efectos del viento en estructuras del cables · rigidez de un vano para distintos valores de...
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PROYECTO FIN DE CARRERA
EFECTOS DEL VIENTO EN ESTRUCTURAS DEL CABLES
AUTOR: Cristina Sánchez Rebollo
MADRID, Junio 2010
UNIVERSIDAD PONTIFICIA COMILLAS
ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA (ICAI) INGENIERO INDUSTRIAL
Índice general
1. Introducción 1
1.1. Motivación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2. Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.1. Metodología . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2. Estado del Arte 7
3. Carga de Viento 10
3.1. Definición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.2. Componente aleatoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.2.1. Remolinos de Karman . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
4. Viento sobre estructuras de cables 20
4.1. Estructuras de cables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4.1.1. Cambio del origen de coordenadas . . . . . . . . . . . 23
4.1.2. Aproximación parabólica . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.1.3. Ecuacion de cambio de condiciones . . . . . . . . . . 26
4.1.4. Problema de equilibrio inicial . . . . . . . . . . . . . 28
4.2. Formulación general del problema . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.2.1. Vector de cargas debidas al viento . . . . . . . . . . . 48
4.2.2. Formulación del elemento corrotacional tridimensional 51
4.2.3. Algoritmo de integración temporal . . . . . . . . . . 63
4.2.4. Verificación estática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
I
ÍNDICE GENERAL II
4.2.5. Consideraciones de los efectos dinámicos en cables . . 69
5. Viento en catenarias ferroviarias 75
5.1. Descripción mecánica de la catenaria . . . . . . . . . . . . . 75
5.2. Comportamiento estático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5.2.1. Efecto del viento sobre la elasticidad . . . . . . . . . 87
5.2.2. Modelo 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5.3. Interacción catenaria-pantógrafo . . . . . . . . . . . . . . . . 98
5.3.1. Modelo 1D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
5.3.2. Modelo 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
6. Conclusiones y futuros desarrollos 111
6.1. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
6.2. Principales aportaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
6.3. Futuros desarrollos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
Bibliografía 121
Índice de tablas
4.1. Comparativa de casos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.2. Iteraciones de Newton Raphason . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.3. Datos del cable del caso estudio . . . . . . . . . . . . . . . . 66
5.1. Valores de estadísticos de la fuerza para distintas velocidades
del viento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
5.2. Desplazamientos en dos vanos consecutivos para distintas ve-
locidades de viento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
III
Índice de figuras
1.1. Colapso del puente Firth of Tay en 1879 . . . . . . . . . . . 2
3.1. Perfiles de la variación de la velocidad del viento con la altura
en distintos terrenos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.2. Comparación de distintos espectros de la velocidad del viento 13
3.3. Variación del coeficiente de sustentación en un ala . . . . . . 17
3.4. Variación del coeficiente de sustentación . . . . . . . . . . . 18
4.1. Equilibrio en un cable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.2. Proyección horizontal del peso . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.3. Nodo de una red de cables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.4. Deformación del elemento corrotacional . . . . . . . . . . . . 39
4.5. Esquema de la incidencia del viento sobre un cable . . . . . 50
4.6. Fórmula de Rodrigues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.7. Marco de referencia del elemento tridimensional . . . . . . . 54
4.8. Comparación efecto estático del viento con elementos finitos 66
4.9. Cálculo cable bajo efecto de un viento fuerte con 60 y 108
km/h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.10. Cables de masa 2.34, 3.34 y 4.34 kg/m bajo un viento de
108km/h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.11. Clasificación de los efectos dinámicos del viento . . . . . . . 69
4.12. Señal de velocidad de viento aleatorio de media 10 m/s . . . 71
4.13. Composición de velocidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
IV
ÍNDICE DE FIGURAS V
4.14. Tensión vertical de un cable sometido a una carga estática
de viento a 10 m/s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.15. Tensión vertical de un cable sometido a una carga dinámica
de viento a una velocidad instantánea de 9.36 m/s . . . . . . 73
4.16. Comparación de tensiones en diferentes puntos y con la ten-
dencia de la velocidad del viento . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.1. Esquema de la estructura de cables básica de la catenaria . . 77
5.2. Esquema de descentramiento de la catenaria . . . . . . . . . 81
5.3. Secciones transversales típicas de cables . . . . . . . . . . . . 82
5.4. Esquemas básicos de péndolas . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
5.5. Esquema básico de ménsula . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
5.6. Variación de la rigidez en un punto del vano y un punto
central para fuerzas de 90N a 500N . . . . . . . . . . . . . . 89
5.7. Variación de la rigidez para distintos valores de descentramiento 90
5.8. Rigidez de un vano para distintos valores de descentramiento 91
5.9. Variación de la rigidez para distintas velocidades de viento . 92
5.10. Variación de la rigidez en función de la velocidad del viento
en el punto máximo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
5.11. Rigidez en un vano para velocidades de viento de hasta 180
km/h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
5.12. Comportamiento de la rigidez de los puntos del brazo en fun-
ción de la velocidad del viento . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5.13. Efecto estático de un viento a 40 m/s sobre la catenaria . . . 96
5.14. Detalle del efecto estático de un viento a 40 m/s sobre la
catenaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
5.15. Desplazamiento de la catenaria bajo el efecto estático de dis-
tintas velocidades de viento . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
5.16. Modelo dinámico equivalente del sistema catenaria-pantógrafo 99
ÍNDICE DE FIGURAS VI
5.17. Fuerza de contacto y desplazamiento del pantógrafo para dis-
tintas velocidades de viento . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
5.18. Variación de la fuerza de contacto para distintos valores de
velocidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
5.19. Variación de la fuerza para valores de velocidad de hasta 14
m/s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
5.20. Fuerza de contacto para distintos valores de la velocidad de
circulación en ausencia de viento . . . . . . . . . . . . . . . 103
5.21. Variación de la fuerza para distintos valores de la velocidad
de circulación bajo la carga de viento a 15 m/s . . . . . . . . 104
5.22. Variación de estadísticos de la fuerza de contacto en función
de la velocidad del viento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
5.23. Variación de los desplazamientos en dos vanos consecutivos
con la velocidad del viento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5.24. Variación de los desplazamientos con la velocidad del viento 107
5.25. Desplazamiento del punto de contacto para distintas veloci-
dades del tren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
5.26. Desplazamiento del punto de contacto para distintas veloci-
dades del tren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
Capítulo 1
Introducción
1.1. Motivación
De entre las acciones sobre las estructuras, la del viento es, sin duda, una
de las más complejas y, si bien su importancia ha sido reconocida (y muy
eficazmente aprovechada) en cualquier época histórica, resulta sorprendente
lo lentamente que ha evolucionado la comprensión del fenómeno. Desde los
Anemoi griegos hasta una clasificación en función de la escala, su estudio
en el campo meteorológico y de navegación se ha extendido a lo largo de
los años y el aprovechamiento de esta fuerza natural ha tenido grandes
repercusiones en la historia, como son los molinos de viento, los barcos de
vela. . . llegando a tecnologías actuales como son los aerogeneradores.
En lo que a los efectos del viento en las estructuras se refiere, y aun-
que se cree que ya en el siglo XVII tanto Galileo como Newton realizaron
los primeros experimentos, no es hasta mediados del siglo XVIII cuando
el uso de materiales metálicos hace posible la construcción de estructuras
más esbeltas obligando a cierta consideración de estos efectos, y la acción
del viento se introduce ya como una fuerza estática sobre las superficies
normales a la dirección supuesta. El valor de la carga se deduce de ensayos
elementales y se sitúa entre 1000 y 2000 Pa. El colapso del puente sobre
1
CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN 2
el Firth of Tay en 1879 durante una tormenta (lo que hizo que el fallo se
atribuyera inicialmente a la intensidad del viento) supuso un primer toque
de atención sobre la importancia de la acción, de modo que se comenzaron
a realizar análisis de maquetas en túneles de viento que permitieron ajustar
los valores de las cargas de proyecto a distintas configuraciones.
Figura 1.1: Colapso del puente Firth of Tay en 1879
La progresiva mejora de los túneles de viento permitió conocer mejor
la forma en que las presiones se reparten en cada parte de la construcción,
así como el efecto global de la forma y textura del edificio. Por otra parte,
esta medición de las velocidades de viento a diversas alturas hizo posible
relacionar las cargas con la altura del edificio. Este estado de desarrollo
parece suficiente para las estructuras normales y, de hecho, es el que predican
las normativas actuales.
Cuando estos planteamientos parecían ya asentados, el colapso del Ta-
coma Narrows en 1940 puso de manifiesto la existencia de aspectos que
no habían sido considerados. Ya desde su puesta en servicio, a pesar de
CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN 3
estar calculado para una carga estática horizontal del viento prescrita por
la correspondiente normativa para velocidades de 160 km/h, se observaron
oscilaciones verticales de amplitud importantes ante vientos de escasa in-
tensidad que acabaron derribándolo al soplar vientos de 70 km/h. En este
sentido, el fenómeno se compara con las vibraciones de galope en los ten-
didos eléctricos, cuyo análisis, realizado ya en la década anterior por Den
Hartog no había alcanzado difusión en virtud de su escaso dramatismo. En
esta misma fecha se aplicaron los métodos de análisis estadístico a la deter-
minación de la velocidad máxima de viento, abriendo la puerta al análisis
de las vibraciones de edificios altos y posterior contraste con las mediciones
efectuadas. Como resultado de estos análisis fue posible comprender que la
respuesta de los edificios a la acción del viento depende, además de la exci-
tación, de propiedades mecánicas de la estructura, como son la distribución
de masa, rigidez y amortiguamiento.
En el sector del ferrocarril, es sobradamente conocida la clara repercu-
sión que el viento lateral tiene sobre la estabilidad de los trenes, más crítica
a medida que aumentan las velocidades de éstos. No obstante, el efecto del
viento sobre la estructura de cables de alimentación eléctrica es igualmente
notoria y conlleva, en beneficio de su resistencia y la calidad del servicio, el
aumento del tensado mecánico de dichos cables. Como ejemplos de situa-
ciones críticas debido al efecto del viento en cables se pueden nombrar en el
ámbito de líneas aéreas el artículo del periódico Expansión del 29/01/2009
donde dice “La compañía Endesa ha elevado a 25 millones de euros el coste
de la reparación de los daños causados en las líneas eléctricas del Baix Llo-
bregat debido al fuerte temporal de viento registrado el pasado sábado día
24”; y en el ámbito ferroviario el titular del periódico Sur del 15/01/2010“Un
millar de viajeros del AVE, afectados al dañar el viento una catenaria”.
Actualmente y desde hace pocos años, compañías líder como SNCF (So-
ciété Nationale des Chemins de Fer Français) han implantado en sus trenes
de alta velocidad más expuestos a este tipo de cargas, como la línea me-
CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN 4
diterránea del TGV, un software a bordo capaz de recoger en tiempo real
y procesar parámetros críticos del viento. Esta información es reportada al
navegador ferroviario en cada instante, pudiendo así actuar en consecuencia
y modificar la velocidad del tren en caso de necesidad.
Estas limitaciones de velocidad en prevención al riesgo provocado por el
viento, con mayor o menor precisión y grado de fiabilidad, son consideradas
por las diferentes compañías ferroviarias. Por ejemplo DB AG (Deutsche
Bahn AG) impone restricciones en la velocidad de los trenes bien cuando la
componente lateral del viento supera los 90 km/h, o bien cuando las com-
ponentes del viento que afectan directamente a la catenaria superan los 120
km/h. A diferencia de la empresa alemana, SNCF limita la velocidad de sus
trenes de alta velocidad a 170 km/h cuando el viento supera los 108 km/h
en cualquier dirección. Evidentemente los criterios son dispares y responden
a las tecnologías empleadas, las diferentes orografías y condiciones climáti-
cas, las medidas de contención o desviación como los apantallamientos, pero
también a las criterios adoptados. Es en este punto donde las técnicas de
simulación pueden reportar grandes beneficios tecnológicos y económicos,
especialmente por la precisión en los cálculos que actualmente pueden con-
seguirse mediante métodos numéricos, además de la fácil adaptación de éstos
a diferentes escenarios empleando también distintos modelos de catenaria o
tren. En la actualidad el mayor esfuerzo se está invirtiendo en la simulación
numérica del problema ya que dada la complejidad de las ecuaciones de
mecánica de fluidos que lo modelan la potencia de cálculo necesaria no ha
sido accesible hasta tiempos muy recientes.
1.2. Objetivos
El principal objetivo de este proyecto final de carrera es analizar el efecto
del viento en estructuras de cables, particularizando el estudio al modelado
de dicho efecto a las catenarias ferroviarias y a la interacción de este ele-
CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN 5
mento estructural con el pantógrafo. El desglose de objetivos es el siguiente:
1. Conocer el comportamiento estático y dinámico de las estructuras de
cables.
2. Conocer el efecto del viento lateral sobre la interacción dinámica
catenaria-pantógrafo.
3. Implementar, sobre las herramientas propias del grupo de investiga-
ción sobre estática y dinámica de cables, un módulo de cargas de
viento sobre estructuras tridimensionales.
4. Aplicar el procedimiento general sobre los modelos de integración
catenaria-pantógrafo:
a) Desarrollar e implementar modelos simplificados que permitan
la incorporación del efecto del galope en cables en el comporta-
miento dinámico del sistema catenaria-pantógrafo.
b) Desarrollar e implementar un modelo completo de elementos fi-
nitos que permita la incorporación del efecto del galope en cables
en el comportamiento dinámico del sistema catenaria-pantógrafo.
5. Comprobar la bondad de los modelos mediante simulación y análisis
de los resultados.
1.2.1. Metodología
La metodología de este proyecto consta de los siguientes hitos compu-
tacionales:
1. Conocimiento profundo de los antecedentes. Dentro de estos antece-
dentes se encuentran:
a) Herramienta de cálculo por elementos finitos: AFECTOS
CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN 6
b) Herramienta de cálculo estático de cables: CALESCA
c) Modelos de simulación dinámica, 1D y 2D, de la interacción di-
námica catenaria-pantógrafo.
2. Estudio e implementación del módulo fluido-dinámico.
3. Aplicación sobre estructuras de cables.
4. Aplicación sobre catenarias ferroviarias.
Capítulo 2
Estado del Arte
Como se ha mencionado, el estudio del efecto del viento en estructuras, y
en concreto en cables, es una investigación relativamente reciente orientada,
desde su inicio, a su aplicación tanto en líneas aéreas como en estructuras
de cables.
Uno de los primeros artículos que estudia explícitamente este efecto del
viento es el publicado por Golea en 1985 [Gol85], donde se analiza teórica-
mente el efecto de una carga de viento sobre la estática y la transmisión
de la fuerza sobre cables. De la adimensionalización de las ecuaciones que
definen este efecto se obtienen dos parámetros que caracterizan el compor-
tamiento del cable en estas condiciones, que son la relación entre el peso
del cable y su tensión y la relación entre la carga del viento y el peso. En
función de estos ratios el comportamiento estático del cable frente a la carga
del viento se engloba dentro de distintos modelos propuestos con diferentes
hipótesis. Las ecuaciones diferenciales que se obtienen son no lineales pero
hace algunas aproximaciones para obtener resultados analíticos.
En [KZ98] Kazakevitch estudia la estabilización de cables sometidos a
cargas de viento y móviles, aplicándolo a puentes, por lo que incluye la ac-
tuación de otros elementos como diferentes amortiguadores para mitigar los
efectos dinámicos del viento, y analiza los posibles orígenes de las oscilacio-
7
CAPÍTULO 2. ESTADO DEL ARTE 8
nes: la inestabilidad aeroelástica del cable en presencia del flujo del viento,
el comportamiento dinámico de la torre y su interacción con el viento, el
comportamiento dinámico de la estructura del vano, la acción del hielo y la
escarcha o el interacción del cable con el viento en condiciones de lluvia.
Sobre esta última idea se han desarrollado diversos estudios en los que
consideran la posición de una gota de lluvia respecto a la velocidad del cable
y del viento (tanto en valor como en dirección) como causa de oscilaciones
en el cable. Los fundamentos para modelar este fenómeno se asentaron con
Yamaguchi [WW90] y Gu y Lu, quienes propusieron modelos de dos grados
de libertad, de cuyo estudio numérico se llegó al concepto de zonas inesta-
bles en función de la velocidad del viento. Posteriormente, Wilde [WW03]
propone un modelo de un único grado de libertad con la suposición de que
la frecuencia del movimiento circular de la gota de lluvia es igual que la
del cable y que la amplitud de esta gota se mantiene constante para una
velocidad del viento dada. Además, Wilde propone diversos modelos de la
fuerza aerodinámica haciendo simplificaciones numéricas, especialmente en
los coeficientes experimentales que permiten modelar la fuerza del viento.
El mismo modelo es propuesto también por Xu y Zhang [XW03] aportan-
do, principalmente, propuestas distintas en el cálculo de los coeficientes y
contrastándolos con ensayos experimentales.
Otros análisis posteriores de los coeficientes que afectan en la dinámica
de un cable sometido a acciones de viento quedan reflejados en [BCGP06]
donde presenta los resultados obtenidos tras realizar varios experimentos en
túnel de viento sobre el efecto del viento lateral en cables. Los ensayos se han
llevado a cabo tanto en régimen laminar como en turbulento. La relación
flecha/vano es de 1 : 10 y se ha medido tanto la tensión en los soportes
como el desplazamiento en el centro del vano (sólo en régimen laminar).
La sección del cable se considera cilíndrica y se aportan datos sobre las
características estocásticas del comportamiento de los cables. Además se han
calculado a partir de los datos experimentales los coeficientes de resistencia
CAPÍTULO 2. ESTADO DEL ARTE 9
aerodinámica y las frecuencias naturales. Estas últimas se han comparado
con resultados analíticos.
En otras aplicaciones Xu, Zhang y Xia[XZX04] analizan la vibración en
el acoplamiento tren-viaducto frente a viento lateral con la particularización
de puentes de cables. Pese a que no profundiza demasiado en el modelado de
los cables frente al resto de la estructura del puente, el modelado de la fuerza
del viento se trata mediante una representación espectral para realizar una
simulación estocástica del campo de velocidades del viento.
Esta modelado del viento ha añadido dificultad ya que en los distintos
métodos se introduce un término cuadrático que da lugar a no linealidades
en su resolución. Frente a esto Lazzari, Saetta y Vitaliani [LSV01] presentan
resultados numéricos completos sobre efectos del viento en estructuras de-
formables, describiendo el modelado del viento y de la estructura del cable.
En cuanto a la aplicación directa con la catenaria ferroviaria en los
últimos años y especialmente a raíz de la intensificación de los problemas con
los cables aéreos en las costas de Escocia, se ha profundizado en el estudio del
efecto del viento lateral sobre los mismos. En [SS01] se presenta un análisis
experimental de las características aerodinámicas de la catenaria, a partir
de cual se estudian los criterios de estabilidad que le afectan, concluyendo
que el galope al que se puede ver sometido se induce cuando el cable está
desgastado y el flujo ataca al cable con un ángulo de entre 7o y 14o con la
horizontal. Además, este análisis muestra un análisis de varios factores que
favorecen la aparición de fuertes oscilaciones en la catenaria, como son la
velocidad del viento, el ángulo del flujo del viento y el desgaste del cable.
Capítulo 3
Carga de Viento
3.1. Definición
En la mayoría de las normas la acción del viento se establece como una
carga estática constante en magnitud, dirección y sentido que depende, en
general, de la situación topográfica y geográfica de la estructura y de la
forma de la misma. La justificación de esta consideración pese al carácter
de carga dinámica frecuencial se debe a que si se supone una corriente fluia
estacionaria, un cuerpo sumergido en la misma estará sometido a cargas
estáticas a pesar del carácter dinámico de su origen. Se define como carga
de viento aquella carga de naturaleza variable producida por la actuación
directa del viento sobre la estructura resistente o sobre elementos no estruc-
turales que incidan sobre ella, independientemente de que se considere su
actuación directamente para el cálculo estructural o como acción exterior.
Por tanto, considerando el viento como una carga estática horizontal
queda determinada según la siguiente ecuación:
qw =
(1
2
)· v2
w · ρ (3.1)
donde ρ es la densidad del aire y vw es la velocidad del viento. La veloci-
dad del viento presenta un carácter aleatorio que se puede ver con claridad
10
CAPÍTULO 3. CARGA DE VIENTO 11
a partir de registros de velocidad realizados con anemómetros, donde se
pueden introducir una serie de errores de cierta importancia debido a que
el término de la velocidad introduce una dependencia cuadrática. En estas
condiciones la sobre-estimación de la carga estática puede dejarnos del lado
de la seguridad, sobre todo si se trata de estructuras de la que la acción del
viento no es la solicitación predominante. Independientemente del registro
se observa que existe un valor medio, dependiente de la altura, alrededor
del cual se producen oscilaciones aleatorias.
vw = v + u (3.2)
donde v es la velocidad media y u es la componente aleatoria o de tur-
bulencia. Esta última es prácticamente independiente de la altura mientras
que la velocidad media crece con la altura.
