적분개념wolfpack.hnu.ac.kr/2015_spring/ms/ms_적분.pdf · 2015-04-04 · mathematics for...

Mathematics for Statistics Spring 2015 Integral

적분개념

고대 수학자들은 사각형의 면적(밑변×높이), 삼각형 면적(밑변×높이/2) 평행 사변형의 면적(Euclid geometry (밑면×높이), 사다리꼴의 면적 ((윗변+아래변)*높이/2)를 이용하여 구하였다. 이를 이용하여 왼쪽의 다각형 면적은 구할 수 있으나 오른쪽의 곡선의 면적은 어떻게 구할 것인가?

Archimedes는 곡선의 면적을 이미 알려진 다각형, 삼각형의 면적으로 근사 시켜 구하는 방법을 생각하였다. 이것이 면적에 대한 현재 정의의 근간이 된다.

통계학에 있어서 적분이 이용되는 곳은 확률 계산이다. 다음은 표준 정규 분포를 따르는 확률 변수 에서 (전체 면적은 1이다. 확률의 정의를 생각해 보라.) 우리가 원하는 구간 (a, b)의 확률을 계산하기 할 때 적분이 이용된다.

부정적분 Indefinite Integral

만약 함수 의 모든 정의역에서 이라면 함수 는 의 역-미분 (anti-derivative)이라 한다. 이처럼 적분은 미분의 역이다. 적분의 결과를 미분하면 적분 함수

정의

만약 함수 가 미분 가능하다면, 함수 의 모든 역-미분 함수를 함수 의 에 대한

부정 적분(indefinite integral with respect to )이라 하고 로 표시한다.

(integral)은 적분 기호이며, 의 의미는 함수 를 에 대해 적분한다는 것이다.

부정적분을 구하는 방법은 다음과 같다.

X

}2

exp{21

)( 2

2

σπ

xxf −=

)(xf )()( xfxF =! )(xF )(xf

)(xf )(xf )(xf x

x ∫ dxxf )(

∫ dx )(xf x

한남대학교 권세혁교수 http://wolfpack.hnu.ac.kr

/ Page1 20

x

f(x

http://wolfpack.hnu.ac.kr


(1) (c는 임의의 상수) : 기본 개념

(2) (상수항 곱의 규칙)

(3) (합과 차의 규칙)

함수 의 부정 적분 구하시오.

. (역-미분)을 미분하면 이다.

함수 의 부정적분을 구하시오.

을 구하시오.

적분 결과를 미분하면 적분하려는 원 함수와 같음<=>적분은 역-미분 (anti-derivative) 개념

❍연습문제❍ 다음 함수의 부정 적분을 구하시오.

∫ += cxFdxxf )()(

∫∫ = dxxfkdxxkf )()(

∫∫∫ ±=± dxxgdxxfdxxgxf )()()]()([

xxf 2)( = ∫ xdx2

cxxdx +=∫ 22 2x x2

5)( xxf =cxdxx +=∫ 65

61

∫ +− dxxx )52( 2 ∫ +− dxxx )52( 2 cxxx ++−= 531 23

326)()1( 3 ++= − xxxf xxf 2)()2( =

3/2)()3( −= xxf 3

2)()4(x

xf =

2

52)()5(x

xf −= xxf cos3)()6( =


/ Page2 20



정적분

정적분은(면적) 부정 적분(역-미분 함수)과는 다른 접근 방법이다. 그러나 이 두 개념은 17세기 경에 Newton-Leibniz에 의해 서로 연결되었고 이를 적분(integral)이라 하였다.

구간 의 함수 아래 면적은 어떻

게 구할까? 구간 을 아래와 같이 여러 구간으로 나눈 후 얻은 직사각형의 면적의 합을 함수의 면적으로 생각할 수 있다. 함수와 x축으로 이루어진 공간의 면적을 정적분이라 한다. 아래 그림에서 정적분(실제 면

적: 함수 와 x축 사이 면적)은 왼쪽보다는 크고 오른쪽 보다는 적을 것이다.

