192 Ⅳ. 집합과 명제

비트겐슈타인(Wittgenstein, L., 1889~1951)

오스트리아 태생인 영국의 논리학자, 수리 철학 및 언어 철학자

이 글은 비트겐슈타인의 사후인 1956년에 출간된 『수학의 기초에 관한 고찰』이라는

책에서 수학적 증명이 논리적으로 엄밀해야 함을 강조한 표현으로, 그의 사상은 후에

인문학과 사회 과학의 여러 분야에 큰 영향을 끼쳤다.

2. 명제 193

명제와 그 부정

마그마나 용암이 식은 후 굳어서

만들어진 암석인 화성암에는 현무암, 화강암

등이 있고, 바다 또는 호수 밑바닥에 퇴적물이

쌓인 후 굳어서 만들어진 암석인 퇴적암에는

사암, 이암 등이 있다.

다음 문장 중에서 참, 거짓을 판별할 수 있

는 것을 말해 보자.

① 현무암은 화성암이다.

② 화성암은 퇴적암이다.

③ 사암은 단단한 암석이다.

위의 생각 열기에서 ①은 참이고 ②는 거짓이다. 이와 같이 참 또는 거

짓을 명확하게 판별할 수 있는 문장이나 식을 명제라고 한다.

한편, ③은 단단하다의 기준이 명확하지 않아서 참인지 거짓인지 판별

할 수 없으므로 명제가 아니다.

① ‘유리수는 실수이다.’ 는 참인 명제이다.

② ‘ ’ 는 거짓인 명제이다.

③ ‘인생은 아름답다.’ 는 아름답다의 기준이 명확하지 않아서 참인지

거짓인지 판별할 수 없으므로 명제가 아니다.

문제1 다음 중에서 명제를 모두 찾고, 명제인 것은 참, 거짓을 판별하시오.

⑴ 는 유리수이다.

⑵ 한강은 긴 강이다.

⑶

⑷ 두 집합 , 에 대하여 ⊂ ∪이다.

명제와 조건의 뜻을 알고, ‘모든’, ‘어떤’

을 포함한 명제를 이해한다.

전체집합 인 자연수의 부

분집합 을 원소

나열법으로 나타내시오.

사람의 주장 중에는 ‘내 말이 옳다.’

와 같이 참인지 거짓인지 판별하기

어려운 것이 있고, 때로는 참인 것처

럼 보이는 것이 나중에는 거짓으로

드러나는 경우도 있다.

수학에서는 참 또는 거짓을 분명히 판

별할 수 있는 문장이나 식을 다룬다.

명제와 조건

194 Ⅳ. 집합과 명제

명제 에 대하여 ‘가 아니다.’를 명제 의 부정이라 하며, 이것을 기호로

～와 같이 나타낸다.

명제 가 참이면 ～는 거짓이고, 가 거짓이면 ～는 참이다.

또, ～의 부정 ～ ～는 이다.

① 명제 ‘은 홀수이다.’ 는 참이고, 그 부정 ‘은 홀수가 아니다.’ 는 거짓이다.

② 명제 ‘ ’ 는 거짓이고, 그 부정 ‘ ≤ ’ 는 참이다.

문제2 다음 명제의 부정을 말하고, 그것의 참, 거짓을 판별하시오.

⑴ 은 소수이다. ⑵ ≤

조건과 진리집합

변수 를 포함하는 문장 ‘는 의 약수이다.’는 그 자체로는 참, 거짓을 판별할 수

없지만, 의 값이 정해지면 참, 거짓을 판별할 수 있다. 예를 들어 이면 참이고

이면 거짓이다.

이와 같이 변수를 포함하는 문장이나 식 중에서 변수의 값에 따라 참, 거짓을 판별할

수 있는 것을 조건이라고 한다.

명제의 부정과 마찬가지로, 조건 에 대하여 ‘가 아니다.’를 조건 의 부정이라 하

며, 이것을 기호로

～와 같이 나타낸다.

전체집합 의 원소 중에서 조건 를 참이 되게 하는 모든 원소의 집합을 조건 의

진리집합이라고 한다. 조건 의 진리집합을 라 할 때, ～의 진리집합은 이다.

전체집합 가 자연수 전체의 집합일 때, 조건 ‘：는 홀수이다.’에 대하여

① 의 진리집합은　　 ⋯

② ～의 진리집합은　　 ⋯

문제3 전체집합 가 자연수 전체의 집합일 때, 조건 ‘： ≤ ’에 대하여 의 진리집

합과 ～의 진리집합을 구하시오.

