たとえば

xt+2 = axt+1 + bxt

は 2階の線形差分方程式である．差分方程式の解とは階差を含まずに (3.2)を満足する xt のすべての値のことである．

xc(t)が (3.2)の解であれば任意の定数 kによる kxc(t)も解であり，xc(t)と xp(t)が (3.2)の解であれば任意の定数 k1，k2によるそれらの 1次結合 k1xc(t) + k2xp(t)もまた解であることを証明することができる (宿題！)．さらに解は存在して一意であることも証明できる．最後に，n階の差分方程式の解は，そこにあらわれる n個の任意定数の値を決めるために n個の

初期条件を必要とすることに注意しよう．

35

3.2 1階差分方程式

3.2.1 線形差分方程式

典型的な 1階線形差分方程式は次の形式をしている．

xt+1 = axt; x(0) = x0 (同次形) (3.4)

xt+1 = axt + b; x(0) = x0 (非同次形) (3.5)

ここに x0は t = 0における x(t)の所与の値であり初期条件と呼ばれる．

定理 3.1 1階同次線形差分方程式 (3.4)の解は次の通りである．

xt = atx0 (3.6)

証明．反復演算により

x1 = ax0

x2 = ax1 = a(ax0) = a2x0

...

xn = axn−1 = anx0

これより任意の tに対し xt = atx0 を得る．

定理 3.2 1階非同次線形差分方程式 (3.5)の解は次の通りである．

a = 1のとき xt = atc +b

1 − a(3.7)

a = 1のとき xt = x0 + bt (3.8)

ここに c ≡ x0 − b/(1 − a)である．

証明．a = 1のとき，反復演算により

x1 = ax0 + b

x2 = ax1 + b = a(ax0 + b) + b

x3 = ax2 + b = a3x0 + (1 + a + a2)b

...

xn = anx0 + (1 + a + a2 + · · · + an−1)b

= anx0 +1 − an

1 − ab = an

(x0 − b

1 − a

)+

b

1 − a

ここで 1 + a + a2 + · · · + an−1 = 1−an

1−a は幾何級数である．したがって，任意の tに対し

xt = at

(x0 − b

1 − a

)+

b

1 − a(a = 1)

a = 1のときは xn = anx0 + b∑n−1

i=0 ai = x0 + bnであるから xt = x0 + btとなる．

36

注 3.1 同次形の解 (3.6)は非同次形の解 (3.7)で b = 0としたときの特殊ケースとしてあらわれる．a = 1, b = 0ならば xt = atx0 = x0 である．

注 3.2 微分方程式の場合と同様，解 (3.7)は xc(t)と xeの 2つの部分からなる．前者 x0(t) ≡ atc ≡at(x0 − b

1−a ) = at(x0 − xe)は補助関数と呼ばれ，同次形に対応する部分 xt+1 − axt = 0の解であり，後者 xp ≡ xe = b

1−a は特殊解 (xp)あるいは均衡 (xe)と呼ばれ与えられた方程式 (3.5)を満たすxt の特定値である．xe が xt の均衡値を意味するのは，定義からそこでは xtが異なる tに対し同じ

値をとるからである．つまり xt+1 = xt = xt−1 = xe となるからである．(3.5)においてこの点を考慮すれば xe = axe + bより xe = b

1−a (a = 1)を得る．x0(t)は均衡値 xe からの xt の偏差を表す．

(0 < a < 1の場合については図 3.1を見よ．)

xt

x0

xe

xc

b

1 − a

0 t

0 < a < 1

図 3.1: xt = at

(x0 − b

1 − a

)+

b

1 − a

注 3.3 注意 3.3と解 (3.7)に照らせば，同次形の解として xc(t) = cλt をためすことが解法の糸口

に十分なりそうである．ここで cは任意定数であるが λの方はこれから決める．実際，こうすると

cλt+1 − caλt = 0となるから，cλt(λ − a) = 0より λ = aを得る．よって，xc(t) = cλt = cat とな

る．一方，与えられた x0 に対し，t = 0で

x(0) = x0 = ca0 +b

1 − a= c +

b

1 − a

であるから c = x0 − b1−a となりこれは xの均衡値 b

1−a からの初期偏差を表す．(図 3.1を見よ．)

注 3.4 |a| < 1すなわち−1 < a < 1であれば limt→∞ at = 0であるから limt→∞ xt = 0 + b1−a とな

る．このとき xtは時間と共にその均衡値 xe に収束するという意味で体系は安定的である (図 3.1を見よ)．一方，|a| > 1すなわち a < −1または 1 < aであれば limt→∞ at = ±∞となるので体系は不安定である．

例 3.1 xt+1 = 0.5xt + 2，x0 = 10この解は (3.7)より次の通りである．

xt = (0.5)t(x0 − xe) + xe

= (0.5)t(10 − 4) + 4

0 < a = 0.5 < 1であり時間と共に xt → 4となるので体系は安定的である．

37

3.2.2 非線形差分方程式と位相図

非線形 1階差分方程式は次のような形式で表せる．

xt+1 = f(xt), x(0) = x0 (3.9)

f の完全な形式が知られなくてもその傾き，曲率 (凸か円か)および xt = 0と xt = ∞での振る舞いに関するいくらかの性質が与えられれば，その方程式は位相図を使って定性的に解くことができる．

それには xt+1xt平面上に 45°線 (xt+1 = xt)を引き f(xt)がこの線と交わる不動点を探してその安定性を調ベればよい．(図 3.2を見よ．)

45°f(xt)xt+1

xt0 x0

x1

x1x2

x2

x3

x3x4

x4

図 3.2: 不動点の安定性

先ず，任意の x(0) = x0 より出発して f(xt)から x1 = f(x0)を読みとる．次に 45°線を使ってx1 を縦軸上から横軸上に変換することにより x1 を t = 1に対する新たな初期条件とみなす．次にx2 = f(x1)から x2を読みとり，以下同じ操作を繰り返す．均衡値またはグラフ上の解ないし定性解

は存在するとすれば，f(xt)が 45°線と交わるところ，すなわち xt+1 = xtとなる不動点である．解

(すなわち不動点)が存在するならば，その安定条件は |f ′| < 1であることは容易に分かる．線形の場合 f ′ = aであるから |a| < 1が安定条件である (注意 3.4 を見よ)．これから明らかに，解が存在するか否かは f(xt)が 45°線と交わるかどうかによる．図 3.2からはまた |f ′| > 1のとき体系が不安定となることが容易にみてとれる:そのときには，xtは時間の経過と共に 45°線から遠ざかる．

3.3 2階線形差分方程式

このタイプの方程式の典型的な形式は次のようである．

axt + bxt−1 + cxt−2 = g(t), x(0) = x, x(1) = x1 (3.10)

g(t) = 0のとき (3.10)は同次差分方程式とか差分方程式の縮約形とか呼ばれその解は補助関数 xc(t)と呼ばれる．g(t) = 0のときは非同次差分方程式という．特殊解 (xp)または均衡解 (xe)とは (3.10)の g(t)と調和する xt の特定値のことである．

38

3.3.1 特殊解

1. (3.10)で g(t) = d,ある定数,の場合を考えよう．特殊解は x = kti という解を試すことで得ら

れる．ここで kは定数であり i = 0, 1, 2で a + b + c = 0のとき i = 0，a + b + c = 0のとき i = 1，b + 2c = 0のとき i = 2とおかれる．

(i) a+b+c = 0のとき i = 0とおいて試験的な解 xt = k, ∀tを (3.10)にあてはめればak+bk+ck = d

より k =d

a + b + cとなるから特殊解 xp ≡ xe = k =

d

a + b + cを得る．

(ii) a + b + c = 0のとき i = 1とおいて試験的な解 xt = ktを (3.10)に代入すれば

akt + bk(t − 1) + ck(t − 2) = d

(a + b + c)kt − (b + 2c)k = d

より k =d

−(b + 2c). よって xp = kt = −

(d

b + 2c

)tを得る．

(iii) b + 2c = 0でありかつまた a + b + c = 0のときには i = 2とおいて xt = kt2，したがって，

xt−1 = k(t − 1)2等を試すことにより k = d/2cとなるから xp =d

2ct2を得る．

2. g(t) が時間の関数のときには特殊解として g(t) と同じ形式の関数を試してみる．たとえばg(t) = cmtのとき xt = kmtを試しに (3.10)に代入してみる．g(t) = at2のときには xt = at2+bt+cを

試してみる．これは常微分方程式の場合と同様である．

3.3.2 補助関数 xc(t)

(3.10)で g(t) = 0とおいた同次形ないし縮約形の解を補助関数といい，xc(t)で表す．すなわち

axt + bxt−1 + cxt−2 = 0 (あるいは axt+2 + bxt+1 + cxt = 0) (3.11)

の解が xc(t)である．補助関数を求めるためには，1階差分方程式の解法に照らしてみると，xc(t) =Aλt, xc(t + 1) = Aλt+1 等を試すことが考えられる．ここで Aは任意定数である．g(t) = 0として(3.10)に xt = Aλt などを代入すれば次を得る．

A(aλt + bλt−1 + cλt−2) = Aλt−2(aλ2 + bλ + c) = 0

Aλt−2 = 0であるから特性方程式 c(λ) = aλ2 + bλ + c = 0でなければならない．これは 2つの根をもつ．すなわち

c(λ) = aλ2 + bλ + c = 0 (3.12)

は λ1, λ2 =12a

(−b ±√

b2 − 4ac)を与えるから，求める補助関数は次のようになる．

xc(t) = A1λt1 + A2λ

t2 (3.13)

ここに A1と A2 は 2つの任意定数で 2つの初期条件 x0と x1 により決定される．

微分方程式の場合と同様に，n階差分方程式の n個の 1次独立な解の組を基本解といい，その 1次結合を一般解という．(3.11)の基本解が λt

1，λt2であり，その 1次結合A1λ

t1 + A2λ

t2が一般解であ

る．したがって，A1λt1 + A2λ

t2 が元の差分方程式 (3.10)の補助関数 xc(t)になる (λt

1，λt2 が (3.11)

の解であり，両者は 1次独立であることを，微分方程式のときの説明にならって示せ：宿題)．そこで (3.10)の一般解は，「補助関数 xc(t)＋特殊解 xp」として表される．

常微分方程式の場合と同様，次の 3つの場合が起こり得る．

39

(i) ∆ ≡ b2 − 4ac > 0: λ1と λ2 は c(λ) = 0の異なる実根となるから，同次形 (3.11)の解，すなわち補助関数は (3.13)である．

(ii) ∆ ≡ b2 − 4ac = 0: このとき λ1 = λ2 = λとなる，つまり c(λ) = 0は 2つの同じ根 λ = − b2a

をもつ．基本解として λt，A2tλtをとりその 1次結合 A1λ

t + A2tλtを作れば，補助関数 xc(t)が求

められる (λt，tλtが (3.11)の解であり，両者は 1次独立であることを，微分方程式のときの説明にならって示せ：宿題)．

xc(t) = (A1 + A2t)λt (3.14)

(iii) ∆ < 0 : c(λ) = 0より

λ = − b

2a± i

√4ac − b2

2a≡ α ± iβ

ここで α ≡ Re(λ) = − b2a であり β ≡

√4ac− b2

2a. また β = Im(λ)である．解 (3.13)はいまや次の

ようになる．

xc(t) = A1(α + iβ)t + A2(α − iβ)t (3.15)

極座標を使えば α = r cos θ, β = r sin θ と表示される．ただし θ は実軸 αと動径 rのなす角度を示す

(図 3.3を見よ)．

α =Reλ

β

−β

λ = α + iβ

λ = α − iβ

0

β =Imλ

θ

θ

図 3.3: λ = α ± iβ

したがって α ± iβ = r(cos θ ± i sin θ)となるのでド・モアブルの定理により

(α ± iβ)t = rt(cos θt ± i sin θt) (3.16)

を得る．この形式をつかえば (3.15)は次のように表される．

xc(t) = A1rt(cos βt + i sin θt) + A2r

t(cos θt − i sin θt)

= rt(B1 cos θt + B2 sin θt) (3.17)

ここで B1 ≡ A1 + A2, B2 ≡ i(A1 − A2)である．A1，A2 が共役複素数ならば，B1，B2 は実数

になる．(α + iβ)(α − iβ) = λλ = α2 + β2 = r2，すなわち r =√

α2 + β2 ≡ √c/a である．角

度 θ は定義 sin θ = β/r, cos θ = α/r, tan θ = sin θ/ cos θ = β/α より計算できる．すなわち

θ = sin−1(β/r) = cos−1(α/r) = tan−1(β/α)である．これから (3.17)の rと θ が算定される．

40

さらに B1 = A cos ε, B2 = A sin εと変換すれば，つまり tan ε ≡ sin ε/ cos ε = B2/B1 あるいは

ε = tan−1(B2/B1)，ただしB1とB2は上で定義されたものである，とすれば (3.17)は次のように書ける．

xc(t) = Art cos(θt − ε) (3.18)

これは振幅 Aと周期 T = 2π/θ を与える．初期条件に依存する Aは初期振幅を定め r =√

c/aはこ

の振幅が時間と共に増幅するのか (r > 1)，減衰するのか (r < 1)を決める．r = 1であれば xc(t)は時間を通じ一定の振幅で規則的振動を繰り返す．

以上の方法はかなり分かり難いので，もう少し直観的な方法を考えてみよう．複素根は常に共役複

素数として対で出てくるが，実部と虚部の値は対同士で同じである．そこで，(??)の実部と虚部から作られる rt cos θtと rt sin θtを考える．これらを同次形の微分方程式 (2.44)に直接代入して，解であることを確認する．そのためにまず，(3.11)を次の同値表現で示す．

axt+1 + bxt + cxt−1 = 0 (3.19)

次を計算しておく．

cos θ(t + 1) = cos θt cos θ − sin θt sin θ

cos θ(t − 1) = cos θt cos θ + sin θt sin θ

また，

r =√

c

a= c

t2 a− t

2

cos θ =α

r= − b

2√

ac

sin θ =alphaeβr

=

√4ac − b2

4ac

したがって，

axt+1 + bxt + cxt−1

=act+12 a− t+1

2 cos θ(t + 1) + bct2 a− t

2 + ca− t−12 c

t−12

=2a− t−12 c

t+12 cos θ + a− t

2 bct2

=0

よって，rt cos θtは (3.11)の解である．同様にして，rt sin θtも (3.11)の解であることが確認できる(これを確認せよ：宿題)．次に，両者が 1次独立であることを示す作業が残っているが，これも微分方程式の場合と同様であるので，宿題とする．したがって，(??)の一般解は

xc(t) = rt(B1 cos θt + B2 sin θt)

となる．

3.3.3 完全解と例

上述の議論は次のように要約されよう．

41

定理 3.3 2階線形差分方程式axt + bxt−1 + cxt−2 = g(t)

の解は

xt = xe + A1λt1 + A2λ

t2 (3.20)

である．ここに λ1 と λ2は次の特性方程式

c(λ) = aλ2 + bλ + c = 0

の根であり xe ≡ xp は特殊解である．

解 (3.21)は次の諸形式をとる．(i) λ1 と λ2が異なる 2実根のとき

xt = xe + A1λt1 + A2λ

t2 (3.21)

(ii) λ1と λ2 が重根のとき，すなわち λ1 = λ2 = λ = − b

2aのとき

xt = xe + (A1 + A2t)λt (3.22)

(iii) λ1 と λ2 が複素根のとき，すなわち λ ≡ λ1，λ2 ≡ λとすれば

xt = xe + rt(B1 cos θt + B2 sin θt) (3.23)

または

xt = xe + Art cos(θt − ε) (3.24)

例 3.2 xt + 4xt−1 + 3xt−2 = 8, x0 = 3; x1 = 5c(λ) = λ2 + 4λ + 3 = 0より λ = (−3,−1). したがって，(i)の場合である．xe = 8/8 = 1である

から解は (3.21)よりxt = 1 + A1(−3)t + A2(−1)t

t = 0では x0 = 1 + A1 + A2 = 3，t = 1では x1 = 1 − 3A1 − A2 = 5よ A1 と A2 はそれぞれ −3, 5と与えられるから完全解は次の通りである．

xt = 1 − 3(−3)t − +5(−1)t

例 3.3 xt + 4xt−1 + 4xt−2 = 9, (x0, x1) = (2, 3)c(λ) = λ2 + 4λ + 4 = 0より λ1 = λ2 − 2 ((ii)の場合) したがって，解は (3.22)より次の通り．

xt = 1 + (A1 + A2t)(−2)t = 1 + (1 + 2t)(−2)t

ここで (A1, A2) = (1, 2)は初期条件より得られる．

例 3.4 xt+2 − 2xt+1 + 4xt = 6, (x0, x1) = (3, 92 )

c(λ) = λ2 − 2λ + 4 = 0より λ = 1 ± i√

3 ((iii)の場合)

xp = xe = 6/3 = 2

42

また，

r =√

4 = 2, α = 1, β =√

3

cos θ =α

r=

12, sin θ =

β

r=

√3

2θ =

π

3

よって解は，(3.23)より

xt = 2 + rt(B1 cos θt + B2 sin θt)

= 2 + 2t(B1 cos θt + B2 sin θt)

t = 0のとき，x0 = 3 = 2 + B1 より B1 = 1．t = 1のとき，

x1 =92

= 2 + 2 (B1 cos θ + B2 sin θ) = 2 + 2

(12

+ B2

√3

2

)

より B2 =√

3．B1と B2の値が求められたので完全解は次の通り．

xt = 2 + 2t(cos

π

3t +

√3 sin

π

3t)

これを (3.24)の別形式で書く．B2/B1 =√

3より

ε = tan−1√

3 ε =π

3

したがって，

xc(t) = Art cos(θt − ε)

= A2t cos(θt − π

3

)xt = 2 + A2t cos

(θt − π

3

)t = 1のとき θ = π/3だから，

92

= 2 + A · 2 · 1 ∴ A =54

ゆえに，一般解は

xt = 2 +54· 2t cos

(θt − π

3

)= 2 +

54· 2t cos

(π

3(t − 1)

)

3.4 安定性条件

ある均衡点 xはその近くの任意の点 x0から出発する解が将来のすべての期間にわたりその近くに

とどまるとき安定的であるといわれる．より形式的に書けば xが安定的というのは任意の ε > 0に対しある δ(ε) > 0が存存して

|x0 − x| < δならば，どの n > 1についても |xn − x| < ε, ∀n > 1 (3.25)

となることである．

43

3.4.1 1階差分方程式の安定性

xt = axt−1 + bの解は x0が与えられれば xt = (x0−xe)at +xeであったことを想起しよう．t → ∞のとき xt → xe となればモデルは安定的である．そうなるためには |a| < 1つまり −1 < a < 1でなければならない．もし 0 < a < 1すなわち aが正の分数であれば t → ∞ のとき at は正の値で減

少しながら 0に収束する．たとえば a = 12 のとき t = 0, 1, 2, 3, · · · に対し at = 1, 1/2, 1/4, 1/8, · · ·