Riemann 적분

구간 의 함수 Riemann Integral (면적)은

],[ ba )(xf

],[ ba

)(xf

],[ ba )(xf k

n

kkr xcfS Δ=∑

=1)(


/ Page3 20



구간을 더 좁게 나눌수록 실제 면적과 Riemann적분의 차이는 줄어든다. 나눈 구간의 넓이가 매우 좁아지면(우측 그래프) Riemann 면적과 실제 함수의 면적은 같아질 것이다.

면적을 구하기 위하여 함수의 구간을 나누고 구간의 넓이를 0으로 근사하여야 하는가? 그렇지는 않다. 단지 정적분 개념을 설명하기 위함이다. 다음 절에 나온 규칙들을 이용하여 정적분을 구하면 된다.

정적분 계산 규칙

(1) [통계: 연속 확률변수의 한 점에서 확률은 0이다]

(2) (구간의 순서가 바뀌면 부호 반대)

(3) ( 는 임의의 상수)

(4) (합과 차)

(5)만약 구간 에서 이면 (domination)

(6)만약 구간 에서 이면

0)( =∫a

adxxf

∫∫ −=a

b

b

adxxfdxxf )()(

dxxkfkdxxkfb

a

b

a ∫∫ = )()(k

dxxgdxxfdxxgxfb

a

b

a

b

a ∫∫∫ ±=± )()()]()([

],[ ba )()( xgxf ≥ dxxgdxxfb

a

b

a ∫∫ ≥ )()(

],[ ba 0)( ≥xf 0)( ≥∫ dxxfb

a


/ Page4 20



[통계] 확률변수의 분포함수는 항상 0(확률의 정의)이므로 구간의 확률 또한 0보다 크다.

(7)

(8)

정적분과 부정적분과 관계

Newton-Leibniz은 임을 보였다.

정적분을 구할 때 다음 절차를 따른다.

1) 구하려는 구간 에서 인 값을 구한다.

2) 인 값에 의해 구간 에 의해 서브(sub) 구간을 나눈다. 구간을 나누는 곳은 함수 값( )의 부호가 바뀌는 곳이다. 위의 예제 함수에서는 함수 값이 바뀌는 구간이 없으나 아래 예제 함수의 경우 에서 부호가 바뀐다.

3) 서브 구간의 적분을 구한다.

4) 구한 적분 값에 절대값을 취한 후 합해 정적분을 구한다.

구간에서 과 정적분을 구하시오.

1)

2) 에서 함수 값이 바뀌므로 과 두 개의 서브 구간으로 나눈다.

3) 적분을 구한다.

4) 면적은 이다.

매번 함수 값이 0인 경우를 생각해야 되나? 통계학에서는 그럴 필요가 없다. 통계학에서는 확률 밀도 함수와 같이 함수 값(확률)이 0이상인 경우에만 관심을 갖기 때문이다.

dxxfdxxfdxxfc

a

c

b

b

a ∫∫∫ =+ )()()(

)( abcdxcb

a−=∫

)()()( aFbFdxxfb

a−=∫

],[ ba 0)( =xf x

0)( =xf x ],[ ba

y

0=x

22 ≤≤− x xxy 43 −=

2,0,20)2)(2()4( 2 −=⇒=+−=−= xxxxxxy

0=x ]0,2[− ]2,0[

∫

∫

−=−=−

=−=−− −

2

0

20

243

0

2

02

243

4]241)4(

4]241)4(

xxdxxx

xxdxxx

8|4||4| =−+


/ Page5 20



In R

•범위가 인 경우 inf 입력하면 된다.

❍연습문제❍ 다음 함수의 정적분을 구하시오.

❍연습문제❍ 빗금 친 부분의 면적을 구하시오.

∞

∫ +1

0

2 )1()1( dxx dxx∫ −2

0

3)4()2(

dxxx∫ +1

0

2 )()3( ∫ −32

1

6/5)4( dxx

∫π

0)(sin)5( dxx ∫

−

−

1

2 2

2)6( dxx

∫− +1

1)1()7( dss ∫−

4

4||)8( dxx


/ Page6 20



치환적분

치환 적분은 미분의 연쇄 법칙의 반대 개념이다. 이해를 돕기 위하여 예를 들어 설명하기로 하

자. 가 미분 가능한 의 함수일 경우 이다.

을 구하시오.

만약 라 놓으면 이고 는 이다.