명제는 보통 알파벳 소문

자 , , , ⋯로 나타낸다.

변수 를 포함하는 조건

을 , , , ⋯

로 나타내는데, 이를 간단히

, , , ⋯로 나타내기도

한다.

조건 에 대하여

～～는 이다.

2. 명제 195

명제 →의 참, 거짓

두 조건 , 로 이루어진 명제 ‘이면 이다.’를 기호로

→

와 같이 나타낸다. 이때 를 가정, 를 결론이라고 한다.

예를 들어 명제 ‘ 이면 이다.’에서, 가정은

‘ ’이고 결론은 ‘ ’이다.

명제 → 에서 조건 가 참이 되는 모든 경우에 조건 도 참이 되면 그 명제는

참이고, 조건 는 참이 되지만 조건 가 거짓이 되면 그 명제는 거짓이다.

즉 두 조건 , 의 진리집합을 각각 , 라 할 때, ⊂ 이면 명제 → 는 참이

고, ⊄ 이면 명제 → 는 거짓이다.

이상을 정리하면 다음과 같다.

명제 → 의 참, 거짓

명제 → 에 대하여 두 조건 , 의 진리집합을 각각 , 라 할 때,

➊ ⊂ 이면 명제 → 는 참이고, 명제 → 가 참이면 ⊂ 이다.

➋ ⊄ 이면 명제 → 는 거짓이고, 명제 → 가 거짓이면 ⊄ 이다.

예제1 다음 명제의 참, 거짓을 판별하시오.

⑴ 이면 이다. ⑵ 소수는 홀수이다.

주어진 명제의 가정을 , 결론을 라 하고, 각각의 진리집합을 , 라 하자.

⑴ ‘： ’, ‘： ’에서　　 ,　

따라서 ⊂ 이므로 주어진 명제는 참이다.

⑵ ‘：는 소수이다.’, ‘：는 홀수이다.’에서

⋯,　 ⋯

따라서 ⊄ 이므로 주어진 명제는 거짓이다.

⑴ 참　⑵ 거짓

문제4 다음 명제의 참, 거짓을 판별하시오.

⑴ ≤ 이면 ≤ 이다. ⑵ 의 배수는 짝수이다.

힐베르트(Hilbert, D.,

1862~1943)

독일의 수학자로 명제에서

기호 →를 1922년에 처음

사용했다고 한다.

명제가 거짓임을 보이는

예를 반례라고 한다.

⑵ [반례] 는 소수이지만

홀수가 아니다.

196 Ⅳ. 집합과 명제

‘모든’이나 ‘어떤’을 포함한 명제

다음은 ‘모든’이나 ‘어떤’을 포함한 문장이다.

위의 문장의 참, 거짓을 판별해 보자.

일반적으로 조건 는 참, 거짓을 판별할 수 없지만, 조건 앞에 ‘모든’이나 ‘어떤’이

있으면 참, 거짓을 판별할 수 있으므로 명제이다.

‘모든’이나 ‘어떤’을 포함한 명제의 참, 거짓을 알아보자.

전체집합 에 대하여 조건 의 진리집합을 라 할 때, 전체집합 에서 명제

‘모든 에 대하여 이다.’ ⋯⋯①

가 참이라는 것은, 에 속하는 모든 원소 에 대하여 가 참임을 뜻한다.

따라서 ①은 이면 참이고, ≠이면 거짓이다.

또, 전체집합 에서 명제

‘어떤 에 대하여 이다.’ ⋯⋯②

가 참이라는 것은, 의 원소 중에서 가 참이 되게 하는 가 존재함을 뜻한다.

따라서 ②는 ≠∅이면 참이고, ∅이면 거짓이다.

이상을 정리하면 다음과 같다.

‘모든’이나 ‘어떤’을 포함한 명제의 참, 거짓

전체집합 에 대하여 조건 의 진리집합을 라 할 때,

➊ 이면 ‘모든 에 대하여 이다.’는 참이고,

≠이면 ‘모든 에 대하여 이다.’는 거짓이다.

➋ ≠∅이면 ‘어떤 에 대하여 이다.’는 참이고,

∅이면 ‘어떤 에 대하여 이다.’는 거짓이다.

‘어떤 에 대하여 이

다.’를 ‘인 가 있다.’로 표

현할 수도 있다.