と減少しながら 0に近づく (図 3.4を見よ)．もし −1 < a < 0であれば at はその均衡値の回りを行

きつ戻りつしながら収束する (図 3.4を見よ)．たとえば a = −1/2のとき t = 0, 1, 2, 3, · · · に対しat = 1,−1/2, 1/4,−1/8, · · · となる．この区間 (−1, 1)の外側，すなわち |a| > 1同じことだが a < −1または 1 < aのときには atは xe から次第に乖離して際限なく遠ざかっていく (図 3.5を見よ)．

xt

x0

xe

x0 > xe

xe

0 t

0 < a < 1

x0 x0 < xe

xt

x0

xe

x0 > xe

xe

0 t

1 < a

x0

x0 < xe

図 3.4: xt = (x0 − xe)at + xe (a > 0)

xt

x0

xe xe

0 t

−1 < a < 0

xt

x0

xe xe

0 t

a < −1図 3.5: xt = (x0 − xe)at + xe (a < 0)

3.4.2 2階差分方程式の安定性

安定性は c(λ) = aλ2 + bλ + c = 0の根すなわち λ =b ±√b2 − 4ac

2aに依存する．

(i) ∆ ≡ b2 − 4ac > 0: このとき 2つの異なる実根が存在し安定的となるためには |λi| < 1が必要である (i = 1, 2)．これから |λ1λ2| = |c/a| < 1が条件として得られる．

(ii) ∆ = 0: このときの安定条件は |λ| < 1である．というのは解 x0(t) = (A1 + A2t)λt のなかで

項 λt が A2tを支配するからである．

44

(iii) ∆ < 0: このときの条件は |r| < 1，すなわち −1 <√

c/a < 1である．というのは |r| < 1のとき rtは (B1 cos θt + B2 sin θt)の項により引き起こされる振動を減衰させるからである．なお，安定のためには λ1λ2 = (α + iβ)(α − iβ) = λλ = α2 + β2 = r2 < 1でなければならないことに注意しよう．

3.5 経済学への応用

2階の差分方程式は経済学で広く使われてきた．ここではその重要性と先駆的性格に照らしサミュエルソンとヒックスの 2つのモデルを見ておく．

3.5.1 サミュエルソンの景気循環論 (1939)

サミュエルソンのモデルは乗数と加速度因子の上に立脚している．そこでは当期の消費 (Ct)は前期の所得 (Yt1)の線形増加関数とされ当期の投資 (It)は消費の増加 (Ct −Ct−1)と共に増加するとされる．より精確には次の通りである．

Ct = cYt−1 (0 < c < 1)

It = v(Ct − Ct−1) = cvYt−1 − cvYt−2 (v > 0)

Gt = 1 (固定的政府支出水準)

Yt = Ct + It + Gt (国民勘定恒等式)

モデルのパラメータは 2つあり，1つは cすなわち限界消費性向であり，これに対しては 1/(1 − c)がいわゆる乗数と呼ばれる．もう 1つは vでありこれは消費の増加に対する It の反応速度を与える

ので加速度因子と呼ばれる．

上の諸式は適当な代入により次の典型的な 2階線形差分方程式を与える．

Yt − c(1 + v)Yt−1 + cvYt−2 = 1 (Y0, Y1は所与) (3.26)

この解は次の通りである．

Yt = A1λt1 + A2λ

t2 +

11 − c

(3.27)

ここに Ye ≡ Yp = 1/(1 − c) = 乗数 = yT の特殊解であり λ1 と λ2 は c(λ)の根である．ただし，ここで c(λ) = λ2 − c(1 + v)λ + cv = 0であるから

λ =12

[c(1 + v) ±

√c2(1 + v)2 − 4cv

](3.28)

である．2つのバラメータ cと vが λを決定ししたがって，Ytの安定性を決めることは明かである．

判別式 ∆ ≡ c2(1 + v)2 − 4cv の符号によって 3つの場合が起こりうるが複素根の場合 (∆ < 0)には Yt は周期的に収架するか発散する．検討の必要があるのは臨界的な ∆ = 0の場合だけである．c > 0 であるから ∆ = 0 ならば c(v) = 4v/(1 + v)2 であるがこれは v ∈ (0, 2)上で凹関数となり(c, v) = (1, 1)で最大値に達する．そして v = 2で c(v)は変曲点をもちそれ以上では凸となる．つまり c′(1) = 0, c′′(v) = 8(v − 2)/(1 + v)4で v ≶ 2に対し c′′(v) ≶ 0となる．この曲線より上では根は異なる実根となるから Ytは単調に増加ないし減少する (つまり振動しない)が下では根が複素根となるので振動が起こる (図 3.6を見よ)．

c(v) = 4v/(1 + v)2 の線より下の複素根の領域では安定性は |r| = |√cv| < 1で成立し解は

Yt = rt(B1 cos θt + B2 sin θt) (3.29)

45

である．(c, v) > 0であるから |r| = 1は r = cv = 1を導きこれによリパラメータ空間が発散領域と収束領域の 2つに分けられる (図 3.6を見よ)．0 < c < 1であるから c = 1の線より下の領域だけが問題である．cv = 1と c = 4v/(1 + cv)2 の 2つの曲線は問題のパラメータ空間を 4つの領域に分ける．それらは (1)単調に発散する領域，(2)周期的に発散する領域，(3)周期的に収束する領域，(4)単調に収束する領域である．以上でサミュエルソンの循環論の分析は完了する．

c

1

0 1 v

c = 1

c(v) =4v

(1 + v)2

cv = 1

収束 発散

周期的発散

周期的収束

単調収束 単調発散

(4)

(3)

(2) (1)

図 3.6: パラメータ vc空間

3.5.2 ヒックスの景気循環論 (1950)

ヒックスの景気循環論はサミュエルソン同様，乗数 (1/s)と加速度因子 (v)の相互作用に立脚している．それは上で論じた解法の興味深い適用をなしている．ヒックスのモデルは次の通りである．

Ct = (1 − s)Yt−1 : 消費関数

It = A0(1 + g)t + v(Yt−1 − Yt−2) : 投資関数

Yt = Ct + It : 国民所得

消費 Ct はラグを伴う Yt−1の線形関数である (0 < s < 1, sは限界貯蓄性向)．投資 Itは 2つの要素からなる．外生的にある一定率 gで成長する独立的投資 A0(1 + g)t と GNPの変化に反応する誘発投資 v(Yt−1 − Yt−2), vは加速度因子,である．適当な代入により上式は次のようになる．

Yt − (1 − s + v)Yt−1 + vYt−2 = A0(1 + g)t (3.30)

特殊解 Yp はためしに解 Yt = kmt, Yt−1 = kmt−1, Yt−2 = kmt−2を (3.30)に代入することにより求められる．すなわちそのとき

kmt − (1 − s + v)kmt−1 + vkmt−2 = A0mt

より

mt−2[km2 − A0m2 − km(1 − s + v) + kv] = 0

よって

k =A0m

2

m2 − (1 − s + v)m + v(3.31)

46

となるから特殊解は次のようになる．

Ye(t) ≡ Yp(t) = kmt =(A0m

2)mt

m2 − (1 − s + v)m + v(3.32)

ここにm = (1 + g)である．これは移動均衡所得を与える．補助関数 Yc(t)は

Yc(t) = A1λt1 + A2λ

t2 (3.33)

である．ここに λ1と λ2は (3.30)の特性方程式 c(λ) = λ2 − (1 − s + v)λ + v = 0の根である．すなわち

λ1, λ2 =12[1 − s + v ±

√(1 − s + v)2 − 4v] (3.34)

安定性は判別式∆ ≡ (1− s + v)2 − 4vに依存する．異なる 2実根が存在するのは∆ > 0のときだがこの後者の不等式は 1− s+ v > 2

√vすなわち (1−√v)2 > sのときつまり (i) 1−√v >

√sか，(ii)

−1+√

v >√

sのとき成り立つ．したがって，∆ > 0であれば v < (1−√s)2か (1+√

s)2 < vとな

るがこれらはそれぞれ時間を通じて単調減少するGNPと単調増加するGNPを与える．(1−√s)2 <

v < (1 +√

s)2 に対しては ∆ < 0となるが Yt は (1 −√s)2 < v < 1のときには周期的に収束し(1 +

√s)2 > v > 1のときには周期的に発散し (不安定)そして v = 1のときには一定のサイクルを

描く．周期的収束 (p.c.)，周期的発散 (p.d.)，単調収束 (m.c.)，及び単調発散 (m.d.)の 4つの領域が区分される．完全解は

Yt = Yc(t) + Ye(t) (3.35)

である．ここに Yc(t)と Ye(t)はそれぞれ (3.33)と (3.32)により与えられる．

3.6 まとめ

最後に常微分方程式と差分方程式の解の違いを明かにしておくのが便利であろう．2階線形の場合をとりあげるとその違いは次の表のように要約される．

常微分方程式 差分方程式

方程式形 x + bx + cx = 0 axt+2 + bxt+1 + cxt = 0(または axt + bxt−1 + cxt−2 = 0)

解

(1)∆ > 0 x(t) = A1eλ1t + A2e

λ2t xt = A1λt1 + A2λ

t2

(2)∆ = 0 x(t) = (A1 − A2t)eλt

xt = (A1 + A2t)λt

(3)∆ < 0 x(t) = eαt(B1 cosβt + B2 sin βt) xt = rt(B1 cos θt + B2 sin θt)または x(t) = eαtA[cos(βt + ε)] または xt = rtA cos(θt − ε)

ここに (3)(∆ < 0)の場合に対しλ = α±iβ = Re(λ)±iIm(λ), r =√

c/a, θ = tan−1(β/α), ε =tan−1(B2/B1)である．

練習問題

1. 以下の差分方程式を解け．

(a) xt = 6xt−1

47

(b) xt − xt−1 = 17

(c) ∆xt = 14

(d) xt = −14xt−1 + 60 x0 = 8

(e) 5xt + 2xt−1 − 140 = 0 x0 = 30

(f) xt+5 + 2xt+4 + 57 = 0 x0 = 11

(g) ∆xt = xt + 13 x0 = 45

2. 以下の 2階定差方程式の特殊解，補助関数，一般解を求めよ．

(a) xt − 10xt−1 + 16xt−2 = 14

(b) xt − 6xt−1 + 5xt−2 = 12

(c) xt − 2xt−1 + xt−2 = 8

(d) xt + 7xt−1 + 6xt−2 = 42

(e) xt+2 − 11xt+1 + 10xt = 27

(f) xt − 10xt−1 + 25xt−2 = 8

3. 次の差分方程式の確定解を求め，時間経路の動学的安定性を検討せよ．

(a) xt − 10xt−1 + 16xt−2 = 14, x(0) = 10, x(1) = 36

(b) xt + 7xt−1 + 6xt−2 = 42, x(0) = 16, x(1) = −35

(c) xt+2 − 11xt+1 + 10xt = 27, x(0) = 2, x(1) = 53

(d) xt − 10xt−1 + 25xt−2 = 8, x(0) = 1, x(1) = 5

(e) xt + 4xt−2 = 15, x(0) = 12, x(1) = 11

4. 次の国民所得決定モデルを考える．

Yt = Ct + It + Gt

Ct = C0 + cYt−1

It = I0 + w(Ct − Ct−1)

ここで 0 < c < 1, w > 0, Gt = G0である．

(a) 国民所得の時間経路 Y (t)を求めよ．

(b) その動学的安定性を検討せよ．

48

第4章 連立1階微分方程式

4.1 はじめに

典型的な n元連立 1階微分方程式は

x(t) = A(t)x(t) + b(t), x(0) = x0 (4.1)

の形をしている．ただし, A(t)は一般に n×n時間変数係数行列，b(t)は時間変数 nベクトルである．

定数係数のケースは Aと bが一定である特殊なケースとして現れる．システム (4.1)は b = 0ならば同次，b = 0ならば非同次である．同次の部分 x = Axの解は補助関数 xc(t)の一般解，(4.1)に適合する特定の解は特殊積分 (xp)あるいは均衡解 (xe)と呼ばれる．その 2つの結合 x(t) = xc(t) + xeは

(4.1)の完全解となる．一般に，x1, x2, · · · , xn がそれぞれ (4.1)の解ならば，それらの 1次結合

x(t) = c1x1(t) + c2x

2(t) + · · · + cnxn(t) (4.2)

も (4.1)の解である．(4.2)の n個の解のロンスキアンW(X)とは列が (4.1)の解ベクトルである行列X の行列式である．

すなわち，

W (X) ≡ detX ≡ det(x1, x2, · · · , xn) (4.3)

である．

明らかに，W = 0のときかつそのときに限って n個の解は 1次独立である．この場合 (4.2)の表示法はただ 1 つである．このことをみるために (4.2)を Xc = x =⇒ c = X−1x と書く．ただし，

X−1 = adjX/W (X)である．そうすると，W = 0ならば零でない一意的ベクトル cが存在すること

がわかる．

4.2 定数係数の連立線形微分方程式

典型的な定数係数連立線形微分方程式は

x = Ax + b, x(0) = x0 (4.4)

である．ただし，Aは n× n定数係数行列，bは定ベクトルである．以下の議論では (b = 0の)同次方程式

x = Ax, x(0) = x0 (4.5)

をもっぱら扱う．というのは，定理 4.3で見るように，(4.4)は変数変換によって (4.5)に変形できるからである．

ところで，(4.5)を解くことは特性方程式 c(λ) = det(A − λI) = 0を解くことと同じである．1階常微分方程式では ceat が解の候補となるので，連立微分方程式の場合は，ある定数ベクトル v = 0について解 x(t) = veλt を試すことが考えられる．これを微分すると，x = λveλt = Aveλt すな

49

わち (A − λI)veλt = 0 =⇒ (A − λI)v = 0 =⇒ |A − λI| = 0(v = 0 だから) となる．これより，c(λ) ≡ |A − λI| = 0だから，この式から λ1, λ2, · · · , λn を求める．これが固有値である．各固有値

に対応する固有ベクトル v1, v2, · · · , vn を見つけ，x(t) = c1v1eλ1t + c2v2e

λ2t + · · · + cnvneλnt に代

入すればよい．この点からみれば，(4.4)の解は Aの固有値 (λi )によって決まる．そこで次の 3つのケースを区別しなければならない．

(i) すべての固有値が相異なる実数である．(ii) mi 回重複する固有値が存在する．

(iii) 複素数の固有値が存在する．これらのケースをそれぞれ順番に調べていこう．

4.2.1 ケース (i)：相異なる実固有値

まず，第 2章の最後に述べた高階微分方程式の解き方を応用して，連立微分方程式の解法を考える．

例 4.1

x1 = 7x1 − 4x2 (4.6)

x2 = 3x1 − x2 (4.7)

初期値は，x10 = 4, x20 = 8である．(4.6)より

x1 = 7x1 − 4x2 (4.8)

(4.6)を変形すると，

x2 =74x1 − 1

4x1 (4.9)

(4.9)を (4.7)に代入すると，

x2 =54x1 +

14x1

を得る．これを (4.8)に代入すると，x1 − 6x1 + 5x1 (4.10)

(4.10)の特性方程式は λ2 − 6λ + 5 = 0だから，λ = (1, 5)となる．したがって，(4.10)の一般解は

x1(t) = A1et + A2e

5t

となる．初期値の条件より，x1(0) = 7x10 − x20 = 28 − 32 = −4．また，

x1(0) = A1 + A2 = 4

x1(t) = A1et + 5A2e

5t

x1(0) = A1 + 5A2 = −4

∴ A1 = 6, A2 = −2

ゆえに，解は

x1(t) = 6et − 2e5t

(4.9)よりx2(t) = 9et − e5t

50

4.1より，変数の数が 2個の場合は高々2階の微分方程式だから，n個の変数を持つ場合は高々n階

の微分方程式になることが予想できる．だが，高階になるほど一般解を求めるのは困難になる．n次

連立微分方程式をそのまま解く方がやさしいケースもある．以下では，そのような一般的な方法を考

えてみよう．

定理 4.1 x = Ax, x(0) = x0 の解は

x(t) = eAtx0 (4.11)

である．

証明. (4.5)式を t = 0のまわりでテーラー展開 (マクローリン展開)する．x = Ax = A2x0等々を思

い出すと，

x(t) = x0 + x(0)t + x(0)t2/2! +˙x(0)t3/3! + · · ·= x0 + Ax0t + A2x0t

2/2! + A3x0t3/3! + · · ·

= (I + At + A2t2/2! + A3t3/3! + · · · )x0

≡ eAtx0

となる．ただし，行列の指数級数の無限和について，eAt ≡ I + At + A2t2/2! + · · · (t ∈ R)という定義を使っている．

応用問題において，さらには理論問題においてさえ，(4.11)の有用性は限られている．次の定理には，相似変換を用いて Aを対角化することにより得られる (4.11)の別形が与えられているが，これならば答えの計算や安定性分析は容易になる．

|P | = 0に対して，B = PAP−1のときAとBは相似という．相似な行列は同じ行列式，同じ特性

方程式を持つ．したがって，同じ固有値を持つ．だが，固有ベクトルが同じかどうかは分からない．

定理 4.2 x = Ax, Aは対角化可能, x(0) = x0, の解は

x(t) = eAtx0 = PeΛtP−1x0 (4.12)

である．ただし，P ≡ (v1, v2, · · · , vn)は Aの固有ベクトルを列とする行列である．これを様相行列

という．Λ ≡ [diagλi]は対角要素が Aの固有値である対角行列である．

証明. 相異なる実固有値は 1 次独立な固有ベクトル，したがって |P | = 0 (P の非特異性．逆行列の存在) を保証し，A は対角化可能である．固有値の定義 Avi = λivi より，A(v1, · · · , vn) =(λ1v1, · · · , λnvn) すなわち AP = PΛ であり，したがって P−1AP = Λ，すなわち A = PΛP−1，

A2 = AA = (PΛP−1)(PΛP−1) = PΛ2P−1等々となる．しかし，eAtの定義より，

eAt = I + At + A2t2/2! + · · ·= I + PΛP−1t + PΛ2P−1t2/2! + · · ·= P (I + Λt + Λ2t2/2! + · · · )P−1

= PeΛtP−1

である．ゆえに

x(t) = eAtx0 = PeΛtP−1x0

となる．

51

注 4.1 すでに述べたように，(4.12)はある定数ベクトル v = 0 について解 x(t) = veλt を試すこ

とによって得られる．特性方程式 c(λ) ≡ |A − λI| = 0を解いて，固有値 λ1, λ2, · · · , λn を見つけ，

x(t) = c1v1eλ1t + c2v2e

λ2t + · · ·+ cnvneλntに代入すれば (4.12)になる．もちろん，この方法は十分な数の固有ベクトルが存在する場合にのみ使えるのであって，ケース (ii)では常に使えるわけではない．

例 4.2 x = Ax, x0 =

[48

], A =

[7 −43 −1

]を解いてみよう．

c(λ) = |A − λI| =

∣∣∣∣∣7 − λ −43 −1 − λ

∣∣∣∣∣ = λ2 − 6λ + 5 ≡ λ2 − τλ + δ

ただし，τ ≡ trA, δ ≡ det Aである．これより，λ = (1, 5)となる．

λ1 = 1のとき，(A − λ1I)v1 = 0より，v1 =

[23

]

λ2 = 5のとき，(A − λ2I)v2 = 0より，v2 =

[21

]