그러므로

을 구하시오.


그러므로

*) 연쇄법칙의 역으로 생각한다면, 의 안을 미분하면 다른 항 가 나타나므로 우선

을 시작으로 미분을 하여 계수를 맞추는 작업을 한다.

1. 을 미분하면 이 나오게 된다.

2. 을 미분하면

3. 이 결과와 적분 안의 함수를 비교하여 차이를 보정하면 된다. 3/2 항이 더 있네? 그렇구

나. 그러면 2/3으로 나누어 주면 되겠구나. 즉

위의 방법을 치환 (substitution) 적분 방법을 정리하면 다음과 같다.

u x ∫ ++

=+

cnuduun

n

1

1

∫ + dxx 5)2(

2+= xu dxxddu =+= )2( ∫ + dxx 5)2( ∫ duu 5

cx

cu

duu ++

=+=∫ 6)2(

6

665

∫ ⋅+ xdxx 21 2

21 xu += xdxxddu 2)1( 2 =+= ∫ ⋅+ xdxx 21 2∫ duu 2/1

cx

cu

duu ++

=+=∫ 3)1(2

32 2/322/3

2/1

21 x+ x22/32 )1( x+

2/32 )1( x+ 21 x+

2/32 )1( x+ )2(12/3 2 xx+

2/32 )1(3/2 x+

�dxxgxgf∫ "⋅ )())((

� ( � 로 치환)

� �

∫= duuf )( dxxgduxgu )(),( !==

cuF += )( cxgF += ))((


/ Page7 20



▣삼각함수 적분

(1) (2)

(3) (4)

(5) (6)

을 구하시오.


그러므로

을 구하시오.

❍연습문제❍ 다음 함수의 정적분을 구하시오.

(1) (2)

(3) (4)

∫ += cuudu sincos ∫ +−= cuudu cossin

∫ += cuudu tansec2 ∫ +−= cuudu cotcsc2

∫ += cuuduu sectansec ∫ +−= cuuduu csccotcsc

∫ + dxx )57cos(

57 += xu dxxddu 7)57( =+= ∫ + dxx )57cos( ∫ 7cos

duu

cxcuududu

u ++=+== ∫∫ )57sin(71

sin71

cos71

7cos

∫ +−+ dxxxx )1()32( 22

! ∫ +−+ dxxxx )1()32( 22

� ( � 로 치환)

� !

∫= duu212

dxxduxxu )22(),32( 2 +=−+=

cu += 3

61

cxx +−+= 32 )32(61

28(7x − 2)3 dx0

2

∫1

(1− x)2dx

0

1

∫

8x(x2 −1)1/3 dx0

1

∫dx5x0

2

∫

∫ +1

0

343 )1()1( dxxx∫ −1

0

21)2( dyyy

∫+

3

02 14)3( dxx

x∫ +

4

1 2)1(2)4(

yydy

∫ +

1

0 22 )1()5( dx

xx

∫ ++1

0

45 )25(2)6( dssss


/ Page8 20



❍연습문제❍ 다음에 대해 답하시오.

(1) 함수 가 연속일 때 임을 보이시오.

(2) 만약 일 때 다음의 경우 을 구하시오.

a) 가 우함수 (even function) b) 가 기함수 (odd function)

(3) 임을 보이시오.

적분 기법

(1) 정의

(2) , 는 상수, (상수항 곱)

(3) (합과 차)

(4) 단 이면 (승)

(5)삼각 함수

(6)지수 함수

(참고) ,

f∫∫ −=1

0

1

0

)1()( dxxfdxxf

3)(1

0

=∫ dxxf ∫−

0

1

)( dxxf

f f

h(x)−∞

∞

∫ dx =0,h = odd _ fn

2 h(x)dx,h = even0

a

∫⎧⎨⎪

⎩⎪

∫ += cudu

∫ += ckukdu k

vudvdudvdu ±=±=± ∫ ∫∫ )(

cun

duu nn ++

= +∫ 1

11

1−=ncudu

u+=∫ ||ln1

∫ += cuudu sincos)1(

∫ +−= cuudu cossin)2(

∫ += cuudu |sec|lntan)3(

∫ += cedxe xx)1(

∫ += caa

dxa xx

ln1)2(

xx efexf =!⇒=)( aafaxf xx ln)( =!⇒=


/ Page9 20



(7)특별한 함수

을 구하시오.