2. 명제 197

전체집합 가 실수 전체의 집합일 때,

① 명제 ‘모든 에 대하여 이다.’에서 조건 ‘： ’의 진리집합

을 라 하면 이고 ≠이므로 이 명제는 거짓이다.

② 명제 ‘어떤 에 대하여 이다.’에서 조건 ‘： ’의 진리집합

을 라 하면 이고 ≠∅이므로 이 명제는 참이다.

문제5 다음 명제의 참, 거짓을 판별하시오.

⑴ 모든 실수 에 대하여 이다.

⑵ 어떤 실수 에 대하여 이다.

이제 ‘모든’이나 ‘어떤’을 포함한 명제의 부정을 알아보자.

명제 ‘모든 에 대하여 이다.’의 부정은 ‘가 아닌 가 있다.’, 즉

‘어떤 에 대하여 ～이다.’

이다. 또, ‘어떤 에 대하여 이다.’의 부정은 ‘인 가 없다.’, 즉

‘모든 에 대하여 ～이다.’

이다.

이상을 정리하면 다음과 같다.

‘모든’이나 ‘어떤’을 포함한 명제의 부정

➊ ‘모든 에 대하여 이다.’의 부정은 ‘어떤 에 대하여 ～이다.’이다.

➋ ‘어떤 에 대하여 이다.’의 부정은 ‘모든 에 대하여 ～이다.’이다.

① 명제 ‘모든 실수 에 대하여 이다.’의 부정은 ‘어떤 실수 에 대하여

≥ 이다.’이다.

② 명제 ‘어떤 실수 에 대하여 이다.’의 부정은 ‘모든 실수 에 대하여

≠이다.’이다.

문제6 다음 명제의 부정을 말하고, 그것의 참, 거짓을 판별하시오.

⑴ 모든 실수 에 대하여 이다.

⑵ 어떤 사다리꼴은 평행사변형이다.

① [반례] 이면

는 실수이지만 ≠

이다.

의 부정은

≠, 즉 ≠∅

이고, ≠∅의 부정은

∅, 즉

이다.

198 Ⅳ. 집합과 명제

정의, 증명, 정리

우리가 사용하는 용어의 뜻은 여러 가지로 나타낼 수 있으나, 제각기 다른 방법으로

나타내면 의사소통이 정확하게 이루어지지 않는다. 따라서 용어의 뜻을 한 가지로 정

하여 사용해야 한다.

‘두 변의 길이가 같은 삼각형을 이등변삼각형이라고 한다.’와 같이 용어의 뜻을 명확

하게 정한 것을 그 용어의 정의라고 한다.

한편, 정의나 명제의 가정 또는 이미 옳다고 밝혀진 성질을 이용하여 어떤 명제가

참임을 설명하는 것을 증명이라고 한다.

또, ‘이등변삼각형의 두 밑각의 크기는 같다.’와 같이 참임이 증명된 명제 중에서 기

본이 되는 것이나 다른 명제를 증명할 때 이용할 수 있는 것을 정리라고 한다.

예제2 다음 명제가 참임을 증명하시오.

‘자연수 에 대하여 은 짝수이다.’

일 때, × × 이므로 은 짝수

일 때, × × 이므로 는 짝수

일반적으로 이 성립한다. 이때 이 홀수이면 은 짝수이고,

이 짝수이면 은 홀수이다. 그런데 짝수와 홀수의 곱은 짝수이므로, 어느 경우이든

은 짝수이다.

따라서 자연수 에 대하여 은 짝수이다.

문제7 다음 명제가 참임을 증명하시오.

‘자연수 에 대하여 은 짝수이다.’

문제 해결 | 추론 | 창의·융합 | 의사소통 | 정보 처리 | 태도 및 실천 | 정보 처리 | 태도 및 실천

다음은 어느 이발사의 주장인데, 이것을 ‘이발사의 역설’이라고 한다.

이 이발사는 자신의 면도를 할 수 있는지 판단해 보자.

명제와 관련된 다른 역설도 조사해 보자.

2. 명제 199

명제의 역과 대우

다음은 마름모와 평행사변형 사이의 관계에 대한 명제이다.

‘□ABCD가 마름모이면 □ABCD는 평행사변형이다.’

➊ 위의 명제에서 가정과 결론을 찾아보자.

➋ 가정과 결론을 서로 바꾼 명제를 문장으로 나타내어 보자.

