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EERA
Equivalent –linear Earthquake site Response Analyses of Layered Soil Deposits
Manuale d’uso
2
1. INTRODUZIONE
Nel corso dei passati terremoti, si è osservato che il comportamento dei terreni
dipende dalle condizioni locali.
Le amplificazioni dovute agli effetti locali, sono simulate usando numerosi
programmi che assumono condizioni di suolo semplificate, come strati di terreno
orizzontali ed estesi infinitamente.
Uno dei primi programmi sviluppati per questo scopo è stato SHAKE che è basato
sulle soluzioni delle propagazioni delle onde di taglio, dovute a Kanai (1951),
Roesset e Whitman (1969) e Tsai e Housner (1970).
Shake assume che il comportamento ciclico del terreno, può essere simulato usando
un modello lineare equivalente.
SHAKE91 è una delle recenti versioni di Shake.
Nel 1998 è stato presentato il programma EERA, sviluppato in Fortran 90 partendo
dagli stessi concetti di base di Shake; Eera è una moderna implementazione del
concetto di analisi di risposta sismica.
2. MODELLO LINEARE EQUIVALENTE
2.1 Relazioni tra tensioni e deformazioni in un modello monodimensionale
Il modello lineare equivalente, studia il comportamento tensione – deformazione del
terreno basandosi sul modello di Kelvin-Voigt, illustrato in Fig.1
La tensione t dipende dalla deformazione g e dalla sua derivata g’, secondo la
relazione:
'ηγγτ += G (1)
dove:
3
G è il modulo di taglio e h è la viscosità.
In un sistema monodimensionale, la deformazione e la sua derivata, sono definite in
base allo spostamento orizzontale u (z,t) alla profondità z ed al tempo t secondo le
relazioni:
ttzu
∂∂= ),(γ e
tztzu
ttz
∂∂∂=
∂∂= ),(),('
2γγ (2)
Figura1. Rappresentazione schematica del modello tensione-deformazione in un modello lineare equivalente.
Nel caso di moto armonico, lo spostamento e i valori di g e g’ sono:
ti
ezUtzuω
)(),( = titi ezedzdUtz ωωγ )(),( Γ== ),(),(' tzitz ωγγ = (3)
dove:
U (z) e G (z) sono rispettivamente le ampiezze dello spostamento e la deformazione a
taglio.Usando le (3), la relazione (1) diventa, in caso di carichi armonici:
),(**()(),( tzGedzdUGe
dzdUiGeztz tititi γωητ ωωω ==+=Σ= (4)
dove:
4
G* è il modulo a taglio complesso
S (z) è l’ampiezza delle t.
Dopo aver introdotto il rapporto critico di smorzamento x tale che G2
ωηξ = , il modulo
di taglio complesso diventa:
)21(* ξωη iGiGG +=+= (5)
L’energia dissipata Wd durante un ciclo completo di carico è uguale a:
γττ
dWcd .∫= (6)
In caso di carico armonico a deformazioni controllate di ampiezza gc (es. ticet ωγγ =)(
l’equazione (6) diventa:
[ ] dtdtdtW
t
td
= ∫+
γτω
π
Re)(Re2
(7)
dove sono considerate solo le parti reali di t e g’ . Usando le (4) le parti reali di t e
g’ sono:
[ ] )sincos()(Re ttGt c ωωηωγτ −= e tdtd
c ωωγγ sinRe −=
(8)
Pertanto, la (7) diventa:
[ ] 2
2
2 )2cos1(2sin21
c
t
tcd dtttGW πωηγωωηωωγ
ωπ
=−+−= ∫+
(9)
5
La massima energia immagazzinata nel sistema è
2
21
21
cccs GW γγτ == (10)
Il rapporto critico di smorzamento x può essere espresso in termini di Wd e Ws come
segue:
s
d
WWπ
ξ4
= (11)
2.2 Approssimazione lineare equivalente del comportamento non lineare di
tensione e deformazione.