을 구하시오.

그러므로

을 구하시오.

이므로 가장 유사한 방법은 이다.

위와 같은 방법으로 =

❍연습문제❍ 다음을 구하시오.

)0)(ln(),0(ln1)1( <−>=∫ xxxxdxx

∫ +=+

− cuduu

12 tan

11)2(

∫ +=−

− cuduu

1

2sin

11)3(

∫ + dxe xx )33(

cedxdxe xxxx ++=+∫ ∫ 33ln1333

∫ xdxe x )( 2

xdxduxu =⇒= 2 ceceduexdxe xuux +=+== ∫∫22

21

21

21)(

∫ ++dx

xx 221

2

1)1(22 22 ++=++ xxx ∫ +=+

− cuduu

12 tan

11

∫ ++dx

xx 221

2 cxcuduu

++=+=+

−−∫ )1(tantan11 11

2

∫2

1

ln2)1( dxx

x

∫−+0

1

13)2( dxx

∫ +

1

0 2 2816)3( dxxx


/ Page10 20



부분적분

이 공식은 에서 양변을 적분하면 얻게 된다.

을 구하시오.

, 라 하자. ➔ 그러면 ,

(이용 )

을 구하시오.

, 라 하자.

그러면 (*),

= (이용 )

을 구하시오. [연속 사용]

, 라 하자.

그러면 ,

= (이용 )

한번 더 , 라 하자.

그러면 ,

(이용 )

그러므로 = =

vduudvuvd +=)(

∫∫∫∫∫ −=⇒+= vduuvudvvduudvuvd )(

∫ xdxx cos

xu = xdxdv cos= dxdu = xvxdxdv sincos =⇒= ∫∫

∫∫ ++=−= cxxxxdxxxxdxx cossinsinsincos ∫∫ −= vduuvudv

∫ xdxln

xu ln= dxdv =

dxx

du1

= xvdxdv =⇒= ∫∫

∫ xdxln ∫ +−=− cxxxdxxxxx ln1ln ∫∫ −= vduuvudv

∫b

a

xdxex2

2xu = dxedv x=

xdxdu 2=xx evdxedv =⇒= ∫∫

∫ dxex x2 ∫− dxxeex xx 22 ∫∫ −= vduuvudv

xu = dxedv x=

dxdu =xx evdxedv =⇒= ∫∫

)(2][222 ∫ ∫∫ −=−== xxxxxx exedxexedxxedxxe ∫∫ −= vduuvudv

∫ dxex x2 ∫−b

a

xx dxxeex 22ba

xxx exeex ]222 +−


/ Page11 20



Tabular integration (표 적분)

의 형태이면서 는 계속 미분하면 0이 되고 는 적분 가능하다면…

(예)

미분한 값이 0일 될 때까지 미분 열은 계속 미분하고, 적분 열은 계속 적분한다. 어느 항을 미분 혹은 적분으로 놓을 것인가는 미분할 경우 차수가 작아져 마침내 0이 되는 항을 하게 된다. 그러

므로 일반적으로 항을 미분으로 와 같이 적분하면 동일 형태가 반복되는 항을 적분 열에 둔다.

미분 항이 0이 될 때까지 미분 열은 미분, 적분 열은 적분한다. 그런 후 미분 항에 하나 아래 적분 항을 곱하고 부호를 +, - 번갈아 합하는 과정을 거치게 된다. 즉 ①, ②, ③ 순으로 곱하여 번호 옆의 부호를 붙이면 다음과 같다.

*) 만약 미분 한 번만 한다면 순서 ②는 아래 오른쪽이 없으므로 대응 적분 항을 곱하고 적분을

하면 된다. 즉 다음과 같다.

을 구해보자.

