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量子情報基礎ー 線形代数によるー
今井 浩
東京大学情報理工学系研究科
コンピュータ科学専攻
量子情報科学のための量子力学
• 情報を内部で表現するための量子状態
– 一般形：密度行列ー純粋・混合状態ともに表現
– 純粋状態：ベクトルで表現可ーケットベクトル
• 情報を獲得するための操作：測定
– 一般的測定：POVM– 射影測定のみ書かれている教科書も有
• 情報を変換するための操作
– 完全正写像(CP-map)：測定も同じ枠組みで扱える
– 純粋状態のみで考える際：ユニタリ変換
量子情報基礎：密度行列
• 大学学部量子力学入門
– ケット・ブラベクトル (ブラケット)，射影測定,…
• より一般的枠組み(有限次元：線形代数で十分)
– 量子状態：密度行列(密度作用素)
– ランク1の密度行列⇔
正規化固有ベクトルをケットベクトルとする純粋状態
– ランク2以上の密度行列⇔混合状態(純粋状態を混合)
NNC1Tr,0*
で混合を確率純粋状態 iiiii vvv ,*
|,|
量子情報基礎：密度行列(補遺)– 量子状態：密度行列
Hermite, 非負定値，トレース1の複素行列
⇔固有値
固有値分解(対角化)
– 純粋状態：ランク1の密度行列
NNC
1Tr,0*
)(0*,1||,* jijiiiii vvvvv
11
,,021
iN
iN 非負
で表現可1,02,11 v N
1qubit
*,1,0101,
010
2||
2||
)12||2|(|10
01
)qbit ;bit (quantum1qubit :2
22|| i, i,
vv
v
として を表現でそれぞれ
密度行列
純粋状態
とも書く量子ビット，の場合
複素共役複素数
N
bababa
1qubitでの純粋状態と混合状態
識別不能
で混合を確率
ランク
密度行列混合状態で混合を確率
,2/12/12/12/1
21
2/12/12/12/1
21
21
11
21,
11
21
2,2/10
02/11000
21
0001
21
)(211,0
テンソル積と部分トレース
上の密度行列部分トレース
上の密度行列
上の密度行列
の密度行列
KH
KH
KH
KH,
KH
:2211Tr22211211,:
:22211211
,22211211
2,2
rrrr
rrrr
CC
例
22000012000021000011
2001,
2001
)2,1(),2,1(2
qpqp
qpqp
pp
qqpp
qpつの独立なコイン
純粋状態でのテンソル積と量子もつれ
entangled ,???)11|00(|2
1
)1|0(|2
10|)01|00(|2
11000
11|,
0100
011
010
10|,
0010
01|,
0001
010
011
0|0|00|
12||2||,|101|,
010|
分解不能
基底
2C
一般の測定: POVM• a quantum state via measurement information
• Positive Operator-Valued Measures (POVM)
),,1()Tr()Pr(
,0*},,,1{
kllMlX
IlMlMlMkMM
(probabilistically obtained)
lMlMlMlMlMlMlX
lMlMlM
~*~,
)~*~(Tr/~*~)Pr(
~*~
密度行列では
に収縮で確率
例• 古典の場合(有限離散分布)：
• 純粋状態，射影測定
にで ]0,,0,1,0,,0[diag)Tr(0,1
]0,,0,1,0,,0diag[],,,1diag[
lplMlplp
llMkpp
CCv
vvvv
lvlvlvlvlXk
Nkl
lM
kv
v
,2||)Pr(
)(]0,,0,1,0,,0diag[,1*,*
1
にで ]0,,0,1,0,,0[diag
)( に全体では
)]2||,,2|1[|diag( に全体では Nvv
)2( lMlM
で 確率で実数なら，確率
他の正規直交基底
で 確率で確率
密度行列
2
2)(,2
2)(,
2/12/12/12/1
2,2/12/12/12/1
1
11
21,
11
21
12||,02||1000112,
0001001
2||
2||,10
MM
MM
|1111|)22Tr(/22
|0000|)11Tr(/11
2,21)2Tr()1Tr(
MMMM
MMMMlMlMMM
純粋状態の部分測定(1)
2/1002/1000000002/1002/1
|)1100|)(11|00(|2
1
,1]diag[0,0,12,0],diag[1,1,01
MM
2/1000000000000002/1
確率1/2で
純粋状態の部分測定(2)
112211
0)2(Tr,1)1(Tr
00000000002/11/2002/12/1
)1|0(|0|2
1
,1]diag[0,0,12,0],diag[1,1,01
MMMMMMMM
MM
)0100(2
1
左の量子ビットを測定
純粋状態の部分測定(3)
000002/10000000002/1
2211
10,002/1,2/1)2(Tr,2/1)1(Tr000002/101/2000002/102/1
0|)1|0(|2
1
,1]diag[0,0,12,0],diag[1,1,01
MMMM
MM
MM
で 確率
)1000(2
1
一般の変換：完全正写像
• CP-map (Trace-Preserving Completely Positive Map) : a general model of a physical change
• 例：古典のMarkov連鎖
IlAlAkllAlAk
lTT MMNN
*1
with*1
)(,: CC
pQp
Q
p
ony transitiprobabilit1sumrow with
)(matrix stochastic
),,1(ondistributi finite
ijqkpp
]diag[)(
0 otherselement -),(
hmatrix wit:
]diag[
pQ
p
T
ijqijijA
ユニタリ変換
220100100000100001
,122
,*
map-CP :*)(
)**( :
nInIU
U
UUT
IUUUUU
量子計算
純粋状態
ユニタリ行列
vvvv
量子エントロピー
量子通信路容量
Shannonエントロピーの離散構造
• Shannonエントロピー：
有限離散確率
• Kullback-Leibler divergence:
ipip log
1,0,,1),,,1( ipnppnpp p
0log)||( iqip
ipD qp
von Neumannエントロピー
))(||)(()||(,map-CPPetz
)log(logTr )||(divergence
)*(log
,*
) : ),( :(loglogTr)(entropy Neumann von
log
TTDDT
Diii
iii
iiiH
の定理：
量子
固有値分解のとき
固有値密度行列量子状態
vv
vv
Examples• Classical case:
lql
plpD
lqlqNqq
lplpHlplpNpp
log)||(
0,1],,,1diag[
loglogTr )(
0,1],,,1diag[
量子通信路符号化定理
量子通信チャネルのバンド
*,*map-CPa is POVM :N.B.
tmeasuremen proj. matrix stochastic:Channel ionCommunicat Classical
(output)(input): map-CP:Channel ionCommunicatQuantum
lAlAlAlAlM
MMNN
CC
通信路容量
),(sup)( :al.)et (Holevo
)()(),( :
,input} :,0,1),,1;,,1({
s)eigenvalue : state, quantum :(loglog)(entropy Neumann von
|
IC
iHiHI
NNdiiiiidd
iiiH
量子通信路容量量子通信路符号化定理
相互情報量
通信路容量の計算
• So far, alternating-type algorithm(Arimoto-Blahut ’72, Nagaoka ’98)
onOptimizati Global variable:grammingConvex Pro thenfixed, :
Case) (Quantum
grammingConvex Pro hence fixed, : Case) (Classical
respect towithconcave):,( Fixing
ii
i
Ii