L’approccio lineare equivalente consiste nel modificare il modello di Kelvin-Voigt
Il comportamento non lineare dei terreni, durante un ciclo di carico, è approssimato
come mostrato in figura 2. Il modulo di taglio equivalente, G, è preso considerando il
modulo di taglio secante Gs.
Come mostrato dalla figura 2a alla fine di un ciclo controllato e simmetrico di
tensioni si ha:
c
csG
γτ
= (12)
6
Figura 1. Modello lineare equivalente: (a) curve tensioni - deformazioni; (b) variazione del modulo secante e del rapporto di smorzamento con g
Il comportamento dei materiali è generalmente rappresentato come in fig2b.
La curva Gs – g, non può avere una forma arbitraria ma deriva dalla curva t-g, e
sono legati dalla relazione:
0)( ≥+= γγ
γγτ
ddGG
dd S
S (13)
Nel caso che le curva Gs – g siano specificate da una serie di punti, l’eq. 13 diventa:
γγγ ∆−≥∆
maxmax
)(G
GG
G Ss (14)
dove SG∆ è il decremento di Gs corrispondente ad un incremento γ∆ di g, e Gmax è il
massimo valore di Gs.
L’equazione (15) è equivalente alla relazione:
iiii GG γγ 11 2 ++ −≥ (15)
7
La fig 2b il modello lineare equivalente, mette in evidenza la variazione del modulo
di taglio e del rapporto di smorzamento, al variare di g.Ulteriori relazioni sono
necessarie per specificare gli effetti della frequenza sulle relazioni tra tensioni e
deformazioni. A tale scopo, sono stati proposti due modelli base:
2.2.1 Modello 1
Il modello 1 è stato usato nella versione originale di Shake.
Esso assume che x sia costante ed indipendente da w, il che implica che anche il
modulo complesso G* sia indipendente da w. L’energia dissipata durante un ciclo di
carico è:
ωπηγγπξξπ 2224 ccsd GWW === (16)
Da cui si vede che l’energia dissipata aumenta linearmente con x ed è indipendente
da w.
Le ampiezze dei moduli di taglio complessi e reali sono in relazione attraverso la
241* ξ+= GG (17)
dove *G aumenta con x.
La figura 3 mostra la variazione di GG*
con x.
8
Figura 3. Variazione del modulo di taglio complesso con il rapporto critico di smorzamento (modello1)
2.2.2 Modello 2
Il modello 2 è usato in Shake91; esso assume che il modulo di taglio complesso è
funzione di x attraverso la relazione:
{ }22 12)21(* ξξξ −+−= iGG (18)
L’energia dissipata durante un ciclo di carico è:
2
2
222 121221
c
t
tcd GdtGW γξξπξξωγ
ωπ
∫+
−=−= (19)
La figura 4 mostra la variazione dell’energia dissipata con x.
9
Figura 4. Variazione dell'energia dissipata durante un ciclo di carico in funzione del rapporto critico di smorzamento per i modelli 1 e 2
3. Analisi monodimensionale del comportamento del terreno
In fig.5 è schematizzato un modello di analisi 1D, equivalente lineare. La figura
mostra la propagazione di onde di taglio armoniche in un sistema di piani 1D.
L’equazione del moto 1D, per la propagazione delle onde è:
ztu
∂∂=
∂∂ τρ 2
2
(20)
dove r è la densità di ogni strato.
Assumendo che in ogni strato il comportamento sia alla Kelvin-Voigt si ha:
tzu
zuG
tu
∂∂∂+
∂∂=
∂∂
2
3
2
2
2
2
ηρ (21)
10
Figura 5 Schema 1D per un deposito
Per onde armoniche, lo spostamento può essere scritto come:
tiezUtzu ω)(),( = (22)
Usando le (22) le (21) diventano:
Udz
UdiG 22
2
)( ρωωη =+ (23)
La soluzione dell’integrale generale è:
zikzik FeEexU **)( −+= (24)
dove *
*22
2
GiGk ρω
ωηρω =+
= è il numero d’onda complesso.