(방법 1)

(방법 2) =

∫ dxxgxf )()( )(xf )(xg

x2ex dx =0

∞

∫

kx xe

x2ex dx =0

1

∫ x2ex − 2xex + 2ex ]01 = e− 2e+ 2e− 2 = e− 2

x2ex dx =0

1

∫ x2ex ]01 − 2xex dx

0

1

∫

∫∞ −

0dxxe x

∫∞ −0 dxxe x 1)1(0])()]2()1( 00 =−−=−−=−= ∞−−∞ xx eex

∫∞ −0 dxxe x 1])(0

)()]()2()]1(

00

000

==∫ −−=

∫ −−−=∫−=

∞−∞ −

∞ −∞−∞

xx

xx

edxe

dxeexdx


/ Page12 20



을 구하시오 (표 적분 이용)

을 적분할 수 없다. 그렇다면 1과 2개의 항의 곱으로 생각하여 부분적분 적용한다.

대각선 아래로 가지 못하는 경우에는 화살표는 수평으로 하고 그 항을 적분하면 된다. 즉 위

의 경우 적분 결과는 (이전과 동일)

❍연습문제❍ 다음 함수의 적분을 구하시오.

적분 응용

확률변수와 확률 분포 함수

▣확률변수 (random variable)

표본 공간의 각 결과(원소)에 실수(real number) 값을 대응시키는 규칙(함수)을 (확률) 변수라 한다. 즉 표본 공간이 S인 확률 실험에서 각 표본 공간 원소에 오직 하나의 실수 값을 대응하는

함수 X를 확률 변수라 혹은 변수 한다. 기호로는 이다.

▣확률 분포(확률 밀도함수)

확률 변수가 가질 수 있는 값들을 정의역, 각 값들의 확률을 치역으로 한 함수를 (확률) 분포 함

수(density function) 혹은 확률 밀도 함수, probability density function)라 하고 (이산형

변수일 경우는 사용하기도 한다)로 나타낸다. 확률분포 함수 조건은 다음과 같다.

(1) 확률변수 X의 임의의 값 의 확률 값은 0 이상이다.

∫ xdxln

xln xln

�

� 와 그 미분

1)( =xf

)(xf

�1� xln

� x

�

� 와 그 적분

)ln()( xxg =

)(xg

� x/1

cxxxdxxxcdx +−∫ =−×=+∫− ln1ln)2()1(

=∫10 sin)1( xdxx =∫

212 ln)2( xdxx

=∫103)3( dxex x

∫ =10

22)4( dxex x

xsX =)(

)(xf

)(xp

x 0)(or 0)( ≥≥ xpxf


/ Page13 20



(2) 확률 변수 X의 모든 값 의 확률을 더하면 1이다.

▣분포 함수와 확률 계산

(확률) 변수 X의 확률 밀도 함수를 라 하자. 이에 대해 구간 의 확률 과

분포 함수 는 다음과 같이 정의한다.

(1)

(2) - 누적 확률밀도함수

위로부터 임을 알 수 있다.

기대값

이산형 확률 변수 X의 기대값은 이고 연속형 확률 변수 X의 기대값은

으로 정의한다.

주사위 던지는 게임에서 주사위 눈금을 X라 할 때 기대값을 구하시오. 다른 말로 표현하면 주사위의 기대 눈금은?

x 1)(or 1)( == ∑∫ xpdxxf

)(xf ],[ ba )( bXaP ≤≤

)(xF

∫=≤≤b

adxxfbXaP )()(

dxxfxXPxFx

∫ ∞−=≤= )()()(

)()()( aFbFbXaP −=≤<

∑⊂

=Sx

xxpXE )()(

∫= dxxxpXE )()(

5.361*6

61*5

61*4

61*3

61*2

61*1)()( =+++++=∑=

⊂AxxxPXE


/ Page14 20



X의 함수 의 기대값은 ( 연속형 )으로 정의된다.

만약 인 경우 기대값을 분산(variance)이라 하며 분산은 확률 변수 분포의 흩어진 정도를 나타내는 수치(관측치가 얼마나 변동이 큰가?)이다. 분포가 넓게 퍼져 있을수록 분산이 커진다.

이산형 확률 변수의 분산:

연속형 확률 변수의 분산:

분산을 구하는 간편 식:

확률 변수 의 확률 밀도 함수가 이다.

(1)상수 구하시오.

확률 밀도 함수의 조건을 만족 하려면

① 그러므로 이어야 한다.

② ➔

그러므로 ➔

(2)분포 함수 구하시오.

,

(3) 와 그리시오.