よって，P ≡ [v1, v2] =

[2 23 1

], P−1 =

[−1/4 1/23/4 −1/2

], P−1x0 =

[3−1

]≡[c1

c2

]より

x(t) = PeΛtP−1x0 =

[2 23 1

][et 00 e5t

] [3−1

]≡ PeΛtc

= 3

[23

]et −

[21

]e5t

≡ c1v1eλ1t + c2v2e

λ2t

となる．

定理 4.3 x = Ax + b, x(0) = x0 の解は

x(t) = eAtc − A−1b (4.13)

である．ただし，c ≡ x0 + A−1bであるが，Aが対角化可能ならば別形で

x(t) = PeΛtP−1c − A−1b (4.14)

となる．

証明. x + A−1b ≡ yと定義し，それを (4.4)に代入すると

y = x = Ax + b = A(x + A−1b) ≡ Ay

を得る．この解は定理 4.1と定理 4.2により

y(t) = eAty0 ≡ PeΛtP−1y0

すなわち

x(t) = eAt(x0 + A−1b) − A−1b

= PeΛtP−1(x0 + A−1b) − A−1b (4.15)

である．

52

注 4.2 次のことに注意せよ．

(i) xe ≡ xp = −A−1bは x = 0として (4.4)を解くことにより得られる．これは均衡 xe または特

殊積分 xp である．したがって，c ≡ x0 − xe は t = 0における x(t)の均衡 xe からの偏差である．

(ii) 完全解 (4.15)は 2つの部分から成る．1つは補助関数 xc(t) = eAtcでシステムの任意の時刻

tにおける均衡からの偏差を示す．もう 1つは特殊積分 xp すなわち xe = −A−1bで均衡それ自体を

示す．

(iii) したがって，4.1のように x(t) = veλtの形の解を試して xc(t)について解くことができる．均衡については，Aが逆行列を持つ (非特異)ならば x = 0 = Ax + bより xe = A−1bを得る．完全解

は x(t) = xc(t) + xe = eAtc − A−1bとなる．

例 4.3

[x1

x2

]=

[2 11 2

][x1

x2

]+

[53

], x0 =

[12

]を解こう．

xe = −A−1b = −13

[2 −1−1 2

][53

]= −

[7/31/3

]

c(λ) = |A − λI| = λ2 − 4λ + 3 = 0 =⇒ λ = (3, 1)

P ≡ [v1, v2] =

[1 −11 1

], P−1 =

[1/2 1/2−1/2 1/2

]

c ≡ x0 + A−1b =

[12

]+

[7/31/3

]=

[10/37/3

]

より

x(t) = PeΛtP−1c − A−1b

=

[1 −11 1

][e3t 00 et

] [1/2 1/2−1/2 1/2

][10/37/3

]−[7/31/3

]

=176

[11

]e3t − 1

2

[−11

]et −

[7/31/3

]

≡ c1v1eλ1t + c2v2e

λ2t + xe

となる．

上では，λ = 1に対する固有ベクトルとして v2 =

[−11

]をとったが，別の固有ベクトル v2 =

[1−1

]

をとっても同じ解が導かれる (確認せよ：宿題)．

4.2.2 ケース (ii)：重複固有値

連立微分方程式 x = Axを考える．ただし，Aはmi 回重複する λi という重複固有値を持つとす

る．λi に対応する独立した固有ベクトルの数 αは mi を越えることはできないので，α ≤ mi．た

とえば A =

[0 10 0

]は重複固有値 λ1 = 0 = λ2 (m = 2)を持っているにもかかわらず，たった 1つ

の固有ベクトル (1, 0)しか持っていない．それに対し，A =

1 0 00 3 20 2 3

は固有値 λ = (1, 1, 5)で，

53

λ = (1, 1) (m = 2)に対して 2つの関連した固有ベクトルを持っている (これを確認せよ：宿題)．このケースでは重複固有値でも変わりない．Aは n個の独立した固有ベクトルを持ち，したがって対

角化可能だからである．

ところが，α < mのときは問題が生じる．なぜなら，十分な固有ベクトルが存在しないため，注 4.1

のように x(t) = veλtの形の x = Axの解を試すことができないからである. たとえばA =

[−2 01 −2

]

は重複固有値 λ = (−2,−2)を持つが，たった 1つの固有ベクトル (0, 1)を持つのみである．このようなケースでは試すべき解は x(t) = veλtではなく x(t) = eλt(tv1 + v2)である．x = Axに代入すると，

Aeλt(tv1 + v2) = λeλt(tv1 + v2) + eλtv1 = x

∴ A(tv1 + v2) = λ(tv1 + v2) + v1

すなわち，tは任意だから

Av1 = λv1 または (A − λI)v1 = 0

Av2 = λv2 + v1 または (A − λI)v2 = v1

となる．両辺に (A− λI)をかけ，固有ベクトルの定義により (A− λI)v1 = 0，v1 = 0であることに注意すれば，

(A − λI)2v2 = (A − λI)v1 = 0

すなわち，

(A − λI)2v2 = 0

を得る．

ベクトル v2は Aの一般化された固有ベクトルと呼ばれる．たとえば x = Axが 3回重複する固有値を持つとすると，その解ベクトルは

x(t) = c1h1(t) + c2h2(t) + c3h3(t) (4.16)

となり，これは h1，h2，h3の 1次結合である．ただし，h1(t) ≡ eλtv1，v1は (A − λI)v1 = 0を満たす．h2(t) ≡ eλt(tv1 + v2)，v2 は (A − λI)v2 = v1を満たす．

h3(t) ≡ eλt(t2v1 + 2tv2 + 3v3)，v3は (A − λI)v3 = v2を満たす．

一般的に言えば vi は (A − λI)vi = vi−1 を満たす．i = 1, 2, · · · , mであり，mは λの代数的重複

度である．また c1，c2，c3 は初期条件によって決めるべき任意定数である．

例 4.4 x = Ax, A =

[1 1−1 3

]を解こう．c(λ) = |A − λI| = (λ − 2)2 = 0,すなわち λ = 2 は

2回重複する．(A − λI)v1 = 0より，−x1 + x2 = 0,すなわち v1 =

[11

]. (A − λI)v2 = v1 より，

−x1 + x2 = 1,すなわち v2 =

[01

]よって解は，

x(t) = c1h1(t) + c2h2(t)

= c1v1eλt + c2(tv1 + v2)eλt

= c1

[11

]e2t + c2

[t

t + 1

]e2t

54

すなわち，c1 と c2 を任意定数として x1(t) = c1e2t + c2te

2t, x2(t) = c1e2t + c2(t + 1)e2tとなる．

上では，λ = 1に対する固有ベクトルとして v2 =

[01

]をとったが，別の固有ベクトル v2 =

[12

]を

とっても同じように解くことができるが，答えは異なる (確認せよ：宿題)．

4.2.3 ケース (iii)：複素固有値

複素根のケースは定理 4.1と定理 4.2に含まれる．もし x = Axが実定数 n × nシステムで複素

固有値を持つならば，λj = αj ± βj のようにその固有値は常に対で現れる．2次元のケースを考えよう．そのとき固有値は λ = α ± iβ すなわち λ1 = α + iβ と λ2 ≡ λ1 = α − iβ で，α = τ/2，β =

√4δ − τ2/2である．対応する固有ベクトルを v1，v2 (≡ v1)とすると，定理 4.2より解は

x(t) = eAtx0 = PeΛtP−1x0 ≡ PeΛtc

≡ c1v1eλ1t + c2v2e

λ2t (4.17)

≡ c1v1e(α+iβ)t + c2v2e

(α−iβ)t

≡ (c1v1 + c2v2)eαt cosβt + i(c1v1 − c2v2)eαt sin βt

= eαt(h1 cosβt + h2 sin βt) (4.18)

である．ただし，h1 ≡ c1v1 + c2v2, h2 ≡ i(c1v1 − c2v2)であり，両方とも実ベクトルである (c1, c2

が共役複素数のとき)．

第 2章の高階微分方程式の解法で述べたように，複素固有値に基づいて作られる解の実部と虚部が基本解を構成する．このケースでも同様の方法を使うことができる．2次元のケースを考え，複素

固有値が λ1 = α + iβ と λ2 = α − iβ，対応する複素固有ベクトルが

[u1 + iw1

u2 + iw2

]，

[u1 − iw1

u2 − iw2

]であ

るとする．そのとき，解は[x1

1(t)x1

2(t)

]=

[u1 + iw1

u2 + iw2

]e(α+iβ)t =

[u1 + iw1

u2 + iw2

]eαt(cos βt + i sin βt)

= eαt

[u1 cosβt − w1 sin βt + i(w1 cosβt + u1 sinβt)u2 cosβt − w2 sin βt + i(w2 cosβt + u2 sinβt)

][x2

1(t)x2

2(t)

]=

[u1 − iw1

u2 − iw2

]e(α+iβ)t =

[u1 − iw1

u2 − iw2

]eαt(cos βt − i sin βt)

= eαt

[u1 cosβt − w1 sin βt − i(w1 cosβt + u1 sinβt)u2 cosβt − w2 sin βt − i(w2 cosβt + u2 sinβt)

]

次のように 1次結合を作ると，実数の基本解が得られる．

x1(t) =x1

1(t) + x21(t)

2= eαt(u1 cosβt − w1 sin βt)

x1(t) =x1

1(t) − x21(t)

2i= eαt(u1 sin βt + w1 cosβt)

x2(t) =x1

2(t) + x22(t)

2= eαt(u2 cosβt − w2 sin βt)

x2(t) =x1

2(t) − x22(t)

2i= eαt(u2 sin βt + w2 cosβt)

55

例 4.5 x = Ax, A =

[−1 −14 −1

]を解こう．c(λ) = 0より λ = −1 ± 2iであり，対応する固有ベ

クトルは v1 =

[i

2

], v2 =

[−i

2

](= v1)となり，さらに P ≡ [v1, v2] =

[i −i

2 2

], P−1AP = Λ =[

−1 + 2i 00 −1 − 2i

]≡[λ1 00 λ2

]である. したがって解は c ≡ P−1x0 として，

x(t) = PeΛtP−1x0 ≡ PeΛtc

= c1v1eλ1t + c2v2e

λ2t

= c1

[i

2

]e(−1+2i)t + c2

[−i

2

]e(−1−2i)t

= e−t

(c1

[i

2

](cos 2t + i sin 2t)

)+ e−t

(c2

[−i

2

](cos 2t− i sin 2t)

)

= e−t

[c1(i cos 2t− sin 2t) + c2(−i cos 2t − sin 2t)

c1(2 cos 2t + 2i sin 2t) + c2(2 cos 2t − 2i sin 2t)

]

= e−t

[−(c1 + c2) sin 2t + i(c1 − c2) cos 2t

2(c1 + c2) cos 2t + 2i(c1 − c2) sin 2t

]

= (c1 + c2)e−t

[− sin 2t

2 cos 2t

]+ i(c1 − c2)e−t

[cos 2t

2 sin 2t

]

= k1

[− sin 2t

2 cos 2t

]e−t + k2

[cos 2t

2 sin 2t

]e−t

となる．ただし，k1 ≡ c1 + c2, k2 ≡ i(c1 − c2)である．

別解は次の通り．複素固有値は λ1 = −1 + 2iと λ2 = −1− 2i，対応する複素固有ベクトルは

[i

2

]，[

−i

2

]である．そのとき，解は

[x1

1(t)x1

2(t)

]=

[i

2

]e(−1+2i)t =

[i

2

]e−t(cos 2t + i sin 2t)

= e−t

[− sin 2t + i cos 2t

2 cos 2t + i sin 2t)

][x2

1(t)x2

2(t)

]=

[−i

2

]e(−1−2i)t =

[−i

2

]e−t(cos 2t − i sin 2t)

= e−t

[− sin 2t − i cos 2t

2 cos 2t − i sin 2t)

]

56

次のように 1次結合を作ると，実数の基本解が得られる．

x1(t) =x1

1(t) + x21(t)

2= −e−t sin 2t

x1(t) =x1

1(t) − x21(t)

2i= e−t cos 2t

x2(t) =x1

2(t) + x22(t)

2= 2e−t cos 2t

x2(t) =x1

2(t) − x22(t)

2i= 2e−t sin 2t

例 4.6 x = Ax, A =

−1 2 0−1 −1 10 1 −1

を解こう. c(λ) = 0より固有値は λ = (−1,−1 ± i), 固有

ベクトルは v1 =

101

, v2 =

201

+ i

010

≡ u + iv, v3 = v2 = u − ivである．複素根に対する解は,

e(−1±i)t ≡ e−t(cos t ± i sin t)より

c2e−t(cos t + i sin t)

2i

1

+ c3e

−t(cos t − i sin t)

2−i

1

である．連立微分方程式の解は整理すると

x(t) = c1e−t

101

+ (c2 + c3)e−t

2 cos t

− sin t

cos t

+ i(c2 − c3)e−t

2 sin t

cos t

sin t

となる．ただし，c1, c2, c3 は初期条件によって決まる任意定数である．

別解は次の通り．実固有値は λ1 = −1，対応する実固有ベクトルは

101

である．複素固有値は

57

λ2 = −1 + iと λ3 = −1 − i，対応する複素固有ベクトルは

2i

1

，

2−i

1

である．そのとき，解は

x1

1(t)x1

2(t)x1

3(t)

=

2i

1

e(−1+i)t =

2i

1

e−t(cos t + i sin t)

= e−t

2(cos t + i sin t)(− sin t + i cos t)

cos t + i sin t

x2

1(t)x2

2(t)x2

3(t)

=

2−i

1

e(−1−i)t =

2−i

1

e−t(cos t − i sin t)

= e−t

2(cos t − i sin t)(− sin t − i cos t)

cos t − i sin t

次のように 1次結合を作ると，実数の基本解が得られる．

x1(t) =x1

1(t) + x21(t)

2= 2e−t cos t

x1(t) =x1

1(t) − x21(t)

2i= 2e−t sin t

x2(t) =x1

2(t) + x22(t)

2= −e−t sin t

x2(t) =x1

2(t) − x22(t)

2i= e−t cos tx3(t) =

x13(t) + x2

3(t)2

= e−t sin t

x3(t) =x1

3(t) − x23(t)

2i= e−t cos t

よって，一般解は x1

1(t)x1

2(t)x1

3(t)

= c1

101

e−t + c2

2 cos t

− sin t

cos t

e−t + c3

2 sin t

cos t

sin t

e−t

となる．

4.3 連立微分方程式のジョルダン標準形

連立微分方程式を相似変換によってジョルダン標準形に変形すると，その解法, 特に安定性分析が大いに単純化される．これを行うには x ≡ Pyを用いて元の連立方程式

x = Ax, x(0) = x0 (4.19)

を，様相行列を用いて

x = P y = APy

y = P−1APy = Jy(4.20)

58

に変換する．その解は定理 4.1によりy(t) = eJty0 (4.21)

である．ここで議論を簡単にするために 2次元のケースを考える．そのとき，次の形式が求めるものである．

(i) 相異なる実固有値のケースでは J =

[λ1 00 λ2

]

(ii) 重複固有値のケースでは J =

[λ 10 λ

]

(iii) 複素固有値のケースでは J =

[α β

−β α

], λ = α ± iβ，(α, β は実数，i2 = −1)である．

行列 Aと J は相似であり，同じ行列式，同じ特性方程式を持ち，その結果固有値は同じである．

よって，元の形 (4.19)とジョルダン標準形 (4.20)は位相的に同値である．座標変換だけが面倒だが，両者に対しては同じ分析が有効である．

上の 3つのケースを，c(λ) = |A−λI|の根が相異なる実根，重根，複素根のいずれであるかに従って調べてみよう．

4.3.1 ケース (i)：相異なる実固有値

これは定理 4.1と定理 4.2で扱った最も単純なケースである．ジョルダン形でその解は単純に

y(t) = eJty0 = eΛty0 (4.22)

となる．ただし，J = Λ = diag(λi)で，これは対角線上に固有値 λ1 と λ2 を持つ対角行列である．

システムは完全に分解され，その解は直ちに

yi(t) = yi0eλit

と書くことができる．位相同値を示すために次の 2つの例を考えてみよう．

例 4.7 システム x = Ax，A =

[0 11 0

]は固有値 λ = ±1とそれに対応する様相行列 P =

[1 11 −1

]

を持つ. x ≡ Py による y = Λy への変換により y = Λy，Λ =

[1 00 1

]となるが，その解は y1 =

c1eλ1t = c1e

tと y2 = c2eλ2t = c2e

−tである．容易にわかるように，この場合は 45oだけ座標変換 (図4.1)すればよい．明らかに 2つのシステムは位相的に同値である．すなわち両方とも鞍点不安定構造を持つ．x(t)での解が必要ならば，xに戻す変換により

x(t) = Py =

[1 11 −1

]y =

[c1e

t + c2e−t

c1et − c2e

−t

]

となる．

例 4.8 例 4.2のシステム x = Ax, A =

[7 −43 −1

], x0 =

[48

]を考える．c(λ) = (λ−1)(λ−5) = 0,

P =

[2 23 1

], P−1 =

[−1/4 1/23/4 −1/2

], P−1x0 =

[3−1

]≡[c1

c2

]= y0. x = Axから y = P−1APy =

59

x2

x1

y2

y1

図 4.1: 座標変換

Λy =

[1 00 5

]yへの変換より，

y1 = 3et ⇐⇒ x1 = 6et − 2e5t

y2 = −e5t ⇐⇒ x2 = 9et − e5t

となる．これより 2つのシステムが位相的に同値であることがわかる．ただし，両方とも λ = (1, 5)だから不安定である．

4.3.2 ケース (ii)：重複固有値

平面上のシステムでは c(λ) = 0 より λ1 = λ2 = τ/2，τ ≡ trA である．相似変換 x = Py,P ≡ [v1, v2] (ただし，v1, v2は (A − λI)v1 = 0, (A − λI)v2 = v1 を満たす)より，

P−1AP = J =

[λ 10 λ

](4.23)

となる一般に非対角要素はゼロではないことに注意しよう．たとえばそれは cである．しかし，P の

代わりに P1 ≡ P

[1 00 c−1

]を用いるとそれは 1に変換できる．すなわち

P−1AP =

[λ c

0 λ

], P−1

1 AP1 =

[λ 10 λ

](4.24)

となる．したがって，x = Axは

y = Jy =

[λ 10 λ

]y

に変換され，その解は

y(t) = eJty0 = eλt

[1 t

0 1

]y0 (4.25)

60

である．これは eλt = 1 + λt + λ2t2/2! + · · · および eJtの定義

eJt ≡ I + Jt + J2t2/2! + · · ·

=

[(1 + λt + λ2t2/2! + · · · ) t(1 + λt + λ2t2/2! + · · · )

0 (1 + λt + λ2t2/2! + · · · )

]

=

[eλt teλt

0 eλt

]= eλt

[1 t

0 1

]