위의 생각 열기에서와 같이 명제 →에서 가정과 결론을 서로 바꾼

명제

→

를 명제 →의 역이라고 한다.

또한, 명제 →에서 가정과 결론을 각각 부정하여 서로 바꾼 명제

～→～를 명제 →의 대우라고 한다.

명제와 그 역, 대우 사이의 관계를 그림으로 나타내면 다음과 같다.

명제 ‘ 이면 이다.’의 역과 대우는 다음과 같다.

① 역: 이면 이다.

② 대우: ≠이면 ≠이다.

문제1 다음 명제의 역과 대우를 말하시오.

⑴ 이면 이다.

⑵ 직사각형은 정사각형이다.

명제의 역과 대우

명제의 역과 대우를 이해하고, 대우를 이

용한 증명법과 귀류법을 이해한다.

다음 명제의 참, 거짓을 판별하시오.

⑴ 정삼각형은 이등변삼각형이다.

⑵ 이등변삼각형은 정삼각형이다.

‘가는 말이 고와야 오는 말도 곱다.’

라는 속담에서 ‘가는 말’과 ‘오는 말’

을 서로 바꾸면 ‘오는 말이 고와야

가는 말도 곱다.’이다.

이와 같이 명제에서도 가정과 결론

을 서로 바꾼 명제를 생각할 수 있다.

200 Ⅳ. 집합과 명제

대우를 이용한 증명법

전체집합 에 대하여 두 조건 , 의 진리집합을 각각 , 라 할 때, ～, ～의

진리집합은 각각 , 이다. 명제 →가 참이면 ⊂ 이므로

⊂

이다. 따라서 명제 →의 대우인 ～→～도 참이다.

일반적으로 다음이 성립한다.

명제와 그 대우의 참, 거짓

➊ 명제 → 가 참이면 그 대우 ～→～도 참이다.

➋ 명제 → 가 거짓이면 그 대우 ～→～도 거짓이다.

명제가 참이면 그 대우도 참이고 대우가 참이면 처음의 명제도 참이므로, 어떤 명제

가 참임을 증명할 때는 그 대우가 참임을 증명해도 된다.

예제1 대우를 이용하여 다음 명제가 참임을 증명하시오.

‘자연수 에 대하여 이 짝수이면 도 짝수이다.’

주어진 명제의 대우는 ‘자연수 에 대하여 이 홀수이면 도 홀수이다.’이다.

이 홀수이면 (는 또는 자연수)로 나타낼 수 있다. 이때

이므로 도 홀수이다.

따라서 주어진 명제의 대우가 참이므로 주어진 명제도 참이다.

문제2 대우를 이용하여 다음 명제가 참임을 증명하시오.

‘자연수에 에 대하여 이 홀수이면 도 홀수이다.’

문제3 대우를 이용하여 다음 명제가 참임을 증명하시오.

‘≠ 이면 ≠ 이고 ≠ 이다.’

⊂이더라도 ⊂

가 아닐 수 있으므로, 명제

→ 가 참이더라도 그 역

→ 는 참이 아닌 경우가

있다.

‘이고 ’의 부정은

‘～ 또는 ～’이다.

2. 명제 201

귀류법

어떤 명제가 참임을 증명할 때, 그 명제 또는 명제의 결론을 부정하면 모순이 생긴다

는 것을 보여도 된다. 이와 같이 증명하는 방법을 귀류법이라고 한다.

예제2 귀류법을 이용하여 가 무리수임을 증명하시오.

가 무리수가 아니라고 가정하면 는 유리수이므로

(, 은 서로소인 자연수)

으로 나타낼 수 있다. 즉 이고, 양변을 제곱하면

이때 이 짝수이므로 도 짝수이다.

따라서 (는 자연수)로 나타낼 수 있으므로

, 즉

이때 이 짝수이므로 도 짝수이다.

그런데 , 이 모두 짝수이므로 , 이 서로소라는 가정에 모순이다.

따라서 는 무리수이다.

문제4 귀류법을 이용하여 가 무리수임을 증명하시오.

귀류법으로 증명한 소수의 무한성

가장 큰 소수를 찾을 수 있을까?

년까지 알려진 가장 큰 소수는

로, 무려 자리 수라고 한다. 그런데 소수

는 무수히 많으므로 이 소수도 가장 큰 소수는 아니고,

다만 우리가 더 큰 소수를 아직 발견하지 못했을 뿐이

다.

오른쪽은 귀류법을 이용하여 소수가 무수히 많음을

증명한 것이다.