11
Introducendo il rapporto di smorzamento critico x tale che G2
ωηξ = il modulo di taglio
complesso G* diventa:
)21(* ξωη iGiGG +=+= (25)
Le soluzioni delle (25) sono:
tizikzik eFeEetzu ω)(),( ** −+= ; (26)
cui corrispondono le tensioni:
tizikzik eFEeGiktz ωτ )(**),( ** −−= . (27)
Le tensioni alla sommità (z=0) e alla base (z=hm) del generico piano m di spessore hm
sono:
ti
mmmm eFEutu ω)(),0( +== e tihikm
hikmmm eeFeEthu mmmm ω)(),(
** −+= (28)
Le tensioni tangenziali alla sommità e alla base del generico piano m sono:
ti
mmmmm eFEGikt ωτ )(),0( ** −= e tihikm
hikmmmmm eeFeEGikth mmmm ωτ )(),(
**** −−= (29)
All’interfaccia tra i piani generici m e m+1, per congruenza si ha:
),0(),( 1 tuthu mmm += e ),0(),( 1 tth mmm += ττ (30)
Usando le relazioni da 28 a 30 i coefficienti Em e Fm sono legati dalle relazioni:
12
mmmm hkm
hikmmm eFeEFE
**
11−
++ +=+ (31)
)(**
*1
*1
**
11mmmm hik
mhik
mmm
mmmm eFeE
GkGkFE −
++++ −=− (32)
Le 31 e 32 scritte in termini di Em e Fm diventano:
mmmm hikmm
hikmmm eFeEE
**
)1(21)1(
21 **
1−
+ −++= αα (33)
mmmm hikmm
hikmmm eFeEF
**
)1(21)1(
21 **
1−
+ ++−= αα (34)
dove *mα è il rapporto di impedenza complesso, all’interfaccia tra i piani m e m+1:
*11
*
*1
*1
***
++++
==mm
mm
mm
mmm G
GGkGk
ρρα (35)
Il procedimento iterativo comincia in superficie dove non sono presenti sforzi di
taglio e pertanto:
0)(),0( 11*1
*111 =−= tieFEGikt ωτ (36)
da cui:
E1 = F1 (37)
Le equazioni 33 e 34 sono successivamente applicate ai piani 2 fino a m. La funzione
di trasferimento Amn che lega lo spostamento alla sommità dei piani m e n è definita
da:
13
nn
mm
n
mmn FE
FEuuA
++
==)(ω (38)
La velocità u’ (z,t) e l’accelerazione u’’ (z,t) sono legate allo spostamento dalle
relazioni:
),(),(' tzuitutzu ω=
∂∂= e ),(),('' 2
2
2
tzututzu ω−=
∂∂= (39)
Quindi la funzione Amn è anche la funzione di trasferimento che lega la velocità e lo
spostamento alla sommità dei piani m e n:
nn
mm
n
m
n
m
n
mmn FE
FEuu
uu
uu
A++
====''''
''
)(ω (40)
La deformazione g alla generica profondità z può essere ricavata dalla 24:
tizikzik eFeEeikzutz ωγ )(),(
*** −−=∂∂= (41)
e la corrispondente tensione alla profondità z ed al tempo t diventa:
),(),( * tzGtz γτ = (42)
14
3.1 F.s. (Free surface), B.o.m. (Bedrock outcropping motions) e R.o.m. (Rock
outcropping motions)
La figura 6 definisce quattro termini usati in una analisi di risposta sismica.
Il termine F.s. definisce il moto alla superficie del deposito di terreno ;
B.o.m. rappresenta il moto alla base del deposito;
R.o.m. rappresenta il moto sulle rocce del bedrock affioranti in superficie.