を用いることにより直ちにわかる．

例 4.9 x = Ax, A =

[1 1−1 3

]を解こう. c(λ) = 0より (λ− 2)2 = 0となり，ベクトル v1と v2は

v1 =

[11

], v2 =

[01

]となる．さらに P =

[1 01 1

], P−1AP =

[2 10 2

]だから，ジョルダン標準

形で x = Axは

y = Jy ≡[2 10 2

]y

となり，その解は，

y(t) = eJty0 = e2t

[1 t

0 1

]y0

すなわち y1(t) = (y10 + y20t)e2t, y2(t) = y20e2tとなる．

4.3.3 ケース (iii)：複素固有値

平面上のシステム x = Axを考える．ただし，Aは実定数行列で複素固有値 λ = α ± iβ とそれに

対応する固有ベクトル v1 ± iv2を持つ．固有値の定義より Av = λv，すなわち

A[v1 + iv2] = (α + iβ)(v1 + iv2)

= αv1 − βv2 + i(βv1 + αv2)

すなわち Av1 = αv1 − βv2, iAv2 = i(βv1 + αv2)となる．iを落とすと，

A[v1, v2] = [v1, v2]

[α β

−β α

]

AP = PJ

P−1AP = J =

[α β

−β α

](4.26)

となる．システムは非複素化されたものであり，x = Axは変換されて

y = Jy =

[α β

−β α

]y

となる．その解は e(α±iβ)t = eαt(cosβt ± i sinβt)であったことを思いだすと，

y(t) = eJty0 = eαt

[cosβt sin βt

− sinβt cosβt

]y0 (4.27)

61

となる. もし λ = α − iβ を用いたならば J =

[α −β

β α

]となるが，分析は影響を受けないことに注

意しよう．

以上の分析は次の定理に要約できる．

定理 4.4 平面状のダイナミカル・システム x = Ax (Aは 2× 2実行列)に対し，P−1AP = J となる

非特異行列 P が存在する．ただし，J は相異なる実固有値，重複固有値，複素固有値の各々のケー

スに対応して次の 3つのタイプのうちの 1つになる．

(i) J =

[λ1 00 λ2

]，そして y = Jyの解は，

y(t) = eJty0 =

[eλ1t 00 eλ2t

]y0

である．

(ii) J =

[λ 10 λ

]，そして y = Jyの解は，

y(t) = eJty0 = eλt

[1 t

0 1

]y0

である．

(iii) J =

[α β

−β α

]，そして y = Jyの解は，

y(t) = eJty0 = eαt

[cosβt sin βt

− sinβt cosβt

]y0

である．

4.4 連立微分方程式の安定性条件

4.4.1 漸近安定性

x = Axの解 x(t)は，その近くから出発する解が将来もずっと近くに留まるならば，(リャプーノフ)安定である．それに加えてそれらが最終的に xに収束するならば漸近安定である．

x = Axの解 x(t)は，他の任意の解 y(t)に対して |x(0)−y(0)| < δならば ∀t > 0 : |x(t)−y(t)| < ε

となる δ(ε) > 0が所与の εに対して存在するならば，(リャプーノフ)安定である．このリャプーーノフ安定性に加えて，|x(0) − y(0)| < δ ならば limt→∞ |x(t) − y(t)| = 0であるならば，漸近安定といわれる．

x = Axの解 x(t) = eΛtx0 より，すべての iについて Re(λi) < 0ならばシステムが漸近安定であるのは明らかである．これは以下のすべてのケースに対して当てはまる．

(i)相異なる実根: Im(λi) = 0だからRe(λi) = λi．すべての iについてλi < 0ならば limt→∞ PeAtP−1x0 =0 となる．

(ii) 重根: y1(t) = (c1 + c2t)eλt より指数項 eλt が線形項 c2tに優越し，λ < 0ならば t → ∞のとき y1(t) → 0となる．

(iii) 複素根: x(t) = eαt(c1 cosβt + c2 sin βt)．明らかに，cosβtと sinβtによって引き起こされる

永続的振動は，α > 0ならば爆発的に大きくなり，α < 0ならばやがて消滅し，α = 0ならば永久に

62

続く．α = 0のケースは中立安定性を持つ．すなわち，(ある ε > 0について)limt→∞ |x(t) − xe| ≤ ε

となる．明らかに，α ≡ τ2 = Re(λ)，よって α < 0 ⇐⇒ Re(λ) < 0 (ただし 2 × 2のケース)．

対角化可能な実行列 (相異なる実根を持つ)のケースでは，すべての iについて λi < 0とは，Aが

負値である，または Aの r次の主小行列式が (−1)r (r = 1, 2, · · · , n)の符号を持つというのと同じである．この性質を持つ行列 Aを経済学ではヒックス型行列と呼ぶ．Re(λi) < 0である行列 Aを安

定行列と呼ぶ場合もある．

4.4.2 大域的安定性:リャプーノフの第 2の方法

上の漸近安定性条件は均衡の近くから出発するときの局所的安定性を保証するにすぎない．リャ

プーノフの大域的安定性条件は許容空間のどこから出発するシステムにも適用される．さらにそれ

は常微分方程式系をきちんと解かなくても得ることができる．

議論を簡単にするため均衡点 xを原点にとる．すなわち x = 0とする．この均衡点の近傍の微分可能な実数値関数 v(x)は，v(x) ≥ 0, v(0) = 0すなわち x = x (= 0)のときかつそのときに限ってv(x) = 0となるならば，リャプーノフ関数という．

定理 4.5 システム x = Axは，ある正値行列W に対して方程式A′V + V A = −W が正値行列 V を

持つときかつそのときに限って，大域的に安定である．

証明. v(x) ≡ x′V xを微分すると

v(x) = x′V x + x′V x

= x′A′V x + x′V Ax

= x′(A′V + V A)x

= x′(−W )x < 0

となる．

4.5 定性的解法:位相図

平面における単純な (非特異の)実線形連立微分方程式

x = Ax (4.28)

を考える．ジョルダン標準形では

y = Jy (4.29)

であるが，特性方程式 c(λ) ≡ |A − λI| = λ2 − τλ + δ = 0が, (i) 2つの相異なる実根 λ1 と λ2，(ii)重根 λ1 = λ2 = λ = τ/2，(iii) 複素根 λ = α ± iβ, α ≡ τ/2, 2β ≡√4δ − τ2, τ ≡ trA, δ ≡ detAを

持つかどうかに従って，J は次の形のうちの 1つを取る．

(i)

[λ1 00 λ2

](ii)

[λ γ

0 λ

](iii)

[α β

−β α

]

明らかに，x = 0となる均衡点は原点 (0, 0)である．位相図を用いてこの均衡点の定性的性質を標準形において分析してみよう．すでに注意したように，(4.28)と (4.29)は位相的に同値であるが(4.29)の方が簡単である．

63

ケース (i)：相異なる実固有値 λ1，λ2，J =

[λ1 00 λ2

]. 標準形ではシステムは分解され，解は

yi = cieλit (i = 1, 2) である．そして λi < 0 (λi > 0) ならばその解は次第に 0 (∞) に向かう．

λ2 < λ1 < 0ならば y2は y1よりも速く原点に至り，逆の場合も同様である．原点は結節点と呼ばれ

るが，図 4.2は安定結節点である．(a)で 0 < λ1 < λ2 ならば，そして (b)で 0 < λ2 < λ1 ならば矢

印は逆になる．この場合は不安定結節点である．λ2 < λ1 < 0, c1 = 0ならば，t → ∞のときの極限では

y2

y1=

c2

c1e(λ2−λ1)t

は 0に向かう．すなわち，軌道は原点の近くで横軸に接する (図 4.2を見よ)．c1 = 0 = c2 ならば

(y1, y2) = (0, c2eλ2t)，すなわち y1は 0に留まるが，y2は λ2 > 0のときは原点から縦軸に沿って離

れていき，λ2 < 0のときは原点に向かって縦軸に沿って進む．c2 = 0 = c1のときも同様に考えれば

よい．この場合は，横軸に沿って進む．

基本事項：

t → ∞のとき，λ < 0ならば，eλt → 0

λ > 0ならば，eλt → ∞

y2

y1

y2

y1

(a) λ2 < λ1 < 0 (b) λ1 < λ2 < 0図 4.2: 結節点

固有値がたとえば λ1 < 0 < λ2 のように反対符号ならば，y1が横軸に沿って原点に進むのに対し

y2 は縦軸に沿って原点から離れる．この場合は鞍点と呼ばれる (図 4.3を見よ)．図 4.3のいずれのケースも横軸と縦軸は双曲線を区分けしている．

ケース (ii) 重根 λ1 = λ2 = τ/2 = λ, J =

[λ γ

0 λ

]．標準形で方程式は

y1 = λy1，すなわち y1 = c1eλt

y2 = γy1 + λy2，すなわち y2 = (c2 + c1γt)eλt (4.30)

である．軌道は t = 0のとき (c1, c2)を通り，t → ∞のとき λ < 0ならば 0に向かい，λ > 0ならば∞に向かう．c1 = 0，γ > 0ならば，

y2

y1=

c2 + c1γt

c1=

c2

c1+ γt

64

y2

y1

y2

y1

λ1 < 0 < λ2 λ2 < 0 < λ1

図 4.3: 鞍点

は∞に向かう (γ < 0ならば −∞に向かう)．正確にいうと，γ > 0, λ < 0ならば，t → ∞のときの極限では軌道は原点に戻り y2軸に接する．同様に，γ > 0, λ > 0ならば，矢印の方向は逆になる(図 4.4を見よ)．原点は変格結節点である．

y2

y1

y2

y1

λ < 0 < γ λ > 0, γ > 0

図 4.4: 変格結節点

λ1 = λ2 = τ/2, γ = 0ならば，すなわち Aが対角行列そのものならば，軌道は直線に沿って進む．

ただし，λ < 0ならば原点に向かい，λ > 0ならば原点から離れて行く．原点は星形点である (図 4.5を見よ)．

ケース (iii) 複素根 λ = α ± iβ, J =

[α β

−β α

]. α = 0 = β ならば，標準形より

y1 = αy1 + βy2

y2 = −βy1 + αy2 (4.31)

となる．極座標では，y1 = r cos θ, y2 = r sin θ, r2 = y21 + y2

2 , tan θ = y2/y1となる (図 4.6を見よ)．r2 を時間微分すると

2rr = 2y1y1 + 2y2y2

65

y2

y1

y2

y1

λ < 0 λ > 0図 4.5: 星形点

となる．両辺を 2で割って (4.31)を代入すると

rr = α(y21 + y2

2) = αr2

r = αr (4.32)

y2

y1

r

θ

0

r sin θ

r cos θ

図 4.6: 極座標

同様に tan θを時間微分すると

d

dt(tan θ) = (sec2 θ)θ =

y1y2 − y2y1

y21

y21 sec2 θθ = y1y2 − y2y1

となる．(4.31)を代入して (sec2 θ)y21 = r2 = y2

1 + y22 であることを思い出すと，

r2θ = −β(y21 + y2

2) = −βr2

θ = −β

θ(t) = θ0 − βt (4.33)

となる．この 2つの方程式 (4.32)と (4.33)は軌道に関する完全な情報を与える．α > 0ならば r > 0だから，時間の経過とともに rは増大する．逆に，α < 0ならば r < 0だから，時間の経過とともに

66

rは減少する．β > 0ならば θ < 0だから，時間の経過とともに θは減少する．したがって，右回転

する．逆に，β < 0ならば θ > 0だから，時間の経過とともに θは増大する．したがって，左回転す

る．β = 0ならば実根 (重根)なので，このケースは起こりえない．よって，6つのケースを区別しなければならない．

(a) α > 0, β > 0: r(t)は (4.32)により時間の経過とともに増大するので，原点から遠ざかる．一方，θ(t)は (4.33)により次第に減少するので，右回転する．したがって，システムは右回りに螺線状に原点から遠ざかる．ゆえに原点は不安定である (図 4.7(i)を見よ)．

(b) α > 0, β < 0: 逆に，システムは左回りに螺線状に原点から遠ざかる．原点は (a)と同様に不安定である (図 4.7(ii)を見よ)．

y2

y1

(ii) β < 0 < α

y2

y1

(i) α > 0, β > 0

r

図 4.7: 渦状点

(c) α < 0, β > 0: r(t)は (4.32)により時間の経過とともに減少するので，原点に接近する．一方，θ(t)は (4.33)により次第に減少するので，右回転する．したがって，システムは右回りに螺線状に原点へ接近する．ゆえに原点は安定渦状点ないし螺線沈点である (図 4.8(iii)を見よ)．

(d) α < 0, β < 0: 逆に，システムは左回りに原点へ接近する．原点は (c)と同様，安定である (図4.8(iv)を見よ)．

y2

y1

(iii) α < 0 < β

y2

y1

(iv) α < 0, β < 0

r

図 4.8: 渦状点

(e) α = 0 < β: rはずっと一定のままであるが θは減少する．すなわち軌道は閉じた円の上を右回

67

りに進む．原点は渦心点であり，中立安定性を有する (図 4.9(v)を見よ)．(f) α = 0 > β: (e)と同様に rはずっと一定のままであるが，θは増大するので，軌道は閉じた円

の上を左回りに進む．原点は渦心点であり，中立安定性を有する (図 4.9(vi)を見よ)．

y2

y1

(v) α = 0 < β

y2

y1

(vi) α = 0 > β

図 4.9: 渦心点

練習問題

1. 次の連立微分方程式を解け．

(a)

x1 = x2 + t

x2 = −x1 + t2 + 1

(c)

x1 = x1 + 2x2

x2 = −x1 + 4x2

(e)

x1 = 3x1 − x2

x2 = x1 + x2

(g)

x1 = x1 − 2x2

x2 = x1 + 3x2

(i)

x1 = 2x1 + x2 + et

x2 = 2x1 + 3x2 + 5et

(b)

x1 = x2 + et(1 − t)

x2 = −x1 + et(t + 2)

(d)

x1 = x1 + x2

x2 = −x1 + x2

(f)

x1 = 2x1 − x2

x2 = 3x1 − 2x2

(h)

x1 = x2

x2 = −x1 + 2x2

(j)

x1 = x2 + x3

x2 = x1 + x3

x3 = x1 + x2

2. 次の連立微分方程式を解け．

68

(a)

x1 = x2 + t

x2 = x1 + t

(c)

x1 = x1 + x2 + t

x2 = 2x1 + et

(e)

x1 = x2 + cos t

x2 = 2x1 − sin t

(b)

x1 = −2x2 − cos t

x2 = x1 + cos t

(d)

x1 = x1 − x2 + 1

x2 = x1 + x2 + 1

(f)

x1 = et − 5x1 − x2

x2 = e2t + x1 − 3x2

69

第5章 連立1階差分方程式

5.1 1階線形連立差分方程式

連立微分方程式との類似点を考えると，連立差分方程式については簡潔に論じれば十分である．こ

こでは，定数係数 1階線形連立差分方程式の解，安定性条件，位相図を扱う．典型的な同次形は

xt = Axt−1, x(0) = x0 (5.1)

であり，非同次形は

xt = Axt−1 + b, x(0) = x0 (5.2)

である．ただし Aは n × n実行列である．

定理 5.1 xt = Axt−1, x(0) = x0の解は

xt = Atx0 (5.3)

である．

証明. t = 1, 2, · · · , nのように逐次代入すると次のようになる．

x1 = Ax0

x2 = Ax1 = A2x0

...

xt = Atx0

最後の式は任意の tに対して成り立つ．

相異なる実固有値と，代数的重複度と幾何的重複度が等しい重複固有値のケースでは Aは対角化

可能だが，そのときには (5.2)は次の定理 5.2のようにもっと実用的な形で表現できる．

定理 5.2 Aが対角化可能ならば，解は次のように表現できる．

xt = Atx0 = PΛtP−1x0 (5.4)

≡ c1v1λt1 + c2v2λ

t2 + · · · + cnvnλt

n (5.5)

証明. Aが対角化可能ならば，すなわち固有ベクトルの行列 P = [v1, v2, · · · , vn]が |P | = 0を満たす(非特異)ならば，P−1AP = Λ, A = PΛP−1, A2 = (PΛP−1)(PΛP−1) = PΛ2P−1等々である．し

たがって，

xt = Atx0 = PΛtP−1x0

≡ c1v1λt1 + c2v2λ

t2 + · · · + cnvnλt

n

70

となる．ただし，ci はベクトル c ≡ P−1x0 (1 ≤ i ≤ n)の i要素，vi は λi に対応した固有ベクトル

である．

スカラー表示を考えると，(5.5)の各 xi(t)は，

xi(t) = k1iλt1 + k2iλ

t2 + · · · + kniλ

tn (5.6)

となる．ただし，vji を固有ベクトル vj (i, j = 1, 2, · · · , n)の i要素とすると kji ≡ cjvji であり，こ

れは初期条件によって決められる定数である．

定理 5.3 非同次形 xt = Axt−1 + b, x(0) = x0 の解は

xt = At(x0 − xe) + xe (5.7)

または

xt = PΛtP−1(x0 − xe) + xe (5.8)

である．ただし，(I−A)は非特異 (|I−A| = 0)，Aは対角化可能と仮定されており，xe ≡ (I−A)−1b

は xの均衡 (ないし特殊解 xp)である．

証明. 逐次代入により，

x1 = Ax0 + b

x2 = Ax1 + b = A(Ax0 + b) + b

= A2x0 + Ab + b

x3 = A3x0 + (I + A + A2)b

となるから，任意の tに対して

xt = Atx0 + (I + A + · · · + At−1)b

となる．ところが (I+A+ · · ·+At−1)(I−A) = I−Atだから (I+A+ · · ·+At−1) ≡ (I−At)(I−A)−1

(ただし |I − A| = 0)である．これを代入すると

xt = Atx0 + (I − At)(I − A)−1b = At[x0 − (I − A)−1b] + (I − A)−1b ≡ At(x0 − xe) + xe

となり，これは (5.7)である．仮定により Aは対角化可能だから，相似変換により P−1AP = Λ ≡diag(λi)，すなわち A = PΛP−1, A2 = PΛ2P−1, · · · , At = PΛtP−1である．したがって，(5.7)は

xt = At(x0 − xe) + xe

= PΛtP−1(x0 − xe) + xe

となる．これは (5.8)である．別証明. 定理 5.3のもっと簡単な証明は xt の均衡 xe からの偏差に着目することにより得られる．

yt ≡ xt − xe と定義すると xt = yt + xe．このとき

xe = (I − A)−1b

xt = Axt−1 + b = yt + xe = A(yt−1 + xe) + byt = At−1 − (I − A)xe + b = Ayt−1 + 0

となる．なぜなら (I − A)xe = bとなるからである．最後の式は同次形 (5.1)だから，その解は

yt = Aty0

である．xtに戻して書くと (5.8)を得る．

71

例 5.1 xt = Axt−1, A =

[3 05 2

], x0 =

[12

]を解こう.

c(λ) = |A − λI| =

∣∣∣∣∣3 − λ 05 2 − λ

∣∣∣∣∣ = (λ − 3)(λ − 2) = 0

よって，λ = (3, 2)となる．

λ1 = 3のとき，(A−λ1I)v1 = 0より，v1 =

[15

]．λ2 = 2のとき，(A−λ2I)v2 = 0より，v2 =

[01

]．

ゆえに，P ≡ [v1, v2] =

[1 05 1

], P−1 =

[1 0−5 1

], P−1x0 =

[1−3

]より

xt = PΛtP−1x0 =

[1 05 1

][3t 00 2t

][1−3

]

= 1

[15

]3t − 3

[01

]2t

≡ c1v1λt1 + c2v2λ

t2

となる．

例 5.2 xt =

[−2 11 −2

]xt−1 +

[24

], x0 =

[34

]を解こう.

c(λ) = |A − λI| = (λ + 1)(λ + 3) = 0

よって，λ = (−1,−3)となる．したがって，P ≡ [v1, v2] =

[1 −11 1

], P−1 =

[1/2 1/2−1/2 1/2

],

xe = (I − A)−1b = 18

[3 11 3

] [24

]=

[5/47/4

], c ≡ x0 − xe =

[34

][5/47/4

]=

[7/49/4

], P−1c =

[2

1/4

]．し

たがって，(5.7)より解は

xt = PΛtP−1c + x0

=

[1 −11 1

][(−1)t 0

0 (−3)t

] [2

1/4

]+

[5/47/4

]

= 2

[11

](−1)t +

14

[−11

](−3)t +

[5/47/4

]

となる．

5.2 ジョルダン標準形

上の諸定理はすべてのケースについて有効である．Aが n個の相異なる (実数または複素数の)固有値を持つケースは明らかである．というのは，対応する固有ベクトルは独立であり，Aは完全に

対角化可能だからである．代数的重複度が幾何的重複度に等しい限り，それらの定理は重複固有値

のケースについも有効である．n個の固有ベクトルは 1次独立だから Aは完全に対角化可能である.