Figura 3.1: Perfiles de la variación de la velocidad del viento con la altura
en distintos terrenos
En general la dependencia con la se obtiene mediante expresiones del
tipo
vm = v0
(z
z0
)α
(3.3)
donde α toma los valores 0,4, 0,28, 0,28 ó 0,16 dependiendo del caso que
se esté considerando 3.1. v0 debe determinarse para cada emplazamiento.
CAPÍTULO 3. CARGA DE VIENTO 12
3.2. Componente aleatoria
El caso de la componente aleatoria debida a las rachas puede obtenerse
a partir del cálculo de la densidad espectral del potencia de la fuerza debida
a esta componente del viento o de la velocidad del mismo. Para profundizar
en los efectos dinámicos de las rachas de viento, en el sentido de efectos
influenciados por la inercia de la estructura, la metodología que está ex-
tendida es la representación en el dominio de la frecuencia empleando la
transformada de Fourier. Las velocidades turbulentas se describen, como
se ha mencionado, superponiéndola a la velocidad media para componer la
velocidad instantánea del viento.
En un vendaval, la velocidad del viento media y las características de
las ráfagas permanecen constantes durante suficiente tiempo para conside-
rar el análisis en el dominio de la frecuencia. Las ráfagas son el resultado
prácticamente exclusivo de la rugosidad del terreno, despreciando el efecto
de los obstáculos, por lo que el espectro de entrada tiene formas normaliza-
das, de tal forma que el espectro de cada turbulencia queda completamente
definida por la varianza, la escala de tiempo y la formulación algebraica de
dicho espectro.
En la bibliografía se encuentran diversas formulaciones y análisis de dis-
tintos espectros. En [GL06] se ha realizado un análisis comparando algunos
espectros propuestos y un espectro real, como se observa en la figura 3.2.
La formulación del espectro básico normalizado de Harris-von Karman es
nSu
σ2= 0,6 · n
(2 + n)5/6(3.4)
siendo n la normalización de la frecuencia tal que n=12nT siendo T
la escala de tiempo. Según Davenport, el espectro puede ser representado
mediante:nSn
U2∗
= 4 · X2
(1 + X)4/3(3.5)
donde S(n) es la potencia que corresponde a esta frecuencia, U∗ es la
CAPÍTULO 3. CARGA DE VIENTO 13
Figura 3.2: Comparación de distintos espectros de la velocidad del viento
velocidad de fricción, y X = 1200 · n/U (10) con U (10) como la velocidad
media a 10 m, que depende de la rugosidad.
En cuanto a la distribución de probabilidad se admite la hipótesis gaus-
siana, es decir, la probabilidad de que se presente una velocidad inferior a
V es 1σ√
2π
∫ V
−∞
(e−√
V−Vσ
)2
dV . La varianza σ es la medida de la potencia
total de la turbulencia, y su relación con el espectro es el área bajo el mismo,
tal que σ2 =∫∞
0S (T ) dT .
Haciendo uso de los modelos de Davenport y von Karman, es posible
demostrar que un proceso x (t) puede ser simulado mediante el uso de ex-
presiones como 3.6 que representan series de tiempo en función de senos y
cosenos con un ángulo de fase aleatorio
v (t) = V +n∑
j=1
Aj · sin (ωjt) + Bj · cos (ωjt) (3.6)
con Aj =√
12Sn∆ωsin (φj) y Bj =
√12Sn∆ωsin (φj)
CAPÍTULO 3. CARGA DE VIENTO 14
φj es una variable uniformemente distribuida entre 0 y 2π, la cual le
da el carácter aleatorio a la simulación y Sn es la densidad espectral que
caracteriza el proceso. Variando φj se pueden obtener series de velocidad
del viento con el espectro introducido.
Otros modelos propuestos para la representación de la turbulencia, dis-
tintos al método de la densidad espectral están basados en predicción de
series temporales como el modelo Akaike-Iwatani. Este modelo consiste en la
generación de un proceso estocástico donde el valor del proceso vj (t) se ob-
tiene a partir de una combinación lineal de los valores anteriores del proceso
más un ruido blanco, que introduce aleatoriedad a la simulación y es inde-
pendiente de los valores anteriores de la serie, que se supone normalmente
distribuida, evitando que el modelo sea determinista:
Xt = δ + a1Xt−1 + a2Xt−2 + a3Xt−3 + . . . + apXt−p + εt (3.7)
donde δ representa una constante y los coeficientes ai los parémetros de
autorregresión.
A esta formulación la llamaremos autorregresiva, pues en la misma ex-
presión se aprecia el porque de la denominación: de algún modo es un modelo
de regresión del proceso sobre sí mismo. A partir de la ecuación 3.7 llegamos
a las ecuaciones de Yule Walker de las que obtenemos los parámetros de la
autorregresión a1, a2 . . . ap
ρi =
p∑j=1
ajρi−j (3.8)
donde ρi = Cov (s, s + i) /σ2 es la función de autocorrelación y se trata
de la estandarización de la función de covarianzas.
Siendo a′ = (a1a2a3 . . . ap)
ρ′ = (ρ1ρ2ρ3 . . . ρp)
CAPÍTULO 3. CARGA DE VIENTO 15
R =
1 ρ1 . . . ρp−1
......
......
ρp−1 ρp−1 . . . 1
La ecuación 3.8 se puede expresar como:
ρ′ = R · a′ ⇒ a′ = R−1 · ρ′ (3.9)
por consiguiente, los valores de los parámetros a se pueden obtener una vez
estimada la matriz de autocorrelaciones de orden p y con ellos se podría
estimar el valor de la velocidad del viento en cada instante correlado con su
valor en instantes anteriores.
3.2.1. Remolinos de Karman
Al sumergir un cilindro en una corriente fluida se origina en la zona
posterior una serie de remolinos, conocidos como remolinos de Karman,
cuyas características dependen de las del fluido y del propio cuerpo. La
frecuencia de los remolinos es
nk =V S
D(3.10)
donde V es la velocidad del fluido, D el diámetro del cilindro y S el
número de Strouhal, el cual depende del número de Reynolds, Re (Re = V Dν
).
La presencia de los remolinos origina una fuerza en dirección normal a la
de la velocidad y de frecuencia nk
Fk = CkρV 2
2Asen (2πnkt) (3.11)
donde ρ es la densidad del fluido y A es área proyectada del cuerpo
en el plano normal a la dirección del fluido. En la mayoría de los casos el
cilindro no permanecerá fijo y sus movimiento interferirá con el del fluido y
la resonancia se puede presentar para velocidades superiores a la teórica.
CAPÍTULO 3. CARGA DE VIENTO 16
En las estructuras cilíndricas esbeltas se distribuyen los vórtices en la
dirección del viento, alternativamente a derecha e izquierda de la sección
transversal. Esto genera fuerzas de excitación por impulsos en dirección
ortogonal al viento. Si la frecuencia del desprendimiento de remolinos fw
se iguala a la frecuencia natural de la estructura fe se entra en resonancia,
que es el caso de la velocidad crítica del viento se obtiene de despejar la
velocidad V de la ecuación (3.10).
Esto ocurre en una estructura que no está en movimiento, por lo que se
puede considerar que se trata de vibración forzada. En el caso de los cables,
habitualmente existe, además, un movimiento de la estructura pudiéndose
dar el efecto de bloqueo cuando el desprendimiento de los remolinos se
sincroniza con la frecuencia natural de la estructura dentro de un rango de
valores situados por encima y por debajo de la velocidad crítica del viento.
Para el caso de cuerpos con geometría diferente a la cilíndrica, pueden
presentar una cierta capacidad sustentante. Se puede determinar de forma
experimental las curvas de arrastre y sustentación en función del ángulo de
ataque del viento. Así la fuerza de arrastre (componente de la fuerza eólica
en la dirección del viento) se determina como
Fa = CLρV 2A
2(3.12)
y la fuerza de sustentación, normal al viento, como
Fs = CDρV 2A
2(3.13)
los coeficientes CL y CD dependen tanto del ángulo de ataque como
de la forma del cuerpo, por ello su determinación debe hacerse de forma
experimental.
Considerando un perfil aerodinámico simple en un túnel de viento, si las
fuerzas que actúan sobre el perfil se miden a partir del ángulo de ataque que
se va incrementando gradualmente manteniendo constante la velocidad del
CAPÍTULO 3. CARGA DE VIENTO 17
viento, obteniendo el valor del coeficiente de sustentanción frente al valor
de este ángulo.
Figura 3.3: Variación del coeficiente de sustentación en un ala
Se puede observar en la figura 3.3 que el coeficiente de sustentación crece
de forma prácticamente lineal hasta los 15o. En esta experimento el ángulo
de ataque se ha incrementado lentamente, de modo que puede considerarse
que el perfil está estacionario en un ángulo de ataque fijo en la toma de
medidas. Si consideramos el caso de un ala con ángulo de ataque 0o pero
con un movimiento hacia arriba, este movimiento genera una componente
del viento relativa que, combinada con la real del viento da lugar a la com-
ponente que ve el perfil estudiado, con un ángulo de ataque negativo. Para
valores negativos de este ángulo, como vemos en la figura 3.3, se genera una
fuerza de sustentación negativa que se opone a la dirección de movimiento
del perfil, haciendo el sistema estable, ya que cualquier movimiento origina-
rá una fuerza que se opone a él. No obstante, el valor y la dirección de esta
fuerza dependen del coeficiente de sustentación y este depende del la forma
CAPÍTULO 3. CARGA DE VIENTO 18
del perfil y del ángulo de ataque. En la figura 3.4 se observa que cuando
el objeto se mueve hacia arriba desde un ángulo de ataque cero se genera
una fuerza de sustentación positiva, en la dirección del movimiento. Esto
causará un aumento del desplazamiento lo que llevará a una situación ines-
table. Un objeto flexible demostrará una inestabilidad aeroelástica conocida
como galope, oscilando con grandes amplitudes cuya duración en el tiempo
dependerá de la naturaleza de la estructura.
Figura 3.4: Variación del coeficiente de sustentación
Esta inestabilidad descrita es el galope unidimensional donde el cambio
en el ángulo de incidencia se debe al movimiento vertical del objeto, en una
sola dimensión. Sin embargo, el cambio del ángulo también puede deberse
al giro del objeto y la combinación de las dos si el objeto puede presentar
el balanceo del péndulo. En el caso de líneas aéreas la oscilaciones de gran
amplitud se deben al galope en una dimensión. Matemáticamente se puede
determinar si un objeto es susceptible de sufrir galope unidimensional por
el criterio de Den Harthog [SS01].
CAPÍTULO 3. CARGA DE VIENTO 19
m(y + 2ξωy + ω2y
)= −1
2ρUB
(dCL
dα+ CD
)y (3.14)
Reorganizando esta expresión obtenemos que el factor de amortigua-
miento es:
d = 2mξω +1
2ρUB
(dCL
dα+ CD
)(3.15)
Si este factor es positivo el sistema será estable. Como el ratio de amor-
tiguamiento mecánico, ξ es usualmente positivo, el sistema sólo podrá ser
inestable si
(dCL
dα+ CD
)< 0 (3.16)
Por tanto, una sección es dinámicamente inestable si la pendiente negati-
va del coeficiente del sustentación es mayor que la ordenada correspondiente
del coeficiente de arrastre. Esto explica el fenómeno de las oscilaciones que
se registran en las líneas cuando se forman gotas de hielo o lluvia, alterando
la forma del conductor y convirtiéndola en inestable.
En resumen, la acción del viento sobre estructuras presenta 4 factores
Acción debida a la velocidad Vm y que puede considerarse práctica-
mente estática
Acción debida a las rachas de viento Vale
Acción dinámica de los remolinos de Karman, en dirección perpendi-
cular al viento.
Acción de la turbulencia desarrollada por otras construcciones o la
propia deformabilidad de la estructura.
Capítulo 4
Efecto del viento sobre
estructuras de cables
En el presente capítulo se aborda el núcleo de este proyecto, cómo afec-
ta el viento estática y dinámicamente a estructuras sencillas compuestas
de cables. Evidentemente este análisis es esencial y constituye el antece-
dente natural a estructuras más complejas como las catenarias ferroviarias,
aplicación que se detalla en el capítulo 5.
La sección 4.1 presenta la formulación estática de cables así como el
procedimiento empleado para el cálculo de la configuración inicial de una
estructura; la sección 4.2 describe la formulación dinámica del problema de
cables y, someramente, los aspectos más relevantes del modelado mediante
elementos finitos; mostrando finalmente en las secciones 4.2.4 y 4.2.5 los
cálculos estático y dinámico respectivamente del efecto del viento sobre un
cable.
4.1. Estructuras de cables
La mecánica de los medios continuos trata de predecir el comportamiento
de los cuerpos cuando sobre ellos actúan fuerzas externas, comportamien-
20
CAPÍTULO 4. VIENTO SOBRE ESTRUCTURAS DE CABLES 21
to éste que depende de una serie de parámetros divididos en dos grandes
grupos: por un lado, parámetros intrínsecos, basados en las propiedades
del cuerpo o sistema que se estudia (geometría, masa o elasticidad), y, por
otro lado, parámetros circunstanciales, que dependen del estado en que se
encuentre el sistema (fuerzas externas, velocidad o posición). El compor-
tamiento, pues, viene regido por un conjunto de ecuaciones en derivadas
parciales acopladas, que tiene solución analítica en los casos más sencillos.
Sin embargo, cuando se trata de aproximar una realidad más compleja ha-
bitualmente se emplean métodos numéricos de integración, como pueden
ser el método de los elementos finitos, el de las diferencias finitas, métodos
espectrales, elementos de contorno, etc.
No obstante, obviando primeramente los casos más complejos, se abor-
dará la descripción analítica de un cable sometido a su peso propio, cuyo
diagrama de cuerpo libre puede verse en la figura 4.1
Figura 4.1: Equilibrio en un cable
El equilibrio vertical de fuerzas permite escribir la ecuacion
∂
∂s
(T
∂z
∂s
)= −mg (4.1)
Por otro lado el equilibrio horizontal es
CAPÍTULO 4. VIENTO SOBRE ESTRUCTURAS DE CABLES 22
∂
∂s
(T
∂x
∂s
)ds = 0 (4.2)
de dónde se deduce que
T∂x
∂s= Cte = H (4.3)
Es decir, que la componente horizontal de la tensión del cable, H se
mantiene constante a lo largo de todo el cable. Partiendo de 4.1 se puede
desarrollar
∂
∂s
(T
∂z
∂s
)=
∂
∂s
(T
∂z
∂x
∂x
∂s
)=
∂
∂s
(H
∂z
∂s
)=
∂
∂x
(H
∂z
∂x
)∂x
∂s= H
(∂2z
∂x2
∂x
∂s
)= −mg
(4.4)
Por lo tanto la ecuación diferencial que modela el comportamiento de
un cable es
H∂2z
∂x2= −mg
∂s
∂x(4.5)
El proceso de obtención de la ecuación de la catenaria se enfocará ahora
partiendo de la ecuación 4.5 y teniendo en cuenta que
ds =√
dx2 + dz2 =
√1 +
(dz
dx
)2
dx (4.6)
Se puede escribir
H∂2z
∂x2= −mg
(1 +
(dz
dx
)2) 1
2
(4.7)
que haciendo el cambio de variable dzdx
= u, permite llegar fácilmente
a una solución que en el caso de suponer los apoyos a la misma altura y
separados una distancia d es de la forma
z = − H
mg
[cosh
mgd
2H− cosh
(mg
H
(d
2− x
))](4.8)
CAPÍTULO 4. VIENTO SOBRE ESTRUCTURAS DE CABLES 23
Siendo d la separación horizontal entre los extremos. En el caso de consi-
derar los apoyos a distinta altura la expresión se complica notablemente ya
que depende de la posición del mínimo que es a priori desconocida. En este
caso, la longitud del cable puede obtenerse por integración de la ecuación
4.6
s =H
mg
[sinh
mgd
2H− sinh
(mg
H
(d
2− x
))](4.9)
y la flecha máxima vale
zmax =H
mgcosh
mgd
2H(4.10)
Sustituyendo esta última expresión en la ecuación 4.3, es posible deter-
minar el valor de la tensión como
T = Hcosh
(mg
H
(d
2− x
))(4.11)
4.1.1. Cambio del origen de coordenadas
La expresión 4.8 se ha obtenido suponiendo un cable con los apoyos a la
misma altura y origen del sistema de coordenadas en uno de los extremos.
Dicha ecuación se simplifica notablemente si se considera un sistemas de
coordenadas con origen en el punto mínimo de la catenaria, en ese caso, la
determinación de las constantes de integración a partir de las condiciones
z(0) = Hmg
, z′(0) = 0, permiten obtener la solución de la ecuación 4.5 de la
forma
z = Ccoshx
C(4.12)
donde C = Hmg
es el llamado parámetro de catenaria. Así, la longitud
desde el punto mínimo hasta una coordenada x, puede calcularse como
s = Csinhx
C(4.13)
CAPÍTULO 4. VIENTO SOBRE ESTRUCTURAS DE CABLES 24
y la tensión como
T = H1
cosh xC
= mgy (4.14)
es decir, el peso de la proyección vertical del cable considerado.
4.1.2. Aproximación parabólica
El término de la parte derecha de la ecuación 4.5 representa el peso por
unidad de longitud del cable. En el caso de cables muy tensos el diferencial
de longitud ds y su proyección horizontal dx son aproximadamente iguales,
resultando,
∂2z
∂x2= −mg
H(4.15)
Cuya solución es de la forma
z =−mg
2Hx2 + C1x + C2 (4.16)
Figura 4.2: Proyección horizontal del peso
De ahí que para cables muy tensos se suela emplear una aproximación
parabólica para la ecuación de la catenaria. Desde un punto de vista físico,
esta aproximación parabólica implica suponer que la carga se distribuye de
CAPÍTULO 4. VIENTO SOBRE ESTRUCTURAS DE CABLES 25
forma uniforme en la proyección horizontal y no según la longitud del cable
(figura 4.2). La el caso particular de apoyos situados a la misma altura y
separados una distancia d la ecuación 4.16 queda de la forma
z =mg
2H
(dx− x2
)(4.17)
Al igual que se hizo en el caso de la ecuación de la catenaria, en el caso
de considerar el origen en el punto mínimo, la solución queda de la forma
z =mgx2
2H(4.18)
resultando la flecha máxima
zmax = f =mgd2
8H(4.19)
De la misma forma, la longitud total del cable se puede obtener inte-
grando el arco, haciendo el desarrollo de Taylor del mismo en el origen, se
llega a una expresión de la forma
s = d +8f 2
3d= d +
d3 (mg)2
24H2(4.20)
En la tabla 4.1 se resumen algunos resultados empleando la ecuación
de la catenaria y la aproximación parabólica. Como se puede apreciar, la
aproximación resulta muy razonable en el caso de cables tensos que tienen
valores altos del parámetro de catenaria. Este es el caso habitual de las
catenarias ferroviarias.
mg(N/m) d(m) H(kN) fparab(m) fcat(m)
10 60 15 0,3 0,30001
20 60 15 0,6 0,60008
10000 60 15 30 41,43
Tabla 4.1: Comparativa de casos
CAPÍTULO 4. VIENTO SOBRE ESTRUCTURAS DE CABLES 26
4.1.3. Ecuacion de cambio de condiciones
La ecuación de cambio de condiciones parte de la aproximación parabó-
lica de la catenaria y considera dos estados diferentes. Un estado, denotare-
mos por 1 con un valor de tensión, H1, temperatura, t1, peso m1g, longitud,
s1 y flecha f1 y un estado 2 con sus correspondientes H2, t2, m2g, s2 y f2.
La diferencia de longitudes entre ambos estados puede escribirse en función
del ecuacion 4.20 como
∆s = s2 − s1 =8
3d
(f 2
2 − f 21
)=
d3
24
(m2
2
H22
− m21
H21
)(4.21)
Esta diferencia de longitud puede se debe a dos causas, por un lado al
alargamiento elástico de loas cables ∆se, por otro a la variación de longitud
debida a los cables ∆st. El primero puede cuantificase como
∆se =d
EA(H2 −H1) (4.22)
y el segundo
∆st = αd (t2 − t1) (4.23)
Igualando 4.21 a la suma de 4.22 y 4.23 se tiene la llamada ecuación de
cambio de condiciones
d3
24
(m2
2
H22
− m21
H21
)=
d
EA(H2 −H1) + αd (t2 − t1) (4.24)
que como se puede ver reagrupando los términos se trata de una ecuación
cúbica en T que puede escribirse de la forma
24
d2EAH3
2 +
((mg)2
1
H21
+24
d2α (t2 − t1)−
24
d2EAH1
)H2
2 − (mg)22 (4.25)
esta expresión puede resolverse por cualquiera de los métodos de reso-
lución de ecuaciones no lineales que existen, por ejemplo con el método de
Newton-Raphson.
CAPÍTULO 4. VIENTO SOBRE ESTRUCTURAS DE CABLES 27
El método de Newton Rapshon permite resolver la ecuación no lineal
g(x) = 0 partiendo del desarrollo en serie de Taylor de la función g alredor
del punto x0
g(x) = g(x0 +dg
dx∆x + O2 = 0 (4.26)
que permite despejar el incremento δx como
∆x = −g(x0)dgdx
(4.27)
permitiendo actualizar el valor de x
4.1.3.1. Ejemplo
Considerese un caso de cable de 30m de longutid, sección 116,2mm2
y peso de 0,433kg/m, una sometido a una tensión de H1 = 1000kg, el
modulo de elasticidad del material vale E = 8200kg/mm2 y el coeficiente de
dilatación lineal α = 17,8·10−6C−1. Calcular la tensión el caso de producirse
una bajada de la temperatura de 20 C y tener una sobrecarga de hielo de
1,78kg/m. Calcular la variación fecha.