Figura 6 Termini usati in un'analisi
Come mostra la figura, l’onda di taglio che si propaga verticalmente nel bedrock ha
ampiezza EN; il B.o.m. ha ampiezza EN+FN alla sommità del bedrock, sotto gli strati
di terreno; il R.o.m. ha ampiezza 2EN, perché non ci sono tensioni tangenziali sulla
superficie libera (EN=FN).
Poiché la funzione di trasferimento tra B.o.m e R.o.m. è:
NN
NNN FE
EA
+=
2)(ω (43)
quando si assume che in superficie E1=F1=1, la funzione di trasferimento tra F.s. e
R.o.m. diventa:
15
NN E
A 1)('1 =ω (44)
3.2 Moti di trasferimento
La teoria, presentata per lo studio del terreno in regime monodimensionale, è riferita
ad un moto armonico costante, per esempio nel dominio delle frequenze. Essa può
essere estesa nel dominio del tempo con la serie di trasferimento di Fourier.
I valori reali e complessi della funzione x (t), possono essere approssimati ad una
serie di N valori come segue:
∑ ∑∑−
=
−
=
−
=
∆ ===1
0
1
0
21
0
N
k
N
k
Nikn
k
N
k
tnik
tikn eXeXeXx knk
πωω n=0,…..,N-1 (45)
I valori xn corrispondono ai tempi tntn ∆= dove Dt è un intervallo di tempo costante.
Le frequenze discretizzate diventano:
tNk
k ∆= πω 2 k=0,……, N-1 (46)
Le componenti di Fourier sono:
∑−
=
−=
1
0
21 N
k
Nikm
nm exN
Xπ
m=0,……,N-1 (47)
I coefficienti Xm sono calcolati con la F.F.T.
16
3.3 Procedimento iterativo.
Come precedentemente descritto, il modello equivalente lineare assume che il
modulo di taglio ed il rapporto di smorzamento sono funzioni dell’ampiezza della
deformazione a taglio.
In Shake il valore del modulo di taglio ed il rapporto di smorzamento sono
determinate da iterazioni che diventano consistenti con il livello di deformazione
indotto in tutti gli strati.
Come mostrato in figura 7, i valori di rigidezza e smorzamento iniziali sono calcolati
per piccoli valori di deformazione ed il massimo valore delle deformazioni gmax e la
deformazione a taglio effettiva geff sono calcolati successivamente.
I valori di G1 e D1 corrispondenti a g1eff sono valutati con la successiva iterazione.
L’analisi continua con i nuovi valori di rigidezza e smorzamento, fino a che i valori
calcolati sono compatibili con i valori di deformazione indotti in tutti gli stati.
La procedura di iterazione è la seguente:
1) Valori di G e di D iniziali, valutati a piccole deformazioni;
2) Valutazione dell’ampiezza delle deformazioni a taglio gmax della storia
temporale e valutazione delle deformazioni a taglio in tutti gli strati;
3) Determinazione dei valori effettivi di deformazione geff da gmax con la relazione:
ii
eff R maxγγ γ= (48)
dove Rg è il rapporto tra le deformazioni effettive e quella massima, che è funzione
della magnitudo del terremoto; il valore di Rg è specificato in input ed e lo stesso per
tutti gli strati.
4) Calcolo dei nuovo valori di Gi+1 e Di+1 corrispondenti ai valori di deformazione
effettiva geff ;
17
5) Ripete i passi da 2 a 4 fino a che la differenza tra i valori calcolati di G e di D in
due successive iterazioni siano al di sotto di valori predeterminati per tutti gli strati.
Generalmente 8 iterazioni sono sufficienti per arrivare a convergenza.
Figura 7. Iterazione del modulo di taglio e del rapporto di smorzamento con la deformazione a taglio in una analisi lineare equivalente
4. Descrizione del programma Eera.
4.1 Requisiti del sistema:
Eera lavora sotto Windows 95/98/NT ed Excel97 o versioni successive.