소수가 유한개만 있다고 가정하고, 그 유한개의 소수

를 , , ⋯ , 이라 하자. 새로운 수

× × ⋯ × 을 만들면, 은 보다

크고 모든 소수 , , ⋯ , 중의 어느 것과도 같지

않으므로 합성수이다. 그러므로 은 어느 하나의 소수

≤ ≤ 으로 나누어떨어져야 한다. 그런데

× × ⋯ × 을 으로 나누면 이

남으므로 모순이다. 따라서 소수는 무수히 많다.

202 Ⅳ. 집합과 명제

충분조건과 필요조건

우리나라 성인의 비타민 C 하루 필요량은 mg, 권장 섭

취량은 mg이라고 한다. 다음 표는 식품 g당 비타민 C 함유량을

나타낸 것이다.

식품 시금치 양배추 키위 딸기 피망 브로콜리

비타민 C 함유량

(mg g)

(출처: 최연배, 식품학총론 / 한국 영양 학회, 2015 한국인 영양소 섭취기준)

위의 표에서 g당 비타민 C 함유량이 성인의 하루 권장 섭취량을

채우는 데 충분한 식품을 말해 보자.

명제 → 가 참일 때, 이것을 기호로

⇒

와 같이 나타낸다. 이때

는 이기 위한 충분조건,

는 이기 위한 필요조건

이라고 한다.

또, 명제 → 에 대하여 ⇒이고 ⇒일 때, 이것을 기호로

⇔

와 같이 나타낸다.

이때 는 이기 위한 필요충분조건이라고 한다. 이 경우에 도 이기

위한 필요충분조건이다.

예를 들어 ‘는 의 배수 ⇒는 의 배수’에서

‘는 의 배수’는 ‘는 의 배수’이기 위한 충분조건,

‘는 의 배수’는 ‘는 의 배수’이기 위한 필요조건

이다. 또, ‘는 짝수 ⇔는 의 배수’에서

‘는 짝수’는 ‘는 의 배수’이기 위한 필요충분조건

이다.

충분조건과 필요조건

충분조건과 필요조건을 이해하고 구별할

수 있다.

다음 명제 중에서 참인 것을 찾으시오.

⑴ 가 정수이면 은 자연수이다.

⑵ 가 실수이면 ≥이다.

사람이 생존하는 데 물을 섭취하는

것이 반드시 필요하다. 하지만, 사람

이 생존하는 데 물을 섭취하는 것만

으로는 충분하다고 할 수는 없다.

명제에서도 이와 같이 필요한 조건

과 충분한 조건을 생각할 수 있다.

2. 명제 203

두 조건 , 의 진리집합을 각각 , 라 할 때, ⊂ 이면 ⇒이므로 는 이

기 위한 충분조건이고, 는 이기 위한 필요조건이다.

특히, 이면 ⇔이므로 는 이기 위한 필요충분조건이다.

예제1 두 조건 , 가 다음과 같을 때, 는 이기 위한 어떤 조건인지 말하시오.

⑴ ：는 의 약수이다. ：는 의 약수이다.

⑵ ： ≤ ： ≤

두 조건 , 의 진리집합을 각각 , 라 하자.

⑴ , 이므로 ⊂ 이고 ⊄ 이다.

따라서 는 이기 위한 필요조건이지만 충분조건은 아니다.

⑵ ≤ ≤ , ≤ ≤ 이므로 이다.

따라서 는 이기 위한 필요충분조건이다.

⑴ 필요조건　⑵ 필요충분조건

문제1 두 조건 , 가 다음과 같을 때, 는 이기 위한 어떤 조건인지 말하시오.

⑴ ： ： ⑵ ： ：

문제 해결 | 추론 | 창의·융합 | 의사소통 | 정보 처리 | 태도 및 실천

다음은 두 집합 , 에 대하여 ⊂ 는 ∅이기 위한 필요충분조건임을 증명한

것이다.

(ⅰ) ‘ ⊂ ⇒ ∅ ’의 증명

⊂ 이면 의 원소 중에서 에 속하지 않는 원소가 없으므로 ∅이다.

(ⅱ) ‘ ∅ ⇒ ⊂ ’의 증명

∅이면 의 모든 원소가 에 속하므로 ⊂ 이다.

(ⅰ)과 (ⅱ)에서 ⊂ 는 ∅이기 위한 필요충분조건이다.