Para este caso, sustituyendo los valores en la ecuación 4.25 se obtine la
expresión
2,79 · 10−8H32 − 3,73 · 10−5H2
2 − 3,17 = 0 (4.28)
Empleando el método de Newton Raphson, se resuelve la ecuación 4.28.
Obteniendo un valor de tensión de H2 = 1395kg. Las iteraciones para al-
canzar dicho valor pueden verse en la tabla 4.2. La fecha máxima puede
calcularse con la ecuación 4.19. Para el caso inicial la fecha es de 48.7 mm,
para el caso con las condiciones modificadas la fecha alcanza un valor de
143.9 mm.
CAPÍTULO 4. VIENTO SOBRE ESTRUCTURAS DE CABLES 28
iter H inicial2 g ∂g
∂H2∆H2 Hfinal
2
0 1000 -12.57 0.00928 1354.526 2354.526
1 2354.526 154.225 0.289 -532.977 1821.549
2 1821.549 41.694 0.142 -292.733 1528.815
3 1528.815 9.344 0.082 -113.945 1414.870
4 1414.870 1.184 0.062 -18.981 1395.889
5 1395.889 0.036 0.059 -0.605 1395.284
6 1395.284 0.000 0.059 -0.004 1395.280
6 1395.280 0.000 0.059 0.000 1395.280
7 1395.280 0.000 0.059 0.000 1395.280
Tabla 4.2: Iteraciones de Newton Raphason
4.1.4. Problema de equilibrio inicial
Cuando además de las tensiones o deformaciones que una carga o sistema
de cargas inducen en una determinada estructura, es también desconocida
la geometría inicial de la misma, entonces se hace referencia a problemas de
equilibrio inicial. En las estructuras de cables, sólo el cálculo de la posición
inicial de partida suele constituir un complejo problema en sí mismo, ya
que el efecto del peso propio de cada elemento cable condiciona su longi-
tud y tensión. Durante los últimos años, con la incorporación de cables y
membranas a la arquitectura, este campo de conocimiento ha cobrado gran
relevancia, no obstante para aplicaciones que requieren gran precisión la
literatura científica aún es escasa.
Utilizando un método numérico es posible encontrar solución al proble-
ma de equilibrio inicial de sistemas de cables. En la mayoría de las estruc-
turas, la configuración de referencia es conocida ya que esta no depende de
la distribución de las tensiones internas. En las estructuras tensadas, como
son las formadas por cables, la configuración inicial depende de las tensio-
nes internas, que son a priori desconocidas, y que deben ser determinadas.
CAPÍTULO 4. VIENTO SOBRE ESTRUCTURAS DE CABLES 29
La resolución de este problema constituye lo que se denomina problema de
equilibrio inicial y es el paso previo a la obtención de la respuesta (ya sea
estática o dinámica) de una estructura tensada frente a una acción exterior.
Una manera de clasificar los diferentes métodos de resolución consistiría
en la diferenciación entre los parámetros especificados por el diseñador y los
que son tratados como incógnitas [HA82]. Los parámetros involucrados en
un problema de equilibrio inicial son los siguientes:
La topología de la estructura, que define las conectividades de los
miembros que la forman.
Las cargas externas. Incluir éstas suele complicar el problema de equi-
librio inicial, ya que la magnitud y la dirección de las cargas pueden
depender de la configuración inicial de referencia
La geometría de la estructura, uno de los dos parámetros clave del
problema de equilibrio inicial, y especialmente importante para cal-
cular las tensiones que actuarán en la estructura en cada momento:
para una estructura en tensión, la curvatura es el parámetro que más
afecta al comportamiento estructural;
La distribución de las fuerzas internas, que se revela como el segundo
parámetro clave, pues para conseguir un diseño seguro y económico es
fundamental encontrar una distribución de fuerzas apropiada.
El problema de equilibrio inicial es un problema estático puro, por lo
que no es necesario introducir ecuaciones dinámicas. Sin embargo, algunos
métodos, como, por ejemplo, el método de desplazamiento no lineal, utilizan
ecuaciones cinemáticas para resolver el problema tal y como se comentará
posteriormente. Este método en concreto requiere la especificación de cier-
tas propiedades del material, si bien dicha especificación no tiene por qué
referirse necesariamente a las propiedades reales: pueden usarse propiedades
ficticias para controlar la solución de la configuración de referencia [HA82].
CAPÍTULO 4. VIENTO SOBRE ESTRUCTURAS DE CABLES 30
Como se ha mencionado anteriormente, las cargas externas pueden com-
plicar el problema de equilibrio inicial, por lo que se suele asumir que los
miembros de la estructura no tienen peso y que ninguna carga actúa en
los nodos. Sin embargo, para obtener una solución completa, las fuerzas
externas estarán presentes en muchas de las ecuaciones expuestas en este
capítulo, aunque normalmente sean despreciadas.
Inicialmente, el único requisito sobre la configuración de referencia es
que debe estar en equilibrio. Considérese un nodo i en un red de cuatro
cables, como se puede observar en la figura 4.3. Las ecuaciones de equilibrio
en las direcciones x,y y z en el nodo se pueden escribir como:
Tijxj − xi
Lij
+ Tikxk − xi
Lik
+ Tilxl − xi
Lil
+ Timxm − xi
Lim
+ Fxi = 0, (4.29)
Tijyj − yi
Lij
+ Tikyk − yi
Lik
+ Tilyl − yi
Lil
+ Timym − yi
Lim
+ Fyi = 0, (4.30)
Tijzj − zi
Lij
+ Tikzk − zi
Lik
+ Tilzl − zi
Lil
+ Timzm − zi
Lim
+ Fzi = 0, (4.31)
Como el equilibrio inicial es un problema estático, cualquier configura-
ción con la que se satisfagan las ecuaciones anteriores en cada nodo será una
solución del problema. Dependiendo de cual de los métodos de resolución
que se exponen a continuación se utilice, las incógnitas de estas ecuaciones
pueden ser las tensiones, las longitudes o las posiciones obteniéndose dife-
rentes soluciones. No obstante, algunas soluciones son mejores ya que no
todas responden a la realidad física que se busca.
Entre los métodos que han sido utilizados por diferentes autores para
obtener estas soluciones destaca en primer lugar el ya mencionado método
de los desplazamientos no lineales. Uno de los pioneros en emplear este
método fue Argyris, como describe en [AAB74], para encontrar la forma de
las cubiertas usadas en el estado olímpico de Munich, construido para las
olimpiadas de 1972 usando barras para representar los cables en su modelo
numérico. Asimismo Barnes detalla en [Bar88] un método similar en el que
CAPÍTULO 4. VIENTO SOBRE ESTRUCTURAS DE CABLES 31
Figura 4.3: Nodo de una red de cables
a una estructura inicialmente desequilibrada se le permite experimentar una
vibración amortiguada hasta estabilizarse en una posición de equilibrio.
Con el fin de obtener un problema lineal equivalente al método de los
desplazamientos no lieneales surgió, entre otros, el desarrollo original de Siev
y Eidelmann de 1962, [SE64], que permite resolver la posición de equilibrio
inicial de redes de cables asumiendo una condición de ortogonalidad sobre
las mismas. Este método usa las ecuaciones 4.29-4.31 a las que aplica las
restricciones sobre la geometría, las condiciones de contorno y la distribución
de esfuerzos internos de la red obteniendo como resultado un problema lineal
cuya única incógnita es la altura de cada nodo.
Sin embargo, debido a las restricciones impuestas sobre los problemas,
con el método anterior sólo se pueden resolver algunos de ellos. El método
de la densidad de la fuerza permite abordar aquellos problemas sobre los
que no se pueden aplicar todas las restricciones. Para obtener el sistema
lineal equivalente, este método utiliza el artificio matemático desarrollado en
[GB88], que parte de las ecuaciones no lineales de equilibrio de fuerzas 4.29–
4.31. Este desarrollo implica un cambio de variable que permite obtener un
CAPÍTULO 4. VIENTO SOBRE ESTRUCTURAS DE CABLES 32
sistema de ecuaciones lineales cuyo estado de equilibrio tiene la densidad
de fuerza indicada en cada elemento sin necesidad de imponer ninguna otra
restricción. La diferencia entre los métodos anteriores es que el método de
los desplazamientos no lineales utiliza un número de ecuaciones igual al
número de grados de libertad, mientras que el número de ecuaciones usado
por el método de la densidad de fuerza es igual al número de restricciones
adicionales impuestas, que en la mayoría de los casos suele ser menor que
el número de grados de libertad, como se demuestra en [Sch74]. Esta nueva
metodología introducida por Schek ha suscitado, sin embargo, el estudio
y desarrollo posterior de este método para su uso en aplicaciones diversas
solventado las dificultades propias del método.
Christou implementó un elemento catenaria elástica en el método de
la densidad de fuerza, considerando así la carga distribuida por los cables
como refleja [Chr96]. Con la matriz de rigidez obtenida se puede resolver
la geometría de equilibrio del problema, tras lo que se requiere un proceso
iterativo para hallar la tensión en los cables la cual esta regida por una ecua-
ción no lineal. No obstante, en estructuras muy tensas es común despreciar
las cargas distribuidas.
Junto a estas técnicas existen otros muchos métodos particulares que
permiten resolver multitud de problemas específicos. No obstante, el mé-
todo empleado en este trabajo no puede ser encuadrado en ninguno de los
grupos anteriores ya que todos estos tratan de resolver el equilibrio median-
te la proyección geométrica de las tensiones tal y como muestra la ecuación
4.31. Sin embargo, el método aplicado obtiene las tensiones horizontales y
verticales de forma analítica, lo que le permite mayor flexibilidad al dise-
ñador de la estructura que puede fijar valores geométricos, topológicos y
físicos indistintamente.
El método empleado fue desarrollado por el grupo de investigación en
el que se enmarca el presente proyecto. En la publicación [SJOCLG09] y de
forma más detallada en [Suc08] se define una formulación suficientemente ro-
CAPÍTULO 4. VIENTO SOBRE ESTRUCTURAS DE CABLES 33
busta para incorporar todas las posibles incógnitas y cualquier combinación
de éstas en una estructura de cables, de tal forma que abordar problemas de
equilibrio inicial o de respuesta estructural a cargas externas son igualmente
factibles desde la misma estrategia computacional.
Esta formulación, que se ha denominado ‘CALESCA’, distingue funda-
mentalmente dos tipos de incógnitas en los problemas de estructuras de
cables: posiciones de los nudos que unen dos o más tramos de cables y pará-
metros de los mismos. Respecto al primer tipo, las posiciones de los nudos
son sencillamente las coordenadas de éstos en estado de equilibrio estático
que, para un nudo a cualquiera, serán Xa =(Xa
x , Xay , Xa
z
)t. El segundo tipo
de incógnitas comprende la longitud s de cada tramo de cable comprendido
entre dos nudos, la tensión ta en cada nudo a y el parámetro de la catenaria
c = tah/w donde tah es la tensión horizontal del cable y w su densidad lineal.
Asumiendo un sistema de nn nudos, nc cables y nt restricciones, ‘CALESCA’
compone un sistema de 3 nn + 2 nc + nt ecuaciones algebraicas no lineales
que puede resolverse con cualquier algoritmo no lineal de propósito general.
Además de la flexibilidad del método, poder calcular la matriz jacobiana
del sistema de ecuaciones algebraicas de forma analítica y no precisar por
ejemplo de una discretización espacial como requiere el método de elemen-
tos finitos, le dotan de una exactitud y velocidad de cálculo óptimas para su
inclusión en un proceso de optimización. De esta forma este método se ha
validado en diferentes aplicaciones y se ha revelado especialmente potente
en el cálculo del problema de equilibrio inicial de catenarias ferroviarias.
Asimismo, también para este caso concreto este método ha resultado de
gran velocidad y precisión en el cálculo de la rigidez estructural.
4.2. Formulación general del problema
En el cálculo estructural, las ecuaciones de campo que rigen el com-
portamiento del medio continuo se obtienen mediante la aplicación de las
CAPÍTULO 4. VIENTO SOBRE ESTRUCTURAS DE CABLES 34
ecuaciones de equilibrio, compatibilidad y comportamiento. Éstas generan
un sistema de ecuaciones diferenciales que relaciona las variables de campo
con funciones conocidas que recogen el efecto de los distintos parámetros
involucrados en el problema. Además de la conocida integración fuerte de
las ecuaciones diferenciales que rigen cualquier sistema de este tipo surgen,
por su mayor sistematización o simplemente por imposibilidad de aplicar
una formulación fuerte, otros métodos de resolución como el método de los
elementos finitos (MEF). Éste se ha convertido en las últimas décadas en
un componente imprescindible en las tareas de diseño y cálculo asistidas
por ordenador. El desarrollo de prototipos físicos ha sido actualmente re-
emplazado o cuanto menos reservado a las últimas etapas del diseño por los
métodos numéricos, ya que éstos suponen una vía más rápida y económica
de analizar y evaluar detalles del diseño.
Toda vez que su equilibrio inicial se ha determinado por cualesquiera
metódos mencionados previamente, el cálculo de estructuras de cables so-
metidas a cargas estáticas y sobre todo dinámicas precisa de la aplicación
de otras técnicas más complejas. El método de los elementos finitos suele ser
el más habitual, lo cual unido a la aplicación ferroviaria que pretende este
proyecto y la experiencia evidenciada en trabajos previos, véanse [Suc08],
[Ram09] y [JO09], lo hace idóneo. No obstante la no linealidad geométrica
propia de los cables precisa una formulación más sofisticada de los elementos
finitos a emplear.
La formulación de los elementos finitos, al margen de la aplicación abor-
dada, es igualmente buena independientemente de si está basada en campos
de desplazamientos o de tensiones. Sin embargo, dado que la segunda es me-
nos popular, en esta sección se seguirá una formulación de elementos basada
en desplazamientos. Considerando los desplazamientos como variables de-
pendientes, en primer lugar ha de definirse un campo admisible tal que los
desplazamientos intrínsecos a cualquier elemento puedan obtenerse median-
te la interpolación de dichas variables en los grados de libertad nodales. En
CAPÍTULO 4. VIENTO SOBRE ESTRUCTURAS DE CABLES 35
virtud del principio de energía potencial estacionaria y habiendo definido de
forma apropiada un funcional que permita obtener una solución al campo
de desplazamientos mediante el método de Rayleigh-Ritz, la expresión de
la energía potencial Πp, entonces puede establecerse la condición dΠp = 0
que aplicada sobre los grados de libertad nodales resulta en un sistema de
ecuaciones algebraicas.4.32
Ku = f (4.32)
Por otro lado, los efectos de la inercia cobran importancia a medida que
aumentan las frecuencias de excitación o se deja a la estructura vibrar li-
bremente. De modo que las ecuaciones que gobiernan la respuesta dinámica
de un medio se derivarán contemplando que el trabajo de las fuerzas exter-
nas sea absorbido por el trabajo de las fuerzas internas, de inercia y viscosas
para cualquier movimiento cinemáticamente admisible por pequeño que éste
sea. Es decir, cualquier movimiento que satisfaga tanto las condiciones de
compatibilidad como las condiciones de contorno esenciales. Así, la matriz
de masa Me para un elemento y M para la estructura completa, asimila-
rán la inercia en la formulación mediante una representación discreta de la
distribución de masa de la estructura entendida como un medio continuo
y, análogamente, los efectos del amortiguamiento viscoso se incorporarán
también por medio de las matrices Ce para un elemento y C.
Por tanto, la construcción de las matrices M y C y del vector de fuerzas
internas,q, elementos que definen el comportamiento estructural, se obtie-
nen mediante la expansión conceptual o, dicho en otras palabras, el ensam-
blado de las componentes elementales Me, Ce y qe. Sin embargo, en el caso
del vector de fuerzas internas hay que tener presente que su obtención suele
estar íntimamente relacionado con el método de cálculo dinámico empleado.
Así, la discretización por elementos finitos de la estructura da un sistema
de ecuaciones diferenciales de segundo orden de la forma 4.33
CAPÍTULO 4. VIENTO SOBRE ESTRUCTURAS DE CABLES 36
Mu + Cu + Ku = f (4.33)
donde f encuentra su correspondencia con el vector de cargas del pro-
blema estático, ecuación 4.32, aunque en general para el caso dinámico será
función del tiempo. No obstante esto no deja de ser una conjetura que en el
caso de los cables, cuyo comportamiento no lineal es evidente debido a su
geometría y es además acentuado, para la aplicación central abordada en
este proyecto, por la presencia del contacto con el pantógrafo y el pandeo de
las péndolas en la interacción catenaria-pantógrafo, no es asumible. Por tan-
to, la expresión general para cualquier comportamiento, lineal o no lineal,
del material puede generalizarse para una estructura ensamblada según se
expresa en la ecuación 4.34
Mu + Cu + q = f (4.34)
La resolución de este tipo de sistemas mediante integración directa en
el tiempo, como es la opción adoptada en este trabajo, suele requerir méto-
dos numéricos que generalmente precisan el cálculo de la llamada matriz de
rigidez tangente, Kt. En mecánica computacional, esta matriz describe la
rigidez en la respuesta de un sistema a pequeños cambios en su configura-
ción. Idealmente representa el plano tangente a una superficie energética en
un punto, lo cual en este caso supone el cálculo de la matriz jacobiana del
vector de fuerzas internas q respecto al de desplazamientos u como 4.35.
Kt =∂q∂u
(4.35)
El método de elementos finitos con no linealidad geométrica se basa en
la actualidad en tres posibles descripciones cinemáticas o combinaciones de
las mismas: la formulación lagrangiana total, la formulación lagrangiana ac-
tualizada y la formulación corrotacional. Éstas son equivalentes para defor-
maciones finitas en mecánica de los medios continuos, con la única salvedad
CAPÍTULO 4. VIENTO SOBRE ESTRUCTURAS DE CABLES 37
del sistema de referencia adoptado para la descripción del movimiento de
los cuerpos. Sin embargo, para elementos estructurales basados en teorías
aproximadas de no linealidad geométrica, los resultados obtenidos con las
diferentes formulaciones no serán los mismos.
Por el tipo de aplicación abordada en el presente trabajo, la formulación
a emplear en el modelado de la estructura de cables será la corrotacional, es-
tribando la principal ventaja de este enfoque en la separación artificial de las
no linealidades material y geométrica en el elemento. Mientras la parte ma-
terial tiene lugar en configuración corrotacional donde se asume linealidad
geométrica, la no linealidad geométrica se hace presente en las rotaciones
rígidas y traslaciones del elemento sin deformar. Incluso considerando en
la definición de la deformación términos que reflejen una no linealidad de
bajo orden, las expresiones del vector de esfuerzos internos y de la matriz
de rigidez tangente resultantes, relacionadas en la expresión 4.35, son más
simples.
Algunos trabajos importantes sobre el marco corrotacional, como los pu-
blicados por Rankin y Brogan en [RB84], Crisfield en [Cri90] y Nour-Omid
y Rankin en [R91], enfatizan el hecho de que cualquier elemento basado
en teorías de no linealidad geométrica aproximada, o incluso de desplaza-
mientos infinitesimales, es capaz de incorporar rotaciones finitas empleando
una formulación corrotacional general. Para las simulaciones de estructuras
planas de cables llevadas a cabo en este proyecto se ha recurrido al elemento
corrotacional bidimensional basado en la formulación de Crisfield recogida
en [Cri91], implementado y descrito en [JO09], por los excelentes resultados
obtenidos con el mismo en trabajos previos.
A pesar de que el tratamiento de los efectos de las no linealidades geomé-
tricas en problemas planos con grandes desplazamientos es ya una cuestión
complicada, la extensión de la formulación bidimensional a tres dimensiones
lo es aún más. Esto es debido a la naturaleza no vectorial de las grandes rota-
ciones en el espacio. En problemas con linealidad geométrica las rotaciones
CAPÍTULO 4. VIENTO SOBRE ESTRUCTURAS DE CABLES 38
se asumen infinitesimales y son tratadas vectorialmente. Sin embargo, en
los problemas tridimensionales con grandes desplazamientos, las rotaciones
no son entidades vectoriales, lo cual es fácilmente verificable tras compro-
bar que la propiedad conmutativa de los vectores no se cumple cuando se
aplican grandes rotaciones. De hecho, si se impusiera una secuencia de giros
sobre un cuerpo alrededor de dos o tres ejes ortogonales podría observarse
que la configuración final del cuerpo depende del orden de las rotaciones
sobre el cuerpo.
Entre las formulaciones tridimensionales de elementos finitos tipo viga
basados en teorías geométricamente exactas destacan por una parte la des-
crita por Simo en [Sim85] e implementada por Simo y Vu-Quoc en [SVQ86]
y, por otra parte, la propuesta por Jelenic y Crisfield en [JC99]. Diseña-
da esta última para preservar las medidas de deformación combinando las
buenas características de las teorías geométricamente exactas y de vigas
corrotacionales. No obstante, la implementada y empleada en este proyecto
ha sido la propuesta también por M. Crisfield en [Cri97] por su fiabilidad y
calidad descriptiva.