4.2 Installazione e rimozione di Eera
Per installare Eera:
18
1) copiare i file Eera.dll ed Eera.xla in una directory;
2) in Excel installare Eera.xla usando Tools (Strumenti) e Add-ind
(Componenti aggiuntivi); Usare Browse (Sfoglia) per trovare il file: Non
muovere Eera.xla dalla directory dopo avere installato il file;
3) dopo avere installato Eera, apparirà il pull-down menu, sul pull-down menu
di Excel;
4.3 Comandi
Ci sono sette comandi nel pull-down menu di Eera;
1. Process Earthquake Data - Legge ed elabora l’accelerogramma in input;
2. Calcolate Compatible Strain - Legge il profilo del terreno, le curve dei materiali
ed esegue i calcoli con successive iterazioni;
3.Calcolate Output
• Accelation/Velocity/Displecement – Calcola la storia temporale
dell’accelerazione, la velocità relativa e lo spostamento in sommità dello strato
scelto;
• Stress/Strain – Calcola le tensioni e deformazioni al centro dello strato
selezionato;
• Amplification – Calcola il fattore di amplificazione tra due strati;
• Fourier Spectrum – Calcola lo spettro di Fourier alla sommità dello strato
prescelto;
• Response Spectrum – Fornisce l’analisi spettrale alla sommità dello strato
scelto;
• All of the above – Calcola tutti gli output.
19
4.Duplicate Worksheet – Duplica il foglio di lavoro selezionato per definire le curve
di nuovi materiali oppure aggiungere nuovi fogli per l’output;
5.Delete Worksheet – Elimina i fogli di lavoro non necessari;
6.Remove Eera – Disinstalla Eera da Excel;
7.About Eera – Numero della versione di Eera.
I comandi di Eera vanno usati nell’ordine:
• Process Earthquake Data
• Calcolate a Compatible Strain
• Calcolate Output
4.4 Fogli di lavoro
Il sistema Eera è costituito da nove tipi di fogli di lavoro che hanno nomi predefinito
che non possono essere cambiati; sei dei nove tipi di fogli possono essere duplicati e
modificati (Mat, Acceleration, Strain, Ampli, Fourier, Spectra), usando la funzione
Duplicate Worksheet.
Quest’aspetto è usato per ottenere output per diversi strati e per diverse curve di
materiali, che potrebbero essere aggiunte.
4.4.1 Foglio di lavoro: Earthquake Data usato per definire l’accelerogramma in
input;
4.4.2 Foglio di lavoro: Soil Profile usato per definire la geometria e le proprietà del
terreno;
4.4.3 Foglio di lavoro: Material stress-strain damping-strain curves definisce le
curve G –D per diversi valori di g;
4.4.4. Foglio di lavoro: Calculation; per questo foglio di lavoro vanno definiti tre
parametri:
• Il numero di iterazioni; 8 iterazioni sono in genere sufficienti per ottenere una
soddisfacente convergenza;
20
• Rapporto di deformazione equivalente che tiene conto degli effetti della durata
del terremoto; tipicamente l’intervallo di valori varia tra 0.4 e 0.75 in funzione
della magnitudo del terremoto e generalmente per stimare tale rapporto si usa
la relazione 10
1−= MR dove M è la magnitudo;
• Tipo di modello lineare equivalente; ci sono due opzioni:
1. Modello di Shake
2. Modello di Shake91
4.4.5 Foglio di lavoro: Output (Acceleration), definisce la storia temporale di
accelerazione/ velocità relativa e spostamento relativo nello strato selezionato;
4.4.6 Foglio di lavoro: Output (Strain), definisce la storia temporale di tensione e
deformazione ed energia dissipata in un ciclo di tensione e deformazione;
4.4.7 Foglio di lavoro: Output (Ampli), definisce il fattore di amplificazione tra due
strati;
4.4.8 Foglio di lavoro: Output (Fourier), definisce lo spettro di Fourier nello strato.