72

同様に Aが不完全行列のケースにも有効である．このケースでは k回重複する固有値 λiが存在する

が幾何的重複度は kより小さい．しかし，Aを細胞ごとに対角化する非特異行列 P を常に見つける

ことができる. そのような行列 P は，P−1AP = J のように Aをそのジョルダン標準形 J に変換す

るが，この J とは細胞対角行列

λ1

. . .

λk

λi 1 0λi

λi

のことである. 明らかに完全対角化可能のケースは J = Λ = diag(λi)という特殊ケースとして現れる．

安定性や定性的解法が問題となるときは標準形の方が分析しやすい．元のシステムと標準形のシ

ステムは位相的に同値であるが，しなければならないことはたいていは単なる座標変換である．以下

では c(λ) = |A − λI| = 0が相異なる実根，重根，複数根を持つケースを 1つずつ調べてみよう．

5.2.1 ケース (i): 相異なる実固有値

このケースでは，固有ベクトルは 1次独立でありAは P−1AP = Λのように完全に対角化可能である．システム (5.1)の xt = Axt−1が与えられると，標準形は変数変換 xt ≡ Pyt(または yt = P−1xt)によって得られる．(5.1)に代入すると

xt = Pyt = APyt−1 ≡ Axt−1

yt = P−1APyt−1 ≡ Λyt−1 ≡ Jyt−1 (5.9)

となり，解は

yt = Λty0 (5.10)

である．すなわち yt = yi0λti (t = 1, 2, · · · , n)．

例 5.3 xt = Axt−1, A =

[3 05 2

], x0 =

[12

]を解こう. これは例 5.1のシステムであり，ジョル

ダン標準形では

yt = ΛtP−1y0 =

[3t 00 2t

][1−3

]

のように簡単になる. ただし y0 ≡ P−1x0 =

[1 0−5 1

] [12

]=

[1−3

]. xt = Pytに戻して書くと，

xt = Pyt =

[1 05 1

][3t 00 2t

][1−3

]=

[15

]3t − 3

[01

]2t

となる．

73

5.2.2 ケース (ii): 重複固有値

xt = Axt−1のAがmi回重複する固有値 λiを持つならば，xt = Pyt (または yt = P−1xt)を用いて得られるジョルダン標準形での解は

yt = P−1APyt−1 ≡ Jyt−1

である．ただし

J =

λ1

. . .

λk

λi 1 0λi

λi

議論を簡単にするために，2 × 2のケースを考えよう．特性方程式 c(λ) = |A − λI| = λ2 − τλ + δ = 0より λ1 = λ2 = τ/2 = λであり，したがって (5.9)

より

yt = Jyt−1 ≡[λ 10 λ

]yt−1 (5.11)

となる．ただし，xt = Pyt の P ≡ [v1, v2]は (A − λI)v1 = 0, (A − λI)v2 = v1 となるように選ば

れている (一般に，(A − λI)vi = vi−1 (i = 1, 2, · · · , mi)，mi は λi の代数的重複度)．したがって，(5.9)は 1階連立差分方程式 (5.11)に変形されたのであり，その解は

yt = J ty0 =

[λt tλt−1

0 λt

]y0 (5.12)

である．ただし y0 = P−1x0．実際，(5.11)は三角行列のシステムなので最後の方程式はただちにy2(t) = λty20と解け，それを最初の方程式に (一般には，最後から 2番目の方程式，3番目の方程式等々と順次に)代入すればよい．

例 5.4 xt = Axt−1, A =

[1 −11 3

], x0 =

[12

]を解こう.

c(λ) = (λ−2)2 = 0と (A−λI)v1 = 0より，v1 =

[−11

], (A−λI)v2 = v1より，

[−1 −11 1

][x1

x2

]=[

−11

], すなわち v2 =

[01

], P ≡ [v1, v2] =

[−1 01 1

]= P−1を得る．したがって，P−1AP =

[2 10 2

],

P−1x0 =

[−13

]= y0となり，解は

yt = J ty0 =

[2t t2t−1

0 2t

] [−13

]=

[−1 + 3t/2

3

]2t

となる．実際，2番目の方程式はただちに解けて y2(t) = 2ty20 = 2t(3)であり，それを最初の方程式に代入すると y1(t) = 2y1(t − 1) + y2(t − 1)，すなわち

y1(t + 1) = 2y1(t) + 2t(3)

74

を得る．この解は y1(t) = (y10 + ty20/2)2t = (−1 + 3t/2)2tである．ただし

y0 ≡ P−1x0 =

[−1 01 1

][12

]=

[−13

]≡[y10

y20

]

である.

5.2.3 ケース (iii): 複素固有値

xt = Axt−1のAが複素固有値 λj を持つならば，それらは λj = αj ± iβj のように対で現れる．た

だし，αj と βj は実数で，i2 = −1である．議論を簡単にするために 2 × 2のケースを考えよう．そうすると c(λ) = |A − λI| = 0より λ = α ± iβ を得る．ただし，α ≡ τ/2，β ≡√4δ − τ2/2で両方とも実数である．極座標 α = r cos θ, β = r sin θ への変換により Rθ (原点のまわりの角 θ だけの回

転)の標準基

J =

[α β

−β α

]= r

[cos θt sin θt

− sin θt cos θt

](5.13)

を得る．お決まりの xt = Pytを用いた標準形では，xt = Axt−1 は

yt = Jyt−1 (5.14)

となり，その解は (ド・モアブルの定理を用いると)

yt = J ty0 = rt

[cos θt sin θt

− sin θt cos θt

][c1

c2

](5.15)

となる．ただし，θ = tan−1(β/α), c1 = P−1x0 = y0である．

例 5.5 xt = Axt−1, A =

[1 1−1 1

], x0 =

[24

]を解こう.

c(λ) = λ2 − 2λ + 2 = 0 より，λ = 1 ± i, そして固有ベクトル v1 =

[1i

]≡[10

]+ i

[01

],

v2 ≡ v1 =

[1−i

]=

[10

]+ i

[01

], P =

[1 00 1

]を様相行列として用いると, (5.13)，(5.14)，(5.15)より

xt = Atx0 = PΛtP−1x0 =

[1 00 1

][1 1−1 1

]t [1 00 1

][24

]

= (√

2)t

[cos(π

4 )t sin(π4 )t

− sin(π4 )t cos(π

4 )t

][24

]

= (√

2)t

[2 cos(π

4 )t + 4 sin(π4 )t

−2 sin(π4 )t + 4 cos(π

4 )t

](5.16)

となる．(5.15)は，以前と全く同じであるが，(5.16)では θ = tan−1(1) = 45 = (π/4), r =√

2となる．

議論を簡単にするために平面におけるシステムを考えると，以上の分析は次の定理に要約できる．

75

定理 5.4 システム xt = Axt−1 は標準形

yt = Jyt−1 (5.17)

に変換でき，その解は

yt = J ty0 (5.18)

である．ただし J は次のようになる．

(i) 相異なる実固有値のケースでは，J =

[λ1 00 λ2

]

(ii) 重複固有値のケースでは，J =

[λ 10 λ

]

(iii) 複素固有値のケースでは，J =

[α β

−β α

]= r

[cos θ sin θ

− sin θ cos θ

]

そして，(i)のときJ t =

[λt

1 00 λt

2

]，(ii)のときJ t =

[λt tλt−1

0 λt

]，(iii)のときJ = rt

[cos θt sin θt

− sin θt cos θt

]

となる.

実際には，xt = Axt−1 が与えられたとき，解は次のような形になる．

(i) 相異なる実固有値のケースでは，xt =∑n

i=1 civiλti

(ii)固有値 λpがm回重複するケースでは，xt =∑m

i=1 civiλti +(c0+c1t+c2t

2 + · · ·+cm−1tm−1)λt

p

(iii) 複素固有値の各対 λi = αj ± βj について，xt = rt

[x10 cos θt + x20 sin θt

x20 cos θt − x10 sin θt

]．(例 6.5でみた

ように θ = tan−1(βj/αj)．)

5.3 安定性条件

5.3.1 局所的安定性

(5.4)，(5.5)より xt = Axt−1 の解は

xt = Atx0 = PΛtP−1x0 ≡ c1v1λt1 + · · · + cnvnλt

n

あるいは標準形では

yt = Λty0

であることがわかった．したがって，漸近安定性条件は単に，すべての iに対して

|λi| < 1 (5.19)

すなわち，すべての固有値 λ1, λ2, · · · , λn が単位円の内部にあるということになる. というのはlimt→∞ yi(t) = limt→∞ λt

iyi0 = 0となるからである. この基本的条件はすべてのケースに対して成立する．実根のケースでは，λi が相異なっても重複しても，明らかに成り立つ．複素根のケースで

は，安定性条件は解

xt = rt

[cos θt sin θt

− sin θt cos θt

]c

において |r| < 1となることである．ところで，複素根のケースでは λ = α± iβだから，|λ|2 ≡ λλ =(α + iβ)(α− iβ) = r2 = δ (≡ detA)すなわち |λ| = |r| =

√α2 + β2となる (動径 rは正だから+を

76

θ

θ0

β = Imλ

α = Reλ

r

r

α + iβ

α − iβ

図 5.1: λ = α ± iβ

考慮しさえすればよい．図 5.1を見よ)．したがって，|λ| < 1 ⇐⇒ |r| < 1，すなわち安定であるためには各固有値の絶対値は (半径 r = 1の)単位円の内部になければならない．次のことに注意しよう．すなわち，λi > 0のときは均衡への収束 (0 < λi < 1)または均衡から

の乖離 (1 < λi)であるが，どちらにしても (5.6)の λti はすべての tに対して正だから均衡は向きを

保存する．しかしながら，λi < 0のときは，均衡に収束しても (−1 < λi < 0)均衡から乖離しても(λi < −1)，(5.6)の λt

i は交互に正 (tが偶数のとき)と負 (tが奇数のとき)になるので軌道は向きを逆転する．

5.3.2 大域的安定性

大域的安定性については次の定理がある．

定理 5.5 連立差分方程式 xt = Axt−1は，−C = A′BA− B が負値であるような正値対称行列 B が

存在するときかつそのときに限って大域的に安定である．

証明. 次の形のリャプーノフ関数 V (xt)を考えよう．

V (xt) = x′tBxt

ただし Bは正値である．V (xt)がリャプーノフ関数 (V ≥ 0, ∆V < 0)になることは次のように容易に確かめられる．

∆V (xt) ≡ V (xt+1) − V (xt)

= x′t+1Bxt+1 − x′

tBxt

xt+1 = Axtを代入すると，

∆V (xt) = x′tA

′BAxt − x′tBxt

= x′t(A

′BA − B)xt

= x′t(−C)xt < 0 (5.20)

となる．逆もまた成立する．

77

5.4 定性的解法:位相図

平面上の連立差分方程式 xt = Axt−1についても連立微分方程式のときと同じ方法で位相図を描く

が，1つだけ異なるのは点と点が離れているので見やすいように結んで連続した曲線にしていることである．議論を簡単にするために，元の形よりはジョルダン標準形で分析しよう．その 2つのシステムは位相的に同値だからである．

特性方程式 c(λ) = |A−λI| = λ2 − τλ+ δ = 0は根 λ = τ/2±√∆/2を持つ．ただし∆ ≡ τ2 − 4δ

である．∆の符号に従って 3つのケースを別々に分析する．(i) ∆ > 0: 相異なる 2実根システムの原点は |λi| < 1 のとき安定結節点 (SN),|λi| > 1 のとき不安定結節点 (UN)，そして

|λi| < 1 < |λj |, i, j = 1, 2, i = j のとき鞍点 (SP)である (図 5.2，5.3を見よ)．

y2

y1

y2

y1

|λ1| < 1, |λ2| < 1 |λ1| > 1, |λ2| > 0

(i) 安定結節点 (ii) 不安定結節点

図 5.2: 結節点

y2

y1

y2

y1

|λ1| < 1 < |λ2| |λ2| < 1 < |λ1|(iii) 鞍点 (iv) 鞍点

図 5.3: 鞍点

(ii) ∆ = 0: 重根

78

λ1 = λ2 = λ, J =

[λ 10 λ

](図 5.4を見よ)

y2

y1

y2

y1

|λ| < 1 1 < |λ|(i) 安定変格結節点 (ii) 不安定変格結節点

図 5.4: 変格結節点

(iii) ∆ < 0: 複素根

λ = α ± β, α ≡ τ/2, β ≡ √− ∆/2, J =

[α β

−β α

]= r

[cos θ sin θ

− sin θ cos θ

]. α = 0 = β, r =√

α2 + β2 = β < 1ならば安定渦状点であり，r = β > 1ならば不安定渦状点である (図 5.5を見よ)．

y2

y1

y2

y1

|r| > 1 |r| < 1(i) 不安定渦状点 (ii) 安定渦状点

図 5.5: 渦状点

練習問題

1. 次の連立差分方程式を解け．

79

(a)

x1(t) = x2(t − 1)

x2(t) = 4x1(t − 1)

(c)

x1(t) = x1(t − 1) − 2x2(t − 1)

x2(t) = 3x1(t − 1) − 6x2(t − 1)

(e)

x1(t) = 2x1(t − 1) − x2(t − 1)

x2(t) = 3x1(t − 1) − 2x2(t − 1)

(g)

x1(t) = x1(t − 1) + x2(t − 1)

x2(t) = −x1(t − 1) + 3x2(t − 1)

(i)

x1(t) = 4x1(t − 1) − x2(t − 1)

x2(t) = 2x1(t − 1) + x2(t − 1)

(b)

x1(t) = 7x1(t − 1) − 4x2(t − 1) + 2

x2(t) = 6x1(t − 1) − 3x2(t − 1)

(d)

x1(t) = x1(t − 1) + x2(t − 1)

x2(t) = −x1(t − 1) + x2(t − 1)

(f)

x1(t) = 3x1(t − 1) − 2x2(t − 1)

x2(t) = 5x1(t − 1) − 3x2(t − 1)

(h)

x1(t) = 5x1(t − 1) + 2x2(t − 1)

x2(t) = −2x1(t − 1) + x2(t − 1)

(j)

x1(t) = 2x1(t − 1) + x2(t − 1)

x2(t) = 2x1(t − 1) + 3x2(t − 1)

2. 次の連立差分方程式を解け．

(a)

x1(t) − x2(t − 1) = t

x2(t) − 4x1(t − 1) = 0

(c)

x1(t) − x2(t − 1) = t

x2(t) − 4x1(t − 1) = 3t

(b)

x1(t) − x2(t − 1) = 0

x2(t) − 4x1(t − 1) = 3t

(d)

x1(t) + x2(t) − x1(t − 1) = 0

x2(t) − 2x1(t − 1) − x2(t − 1) = at a = −1)

80

第6章 最適制御

6.1 はじめに

ここでは，ダイナミック・システムを制御する方法について考える．たとえば，ある成長率で増え

る魚資源をどれだけ収穫するかという問題。多くとりすぎれば資源が枯渇し，少なすぎれば，利潤

が得られない．いかなる収穫高の軌跡 (毎期どれだけの漁獲高にするか)が最適経路であるかを確定しておかなければならない．それには，さまざまな経路の中から選択を行うための基準が必要であ

るし，経路が何に依存して変化するかを特定化しておかなければならない．x(t) は時点 tにおける

状態，u(t) は時点 tにおける制御を表すとすると，最適制御問題は制御の集合 u(t)を選択することによって最適な経路 x(t)を見つけることである．この問題を解く方法には，次のようなものがある．

(1) 変分法(2) ダイナミック・プログラミング(3) 最大値原理ここでは，Pontryagin et al. (1962)に基づく (3) の方法を考察する．それはしばしば，ポント

リャーギンの最大値原理と呼ばれる．

6.2 連続モデル

以下のような典型的な連続時間制御問題を考える．仮定として，(1) 有限時間の終点 T , (2) 自律系方程式, (3) 一意に決まる終点状態, (4) 1つの状態変数と制御変数，を設ける．

maxu(t)

J =∫ T

0

V (x, u)dt

x = f(x, u)

x(0) = x0

x(T ) = xT

(6.1)

ここで, x は状態変数, uは制御変数であり, 両者とも時間 tの関数である．

2つの経路 u∗，u∗∗ がともに微分方程式 x = f(x, u)の解であるとする．問題は，終点条件 x(t∗) =xT，x(t∗∗) = xT を満たす経路のうちいずれが J を最大化しているかである．したがって正確には，

次のように述べることができる．初期状態 x0 から終点状態 xT へつなぐシステムを形成し，かつ目

的関数 J を最大化する制御変数の経路 u(t)を見つけることが最適制御問題の課題である．λ(t) によって制約条件 x = f(x, u)に対するラグランジュ未定乗数を表す．これを共役変数と呼ぶ．

81

そのとき，ラグランジュ関数は

L =∫ T

0

V (x, u)dt +∫ T

0

λ[f(x, u) − x]dt

=∫ T

0

[V (x, u) + λf(x, u) − λx]dt

と書ける．ここでハミルトニアン (関数)を次のように定義する．

H(x, u) = V (x, u) + λf(x, u) (6.2)

すると，

L =∫ T

0

[H(x, u) − λx]dt (6.3)

式 (6.3) を練習問題 1(宿題！)の結果を用いて変形する．

−∫ T

0

λxdt =∫ T

0

xλdt − [λ(T )x(T ) − λ(0)x(0)] (6.4)

となるので，L は次のようになる．

L =∫ T

0

[H(x, u) + λx]dt − [λ(T )x(T ) − λ(0)x(0)] (6.5)

ここで，制御変数の値が変化したとき状態変数の値がどのように変化するかを考えよう．たとえ

ば，制御変数の経路が u(t) から u(t) + ∆u(t) に変化し，その結果状態変数の軌道が x(t) から x(t) + ∆x(t)に変化したとする. そのとき，ラグランジュ関数の変化∆Lは