(4) 구하시오.

)(xu ∑=⊂Ax

xPxuXuE )()())(( ∫= dxxfxuxuE )()())((

2))(()( XEXXu −=

∑ −=−= )())(())(()( 22 xpXExXEXEXV

∫ −=−= dxxfXExXEXEXV )())(())(()( 22

22 )()()( XEXEXV −=

X !"# ≤≤−

=otherwise

,0

20),2()(

xxcxf

c

20 ,0)2()( ≤≤>−= xxcxf 0>c

∫ =−2

01)2( dxxc 1]02[)]

22( 2

0

2=−=− c

xxc

21

=c 20 ,2/1)( ≤≤−= xxxf

)(xF

∫ −=−=−= x x xx

ttdt

txF 0

2

0

2

4]

421)(

20 ≤≤ x

)(xf )(xF

)21( ≤< YP

∫ =−=−=−=≤≤ 21

21

2

41

431]

421)21( ttdttYP

41)

411()

422()1()2()21(

22

=−−−=−=≤≤ FFYP


/ Page15 20



(5) 와 구하시오.

❍연습문제❍ 확률변수 의 확률 밀도 함수가 이다.

(1) 상수 구하시오.

(2) 분포함수 구하시오.

(3) 구하시오.

(4) 구하시오.

(5) 와 구하시오.

❍연습문제❍ 확률변수 의 확률 밀도 함수가 이다.

(1) 상수 구하시오.

(2) 분포함수 구하시오.

(3) 구하시오.

❍연습문제❍ 확률변수 의 분포함수가 이다.

(1) 확률밀도함수를 구하시오.

(2) 확률 을 구하시오.

(3) 조건부 확률 을 구하시오.

)(XE )(XV

∫ =−=−=∫=20

20

32

32]

62[)

21()()( xx

dxx

xdxxxfXE

∫∫ =−=−==2

0

20

43222

32]

83[)

21()()( xxdxxxdxxfxXE

92)

32(

32)()()( 222 =−=−= XEXEXV

X !"# ≤≤+

=otherwise ,0

10 ,)(

2 xxcxxf

c

)(xF

)2/10( ≤< XP

)1.0|2/1( >> XXP

)(XE )(XV

X !"

!#$ ≤≤=

otherwise

,020,)(

2 xcxxf

c

)(xF

)21( ≤< XP

X!!

"

!!

#

$

≤

<≤

<<

≤

=

xxx

xxx

xF

4,142,16/

20,8/0,0

)( 2

)5.1( XP <

)3|1( ≤≥ XXP


/ Page16 20



지수분포

확률 변수 (전구 수명, 기다리는 시간)가 모수가 (모집단의 특성치이며 이 값을 알면

그래프를 그릴 수 있음)인 지수 분포를 따른다고 하면 ( ) 확률분포 함수는

, ,

가 확률 밀도 함수임을 보이시오.

(1) 이면 .

(2) .

가 확률분포함수를 구하시오.

.

인 경우 임을 보이시오.

[방법1] 부분적분 이용:

, 라 하면

X θ )(xf

)(~ θExpX

θ

θ

x

exf−

=1)(

x<0 θ<0

θθ

x

exf−

=1)(

x<00111)( >==

−

θ

θ

θθ x

x

eexf

1)1(0]1)( 000=−−=−== ∞

−∞ −∞

∫∫ θθ

θ

xx

edxedxxf

θθ

x

exf−

=1)(

=)(xFθθθ

θ

xx

xxxeedxe−−−

−=−=∫ 1]10

0

)(~ θExpX θ=)(XE

∫=∫=∞

−∞

001)()( dxexdxxxfXE

xθ

θ

∫ ∫−= vduuvudv

xu =dxedvxθ

θ

−=1

dxdu =

θθθ

xx

evdxedv−−

−=⇒∫=∫1

θθθ

θθθθθ ==∫=∫ −−∫ −== ∞−

∞−

∞−

∞ ∞−−

0000 0 ])](1)(xxxxx

edxedxeexdxexXE


/ Page17 20



[방법2] 표적분 이용하기

❍연습문제❍

일 경우 을 구하시오. 을 이용하자. 임을

알고 있으므로 을 구하면 된다.