Siguiendo el enfoque descrito por M.Crisfield en [Cri91] para la formu-
lación de elementos viga corrotacional en 2D, a continuación se establecen
las relaciones entre las expresiones locales y globales del vector de fuerzas
internas y la matriz de rigidez tangente relacionadas en la expresión 4.35.
La idea subyacente en este contexto es la descomposición del movimiento
del elemento en una parte rígida y otra deformable mediante la referencia a
un sistema de coordenadas locales (xl, zl) solidarias al elemento y, por tanto,
a sus movimientos de rotación y traslación, ver figura 4.4.
En esta figura se identifican los desplazamientos en coordenadas locales
y globales a los que se somete el elemento inicialmente definido por los nodos
1 y 2, viniendo determinado su estado actual deformado por los nodos 1′ y
2′.
Las coordenadas de los nodos 1 y 2 en el sistema de coordenadas global
CAPÍTULO 4. VIENTO SOBRE ESTRUCTURAS DE CABLES 39
1
2'1
'2lu lx
2µ
¯®1µ
lz
0¯
2u
2w
1u
1w
1lµ
2lµ
x
z
Figura 4.4: Deformación del elemento corrotacional
(x, z) son (x1, z1) y (x2, z2), siendo el vector de desplazamientos globales:
dg = (u1 w1 θ1 u2 w2 θ2)t (4.36)
El vector de desplazamientos locales se define según la figura 4.4:
dl = (ul θl1 θl2)t (4.37)
calculando las componentes de dl como sigue:
ul = ln − lo (4.38)
θl1 = θ1 − α (4.39)
θl2 = θ2 − α (4.40)
denotando lo y ln en la ecuación 4.38 las longitudes inicial y actual del
CAPÍTULO 4. VIENTO SOBRE ESTRUCTURAS DE CABLES 40
elemento,
lo = ((x2 − x1)2 + (z2 − z1)
2)1/2 (4.41)
ln = ((x2 + u2 − x1 − u1)2 + (z2 + w2 − z1 − w1)
2)1/2 (4.42)
y α la rotación de sólido rígido, calculándose como:
sin α = cos βo sin β − sin βo cos β (4.43)
cos α = cos βo cos β − sin βo cos β (4.44)
con:
co = cos βo =1
lo(x2 − x1) (4.45)
so = sin βo =1
lo(z2 − z1) (4.46)
c = cos β =1
ln(x2 + u2 − x1 − u1) (4.47)
s = sin β =1
ln(z2 + w2 − z1 − w1) (4.48)
siendo α, tal que |α| < π:
α =
sin−1 (sin α) si sin α ≥ 0 y cos α ≥ 0
cos−1 (cos α) si sin α ≥ 0 y cos α < 0
sin−1 (sin α) si sin α < 0 y cos α ≥ 0
− cos−1 (cos α) si sin α < 0 y cos α < 0
(4.49)
Para aplicar el principio de los trabajos virtuales es preciso obtener los
desplazamientos locales virtuales derivando las ecuaciones 4.38, 4.39 y 4.40:
δul = cos β (δu2 − δu1) + sin β (δw2 − δw1)
(− cos β − sin β 0 cos β sin β 0) δdg = rtδdg
(4.50)
CAPÍTULO 4. VIENTO SOBRE ESTRUCTURAS DE CABLES 41
δθl1 = δθ1δα = δθ1δβ con (α = β − β0) (4.51)
δθl2 = δθ2 − δα = δθ2 − δβ (4.52)
Asimismo, derivando la ecuación 4.48 es posible obtener δβ
δβ =1
cl2n((δw2 − δw1)ln − (z2 + w2 − z1 − w1)δln) (4.53)
tomando δln = δul de la ecuación 4.50 y simplificando:
δβ =1
cln((δw2 − δw1)− sc(δu2 − δu1)− s2(δw2 − δw1))
δβ =1
ln(s − c 0 − s c 0)δdg = ztδdg (4.54)
Aplicando 4.54 en 4.51 y 4.52:
δθl =
0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 0 1
− 1
ln
zt
zt
dg = Atδdg (4.55)
quedando finalmente la relación de desplazamientos locales y globales
como sigue:
δdl =
δul
δθl1
δθl2
=
−c −s 0 c s 0
−s/ln c/ln 1 s/ln −c/ln 0
−s/ln c/ln 0 s/ln −c/ln 1
δdg (4.56)
δdl =
rt
At
δdg = Bδdg (4.57)
La relación entre los vectores de esfuerzos internos local y global, ql
y qg respectivamente, se obtiene igualando los trabajos virtuales, W , en
ambos sistemas de referencia según refleja la ecuación 4.58. Dependiendo el
vector de esfuerzos internos local de esta relación, qtl = (N, M1, M2), de la
definición propia del elemento.
CAPÍTULO 4. VIENTO SOBRE ESTRUCTURAS DE CABLES 42
Wint = δdtgvqg = Nδuv + M1δθl1v + M2δθl2v = δdt
lvql = δdtgvB
tql (4.58)
Así, para cualquier vector de desplazamientos virtuales δdg arbitrario,
el vector de fuerzas internas δqg queda como sigue:
qg = Btql (4.59)
Siendo preciso conocer las tensiones δql resultantes de las ecuaciones
4.60 y 4.61 para el cálculo de δqg.
N =EAul
lo(4.60)
M1
M2
=2EI
lo
2 1
1 2
θl1
θl2
(4.61)
No obstante, la ecuación 4.60 asume que la deformación axil del elemen-
to es igual al cociente de la deformación relativa entre sus extremos y la
longitud del elemento recto. Tal aproximación no permite considerar cual-
quier otro tipo de deformación sobre un elemento inicialmente recto, por
ejemplo la resultante de su flexión (ver figura 4.4).
Este efecto puede ser tenido en cuenta incluyendo los términos de se-
gundo orden en la deformación de Green relativa al sistema corrotacional
para un elemento inicialmente recto, quedando la deformación local como
sigue:
εxl =dul
dxl
+1
2
(dul
dxl
)2
+1
2θ2
l (4.62)
Definiendo el cambio de base isoparamétrico 4.63, con ξ ∈ [−1 1], el
desplazamiento local ul(ξ) puede expresarse como:
xl =1
2(1 + ξ)lo (4.63)
CAPÍTULO 4. VIENTO SOBRE ESTRUCTURAS DE CABLES 43
ul(ξ) =1
2(1 + ξ)ul (4.64)
Diferenciando la ecuación 4.64 se obtiene la deformación local
εxl =dul
dxl
=dul
dξ
dξ
dxl
=ul
lo(4.65)
Asimismo, definiendo el desplazamiento transversal local wl, ver figu-
ra 4.4, mediante un polinomio cúbico de ξ según muestra 4.66, es posible
determinar el giro 4.67 nuevamente mediante diferenciación.
wl(ξ) =lo8
(ξ2 − 1)(ξ − 1)
(ξ2 − 1)(ξ + 1)
t θl1
θl2
(4.66)
θl(ξ) =dwl
dxl
=dwl
dξ
dξ
dxl
=lo
4
3ξ2 − 2ξ − 1
3ξ2 + 2ξ − 1
t
θl = stθl (4.67)
Con la ayuda de las ecuaciones 4.65 y 4.67 es posible expresar 4.62 como
4.68:
εxl(ξ) =ul
xl
+1
2
(ul
xl
)2
+1
2θt
lsstθl (4.68)
Asumiendo deformación constante, el último término de 4.68 puede ser
modificado por su valor medio, quedando:
εxl(ξ) =ul
lo+
1
2
(ul
lo
)2
+1
2loθt
l
∫sstdxlθl (4.69)
Realizando el cambio de variable 4.63 e integrando en 4.69, se obtiene:
εxl(ξ) =ul
lo+
1
2
(ul
lo
)2
+1
2loθt
l ·∫ 1
−1
1
42
(3ξ2 − 2ξ − 1)2 (3ξ2 − 1)2 − 4ξ2
(3ξ2 − 1)2 − 4ξ2 (3ξ2 − 2ξ − 1)2
lo2
dξθl
=ul
lo+
1
2
(ul
lo
)2
+1
60θt
l
4 −1
−1 4
θl (4.70)
CAPÍTULO 4. VIENTO SOBRE ESTRUCTURAS DE CABLES 44
Derivando 4.70 para su inclusión en el trabajo virtual, con la ayuda de
4.50 y 4.55, la variación de la deformación queda:
δεxl(ξ) =δul
l2o+
ulδul
xl
+1
602θt
l
4 −1
−1 4
δθl
=1
lo
(1 +
ul
lo
)rtδdg +
1
30θt
l
4 −1
−1 4
Atδdg (4.71)
con lo que finalmente, con la inclusión de los términos de segundo orden
en la deformación de Green, la ecuación 4.57 queda modificada como sigue:
δdl =
loδεxl
δθl1
δθl2
= Bδdg (4.72)
explicitando B según refleja la 4.73
B =
(1 + ul
lo
)rtδdg + lo
30θt
l
4 −1
−1 4
At
At
(4.73)
Derivando ahora 4.72 y definiendo la matriz de rigidez tangente Kgt
como δqg = Kgtδdg, se llega a la ecuación 4.74:
δqg = Btδdl + NδB1 + M1δB2 + M2δB3 = Kgt1δdg + Kgtσδdg (4.74)
donde B2, por ejemplo, corresponde a la segunda fila de B (ver 4.56
y 4.57). Asumiendo un comportamiento lineal del material y derivando las
ecuaciones 4.60 y 4.61 se obtiene:
δN
δM1
δM2
=EA
lo
1 0 0
0 4r2 2r2
0 2r2 4r2
δdl = Clδdl (4.75)
CAPÍTULO 4. VIENTO SOBRE ESTRUCTURAS DE CABLES 45
donde r es el radio de giro de la sección. Así, empleando la ecuación 4.75
se obtiene el término de la matriz de rigidez tangente estándar Kgt1 de la
ecuación 4.74:
Kgt1 = BtClB (4.76)
A su vez, la matriz de rigidez geométrica se obtiene de los tres últimos
términos de 4.74. De forma que derivando la primera columna de B se
obtienen los siguientes términos:
δB1 =
(1 +
ul
lo
)δrt +
δul
lort+
lo30
δθtl
4 −1
−1 4
At +lo30
θtl
4 −1
−1 4
δB2
δB3
(4.77)
con ayuda de las ecuaciones 4.50 y 4.54 y observando que δβ = δα (ver
figura 4.4) y que δB2 = δB3
r = δβz =1
lnzztδdg (4.78)
δB2 =1
lnδz +
1
l2nzδul =
1
l2n(rzt + zrt)δdg (4.79)
con 4.79,
lo30
θtl
4 −1
−1 4
(δB2 δB3)t =
lo30
(4θl1 − θl2 − θl1 + 4θl2)(δB2 δB3)t
=lo10
(θl1 + θl2)1
l2n(rzt + zrt)δdg (4.80)
y por otra parte, con 4.55:
CAPÍTULO 4. VIENTO SOBRE ESTRUCTURAS DE CABLES 46
lo30
δθtl
4 −1
−1 4
At =lo30
δptA
4 −1
−1 4
At
=lo30
Bt
0 0 0
0 4 −1
0 −1 4
Bδdg (4.81)
Sustituyendo en 4.74 y simplificando, la expresión resultante de la matriz
de rigidez tangente es:
Kgtσ =Nlo30
Bt
0 0 0
0 4 −1
0 −1 4
B +N(1 + ul/lo)
lnzzt + N
rrt
lo+
1
l2n(M1 + M2 +
1
10Nlo(θl1 + θl2))(rzt + zrt)
(4.82)
La formulación dinámica del elemento requiere por otra parte comple-
tarse, en virtud de la ecuación (4.34), con las matrices de masa y amor-
tiguamiento M y C. Respecto a la primera, considerando ésta como una
representación discreta de la distribución de masa en un continuo, se define
consistente en caso de emplear en la definición de la matriz de masa las
mismas funciones de forma que para la generación de la matriz de rigidez.
Sin embargo, una de las más simples y tempranas formulaciones es la de la
matriz de masas concentrada, obtenida mediante la concentración de ma-
sas mi en los i nodos del elemento de forma que∑
mi sea la masa total
del elemento. La ecuación 4.83, definida según las expresiones sugeridas por
Cook et al. en [CMP89], representa la matriz de masa implementada en la
formulación dinámica. Esta matriz de orden 6, en relación a los 6 grados de
libertad del elemento recogidos en la ecuación 4.36, denota con A el área de
la sección transversal del elemento, con ρ su densidad y con l la longitud
del mismo.
CAPÍTULO 4. VIENTO SOBRE ESTRUCTURAS DE CABLES 47
M =ρAl
6·
2 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
1 0 0 2 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
+
ρAl
420·
0 0 0 0 0 0
0 156 22l 0 54 −13l
0 22l 4l2 0 13l −3l2
0 0 0 0 0 0
0 54 13l 0 156 −22l
0 −13l −3l2 0 −22l 4l2
(4.83)
Por otra parte la matriz de amortiguamiento tangente requerida, entre
otros, en los métodos de integración directa en el tiempo empleados, Ct, se
ha implementado según el amortiguamiento equivalente de Rayleigh. Esta
formulación es ampliamente conocida en dinámica estructural, siendo em-
pleada especialmente como medio más efectivo para cubrir las limitaciones
en el conocimiento del amortiguamiento real, concretamente por las dificul-
tades para conocer teórica y experimentalemente el coeficiente de amorti-
guamiento viscoso κd. La ecuación 4.84 expresa su definición en función de
la matriz de masa M, la matriz de rigidez tangente Kgt y las constantes de
proporcionalidad predefinidas α y β. Estos coeficientes ponderan la influen-
cia de ambas matrices en el amortiguamiento, teniendo presente la mayor
relevancia de la matriz de masa en el efecto sobre las bajas frecuencias y de
la matriz de rigidez en las altas.
Ct = α ·M + β ·Kgt (4.84)
Sin embargo, en general y particularizando para la norma EN50318 se
CAPÍTULO 4. VIENTO SOBRE ESTRUCTURAS DE CABLES 48
suelo considerar existe amortiguamiento, los coeficientes de proporcionali-
dad α y β se anularán, quedando:
Ct = αM + βKgt = 0 (4.85)
Finalmente es preciso hacer constar, aunque de forma meramente super-
ficial, las consideraciones adoptadas para la implementación de una barra
corrotacional, ya que realmente no se ha seguido una formulación ad hoc
para este tipo de elementos sino que se han introducido ciertas modificacio-
nes sobre el elemento tipo viga. Concretamente, habiendo derivado el vector
de fuerzas internas qg y la matriz de rigidez tangente Kgt según se explici-
ta en esta sección, para los elementos barra se harán nulos los coeficientes
relativos a los giros, resultando esta simplificación aceptable. Asimismo, la
matriz de masa se ha definido también únicamente para los grados de liber-
tad concernientes a este tipo de elementos, [u1 w1 u2 w2], según la expresión
4.86 de matriz de masa consistente definida en [CMP89].
M =ρAl
4·
2 0 1 0
0 2 0 1
1 0 2 0
0 1 0 2
(4.86)
4.2.1. Vector de cargas debidas al viento
Para el caso concreto que nos ocupa en este proyecto, la formulación de
las cargas de viento para este elemento se debe distinguir entre el cálculo
estático y dinámico de su efecto debido a, como se indicó en 3 la dependencia
del valor de la fuerza de la velocidad del punto estudiado en cada momento.
Esta dependencia, en el caso estático, no se considera, teniendo en cuenta
únicamente la velocidad del viento que incide.
No obstante, en ambos casos la fuerza del viento se introduce como una
carga distribuida, de modo que en el caso de querer estudiar estáticamente
CAPÍTULO 4. VIENTO SOBRE ESTRUCTURAS DE CABLES 49
el efecto del viento en el plano lateral, como ocurre en la sección 4.2.4 la
fuerza del viento por unidad de longitud se calcuría como:
q = CDρv2A
2·
0
0,5
li12
0
0,5
−li12
(4.87)
Con la dirección marcada por la dirección del viento y donde CDρv2A
2
corresponde a la fuerza de arrastre (3.12) con CD calculado según (4.189)
o bien corresponde a la proyección de las fuerzas de arrastre y sustentación
(3.13) sobre el plano lateral. Por otro lado, para el cálculo dinámico en 2D
en 4.2.5, 5.3.2 y también en 5.3.1 aunque de forma menos precisa por las
limitaciones del modelo la fuerza del viento tiene en cuenta la velodidad del
nodo donde se aplica, tratándose en este caso, por tanto, como una carga
nodal resultando:
q = Cρv2
relA
2·
0
1
0
0
1
0
(4.88)
En la ecuación 4.88 se sustuye la velocidad del viento por vrel que integra
la consideración de la velocidad de la estructura. En el cálculo de esta velo-
cidad se tiene en cuenta, además los distintos ángulos de ataque del viento.
Como se puede observar en la figura 4.5 tomada de [WX03] es necesario
considerar dos ángulos en el cálculo de la velocidad relativa. Tomando la
nomenglatura de esta figura la velocidad del viento sería U0 y la que inci-
CAPÍTULO 4. VIENTO SOBRE ESTRUCTURAS DE CABLES 50
de perpendicularmente sobre el cable U, siendo la ecuación 4.89 la relación
entre las mismas.
U = U0
√sin2 (α) + cos2 (α) cos2 (β) (4.89)
Wind Uo
®¯
Figura 4.5: Esquema de la incidencia del viento sobre un cable
Por otro lado, el paso de la U a la vrel y que es el término que se introduce
en el elemento se calcula mediante la ecuación 4.90
vrel =
√U · cos (γ) + (Usin (γ) + y)2 (4.90)
siendo y la velocidad vertical en cada punto e intante de la estructura y
γ el ángulo que corresponde a la ecuación 4.91. Por otro lado, el coeficiente
C de la ecuación (4.88) se cálcula, al igual que el coeficiente de la ecuación
(4.87) como el coefiente de sustentación de (3.13) o como proyección de las
fuerzas horizontal y vertical sobre el cable. En el caso de proyectar, la fuerza
que quedaría como 4.92 sobre los grados de gravedad verticales.
CAPÍTULO 4. VIENTO SOBRE ESTRUCTURAS DE CABLES 51
γ = asin
(sinαsinβ
cos2 (β) + sin2 (α) sin2 (β)
)(4.91)
F =ρV 2A
2(CLcos (φ) + CDsin (φ)) (4.92)
donde φ se calcula según la ecuación 4.93
φ = atan
(Usin (γ) + y
Ucos (γ)
)(4.93)
4.2.2. Formulación del elemento corrotacional tridimen-
sional
El objeto de esta sección es detallar la formulación corrotacional del
elemento viga tridimensional empleado en este trabajo de forma que sea
posible resolver el cálculo de la posición de equilibrio estático de estructu-
ras tridimensionales de cables. Siguiendo el enfoque descrito por M.Crisfield
en [Cri97] para casos tridimensionales, a continuación se establecen las rela-
ciones entre las expresiones locales y globales del vector de fuerzas internas
y la matriz de rigidez tangente. La idea subyacente en este contexto es la
descomposición del movimiento del elemento en una parte rígida y otra
deformable mediante la referencia a un sistema de coordenadas locales so-
lidarias al elemento como se puede ver en la figura 4.7 y, por tanto, a sus
movimientos de rotación y traslación.
El producto vectorial se puede expresar en forma funcional de la siguien-
te manera
x× y = S(x)y = −S(y)x, (4.94)
donde la matriz S(x) refleja la parte extraída del producto vectorial.
4.2.2.1. Fórmula de Rodrigues
La fórmula de Rodrigues permite transformar un sistema de coordenadas
según la información contenida en un vector de rotación Φ. Esto queda
CAPÍTULO 4. VIENTO SOBRE ESTRUCTURAS DE CABLES 52
Figura 4.6: Fórmula de Rodrigues
representado en la figura 4.6 y la ecuación (4.97)
Φ =
Φ1
Φ2
Φ2
= Φ1e1 + Φ2e2 + Φ3e3. (4.95)
Aplicando la ecuación (4.95) se obtiene un nuevo vector r′ en un nuevo
sistema de coordenadas que ha sido girado alrededor del pseudovector Φ,
que incluye la dirección del eje de rotación n y cuyo módulo coincido con
la magnitud del giro. Aplicando la ecuación de Rodrigues se obtiene una
matriz de rotación R y que se utiliza según
r′ = Rr, (4.96)
donde
R(Φ) =
[I +
sin Φ
ΦS(Φ) +
1− cos Φ
Φ2S(Φ)S(Φ)
]. (4.97)
Siguiendo la deducción de la sección 16.5 de la referencia [Cri97], la
ecuación 4.97 se puede escribir como
R = I +1
1 + 14ωT ω
[S(ω) +
1
2S(ω)2
], (4.98)
CAPÍTULO 4. VIENTO SOBRE ESTRUCTURAS DE CABLES 53
donde ω
ω = 2 tan
(Φ
2
)e =
2 tan(
Φ2
)Φ
Φ (4.99)
y e es la dirección del pseudo vector ω.