∆L =∫ T

0

[∂H

∂xdx +

∂H

∂udu + λdx

]dt − λ(T )dxT

=∫ T

0

[∂H

∂udu +

(∂H

∂x+ λ

)dx

]dt − λ(T )dxT

である．du，dxの符号は ±いずれでもありうるので，最大値では，∆L = 0が成り立つ. これより最大値の必要条件が導かれる．

(i)∂H

∂u= 0 0 ≤ t ≤ T

(ii) λ = −∂H

∂x0 ≤ t ≤ T

(iii) λ(T ) = 0 (あるいは xT が既知ならば，x(T ) = xT )

(i) は，最適経路上の各時点でハミルトニアンが最大になるよう制御変数が選択されていることを述べている．ここでは，内点解を持ち，制御変数に制約がないことを仮定している．(ii) は共役変数λの変化に関する条件である．すなわち，その変化は対応する状態変数に関するハミルトニアンの変

化にマイナスの符号をつけたものに等しい．(iii) は共役変数の終点における値が 0になることを主張している．あるいは，終点状態 x(T ) = xT が与えられると，dxT = 0が成り立たなければならない.ハミルトニアンの定義より，状態変数の微分方程式は

x = f(x, u) =∂H

∂λ

のように表すことができる．したがって，次のような手法にたどり着く．共役変数 λを導入しハミ

ルトニアン関数 H(x, u) = V (x, u) + λf(x, u)を定義する．そして，次の条件を満たす経路 u(t),λ(t), x(t)を見つける．

82

(i)∂H

∂u= 0 0 ≤ t ≤ T

(ii) λ = −∂H

∂x0 ≤ t ≤ T

(iii) x =∂H

∂λ= f(x, u) 0 ≤ t ≤ T (6.6)

(iv) x(0) = x0

(v) λ(T ) = 0 (あるいは x(T ) = xT )

これらの結果は，状態変数がx1(t), · · · , xn(t)共役変数がλ1(t), · · · , λn(t)，制御変数がu1(t), · · · , um(t)である一般の場合にも容易に拡張することができる．

(i)∂H

∂ui= 0 i = 1, · · · , m 0 ≤ t ≤ T

(ii) λi = −∂H

∂xii = 1, · · · , n 0 ≤ t ≤ T

(iii) xi =∂H

∂λi= fi(x, u) 0 ≤ t ≤ T (6.7)

(iv) xi(0) = x0i

(v) λi(T ) = 0 (あるいは xi(T ) = xTi )

3つの例を考察することで，連続制御問題を記述してみよう．それぞれのケースで状態変数の初期値と最終値, すなわち x(0) = x0 と x(T ) = xT および最終時点 T が与えられている．

例 6.1 最初の例で境界上の解を考察する．制御問題は:

maxu

∫ 1

0

5xdx

x = x + u

x(0) = 2, x(1)は自由

u(t) ∈ [0, 3]

である．この問題のハミルトニアンは

H(x, u) = V (x, u) + λf(x, u)

= 5x + λ(x + u)

= (5 + λ)x + λu

となる．最大化の 1階の条件は:

(i)∂H

∂u= λ

(ii) λ = −∂H

∂x= −(5 + λ)

(iii) x =∂H

∂λ= x + u

(iv) x(0) = 2

(v) λ(1) = 0

83

条件 (i) は u∗を決定する上で役に立たない. もし λ > 0 ならば H は境界 u = 3 で最大値をとり,図 6.1(a)で示されているように，u∗(t) = 3である.

H

u

H max

H min

λ

−λ

x∗

t

2

4

6

0 10.2

(a) (b)

0 3

図 6.1: 例 6.1

条件 (ii) より，

λ = −λ − 5

λ∗(t) = ke−t − 5

λ∗(1) = ke−1 − 5 = 0

k = 5e1

∴ λ∗(t) = 5e1−t − 5

u∗(t) = 3であるから，(λ∗(t) > 0, 0 ≤ t < 1 より)

x∗ = x∗ + 3

x∗(t) = ket − 3

x(0) = ke0 − 3 = 2

∴ k = 5

となる．したがって，

x∗(t) = 5et − 3

制御変数は全期間を通じて固定されているにもかかわらず，図??(b)に示されているように，状態変数は x(0) = 2から増加し続ける.

例 6.2 制御問題は

maxu

∫ 1

0

u2dt

x = −u

x(0) = 1, x(1) = 0

84

である．この問題のハミルトニアンは

H(x, u) = V (x, u) + λf(x, u)

= u2 + λ(−u)

最大化の 1階の条件は:

(i)∂H

∂u= 2u − λ = 0

(ii) λ = −∂H

∂x= 0

(iii) x =∂H

∂λ= −u

(iv) x(0) = 1

(v) x(1) = 0

条件 (i) より

2u = λ ∴ u =12λ

よって，

x = −λ

2, λ = 0

これを解くと，次を得る．

x(t) = c1 − λt

2, λ(t) = c2

しかし，x(0) = 1 なので c1 = 1. 同様に, x(1) = 0より,

x(1) = 1 − λ

2= 0

∴ λ = 2 あるいは c2 = 2

x∗ = 1 − 2t

2= 1 − t

u∗ =12λ = 1

これらの最適経路は図 6.2に描かれている．

例 6.3 制御問題は

maxu

−∫ 1

0

14(x2 + u2)dt

x = x + u

x(0) = 2, x(1) = 0

である．この問題のハミルトニアンは

H(x, u) = V (x, u) + λf(x, u) = −14(x2 + u2) + λ(x + u)

最大化の 1階の条件は:

(i)∂H

∂u= −u

2+ λ = 0 =⇒ u = 2λ

(ii) λ = −∂H

∂x=

12x − λ

(iii) x =∂H

∂λ= x + u =⇒ x = x + 2λ

85

u∗

1

0 1 t

x∗

t

1

10

制御変数の最適経路 状態変数の最適経路図 6.2: 例 6.2

(i) を (iii) の代入し，uを消去すると, xと λに関する 2つの微分方程式 を得る．

x = x + 2λ

λ =12x − λ

微分方程式系は単純だが, 解の値はかなり込み入っている．特に積分定数について解く場合はそうである．一般解は

x(t) = c1e√

2t + c2e−√

2t

λ(t) =c1

2(√

2 − 1)e√

2t − c2

2(√

2 + 1)e−√

2t

である．しかしながら，条件 x(0) = 2 と x(1) = 0を使えば，c1 と c2 を以下のように解くことが

できる．

x(0) = c1 + c2 = 2

x(1) = c1e√

2 + c2e−√

2 = 0

よって

c1 =−2e−

√2

e√

2 − e−√

2≈ −0.1256, c2 =

2e√

2

e√

2 − e−√

2≈ 2.1256

である. これらはソフトウェアの助けを借りて計算できるが，図 6.3(a) と (b)には x∗ と u∗の軌道が描かれている．

これらの例が示しているのは，制御問題の解法に現れてくるパターンである．それは次のようなス

テップである:(1) ハミルトニアンを作り，最大化条件を導出する．(2) 方程式 ∂H

∂u = 0 を解き，u を共役変数 λを使って表す．

(3) 2つの微分方程式を導く: 1つは状態変数 x に関するもの，もう 1つは共役変数 λに関するも

のである．

(4) 微分方程式を解き，一般解を求める．(5) x(0) および x(T ) に関する条件を使って積分定数の値を定める．(6) λ∗ に対する最適経路を u の方程式に代入し，制御変数の最適経路 u∗ を求める．

86

x∗

2

1

0 1 t0.5

u∗

-5

-4

-3

-2

0 1 t0.5

(a) (b)

図 6.3: 例 6.3

6.3 離散モデル

ポントリャーギンの最大値原理に基づいた離散時間制御モデルは，期間概念の使用に注意を有す

るが，連続時間モデルと同じアプローチをとるので，簡単に触れておけばよい．x を唯一の状態変数

とし, uを唯一の制御変数，λを 共役変数とする. われわれの問題は次のようになる:

maxui

J =T−1∑t=0

Vi(xtut)

xt+1 − xt = f(xt, ut) (6.8)

x0 = a

そのときラグランジュ関数は

L =T−1∑t=0

V (xt, ut) + λt+1[f(xt, ut) − (xt+1 − xt)] (6.9)

離散型のハミルトニアン関数は

H(xt, ut) = V (xt, ut) + λt+1f(xt, ut) (6.10)

であり，そのとき

L =T−1∑t=0

H(xt, ut) − λt+1(xt+1 − xt)

は次の条件を満足することにより最大化される．

∂L

∂ut=

∂H

∂ut= 0 t = 1, · · · , T − 1

∂L

∂ut=

∂H

∂xt+ λt+1 − λt = 0 t = 1, · · · , T − 1

∂L

∂λt+1=

∂H

∂λt+1− (xt+1 − xt) = 0 t = 0, · · · , T − 1

∂L

∂xT= −λT = 0

87

もっと簡潔には:

(i)∂H

∂ut= 0 t = 1, · · · , T − 1

(ii) λt+1 − λt = −∂H

∂xtt = 1, · · · , T − 1

(iii) xt+1 − xt =∂H

∂λt+1= f(xt, ut) t = 0, · · · , T − 1 (6.11)

(iv) λT = 0

(v) x0 = a

条件 (ii)は定義域に属する任意の t について成り立つので，たとえば，T = 3についてこれらの条件を特定化してみることは役に立つ．

しかしこのモデルはどう解けばよいであろうか．連続時間モデルとは異なり，単純に 2つの微分方程式を解くといった方法を使うことはできない．各期間に状態変数と共役変数に関する 2つの差分方程式が導かれるので，それらを同時に満たす解を見つけなければならない．

6.4 割引つき制御問題

すでに注意したように，制御問題の主たる特徴は目的関数 V (x, u)を最大化することである. しかしながら, 多くの経済問題では V (x, u)は利潤や純便益で表される．したがって，所得流列を現在まで割り引いて最大化しなければならない．δ を割引率とすると，制御の目的は

maxu(t)

J =∫ T

0

e−δtV (x, u)dt (6.12)

となり，割引には影響を受けないさまざまな条件が制約として課される．よって，典型的な連続時間

の割引つき最大化問題は，制御問題

maxu(t)

J =∫ T

0

e−δtV (x, u)dt

x = f(x, u) (6.13)

x(0) = x0

x(T ) = xT

のように表せるが，離散形では

maxu(t)

J =T−1∑t=0

ρtV (xt, ut) (6.14)

xt+1 − xt = f(xt, ut) (6.15)

x0 = a

となる．ここで ρ = 1/(1 + δ) であり，ρ は割引因子，δ は割引率である．

最初に離散形を考えよう．ラグランジュ関数は

L =T−1∑t=0

ρtV (xt, ut) + ρλt+1[f(xt, ut) − (xt+1 − xt)] (6.16)

88

である．この表現では，λt+1 は割引因子 ρをかけることにより，t期に割引かれている. しかし全体的な表現 · · · は ρtをかけることにより，現在時点に割引かれている.ここで新しい概念を導入しよう: 現在価値ハミルトニアン関数であり, Hc(x, u)で表す. 離散形の

場合，次のように表される．

Hc(xt, ut) = V (xt, ut) + ρλt+1f(xt, ut) (6.17)

他の最適化条件は同様である．すなわち

(i)∂Hc

∂ut= 0 t = 1, · · · , T − 1

(ii) ρλt+1 − λt = −∂Hc

∂xt+ t = 1, · · · , T − 1

(iii) xt+1 − xt =∂Hc

∂ρλt+1= f(xt, ut) t = 0, · · · , T − 1 (6.18)

(iv) λT = 0

(v) x0 = a

例??を用いて表すことができるが，ここでは割引率が 10％であると仮定する．そのとき割引因子は 1/(1 + 0.1) = 0.909091である.

次に，連続時間モデルで割引を考えてみよう．制御問題は

maxu(t)

J =∫ T

0

e−δtV (x, u)dt

x = f(x, u) (6.19)

x(0) = 0, x(T ) = xT

である．この問題のラグランジュ関数は

L =∫ T

0

e−δtV (x, u) + λ[f(x, u) − x]dt

であり，ハミルトニアンは

H(x, u) = e−δtV (x, u) + λf(x, u)

である．現在価値ハミルトニアン (関数) Hc を

Hc(x, u) = V (x, u) + µf(x, u)

と定義すると，

Hc = Heδt あるいは H = Hce−δt

µ = λeδt あるいは λ = µe−δt

が成立する．

ここで，5つの最適条件を再検討しよう．eδt は制御変数の変化に対して一定にとどまるので，条

件 (i) は単純に∂Hc

∂u= 0となる. 第 2の条件はあまり直接的ではない．

λ = −∂H

∂x= −∂Hc

∂xe−δt

89

となるが，λ = µe−δtより

λ = µe−δt − δµe−δt

これらを等しくすると，

− ∂Hc

∂xe−δt = µe−δt − δµe−δt

あるいは µ = −∂Hc

∂x+ δµ

条件 (iii) は

x =∂H

∂λ=

∂Hc

∂λe−δt =

∂Hc

∂µ= f(x, u)

となるが，一方，条件 (iv) はλ(T ) = µ(T )e−δt = 0

となる．また，条件 (v) は不変である．要約すると，まず現在価値ハミルトニアンと現在価値ラグランジュ乗数を定義する．すなわち，

Hc(x, u) = H(x, u)eδt = V (x, u) + µf(x, u)

ここで λ = µe−δtである. そのとき最適条件は:

(i)∂Hc

∂u= 0 0 ≤ t ≤ T

(ii) µ = −∂Hc

∂x+ δµ 0 ≤ t ≤ T

(iii) x =∂Hc

∂µ= f(x, u) 0 ≤ t ≤ T (6.20)

(iv) x(0) = x0

(v) µ(T )e−δt = 0 (あるいは x(T ) = xT )

これらの最適条件から，条件 (i)を用いて制御変数 uを消去することができ，2つの微分方程式が導かれる: 1つは状態変数 xに対する微分方程式, もう 1つは現在価値共役変数 µに対する微分方程

式である.

例 6.4 次の制御問題を考え，

maxu(t)

J = −∫ 10

0

u2e−0.1tdt

x = u

x(0) = 0

x(10) = 1000

最適経路 x∗(t)を見つけよう.現在価値ハミルトニアンは

Hc = −u2 + µu

であり，最適条件は

(i)∂Hc

∂u= −2u + µ = 0

(ii) µ = 0 + 0.1µ

(iii) x = u

90

(i) より u = 0.5µであり, (iii)に代入すると，x = 0.5µとなる. したがって，2つの微分方程式

x = 0.5µ

µ = 0.1µ

が導かれる．これを解くと，

x(t) = c1 + c2e0.1t

µ(t) = 0.2c2e0.1t

を得る．x(0) = 0および x(10) = 1000より，c1，c2 について以下の式を解く．

c1 + c2 = 0

c1 + c2e = 1000

このとき，c1 = − 1000e − 1

≈ −581.9767 と c2 =1000e − 1

≈ 581.9767を得る. したがって，

x∗(t) = − 1000e − 1

+1000e − 1

e0.1t =1000

e(e0.1t − 1)

≈ −581.9767 + 581.9767e0.1t = 581.9767(e0.1t − 1)

6.5 連続モデルの位相図

最初に例 6.1～6.3を再考しよう.

例 6.5 (例 6.1の続き)

例 6.1では 2つの微分方程式を導いた．

x = x + u

λ = −(5 + λ)

この場合，∂H∂u = λは uを消去するのに何の役にも立たない．しかし, u = 3で H は最大値をとり,

この変数はずっと定数であり続けることを示した．よって,

x = x + 3

λ = −5 − λ

なので，2つの等傾線を得る．x = −3での x等傾線と λ = −5での λ等傾線である. さらに,

x > 0 ならば x > −3

λ < 0 ならば λ > −5

x(0) = 2から始まる最適軌道では状態変数 x の値が上昇し，共役変数 λの値が下落する. 図 6.4を見よ. 方程式系は点 (x(0), λ(0)) = (2, 8.5914)から始まり，状態変数 xの初期条件を満たす; 終点は(x(1), λ(1)) = (10.5914, 0)であり, 共役変数 λの終点条件を満たす. あらゆる可能な起動の中で，これが最適である．

91

λ

x0−3

−5

(x(0), λ(0))

図 6.4: 例 6.1(続き)

例 6.6 (例 6.2の続き)例 6.2 では次の 2つの微分方程式を導いた．

x = −12λ

λ = 0

この問題に対してただ 1つの等傾線が存在する. x = 0 のとき λ = 0であり，x等傾線は x-軸と一致する．初期点は (x(0), λ(0)) = (1, 2)であり，λ > 0に対して x < 0が成り立つので，軌道は左へ移動する．軌道上で λの値は 2であり続ける．t = 1 のとき x(1) = 0で,終点に関する条件は満たされ，点 (x(1), λ(1)) = (0, 2)になる．図 6.5で示されるように, 位相図における最適軌道は左に向いた水平線である．

x

λ

0 1

2 (x(0), λ(0))

図 6.5: 例 6.2(続き)

92

例 6.7 (例 6.3の続き) 例 6.3では 2つの微分方程式を導いた．

x = x + 2λ

λ =12x − λ

x = 0 のとき λ = − 12xであり，λ = 0 のとき λ = 1

2xである. したがって，この例では 2つの異なる等傾線が得られる. さらに,

もしx > 0ならば， x + 2λ > 0．よってλ > −12x

ゆえに，x-等傾線の上方では xは増大し，下方では減少する．同様に

もしλ > 0ならば，12x − λ > 0．よってλ <

12x

ゆえに，λ-等傾線の上方では λは増大し，下方では減少する．これにより鞍点解が示唆される. このことは連立微分方程式の固有値を計算することによっても導かれる．システムの行列は

A =

[1 212 −1

]

であり，固有値は r =√

2 と s = −√2である. これらは実数でかつ符号が反対であるから，鞍点解である.

t = 0のとき x(0) = 2は既知だが，λ(0)については解かなければならない. しかし

λ(0) =c1

2(√

2 − 1) − c2

2(√

2 + 1)

であり，

c1 =−2e−

√2

e√

2 − e−√

2≈ −0.1256, c2 =

2e√

2

e√

2 − e−√

2≈ 2.1256

である. 代入すると λ(0) =−√2(e

√2 + e−

√2)

e√

2 − e−√

2− 1 ≈ −2.6を得る. よって初期点

(x(0), λ(0)) =

(2,

−√2(e√

2 + e−√

2)

e√

2 − e−√

2− 1

)≈ (2,−2.6)

は x等傾線の下方から始まり, 左上方へとシステムは動いて行く. 最適軌道は図 6.6に示されている.