위와 같은 방법으로 두 집합 , 에 대하여 ∩ 는 ⊂ 이기 위한 필요충분

조건임을 증명해 보자.

204 Ⅳ. 집합과 명제

절대부등식

오른쪽 그림을 이용하여, 일 때 부등

식 ≥ 가 항상 성립함을 설명해 보자.

전체집합이 실수 전체의 집합일 때, 부등식 ≥ 은 전체집합에

속하는 모든 에 대하여 성립한다. 이와 같이 전체집합에 속한 모든 값에

대하여 성립하는 부등식을 절대부등식이라고 한다.

절대부등식을 증명할 때는 다음과 같은 성질이 자주 이용된다.

, 가 실수일 때,

➊ ⇔ ➋ ≥ ,　 ≥

➌ ⇔ ➍ ,　

➎ ≥ ⇔ ≥ (단, ≥ , ≥ )

예제1 , 가 실수일 때, 부등식 ≥ 가 성립함을 증명하시오.

그런데

≥ 이고 ≥ 이므로　　 ≥

따라서　 ≥

여기서 등호는

이고 , 즉 일 때 성립한다.

등호가 포함된 부등식이 성립함을 증명할 때는 특별한 말이 없더라도 등

호가 성립하는 조건을 찾도록 한다.

절대부등식

절대부등식의 뜻을 이해하고, 간단한 절

대부등식을 증명할 수 있다.

다음 부등식을 푸시오.

⑴ ≥

⑵ ≥

은 모든 실수

에 대하여 항상 성립하는 등식이다.

또, ≥은 모든 실수 에 대하여

항상 성립하는 부등식이다.

이와 같이 등식뿐만 아니라 부등식

중에도 모든 실수에 대하여 항상 성

립하는 부등식이 있다.

2. 명제 205

문제1 , 가 실수일 때, 다음 부등식이 성립함을 증명하시오.

⑴ ≥ ⑵ ≥

예제2 , 일 때, 부등식

≥ 가 성립함을 증명하시오.

≥

따라서　

≥

여기서 등호는 , 즉 일 때 성립한다.

문제2 , 일 때, 다음 부등식이 성립함을 증명하시오.

⑴ ≥ ⑵ ≥

예제3 , 가 실수일 때, 부등식 ≤ 가 성립함을 증명하시오.

그런데 ≥ 이므로　　 ≥

따라서 ≤ 이므로　　 ≤

여기서 등호는 , 즉 ≥ 일 때 성립한다.

문제3 , 가 실수일 때, 다음 부등식이 성립함을 증명하시오.

⑴ ≤ ⑵ ≤

, 일 때,

, 를 각각 와

의 산술평균, 기하평균이라

고 한다.

≥ , ≥

이므로 주어진 부등식의 양

변을 제곱하여 증명하면 된다.

2. 명제 207

01 다음 중에서 명제를 모두 찾고, 명제인 것은 참, 거짓을

판별하시오.

⑴ 는 유리수이다.

⑵ 나보다 키가 큰 사람이 많이 있다.

⑶ 직각삼각형의 한 각의 크기는 °보다 작거나 같다.

⑷ 은 소수이다.

02 전체집합 는 이하의 자연수에 대하여 두

조건

： ,　： ≤

일 때, 다음 조건의 진리집합을 구하시오.

⑴ ⑵

⑶ ～ ⑷ ～

03 다음 명제의 역과 대우를 말하시오.

⑴ 이면 이다.

⑵ 이면 이다.

04 두 조건 , 가 다음과 같을 때, 는 이기 위한 어떤

조건인지 말하시오.

⑴

⑵ ≤ ≤ ≤

Ⅳ 2. 명제

명제와 조건

⑴ 명제와 그 부정

➊ 참 또는 거짓을 명확하게 판별할 수 있는 문장이나

식을 명제라고 한다.

➋ 명제 에 대하여 ‘가 아니다.’를 명제 의 부정이라

하며, 기호로 ～와 같이 나타낸다.

⑵ 조건과 진리집합

➊ 변수의 값에 따라 참, 거짓을 판별할 수 있는 문장이

나 식을 조건이라고 한다.

➋ 전체집합 의 원소 중에서 조건 를 참이 되게 하는

모든 원소의 집합을 진리집합이라고 한다.

⑶ 명제 → 의 참, 거짓

두 조건 , 의 진리집합을 각각 , 라 할 때,

➊ ⊂이면 명제 → 는 참이다.