Además, existen algoritmos para determinar el ángulo de giro a partir de
la matriz de giro R. En la sección 16.10 de la referencia [Cri97] se presenta
un algoritmo para obtener dicho ángulo. Este algoritmo para obtener Φ
queda descrito por las siguientes ecuaciones
tr(A) =3∑
i=1
A(i, i), (4.100)
donde A es una matriz admisible de tamaño 3× 3. Sea
a = max(tr(R), R11, R22, R33). (4.101)
siendo Rii los elementos de la diagonal.
En caso de que a = tr(R) se debe aplicar que
q0 =1
2
√1 + a (4.102)
y que
qi = (Rkj −Rjk)(4q0)−1 for i = 1, 2, 3, (4.103)
siendo i, j y k una combinación cíclica de 1, 2 y 3.
Si a = Rii,
qi =
√(1
2a +
1
4(1− tr(R)) (4.104)
q0 =1
4(Rkj −Rjk)q
−1i (4.105)
ql =1
4(Rli + Ril)q
−1i for l = j, k (4.106)
por lo que el nuevo pseudovector viene dada por
ω = 2 tan(
Φ
2
)e =
2
q0
q1
q2
q3
. (4.107)
CAPÍTULO 4. VIENTO SOBRE ESTRUCTURAS DE CABLES 54
Figura 4.7: Marco de referencia del elemento tridimensional
4.2.2.2. Descripción del elemento
Según la sección 17,1 del volumen 2 de la referencia [Cri97], las posiciones
iniciales de los nodos del elemento quedan definidas por los vectores x1 y
x2 como se observa en la figura 4.7a. Además, se debe generar el sistema de
coordenadas local, E, representado en la figura 4.7c a partir de un giro medio
entre los triedros tangentes a cada nodo. Este desarrollo está descrito en las
secciones 2,3 a 2,6 en la referencia [Cri97] y será reproducido a continuación
con las aclaraciones necesarias para facilitar su implementación.
En primer lugar, el vector de desplazamientos locales se define como
pl =
dl1
θl1
dl2
θl2
, (4.108)
donde
dTli = (uli, vli, wli) (4.109)
CAPÍTULO 4. VIENTO SOBRE ESTRUCTURAS DE CABLES 55
y
θTl1 = (θl1, θl2, θl3) (4.110)
θTl2 = (θl4, θl5, θl6). (4.111)
dl1 y dl2 son los desplazamientos en el sistema de referencia local, E,
mientras que θl1 y θl2 son las rotaciones en el mismo sistema de referencia
local. En los nodos, los sistemas de referencia ortogonales tangentes a la
trayectoria de la viga o cable se denotan por T y U, como se aprecia en la
figura 4.7.
La longitud inicial l0 y la longitud actual ln, mostradas en la figura 4.7a,
se pueden calcular como
l0 =√
(x212) (4.112)
y
ln =√
((x12 + d12)2). (4.113)
Los desplazamientos, ul, vienen dados por
ul = ln − l0. (4.114)
Para poder obtener el sistema de referencia local E se debe calcular R a
partir de los sistemas asociados a los nodos del elemento. R es la matriz de
rotación existente entre ambos triedros T y U y se puede calcular aplicando
R = Rm(γ
2)T. (4.115)
En esta ecuación γ es el vector de rotación entre los triedros T y U. Rm
es la matriz de rotación que gira de U a T de un único giro. γ se puede
obtener aplicando el esquema descrito en la sección 4.2.2.1. Por lo tanto, γ2
se puede calcular fácilmente ya que U and T son sistemas de coordenadas
ortogonales y, se cumple que TT = T−1 and UT = U−1 y consecuentemente
Rm(γ) = TUT . (4.116)
CAPÍTULO 4. VIENTO SOBRE ESTRUCTURAS DE CABLES 56
El sistema de coordenadas intermedio, E = (e1, e2, e3), se obtiene apli-
cando el siguiente algoritmo. En primer lugar se determina e1 sabiendo que
se cumple que
e1 = (x12 + d12)l−1n . (4.117)
Usando dicho resultado y R, con R = [r1, r2, r3], e2 y e3 se calculan
como
ei = ri −rie1
2(e1r1) , para i = 2, 3. (4.118)
4.2.2.3. Cálculo de la matriz de transformaciónF
La matriz de transformación F permite pasar las deformaciones en un
sistemas de coordenadas local asociados al triedro E al sistema de coorde-
nadas global de forma que se cumpla que
pl = Fpl (4.119)
La dirección e1 es el vector que pasa las posiciones deformadas de los
nodos del elemento por lo que
dl1 = 0 (4.120)
y
dl2 = (ul, 0, 0) (4.121)
.
Las rotaciones locales θi se calculan aplicando que
2sin (pl(4)) = 2 sin θl1 = −tT3 e2 + tT
2 e3, (4.122)
2sin (pl(5)) = 2 sin θl2 = −tT2 e1 + tT
1 e3, (4.123)
2sin (pl(6)) = 2 sin θl3 = −tT3 e1 + tT
1 e3, (4.124)
2sin (pl(10)) = 2 sin θl4 = −uT3 e2 + uT
2 e3, (4.125)
2sin (pl(11)) = 2 sin θl5 = −uT2 e1 + uT
1 e3, (4.126)
2sin (pl(12)) = 2 sin θl6 = −uT3 e1 + uT
1 e3. (4.127)
CAPÍTULO 4. VIENTO SOBRE ESTRUCTURAS DE CABLES 57
donde δp contiene
δp =
δd1
δα
δd2
δβ
. (4.128)
F es una matriz 12× 12 que tiene la siguiente estructura
F =
fT1
fT2...
fT12
. (4.129)
Dada la definición de las translaciones dl1 y dl2 es obvio que
f1, f2, f3, f8, f9 = 0. (4.130)
Además, f7 se obtiene fácilmente derivando la ecuación (4.114)
δ(ul) = eT1 δ(d12) = fT7 δp, (4.131)
de lo que se deduce que
f7 = (−eT1 ,0T , eT
1 ,0T ). (4.132)
El resto de de filas de F se determinan derivando las ecuaciones (4.122-
4.127). Para ello, es necesario conocer las derivadas de las componentes de
los triedros E, T y U .
Usando las reglas de los productos vectoriales se puede escribir que
δti = δα× ti = S(α)δti = −S(ti)α (4.133)
δui se determina de forma similar y resulta
δui = δβ × ui = S(β)δui = S(ti)β. (4.134)
CAPÍTULO 4. VIENTO SOBRE ESTRUCTURAS DE CABLES 58
Diferenciando e1 se obtiene que
δe1 =δ(d21)
ln− (x21 + d21)
l2nδ(d21) = Aδ(d21). (4.135)
donde
A = (I− e1eT1 )l−1
n . (4.136)
Además las derivadas de ei, siendo i = 2, 3, a partir de la ecuación 4.118
se obtienen aplicando
δei = δri −[[
δrTi e1 + rT
i δe1
](e1 + r1
)+(rT
i e1
)(δe1 + δr1)
] 1
2, (4.137)
donde
δri = S(
δα + δβ
2
)ri = −riS
(δα + δβ
2
). (4.138)
Sacando factor común δpl, L(ei) se obtiene como
δei = L(ei)T δp, (4.139)
donde
LT = [LT1 ,LT
2 ,−LT1 ,L2]. (4.140)
L1(ri) =1
2
(rT
i e1A + Ari(e1 + r1)T)
(4.141)
y
L2(ri) =1
4
(2S(ri)− rT
i e1S(r1)− S(ri)e1(e1 + r1)T). (4.142)
A modo de ejemplo se va a mostrar el desarrollo completo de f4.
δ(2 sin(pl(4))) = δ(2sinθl1) = δ(−tT3 e2 + tT
2 e3) (4.143)
CAPÍTULO 4. VIENTO SOBRE ESTRUCTURAS DE CABLES 59
Usando la regla de la cadena sobre la ecuación 4.122 se deduce que
(2 cos θl1)δθl1 =[−(δt3)
Te2 + (δt2)Te3 − tT
3 δe2 + tT2 δe3
]. (4.144)
Las ecuaciones 4.133, 4.134, 4.140 y 4.144 se usan para ensamblar la
ecuación
δθl1 = (2 cos θl1)−1(L(r3)t2 − L(r2)t3 + h1)δp, (4.145)
donde
hT1 =
{0T , (−S(t3)e2 + S(t2)e3)
T ,0T ,0T}
. (4.146)
Por lo tanto, f4 se puede escribir como
f4 = (2 cos θl1)−1(L(r3)t2 − L(r2)t3 + h1). (4.147)
Similarmente se obtiene que
f5 = (2 cos θl2)−1(L(r2)t1 + h2), (4.148)
f6 = (2 cos θl3)−1(L(r3)t1 + h3), (4.149)
f10 = (2 cos θl4)−1(L(r3)u2 − L(r2)u3 + h4), (4.150)
f11 = (2 cos θl5)−1(L(r2)u1 + h5), (4.151)
f12 = (2 cos θl6)−1(L(r3)u1 + h6), (4.152)
donde
hT2 =
{(At2)
T , (−S(t2)e1 + S(t1)e2)T ,−(At2)
T ,0T}
, (4.153)
hT3 =
{(At3)
T , (−S(t3)e1 + S(t1)e3)T ,−(At3)
T ,0T}
, (4.154)
hT4 =
{0T ,0T ,0T (−S(u3)e2 + S(u2)e3)
T}
, (4.155)
hT5 =
{(Au2)
T ,0T ,−(Au2)T , (−S(u2)e1 + S(u1)e2)
T}
, (4.156)
hT6 =
{(Au3)
T ,0T ,−(Au3)T , (−S(u3)e1 + S(u1)e3)
T}
. (4.157)
CAPÍTULO 4. VIENTO SOBRE ESTRUCTURAS DE CABLES 60
4.2.2.4. Parte geometrica
A partir de la ecuación 4.159, que describe los esfuerzos internos, se
define Ktσδp como
Ktσδp = δFqli. (4.158)
δqi = (FTKlF + Ktσ)δp (4.159)
Para simplificar la ecuación 4.158 también se puede escribir que
Ktσδp =12∑
j=1
qli(j)δfj. (4.160)
Extrayendo δp de la ecuación 4.160 se determina Ktσ que depende
del cambio de qli para lo que se necesitan las variaciones de fi para i =
4, 5, 6, 10, 11, 12 de la siguiente manera
qli(j) =
(2 cos θlj)−1qli(j) for j = 4, 5, 6, 10, 11, 12
0 for j = 1, 2, 3, 7, 8, 9
. (4.161)
Utilizando estas expresiones se construye Ktσ como
Ktσ = Kσ1 + F diag(qlitan θliFT )
+qli(10) [Kσ2(r2, t3 − u3) + Kσ2(r3,u2 − t2]
+qli(5)Kσ2(r2, t1) + qli(6)Kσ2(r3, t1)
+qli(11)Kσ2(r2,u1) + qli(12)Kσ2(r3,u1)
+Kσ3 + KTσ3 + Kσ4 + Kσ5. (4.162)
Para simplificar, en las siguientes expresiones tan sólo se nombrarán los
bloques Kmn de tamaño 3×3 que componen la matriz K de tamaño 12×12.
K =
K11 K12 K13 K14
K21 K22 K23 K24
K31 K32 K33 K34
K41 K42 K43 K44
(4.163)
CAPÍTULO 4. VIENTO SOBRE ESTRUCTURAS DE CABLES 61
A modo de ejemplo, se detalla la derivación de Kσ1. Separando qli(7) y
δf7 en la ecuación 4.161 y derivando δf7 se obtiene que
δfT7 = (−δeT1 ,0T , δeT
1 ,0T ), (4.164)
de lo que se deduce que, aplicando las ecuaciones 4.135 y 4.136
δfT7 = (−AδdT21,0
T ,AδdT21,0
T ) (4.165)
y, sacando factor común, δp de nuevo en (4.165) y usando la ecuación4.161,
Kσ1 resulta
K11 = K33 = −K13 = −K31 = qli(7)A. (4.166)
Para no resultar demasiado prolijo en la deducción de las matrices ca-
racterísticas para el resto de componentes, a continuación se escribirán tan
sólo los resultados de cada Ktσ y no su deducción, coincidiendo éstas con
las que se encuentran en [Cri97].
Los términos de Kσ2 provienen de la variación de las matrices L(ri)z que
se encuentran en las ecuaciones (4.147) to (4.152). Por lo tanto Kσ2(ri, z)
se compone a partir de
K11 = K33 = −K13 = −K31 = X + XT + rTi ei(2(eT
1 z) + zT r1)A(2ln)−1,(4.167)
donde
X =1
2(−AzrT
i A + (rTi e1AzeT
1 + +zT (e1 + r1)ArieT1 )l−1
n ), (4.168)
K12 = K14 = −K32 = −K34
= −AzeT1 S(r1)−ArizTS(r1)− zT (e1 + r1S(ri), (4.169)
K21 = K41 = −K23 = −K43 = KT12, (4.170)
y
K12 = K14 = −K32 = −K34
= −(rTi e1)S(z)S(r1 + S(r1)zeT
1 S(ri) + S(ri)e1zTS(r1)
−(e1 + r1)TzS(e1)S(ri) + 2S(z)S(ri). (4.171)
CAPÍTULO 4. VIENTO SOBRE ESTRUCTURAS DE CABLES 62
En el caso de Kσ3 se utiliza una matriz subdividida con bloques diferen-
tes. La matriz KTσ3, que es uno de los términos de (4.162), proviene de las
ecuaciones (4.147-4.152) y Kσ3 (4.146) y (4.153-4.157)
Kσ3 = [0,K2,0,K4], (4.172)
donde
K2 = −L(r2)[qli(10)S(t3) + qli(5)S(t1)]
+L(r3)[qli(10)S(t2)− qli(6)S(t1)] (4.173)
y
K4 = L(r2)[qli(10)S(u3)− qli(11)S(t1)]
−L(r3)[qli(10)S(u2) + qli(12)S(u1)] (4.174)
.
Kσ4 también proviene de (4.146), (4.153-4.157) y tan sólo tiene dos ma-
trices no nulas
K22 = qli(10)[S(e2)S(t3)− S(e3)S(t2)]
+qli(5)[−S(e1)S(t2) + S(e2)S(t1)]
+qli(6)[−S(e1)S(t3) + S(e3)S(t1)] (4.175)
y
K44 = −qli(10)[S(e2)S(u3)− S(e3)S(u2)]
+qli(11)[−S(e1)S(u2) + S(e2)S(u1)]
+qli(12)[−S(e1)S(u3) + S(e3)S(u1)]. (4.176)
El término Kσ5 procede de la variación de δhi, está relacionado con las
ecuaciones (4.146) y (4.153-4.157) y viene dado por
K12 = −K32 = −qli(5)AS(t2) + qli(6)AS(t3), (4.177)
CAPÍTULO 4. VIENTO SOBRE ESTRUCTURAS DE CABLES 63
K14 = −K34 = −qli(11)AS(u2) + qli(12)AS(u3), (4.178)
K21 = −K23 = KT12 (4.179)
K41 = −K43 = KT14, (4.180)
K11 = K33 = −K13 = −K31 = AveT1 + e1vTA + (eT
1 v)A, (4.181)
y
K11 = K33 = −K13 = −K31 (4.182)
, con
v = l−1n [qli(5)t2 + qli(6)t3 + qli(11)u2 + qli(12)u3]. (4.183)
4.2.3. Algoritmo de integración temporal
Para la integración temporal de la ecuación (4.34) se ha empleado el
método α-generalizado descrito por Chung y Hulbert en [CH93]. La inte-
gración de ecuaciones diferenciales algebraicas (DAE) de segundo orden e
índice 2, conduce a inestabilidad numérica cuando se usa un método de
integración de la familia de Newmark debido a las restricciones algebrai-
cas, que se manifiesta a través de oscilaciones crecientes en la respuesta en
aceleraciones. Introduciendo una pequeña disipación en el algoritmo para
las altas frecuencias se logra controlar esta inestabilidad, manteniendo la
estabilidad de la integración de dinámica lineal con restricciones. El méto-
do α-generalizado utilizado incluye como casos particulares algunos de los
algoritmos de integración temporal más importantes en dinámica estructu-
ral, como la regla trapezoidal o el algoritmo Hilber-Hughes-Taylor [HHT77]
(HHT), constituyendo así un marco general para investigaciones teóricas.
El método se fundamenta en las fórmulas de Newmark 4.184,
un+1 = un + ∆tun + ∆t2(
1
2− β
)un + ∆t2βun+1 (4.184)
CAPÍTULO 4. VIENTO SOBRE ESTRUCTURAS DE CABLES 64
promediando este algoritmo para el cálculo del residuo la diferente con-
tribución de dos instantes consecutivos según los parámetros numéricos αm
y αf como refleja 4.185:
R = (1− αm) (Mu)n+1 + αm (Mu)n +
+ (1− αf ) (q− f)n+1 + αf (q− f)n
(4.185)
En particular, el algoritmo HHT se obtiene para αm = 0 y αf ∈[0, 1
3
].
No obstante, estos parámetros del método α-generalizado pueden ser calcu-
lados en función del radio espectral ρu∞:
αm =2ρu
∞ − 1
ρu∞ + 1
y αf =ρu∞
ρu∞ + 1
(4.186)
Definiendo αfm = αf − αm, los parámetros de Newmark quedan como
se muestra en 4.187:
γ =1
2+ αfm y β =
1
4
(γ +
1
2
)2
(4.187)
Demostrándose más tarde que para valores de αfm > 0 el método presen-
ta una precisión de segundo orden. La solución numérica se obtiene mediante
un algoritmo predictor-corrector como el empleado en la familia Newmark,
quedando la matriz tangente modificada en cada paso corrector como refleja
la ecuación 4.188:
K∗t = (1− αf )Kt + (1− αf )
γ
βhCt + (1− αm)
1
βh2M (4.188)
4.2.4. Verificación estática
Como se ha visto en el capítulo 3 la fuerza del viento se define de acuerdo
a las ecuaciones 3.12 y 3.13, que refieren a la fuerza que produce el viento su
propia dirección y en dirección normal, respectivamente. Como se observa
en las gráficas 3.3 y 3.4 el valor de los coeficientes aerodinámicos varían
CAPÍTULO 4. VIENTO SOBRE ESTRUCTURAS DE CABLES 65
en función, entre otros parámetros, de la sección y en el caso particular
del coeficiente de arrastre Cd, que influye en el desplazamiento del cable
en el plano horizontal, se puede aproximar experimentalmente pero para
conductores circulares se han calculado relaciones que permiten obtenerlo a
partir del número de Reynolds como la aproximación de [SB75].
cd = 1,18 +6,8
Re0,89+
1,96
Re0,5− 1
14·Re·10−4 + Re
1,1·103
(4.189)
En [KPS09] se analiza el comportamiento de un cable circular sometido
a un viento lateral, centrándose en la desviación que sufre respecto a su
posición inicial. Esta desviación es directamente proporcional a la carga del
viento e inversamente proporcional a la tensión de los cables, de modo que
si tomamos un único cable sujeto en los extremos, la desviación de un punto
x medido desde el soporte de referencia se describe analíticamente como:
yw =Fw · x · (li − x)
2 ·H(4.190)
Siendo Fw la fuerza del viento y H la tensión horizontal del cable calculada
sin incluir en efecto del viento, considerando únicamente el peso del cable.
Derivando e igualando a cero obtenemos la posición de la mayor desviación
lateral (xgr) y el valor de esta desviación (emax):
xgr =li2− (bi − bi+1) ·H
(Fw · li)(4.191)
emax =Fw · l2i8 ·H
+(bi − bi+1)
2 ·H(Fw · l2i · 2)
+(bi + bi+1)
2(4.192)
Esto se aplica para el caso en el que la carga del viento por unidad de
longitud Fw es mayor que 2 · |bi − bi+1|Hl2i . En caso contrario, el punto con
la máxima desviación, calculada matemáticamente estaría fuera del vano
considerado. Para el caso más común, en el que bi= -b y bi+1=+b:
emax =Fw · l2
8 ·H+
2 · b2 ·H(Fw · l2i )
(4.193)
CAPÍTULO 4. VIENTO SOBRE ESTRUCTURAS DE CABLES 66
Con el objetivo de validar el método de cálculo empleado, se han com-
parado estas ecuaciones analíticas con los resultados de plantear la misma
situación mediante elementos finitos y para distitas velocidades del viento
sobre un cable fijo en sus extremos con las características de la tabla 4.3
Peso 1,34N/m
S 0,000152m2
E 1,15 · 1011
Tabla 4.3: Datos del cable del caso estudio
Figura 4.8: Comparación efecto estático del viento con elementos finitos
En la figura 4.8 se representan los desplazamientos sufridos por el cable
para velocidades que varían desde 0 a 46.8 km/h. Si realizamos este mismo
cálculo para velocidades superiores, el problema no converge, debido a que
la estructura no puede soportar fuerzas superiores.