例 6.3と 6.4 から明らかなように，ポントリャーギンの最大値原理はハミルトニアン最大化の 1階の条件を与えるが，それはまた状態変数 xおよび共役変数 λ (あるいは µ) に関する 2つの微分方程式を導出する．しかし，制御問題は次のよな 2つの困難な問題を提示している:

(1) その微分方程式はしばしば非線形になる．(2) 経済学では関数形がしばしば不確定である．もっとも単純な制御問題でさえ非線形の微分方程式を導きうるし, 他の領域で開拓された技法が利

用できるとはいえ，大部分の問題は数学者に残されている．また，関数形が特定化されないと微分方

程式は解くことができないが，不動点の特性は位相図を描くことによって考察することができる．

そこで，明示的な解がある単純な例から考えよう．

93

λ

x

λ = 0(λ = 1

2x)

x = 0(λ = − 1

2x)

(x(0), λ(0))

2

−2.6

図 6.6: 例 6.3(続き)

例 6.8 制御問題は

maxu(t)

J =∫ ∞

0

(20 lnx − 0.1u2)dt

x = u − 0.1x

x(0) = 80

である．この問題のハミルトニアンは

H = 20 lnx − 0.1u2 + λ(u − 0.1x)

であり，1階の条件は

∂H

∂u= −0.2u + λ = 0

λ = −∂H

∂x= −

(20x

− 0.1λ

)

x = u − 0.1x

となる．これらから xと λに関する微分方程式

x = −0.1x + 5λ

λ = −20x

+ 0.1λ

が得られる．x = 0および λ = 0とおくことにより，このシステムの不動点は x∗ = 100，λ∗ = 2となることがわかる. さらに, 2つの等傾線は

λ = 0.02x (x = 0)

λ =200x

(λ = 0)

94

λ

xx∗ = 100

λ∗ = 2

0

x = 0 (λ = 0.02x)

λ = 0(λ = 200

x

)

x > 0

x < 0λ < 0

λ > 0

図 6.7: 例 6.7

である．図 6.7を見よ.図 6.7には 4つの領域におけるベクトルの方向も示されている．不動点 (x∗, λ∗) = (100, 2)に関す

る線形化を行うことで，ベクトルの方向は与えられる.一般に，不動点の周りで線形近似すると

x = fx(x∗, λ∗)(x − x∗) + fλ(x∗, λ∗)(λ − λ∗)

λ = gx(x∗, λ∗)(x − x∗) + gλ(x∗, λ∗)(λ − λ∗)

となる．この場合は，

x = −0.1(x − x∗) + 5(λ − λ∗)

λ = 0.002(x− x∗) + 0.1(λ − λ∗)

この線形システムに付随する行列は，

A =

[−0.1 50.002 0.1

]

であり，その固有値は r =

√2

10≈ 0.14142と s = −

√2

10≈ −0.14142である．したがって, 鞍点解と

なる.

鞍点解の経路 (鞍点経路)の方程式を導くために，最初に，固有値 r =

√2

10≈ 0.14142を取り上げ

よう.(A − rI)vr = 0

すなわち，([− 1

10 51

500110

]−√

210

[1 00 1

])[vr1

vr2

]≈([

−0.1 50.002 0.1

]− 0.14142

[1 00 1

])[vr1

vr2

]=

[00

]

あるいは [−

√2+110 51

5001−√

210

] [vr1

vr2

]≈[−0.24142 5

0.002 −0.04142

][vr1

vr2

]=

[00

]

95

最初の方程式より,

−√

2 + 110

vr1 + 5vr

2 ≈ −0.24142vr1 + 5vr

2 = 0

ここで vr1 = 1とおくと,

5vr2 =

√2 + 110

≈ 0.24142

vr2 =

√2 + 150

≈ 0.048284

を得る．よって，

(λ − λ∗) =

√2 + 150

(x − x∗) ≈ 0.048284(x− x∗)

(λ − 2) =

√2 + 150

(x − 100) ≈ 0.048284(x− 100)

すなわち

λ = −2√

2 +

√2 + 150

x ≈ −2.8284 + 0.48284x

これは正の傾きを持っているので，不安定な経路の方程式を表している．

次に，固有値 s = −√

210

≈ −0.14142を考える．

(A − sI)vs =

([−

√2+110 51

5001−√

210

]+

√2

10

[1 00 1

])[vs1

vs2

]

≈([

−0.1 50.002 0.1

]+ 0.14142

[1 00 1

])[vs1

vs2

]=

[00

]

すなわち [√2−110 51

500

√2+110

][vs1

vs2

]≈[0.04142 50.002 0.24142

] [vs1

vs2

]=

[00

]

最初の方程式を使うと， √2 − 110

vs1 + 5vs

2 ≈ 0.04142vs1 + 5vs

2 = 0

ここで vs1 = 1とおくと,

5vs2 =

1 −√210

≈ −0.04142

vs2 =

1 −√250

≈ −0.008284

を得る．よって,

(λ − λ∗) =1 −√2

50(x − x∗) ≈ −0.008284(x− x∗)

(λ − 2) =1 −√2

50(x − 100) ≈ −0.008284(x− 100)

すなわち

λ = 2√

2 −√

2 − 150

x ≈ 2.8284− 0.00828284x

これは負の傾きを持っているので，安定な経路 (鞍点経路)の方程式を表している．

96

x(0) = 50 ならば，安定な経路上で λの値は λ(0) =√

2 + 1である. 等傾線と安定な経路に沿った軌道が図 6.8に示されている．その点は安定な経路上から始まっているが，均衡に到達する以前に均衡から遠ざけられている．この図が示しているのは，動的システムが初期条件に極めて感応的である

という点である．しかし，位相図には明確な鞍点均衡が示されている.

λ

x100

2

0

x = 0

λ = 0

stable arm

unstable arm

図 6.8: 例 6.7(ii)

例 6.9 (ラムゼイ成長モデル)ここでは，最適成長理論の文献で多くの基礎を与えたラムゼイ成長モデルを取り上げる．連続時間

モデルを考える．まず，所得と投資の定義から始めよう．

Y (t) = C(t) + I(t)

I(t) = K(t) + δK(t)(6.21)

したがって，

Y (t)L(t)

=C(t)L(t)

+K(t)L(t)

+δK(t)L(t)

すなわちy(t) = c(t) +K(t)L(t)

+ δk(t)

しかし

k =d

dtk =

LK − KL

L2=

K

L−(

K

L

)L

L

=K

L− k

L

L

人口は一定率 nで成長すると仮定する．そのとき L/L = nより，

K

L= k + kn

および

y(t) = c(t) + k(t) + (n + δ)k(t)

97

が成り立つ．1次同次の生産関数を仮定すれば，1人当たり産出量 yを kの関数として表すことがで

きる．それを y = f(k)と書く. 便宜上時間変数を省略して書くと, 次の条件を得る．

k = f(k) − (n + δ)k − c (6.22)

最適成長経路を考察するためには目的関数を特定化する必要がある．U(c)によって一人当たり消費量の関数としての効用を表すとする．目的は上で導出した等式の制約の下で効用の現在価値を最

大化することである．すなわち，

maxc

J =∫ ∞

0

e−βtU(c)dt

k = f(k) − (n + δ)k − c

k(0) = k0

0 ≤ c ≤ f(k)

この問題の現在価値ハミルトニアンは

Hc = U(c) + µ[f(k) − (n + δ)k − c]

であり，1階の条件は

(i)∂Hc

∂u= U ′(c) − µ = 0 (6.23)

(ii) µ = −µf ′(k) + µ(n + δ) + βµ (6.24)

(iii) k = f(k) − (n + δ)k − c (6.25)

(6.26)

これらの方程式は解釈するもの難しいし，解くのも難しい．しかしながら，少し変形すると，状態変

数 k と 制御変数 cに関する 2つの微分方程式を得る．(i) を時間で微分すると，

d[U ′(c)]dt

= µ

U ′′(c)dc

dt= µ = −µf ′(k) + (n + δ + β)µ

すなわち U ′′(c)c = −µ[f ′(k) − (n + δ + β)]

あるいは

−U ′′(c)U ′(c)

c = f ′(k) − (n + δ + β) (µ = U ′(c)より)

ここで，Prattの相対的危険回避度を

σ(c) = −cU ′′(c)U ′(c)

と定義すると，σ(c)

cc = f ′(k) − (n + δ + β)

あるいは

c =1

σ(c)[f ′(k)(n + δ + β)]c

98

を得る．したがって，2つの微分方程式

c =1

σ(c)[f ′(k) − (n + δ + β)]c

k = f(k) − (n + δ)k − c

が導かれる．もし c = 0 ならば f ′(k∗) = n + δ + β である. 一方, もし k = 0 ならば c∗ =f ′(k∗)− (n + δ)k∗である. さらに, もし c > 0 ならば f ′(k∗) > (n + δ + β) であるから，図 6.9に示されているように k < k∗である．c = 0等傾線の左側では, cは上昇する; c = 0曲線の右側では cは

下落する．同様に，もし k > 0ならば f(k∗)− (n + δ)k∗ > c. よって，k = 0等傾線の下側では kは

上昇し, k = 0等傾線の上側では kは下落する．ベクトルの方向は，明らかに (k∗, c∗)が鞍点解であることを示している. 唯一の最適軌道は安定経路上にある．任意の k0 に対する唯一の可変的な消費

レベルは，安定経路上にある付随する点で表現されるレベルである．安定経路上で初期点が与えられ

ると，システムは均衡に向かって誘導される．均衡において kは一定であり，資本と労働は同一比率

で成長する．さらに，均衡において kが一定であるから yも一定であり，Y も労働と同一比率で成

長する．その結果，均斉成長均衡を実現する．

y

slope= n + µ + δ

slope= n + µ(n + µ)k

f(k)

kkmk∗

km k

k = 0k∗

c

c∗

c = 0stable arm

図 6.9: ラムゼイ成長モデル

99

練習問題

1. 次の関係を証明せよ．

−∫ t1

t0

λxdt =∫ t1

t0

xλdt − [λ(t1)x(t1) − λ(t0)x(t0)]

2. 次の制御問題を解け．

maxu

∫ 1

0

√udt

x = −u

x(0) = 1, x(1) = 0

(x, λ)-平面に軌跡を描け．

3. 次の制御問題を解け．

maxu

−∫ 1

0

14(x2 + u2

)dt

x = x + u

x(0) = 2, x(1) = 0

(x, λ)-平面に軌跡を描け．

4. 次の制御問題を解け．

maxu

−∫ 1

0

(x2

4− u2

9

)dt

x = −x + u

x(0) = 5, x(1) = 10

(x, λ)-平面に軌跡を描け．

5. 次の制御問題を解け．

maxu

∫ 1

0

(3x2 − u2)dt

x = 2x + u

x(0) = 10, x(1) = 15

(x, λ)-平面に軌跡を描け．

6. 次の制御問題を解け．

maxu

−∫ 10

0

u2e−0.1tdt

x = u

x(0) = 0, x(10) = 100

(x, λ)-平面に軌跡を描け．

100

7. 次のラムゼー・モデルの解を求めよ．均衡方程式体系を線形化し，安定性を検討せよ．

max cJ =∫ ∞

0

e−0.03tU(c)dt

k = k0.3 − (n + δ)k − c

k(0) = 1

ここで U(c) = 4c1/4, n = 0.02, δ = 0.03

101

第7章 ダイナミック・プログラミング

7.1 はじめに

ダイナミック・プログラミングは逐次的な決定問題を解くために使われるアプローチである．問題

の逐次的な性質は，自然なもの (異なる日になされる一連の選択)であるかもしれないし，または人為的なもの (機械 1，つぎに機械 2，· · · · · ·，さらに機械 nへの逐次的な配分として考られる n個の

機械の間で行われる生産の同時配分)であるかもしれない．このアプローチの核心となる考えはベルマンの最適性原理である：前のステップにおいてどのようなことがなされようと，残りの決定は現在

の状況のもとで最適でなければならない．この原理の数学的形式はベルマン方程式として知られる

関数方程式である．このアプローチでは非常に一般的な構成が可能であり，最適化に関する十分条件

が導出される．その欠点は「次元ののろい」である：状態空間の次元が拡張する場合，解を求めるた

めの計算上の要求が指数的に拡張する．具体的には，以下では，「時間」は問題のなかで逐次的なパ

ラメータとして使われる．最初に有限期間離散時間問題を考察し，つぎに無限期間問題，そして最後

に確率問題を考察する．

7.2 有限期間離散時間問題

標準的なダイナミック・プログラミング (DP)問題では全体の目的関数について時間分離性を仮定する．したがって，全体のペイオフは各期間の収益の総和となる．時間 tにおけるシステムの状態 (例えば，消費者の富)は x(t)である．問題における初期条件は最初の期間の状態である：x(0) = x0である．

主体は，時間 tにおいて制御 (例えば，消費および投資決定のベクトル)u(t)を選択する．時間 tにおけ

る実行可能な制御の集合はΩtである．ある制御が選択されるとき，状態は動学，t = 0, 1, · · · , N − 1について，

x(t + 1) = F (t, x(t), u(t)) (7.1)

に従って，更新される．更新のルールは期間に依存することが可能である．期間 tにおける収益は，

t = 0, 1, · · · , N − 1 について，g(t, x(t), u(t)) であり，制御が選択されない最終期間 N について

h(x(N))である．収益の関数は期間に依存しうることに注意しよう．基本的な問題は，制御に関する制約，更新のルール，日付 0における状態が x0 である初期条件のもとで，

N−1∑t=0

g(t, x(t), u(t))

+ h(x(N)) (7.2)

を最大化するように制御 u(t)を選択することである．DPアプローチの考え方は，関連する問題の族を考察することである．各整数 k, 0 ≤ k ≤ N − 1，

および可能な各状態 xに関して，制御に関する制約，更新のルール，および日付 kにおける状態が

xである初期条件のもとで， N−1∑t=0

g(t, x(t), u(t))

+ h(x(N))

102

を最大化するために，期間 k, k + 1, k + 2, · · · , N − 1について，制御を選択する問題を考察しよう．k > 0とき，これはある意味で，もとの問題の部分問題である．すべての 0 ≤ k ≤ N − 1およびすべての可能な xに関して，部分問題に対する最適解が存在すると仮定する．V (k, x)を部分問題の最大値とし，V (N, x) ≡ h(x)と定義する．V は価値関数と呼ばれる．

0 ≤ k ≤ N − 1に関して，価値関数はベルマン方程式または最適性方程式と呼ばれる

V (k, x) = maxu∈Ωk

g(k, x, u) + V (k + 1, f(k, x, u)) (7.3)

を満足する．この方程式は，V (k, ·)を求めるために，V (k + 1, ·)を使って，V (k, ·)を反復的に逆戻りして解くことができることを意味する．制御 u ∈ Ωk を選択する場合，g(k, x, u)における今日の収益と V (k + 1, f(k, x, u))における変更された状態からの将来の収益とのトレード・オフを最適にしなければならない．問題に対するこのアプローチによって得られる経済的な直感はこのトレード・

オフから来るものである．kおよび xがあたえられるとき，制御に関する最適な選択 φ(k, x)は最適制御と呼ばれる．問題を解く間に，最適制御関数，すなわち，各 kおよび xに関して，φ(k, x)を決定することとなる．

いくつかの例に進む前に，記号に関する注意を行っておくことにする．われわれの手順は，t = 0で始まり，時間期間を前方に数えるものであった．また，期間ゼロを設定せずに解くこと，および/または，tが残りの期間数を意味するように時間期間を逆戻りして数えることもよく行われる．これ

らについての選択は普通，当面の問題の性質によって決められる．特定の問題で使われる記号法に

注意することは重要である．多数の経済問題において，全体の目的はペイオフ (例えば，各期間の利潤)の流列の現在割引価値である．価値関数を定義し，そしてベルマン方程式を設定するとき，よく使われるふたつの代替的な方法がある．第 1の方法は期間ゼロヘ向かってすべての価値を割引くものである．第 2の方法は検討されている現在期間へすべての価値を割引くものである．第 1の方法においては，すべての価値は共通の単位 (日付ゼロヘ割引かれた価値)で測定される．他方，第 2の方法においては，t + 1期における価値は，t期における価値と比較可能にするために割引かれなけれ

ばならない．方法の選択は，必要となる代数に影響するが，全体の解には影響しない．われわれはこ

れら 2つの方法を使うことにする．つぎの事実は問題を解くのに有用であろう．任意の z = 1に関して，

1 + z1 + z2 + · · · + zk =1 − zk+1

1 − z,

z1 + z2 + · · · + zk =z(1 − zk)

1 − z,

z0 = 1, および zbi = (zb)i

例 7.1 消費者は初期の富 w0 を保有している．各期間 t = 0, 1, 2, · · · , N − 1 において，消費者は富のどれだけを消費 ct とするかを選択し，そして利子率 r でその残りを投資する．したがって，

t = 0, 1, · · · , N − 1 に関して，t + 1期の富は wt+1 = (wt − ct)(1 + r)である．消費者はN − 1期の終わりに死に，N 期において残っている富 wN は子孫に財産として残される．効用関数は時間分離

的であり，消費と遺産の計画 (c0, c1, · · · , cN−1, b)に関する効用は

N−1∑t=0

δt√

ct + δN√

b, δ ∈ (0, 1) (7.4)

に等しい．

103

ダイナミック・プログラミングを使って，最適な消費計画と効用を求めるために，まず DP の記号に変換する．この問題においては，すべての価値を期間ゼロヘ割引くことにする．すべての t

に対して，u(t) = ct，x(t) = wt，h(x) = δN√

x，g(t, x(t), u(t)) = δt√

u(t)，f(t, x(t), u(t)) =(1 + r)[x(t) − u(t)]，x0 = w0 および Ωt = R+ とする．価値関数は V (N, x) = δN

√xを満足する．

最適性方程式は

V (k, x) = maxu

δk√

u + V (k + 1, (1 + r)(1 − u)) (7.5)

である．r = 0の場合を考察する (r > 0については，練習問題を参照)．V (N, x) = δN√

xである．

逆戻りに反復を行うと，

V (N − 1, x) = maxu

δN−1√

u + δN√

x − u (7.6)

である．右辺の最適化問題の解は，最適制御 u∗ = φ(N − 1, x) = 1/(1 + δ2) であり，最適値はV (N − 1, x) = δN−1

√x(1 + δ2)である．

したがって，

V (N − 2, x) = maxu

δN−2√

u + δN−1√

(x − u)(1 + δ2) (7.7)

である．右辺の最適化問題の解は，最適制御 u∗ = φ(N − 2, x) = 1/(1 + δ2 + δ4)であり，最適値はV (N − 2, x) = δN−2

√x(1 + δ2 + δ4)である．

これらの解のパターンから，V (k, x)が δk

√x∑N−k

i=0 δ2iに等しいかもしれないことが示唆される．

そしてそのことは帰納法によってチェックすることができる．その式は V (N, x)について正しいものである．0 ≤ k < N に対して，その式が k + 1, k + 2, · · · , N について正しいものと仮定する．この

とき，

V (k, x) = maxu

δk

√u + δk+1

√√√√(x − u)N−k−1∑

i=0

δ2i

(7.8)

である．右辺の最適化問題の解は,最適制御φ(k, x) = x/∑N−k

i=0 δ2iであり，最適値は，求めていたよう

に δk

√x∑N−k

i=0 δ2iである．帰納法によって，価値関数はV (k, x) = δk

√x∑N−k

i=0 δ2iであり，最適制御

は φ(k, x) = x/∑N−k

i=0 δ2iである．最適消費計画はつぎのようにして求められる．期間ゼロにおける消

費は c0 = φ(0, w0)である．このとき，状態は f(0, w0, φ(0, w0))に更新される．期間 1における消費はc1 = φ(1, f(0, w0, φ(0, w0)))である等．最適消費計画は，ct = δ2tw0/