➋ ⊄이면 명제 → 는 거짓이다.

⑷ ‘모든’이나 ‘어떤’을 포함한 명제

전체집합 에 대하여 조건 의 진리집합을 라 할 때,

➊ 이면 ‘모든 에 대하여 이다.’는 참이다.

➋ ≠∅이면 ‘어떤 에 대하여 이다.’는 참이다.

명제의 역과 대우

⑴ 명제의 역과 대우

⑵ 명제 또는 명제의 결론을 부정하면 모순이 생긴다는 것

을 보여 원래 명제가 참임을 증명하는 방법을 귀류법이

라고 한다.

충분조건과 필요조건

⑴ ⇒ 일 때, 는 이기 위한 충분조건이고, 는 이

기 위한 필요조건이다.

⑵ ⇔ 일 때, 는 이기 위한 필요충분조건이다.

절대부등식

전체집합에 속한 모든 값에 대하여 성립하는 부등식을 절

대부등식이라고 한다.

208 Ⅳ. 집합과 명제

05 전체집합 에 대하여 두 조건 , 의 진리집합을 각각 , 라 하자. 명제 →가

참일 때, 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고르시오.

ㄱ. ⊂ ㄴ. ∩ ㄷ. ∩ ∅

ㄹ. ⊂ ㅁ. ∪

06 다음 명제의 부정을 말하고, 그것의 참, 거짓을 판별하시오.

⑴ 모든 실수 에 대하여 이다.

⑵ 어떤 실수 에 대하여 이다.

07 다음 명제의 역과 대우를 말하고, 그것의 참, 거짓을 판별하시오.

⑴ , 이면 이다.

⑵ 이면 또는 이다.

⑶ 넓이가 같은 두 삼각형은 서로 합동이다.

08 전체집합 ⋯ 에 대하여 두 조건

：는 의 약수,　：는 의 배수

일 때, 참인 명제만을 보기에서 있는 대로 고르시오.

ㄱ. → ㄴ. → ㄷ. ～ →

ㄹ. ～→ ㅁ. ～→～

2. 명제 209

09 다음 □ 안에 필요, 충분, 필요충분 중에서 가장 알맞은 말을 써넣으시오.

⑴ 실수 , 에 대하여 , 은 이기 위한 조건이다.

⑵ ∩ ∅은 이기 위한 조건이다.

⑶ □ABCD가 평행사변형인 것은 □ABCD가 직사각형이기 위한 조건이다.

10 두 조건 , 에 대하여 가 이기 위한 필요조건일 때, 옳은 것만을 보기에서 있는 대

로 고르시오.

ㄱ. 는 이기 위한 충분조건이다. ㄴ. 는 이기 위한 필요조건이다.

ㄷ. ～는 ～이기 위한 필요조건이다. ㄹ. ～는 ～이기 위한 충분조건이다.

ㅁ. ～는 ～이기 위한 충분조건이다. ㅂ. ～는 ～이기 위한 필요조건이다.

11 일 때,

의 최솟값을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오.

12 귀류법을 이용하여 다음 명제가 참임을 증명하시오.

‘자연수 에 대하여 이 의 배수이면 도 의 배수이다.’

13 , , , 가 실수일 때, 다음에 답하시오.

⑴ 부등식 ≥ 이 성립함을 증명하시오.

⑵ ⑴의 결과를 이용하여 일 때, 의 최댓값을 구하는 풀이 과정과

답을 쓰시오.

Ⅳ

210 Ⅳ. 집합과 명제

01다음 중에서 집합인 것은?

① 노래를 잘 부르는 사람의 모임

② 맛있는 음식의 모임

③ 우리 학교 학년 학생의 모임

④ 성능이 우수한 컴퓨터의 모임

⑤ 호랑이보다 무서운 동물의 모임

02집합 는 의 약수에 대하여 다음 중에서 옳은

것은?

① ∈ ② ⊂

③ ∈ ④ ⊂

⑤

03두 집합

,

는 이하의 소수

에 대하여 ⊂ ⊂ 를 만족시키는 집합 의 개수를

구하시오.

04자연수 , 에 대하여 두 집합

,　

가 서로 같을 때, 의 값을 구하시오.

05집합 와 서로소인 집합 가

∪

를 만족시킬 때, 집합 를 구하시오.

06전체집합 ⋯ 의 세 부분집합 , ,

에 대하여

∪ 는 홀수,

∪ 는 의 약수

일 때, ∪∩의 모든 원소의 합을 구하시오.