En este punto se va a realizar un análisis sobre los distintos factores que
CAPÍTULO 4. VIENTO SOBRE ESTRUCTURAS DE CABLES 67
pueden afectar a la estabilidad y la convergencia del caso estudiado con el
método de elementos finitos. En primer lugar se analiza el efecto del método
empleado observando la sensibilidad del cálculo al número de elementos en
la convergencia. Mientras que para una velocidad del viento de 60 km/h,la
fuerza ejercida por el mismo no permite un equilibrio de la estructura para
19 elementos en un cable de 15.005m si aumentamos el número de elementos
a más del doble, como se observa en la figura4.9, es posible hallar conver-
gencia en el cálculo. Por otro lado, si aumentamos la velocidad a valores
mucho mayores, como 108km/h se aproxima a valores muy cercanos, pero
el cálculo no llega a converger, por lo que, si bien el cálculo es sensible al
número de elementos utilizados existen valores de velocidad para los que el
problema no converge.
Figura 4.9: Cálculo cable bajo efecto de un viento fuerte con 60 y 108 km/h
En cuanto al valor de otros parámetros constructivos del cable, se pue-
de afirmar, sin realizar ningún cálculo que un mayor peso del cable será
favorable para la estabilidad del mismo frente a la carga del viento al pre-
sentar más inercia al desplazamiento. En el caso de estudio, inestable para
CAPÍTULO 4. VIENTO SOBRE ESTRUCTURAS DE CABLES 68
108km/h como se ha visto en el análisis anterior se hace un estudio aña-
diendo al cable una, dos y tres unidades de masa por unidad de longitud y,
aunque en la figura 4.10 se observan resultados próximos a los análiticos en
los tres casos, sólo se ha conseguido la convergencia en el cálculo en el tercer
caso, lo que supone que, para soportar un viento de velocidad constante a
108km/h se le deben añadir a la estructura unos 45kg de masa.
0 5 10 15−0.2
−0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Posición en X (m)
Pos
ició
n en
Y (
m)
Figura 4.10: Cables de masa 2.34, 3.34 y 4.34 kg/m bajo un viento de
108km/h
Por tanto, se puede concluir que en cálculo estático de cables bajo el
efecto de una carga de viento a velocidad constante mediante elementos
finitos, además de parámetros constructivos, como el peso, el número de
elementos empleado en el cálculo tiene gran importancia en la convergencia
del problema.
CAPÍTULO 4. VIENTO SOBRE ESTRUCTURAS DE CABLES 69
4.2.5. Consideraciones de los efectos dinámicos en ca-
bles
En general, los efectos dinámicos del viento se pueden clasificar según el
esquema de la figura 4.11.
Figura 4.11: Clasificación de los efectos dinámicos del viento
Las vibraciones en la dirección del viento pueden derivarse directamente
de las fluctuaciones de presión de las ráfagas o, indirectamente, del incre-
mento de la turbulencia provocado por el desprendimiento de remolinos
detrás de los obstáculos. Este último efecto es propio de la interferencia
aerodinámica entre diferentes estructuras y en los cables, dadas sus dimen-
siones, no es un efecto dinámico relevante. Las vibraciones en la dirección
ortogonal al viento se suscitan como consecuencia del desprendimiento de
remolinos principalmente como vibraciones forzadas. Finalmente, se puede
distinguir entre vibraciones por auto-excitación de galope y flameo.Estas
últimas se basan en la interacción entre una estructura elástica y el viento
y también reciben el nombre de efectos aeroelásticos.
CAPÍTULO 4. VIENTO SOBRE ESTRUCTURAS DE CABLES 70
La amplitud de la vibración en la dirección ortogonal al viento está
relacionada con la dimensión d del cilindro sometido a la corriente de aire.
La amplificación por resonancia está limitada en primer lugar debido a la
no linealidad aerodinámica para una amplitud de vibración grande, jugando
un papel importante el amortiguamiento y la distribución de masas.
Para estudiar los efectos dinámicos se han originado señales de viento
a partir de la densidad espectral teórica de Davenport de la ecuación (3.5)
que, como se observa en la figura 3.2 se ajusta a los estudios experimentales.
Para su utilización es necesaria la determinación de dos parámetros
U (10), que es la velocidad media a 10 m y depende de la velocidad.
Como se ha visto en el capítulo 3 esta velocidad depende de la ru-
gosidad del terreno, observando la variación en la figura 3.1. Para
la generación se señales de viento tomaremos un valor medio, 0.28,
correspondiente con una zona rústica. Según la gráfica podemos esti-
mar que esta velocidad media es de unos 20 m/s.
U∗ es la velocidad de fricción, velocidad que incorpora solamente el
corte en la pared y la densidad del fluido, por lo que su expresión es
la misma para cualquier régimen de flujo o textura del límite.
U∗ =
√τ0
ρ= v
√f
8(4.194)
donde f es el factor de fricción, que depende de la rugosidad relativa y
del número de Reynolds. Tomando un valor aproximado de 0.1 para
este factor el valor de U∗ sería 0,11v
Por tanto, partiendo de este espectro y con las ecuaciones descritas en
3.2 se han simulado señales de viento como la de la figura 4.12 que tiene
una velocidad media de 10 m/s.
Esta velocidad genera una fuerza variable con el tiempo, que se aplica a
la estructura descrita en la sección anterior como carga distribuida variable
en cada instante de tiempo. Además, respecto al cálculo estático, el valor
CAPÍTULO 4. VIENTO SOBRE ESTRUCTURAS DE CABLES 71
Figura 4.12: Señal de velocidad de viento aleatorio de media 10 m/s
de la fuerza del viento se ve afectada por la velocidad instantánea de la
estrutura, ya que la velocidad de viento que ve esta estructura es la relativa
entre su propia velocidad y la del viento, de modo que la velocidad v de la
ecuación (3.1) sería la velocidad relativa, urel calculada como se indica en
la figura 4.13
El efecto de la variabilidad del viento puede afectar no sólo al desplaza-
miento de los puntos, si no también a las tensiones que sufre la estructura.
En el análisis estático, bajo una velocidad de viento de 10 m/s la tensión
vertical (como se ha mencionado, la componente horizontal permanece cons-
tante a lo largo del cable) que sufren el cable se observa en la figura 4.14,
con un máximo de 0.38 N/m2.
En el análisis dinámico, aplicando un viento aleatorio de media 10 m/s
se observa que, si bien la distribución de tensiones verticales a lo largo del
cable es similar a la obtenida en el caso estático el valor varía en cada
instante, llegando a ser superior al obtenido para una velocidad instantánea
menor a 10 m/s. En la figura 4.15 se representa la componente vertical de la
CAPÍTULO 4. VIENTO SOBRE ESTRUCTURAS DE CABLES 72
relU
U
y_
Á
°
y_
F
Figura 4.13: Composición de velocidades
0 5 10 150
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
Posición en X (m)
Ten
sión
ver
tical
(N
)
Figura 4.14: Tensión vertical de un cable sometido a una carga estática de
viento a 10 m/s
tensión en el cable para el instante en el que la velocidad del viento es 9.36
m/s. Como se observa, el valor máximo de tensión (0.41 N/m2.)es superior
CAPÍTULO 4. VIENTO SOBRE ESTRUCTURAS DE CABLES 73
al alcanzado en estática con 10 m/s.
0 5 10 150
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
Posición (m)
Ten
sión
(N
)
Figura 4.15: Tensión vertical de un cable sometido a una carga dinámica de
viento a una velocidad instantánea de 9.36 m/s
Por otro lado, en cuanto a la evolución de la tensión en el tiempo se
representa en la figura 4.16 la evolución de la tensión en el tiempo para el
punto central y para un extremo. Comparandolas con la velocidad del viento
(reducida en función de su valor máximo) se observa, especialmente para el
punto del extremo que sufre tensiones mayores, una tendencia similar.
En cuanto a los desplazamientos, su valor depende, como la tensión, del
valor de la velocidad pudiendo ser mayor o menor que en el análisis estático.
Por tanto, se observa que el efecto de ráfagas de la velocidad del viento
así como la consideración de la velocidad de la estructura influye tanto en
desplazamientos como en tensiones, así como en la convergencia del cálculo.
Estas conclusiones concuerdan tanto con las respuestas esperadas como con
las ecuaciones analíticas lo que nos permite validar el método de cálculo.
CAPÍTULO 4. VIENTO SOBRE ESTRUCTURAS DE CABLES 74
0 50 100 150 200 250 300−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Tiempo (s)
Ten
sión
(N
)
tensión extremotensión centrovelocidad viento reducida
Figura 4.16: Comparación de tensiones en diferentes puntos y con la ten-
dencia de la velocidad del viento
Capítulo 5
Efecto del viento en catenarias
ferroviarias
Este capítulo presenta una de las aplicaciones de mayor interés industrial
actualmente, concretamente en el sector del transporte, el efecto del viento
sobre las catenarias ferroviarias. Así, en primer se describirán los elemen-
tos mecánicos fundamentales que componen una catenaria ferroviaria en la
sección 5.1; en la sección 5.2.1 se analiza el efecto del viento lateral sobre
la rigidez de la catenaria y; finalmente, el efecto de la fluctuación del viento
en la interacción dinámica catenaria-pantógrafo se analiza en la sección 5.3.
5.1. Descripción mecánica de la catenaria
Los dos elementos del sistema de electrificación ferroviaria que mayor
interés suscitan son la catenaria y el pantógrafo. Por catenaria se entien-
de el conjunto de elementos que constituyen la línea aérea de transporte
y suministro de energía eléctrica a un ferrocarril y, dependiendo de las ca-
racterísticas de la línea sobre la que vayan a estar instaladas, se distinguen
catenarias de alta velocidad, para ferrocarril metropolitano, etc. La más
común y extendida es similar a la representada en la figura 5.1, la cual
75
CAPÍTULO 5. VIENTO EN CATENARIAS FERROVIARIAS 76
consta de tres elementos básicos: el hilo sustentador, cable superior de la
catenaria; el hilo de contacto, cable inferior de la catenaria de donde to-
man la energía eléctrica los trenes; y las péndolas, barras transversales que
conectan eléctrica y mecánicamente los hilos sustentador y de contacto.
La estructura general de una catenaria ferroviaria consiste en vanos in-
dividuales diseñados de acuerdo a la aplicación a la que se destinará de la
catenaria misma. La línea aérea está dividida en tramos tensionados, lla-
mados cantones, encontrándose los mecanismos de tensionado al principio y
final de cada uno de estos cantones, lo cual se conoce como seccionamientos.
El equipo de tensionado es el encargo de garantizar una tensión constante
en los hilos de contacto y sustentador con independencia de la temperatura,
encontrándose en la mitad de un cantón un punto fijo que se encarga de dar
estabilidad longitudinal al conjunto.
Debido al coste de la inversión en infraestructura, el número de vanos
debe ser el menos posible. La carga que limita la longitud de los vanos es ge-
neralmente el viento, limitándose el desplazameinto lateral máximo del hilo
de contacto por la zona de empleo del pantógrafo. Así, los pantógrafos que
tienen zonas de frotación o recorrido cortas requieren elementos de susten-
tación más próximos. Las líneas habituales emplean postes como elementos
de sustentación, lo cual hace independientes los dos sentido de circulación.
El diseño de la línea área de contacto debe realizarse atendiendo a que
la captación de corriente se realice en las mejores condiciones posibles. Pa-
ra ello es necesario atender a las características geométricas que permitan
dicha situación en función de la velocidad del tren y dependiendo de las
características particulares de la infraestructura (gálibo, tolerancias, etc.).
Adicionalmente se deben tener en cuenta los requisitos de seguridad y dis-
tancias de aislamiento estructurales. De esta forma se deben tener en cuenta
las características de la catenaria bajo tres enfoques diferentes: geométrico,
eléctrico y mecánico. Las características geométricas más importantes son la
altura del hilo de contacto, el descentramiento, la pendiente y la envolvente
CAPÍTULO 5. VIENTO EN CATENARIAS FERROVIARIAS 77
dinámica. Las características mecánicas están relacionadas con las tensiones
en los conductores, las cargas exteriores, la resistencia mecánica, masa de
los cables, etc. Por último, las características eléctricas están determinadas
por la potencia que la circulación de los trenes demande en la situación más
desfavorable. Los sistemas de alimentación empleados en España son 600,
750, 1500 y 3000 V en corriente continua y 25 kV en corriente alterna.
VanoPéndola Hilo sustentador
Hilo de contactoPantógrafo
CATENARIATREN
Figura 5.1: Esquema de la estructura de cables básica de la catenaria
Por otra parte, se designa por pantógrafo al sistema de toma de corriente
empleado en los vehículos de tracción eléctrica que se alimentan mediante
un hilo aéreo de contacto. En general consiste en un colector deslizante cons-
tituido por una cinta de contacto, denominada patín o pletinas, dispuesta
sobre una estructura articulada de forma que puedan seguirse las variaciones
de altura que presente el hilo de contacto. Puede hacerse una clasificación
de los pantógrafos en función del modo de operación o de las características
de la línea:
CAPÍTULO 5. VIENTO EN CATENARIAS FERROVIARIAS 78
Según el modo de operación:
Pasivos En éstos, la fuerza que empuja las pletinas contra el hilo
de contacto es constante en el tiempo. Son los más simples y
económicos, y su operación es razonablemente buena, por lo que
en estos momentos son los más extendidos. Sin embargo, no se
espera que este tipo de pantógrafos pueda seguir evolucionando
de cara a conseguir los requerimientos dinámicos que el aumento
de la velocidad del tren necesita.
Activos En este tipo de pantógrafos la fuerza que hace contactar el
patín con la catenaria varía con el tiempo, de forma que pueda
controlarse en todo momento la fuerza de contacto que existe
entre patín y catenaria o los desplazamientos del hilo de contac-
to. Este tipo de pantógrafos son sensiblemente más caros que los
convencionales, debido fundamentalmente al complicado meca-
nismo de control que han de montar. No obstante, la evolución
técnica de los últimos años comienza a ser suficiente para poner
en el mercado modelos de pantógrafo activo a precios competiti-
vos. Este tipo de pantógrafos constituye una buena solución a los
problemas dinámicos asociados al tránsito a velocidades elevadas.
Según la línea de operación:
Corriente alterna Estos pantógrafos trabajan con tensiones eleva-
das dado que los trenes que circulan por líneas electrificadas en al-
terna no necesitan grandes intensidades de corriente. Este hecho
repercute a su vez en que las catenarias diseñadas para corriente
alterna puedan contar con cables ligeros y ser consiguientemente
más livianas. Con una catenaria de estas características es nece-
sario evitar desplazamientos excesivos del hilo de contacto, por lo
que la fuerza aplicada por el pantógrafo, sea éste activo o pasivo,
CAPÍTULO 5. VIENTO EN CATENARIAS FERROVIARIAS 79
ha de ser tan reducida como sea posible.
Corriente continua Al contrario de lo que ocurre en las electrifica-
ciones en corriente alterna, cuando se emplea corriente continua
el voltaje no puede ser muy elevado, por lo que circularán grandes
intensidades por el pantógrafo. En estos casos, la continuidad del
flujo eléctrico puede asegurarse con fuerzas del pantógrafo eleva-
das. De hecho, se cree que la corriente puede verse interrumpida,
sin necesidad de que haya pérdida de contacto entre la catenaria
y el pantógrafo, si la fuerza de contacto desciende por debajo
de niveles razonables. Es por esto por lo que los pantógrafos de
corriente continua están diseñados para ejercer una fuerza sensi-
blemente mayor que los de corriente alterna.
Garantizar que el contacto entre el patín del pantógrafo y el hilo de
contacto de la catenaria sea lo más uniforme posible requiere que el hilo
de contacto no presente grandes variaciones de altura respecto de los carri-
les. En aquellas situaciones en las que la velocidad del tren no sea elevada,
próxima a los 50 km/h, puede ser suficiente con tender únicamente el hilo
de contacto, siempre que la diferencia de cotas entre los apoyos y el cen-
tro del vano no supere la milésima parte de la longitud del mismo con un
máximo de 20 cm de diferencia. Esta diferencia de cotas puede conseguirse
con el tensado mecánico del hilo de contacto. Sin embargo, si la velocidad
del tren aumenta, se requiere mayor uniformidad en la altura que presen-
tan los distintos puntos del hilo de contacto, no pudiéndose satisfacer los
requerimientos de horizontalidad con el simple tensado del hilo de contac-
to. Es preciso, por consiguiente, emplear la configuración de catenaria con
dos cables mencionada previamente: uno cuya misión sea hacer de hilo de
contacto y otro que sirva para sostener al primero conocido como hilo sus-
tentador. El conveniente tensado de estos dos hilos junto con la conexión de
los mismos mediante las péndolas hacen posible satisfacer las necesidades de
CAPÍTULO 5. VIENTO EN CATENARIAS FERROVIARIAS 80
horizontalidad que el tránsito a velocidades elevadas requiere. No obstante,
además de estos componentes, una catenaria se compone de otros elementos
que también tienen, como no podría ser de otra manera, su influencia en el
comportamiento del sistema y que por este motivo se describen brevemente
a continuación. Puede encontrarse una descripción mucho más profunda y
rica en detalles en los monográficos [MC02] de Montesinos y Carmona y
[HV00] de Hernández-Velilla.
Hilo de contacto Probablemente sea éste el elemento más importante de
un sistema aéreo de alimentación eléctrica, ya que será el encargado
de poner a disposición del tren la energía eléctrica de la catenaria. La
posición aparente del hilo de contacto es paralela a los carriles, a una
cierta altura de los mismos. Sin embargo, de montarse de esta forma,
la fricción entre el patín y el hilo de contacto tendría lugar exactamen-
te siempre en el mismo punto de las pletinas, con lo que el desgaste
sufrido por éstas sería muy elevado. Para evitar este hecho se recurre
a variar la posición del hilo de contacto respecto al eje central de los
carriles, es decir, se fuerza un trazado en zig-zag ayudándose de los
postes y brazos de atirantado como vértices para lograr un descentra-
miento de entre 20 y 25 cm. La figura 5.2 ilustra esquemáticamente
el concepto del descentramiento mediante el cual se evita que el pan-
tógrafo se desgaste siempre en el mismo punto, alargando la vida útil
de éste.
Los materiales más habituales para la fabricación del hilo de contac-
to son el cobre electrolítico duro o aleado (Mg o Ag), materiales que
presentan buenas propiedades tanto eléctricas como mecánicas. Es im-
portante resaltar la necesidad de que el hilo de contacto exhiba mayor
dureza que las pletinas del pantógrafo, ya que es preferible que sean
dichas pletinas las que sufran el mayor desgaste debido a la mayor
sencillez y comodidad que supone la sustitución del patín del pantó-
CAPÍTULO 5. VIENTO EN CATENARIAS FERROVIARIAS 81
CatenariaRail
Rail Hilo de contacto
~0.2
5m
Figura 5.2: Esquema de descentramiento de la catenaria
grafo respecto al reemplazo del hilo de contacto. En relación a este
aspecto cabe destacar la eliminación de materiales pesados como plo-
mo o cadmio de los elementos en contacto, ya que la abrasión provoca
su nociva dispersión en la atmósfera.
Se distinguen diferentes tipos de hilo de contacto dependiendo de la
sección transversal empleada en los mismos en función del servicio a
desempeñar. Si bien la configuración más empleada es la de sección
sólida con contorno circular, cuya geometría se muestra en la figu-
ra 5.3(a), también las secciones ovaladas o planas son frecuentes en
diferentes aplicaciones ferroviarias. Asimismo, también el área de la
sección es objeto de diseño, dependiendo su elección de la corriente
demandada y el tensado mecánico de los propios cables. En ocasiones
es necesario instalar hilos de contacto paralelos o dobles, generalmente
en trazados de corriente continua pero también cuando se requieren
altas potencias de tracción.
Hilo sustentador Tal como se ha apuntado anteriormente, este cable tie-
ne como cometido primordial soportar el peso del hilo de contacto y
mantener la tensión mecánica del sistema. Suele fabricarse de cobre
electrolítico semiduro, bronce y también de aleaciones de acero y alu-
minio. Una de las configuraciones más relevantes que se distinguen
CAPÍTULO 5. VIENTO EN CATENARIAS FERROVIARIAS 82
(a) Hilo de contacto (b) Hilo sustentador-
Péndola
Figura 5.3: Secciones transversales típicas de cables
entre las distintas secciones que presentan estos cables es la de con-
ductores trenzados, tal como se muestra de forma esquemática en la
figura 5.3(b).
A su vez existen ciertos tipos de catenarias que emplean un cable in-
termedio entre el sustentador y el hilo de contacto cerca de los apoyos,
recibiendo éste el nombre de falso sustentador. Su misión es la de ho-
mogeneizar la rigidez de la catenaria ya que, de no existir, el punto de
sujeción del hilo de contacto por la ménsula registra muy alta rigidez,
convirtiéndose en un punto duro.
Péndola Estos elementos son los encargados de unir el hilo de contacto
con el sustentador, transmitiendo el peso del primero al segundo y,
en determinados casos, corriente eléctrica cuando así se requiere. Su
función primordial es mantener el hilo de contacto paralelo a la vía
y a una determinada altura, para lo cual suelen emplearse distintos
tipos de secciones y materiales, desde varillas de cobre hasta cables de
bronce trenzados como los representados en la figura 5.3(b). Respecto
a la configuración longitudinal empleada, la figura 5.4, tomada de
[KPS01], refleja un esquema de péndola simple y otro de péndola
conductora indicando sus elementos constitutivos básicos.