∑N−ki=0 δ2i，t = 0, 1, · · · , N −1

であり，遺産は b = δ2Nw0/∑N

i=0 δ2iである．対応する最大効用は V (0, w0) =√

w0

∑Ni=0 δ2iである．

例 7.2 合計が cとなる制約のもとで，n個の数の 2乗の和を最小化する．t = 0, 1, · · · , n− 2について，u(t)を (t + 1)番目の数とする．状態 x(t)を，期間 tにおいて使うために残されている (合計 c

からの)量とする．状態は，x(t + 1) = x(t) − u(t)にしたがって更新される．初期条件は x(0) = c

である．これを最大化問題にするために，期間 1 における収益は，t = 0, 1, · · · , n − 2 について，g(t, x(t), u(t)) = −[u(t)]2 および h(x(n − 1)) = −[x(n − 1)]2 である．制御の制約は u(t) ∈ Rであ

る．最終期については，価値関数を V (n− 1, x) = −x2と定義する．最終期の 1期前の期間に関しては，ベルマン方程式によって，

V (n − 2, x) = maxu

−u2 − (x − u)2 (7.9)

である．この方程式の右辺の最適化問題を解くと，最適制御 φ(n− 2, x) = x/2および V (n− 2, x) =−2(x/2)2を得る．その前の期間に関しては，ベルマン方程式によって，V (n− 3, x) = maxu(−u2−(x− u)2である．最適化問題を解くと，最適制御 φ(n− 3, x) = x/3および V (n− 3, x) = −3(x/3)2

104

を得る．帰納法によって，φ(n− k, x) = x/k および V (n− k, x) = −k(x/k)2である．当初の問題に関しては，V (0, c) = −n(c/n)2および u∗(0) = u∗(1) = · · · = u∗(n − 2) = c/nである．最大化問題

を解く際に使った 1階の条件

maxu

g(k, x, u) + V (k + 1, f(k, x, u))： ∂g

∂u+

∂V

∂x

∂f

∂u= 0 (7.10)

の解釈に注目しよう．主体は現在の期間の収益に対する効果を将来の状態に関する価値関数に対する

効果 (∂V

∂x

∂f

∂u

)(7.11)

に対してトレード・オフしなければならない．2番目の例においては，uの増加は現在の収益 (∂g/∂u =−2u)を減少させたが，使用されるために残されている長さを減少させることによって将来の状態の価値を増加させた (∂V (n− k, x)/∂x = −2x/1および ∂f/∂u = −1である)．1番目の例においては，uの増加は現在の収益を増加させたが，将来の消費に利用可能な富を減少させることによって，将来

の状態の価値を減少させた．

7.3 無限期間

無限期間の場合の経済最適化問題の多くは，割引に関することを除いて，状態が xで t = 0における問題と状態が 1で t = kにおける問題との間に差はない．なぜならば，割引に関することを除き，

収益関数および更新ルールは各期間において同一であるからである．このことは有限期間において

は正しくない．なぜならば，後の期間ほど最終時点により近づくからである．無限期間問題において

は，多くの場合，期間ゼロヘではなく現在期間へ割引くことによって，期間から独立した価値関数

V (x)を導入することが有用である．このとき，最適性方程式において，将来価値は割引かれなければならない：

V (x) = maxu

g(x, u) + δV (f(x, u)) (7.12)

任意の期間において割引のなされていない収益は tから独立している f(x, u)であり，更新化関数は t

から独立している f(x, u)である．ここでの考え方のポイントは，分離性および時間との独立性のため，割引きする目的に関しては，どの期間にいてもそれは「今日」とみなされ，それ以前のすべての

収益はサンク・コストまたはベネフィットとされなければならないことである．現在および将来の決

定に関して，過去は現在の状態 xの決定を通じてのみ問題となる．すべての価値が現在価値に割引かれる限り，時間期間は無関係である．最適方程式は，現在の収益 g(x, u)と更新された状態 f(x, u)に直面する次期間の問題における割引価値との間のトレード・オフを示す．

無限期間問題には最終期間がないため，有限期間の場合の単純な逆戻りの反復法を使うことはで

きない．しかし，問題によっては，無限期間の解は，期間が無限に長くなるとして極限をとる場合，

有限期間の解の極限となる．その他の問題では，たとえ最終期間が存在しない場合でさえも，最適な

決定は，ある有限の日に到達し，それ以降にはいかなる行動もとられない．

簡単な例を使って，両方のケースについて考察することにする．

例 7.3 前節の投資問題 (例 7.1)について無限期間の場合を考えよう．再び，r = 0とする (r > 0に関しては，練習問題を参照)．投資者は無限期間生存し (または，無限列の子孫の一連の消費を考える)，消費計画 (c0, c1, c2, · · · )によって効用

∑∞t=o δt

√ct が得られる．そして，その効用は

∑∞t=o ct = wt

のもとで最大化されることになる．最適性方程式は V (x) = maxu√

u+ δV (x− u)であり，われわれはそれを満足する関数 V (x)を求めている．最終期間がないので，有限期間問題におけるように，

105

逆戻りに解くことはできない．V (x)について考えられる自然な候補としては，N が大きくなる場合

の有限期間問題について最大化される効用 V (0, x)の極限がある．この極限は

V (x) =

√√√√x

∞∑t=0

δ2i =√

x

1 − δ2(7.13)

である．これを価値関数としてチェックするために，√

u + δ√

(x − u)/(1 − δ2) は u = (1 − δ2)xにおいて最大化され，最大値は

√x/(1 − δ2) となることに注意しよう．したがって，価値関数は

V (x) =√

x/(1 − δ2)であり，最適制御は φ(x) = (1 − δ2)xである．

例 7.4 ある独占企業がAトンの鉱石を埋蔵する鉱山を所有している．各期間 t = 0, 1, 2, · · · ,におい

て，独占企業は採掘して販売するトン数を決定する．採掘には，トンあたり＄100の一定の平均費用がかかる．各期において，市場価格は逆需要関数 p = 102− qによってあたえられる．ここで，qは

販売トン数である．割引因子 δ ∈ (0, 1)の場合，採掘計画 q0, q1, q2, · · · に対応する利潤の流列の現在価値は，

∑∞t=0 δt[(102− qt)qt − 100qt]である．これを qt ≥ 0および

∑∞t=0 qt = Aのもとで最大化し

なければならない．最適性方程式は

V (x) = maxq≥0

(2 − q)q + δV (x − q) (7.14)

である．無限期間であるにもかかわらず，この問題の最適解においては，有限の期間内ですべての鉱

石が採掘されることとなる．最後の鉱石が採掘される日を決定することが問題の一部となっている．

(未知の)最終期間から逆戻りして解くのではなく，独占企業にとって，いつの時点で，鉱石を採掘せずにそのままにし (したがって，現在の利潤を断念する)，そして将来の k 期間に採掘することが利

益となるかを調べることで順方向に解くことができる．今日の限界的な利潤は

d

dq[(2 − q)q] = 2 − 2q (7.15)

である．将来においては，鉱石は＄2を超えた (採掘費用を差し引いた)価格で売られることはけっしてないため，将来の k 期間の採掘から得られる割引限界利潤は 2δk を超えることはけっしてない．

したがって，2 − 2q < 2δk または q > 1 − δk でなければ，独占企業にとって，将来の k 期間の採

掘のために鉱石を維持しておくことは有利ではない．ここで qは現在の採掘量である．この分析は，

現在期間として任意の期間に適用され，かつ任意の k に適用される．採掘量が正である任意の 2期間 sおよび tに関して，(適切に割引かれた)限界利潤は等しくなければならない．あるいは，t < s

について，2 − 2q = δs−t(2 − 2qs)または qt = 1 − δs−t(1 − qs)である．これらの事実をあわせると，つぎの条件が成立するならば，最後の鉱石は期間 sにおいて採掘される：(1) 0 < qs < 1 − δ

(qs > 1− δ8ならば，qsを減らし，かつ qs+1 > 0とすることが利益となる)；(2) 0 ≤ t < sについて，

qt = 1−δs−t(1−qt)；および (3)∑s

j=0 qj =∑s

j=0(1−δj(1−qs)) = s+1− (1−qs)(1−δs+1)/(1−δ)の総生産は利用可能な鉱石の総量 Aに等しい．

したがって，最終の採掘期間は，s + 1 − (1 − δs+1)/(1 − δ) < A ≤ s + 2 − (1 − δs+2)/(1 − δ)および t = 0, 1, · · · , sについて qt = l − δs−t(s + 1 − A)(1 − δ)/(1 − δs+1)を満足する sである．対応

する利潤の現在価値は

V (A) =s∑

t=0

δt(2 − qt)qt

=s∑

t=0

[1 − δ2(s−t)(s + 1 − A)2(1 − δ)2

(1 − δs+1)2

](7.16)

である．

106

例 7.5 利子率 r > 0，割引因子 δ ∈ (0, 1)，および期間あたりの効用が消費 cに対して ln cである無

限期間投資問題を考えよう．無限期間問題を検討するために，まず対応する有限期間問題を解くこと

にする．

V (N, x) = δN ln x (7.17)

および

V (N − 1, 1) = maxδN−1 ln u + V (N, (x − u)(1 + r)) (7.18)

とする．最適化問題を解くと，u∗ = φ(N − 1, x) = x/(1 + δ)，また最適値は

V (N − 1, x) = (δN−1 + δN ) ln(x/(1 + δ)) + δN ln(δ(1 + r)) (7.19)

である．したがって，

V (N − 2, x) = maxu

δN−2 ln u + V (N − 1, (x − u)(1 + r)) (7.20)

最適化問題を解くと，u∗ = φ(N − 2, x) = x/(1 + δ + δ2)，最適値は

V (N − 2, x) = (δN−2 + δN−1 + δN ) ln(

x

1 + δ + δ2

)+ (δN−1 + 2δN) ln(δ(1 + r)) (7.21)

である．

V (N − j, x) =(δN−j + δN−j+1 + · · · + δN ) ln(

x

1 + δ + · · · + δj

)

+ (δN−j + 2δN−j+1 + 3δN−j+2 + · · · + jδN ) ln(δ(1 + r)) (7.22)

と推測すると，V (N − j + 1, x)についてこの式を使い，かつ最適性方程式を使って，チェックすることができる (すでに j = 1, 2についてこの式が成立することが判明している)．

V (N − j, x) = maxu

δN−j ln u + (δN−j+1 + · · · + δN ) ln

((x − u)(1 + r)

1 + δ + · · · + δj−1

)

+ (δN−j+1 + · · · + (j − 1)δN ) ln(δ(1 + r))

(7.23)

最適化問題を解いて，u∗ = 1/(1 + δ + · · · + δj)，最適値は

V (N − j, x) = (δN−j + · · · + δN ) ln(

x

1 + δ + · · · + δj

)+ (δN−j + · · · + jδN ) ln(δ(1 + r)) (7.24)

であり，推測の正しいことが確認された．

したがって，有限期間問題の値は

V (0, x) = (1 + δ + · · · + δN ) ln(

x

1 + δ + · · · + δN

)+ (δ + 2δ2 + · · · + NδN ) ln(δ(1 + r)) (7.25)

であり，最適な制御は φ(N − j, 1) = x/(1 + δ + · · ·+ δj)である．無限期間問題に対する潜在的な解については，N → ∞のときの有限期間の解の極限を考える．これから，無限期間問題の解は，

V (x) =1

1 − δln(x(1 − δ)) +

δ

(1 − δ)2ln(δ(1 + r)) (7.26)

および φ(x) = x(1 − δ)となることが予想される．チェックする必要のある無限期間の場合の最適性方程式は

V (x) = maxu

ln u +

δ

1 − δln((x − u)(1 + r)(1 − δ)) +

δ2

(1 − δ)2ln(δ(1 + r))

(7.27)

107

である．最適化問題を解くと，u∗ = 1(1 − δ)，最適値は

V (x) =δ

1 − δln(x(1 − δ)) +

δ

(1 − δ)2ln(δ(1 + r)) (7.28)

である．したがって，われわれの推測は正しいこととなる．富 w0から始めて，消費の最適な無限期

間径路 c0, c1, c2, · · · は ct = (1 − δ)δt(1 + r)tw0である．これは，δ > 1/(1 + r)ならば tに関して増

加し，δ < 1/(1 + r)ならば，tに関して減少する．

7.4 確率的ダイナミック・プログラミング

ダイナミック・プログラミング問題には確率変数を含むものもある．状態 xと制御 uがあたえら

れるとき，収益が確率変数となる場合があるし，あるいは状態の更新に関する遷移関数が確率変数と

なる場合がある．この場合，価値関数は最大化された期待値と考えなければならない．そして最適性

方程式は確率性を適切に反映しなければならない．

例 7.6 ある個人が，N期間の中の各期間のはじめに，財産からどれだけの貯蓄をし，どれだけの消費を

するかを決定しなければならないとする．借入れが (利子率 0で)認められるので，期間 0, 1, · · · , N−1において，消費は無制限である．財産が xであり，1期に yだけ消費するならば，効用は−e−y であ

り，貯蓄量は x− yである．貯蓄に対する利子率はゼロであり，この個人は将来期間を割引かないも

のとする．最終期N において，富 xN ∈ Rを消費し，効用 −e−xN を得る．当初の富のほかに，(N期を除いて)各期の終わりに，消費の決定がなされた後，非負の確率的賃金 wt を得る．異なる期間

の賃金は独立で等しい分布をし，かつ平均 λの指数分布をもつ [すなわち，確率密度は，w ≥ 0について f(w) = (1/λ)e−w/λであり，累積分布は，w ≥ 0について F (w) = 1 − e−w/λである]．

xt を t期における消費前の富を表わすものとすると，更新のルールは，xt+1 = xt − yt + wt であ

る．V (j, x)を富 xの場合の期間 j の初めの価値とする．このとき，V (N, x) = −e−x および最適性

方程式から，

V (N − 1, x) = maxy

−e−y +

∫ ∞

0

V (N, x − y + w)f(w)dw

= maxy

−e−y −

∫ ∞

0

e−(x−y+w)

(1λ

)e−w/λdw

= maxy

−e−y − 1

1 + λe−x+y

(7.29)

が得られる．最適化問題を解くと，y∗ = (x + ln(1 + λ))/2 であり，最適値は V (N − 1, x) =−2e−(x+ln(1+λ))/2である．したがって，

V (N − 2, x) = maxy

−e−y +

∫ ∞

0

V (N − 1, x − y + w)f(w)dw

= maxy

−e−y −

∫ ∞

0

2e−(x−y+w+ln(1+λ))/2

(1λ

)e−w/λdw

= maxy

−e−y − 4

2 + λe−(x−y+ln(1+λ))/2

(7.30)

が得られる．最適化問題を解くと，y∗ = (x+ln(1+λ)2 ln((2+λ)/2))/3であり，最適値はV (N−2, x) =−3e−(x+ln(1+λ)2 ln((2+λ)/2))/3である．

帰納法によって，価値関数の形は

V (N − j, x) = −(j + 1)exp

[−(

x +j∑

i=1

i ln(

i + λ

i

))/(j + 1)

](7.31)

108

であり，対応する最適な制御は

φ(N − j, 1) =

(x +

j∑i=1

i ln(

i + λ

i

))/(j + 1) (7.32)

であることを証明できる．

練習問題

1. 2 節の有限期間投資の例を，r > 0 の場合について解け．初期の富が W0 の場合，価値関数

V (k, x)，最適制御 φ(k, x)，および最適消費流列，遺産ならびに最大効用を求めよ．

2. k期の収益が g(k, x, u) =√

uに等しい場合のダイナミック・プログラミング問題を考えよう．

ここで，xは状態，u ≥ 0は制御である．最終期N については，収益は h(x) =√

xである．状

態は，x(t + 1) = x(t) − u(t)によって更新される．価値関数 V (k, x)および最適な制御 φ(k, x)を求めよ．

3. (a)∑N

t=0 yt = 100のもとで，∑N

t=0 αt ln yt を最大化するように (y0, y1, · · · , yN)を選択する問題を考えよう．この問題をダイナミック・プログラミングのフレームワーク (xtを 100のうちで t期に残っている部分とする)で設定する場合，V (j, x)に関する最適性方程式はどのようなものか．

(b) 正しいか，誤りか．(a)において α = 1および N = 99であるとき，

V (j, x) = (100 − j) ln(

x

100 − j

)

は価値関数である．

4. ある消費者が富W をN 期間の消費に配分しなければならないとする．t期の初めに富 xtが残

されており，t期に yt を消費する場合，その期間の満足 (効用)は yt − e−yt である．t期で使

われなかった富は t + 1期に持ち越される．期間は短いので，有効な利子率はゼロであり，将来の期間は割引かれない．最終期間が N のとき，残りの富が xおよび一般の期間 N − j 期に

ついて，価値関数 V (N − j, x)および最適制御 φ(N − j, x)を求めよ．

5. 当初の資本水準K0 をもつある企業が期間 t = 0, 1, 2, · · · , T を通じて配当の (ディスカウントβ での)現在割引価値の最大化に関心をもっているとする．各期 t = 0, 1, · · · , T − 1において，現行の資本水準Ktは (減価償却を補填するための資本ストックの更新後の)純収入

√Kt −Kt

を生む．そして，企業は収入のうちどれだけを配当として支払い，どれだけを資本の増加に投

資するかを決定しなければならない．企業が itの投資すると，現行の配当は√

Kt −Kt − itで

あり，次期の資本ストックはKt+1 = Kt + itである．(it < 0は資本ストックが部分的に減価しうることを意味するから，itは正である必要がないことに注意しよう．唯一の制約は it ≥ −Kt

である．)T 期には，資本ストックが完全に減価することが可能であり，投資はなく，そして配当は

√KT である．

(a) 資本がK の場合，一般の T − j 期について，価値関数 V (T − j, K)および最適 (投資)制御 φ(T − j, K)を求めよ．

(b) ゼロ期における初期資本ストックが K0 のとき，資本ストック K0, K1, K2, · · · , KT およ

び投資 i0, i1, i2, · · · , iT−1の最適な列を求めよい．

109

6. ある消費者が富を N 期間の消費に配分しなければならないとする．t期に ctを消費する場合，

その期間の効用は (ct)2である．t期で消費されなかった富は，利子率 r > 0で投資され，t + 1期に持ち越される．さて今度は，この消費者は任意の期間において借入れをすることが許され

ている．消費者は将来を δ ∈ (0, 1)で割引く．最終期N において，残りの富を消費する．残り

の富が xの場合，一般のN − j期について，価値関数 V (N − j, x)および最適制御 φ(N − j, x)を求めよ．

7. 3節の最初の無限期間投資問題を 0 < r < (1− δ2)/δ2の場合について解きなさい．初期の富が

W0の場合，価値関数 V (x)，最適制御 φ(x)，および最適消費流列ならびに最大効用を求めよ．

8. 3節の鉱石採掘に関する例における企業が競争的であり，t期，t = 0, 1, 2, · · · における (固定)価格が Ptである市場の列に直面しているものとする．δ ∈ (0, 1)のとき，この企業が毎期，厳密に正の量をすすんで採掘するような価格の列に関してどのようなことが妥当しなければなら

ないか．(この結果はホテリングのルールとして知られる．)

9. 4節の確率的賃金問題と類似した，賃金が確率的でない問題を解け：確率 1で wt = λの場合．

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