표 적분을 이용하여 임을 보이시오.

0

! ,! 와 그 미분xxf =)( )(xf! ! 와 그 적분

θ

θ/1)( xexg −= )(xg

!θθ /xe−

!1 !θ/xe−−

! x!

θθ

/1 xe−

θθθ θθ

//1 xxx

exedxex −−−

−−=∫

θθθ

θθθ =−−=∫=∞−−∞

−

0//

0 ][1)( xxx

exedxexXE

)(~ θExpX )(XV 22 )()()( XEXEXV −= θ=)(XE

)( 2XE

2

0

22 2)()( θ== ∫∞

dxxfxXE


/ Page18 20



감마분포

감마(Gamma) 함수

임을 보이시오.

, 라 놓고 부분 적분하시오.

감마 함수 에서 라고 치환 하면 , ,

이므로 이다.

양변에 을 대입하면 이다.

이로부터 을 확률 밀도 함수로 사용할 수 있을 것이다.

확률 변수 는 인 감마분포함수

, 인 는 모수가 인 지수 분포( )이다. 감마 분

포는 서로 독립인 지수 분포의 합으로 나타낼 수 있다. 이면

이다. 예를 들어 평균 수명이 1000시간인 지수분포 ( )를

따르는 전구 3개( )가 있다고 하자. 첫 전구를 사용하다 고장 나면 다음 전구를 사용한다

고 하자. 전구 3개 모두 고장 날 때까지 걸리는 시간을 확률 변수 라 하면

인 분포를 따른다.

)1()1()(0

1 −Γ−==Γ ∫∞ −− nndyeyn xn

1−= nyu dyedv y−=

∫∞

−−=Γ0

1)( dyey yααyx θ= dydx θ= 00 =⇒= yx

∞=⇒∞= yx ∫∞

−−=Γ0

/1 )1()()( dxex x

θθα θα

1=α∫∞

−−

Γ=0

/1

)(11 dxex x θα

α

θα

∞≤≤Γ

= −− xexxf x 0 ,)(

1)( /1 θαα

θα

X ),( θα

),(~ θαGammaX 1=α ),1( θα =Gamma θ )(θExp

)(~ θExpXiid

i

),(~1

θαα

GammaXi

i∑= )1000( =θExp

3=α

X

)1000,3(~ == θαGammaX


/ Page19 20



▣Gamma 확률 분포 함수의 평균 구하기

모수 인 감마분포의 평균은

에서 부분 적분을 이용하자.

라 하면

(표 적분 이용)

),( θα ∫∫∞

−∞

−−

Γ=

Γ=

0

/

0

/1

)(1

)(1)( dxexdxexxXE xx θαθα

αα

θαθα

∫Γ

∞−

0

/

)(

1dxex x θα

αθα

θα /, xedvxu −== θθα βα //1 , xx edxevdxxdu −−− −=∫==

αθθα

αθ

θαθα

θαθα

θαθα

θα

θ

θθ

θθα

θα

α

α

α

α

α

α

α

α

α

=∫Γ

=

∫Γ

=∫+Γ

=

∫ −−−Γ

=

∫Γ

∞−

∞−

∞−

∞−∞−

∞−

−

−−

−

0

/

0

/

0

/

0

/0

/

0

/

))(

1

)()(

1])(0[)(

1

]})(|)({[)(

1

)(

1

1

11

1

dxex

dxexdxex

dxexex

dxex

x

xx

xx

x

! , 미분αxxf =)(

!θ/xe−!

αx

!θθ /xe−−

! , 적분θ/)( xexg −=

!1−ααx

αθθα

αθ

θαθα

θθα

θαθαθα

θα

θαθα

θα

α

αα

ααα

=∫Γ

+=

∫ −Γ

−−Γ

=

∫Γ

−Γ

=∫Γ

∞−−

∞−−∞−

∞∞

∞−

0

/1

0

/10

/

00

0

/

)(

10

)(

1)]()(

1

)2()(

1)]1()(

1

)(

1

dxex

dxexex

dxdxex

x

xx

x


/ Page20 20


적분개념wolfpack.hnu.ac.kr/2015_spring/ms/ms_적분.pdf · 2015-04-04 · mathematics for...

Documents