CAPÍTULO 5. VIENTO EN CATENARIAS FERROVIARIAS 83
(a) Péndola simple
Hilo sustentador
Grapa
Guardacabo
Abrazadera
Péndola deconductores
trenzados
Grifa
Hilo decontacto
(b) Péndola conductora
Figura 5.4: Esquemas básicos de péndolas
Cuando las péndolas son de una longitud inferior a 0,5 m, especial-
mente plausible en trazados de alta velocidad, se comportan de forma
muy rígida. Así, la altura de la catenaria debe permitir que la longitud
de las péndolas en el centro del vano sea superior a los 0,5 m men-
cionados, pudiendo recurrir a la instalación de péndolas especiales en
caso de no poder satisfacer este criterio de longitud mínima.
Dependiendo de la tensión del hilo de contacto, la separación entre las
péndolas, también llamada pendolado, determina la flecha del hilo de
contacto entre éstas. Adicionalmente, deben garantizar que en caso de
rotura del hilo conductor éste toque el suelo de forma que se dispa-
ren las correspondientes medidas de seguridad. Así, para limitar esta
flecha las péndolas no deben estar espacidas más de 12 m, guardando
también una distancia mínima de unos 5 m.
Las primeras péndolas que se montaron eran de acero y la única misión
era sujetar el hilo de contacto, empleándose unas conexiones equipo-
CAPÍTULO 5. VIENTO EN CATENARIAS FERROVIARIAS 84
tenciales entre sustentador e hilo de contacto para permitir el paso
de corriente. Estas conexiones producen un efecto dinámico perjudi-
cial al introducir concentraciones de masa, con lo que es preferible
evitarlas mediante su sustitución por las denominadas péndolas equi-
potenciales, las cuales permiten que tanto las corrientes de servicio
como también las de cortocircuito puedan circular desde el cable al
hilo de contacto sin producirse quemaduras en los extremos de los
hilos individuales.
Puede establecerse una clasificación de las péndolas atendiendo a su
longitud. Se denominan cortas o rígidas aquellas que no superan los
600 mm de longitud, reservando la denominación de largas o arti-
culadas a aquellas que sobrepasen dicho límite. Este último tipo de
péndolas presenta ciertos problemas de conexión eléctrica entre el sus-
tentador y el hilo de contacto, haciéndose necesarios cables supletorios
de alimentación cada cierta distancia. Por último, los elementos en-
cargados de unir los hilos principales con las péndolas se denominan
grifas. Éstas se montan sobre las ranuras que posee el hilo de contacto
en la parte que no se ofrece al pantógrafo de forma que el paso de éste
no se vea afectado.
Falso sustentador La diferencia de elasticidades entre el centro del vano
y los apoyos tiene un efecto importante sobre la fuerza de contacto que
se manifiesta en un incremento del desgaste del hilo de contacto. La
elasticidad en los apoyos se controla mediante el uso del denominado
falso sustentador, también conocido como péndola en Y. Homogenei-
zando de este modo la elasticidad a lo largo de los vanos.
Ménsula El sistema para sustentar la estructura de cables desde los postes
se realiza por medio de una viga o conjunto de barras que se deno-
mina cuerpo de ménsula, generalmente deben estar articuladas para
permitir el giro de la misma debido a la dilatación de los cables. Pue-
CAPÍTULO 5. VIENTO EN CATENARIAS FERROVIARIAS 85
den ser de dos tipos, ménsulas en celosía o ménsulas tubulares: las
primeras están hechas de perfiles laminados con sección en U, mien-
tras que las segundas están fabricadas con perfiles tubulares, ambas de
acero galvanizado. A su vez, para apoyar y sujetar el hilo sustentador
al cuerpo de ménsula se monta un conjunto de piezas denominadas
conjunto de suspensión. La figura 5.5 de Kießling et al. en [KPS01]
muestra el esquema básico de una ménsula, indicando en ésta algunos
de los elementos más comunes.
Sujeción superior
Tubo diagonal
Tubo de ménsula
Brazo de atirantado y engrapado al hilo de contacto
Grifa del hilo sustentador
Figura 5.5: Esquema básico de ménsula
Nótese que por el hilo sustentador circula corriente eléctrica y perma-
nece a tensión, por lo que se necesita que el conjunto de suspensión
permanezca aislado eléctricamente para evitar poner a tierra toda la
instalación. Así, las ménsulas en celosía están separadas eléctricamen-
te del hilo de contacto por un aislador mientras que las tubulares
están en tensión, por lo que los aisladores se interponen entre éstas
y el poste. Además del sustentador, la ménsula también soporta los
conjuntos de atirantado, responsables de producir el ya comentado
descentramiento del hilo de contacto, por lo que la unión del conjunto
de atirantado con la ménsula también habrá de estar aislada.
Poste Los postes son los elementos encargados de soportar los esfuerzos ori-
CAPÍTULO 5. VIENTO EN CATENARIAS FERROVIARIAS 86
ginados por el peso propio de la catenaria y los efectos del viento sobre
ésta transmitidos a través de las ménsulas. Generalmente los postes
se fabrican a partir de perfiles laminados de acero galvanizado, cimen-
tando el conjunto mediante un macizo de hormigón. Para compensar
los esfuerzos correspondientes a los distintos elementos que componen
el sistema no es usual montar los postes perpendiculares al suelo, sino
que se les da una pequeña inclinación o flecha. De esta forma, cuando
la catenaria esté completamente cargada, la posición de los postes será
perfectamente vertical. Asimismo, también es usual dotar a los postes
finales de cantón de un sistema de atirantado lateral, de manera que
se compensen los esfuerzos longitudinales ejercidos por la catenaria.
Pórticos funiculares Los pórticos funiculares se emplean ampliamente en
zonas donde existen más de dos vías. De esta forma se evita la existen-
cia de postes individuales para cada vía reduciendo el espacio necesa-
rio. El principal problema radica en la ‘conexión mecánica’ entre los
diferentes hilos de contacto, lo que perjudica la captación de corriente
debido a las vibraciones introducidas. Dada la forma de transmitir las
cargas a los postes, éstos se ven sometidos a esfuerzos considerables.
Pórticos rígidos Se pueden realizar estructuras porticadas o trianguladas
de acero o aluminio sobre las que se sustenta la catenaria. Debido a
la resistencia a flexión de este tipo de estructuras, las solicitaciones
sobre los postes y cimentaciones son menores que en los pórticos fu-
niculares, esto los hace especialmente interesantes en suelos con poca
capacidad portante. Resultan más caros que los pórticos funiculares,
pueden restringir la visión de señales, etc.
Las líneas aéreas de contacto están sometidas a acciones de tipo mecá-
nico, eléctrico y climático. De cara a satisfacer determinadas condiciones
particulares de el suministro eléctrico mínimas, se establecen una serie de
CAPÍTULO 5. VIENTO EN CATENARIAS FERROVIARIAS 87
normas que éstas deben cumplir: ETI, EN 50119 y EN 50122 entre otras.
La norma EN 50119, establece que las cargas que deben tenerse en cuenta
para el cálculo de una catenaria ferroviaria son:
Cargas gravitatotias de todos los elementos existentes
Tensiones aplicadas en los conductores
Cargas debidas al viento
Cargas adicionales debidas a la forma de la instalación o acciones
ambientales como hielo
Cargas transitorias
La tensión admisible en los hilos sustentador y de contacto tiene en
cuenta una serie de factores que minoran la resistencia de éstos. Así, la
tensión máxima admisible se multiplica por factores, siempre inferiores o
iguales a la unidad, que dependen de la temperatura, el desgaste permitido,
las cargas de hielo y viento, el tensado y rendimiento del equipo de tensado,
las grapas de anclaje, cargas verticales, la existencia de uniones soldadas y
la fluencia. La norma EN 50119 determina los factores a emplear.
5.2. Comportamiento estático
5.2.1. Efecto del viento sobre la elasticidad
Entre los criterios habituales empleados en el diseño de catenarias desta-
can los relacionados con la distribución de elasticidad a lo largo de un vano.
El cálculo de esta característica, también frecuentemente abordado sobre
su inversa, la rigidez, es ampliamente conocido por conllevar el complejo
problema del cálculo de equilibrio inicial de la estructura de cables.
El cálculo de la elasticidad de las líneas aéreas de transporte de energía
eléctrica puede llevarse a cabo a través de diferentes técnicas. Una de las
CAPÍTULO 5. VIENTO EN CATENARIAS FERROVIARIAS 88
más habituales por su versatilidad y precisión es indudablemente el cálculo
por elementos finitos, aunque para cálculos muy específicos como el de la
elasticidad en el centro de un vano, ecuaciones como la 5.1 propuesta en
[Ebe69] se han revelado suficientemente precisas como demuestran Kießling
et al. en [KPS01]:
e =L
k · (Tcw + Tmw)(5.1)
donde e es la elasticidad en el centro del vano medida en mm/N y en
función de: L, longitud del vano en m; Tcw y Tmw, esfuerzos de tensado en
kN de los hilos de contacto y sustentador respectivamente; y k, un coefi-
ciente cuyo valor oscila entre 3,5 para catenarias sin falso sustentador y 4,0
en caso de contar con éste. Respecto a la elasticidad en los extremos del
vano, en los soportes, ésta toma valores entre el 30 % y el 50 % de la elas-
ticidad en el centro del vano cuando no hay falso sustentador, alcanzando
aproximadamente el 90% si lo hubiera.
El efecto del viento estático en la catenaria influye, principalmente, en
la rigidez, que afecta a la hora de calcular la fuerza de contacto que sufre el
pántografo. Para el cálculo de esta rigidez se aplica nodo a nodo una fuerza
de 100N y se calcula el desplazamiento de cada punto para esta fuerza,
siendo la rigidez la relación entre la fuerza aplicada y el desplazamiento. En
este método de cálculo conviene destacar que, para su posterior aplicación,
se considera una variación lineal de la rigidez con el valor de la fuerza que se
aplica. Sin embargo, como se puede observar en la figura 5.6, esta variación
no es completamente lineal, si bien en la zona en torno a 100 N sí mantiene
cierta linealidad. Por tanto, es importante tener en cuenta esta aproximación
para valores fuera del rango.
La rigidez mostrada en la figura 5.6 muestra la variación de la rigidez
del punto del brazo de atirantado en función de la fuerza que se aplique. La
figura, asimismo, muestra esta misma variación para un punto central del
CAPÍTULO 5. VIENTO EN CATENARIAS FERROVIARIAS 89
100 150 200 250 300 350 400 450 5002000
2500
3000
3500
4000
4500
5000
Fuerza (N)
Rig
idez
(N
/m)
Pto CentralPto Vano
Figura 5.6: Variación de la rigidez en un punto del vano y un punto central
para fuerzas de 90N a 500N
vano. Como se observa, si bien el comportamiento es diferente, para valores
de fuerza menores de 180 N el comportamiento es lineal.
Por tanto, la rigidez indica la relación que existe entre fuerza y des-
plazamiento, en el caso estudiado, para la dimensión vertical. Como se ha
indicado en el capítulo 3, la fuerza del viento lateral causa un desplaza-
miento vertical que provocará una variación de la rigidez de la catenaria
influyendo en la fuerza de contacto con el pantógrafo e incluso en el des-
plazamiento del mismo. No obstante, previamente a estudiar el efecto de
la velocidad del viento sobre la rigidez se va a analizar otro elemento del
plano transversal que afecta también a la rigidez y que está presenta en las
catenarias ferroviales actuales.
5.2.1.1. Efecto del zig zag sobre la rigidez
El zig zag o descentramiento de la catenaria es el desplazamineto hori-
zontal respecto del eje de la vía de la catenaria y los hilos de contacto. El
CAPÍTULO 5. VIENTO EN CATENARIAS FERROVIARIAS 90
propósito de este descentamiento del hilo de contacto es la obtención de un
desgaste uniforme del pantógrafo de modo que, al no estar tanto paralela a
los carriles o eje de la vía, se de evitar el desgaste de la pletina del pantó-
grafo en el mismo punto, y en curva se contrarresta la tensión radial. Con
objeto de evaluar el efecto del zigzag en la rigidez de la catenaria se analiza,
en primer lugar, la variación de ésta con la fuerza en función del zigzag,
comparando para dos valores de zigzag la variación de la rigidez (de forma
análoga a la figura 5.6)para el punto del vano correspondiente al brazo de
atirantado. Como se observa en 5.7 que,para un valor inferior de descentra-
miento (0.01 m en lugar de 0.2 m) además de tener un valor superior de
rigidez para una fuerza inferior a 320N, la dependencia con el valor de la
fuerza pierde linealidad. Este comportamiento se debe principalmente a la
existencia y configuración de la rigidez aportada por el brazo atirantado en
ese punto.
100 150 200 250 300 350 400 450 5002000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
16000
Fuerza (N)
Rig
idez
(N
/m)
zigzag 0.2zigzag 0.01
Figura 5.7: Variación de la rigidez para distintos valores de descentramiento
Empleando un valor de fuerza de 100 N para el cálculo, en la figura 5.7
se observa la influencia del descentramiento en la rigidez de la catenaria de
CAPÍTULO 5. VIENTO EN CATENARIAS FERROVIARIAS 91
modo que a medida que el valor del zigzag aumenta la rigidez disminuye,
acusándose ese efecto especialmente en los puntos de brazo atirantado y
asemejándose el valor en el centro del vano.
10 20 30 40 50 60 702000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
10000
11000
12000
Posición (m)
Rig
idez
(N
/m)
0.0010.010.11
Figura 5.8: Rigidez de un vano para distintos valores de descentramiento
Como se puede comprobar en la figura 5.8 para valores menores del
zigzag el valor de la rigidez es mucho mayor pasando de unos 4.4 kN/m con
un zigzag de 1 m a más de 11kN con un zigzag de 0.01 m. Este resultado en el
brazo de atirantado parece lógico, ya que cuanto mayor es el descentramiento
más inclinado debe estar el brazo de atirantado y, por lo tanto, aporta menos
rigidez al movimiento vertical del hilo de contacto.
5.2.1.2. Efecto del viento sobre la rigidez
Como se ha comprobado, el descentramiento de la catenaria introduce un
efecto en la rigidez que, al tratarse de un parámetro constructivo constante,
una vez conocido su valor, se pueden configurar las cargas de la estructura
teniendo en cuenta este efecto. No obstante, la carga del viento no se trata
de un paramétro constante por lo que, a la hora de estudiar la estructura
CAPÍTULO 5. VIENTO EN CATENARIAS FERROVIARIAS 92
completa, es necesario conocer tanto su valor como su variabilidad frente a
la velocidad del viento. Para contrastar el efecto del viento en la rigidez de
la catenaria se ha tomado un zigzag de 0.2 m, valor habitual en catenarias
ferroviarias.
Figura 5.9: Variación de la rigidez para distintas velocidades de viento
La figura 5.9 muestra la rigidez de cinco vanos sometidos a un vien-
to lateral con velocidades de 0 a aproximadamente 100 km/h y se pueden
observar en ella distintos efectos. Por un lado, se puede apreciar una re-
petición de los valores de rigidez cada dos vanos, lo que corresponde a la
repetibilidad geomética cada dos vanos debido al descentramiento, así como
la propia asimetría en un vano. Por otro lado, en lo que respecta a la fuerza
del viento, se observa que a medida que aumenta la velocidad del viento la
rigidez disminuye. Este efecto se observa a lo largo de los cinco vanos si bien
es más acusado en la zona del brazo.
En la figura 5.10 se muestra la variación de la rigidez en el punto en
el que esta es máxima,observando que, a partir de unos 18 m/s la rigidez
cae mucho más rápido con el aumento de velocidad del viento, y de forma
lineal.
CAPÍTULO 5. VIENTO EN CATENARIAS FERROVIARIAS 93
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 502000
2500
3000
3500
4000
4500
5000
5500
Velocidad del viento (m/s)
Rig
idez
(N
/m)
Figura 5.10: Variación de la rigidez en función de la velocidad del viento en
el punto máximo
En esta zona del brazo, donde se manifiestan los efectos del brazo de
atirantado y el cambio de dirección del zigzag aparece, además, aparece un
comportamiento diferente dependiendo del vano y, por tanto, del descentra-
miento. Ampliando esa zona y con valores más altos de velocidad del viento
para poder apreciar mejor el resultado 5.11, se puede visualizar el compor-
tamiento desigual de la estructura. Esto se debe a que, al aplicar una carga
de 100 N en esa zona de la catenaria que está sufriendo, al mismo tiempo, un
viento a altas velocidades (este fenómeno ocurre para velocidades superio-
res a 50 km/h) algunas péndolas de la estructura pandean modificando la
rigidez de la misma.
El pandeo se observa también en la evolución de la rigidez de distintos
puntos de la catenaria. En la figura 5.12 se muestra la evolución de la
rigidez para velocidades del viento desde 0 m/s a 50 m/s en los puntos
de dos brazos atirantados consecutivos y se puede apreciar diferencias entre
los dos puntos, ya que mientras que en un punto la rigidez decrece para
CAPÍTULO 5. VIENTO EN CATENARIAS FERROVIARIAS 94
100 120 140 160 180 2001500
2000
2500
3000
3500
4000
4500
5000
5500
Posición (m)
Rig
idez
(N
/m)
0 m/s12.5 m/s25 m/s37.5 m/s50 m/s
Figura 5.11: Rigidez en un vano para velocidades de viento de hasta 180
km/h
todo valor de velocidad, de forma lineal y más rápida a partir de los 18
m/s, comportamiento similar al estudiado en la gráfica5.10, el otro punto
presenta valores mayores de rigidez aumentando su valor con la velocidad
del viento (comportamiento contraria a la observada en la figura 5.9 para
todo los punto del vano) hasta los 25 m/s, que comienza a decrecer de forma
lineal.
En conclusión, la rigidez de la catenaria se ve afectada por causas de
distintos orígenes del plano trasversal. Por un lado geométrico, ya que la
disposición constructiva de la catenaria la dota de una rigidez y una varia-
bilidad de la rigidez diferente ante cargas laterales. Por otro lado, las cargas
laterales, debidas al viento, producen un cambio de rigidez. Así, se observa
una disminución de la misma en todas los puntos de la catenaria al aumen-
tar la velocidad del viento. Cabe destacar el comportamiento singular de los
puntos anclados a los brazos de atirantado o el momento donde se produce
aflojamiento de las péndolas.
CAPÍTULO 5. VIENTO EN CATENARIAS FERROVIARIAS 95
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 502000
2500
3000
3500
4000
4500
5000
Velocidad del viento (m/s)
Rig
idez
(N
/m)
Figura 5.12: Comportamiento de la rigidez de los puntos del brazo en función
de la velocidad del viento
5.2.2. Modelo 3D
Todos los resultados obtenidos para la rigidez de la estructura de la
catenaria sometida bajo la acción del viento se han calculado, como se ha
indicado en la sección anterior, haciendo un cálculo estático sobre una es-
tructura tridimensional. Los desplazamientos que sufre esta estructura se
calculan de acuerdo a lo indicado en 4.2, empleando el elemento tridimen-
sional desarrollado en 4.2.2.
Una representación global de la estructura deformada por la acción del
viento permite una primera aproximación al efecto del viento y sus posibles
repercusiones en la interacción catenaria-pantógrafo. Si bien en secciones
posteriores se va a analizar con más detenimiento los efectos del viento en
la interacción (5.3.1 y 5.3.2), los modelos empleados restrigen en diversas
medidas el estudio completo del efecto dinámico del viento, el análisis de los
resultados estáticos sobre la estructura de la catenaria nos permite estudiar
los desplazamientos y el comportamiento de algunos elementos.
CAPÍTULO 5. VIENTO EN CATENARIAS FERROVIARIAS 96
Analizando la deformación estática de la catenaria bajo diversas cargas
de viento es posible analizar las distintas acciones de la misma sobre la
estructura. En la figura 5.13 se observa la estructura de la catenaria sometida
a una carga estática de viento de 40 m/s, un valor mucho mayor de lo que
se va a emplear en el estudio dinámico posterior, puesto que habitualmente
se corta la circulación por motivos de seguridad ante velocidades superiores.
Figura 5.13: Efecto estático de un viento a 40 m/s sobre la catenaria
En la figura 5.13 se puede comparar la posición de los puntos de la
catenaria bajo la acción de la fuerza del viento (en verde o con la malla
de nodos) y en ausencia de la misma (en azul). Por un lado, en esta figura
se aprecia el movimiento en el plano lateral, el efecto del descentramiento
sin viento y su efecto en la acción del viento y el comportamiento de las
pendolas. Por otro, como se puede observar con más detalle en la figura
5.14 esta carga provoca un desplazamiento vertical que causa cambios en la
rigidez que, como se estudiará en la sección 5.3 puede ser de importancia
para el contacto catenaria pantógrafo.
En la figura 5.15 se muestran los desplazamientos horizontal y vertical
del hilo de contacto a lo largo de 5 vamnos para distintas velocidades de
CAPÍTULO 5. VIENTO EN CATENARIAS FERROVIARIAS 97
Figura 5.14: Detalle del efecto estático de un viento a 40 m/s sobre la
catenaria
viento observando tanto la influencia del valor de la velocidad como la del
pandeo de las péndolas y descentramiento.