07전체집합 의 두 부분집합 , 에 대하여

∩ ,　∩ ,　∪

일 때, 를 구하시오.

Ⅳ

대단원 평가하기 211

08두 집합 , 에 대하여

,　 ,

∪

일 때, ∪를 구하시오.

09전체집합 의 두 부분집합 , 에 대하여 다음 중에서

∩ 와 같은 집합은?

① ② ∩ ③ ∪

④ ⑤

10전체집합 의 세 부분집합 , , 에 대하여

∩∪ ∅

일 때, 다음 중에서 옳지 않은 것은?

① ∩ ∅ ② ⊂

③ ⊂ ④ ∅

⑤ ⊂

11전체집합 의 두 부분집합 , 에 대하여

,　∩ ,　 ∩

일 때, 를 구하시오.

12전체집합 에 대하여 두 조건 , 의 진리집합을 각각 ,

라 할 때, 다음 중에서 옳지 않은 것은?

① ～의 진리집합은 이다.

② 명제 →가 참이면 ⊂ 이다.

③ ≠∅이면 ‘어떤 에 대하여 이다.’는 참이다.

④ ⊂ 이면 명제 →는 참이다.

⑤ ≠이면 ‘모든 에 대하여 이다.’는 거짓이다.

13실수 , 에 대한 다음 명제 중에서 역이 참인 것은?

① 이면 이다.

② 이면 이다.

③ 이면 이다.

④ 이고 이면 이다.

⑤ 이면 이다.

14명제 →～의 역이 참일 때, 다음 중에서 반드시 참인

것은?

① → ② →～③ ～ → ④ ～ →～⑤ →～

Ⅳ

212 Ⅳ. 집합과 명제

15세 집합 , , 에 대하여 명제

‘ ⊂ 이면 ∩⊂ ∩이다.’

의 역과 대우를 말하고, 그것의 참, 거짓을 판별하시오.

16실수 , 에 대하여 두 조건

이차방정식 은 실근을 갖는다.

일 때, 참인 명제만을 보기에서 있는 대로 고르시오.

ㄱ. → ㄴ. →

ㄷ. ～→～ ㄹ. ～→～

17두 조건 , 에 대한 다음 설명 중에서 옳은 것은?

≥ 　　　 ≥

① →의 역은 거짓이다.

② →의 대우는 거짓이다.

③ →의 역은 참이다.

④ →의 대우는 거짓이다.

⑤ ～→의 대우는 참이다.

18전체집합 에 대하여 두 조건 , 의 진리집합을 각각 ,

라 하자. 가 이기 위한 충분조건일 때, 다음 중에서 옳

은 것은?

① ∩ ② ∪

③ ∅ ④ ∅

⑤ ∩ ∅

19전체집합 에 대하여 세 조건 , ,

의 진리집합을 각각 , , 라 할

때, 세 집합 사이의 포함 관계는 오른

쪽 그림과 같다. 다음 중에서 옳은 것은?

① 는 이기 위한 충분조건이다.

② 는 이기 위한 충분조건이다.

③ 는 ～이기 위한 필요조건이다.

④ 는 ～이기 위한 필요충분조건이다.

⑤ ～는 ～이기 위한 필요조건이다.

20실수 , 에 대한 다음 조건 중에서

이기 위한 충분조건이지만 필요조건은 아닌 것은?

① ② ≤

③ ≥ ④

⑤

대단원 평가하기 213

21진호네 학교 학생을 대상으로 가입한 동아리를 조사하였더

니 만화 창작, 실용 음악, 댄스 동아리 중에서 적어도 한 동

아리에 가입한 학생은 명이었다. 만화 창작, 실용 음악

동아리에 가입한 학생은 각각 명, 명이고, 두 동아리

에 모두 가입한 학생은 명일 때, 댄스 동아리에만 가입한

학생 수를 구하시오.

22다음 명제가 참이 되도록 하는 실수 의 최솟값을 구하시오.

‘모든 실수 에 대하여 ≥ 이다.’

23양수 , 에 대하여 세 조건

: ,　: ,　:

일 때 는 이기 위한 충분조건이고, 는 이기 위한 필요

조건이다. 다음에 답하시오.

⑴ 와 의 값의 범위를 구하시오.

⑵ 의 최댓값과 의 최솟값의 합을 구하시오.

24 , 일 때, 다음 부등식이 성립함을 증명하시오.

≥