形式言語とオートマトン

第2回

山中克久

講義URL: http://www.kono.cis.iwate-u.ac.jp/~yamanaka/Lecture/Automata/index.html

目次

l  決定性有限オートマトン l  非決定性有限オートマトン

l  次回，決定性有限オートマトンと非決定性有限オートマトンの関係をやります

有限オートマトン

オートマトンの例

C言語 プログラムソース中のコメント部分を全て消したい

“/*” と “*/” で囲まれた部分をコメントとみなす

‘/’ 0 1

（1文字読み込むごとに状態が変化していくオートマトンを考える）

‘*’ 2

3

‘*’ ‘/’

その他の 文字（出力） その他の

文字（出力） その他の文字 （出力しない）

4 その他の文字 （出力しない）

EOF

Start

数学的に厳密な定義を与える 直感的には分かるんだけど…

決定性有限オートマトンの定義

(1) 状態の有限集合（Qと書く） (2) 有限のアルファベット（Σと書く）

(3) 状態遷移関数（δと書く，δ: Q×Σ à Q）

(4) 開始状態（q0と書く）

(5) 受理状態の集合（Fと書く）

次の(1)～(5)を集めたものを決定性有限オートマトン（Deterministic Finite Automata, DFA）と呼ぶ

⇒ Qの中の1つ

⇒ Qの部分集合

(1)～(5)からなる5項組（Q, Σ, δ, q0, F）を決定性有限オートマトン（Deterministic Finite Automata, DFA）と呼ぶ

正確には

決定性有限 オートマトンの例：

q1 q0

1

0 0

start

1

1を偶数回含む0-1の2進列を受理する

DFA（決定性有限オートマトン）の例

(1) 状態の有限集合（Qと書く） (2) 入力記号の有限集合（Σと書く）

(3) 状態遷移関数（δと書く，δ: Q×Σ à Q）

(4) 開始状態（q0と書く）

(5) 受理状態の集合（Fと書く）

次の(1)～(5)を集めてきたものを決定性有限オートマトン（Deterministic Finite Automata, DFA）と呼ぶ 上の決定性有限オートマトンは

δ: q0 q1

q0 q1 q1 q0

0 1

q1 q0

1

0 0

start

1

（{q0,q1}, {0,1}, δ, q0, {q0}）

と書ける，ここで，δは以下の通り

δの状態遷移表 以下の遷移全てを表にまとめて書いたもの δ（q0,0）=q0，δ（q0,1）=q1，δ（q1,0）=q1，δ（q1,1）=q0

受理する，受理しない

q1 q0

1

0 0

start

1

上の決定性有限オートマトンは以下の 系列を受理する? 受理しない?

0101 à 受理する 00111 à 受理しない ε à 受理する

オートマトンが受理する言語

q1 q0

1

0 0

start

1

L（M1） = { w ∊ Σ* | w は 1 を偶数個含む }

オートマトンM1

※ Σ = {0,1} とする

0

1 0

start q0

1

0,1

q1 q2

オートマトンM2

L（M2） = { w ∊ Σ* | wは01を部分系列として含む }

オートマトンM1が受理する言語は，1 を偶数個含む系列からなる集合である．

L（M1） Σ*

L（M2）

非決定性有限オートマトン（NFA）

次の(1)-(5)からなる5項組 M = (Q,Σε,δ,q0,F) を 非決定性有限オートマトン（Non-deterministic Finite Automata, NFA）と呼ぶ

(1) Qは状態の有限集合

(2) (3)

(4) (5)

Σは，有限のアルファベット集合

q0 ∊ Q は開始状態

F⊆Q は受理状態の集合

δ: Q×Σε à P（Q） は状態遷移関数

DFA と NFA の違いは状態遷移関数だけ DFA の状態遷移関数: 状態を1つだけ返す NFA の状態遷移関数: 複数個の状態（状態の集合）を返す

δは，状態と入力記号を受け取ったとき， 状態の集合を返す関数

Σε=Σ∪{ε} P（Q）: Qの冪集合

1

0,1

start q0

1

0,1

q1 q3 q2

1

非決定性有限オートマトンの例1

非決定性有限オートマトン M

L（M） = { w ∊ Σ* | wは，111を部分系列として含む }

1

0,1

start q0

1

0,1

q1 q3 q2

1

オートマトンが系列 w 受理するかどうかの考え方

系列 w をオートマトン M に与えたとき，「受理状態で終わるような遷移」が1つでもあれば，M は w を受理するという

上の非決定性有限オートマトンは，系列 w = 11011101 を受理する なぜならば，以下の遷移をすれば受理状態で終了するから

1 q0 q0

1 q0

0 q0

1 q1

1 q2

1 q3

0 q3

1 q3

非決定性有限オートマトンの例2

ε

0 1

start q0

ε

2

q1 q2

※ Σ = {0,1,2} とする

非決定性有限オートマトン M

L（M） = { 0i1j2k | i ≧ 0，j ≧ 0，k ≧ 0 }

0i1j2k : 0 が i 個連続して並んで，1 が j 個連続して並んで，2 が k 個連続して並んでいるような系列

上のオートマトンは 系列0012 を受理するか? à 以下のような状態の遷移が存在するから受理する

0 q0 q0

0 q0

ε q1

1 q1

ε q2

2 q2

※ ε は空系列という ε がついた辺は「遷移して もいいし，しなくてもいい」 意味する

練習問題2-1

0

1

start q2

0

0,1

q1 q0

1

以下の決定性有限オートマトンどんな言語を受理するか? ただし，Σ = {0,1} とする

(b) q0

q2

q1 0

1

Start

1

0 1

0

(a)

以下の言語を受理する決定性有限オートマトンの 状態遷移図を書け．ただし，Σ = {0,1} とする．

（1） { w | w は 101 を部分系列として含む} （2） { w | w の最後から3番目の文字は 1 である}

練習問題2-2

練習問題2-3

以下の非決定性有限オートマトンどんな言語を受理するか? ただし，Σ = {0,1} とする

0

1

start q2 ε

q0

q1

0

1

1

0

q3 q4

1

0

ε

練習問題2-4

以下の言語を受理する非決定性有限オートマトンの 状態遷移図を書け．ただし，Σ = {0,1} とする．

{ w | w は 101 を部分系列として含む}