Figura 5.15: Desplazamiento de la catenaria bajo el efecto estático de dis-
tintas velocidades de viento
CAPÍTULO 5. VIENTO EN CATENARIAS FERROVIARIAS 98
5.3. Efecto del viento sobre la interacción catenaria-
pantógrafo
5.3.1. Modelo 1D
En esta sección se analiza el efecto del viento sobre el comportamiento
dinámico de la interacción catenaria pantógrafo empleando el modelo sim-
plificado unidimensional propuesto por Lopez-Garcia et al. en [LGCM07].
Este efecto se evaluará según su grado de repercusión sobre los criterios de
validación de la norma EN 50318, para lo cual han de ejecutarse simula-
ciones del mismo para las velocidades especificadas por dicha norma, 250 y
300 km/h.
La propuesta de Lopez-Garcia et al. modela el sistema dinámico cate-
naria-pantógrafo mediante el esquema de la figura 5.16, donde la catenaria
se representa por un sistema dinámico discreto masa-muelle-amortiguador
de un grado de libertad y el pantógrafo se modela como otro sistema masa-
muelle-amortiguador de dos grados de libertad, análogo al definido por Ma-
nabe y Fujii en [MF89] o por Wu y Brennan en [WB98, WB99]. En la figura
5.16, los subíndices c, 1 y 2 denotan la catenaria, la parte superior del pantó-
grafo (patín) y la parte inferior del mismo (base), respectivamente; mientras
que el vector v = (v2, v1, vc)t representa los desplazamientos de los puntos
anteriormente mencionados.
En este tipo de modelos simplificados es común asumir que pantógrafo
y catenaria van a estar en todo momento en contacto, por lo que la fuerza
de contacto se calcula como el producto de la rigidez de la catenaria por
el desplazamiento de la misma, así lo hacen por ejemplo, Wu y Brennan
[WB98, WB99] o Park et al. [PHJ03]. No obstante, esto requiere la deter-
minación previa de la distribución de rigidez que a su vez implica el cálculo
del equilibrio inicial de la catenaria, es decir, el cálculo del pendolado que
para este modelo se efectúa con ‘CALESCA´, mencionado en la sección
CAPÍTULO 5. VIENTO EN CATENARIAS FERROVIARIAS 99PSfrag replacementsx
ymc cc(x)kc(x)
m1m1m2m2 k1k1
k2k2 c1c1c2c2 VV F2F2 F1F1 Fc Fc cc(t)kc(t) ��y1y2
yc
Figura 5.16: Modelo dinámico equivalente del sistema catenaria-pantógrafo
4.1.4. La rigidez de la catenaria 5.2.1 empleada en las simulaciones de esta
sección se evaluará previamente sobre 3 puntos entre péndolas aplicando la
herramienta de cálculo por elementos finitos ‘AFECTOS´, que si bien re-
quiere tiempos computacionales elevados en comparación con ‘CALESCA´,
para esta aplicación resulta imprescindible por su mayor robustez de cara
a la convergencia de dicho cálculo. En el cálculo dinámico del modelo se
estudia en todo instante los puntos superior e inferior del pantógrafo y el
punto de la catenaria en contacto con el pantógrafo. Para ello, siguiendo la
escala temporal y considerando la velocidad de circulación determina a que
altura del vano se encuentra el pantógrafo y, tomando el valor de rigidez
(variable en cada punto del espacio, como se vio en 5.2.1) que corresponda
se plantea la ecuación (4.34) para cada punto del modelo en cada instate de
tiempo.
Dentro de este modelo, la introducción del efecto del viento implica la
aplicación de una fuerza debida a este en el grado de libertad c, que es el
correspondiente a la catenaria, además de introducir la rigidez calculada en
CAPÍTULO 5. VIENTO EN CATENARIAS FERROVIARIAS 100
el capítulo 5.2.1. A pesar de tratarse de un cálculo dinámico, la naturaleza
del modelo impide modelar correctamente el efecto de la propagación de la
onda, así como la influencia del desplazamiento global de la estructura por
efecto del viento lateral sobre el punto del contacto. Por ello, los resultados
contemplarán, mayoritariamente, el efecto de la variación de la rigidez en el
cálculo dinámico y su efecto en la interacción catenaria- pantógrafo.
En el cálculo de los parámetros que definen la interacción se ha simu-
lado, al igual que para hallar la rigidez, una carga de viento para distintas
velocidades y se ha comprobado el efecto en la fuerza de contacto y el des-
plazamiento de la interacción catenaria-pantógrafo. Como se observa en la
figura 5.17 los valores de desplazamiento y fuerza presentan variaciones muy
pequeñas para las distintas velocidades de viento. En esta figura los valo-
res de velocidad de viento para los que se representan los parámetros de la
interacción son 7 m/s y 14 m/s, además del cálculo en ausencia de vien-
to. Para valores superiores a 14 m/s la fuerza se hace infinito, indicando el
despegue.
Figura 5.17: Fuerza de contacto y desplazamiento del pantógrafo para dis-
tintas velocidades de viento
CAPÍTULO 5. VIENTO EN CATENARIAS FERROVIARIAS 101
Si se analiza la variación de la fuerza de contacto en función de la ve-
locidad del viento y respecto a la ausencia del mismo 5.18 resulta, para
velocidades bajas del viento, una misma tendencia en la variación de la
fuerza, con un aumento de hasta 0,5%. Sobre estos resultados cabe desta-
car la evolución de esta variación con el punto del vano, de forma que para
velocidades del viento superiores la fuerza disminuye en puntos del centro
del vano y aumenta para puntos del paso de vano a vano.
Figura 5.18: Variación de la fuerza de contacto para distintos valores de
velocidad
Como se ha comentado anteriormente, este modelo se ve afectado princi-
palmente por el cambio de rigidez por lo que simula el efecto de este cambio
con la velocidad del viento dentro de un estudio dinámico interacción cate-
naria pantógrafo. Para poder concretar este efecto se analiza, para distintas
velocidades del viento que permitan determinar su influencia, la variación
de la rigidez a lo largo de la estructura comparada con la variación de la
velocidad.
En la figura 5.19 se presenta la rigidez del modelo para dos velocidades
CAPÍTULO 5. VIENTO EN CATENARIAS FERROVIARIAS 102
Figura 5.19: Variación de la fuerza para valores de velocidad de hasta 14
m/s
de viento así como la variación de la fuerza de contacto. Como se observa,
para una velocidad de 14 m/s se observa una variación más notable que
para 7 m/s llegando a un aumento de un 2% y una disminución de hasta
4%. Además, en esta variación es posible analizar con mayor detalle el
efecto estático del viento y el descentramiento ya que la tendencia de esta
variación, se repite cada dos vanos, en concordancia con la rigidez. Para el
caso de 14 m/s, se comprueba que la mayor variación de fuerza se da para
los vanos en los que la rigidez de la catenaria se ve más afectada por la
acción del viento.
En cuanto a lo referente a la velocidad de circulación, se ha relizado la
simulación para distintas velocidades tanto de circulación como de viento,
con el objetivo de analizar la influencia de la velocidad del vehículo en el
efecto del viento sobre la interacción con el pantógrafo. Como se puede
observar, en la figura 5.20, en ausencia de viento, la fuerza de contacto
tiene una tendencia a ir aumentando y a tener una mayor variabilidad con
CAPÍTULO 5. VIENTO EN CATENARIAS FERROVIARIAS 103
la posición instantánea del pantógrafo. Para el caso de 300 m/s, no obstante,
los extremos máximos de la fuerza no son tan altos como para valores de
velocidad de circulación inferiores, si bien la media de la fuerza sí es superior.
180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 40020
40
60
80
100
120
140
160
180
200
220
Posición (m)
Fue
rza
de c
onta
cto
(N)
150 m/s200 m/s250 m/s300 m/s
Figura 5.20: Fuerza de contacto para distintos valores de la velocidad de
circulación en ausencia de viento
Partiendo de esta influencia de la variación del valor de la fuerza de con-
tacto con la velocidad de circulación, en la figura 5.21 se muestra la variación
esta fuerza para distintas velocidades del vehículo bajo una carga de viento
de 15 m/s. A partir de ella se deduce que la influencia del viento sobre la
interacción catenaria-pantógrafo es mayor, generalmente, a medida que se
aumenta la velocidad del viento, especialmente en cuanto a la disminución
de la fuerza de contacto; es decir, a medida que se aumenta la velocidad de
circulación, la disminución que provoca la carga del viento en la fuerza de
contacto se hace más acusada.
CAPÍTULO 5. VIENTO EN CATENARIAS FERROVIARIAS 104
180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
Posición (m)
%V
aria
ción
de
Fue
rza
de C
onta
cto
150 m/s200 m/s250 m/s300 m/s
Figura 5.21: Variación de la fuerza para distintos valores de la velocidad de
circulación bajo la carga de viento a 15 m/s
5.3.2. Modelo 2D
En el apartado anterior, las limitaciones del modelo unidimensional im-
pedían observar el efecto del desplazamiento y movimiento global de la es-
tructura en la interacción catenaria pantógrafo. Con objeto de poder evaluar
con mayor precisión las consecuencias de la fuerza de viento sobre la estruc-
tura se ha modelado un sistema catenaria pantógrafo en dos dimensiones
que se somete al efecto de sustentación del viento lateral. En este modelo sí
se considera, por tanto, el efecto del movimiento de toda la estructura, sin
embargo se pierde el efecto del desplazamiento lateral que se tenía en cuenta
en la rigidez en el modelo anterior que se estima que es inferior al 10%. El
efecto del viento se modela como una fuerza vertical, calculada mediante la
proyección vertical en la estructura hilo de contacto e hilo de sustentación
de las fuerzas de arrastre (3.12)y sustentación (3.13), teniendo en cuenta en
CAPÍTULO 5. VIENTO EN CATENARIAS FERROVIARIAS 105
cada instante de tiempo la velocidad del punto para el cálculo de la fuerza.
En la tabla 5.1 se muestran los resultados obtenidos para distintos es-
tadísticos de la fuerza de contacto en función de la velocidad del viento.
Como se observa en el varianza de la fuerza, la variabilidad de la misma va
decreciendo con una velocidad creciente del viento. No obstante, la fuerza
media sufre un pequeño aumento.
v (m/s)
0 7 14 21 28
Fmax (N) 199,3728 198,0264 194,2741 188,5445 186,6756
Fmea (N) 118,3286 118,4663 119,0322 120,6747 123,8375
Fmin (N) 39,0690 41,0658 46,3431 56,8149 70,3015
Fsmn (N) 8,3977 11,7813 21,1090 32,1993 41,8506
Fsmx (N) 228,2594 225,1514 216,9554 209,1501 205,8243
Fstd (N) 36,6436 35,5617 32,6411 29,4918 27,3289
Tabla 5.1: Valores de estadísticos de la fuerza para distintas velocidades del
viento
Pese a que, como puede parecer dado el comportamiento creciente de la
fuerza con la velocidad del viento 5.22 pudiera resultar favorable su efecto
al favorecer el contacto entre la catenaria y el pantógrafo es necesario con-
siderar su recorrido y el desplazamiento del punto de contacto que origina
la fuerza del viento y el desplazamiento global de la estructura, pues los
problemas originados por la fuerza del viento pueden deberse no tanto a su
efecto en la fuerza como en el desplazamiento de la catenaria.
En la tabla 5.2 y en la figura 5.23 se representa el desplazamiento máximo
de los puntos de dos vanos consecutivos para las velocidades empleadas en
la tabla 5.1. En ambos puntos, sin ser puntos de máximo desplazamiento
del global de la estructura, se observa un incremento de hasta más del 80%
respecto al desplazamiento en ausencia del viento.
CAPÍTULO 5. VIENTO EN CATENARIAS FERROVIARIAS 106
Figura 5.22: Variación de estadísticos de la fuerza de contacto en función
de la velocidad del viento
v (m/s)
0 7 14 21 28
desplazamiento vano4 (m) 0,0574 0,0600 0,0681 0,0831 0,1054
desplazamiento vano5 (m) 0,0593 0,0596 0,0606 0,0619 0,0642
Tabla 5.2: Desplazamientos en dos vanos consecutivos para distintas veloci-
dades de viento
Por otro lado, el punto del que nos interesa estudiar su desplazamiento
es el punto del pantógrafo ya que es el que puede ocasionar los despegues
ya mencionados. Con objeto de analizar el efecto del viento sobre el despla-
zamiento de este punto se puede estudiar la figura 5.24 donde se representa
el recorrido del pantógrafo, la velocidad del viento y el valor del desplaza-
miento del punto de interacción en cada punto del recorrido y para distintas
velocidades.
De las conclusiones derivadas de esta figura destaca, por un lado, en
cuanto a la evolución en el eje del desplazamiento, se observa que el despla-
CAPÍTULO 5. VIENTO EN CATENARIAS FERROVIARIAS 107
Figura 5.23: Variación de los desplazamientos en dos vanos consecutivos con
la velocidad del viento
Figura 5.24: Variación de los desplazamientos con la velocidad del viento
zamiento, para una misma velocidad del viento, aumenta en los puntos del
brazo (60 m y 120 m en la gráfica) para bajas velocidades mientras que a
medida que aumenta la velocidad del viento la evolución de este desplaza-
miento varía, por la influencia del desplazamiento de toda la estructura y
CAPÍTULO 5. VIENTO EN CATENARIAS FERROVIARIAS 108
aparecen desplazamientos mayores en el centro del vano. Por otro lado, en
cuanto a la variación de estos desplazamientos se observa que si bien para
velocidades bajas, inferiores a los 10 m/s el valor de estos desplazamientos
es más o menos constante, para velocidades mayores crecen con una pen-
diente mucho mayor y, como se ha indicado, con picos en el desplazamiento
en un mayor número de puntos.
En cuanto al efecto de la velocidad del propio tren, análogo a lo que
se ha analizado para el modelo unidimensional, se han realizado una serie
de simulaciones para distintas velocidades del tren. Hasta este punto los
resultados obtenidos se han simulado para 300 km/h del vehículo y, como se
muestra en la figura 5.25, donde se representan los desplazamientos máximos
para cada instante y para distintas velocidades del tren, la velocidad del tren
influye directamente en el desplazamiento del punto de contacto, de forma
que a mayores velocidades del vehículo mayores desplazamientos del punto
de contacto, llegando a aumentar hasta un 33% debido únicamente a este
efecto.
La influencia de la velocidad del tren en el desplazamiento se ve acen-
tuada con la carga del viento. La figura 5.26 muestra los desplazamientos
máximos en cada instante, para distintas velocidades de tren y bajo la carga
de viento de 100 km/h. Como se puede observar, no sólo los desplazamientos
aumentan con la velocidad del tren en general, sino que el comportamiento
de los puntos es diferente, ya que mientras que para velocidades del tren de
150 y 200 km/h se podría decir que la tendencia es sinusoidal, para veloci-
dades superiores se observa un comportamiento diferente, originado por la
propagación del efecto del viento en la catenaria.
CAPÍTULO 5. VIENTO EN CATENARIAS FERROVIARIAS 109
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1001
2
3
4
5
6
7
8
Posición (m)
Des
plaz
amie
nto
(cm
)
150 m/s200 m/s250 m/s300 m/s
Figura 5.25: Desplazamiento del punto de contacto para distintas velocida-
des del tren
CAPÍTULO 5. VIENTO EN CATENARIAS FERROVIARIAS 110
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1002
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Posición (m)
Des
plaz
amie
nto
(cm
)
150 m/s200 m/s250 m/s300 m/s
Figura 5.26: Desplazamiento del punto de contacto para distintas velocida-
des del tren
Capítulo 6
Conclusiones, aportaciones y
futuros desarrollos
6.1. Conclusiones
Como conclusiones de este proyecto destacan, dentro del análisis general
sobre cables:
En el cálculo estático de cables bajo el efecto de una carga de viento a
velocidad constante mediante elementos finitos, además de parámetros
constructivos, como el peso, el número de elementos empleado en el
cálculo tiene gran importancia en la convergencia del problema.
Se observa cómo el efecto de ráfagas del viento y la consideración de
la velocidad de la propia estructura influyen tanto en desplazamien-
tos como en tensiones, además de en la convergencia del cálculo. Por
otro lado, el valor de estos desplazamientos y tensiones dependen de
la velocidad del viento y del efecto de la ráfaga, pudiendo presentar
un valor diferente al caso estático de velocidad igual a la velocidad
instantánea.
111
CAPÍTULO 6. CONCLUSIONES Y FUTUROS DESARROLLOS 112
Por otro lado, las conclusiones correspondientes a la aplicación de la cate-
naria ferroviaria cabe destacar, respecto a la estática:
El efecto del viento en la rigidez de la catenaria produce una dismi-
nución de la misma a medida que aumenta la velocidad del viento,
siendo más acusada esta disminución en los puntos del brazo de ati-
rantado. Además, en el plano lateral, es necesario considerar el efecto
del descentramiento de la catenaria, puesto que influye tanto en la
asimetría de la variación de la rigidez en un vano bajo la acción de un
viento lateral, como en el diferente comportamiento de elementos de la
cateraria. Este es el caso de las péndolas que bajo la acción del viento
a altas velocidades y en función del zigzag pueden verse sometidas a
un aflojamiento.
El efecto del viento lateral da lugar, además, a desplazamientos en las
tres direcciones del espacio que afectan a la disposición de la catenaria
y, por tanto, sobre la interacción con el pantógrafo. Por ejemplo, para
un viento lateral de 40 m/s se observa un desplazamiento horizontal
de más de 40 cm y un desplazamiento vertical de 7 cm.
En cuanto a las simulaciones dinámicas de la catenaria y la interacción
catenaria pantógrafo se puede concluir:
Sobre el efecto de la variación de rigidez en la dinámica se observa
una variación en la fuerza de contacto que aumenta con la velocidad
del viento. Como se ha visto, para velocidades de 14 m/s se da una
disminución de la fuerza de hasta un 5%. Esta disminución debida
al efecto del viento puede dar lugar a la pérdida de contacto entre la
catenaria y el pantógrafo.
La velocidad del tren también influye sobre el efecto que esta pérdida
de rigidez tiene en la dinámica de la catenaria ya que, para una mis-
ma velocidad de viento, a medida que aumenta la velocidad del tren
CAPÍTULO 6. CONCLUSIONES Y FUTUROS DESARROLLOS 113
también se produce un aumento de la variabilidad de la fuerza de con-
tacto. Por tanto, la disminución de la fuerza de contacto mencionada
se ve más acusada para velocidades mayores de viento.
Por otro lado, en cuanto al efecto de la fuerza vertical debida al viento
lateral en la interacción catenaria pantógrafo cabe destacar, que si bien
en la fuerza de contacto no se observa una variación muy acusada,
su influencia es notable en el desplazamiento vertical del punto de
contacto que varía, no sólo aumentando con el valor de la velocidad
del viento (con valores superiores al 80% para vientos de 100 km/h),
sino también su recorrido perdiendo, para velocidades altas de viento,
su tendencia sinusoidal.
En este efecto también influye la velocidad del tren y, del mismo modo
que en la pérdida de rigidez, el aumento de velocidad del tren intensi-
fica los efectos de la fuerza del viento, de modo que, para una misma
velocidad de éste, a medida que aumenta la velocidad del vehículo
aumenta el desplazamiento vertical del punto de contacto.
6.2. Principales aportaciones
Las principales aportaciones originales que han surgido del trabajo de
investigación de este proyecto y que tienen entidad suficiente para conside-
rarse en futuras publicaciones científicas son:
Análisis de las distintas técnicas de representación de la fuerza del
viento recogidas en la bibliografía.
Desarrollo de un modelo de cargas de viento.
Validación del modelo de cargas de viento sobre estructuras de cables.
Estudio del efecto estático del descentramiento en la rigidez de la
catenaria.
CAPÍTULO 6. CONCLUSIONES Y FUTUROS DESARROLLOS 114
Estudio del efecto estático del viento en la rigidez de la catenaria.
Análisis del efecto estático del viento en los desplazamientos de la
catenaria sobre un modelo tridimensional.
Estudio del efecto de la variación de rigidez en la dinámica de la
interacción catenaria-pantógrafo.
Estudio del efecto del desplazamiento vertical de la catenaria origi-
nado por el viento lateral en la dinámica de la interacción catenaria-
pantógrafo.
Análisis de la influencia de la velocidad del tren sobre los efectos del
viento mencionados en la catenaria.
6.3. Futuros desarrollos
Entre los temas que se han discutido y se han considerado que, sin formar
parte de los objetivos del presente proyecto, podrían resultar prometedores
en esta línea de investigación destacan:
Análisis de la influencia de parapetos laterales y terraplenes bajo car-
gas de viento en régimen estacionario sobre catenarias ferroviarias.
Comparación de los resultados obtenidos para la simulación con para-
petos y terraplenes con resultados experimentales en túnel de viento.
Cálculo estocástico y optimización de la configuración de la catenaria
considerando el efecto del viento lateral.
Simulación dinámica 3D
• Validación del elemento corrotacional 3D implementado en el
transcurso de este proyecto final de carrera.
CAPÍTULO 6. CONCLUSIONES Y FUTUROS DESARROLLOS 115
• Implementación de un modelo de contacto 3D elemento-elemento
para simular la interacción dinámica catenaria-pantógrafo.
• Validación del modelo de simulación con la norma EN-50318.
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